Tài liệu Chuyên đề Hàm số Lớp 12

Nội dung text: Tài liệu Chuyên đề Hàm số Lớp 12

1. CHUYÊN ĐỀ H/S 1. Định nghĩa 1. Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f (x) là một h/s xác định trên K. Ta nói: + H/s y= f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1 , x2 ∈ K, x1 f(x2) H/s đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K. 2. Nhận xét. a. Nhận xét 1. Nếu h/s f(x) và g(x) cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì h/s ( ) + ( ) cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu ( ) ― ( ) . b. Nhận xét 2. Nếu h/s f(x) và g(x) là các h/s dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì h/s ( ) . ( ) cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng khi các h/s ( ) , ( ) không là các h/s dương trên D. c. Nhận xét 3. Cho h/s = ( ) , xác định với ∈ ( ; ) và ( ) ∈ ( ; ). H/s [ ( )] cũng xác định với x ∈ (a;b) . Ta có nhận xét sau: * Giả sử h/s = ( ) đồng biến với ∈ ( ; ) . Khi đó, h/s [ ( )] đồng biến với ∈ ( ; ) ( ) đồng biến với ∈ ( ; ). * Giả sử h/s = ( ) nghịch biến với ∈ ( ; ) . Khi đó, h/s [ ( )] nghịch biến với ∈ ( ; ) ( ) nghịch biến với ∈ ( ; ). 3. Định lí 1. Giả sử h/s có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó: a) Nếu h/s đồng biến trên khoảng K thì f’(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K . b) Nếu h/s nghịch biến trên khoảng K thì f’(x) ≤ 0,∀ x ∈ K . 4. Định lí 2. Giả sử h/s f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó: a) Nếu f’(x) > 0,∀ x ∈ K thì h/s f đồng biến trên K. b) Nếu f’(x) < 0,∀ x ∈ K thì h/s f nghịch biến trên K. c) Nếu f’(x) = 0,∀ x ∈ K thì h/s f không đổi trên K.
2. Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “ H/s liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’. Chẳng hạn: Nếu h/s f liên tục trên đoạn [a;b] và f’(x) > 0,∀ x ∈ (a ;b) thì h/s f đồng biến trên đoạn [a;b]. Ta thường biểu diễn qua bảng biến thiên như sau: x a b f’(x) + f(b) f(x) f(a) 5. Định lí 3.(mở rộng của định lí 2) Giả sử h/s f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó: a) Nếu f’(x) ≥ 0,∀ x ∈ K và f’(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì h/s f đồng biến trên K. b) Nếu f’(x) ≤ 0,∀ x ∈ K và f’(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì h/s f đồng biến trên K. Quy tắc xét tính đơn điệu của h/s. Giả sử h/s f có đạo hàm trên K - Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì h/s f đồng biến trên K . - Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì h/s f nghịch biến trên K . Chú ý: + *) Riêng h/s: y = . Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau: + +) Để h/s đồng biến trên TXĐ thì y ' > 0∀ x ∈ D +) Để h/s nghịch biến trên TXĐ thì y ' > 0∀ x ∈ D y′ > 0,∀ x ∈ a ,b +) Để h/s đồng biến trên khoảng (a;b) thì ≠ ―
3. y′ f’(x) = 3ax2 + 2bx + c. H/s đồng biến trên R H/s ngịch biến trên R > 0 f’(x) ≥ 0;∀ x ∈ R = 0 f’(x) ≥ 0;∀ x ∈ R = 0 = 0 = 0 > 0 y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ∆ > 0 ≠ 0 ( ∗ ) Bước 3: H/s đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l 2 2 2 │x1 - x2 │ = l (x1 + x2 ) - 4x x l S - 4P = l ( ) Bước 4: Giải (*) và giao với ( ) để suy ra giá trị m cần tìm.
4. TÍNH ĐƠN ĐIỆU DẠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA H/S Câu 1: Cho h/s f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu h/s f(x) đồng biến trên (a;b) thì f(x) ≥ 0 với mọi x thuộc (a; b) . B. Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b) thì h/s f(x) đồng biến trên (a;b) . C. Nếu f’(x) 0 với mọi x thuộc (a; b) . Giải Chọn D Lý thuyết SGK. Câu 2: Cho h/s y= f(x) có đạo hàm trên (a;b) . Phát biểu nào sau đây là đúng? A. H/s y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≤ 0,∀ x ∈ (a ;b) . B. H/s y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0,∀ x ∈ (a ;b) và f’(x) = 0 tại hữu hạn giá trị x ∈ (a;b) . C. H/s y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0,∀ x ∈ (a ;b) . D. H/s y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi f’(x) x2 ∈ R=>f(x1) f(x1) f(x1) f(x1) > f(x2) Giải Chọn C Theo định nghĩa h/s đồng biến trên R. Câu 4: Cho h/s y = f(x) xác định, có đạo hàm trên đoạn [a;b] (với a < b ). Xét các mệnh đề sau: H/s y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) i) Nếu f’(x) ≥ 0,∀ x ∈ (a ; b) ii) Nếu f’(x) ≥ 0,∀ x ∈ (a ; b) và f’(x) = 0 tại hữu hạn điểm trên (a; b). iii) Nếu f’(x) ≥ 0,∀ x ∈ (a ; b) và f’(x) = 0 tại vô hạn điểm trên (a; b). Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. Giải Chọn B i) Sai. ii) Đúng iii) Sai. Vậy có 1 mệnh đề đúng. Câu 5: Cho h/s y = f(x) xác định, có đạo hàm trên đoạn [a;b] (với a 0, ∀ x ∈ (a ;b) . D. f’(x) ≠0, ∀ x ∈ (a ;b) . Giải Chọn C Câu 7: Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Nếu f’(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a; b) thì h/s y = f(x) đồng biến trên (a; b) . B. Nếu f’(x) = > 0 ∀ x ∈ (a; b) thì h/s y = f(x) đồng biến trên (a;b) . C. H/s y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a ;b) . D. H/s y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi f’(x) > 0 ∀ x ∈ (a ;b) . Giải Chọn B Ta có h/s y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a ;b), trong đó f’(x) = 0 tại hữu hạn điểm thuộc (a;b) . Do đó phương án A, C, D sai. Câu 8: Cho K là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn. H/s y = f(x) liên tục và xác định trên K . Mệnh đề nào không đúng? A. Nếu f’(x) ≥ 0,∀ x ∈ K thì h/s y = f(x) đồng biến trên K . B. Nếu h/s y = f(x) là h/s hằng trên K thì f’(x) = 0,∀ x ∈ K . C. Nếu f’(x) = 0,∀ x ∈ K thì h/s y = f(x) không đổi trên K .
6. D. Nếu h/s y= f(x) đồng biến trên K thì f’(x) ≥ 0,∀ x ∈ K . Giải Chọn A Nếu f’(x) ≥ 0,∀ x ∈ K (dấu '' '' xảy ra tại hữu hạn điểm) thì f(x) đồng biến trên K . Câu 9: Cho h/s f(x) đồng biến trên tập số thực R, mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Với mọi x1 ,x2 ∈ R=>f(x1) x2 ∈ R=>f(x1) f(x1) f(x1) > f(x2) Giải Chọn B Theo định nghĩa về tính đơn điệu của h/s, ta chọn đáp án Câu 10: Cho h/s y= f(x) có đạo hàm trên (a;b) . Phát biểu nào sau đây là đúng? A. H/s y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0,∀ x ∈ (a ;b) . B. H/s y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0,∀ x ∈ (a ;b) và f’(x) = 0 tại hữu hạn giá trị x ∈ (a;b) . C. H/s y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi f’(x) 0 với mọi x ∈ (a;b) thì h/s đồng biến trên (a;b) . B. Nếu h/s y = f(x) nghịch biến trên (a;b) thì f’(x) ≤ 0 với mọi x ∈ (a;b) . C. Nếu h/s y= f(x) đồng biến trên (a;b) thì f’(x) > 0 với mọi x ∈ (a;b) . D. Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ (a;b) thì h/s nghịch biến trên (a;b) . Giải Chọn C Nếu h/s y= f(x) đồng biến trên (a;b) thì f’(x) ≥ 0 với mọi x ∈ (a;b) . Câu 12: Cho h/s f(x) có tính chất f’(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (0; 3) và f’(x) = 0, ∀ x ∈ (1;2). Khẳng định nào sau đây là sai? A. H/s f(x) đồng biến trên khoảng (0; 1). B. H/s f(x) đồng biến trên khoảng (2; 3) . C. H/s f(x) là hàm hằng (tức là không đổi) trên khoảng (1; 2). D. H/s f(x) đồng biến trên khoảng (0; 3) . Giải Chọn D Vì f’(x) ≥ 0 , ∀ x ∈ (0;3) và f’(x) = 0 , ∀ x ∈ (1; 2) nên ta có: H/s f(x) là hàm hằng (tức là không đổi) trên khoảng (1; 2) .
7. H/s f(x) đồng biến trên khoảng (0;1) . H/s f(x) đồng biến trên khoảng (2;3) . Câu 13: Cho h/s f(x) có tính chất f’(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (0; 3) và f’(x) = 0, ∀ x ∈ [1;2]. Khẳng định nào sau đây là sai? A. H/s f(x) đồng biến trên khoảng (0; 1). B. H/s f(x) đồng biến trên khoảng (2; 3) . C. H/s f(x) là hàm hằng (tức là không đổi) trên khoảng (1; 2). D. H/s f(x) đồng biến trên khoảng (0; 3) . Giải Chọn A +) f’(x) = 0,∀ x ∈ 1;2 =>f(x) là hàm hằng (tức là không đổi) trên khoảng 1;2 . +) f’(x) > 0,∀ x ∈ (2;3) =>f(x) đồng biến trên khoảng (2;3) . +) f’(x) > 0,∀ x ∈ (0;1) =>f(x) đồng biến trên khoảng (0;1) . +) f’(x) ≥ 0,∀ x ∈ (0;3) và f’(x) = 0,∀ x ∈ [1;2] mà đoạn [1;2] có vô hạn điểm nên không suy ra được f(x) đồng biến trên khoảng 0;3 => sai. Câu 14: Cho h/s f(x) có tính chất f’(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (0; 3) và f’(x) = 0 x ∈ {1;2}. Khẳng định nào sau đây là sai? A. H/s f(x) đồng biến trên khoảng (0; 1). B. H/s f(x) đồng biến trên khoảng (2; 3) . C. H/s f(x) là hàm hằng (tức là không đổi) trên khoảng (1; 2). D. H/s f(x) đồng biến trên khoảng (0; 3) . Giải Chọn C +) f’(x) > 0,∀ x ∈ (2;3) =>f(x) đồng biến trên khoảng (2;3) . +) f’(x) > 0,∀ x ∈ (0;1) =>f(x) đồng biến trên khoảng (0;1) . +) f’(x) ≥ 0,∀ x ∈ (0;3) và x ∈ {1;2} mà đoạn 1;2 có vô hạn điểm nên không suy ra được f(x) đồng biến trên khoảng 0;3 => sai. (Định lí mở rộng trong sách giáo khoa là nếu f’(x) ≥ 0 với x ∈ (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm trên (a;b) thì f(x) đồng biến trên (a;b) ). Câu 15: H/s f(x) có đạo hàm trên R và f’(x ) > 0, ∀ x ∈ (0; +∞ ), biết f(2) = 1. Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra? A. f(3) = 0 B. f(2016) > f(2017) C. f(1) = 4 D. f (2) + f(3) = 4 Giải Chọn D Do f’(x ) > 0, ∀ x ∈ (0; +∞ ) nên f(x) đồng biến trên (0; +∞). Câu 16: H/s f(x) đồng biến trên khoảng (0;+∞), khẳng định nào sau đây đúng?
8. 4 5 A. f > f B. f (1) > f (- 1) C. f (3) > f ( π) D. f 1 > f 2 3 4 Giải Chọn A Ta có h/s f(x) đồng biến trên (a;b) . Do đó với mọi x1 ,x2 ∈ (a;b) và x1 f 3 4 Câu 17: Cho h/s f(x) có đạo hàm trên R và f’(x) > 0,∀ x > 0 . Biết f(1) = 2, hỏi khẳng định nào sau đây có thể xảy ra? A. f (2) +f (3) = 4 B. f(2016) > f (2017) C. f(2) = 1 D. f (-1) = 2 Giải Chọn D Vì f’(x) > 0,∀ x > 0 nên h/s f(x) đồng biến trên (0,+∞). => f(2) > f(1) = 2 (2) > (1) = 2 Do đó: (3) > (1) = 2 => (2) + (3) > 4 f (2017)> f (2016). Câu 18: Cho h/s f có đạo hàm trên khoảng I . Xét các mệnh đề sau: (I). Nếu f’(x) ≥ 0 ,∀ x ∈ I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I ) thì h/s đồng biến trên I . (II). Nếu f’(x) ≤ 0 ,∀ x ∈ I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I ) thì h/s nghịch biến trên I . (III). Nếu f’(x) ≤ 0 ,∀ x ∈ I thì h/s nghịch biến trên khoảng I . (IV). Nếu f’(x) ≤ 0 ,∀ x ∈ I và f’(x) = 0 tại vô số điểm trên I thì h/s f không thể nghịch biến trên khoảng I . Trong các mệnh đề trên. Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? A. I, II, III và IV đúng C. I, II và III đúng, còn IV sai B. I và II đúng, còn III và IV sai D. I, II và IV đúng, còn III sai Giải Chọn B Các mệnh đề I, II đúng còn các mệnh đề III, IV sai. Mệnh đề III sai vì thiếu điều kiện dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I . Mệnh đề IV sai vì ta xét h/s f(x) = cos 2x - 2x + 3 có f’(x) = - 2(1+sin 2x) ≤ 0, ∀ x ∈ R và f’(x) = = - 2(1+sin 2x) = 0 x = - 4 + k π, k ∈ Z tức là f’(x) = 0 tại vô số điểm trên R.
9. Mặt khác h/s f(x) cos 2x = - 2x + 3 liên tục trên ― + k π; ― + (k + 1) π và 4 4 f(x) < 0 , ∀ x ∈ ― + k π; ― + (k + 1) π do đó h/s f(x) nghịch biến trên mỗi 4 4 đoạn ― + k π; ― + (k + 1) π , k ∈ Z . Vậy h/s nghịch biến trên R. 4 4
10. DẠNG 2: NHẬN DẠNG H/S THÔNG QUA BẢNG BIẾN THIÊN Một số chú ý khi làm dạng toán này - Xem chiều mũi tên cuối cùng đi lên hay đi xuống - Xem điểm nào không xác định - Khi → ± ∞ thì y tiến tới giá trị nào - H/s đồng biến nghịch biến trên khoảng nào? - H/s có cực trị ra sao Linkdown pdf: Để nhận file word liên hệ Zalo 0384081565