Tài liệu trắc nghiệm nâng cao Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Lớp 12 - Đặng Việt Đông

165 trang thungat 1790

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu trắc nghiệm nâng cao Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Lớp 12 - Đặng Việt Đông", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tai_lieu_trac_nghiem_nang_cao_nguyen_ham_tich_phan_va_ung_du.pdf

Nội dung text: Tài liệu trắc nghiệm nâng cao Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Lớp 12 - Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 0 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng NGUYÊN HÀM NÂNG CAO A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa Cho hàm số y f x xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn của R). Nếu Ta cĩ hàm số F x xác định trên K sao cho F' x f x thì F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K. Định lí 1. Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G x F x C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x trên K. Định lí 2. Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều cĩ dạng G x F x C với C là hằng số. Định lí 3. Mọi hàm số f x liên tục trên K đều cĩ nguyên hàm trên K. 2. Tính chất: f' x dx f x C với C là hằng số. kf x dx k f x dx với k là hằng số khác 0. fx gx fxdx fxdx gxdx Bảng nguyên hàm Chú ý: cơng thức tính vi phân của f x là d f x f' x dx Nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm của hàm hợp 0dx C 0du C dx x C du u C 1 1 x dx x 1 C 1 u du u 1 C 1 1 1 1 1 dx ln x C du ln u C x u ex dx e x C eu du e u C ax au ax dx C au dx C ln a ln a cosxdx sin x C cosudu sin u C sinxdx cos x C sinudu cosu C 1 1 dx tan x C du tan u C cos2 x cos2 u 1 1 dx cot x C du cot u C sin 2 x sin 2 u File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 1 Câu 1: Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x và F 0 ln 4 . Tập nghiệm S e x 3 3 của phương trình 3F x ln x3 3 2 là: A. S 2 . B. S 2;2. C. S 1;2 . D. S 2;1. 2 2x Câu 2: Cho F() x x là một nguyên hàm của hàm số f() x e . Tìm nguyên hàm của hàm số 2x f () x e . A. f ( x ) e2x dx x 2 2 x C B. f () x e2x dx x 2 x C C. f ( x ) e2x dx 2 x 2 2 x C D. f ( x ) e2x dx 2 x 2 2 x C x 2x Câu 3: Cho F( x ) ( x 1) e là một nguyên hàm của hàm số f() x e . Tìm nguyên hàm của hàm số 2x f () x e . 2 x A. f ( x ) e2x d x (4 2 x ) e x C B. f ( x ) e2x d x e x C 2 C. f ( x ) e2x d x (2 x ) e x C D. f ( x ) e2x d x ( x 2) e x C 1 f() x Câu 4: Cho F() x là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 3x3 x f ( x ) ln x . lnx 1 lnx 1 A. f ( x ) ln xdx C B. f ( x ) ln xdx C 3 5 3 5 x5 x x5 x lnx 1 lnx 1 C. f ( x ) ln xdx C D. f ( x )ln xdx C 3 3 3 3 x3 x x3 x 1 f() x Câu 5: Cho F() x là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 2x2 x f ( x ) ln x lnx 1 lnx 1 A. f( x )ln xdx 2 2 C B. f( x )ln xdx 2 2 C x2 x x x lnx 1 lnx 1 C. f ( x )ln xdx C D. f ( x )ln xdx C 2 2 2 2 x x x2 x 1 Câu 6: Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng ; ? 1 x2 A. F x ln x 1 x2 C . B. F x ln 1 1 x2 C . 2x C. F x 1 x2 C . D. F x C 1 x2 tan x Câu 7: Cho F(x) là một nguyên hàm của f x , biết F 0 0 , F 1. cosx 1 a cos2 x 4 FF Tính 3 4 ? A. 5 3 . B. 5 1. C. 3 5 . D. 5 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 7 5 cos 2x Câu 8: Biết cos2x sin 2 x .sin4 xdx C . Với a là số nguyên. Tìm a? a A. a 6. B. a 12. C. a 7. D. a 14. sinx cos x Câu 9: Biết dx aln sin x cos x C . Với a là số nguyên. Tìm a? sinx cos x A. a 1. B. a 2. C. a 3. D. a 4. x tan2 2 Câu 10: Tìm một nguyên hàm của: 1 4. 2 biết nguyên hàm này bằng 3 khi x . 2 x 4 tan 1 2 1 1 A. 3. B. 3. C. tanx 2. D. cotx 2 . cos2 x sin2 x F x x ln 2sin x cos x Câu 11: là nguyên hàm của: sinx cos x sinx 2cos x sinx cos x 3sinx cos x A. . B. . C. . D. . sinx 3cos x 2sinx cos x sinx 3cos x 2sinx cos x 1 1 Câu 12: Biết dx C . Với a là số nguyên. Tìm a? 2 5 25x 20 x 4 a 5 x 2 A. a 4. B. a 100. C. a 5. D. a 25. 1 x a Câu 13: Biết dx ln 2 x 7 C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b? 2x2 5 x 7 b A. S 4. B. S 2. C. S 3. D. S 5. 2 a Câu 14: Biết sin 2x cos 2 x dx x cos 4 x C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b? b A. S 4. B. S 2. C. S 3. D. S 5. 1 x Câu 15: Biết dx a. tan C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b? 1 cos x b A. S 4. B. S 2. C. S 3. D. S 5. 1 a Câu 16: Biết dx tan x C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b? 1 sin 2x b 4 A. S 4. B. S 2. C. S 3. D. S 5. 2 F x f x F 0 8 Câu 17: Cho f x 8sin x . Một nguyên hàm của thỏa là: 12 A. 4x 2sin 2 x 9 . B. 4x 2sin 2 x 9 . 6 6 C. 4x 2sin 2 x 7 . D. 4x 2sin 2 x 7 . 6 6 f x 1 x F x f x F 1 1 Câu 18: Cho . Một nguyên hàm của thỏa là: x2 1 x khi x 0 2 2 2 A. x x 1 B. . x2 x C khi x 0 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 2 x x x C khi x 0 x C1 khi x 0 1 2 C. . D. 2 . 2 x x x C2 khi x 0 x C2 khi x 0 2 2 5x2 8 x 4 1 Câu 19: Biết F() x là nguyên hàm của dx với 0 x 1 và F 26 . Giá trị nhỏ 2 2 x 1 x 2 nhất của F() x là: A. 24. B. 20. C. 25. D. 26. 1 Câu 20: Khi tính nguyên hàm dx người ta đặt t g x (một hàm biểu diễn theo 3 2x 1 x 1 3 biến x) thì nguyên hàm trở thành 2dt . Biết g 4 , giá trị của g 0 g 1 là: 5 3 6 1 6 2 6 2 3 6 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C – HƯỚNG DẪN GIẢI 1 1 Câu 1: Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x và F 0 ln 4 . Tập nghiệm S e x 3 3 của phương trình 3F x ln x3 3 2 là: A. S 2 . B. S 2;2. C. S 1;2 . D. S 2;1. Hướng dẫn giải: dx 1 ex 1 Ta cĩ: F x 1 d x x ln ex 3 C . x x e 3 3 e 3 3 1 1 Do F 0 ln 4 nên C 0 . Vậy F x x ln ex 3 . 3 3 Do đĩ: 3F x ln ex 3 2 x 2 Chọn A. 2 2x Câu 2: Cho F() x x là một nguyên hàm của hàm số f() x e . Tìm nguyên hàm của hàm số 2x f () x e . A. f ( x ) e2x dx x 2 2 x C B. f () x e2x dx x 2 x C C. f ( x ) e2x dx 2 x 2 2 x C D. f ( x ) e2x dx 2 x 2 2 x C Hướng dẫn giải: Từ giả thiết Fxfxe' .2x x 2 ' fxe . 2 x 2 xfx .e 2 x (1) Đặt A f'. x e2x dx . Đặt u e2x du 2 e2x dx ,dv=f’(x)dx chọn v=f(x) Aefx 2x. 2 fxedx . 2 x 2 xFxC 2 2 x 2 2 xC Chọn D. x 2x Câu 3: Cho F( x ) ( x 1) e là một nguyên hàm của hàm số f() x e . Tìm nguyên hàm của hàm số 2x f () x e . 2 x A. f ( x ) e2x d x (4 2 x ) e x C B. f ( x ) e2x d x e x C 2 C. f ( x ) e2x d x (2 x ) e x C D. f ( x ) e2x d x ( x 2) e x C Hướng dẫn giải: 2x x/ 2 x Từ giả thiết F' x f x . e x 1 . e f x . e x / x2 x x. e x x 1 x x e f x e f x 2x x f' x x x e e e e 1 x Đặt A fxedx' .2x . edx 2 x 1 xedx x ex u 1 x du dx Đặt A1 xex edx x 1 xeeCe x x x 2 xC x x dv e dx chọn v e Chọn C. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 f() x Câu 4: Cho F() x là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 3x3 x f ( x ) ln x . lnx 1 lnx 1 A. f ( x ) ln xdx C B. f ( x ) ln xdx C 3 5 3 5 x5 x x5 x lnx 1 lnx 1 C. f ( x ) ln xdx C D. f ( x )ln xdx C 3 3 3 3 x3 x x3 x Hướng dẫn giải: / f x 1 f x 1 f x 1 Từ giả thiết F' x 3 4 f x 3 x 3 x x x x x 1 f' x 3. x4 3lnx ln x Đặt A f' x .ln x . dx dx 3 dx x4 x 4 1 u ln x 3 du dx x 1 1 1 lnx 1 Đặt A 3 3 ln x 4 dx 3 3 C 1 1 3x 3 x x 3 x dv dx chọn v x43 x 3 Chọn C. 1 f() x Câu 5: Cho F() x là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 2x2 x f ( x ) ln x lnx 1 lnx 1 A. f( x )ln xdx 2 2 C B. f( x )ln xdx 2 2 C x2 x x x lnx 1 lnx 1 C. f ( x )ln xdx C D. f ( x )ln xdx C 2 2 2 2 x x x2 x Hướng dẫn giải: / f x 1 f x 1 f x 1 Từ giả thiết F' x 2 3 f x 2 x 2 x x x x x / 1 2 f' x 2 3 x x 2 ln x Đặt A fx' .ln xdx . .ln xdx . 2 dx x3 x 3 1 u ln x du dx x Đặt 1 1 dv dx chọn v x32 x 2 lnx 1 ln x 1 ln x 1 A2 2 3 dx 2 2 2 C 2 2 C 2x 2 x 2 x 4 x x 2 x Chọn A. 1 Câu 6: Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng ; ? 1 x2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A. F x ln x 1 x2 C . B. F x ln 1 1 x2 C . 2x C. F x 1 x2 C . D. F x C 1 x2 Hướng dẫn giải: Ta cĩ bài tốn gốc sau: dx Bài tốn gốc: Chứng minh ln x x2 a c a 2 x a 2x x x2 a tdx Đặt t x x2 a dt 1 dx dt dx dt 2 x2 a x 2 a x2 a dt dx t x2 a dx dt Vậy khi đĩ lnt c ln x x2 a c ( điều phải chứng minh). 2 x a t Khi đĩ áp dụng cơng thức vừa chứng minh ta cĩ 1 F x dx ln x 1 x2 c ln x 1 x 2 c . 2 1 x Chọn A. tan x Câu 7: Cho F(x) là một nguyên hàm của f x , biết F 0 0 , F 1. cosx 1 a cos2 x 4 FF Tính 3 4 ? A. 5 3 . B. 5 1. C. 3 5 . D. 5 2 Hướng dẫn giải: 4 4tanx 4 tan x f x dx dx dx 2 2 2 cos x 1 a cos x cos x tan x 1 a 0 0 0 4 1 dtan2 x 1 a 2 0 2 tanx 1 a tan2 1 a tan 2 0 1 a 3 2 . 4 a 2 a 1 3 2 a 2 a 1 2 a 1 3 2 5 2 6 3 6 a 1 a 1 3 2 3 tan x Do đĩ F F dx tan2 2 tan 2 2 5 3 . 2 3 4 cosx 1 cos x 3 4 4 Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 7 5 cos 2x Câu 8: Biết cos2x sin 2 x .sin4 xdx C . Với a là số nguyên. Tìm a? a A. a 6. B. a 12. C. a 7. D. a 14. Hướng dẫn giải: 5 Đặt f x cos2 x sin 2 x .sin 4 xdx , Ta cĩ: 5 f x cos2 x sin 2 x .sin 4 xdx cos 2 x 5 .2sin 2 x .cos 2 x 2 cos6 2x .sin 2 xdx Đặt t cos2 x dt 2sin 2 xdx t7cos 7 2 x Vậy F x t6 dt C C 7 7 Chọn C. sinx cos x Câu 9: Biết dx aln sin x cos x C . Với a là số nguyên. Tìm a? sinx cos x A. a 1. B. a 2. C. a 3. D. a 4. Hướng dẫn giải: sinx cos x sinx cos x Vì a ln sin x cos x C nên sinx cos x sin x cos x sinx cos x Nguyên hàm của: là: ln sinx cos x C . sinx cos x Chọn A. x tan2 2 Câu 10: Tìm một nguyên hàm của: 1 4. 2 biết nguyên hàm này bằng 3 khi x . 2 x 4 tan 1 2 1 1 A. 3. B. 3. C. tanx 2. D. cotx 2 . cos2 x sin2 x Hướng dẫn giải: 2 2 x x tan 2 tan 2 2 2 1 f x 1 4.2 1 1 tan x 2 x cos x 2 x 1 tan 2 tan 1 2 2 Nguyên hàm của F x tan x C Ta cĩ: F 3 tan C 3 C 2 F x tan x 2 4 4 Chọn C. F x x ln 2sin x cos x Câu 11: là nguyên hàm của: sinx cos x sinx 2cos x sinx cos x 3sinx cos x A. . B. . C. . D. . sinx 3cos x 2sinx cos x sinx 3cos x 2sinx cos x Hướng dẫn giải: Ta chỉ cần đạo hàm của F(x), rồi sau đĩ quan sát kết quả đúng. 2sinx cos x ' 2sinx cos x 3sin x cos x Ta cĩ: F' x 1 1 2sinx cos x 2sin x cos x 2sin x cos x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 3sinx cos x F x là một nguyên hàm của . 2sinx cos x Chọn D. 1 1 Câu 12: Biết dx C . Với a là số nguyên. Tìm a? 2 5 25x 20 x 4 a 5 x 2 A. a 4. B. a 100. C. a 5. D. a 25. Hướng dẫn giải: Chú ý nếu chúng ta biến đổi: 2 4 1 3 25x 20 x 4 dx 25 x2 20 x 4 dx C . Là sai 3 25x2 20 x 4 4 2 4 3 25x 20 x 4 Điều sau đây mới đúng: 25x2 20 x 4 d 25 x 2 20 x 4 C 4 3 Trở lại bài, ta sẽ biến đổi biểu thức 25x2 20 x 4 về dạng ax b n như sau: 1 1 6 dx dx 5 x 2 dx 3 6 25x2 20 x 4 5x 2 5 1 5x 2 1 CC 5 5 25 5x 2 5 Chọn D. 1 x a Câu 13: Biết dx ln 2 x 7 C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b? 2x2 5 x 7 b A. S 4. B. S 2. C. S 3. D. S 5. Hướng dẫn giải: Ta quan sát mẫu cso thể phân tích được thành nhân tử, sử dụng MTCT bấm giải phương trình bậc 2: 7 2x2 5 x 7 0 thấy cĩ hai nghiệm là: x 1, x . 2 2 Áp dụng cơng thức ax bx c a x x1 x x 2 với x1, x 2 là hai nghiệm ta cĩ: 2x2 5 x 7 x 1 2 x 7 Do đĩ: 1 x x 1 1 1 dx dx dx ln 2 x 7 C 2x2 5 x 7 x 1 2 x 7 2 x 7 2 Chọn C. 2 a Câu 14: Biết sin 2x cos 2 x dx x cos 4 x C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b? b A. S 4. B. S 2. C. S 3. D. S 5. Hướng dẫn giải: t n 1 Nếu áp dụng ngay: tn dt C thì ta cĩ: n 1 3 2 sin 2x cos 2 x sin 2x cos 2 x dx C . Là sai. 3 Ta phải khai triển sin 2x cos 2 x 2 để xem thử File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 1 sin 2x cos 2 x dx 1 sin 4 x dx x cos 4 x C 4 Chọn D. 1 x Câu 15: Biết dx a. tan C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b? 1 cos x b A. S 4. B. S 2. C. S 3. D. S 5. Hướng dẫn giải: Chưa áp dụng ngay được cơng thwucs nguyên hàm cơ bản, ta quan sát mẫu và thấy rằng cĩ x 1 cos 2 thể biến đổi 1 cosx 2cos2 dựa trên cơng thức hạ bậc: cos2 . Do đĩ: 2 2 1 1 x dx dx tan C . x 1 cosx 2cos2 2 2 Ta thấy rằng a 1, b 2 do đĩ S=3. Chọn C. 1 a Câu 16: Biết dx tan x C , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b? 1 sin 2x b 4 A. S 4. B. S 2. C. S 3. D. S 5. Hướng dẫn giải: 1 1 1 dx dx dx 1 sin 2x 2 1 cos 2x 2cos x 2 4 1 1 tan x C tan x C 2 4 2 4 Ta thấy a=1,b=2 suy ra S=3 Chọn C. 2 F x f x F 0 8 Câu 17: Cho f x 8sin x . Một nguyên hàm của thỏa là: 12 A. 4x 2sin 2 x 9 . B. 4x 2sin 2 x 9 . 6 6 C. 4x 2sin 2 x 7 . D. 4x 2sin 2 x 7 . 6 6 Hướng dẫn giải: 2 Ta cần phải tính f x dx 8sin x dx . Đầu tiên sử dụng cơng thức hạ bậc để đổi 12 f x như sau: 1 cos 2x 2 6 f x 8sin x 8 12 2 f x 44cos2 x F x 4 x 2sin2 x C 6 6 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng f 0 8 2sin C 8 C 9 6 Chọn B. f x 1 x F x f x F 1 1 Câu 18: Cho . Một nguyên hàm của thỏa là: x2 1 x khi x 0 2 2 2 A. x x 1 B. . x2 x C khi x 0 2 2 2 2 x x x C khi x 0 x C1 khi x 0 1 2 C. . D. 2 . 2 x x x C2 khi x 0 x C2 khi x 0 2 2 Hướng dẫn giải: x2 x C1 khi x 0 1 x khi x 0 2 Ta cĩ: f x F x . 1 x khi x 0 x2 x C khi x 0 2 2 x2 1 x khi x 0 1 2 2 Theo đề FC 1 1 1 do đĩ: . 2 x2 x C khi x 0 2 2 Chọn B. 5x2 8 x 4 1 Câu 19: Biết F() x là nguyên hàm của dx với 0 x 1 và F 26 . Giá trị nhỏ 2 2 x 1 x 2 nhất của F() x là: A. 24. B. 20. C. 25. D. 26. Hướng dẫn giải: Ta cĩ: 2 2 5x2 8 x 4 9x 4 x 2 x 1 F x dx dx 2 2 2 2 x 1 x x 1 x 9 4 4 9 dx C 2 x2 x1 x 1 x 1 4 9 Vì F 26 nên CC 26 0 2 1 1 1 2 2 4 9 Lúc này F x với 0 x 1. Sử dụng MTCT bấm Mode 7 chọn start 0 end 1 x 1 x Step 0.1: Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị nhỏ nhất của F(x) là 25 xảy ra khi x =0,4 Chọn C. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 Câu 20: Khi tính nguyên hàm dx người ta đặt t g x (một hàm biểu diễn theo 3 2x 1 x 1 3 biến x) thì nguyên hàm trở thành 2dt . Biết g 4 , giá trị của g 0 g 1 là: 5 3 6 1 6 2 6 2 3 6 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Đối với bài này HS cần pahir nắm được kĩ thuật biến đổi khi tính nguyên hàm. Hs cần phải dự đốn phép đặt ẩn phụ, đầu tiên ta thấy nguyên hàm cĩ thể biến đổi thành: 1 1 dx dx 3 2 2x 1 2x 1 x 1 x 1 x 1 Do đĩ ta đặt: 2x 1 dx dx t dt 2 dt x 1 22x 1 2 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 Vì vậy suy ra dx 2 dt 3 2x 1 x 1 Tuy nhiên đây là lời giải sai, ta cĩ thể thấy khi đặt 2x 1 dx dx t C dt 2 dt x 1 22x 1 2 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Với C là hằng số, kết quả khơng thay đổi. Vì vậy chính xác ở đây là: 2x 1 3 t C g x . Theo đề g 4 n33n suy ra C=0. x 1 5 2x 1 2 6 Cuối cùng ta được g x vì vậy g 0 g 1 x 1 2 Chọn C. Chú ý: Bài tốn này hồn tồn cĩ thể dùng MTCT để chọn kết quả, Ta cĩ: 1 1 1 2dt dx t dx 3 3 2x 1 x 1 2 2 x 1 x 1 1 1 g x dx 3 2 2x 1 x 1 1 1 Do đĩ g x là nguyên hàm của . Suy ra: 2 2x 1 x 1 3 01 1 0 1 1 g 0 g 4 dx g 0 dx g 4 23 2 3 4 2x 1 x 1 4 2 x 1 x 1 Và: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 11 1 1 1 1 g 1 g 4 dx g 1 dx g 4 23 2 3 4 2x 1 x 1 4 2 x 1 x 1 Sử dụng MTCT bấm: 01 1 1 1 1 dx g 4 dx g 4 23 2 3 4 2x 1 x 1 4 2 x 1 x 1 Là kết quả C. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng TÍCH PHÂN NÂNG CAO A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa Cho hàm số y f x thỏa: + Liên tục trên đoạn a; b . + F x là nguyên hàm của f x trên đoạn a; b . b Lúc đĩ hiệu số F b F a được gọi là tích phân từ a đến b và kí hiệu f x dx F b F a a Chú ý: + a, b được gọi là 2 cận của tích phân. b + a = b thì f x dx 0. a b a + a > b thì f x dx f x dx . a b b b + Tích phân khơng phụ thuộc và biến số, tức là f x dx f t dt F b F a . a a 2. Tính chất b c b + f x dx f x dx f x dx, a c b . a a c b b + kf x dx k f x dx, với k là hằng số khác 0. a a b b b + f x g x dx f x dx g x dx . a a a Chú ý: Để tính tích phân từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm rồi sau đĩ thay cận vào theo cơng thức b f x dx F b F a . a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 4 1 Câu 1: Xét tích phân A dx . Bằng cách đặt t tan x , tích phân A được biến 2 2 0 3sinx 2cos x 2 đổi thành tích phân nào sau đây. 1 1 1 1 1 1 1 1 A. dt . B. dt . C. dt . D. dt . 2 2 2 2 0 t 4 0 t 4 0 t 2 0 t 2 x 2 1 1 Câu 2: Đặt t tan thì I dx được biến đổi thành 2 f t dt . Hãy xác định f t : 2 6 x 0 cos 0 2 A. f t 1 2 t2 t 4 . B. f t 1 2 t2 t 4 . C. f t 1 t 2 . D. f t 1 t 2 . 1 a b b c Câu 3: Biết rằng 3e1 3x dx e 2 e c a , b , c . Tính T a . 0 5 3 2 3 A. T 6. B. T 9. C. T 10. D. T 5. 5 2x 2 1 Câu 4: Biết I dx 4 a ln 2 b ln 5 , với a, b là các số nguyên. Tính S a b. 1 x A. S 9. B. S 11. C. S 5. D. S 3. 4 a b Câu 5: Biết I xln 2 x 1 d x ln 3 c , trong đĩ a, b , c là các số nguyên dương và là phân 0 b c số tối giản. Tính S a b c. A. S 60. B. S 70. C. S 72. D. S 68. 1 2017 b b Câu 6: Giả sử tích phân x.ln 2 x 1 d x a ln 3 . Với phân số tối giản. Lúc đĩ 0 c c A. b c 6057. B. b c 6059. C. b c 6058. D. b c 6056. 6 2 3 4x4 x 2 3 2 Câu 7: Tính tích phân dx a 3 b c 4 . Với a , b , c là các số 4 1 x 1 8 nguyên. Khi đĩ biểu thức a b2 c 4 cĩ giá trị bằng A. 20 . B. 241. C. 196. D. 48 . 4 x Câu 8: Tích phân dx a b ln 2 , với a , b là các số thực. Tính 16a 8 b 0 1 cos 2x A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng e a e4 b e 2 c Câu 9: Cho biết tích phân I x 2 x2 ln x dx với a,, b c là các ước nguyên của 4. 1 4 Tổng a b c ? A. 2. B. 4. C. 3. D. 1 ln 2 e2x 1 1 a Câu 10: Tích phân dx e . Tính tích a. b . x 0 e b A. 1. B. 2. C. 6. D. 12. 3 sinx 3 3 2 Câu 11: Biết dx c d 3 với a,,, b c d là các số nguyên. Tính 6 3 a b 1 x x 3 a b c d . A. a b c d 28 . B. a b c d 16. C. a b c d 14. D. a b c d 22 . 2 3 Câu 12: Với các số nguyên a, b thỏa mãn 2x 1 ln x d x a ln b . Tính tổng P a b . 1 2 A. P 27 . B. P 28 . C. P 60 . D. P 61. 2 Câu 13: Biết ex 2 x e x dx a . e4 b . e 2 c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính S a b c 0 A. S 2 . B. S 4 . C. S 2 . D. S 4 b Câu 14: Cho hàm số f x asin 2 x b cos 2 x thỏa mãn f ' 2 và adx 3 . Tính tổng a b 2 a bằng: A. 3. B. 4. C. 5. D. 8. a sinx 2 Câu 15: Cĩ bao nhiêu giá trị của a trong đoạn ;2 thỏa mãn dx . 4 0 1 3cos x 3 A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . a 2 Câu 16: Cĩ bao nhiêu số a 0;20 sao cho sin5 x sin 2 xdx . 0 7 A. 20 . B. 19. C. 9 . D. 10. 6 1 Câu 17: Nếu sinn x cos x d x thì n bằng 0 64 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. n 1 1 Câu 18: Giá trị của lim dx bằng n x n 1 e A. 1. B. 1. C. e. D. 0. 1 sin x Câu 19: Cho các tích phân I dx và J dx với 0; , khẳng định sai 0 1 tan x 0 cosx sin x 4 là cos x A. I dx . B. I J ln sin c os . 0 cosx sin x C. I ln 1 tan . D. IJ . a b 2017 1 x 1 x Câu 20: Giả sử x 1 x d x C với a, b là các số nguyên dương. Tính a b 2a b bằng: A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2020 . 2 x2001 Câu 21: Tích phân I dx cĩ giá trị là 2 1002 1 (1 x ) 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2002.21001 2001.21001 2001.21002 2002.21002 b x e 2 Cho tích phân C dx trong đĩ a là nghiệm của phương trình 2x 1 2 , b là một số Câu 22: x a e 3 2 2 dương và b a . Gọi A x dx . Tìm chữ số hàng đơn vị của b sao cho CA 3 . 1 A. 3. B. 2. C. 4. D. 5 2 2 1 x2 a . b Câu 23: Biết tích phân dx trong đĩ a, b . Tính tổng a b ? x 2 1 2 8 2 A. 0. B. 1. C. 3. D. -1 ln 2 1 1 5 Câu 24: Biết rằng: x d x lna 2 b ln 2 c ln . Trong đĩ a,, b c là những số nguyên. x 0 2e 1 2 3 Khi đĩ S a b c bằng: A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 2x 1 .cos x a Câu 25: Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của dx ,, a b . Khi đĩ a. b bằng x 1 2 b 2 1 A. . B. 0. C. 2. D. 1 2 2 2x 1 .cos x Câu 26: Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của dx x 1 2 2 1 A. . B. 0. C. 2. D. 1. 2 1 1 Câu 27: Cho f( x ) dx 5 . Tính I f(1 x ) dx 0 0 1 A. 5. B. 10. C. . D. 5 5 1 5 3 5 Câu 28: Giả sử f x d x 3 và f z d z 9 . Tổng f t d t f t d t bằng 0 0 1 3 A. 12. B. 5. C. 6. D. 3. Câu 29: Cho f( x ), g ( x ) là các hàm số liên tục trên đoạn 2;6 và thỏa mãn 3 6 6 f() x dx 3; f () x dx 7; g () x dx 5 . Hãy tìm mệnh đề KHƠNG đúng. 2 3 3 6 3 A. [3g ( x ) f ( x )] dx 8 B. [3f ( x ) 4] dx 5 3 2 ln e6 lne6 C. [2f ( x ) 1] dx 16 D. [4f ( x ) 2 g ( x )] dx 16 2 3 x Câu 30: Cho hàm số f x 4 t3 8 t dt . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất 1 của hàm số f x trên đoạn 0;6. Tính M m . A. 18 B. 12 C. 16 D. 9 3 Câu 31: Nếu f 0 1, f' x liên tục và f' x dx 9 thì giá trị của f 3 là: 0 A. 3. B. 9. C. 10. D. 5. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 32: Cho f x và g x là hai hàm số liên tục trên  1,1 và f x là hàm số chẵn, g x là 1 1 hàm số lẻ. Biết f x dx 5 và g x dx 7 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 0 1 1 A. f x dx 10. B. g x dx 14. 1 1 1 1 C. f x g x dx 10 . D. f x g x dx 10 . 1 1 6 3 Câu 33: Cho tích phân f x dx 20 . Tính tích phân I f 2 x dx . 0 0 A. I 40 . B. I 10 . C. I 20 . D. I 5 . 6 4 Câu 34: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn f x dx 10 và f x dx 6 . Tính 0 2 2 6 giá trị của biểu thức P f x dx f x dx . 0 4 A. P 4 .` B. P 16. C. P 8 . D. P 10. 2 2 Câu 35: Cho tích phân I cos x . f sin x dx 8 . Tính tích phân K sin x . f cos x dx . 0 0 A. K 8 . B. K 4. C. K 8 . D. K 16 . 1 1 Câu 36: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0; 1] và cĩ 3 2f x dx 5. Tính f x dx . 0 0 A. 1. B. 2. C. 1. D. 2 . 1 1 Câu 37: Cho hai hàm số f x và g x liên tục trên đoạn [0; 1], cĩ f x dx 4 và g x dx 2 0 0 . Tính tích phân I f x 3 g x dx . A. 10 . B. 10. C. 2. D. 2 . Câu 38: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm là f' x liên tục trên đoạn [0; 1] và f 1 2 . Biết 1 1 f x dx 1, tính tích phân I x.' f x dx . 0 0 A. I 1. B. I 1. C. I 3 . D. I 3 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 5 2 Câu 39: Cho biết f( x ) dx 15 . Tính giá trị của P [ f (5 3 x ) 7]dx 1 0 A. P 15 B. P 37 C. P 27 D. P 19 2 Câu 40: Cho y f x là hàm số chẵn, cĩ đạo hàm trên đoạn  6;6 . Biết rằng f x d x 8 và 1 3 6 f 2 x d x 3 . Tính I f x d x 1 1 A. I 11. B. I 5. C. I 2. D. I 14. 3 Câu 41: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa: f x 3 g x d x 10 . 1 3 3 2f x g x d x 6 . Tính f x g x d x . 1 1 A. 8. B. 9. C. 6. D. 7. 1 Câu 42: Cho hàm số f x ln x x2 1 . Tính tích phân I f' x dx . 0 A. I ln 2 . B. I ln 1 2 . C. I ln 2 D. I 2ln 2 Câu 43: Cho hàm số f x cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f 1 e2 , ln3 f' x dx 9 e2 . Tính I f ln 3 . 1 A. I 9 2 e2 . B. I 9 . C. I 9 . D. I 2 e2 9 . Câu 44: Cho hai hàm số y f x và y g x cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 1 1 1 / f' x . g x dx 1, f x . g ' x dx 1. Tính I f x . g x dx . 0 0 0 A. I 2 . B. I 0 . C. I 3 . D. I 2 . 1 Câu 45: Cho hàm số y f x liên tục trên R, thỏa mãn f x dx 1. Tính 0 4 I tan2 1 . f tan x dx . 0 A. I 1. B. I 1. C. I . D. I . 4 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1 Câu 46: Cho hàm số y f x liên tục và thỏa mãn f x 2 f 3 x với x ;2 . Tính x 2 2 f x dx . 1 x 2 9 3 9 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 47: Cho hàm số y f x liên tục trên R và thỏa mãn f x f x 2 2cos 2 x . Tính 2 I f x dx . 2 A. I 1. B. I 1. C. I 2 . D. I 2 . Câu 48: Biết hàm số y f x là hàm số chẵn trên đoạn ; và 2 2 2 2 f x f x sin x cos x . Tính I f x dx . 2 0 1 A. I 0 . B. I 1. C. I . D. I 1. 2 Câu 49: Cho hàm số y f x liên tục trên R, thỏa mãn f x 2018 f x ex . Tính 1 I f x dx . 1 e2 1 e2 1 e2 1 A. I . B. I . C. I 0 . D. I . 2019e 2018e e 1 Câu 50: Cho hàm số f x thỏa mãn x 1 f ' x dx 10 và 2f 1 f 0 2 . Tính 0 1 I f x dx . 0 A. I 8 . B. I 8 . C. I 4 . D. I 4 . 1 x Câu 51: Cho hàm số f x thỏa f 0 f 1 1. Biết e f x f' x dx ae b . Tính biểu 0 thức Q a2018 b 2018 . A. Q 8 . B. Q 6 . C. Q 4. D. Q 2. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x2 Câu 52: Cho hàm số f x liên tục trên 0; và thỏa f t dt x.cos x . Tính f 4 . 0 2 3 1 A. f 4 123. B. f 4 . C. f 4 . D. f 4 . 3 4 4 f x Câu 53: Cho hàm số f x thỏa mãn t2. dt x .cos x . Tính f 4 . 0 1 A. f 4 2 3 . B. f 4 1. C. f 4 . D. f 4 3 12 . 2 Câu 54: Cho hàm số f x cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f x 0 khi x 1,2. 2 2 f' x Biết f' x dx 10 và dx ln 2 . Tính f 2 . 1 1 f x A. f 2 10. B. f 2 20 . C. f 2 10 . D. f 2 20. Câu 55: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn  1;1, thỏa mãn f x 0 x R và f' x 2 f x 0 . Biết f 1 1, tính f 1 . A. f 1 e 2 . B. f 1 e3 . C. f 1 e4 . D. f 1 3 . Câu 56: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm liên tục trên R, nhận giá trị dương trên khoảng 0; và thỏa f 1 1, f x f' x 3 x 1 . Mệnh đề nào đúng? A. 1 f 5 2 . B. 4 f 5 5. C. 2 f 5 3. D. 3 f 5 4 . Câu 57: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm liên tục trên R và f x 0 khi x [0; a] ( a 0 ). Biết a dx f x . f a x 1, tính tích phân I . 0 1 f x a a a A. I . B. I 2 a . C. I . D. I . 2 3 4 x Câu 58: Cho hàm số G x t.cos x t . dt . Tính G ' . 0 2 A. G ' 1. B. G ' 1. C. G ' 0. D. G ' 2 . 2 2 2 2 x2 Câu 59: Cho hàm số G x cos t . dt ( x 0 ). Tính G' x . 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A. G' x x2 .cos x . B. G' x 2 x .cos x . C. G' x cos x . D. G' x cos x 1 . x Câu 60: Tìm giá trị lớn nhất của G x t2 t dt trên đoạn  1;1. 1 1 5 5 A. . B. 2 . C. . D. . 6 6 6 x Câu 61: Cho hàm số G x 1 t2 dt . Tính G' x . 1 x 1 A. . B. 1 x2 . C. . D. x2 1 x 2 1 . 1 x2 1 x2 x Câu 62: Cho hàm số F x sin t2 . dt ( x 0 ). Tính F' x . 1 sin x 2sin x A. sin x . B. . C. . D. sin x . 2 x x x Câu 63: Tính đạo hàm của f x , biết f x thỏa t. ef t dt e f x . 0 1 1 A. f' x x . B. f' x x2 1. C. f' x . D. f' x . x 1 x 2 Câu 64: Cho y f x là hàm số chẵn, cĩ đạo hàm trên đoạn  6;6 . Biết rằng f x d x 8 và 1 3 6 f 2 x d x 3. Tính f x d x . 1 1 A. I 11. B. I 5 . C. I 2 . D. I 14 . a 1 Câu 65: Cho hàm số f(). x b xe x . Biết rằng f '(0) 22 và f( x ) dx 5 . Khi đĩ tổng 3 (x 1) 0 a b bằng? 146 26 26 146 A. . B. . C. . D. . 13 11 11 13 3 Câu 66: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa: f x 3 g x d x 10 . 1 3 3 2f x g x d x 6 . Tính f x g x d x . 1 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A. 8. B. 9. C. 6. D. 7. 2 Câu 67: Cho I cosn xdx , n , n 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? n 0 n 1 n 2 n 1 A. II . B. II . C. II . D. II 2 nn n 1 nn n 2 nn n 2 n n 2 1 1 1 Câu 68: Rút gọn biểu thức: T C0 C 1 C 2 Cn , n * . n2 n 3 nn 1 n 2n 2n 1 2n 1 1 A. T . B. T 2n 1 . C. T . D. T n 1 n 1 n 1 a 3 2 Câu 69: Nếu a là một số thỏa mãn các điều kiện sau: a ; và cos x a dx sin a thì: 2 2 0 A. a . B. a . C. a 2 . D. a 2 . e k Câu 70: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện lndx e 2 . Khi đĩ: 1 x A. S 1 . B. S 2 . C. S 1,2 D. S  . 3 5 4 3 4 Câu 71: Biết f x dx và f t dt . Tính f u du . 0 3 0 5 3 8 14 17 16 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 1 x2 1 x2 Câu 72: Biết dx a . Tính giá trị của I dx . x x 0 1 e 0 1 e 1 1 A. I a. B. I 1 a . C. I a. D. I 1 a . 2 3 2 Câu 73: Đặt I sinn xdx . Khi đĩ: n 0 A. IIn 1 n. B. IIn 1 n . C. IIn 1 n. D. IIn 1 n . 1 1 n n Câu 74: Cho I x21 x 2 dx và J x1 x2 dx . Xét các câu: n n 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 (1) I với mọi n. n 2 n 1 1 (2) J với mọi n. n 2 n 1 1 (3) IJ với mọi n. n n 2 n 1 A. (1) đúng. B. (1) và (2) đúng. C. Tất cả đều sai. D. cả (1) và (3) đúng. 1 dx Câu 75: Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất, thỏa mãn 0 . 0 2x k A. k 3. B. k 4 . C. k 1. D. k 2 . Câu 76: Cho f x , g x là các hàm liên tục trên [a; b]. b b b (1) Với mọi số thực y, ta cĩ: y2 f 2 x dx 2 y f x . g x dx g 2 x dx 0 . a a a 2 b b b (2) f x g x dx 2 f 2 x dx 2 g 2 x dx . a a a Trong hai khẳng định trên: A. Chỉ cĩ (1) đúng. B. Chỉ cĩ (2) đúng. C. Cả hai khẳng định đều đúng. D. Cả hai khẳng định đều sai. Câu 77: Cho f x , g x là các hàm liên tục trên [a; b]. g x f x 0,  x  a ; b và m M,;  x  a b. f x Căn cứ vào giả thiết đĩ, một học sinh lập luận: (1) Ta cĩ bất đẳng thức g x g x 2 0 m M . f x ,  x  a ; b . * f x f x (2) Biến đổi, (*) trở thành 0 gx2 () Mmfxgx Mmfx (), 2  x  ab ;. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng b b b (3) suy ra g2 x dx M mx f 2 x dx M m f x g x dx . a a a Lập luận trên: A. Đúng hồn tồn. B. Sai từ (1). C. Sai từ (2). D. Sai từ (3). Câu 78: Cho hai hàm f x , g x cùng đồng biến và liên tục trên [a; b]. Với a b . Khi đĩ, xét khẳng định sau đây: b b b (1) x  a; b . Ta cĩ: f a dx f x dx f b dx . a a a b (2) f x dx f b . a 1 b (3) Tồn tại x a; b sao cho f x f x dx . 0   0 b a a Các khẳng định đúng trong 3 khẳng định trên là: A. Chỉ (1) và (2). B. Chỉ (2) và (3). C. Chỉ (1) và (3). D. Cả (1), (2) và (3). f x khi f x g x Câu 79: Ta định nghĩa: max f x , g x . g x khi g x f x Cho f x x2 và g x 3 x 2 . 2 Như thế max f ( x ), g ( x ) dx bằng: 0 2 1 2 2 A. x2 dx . B. x2 dx 3 x 2 dx .C. 3x 2 dx . D. 15. 0 0 1 0 cos2 x cos2 x Câu 80: Biết dx m . Tính giá trị của I dx . x x 1 3 1 3 A. m. B. m. C. m. D. m. 4 4 1 dx Câu 81: Cho I , với m > 0. Tìm các giá trị của tham số m để I 1. 0 2x m 1 1 1 1 A. 0 m . B. m . C. m . D. m 0. 4 4 8 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng m Câu 82: Cho m là một số dương và I 4x ln 4 2 x ln 2 dx . Tìm m khi I 12 . 0 A. m 4 . B. m 3 . C. m 1. D. m 2 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C – HƯỚNG DẪN GIẢI 4 1 Câu 1: Xét tích phân A dx . Bằng cách đặt t tan x , tích phân A được biến 2 2 0 3sinx 2cos x 2 đổi thành tích phân nào sau đây. 1 1 1 1 1 1 1 1 A. dt . B. dt . C. dt . D. dt . 2 2 2 2 0 t 4 0 t 4 0 t 2 0 t 2 Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 2 Ta cĩ: 3sinx 2cos x 2 cos x 3tan x 2 2 cos x 2 2 2 2 2 cosx 3tan x 2 2 1 tan x cos x tan x 4 4 1 Vậy: A dx , lúc này đặt t tan x và đổi cận ta đc: 2 2 0 cosx tan x 4 1 dt A dx . 2 0 t 4 Chọn A. x 2 1 1 Câu 2: Đặt t tan thì I dx được biến đổi thành 2 f t dt . Hãy xác định f t : 2 6 x 0 cos 0 2 A. f t 1 2 t2 t 4 . B. f t 1 2 t2 t 4 . C. f t 1 t 2 . D. f t 1 t 2 . Hướng dẫn giải: 2 2 2 1 1 2 x 1 I . dx 1 tan . dx 2x 2 x 2 2 x 0 cos cos 0 cos 2 2 2 1 1 dt . dx 2 2 x x cos Đặt t tan 2 2 x 0 t 0; x t 1 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1 2 Vậy: I 1 t2 .2 dt 2 1 2 t 2 t 4 dt f t 1 2 t 2 t 4 0 0 Chọn B. 1 a b b c Câu 3: Biết rằng 3e1 3x dx e 2 e c a , b , c . Tính T a . 0 5 3 2 3 A. T 6. B. T 9. C. T 10. D. T 5. Hướng dẫn giải Chọn C. Đặt t 1 3 x t2 1 3 x 2 tdt 3 dx Đổi cận: + x 0 t 1 + x 1 t 2 1 22 2 2 2 3e1 3x dx 2 te t dt 2 te t e t dt 2 te t e t 2 2 e 2 e e 2 e 2 e 2 . 0 1 1 1 1 1 a 10 T 10 nên câu C đúng. b c 0 5 2x 2 1 Câu 4: Biết I dx 4 a ln 2 b ln 5 , với a, b là các số nguyên. Tính S a b. 1 x A. S 9. B. S 11. C. S 5. D. S 3. Hướng dẫn giải Chọn B. 52x 2 1 2 2 x 2 1 5 2 x 2 1 Ta cĩ: I d x d x d x 1x 1 x 2 x 2 5 2 2 x 1 2 x 2 1 25 2x 5 2 x 3 dx dx dx dx 1 2 1x 2 x x x 2 5 5 3 2 5 x dx 2 dx 5ln x x 2 x 3ln x 1 x 2 x 1 2 a 8 8ln 2 3ln 5 4 a b 11. b 3 4 a b Câu 5: Biết I xln 2 x 1 d x ln 3 c , trong đĩ a, b , c là các số nguyên dương và là phân 0 b c số tối giản. Tính S a b c. A. S 60. B. S 70. C. S 72. D. S 68. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn B. 2 du d x 4 u ln 2 x 1 2x 1 Ta cĩ I xln 2 x 1 d x . Đặt dv x d x x2 0 v 2 4 4x2 ln 2 x 1 4 x2 I xln 2 x 1 dx dx 2 2x 1 00 0 4 4 x1 1 x2 1 1 63 8ln 9 dx 16ln 3 x ln 2 x 1 ln 3 3 2 4 4 2x 1 4 4 8 4 0 0 a 63 a 63 ln 3 c ln 3 3 b 4 S 70 . b 4 c 3 1 2017 b b Câu 6: Giả sử tích phân x.ln 2 x 1 d x a ln 3 . Với phân số tối giản. Lúc đĩ 0 c c A. b c 6057. B. b c 6059. C. b c 6058. D. b c 6056. Hướng dẫn giải Chọn B. 1 1 Ta cĩ I x.ln 2 x 1 2017 d x 2017 x .ln 2 x 1 d x . 0 0 2 du d x u ln 2 x 1 2x 1 Đặt dv x d x x2 1 v 2 8 1 1 x21 1 x 2 1 2 Do đĩ x.ln21dln21 x x x d x 2 8 2 8 2x 1 0 0 0 1 3 x2 x 3 ln 3 ln 3 8 4 8 0 1 2017 3 6051 I x.ln 2 x 1 d x 2017 ln 3 ln 3. 0 8 8 Khi đĩ b c 6059. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 6 2 3 4x4 x 2 3 2 Câu 7: Tính tích phân dx a 3 b c 4 . Với a , b , c là các số 4 1 x 1 8 nguyên. Khi đĩ biểu thức a b2 c 4 cĩ giá trị bằng A. 20 . B. 241. C. 196. D. 48 . Hướng dẫn giải Chọn B. 6 2 6 2 6 2 6 2 2 4x4 x 2 3 2 x 2 1 2 2 x 2 1 Ta cĩ dx 4 d x 4 d x d x I J . 4 4 4 1x 1 1 x 1 1 1 x 1 6 2 2 6 2 Tính I 4 d x 4 x 2 2 6 2 2 4 . 1 1 6 2 6 21 6 2 1 22 21 2 1 x 1 x2 x 2 Tính J 4 d x d x 2 d x . x 1 2 1 1 1x 1 1 2 x 2 x x x 1 t 0 1 1 Đặt t x dt 1 2 d x . Khi 6 2 . x x x t 2 2 2 t 0 u 0 dt 2 Khi đĩ J 2 . Đặt t 2tan u d t 21tan u d u . Khi . 2 t 2 u 0 t 2 4 2 42 1 tan u 2 4 24 2 Suy ra J du du u . 2 1 tan 2 u 2 2 8 0 0 0 6 2 2 4x4 x 2 3 2 a b 16 Vậy dx 16 3 16 4 . 4 1 x 1 8 c 1 Vậy a b2 c 4 241. 4 x Câu 8: Tích phân dx a b ln 2 , với a , b là các số thực. Tính 16a 8 b 0 1 cos 2x A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn A u x du d x Đặt dx 1 . Ta cĩ dv v tan x 1 cos 2x 2 1 1 1 1 1 1 1 1 I xtan x4 4 tan x d x ln cos x 4 ln ln 2 a , b 2 2 0 8 2 8 22 8 4 8 4 0 0 Do đĩ, 16a 8 b 4 . e a e4 b e 2 c Câu 9: Cho biết tích phân I x 2 x2 ln x dx với a,, b c là các ước nguyên của 4. 1 4 Tổng a b c ? A. 2. B. 4. C. 3. D. 1 Hướng dẫn giải e e e I x 2 x2 ln x dx 2 x 3 dx x ln xdx . 1 1 1 e 1e 1 2 x3 dx x 4 e 4 1 1 21 2 e e 2 1 2e 2 1 1 2 1 2 e e 1 Ta cĩ xxdxln xx ln xdx e x 1 1 12 1 x 2 2 4 e 1e2 1 2e 4 e 2 1 I x 2 x2 ln x dx e 4 1 2 4 4 1 Chọn A. ln 2 e2x 1 1 a Câu 10: Tích phân dx e . Tính tích a. b . x 0 e b A. 1. B. 2. C. 6. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn B. ln 2e2x 1 1 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 dx ex 1 d x e x d x e x 1 d x 1 e x d x x 0e 0 0 0 0 ln2 x 1 x ln 2 1 1 e e 2 e e 1 e a 1, b 2 ab 2 . 0 0 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 3 sinx 3 3 2 Câu 11: Biết dx c d 3 với a,,, b c d là các số nguyên. Tính 6 3 a b 1 x x 3 a b c d . A. a b c d 28 . B. a b c d 16. C. a b c d 14. D. a b c d 22 . Hướng dẫn giải Chọn A. 6 3 3sin x 3 1 x x sin x 3 I dx dx 1 x6 x 3 sin xdx . 6 3 6 6 1 x x 1 x x 3 3 3 x t 3 3 Đặt t x dt dx . Đổi cận . x t 3 3 3 3 3 I 1 t6 t 3 sin t dt 1 t 6 t 3 sin tdt 1 x 6 x 3 sin xdx 3 3 3 3 3 Suy ra 2I 2 x3 sin x dx I x 3 sin xdx . 3 3 x3 (+) sin x 3x2 (–) cos x 6x (+) sin x 6 (–) cos x 0 sin x 3 2 3 2 3 3 I xsin x 3 x cos x 6 x sin x 6sin x 2 6 3 3 27 3 Suy ra: a 27, b 3, c 2, d 6 . Vậy a b c d 28 . 2 3 Câu 12: Với các số nguyên a, b thỏa mãn 2x 1 ln x d x a ln b . Tính tổng P a b . 1 2 A. P 27 . B. P 28 . C. P 60 . D. P 61. Hướng dẫn giải Chọn C. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 u ln x du d x Đặt ta cĩ x dv 2 x 1 d x 2 v x x 2 2 2 2 2 1 2x 1 ln x d x x x ln x1 x x . d x x 1 1 2 x2 3 3 6ln 2 x 1 d x 6ln 2 x 2 6ln 2 4 4 ln 64 1 1 2 2 2 P a b 4 64 60 . 2 Câu 13: Biết ex 2 x e x dx a . e4 b . e 2 c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính S a b c 0 A. S 2 . B. S 4 . C. S 2 . D. S 4 Hướng dẫn giải 2 2 2 2e2x 2 e x 1 2 Ta cĩ I ex 2 x e x dx e2 x dx 2 x . e x dx 2 xe x dx 2 xe x dx 0 0 020 0 2 2 0 2 4 2 u x du dx e 1 x x I 2 x . e 2 e dx dv ex dx v e x 2 2 0 Đặt 0 e412 2 e 4 3 2x . e2 2 ex 2 e 2 2 20 0 2 2 1 3 a ; c 2 2 S a b c 4 b 2 Chọn D. b Câu 14: Cho hàm số f x asin 2 x b cos 2 x thỏa mãn f ' 2 và adx 3 . Tính tổng a b 2 a bằng: A. 3. B. 4. C. 5. D. 8. Hướng dẫn giải Chọn C. f' x 2cos2 a x 2sin2 b x f' 2 2 a 2 a 1 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng b b adx dx 3 b 1 3 b 4 a 1 Vậy a b 1 4 5. a sinx 2 Câu 15: Cĩ bao nhiêu giá trị của a trong đoạn ;2 thỏa mãn dx . 4 0 1 3cos x 3 A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt t 1 3cos x t2 1 3cos x 2 t d t 3sin x d x . Đổi cận: + Với x 0 t 2 + Với x a t 1 3cos a A . Khi đĩ a sinx 2 2 22 2 2 dx d t t 2 A A 113cos1cos0 a a 0 1 3cos x A 3 3A 3 3 1 3 k 0 a k k . Do a ;2 k 2 k . 2 4 4 2 4 2 k 1 Bình luận: Khi cho a thì tích phân khơng xác định vì mẫu thức khơng xác định 2 (trong căn bị âm). Vậy đáp án phải là B, nghĩa là chỉ chấp nhận a . 2 a 2 Câu 16: Cĩ bao nhiêu số a 0;20 sao cho sin5 x sin 2 xdx . 0 7 A. 20 . B. 19. C. 9 . D. 10. Hướng dẫn giải Chọn D a a a 2 2 2 Ta cĩ sin5x sin2 xdx 2sin 6 x cos xdx 2sin 6 xd sin x sin 7 xa sin 7 a . 0 0 0 0 7 7 7 Do đĩ sin7 a 1 sin a 1 a k 2 . Vì a 0;20 nên 2 1 0 k 2 20 k 10 và k nên cĩ 10 giá trị của k 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 6 1 Câu 17: Nếu sinn x cos x d x thì n bằng 0 64 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn A. 1 Đặt t sin x d t cos x d x . Đổi cận: khi x 0 t 0; x t 6 2 1 1 n 1 2 n 1 2 n t 1 1 1 Khi đĩ: I td t . . 0 n 10 n 1 2 64 n 1 1 n 1 Suy ra cĩ nghiệm duy nhất n 3 (tính đơn điệu). 2 64 n 1 1 Câu 18: Giá trị của lim dx bằng n x n 1 e A. 1. B. 1. C. e. D. 0. Hướng dẫn giải Chọn D. n 1 1 Ta cĩ: I d x x n 1 e Đặt t 1 ex d t e x d x . Đổi cận: Khi x n t 1 en ; x n 1 t 1 e n 1 1 en 1 1 e n 1 n 1 1 1 1 en 1 1 e Khi đĩ: I d t d t ln t 1 ln t 1 ln 1 en n 1 1 ent t 1 1 e n t 1 t 1 e n 1 n 1 1 e e 1 1 Mà n 1 n khi n , Do đĩ, limI 1 ln 0 1 e 1 e n e e e 1 sin x Câu 19: Cho các tích phân I dx và J dx với 0; , khẳng định sai 0 1 tan x 0 cosx sin x 4 là cos x A. I dx . B. I J ln sin c os . 0 cosx sin x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C. I ln 1 tan . D. IJ . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 cos Ta cĩ nên A đúng. sin 1 tan 1 cos sin cos cosx sin x d cos x sin x I J dx ln cos x sin x ln cos sin B đúng 0 0cosx sin x 0 cos x sin x I J dx x D đúng. 0 0 a b 2017 1 x 1 x Câu 20: Giả sử x 1 x d x C với a, b là các số nguyên dương. Tính a b 2a b bằng: A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2020 . Hướng dẫn giải Ta cĩ: 2018 2019 2017 2017 2017 2018 1 x 1 x x 1 x d x x 1 1 1 x d x 1 x 1 x d x C 2018 2019 Vậy a 2019, b 2018 2 a b 2020 . Chọn D. 2 x2001 Câu 21: Tích phân I dx cĩ giá trị là 2 1002 1 (1 x ) 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2002.21001 2001.21001 2001.21002 2002.21002 Hướng dẫn giải 2x2004 2 1 1 2 I dx dx . Đặt t 1 dt dx . 3 2 1002 1002 2 3 1x(1 x ) 1 3 1 x x x 2 1 x b x e 2 Cho tích phân C dx trong đĩ a là nghiệm của phương trình 2x 1 2 , b là một số Câu 22: x a e 3 2 2 dương và b a . Gọi A x dx . Tìm chữ số hàng đơn vị của b sao cho CA 3 . 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A. 3. B. 2. C. 4. D. 5 Hướng dẫn giải 2 Giải phương trình 2x 1 2 x 0 a 0 Tính tích phân C. Đặt:t ex 3 t2 e x 3 2tdt ex dx eb 3 eb 3 2t eb 3 C dt = 2dt 2 t 2 eb 3 4 t 2 2 2 7 Tính tích phân A ta cĩ A 3 Theo giả thiết 7 11 109 109 C 3 A 2 eb 3 4 3. e b 3 e b b ln 3,305053521 3 2 4 4 Chọn A. 2 2 1 x2 a . b Câu 23: Biết tích phân dx trong đĩ a, b . Tính tổng a b ? x 2 1 2 8 2 A. 0. B. 1. C. 3. D. -1 Hướng dẫn giải 2 2 2 21 x2 0 1 x 2 2 1 x 2 2 I dx dx dx 1 x2 dx x x x 21 2 2 1 20 1 2 0 2 2 2 Đặt x sin t I . 8 Chọn C. ln 2 1 1 5 Câu 24: Biết rằng: x d x lna 2 b ln 2 c ln . Trong đĩ a,, b c là những số nguyên. x 0 2e 1 2 3 Khi đĩ S a b c bằng: A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn C. ln 2 1 ln 2 ln2 1 x d x x d x d x . x x 0 2e 1 0 0 2 e 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng ln 2 ln 2 x2ln 2 2 Tính xd x 0 20 2 ln 2 1 Tính dx x 0 2e 1 dt Đặt t 2 ex 1 d t 2 e x d x d x . Đổi cận: x ln 2 t 5, x 0 t 3. t 1 ln 2 5 5 1 dt 1 1 5 5 dx d t ln t 1ln t ln4ln5ln2ln3ln2ln x 3 02e 1 3 t t 1 3 t 1 t 3 . ln 2 1 1 5 x d x ln2ln2ln2 a 2, b 1, c 1 x 0 2e 1 2 3 Vậy a b c 4 . 2 2x 1 .cos x a Câu 25: Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của dx ,, a b . Khi đĩ a. b bằng x 1 2 b 2 1 A. . B. 0. C. 2. D. 1 2 Hướng dẫn giải 22x 1 cosx 2 2 x cosx 2 2 x cos x Ta cĩ: dx dx dx 1 x x x 1 2 1 2 .2 1 2 .2 0 0 2 Đặt x t ta cĩ x 0 thì t 0, x thì t và dx dt 2 2 22x cosx 22 t cos t 2 cos t 2 cos x dx d t dt dx x t t x 0 12.2 0 12.2 0 12.2 0 12.2 Thay vào (1) cĩ x 1 x x 22 cosx 2 2 cosx 2 cos x 2 1 2 cos x 2 cos x sin x 2 1 dx dx dx dx dx x x x x 1 212.2 12.2 12.2 2 20 2 0 0 0 0 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 2x 1 cosx 1 Vậy dx x 1 2 2 2 Chọn C. 2 2x 1 .cos x Câu 26: Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của dx x 1 2 2 1 A. . B. 0. C. 2. D. 1. 2 Hướng dẫn giải Chọn A. 22x 1 cosx 2 2 x cos x 2 2 x cos x Ta cĩ: dx d x d x 1 x x x 1 2 1 2 .2 1 2 .2 0 0 2 Đặt x t ta cĩ x 0 thì t 0, x thì t và dx d t 2 2 22x cosx 22 t cos t 2 cos t 2 cos x dx d t d t d x x t t x 0 12.2 0 12.2 0 12.2 0 12.2 Thay vào (1) cĩ 22x 1 cosx 2 2 x cos x 2 cos x dx d x dx x x x 1 2 1 2 .2 1 2 .2 0 0 2 x 2 1 2 cos x 2 cosx sin x 2 1 dx d x x 0 1 2 .2 0 2 20 2 2 2x 1 cosx 1 Vậy dx x 1 2 2 2 1 1 Câu 27: Cho f( x ) dx 5 . Tính I f(1 x ) dx 0 0 1 A. 5. B. 10. C. . D. 5 5 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Hướng dẫn giải x 0 t 1 Đặt t 1 x dt dx , x 1 t 0 0 I f( t ) dt 5 1 Chọn A. 1 5 3 5 Câu 28: Giả sử f x d x 3 và f z d z 9 . Tổng f t d t f t d t bằng 0 0 1 3 A. 12. B. 5. C. 6. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn C. 1 1 5 5 Ta cĩ f x d x 3 f t d t 3 ; f z d z 9 f t d t 9 0 0 0 0 5 1 3 5 3 5 9 ftt d ftt d ftt d ftt d 3 ftt d ftt d 0 0 1 3 1 3 3 5 f t d t f t d t 6. 1 3 Câu 29: Cho f( x ), g ( x ) là các hàm số liên tục trên đoạn 2;6 và thỏa mãn 3 6 6 f() x dx 3; f () x dx 7; g () x dx 5 . Hãy tìm mệnh đề KHƠNG đúng. 2 3 3 6 3 A. [3g ( x ) f ( x )] dx 8 B. [3f ( x ) 4] dx 5 3 2 ln e6 lne6 C. [2f ( x ) 1] dx 16 D. [4f ( x ) 2 g ( x )] dx 16 2 3 Hướng dẫn giải 3 6 6 f( x ) dx f ( x ) dx f( x ) dx 10 2 3 2 6 6 6 Ta cĩ: [3g ( x ) f ( x )] dx 3 g ( x ) dx f ( x ) dx 15 7 8 nên A đúng 3 3 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 3 3 3 [3f ( x ) 4] dx 3 f( x ) dx 4 dx 9 4 5 nên B đúng 2 2 2 lne6 6 6 6 [2()1]fx dx [2()1] fx dx 2f() xdx 1 dx 20416 nên C đúng 2 2 2 2 lne6 6 6 6 [4()2()]fx gxdx [4()2()] fx gxdx 4f() xdx 2 gxdx () 281018 3 3 3 3 Nên D sai Chọn D. x Câu 30: Cho hàm số f x 4 t3 8 t dt . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất 1 của hàm số f x trên đoạn 0;6. Tính M m . A. 18 B. 12 C. 16 D. 9 Hướng dẫn giải x x f x 4 t3 8 t dt t 4 4 t 2 x 2 4 x 3 , với x 0 . 1 1 f x 2 x 4; f x 0 x 2  1;6 . f 0 3; f 2 1; f 6 15 . Suy ra M 15, m 1. Suy ra M m 16 . Chọn C. 3 Câu 31: Nếu f 0 1, f' x liên tục và f' x dx 9 thì giá trị của f 3 là: 0 A. 3. B. 9. C. 10. D. 5. Hướng dẫn giải 3 3 Ta cĩ: f' x dx f x f 3 f 0 9 f 3 1 9 f 3 10 0 0 Chọn C Câu 32: Cho f x và g x là hai hàm số liên tục trên  1,1 và f x là hàm số chẵn, g x là 1 1 hàm số lẻ. Biết f x dx 5 và g x dx 7 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1 A. f x dx 10. B. g x dx 14. 1 1 1 1 C. f x g x dx 10 . D. f x g x dx 10 . 1 1 Hướng dẫn giải Nhớ 2 tích chất sau để làm trắc nghiệm nhanh: a a 1. Nếu hàm f x CHẴN thì f x dx 2 f x dx 2. Nếu hàm f x LẺ thì a 0 a f x dx 0 a Nếu chứng minh thì như sau: 1 0 1 Đặt A fxdx fxdx fxdx 1  1 0 A1 A2 0 A f x dx . Đặt t x dt dx 1 1 Đổi cận: 0 1 1 A f t. dt f t dt f x dx (Do tích phân xác định khơng phụ thuộc 1 1 0 0 1 vào biến số tích phân) f x dx (Do f x là hàm chẵn f x f x ) 0 1 1 1 Vậy A f x dx f x dx f x dx 10 (1) 1 0 0 1 0 1 Đặt B gxdx gxdx gxdx 1  1 0 B1 B2 0 B g x dx . Đặt t x dt dx 1 1 Đổi cận: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 0 1 1 B g t. dt g t dt g x dx (Do tích phân xác định khơng phụ thuộc 1 1 0 0 1 vào biến số tích phân) g x dx (Do f x là hàm chẵn g x g x ) 0 1 1 1 Vậy B g x dx g x dx g x dx 0 (2) 1 0 0 Từ (1) và (2) Chọn B 6 3 Câu 33: Cho tích phân f x dx 20 . Tính tích phân I f 2 x dx . 0 0 A. I 40 . B. I 10 . C. I 20 . D. I 5 . Hướng dẫn giải 3 I f 2 x dx Đ ặt t 2 x dt 2 dx Đổi cận: 0 16 1 6 I f t dt f x dx (Do tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích 20 2 0 phân ) 1 .20 10 2 Chọn B 6 4 Câu 34: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn f x dx 10 và f x dx 6 . Tính 0 2 2 6 giá trị của biểu thức P f x dx f x dx . 0 4 A. P 4 .` B. P 16. C. P 8 . D. P 10. Hướng dẫn giải 2 6 6 2 6 Ta cĩ: P fxdx fxdx fxdx fxdx fxdx 0 4 0 6 4 6 4 2 6 6 2 fxdx fxdx fxdx fxdx fxdx fxdx 10 6 4 0 6 4 4 0 4 Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 2 Câu 35: Cho tích phân I cos x . f sin x dx 8 . Tính tích phân K sin x . f cos x dx . 0 0 A. K 8 . B. K 4. C. K 8 . D. K 16 . Hướng dẫn giải 2 I cos x . f sin x dx Đặt t x dt dx Đổi cận: 0 2 0 2 2 I cos t . f sin t . dt sin t . f cos x . dt sin x . f cos x . dt (Tích 2 2 0 0 2 phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân) K KI 8 Chọn C 1 1 Câu 36: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0; 1] và cĩ 3 2f x dx 5. Tính f x dx . 0 0 A. 1. B. 2. C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải 1 1 1 1 1 Ta cĩ: 3 2f x dx 5 3dx 2 f x dx 5 3 x 2 f x dx 5 0 0 0 0 0 1 1 2 f x dx 5 3 2 f x dx 1 0 0 Chọn A 1 1 Câu 37: Cho hai hàm số f x và g x liên tục trên đoạn [0; 1], cĩ f x dx 4 và g x dx 2 0 0 . Tính tích phân I f x 3 g x dx . A. 10 . B. 10. C. 2. D. 2 . Hướng dẫn giải 1 1 1 I f x 3 g x dx f x dx 3 g x dx 4 3 2 10 0 0 0 Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 38: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm là f' x liên tục trên đoạn [0; 1] và f 1 2 . Biết 1 1 f x dx 1, tính tích phân I x.' f x dx . 0 0 A. I 1. B. I 1. C. I 3 . D. I 3 . Hướng dẫn giải 1 Ta cĩ: I x.' f x dx 0 Đặt u x du dx , dv f' x dx Chọn v f' x dx f x 1 1 1 I x. f x f x dx 1. f 1 0. f 0 f x dx 2 1 1 0 0 0 Chọn A 5 2 Câu 39: Cho biết f( x ) dx 15 . Tính giá trị của P [ f (5 3 x ) 7]dx 1 0 A. P 15 B. P 37 C. P 27 D. P 19 Hướng dẫn giải dt t 5 3 x dx 3 Để tỉnh P ta đặt x 0 t 5 nên x 2 t 1 1dt 1 5 1 5 5 P [ f ( t ) 7]( ) [ f ( t ) 7]dt f ( t ) dt 7 dt 3 3 3 5 1 1 1 1 1 .15 .7.(6) 19 3 3 Chọn D. 2 Câu 40: Cho y f x là hàm số chẵn, cĩ đạo hàm trên đoạn  6;6 . Biết rằng f x d x 8 và 1 3 6 f 2 x d x 3 . Tính I f x d x 1 1 A. I 11. B. I 5. C. I 2. D. I 14. Hướng dẫn giải Chọn D. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng a 2 2 Vì f x là hàm số chẵn nên f x d x 0 f x d x f x d x 8 a 1 1 3 3 f 2 x d x f 2 x d x 3 1 1 3 Xét tích phân K f 2 x d x 3 1 du Đặt u 2 x d u 2d x d x 2 Đổi cận: x 1 u 2; x 3 u 6 . 16 1 6 6 K f u d u f x d x 3 f x d x 6 22 2 2 2 6 6 2 6 Vậy I fxx d fxx d fxx d fxx d 8 6 14. 1 1 1 2 3 Câu 41: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa: f x 3 g x d x 10 . 1 3 3 2f x g x d x 6 . Tính f x g x d x . 1 1 A. 8. B. 9. C. 6. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn C. 3 3 3 Ta cĩ fx 3 gxx d 10 fxx d 3 gxx d 10 . 1 1 1 3 3 3 Tương tự 2fxgxx d 6 2 fxxgxx d d 6 . 1 1 1 u 3 v 10 u 4 3 3 Xét hệ phương trình , trong đĩ u f x d x , v g x d x . 2u v 6 v 2 1 1 3 3 3 Khi đĩ fxgx d x fxx d gxx d 4 2 6 . 1 1 1 1 Câu 42: Cho hàm số f x ln x x2 1 . Tính tích phân I f' x dx . 0 A. I ln 2 . B. I ln 1 2 . C. I ln 2 D. I 2ln 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Hướng dẫn giải 1 1 1 Ta cĩ: I f' x dx f x ln x x2 1 ln 1 2 0 0 0 Chọn B Câu 43: Cho hàm số f x cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f 1 e2 , ln3 f' x dx 9 e2 . Tính I f ln 3 . 1 A. I 9 2 e2 . B. I 9 . C. I 9 . D. I 2 e2 9 . Hướng dẫn giải ln3 ln3 Ta cĩ: f' x dx f x f ln 3 f 1 9 e2 (gt) 1 1 f ln 3 e2 9 e 2 f ln 3 9 Chọn B Câu 44: Cho hai hàm số y f x và y g x cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 1 1 1 / f' x . g x dx 1, f x . g ' x dx 1. Tính I f x . g x dx . 0 0 0 A. I 2 . B. I 0 . C. I 3 . D. I 2 . Hướng dẫn giải 1 1 / I f x .g x dx f x . g ' x f ' x .g x dx 0 0 1 1 f x . g ' x dx f ' x . g x dx 1 1 0 0 0 Chọn B 1 Câu 45: Cho hàm số y f x liên tục trên R, thỏa mãn f x dx 1. Tính 0 4 I tan2 1 . f tan x dx . 0 A. I 1. B. I 1. C. I . D. I . 4 4 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Đặt t tan x dt 1 tan 2 x dx . Đổi cận: 1 1 I f t dt f x dx (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân) 1 0 0 Chọn A 1 1 Câu 46: Cho hàm số y f x liên tục và thỏa mãn f x 2 f 3 x với x ;2 . Tính x 2 2 f x dx . 1 x 2 9 3 9 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 2 f x 1 1 dt Đặt A dx (1) Đặt t dt dx dx Đổi cận: 2 2 1 x x x t 2 1 1 1 1 2 t. f 2 f 2 f t t x A dt dt dx (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào 2 2 t1 t 1 2 2 2 biến số tích phân) (2) 1 2f x 2 f 2 2 2 x 3x 9 3 Ta cĩ: 1 2 2 3A dx dx 3 dx 3 x 3AA 1x 1 x 1 1 2 2 2 2 2 2 Chọn B Câu 47: Cho hàm số y f x liên tục trên R và thỏa mãn f x f x 2 2cos 2 x . Tính 2 I f x dx . 2 A. I 1. B. I 1. C. I 2 . D. I 2 . Hướng dẫn giải 2 I f x dx (1) Đặt t x dt dx Đổi cận: 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 2 2 I f t . dt f t dt f x dx (2) (Tích phân xác định khơng phụ thuộc 2 2 2 vào biến số tích phân) 2 2 2 (1) + (2) 2I f x f x dx 2 2cos 2 xdx 2 1 cos 2x dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cosxdx 2 cos x dx 2 cos xdx 2sin x 2 1 1 4 2 2 2 2 I 2 Chọn D Câu 48: Biết hàm số y f x là hàm số chẵn trên đoạn ; và 2 2 2 2 f x f x sin x cos x . Tính I f x dx . 2 0 1 A. I 0 . B. I 1. C. I . D. I 1. 2 Hướng dẫn giải 0 2 2 Đặt t x dt dx Đổi cận: I f t . dt f t dt f x dx 2 2 0 2 0 2 2 2 (Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân) f x Vì f x 0 2 2 là hàm số chẵn f x f x 2 2 2 2 2 Vậy 2I f x f x dx sin x cos x dx cos x sin x 1 1 2 0 2 0 0 I 1 Chọn D Câu 49: Cho hàm số y f x liên tục trên R, thỏa mãn f x 2018 f x ex . Tính 1 I f x dx . 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng e2 1 e2 1 e2 1 A. I . B. I . C. I 0 . D. I . 2019e 2018e e Hướng dẫn giải 1 I f x dx (1) Đặt t x dt dx Đổi cận: 1 1 1 1 I f t dt f t dt f x dx (2) (Tích phân xác định khơng phụ thuộc 1 1 1 1 vào biến số tích phân).Ta cĩ: 1 2018 2 I 2018 I f x 2018 f x dx 1 1 2 2 1 1e 1 e 1 2019I ex dx e x e I 1 1 e e 2019e Chọn A 1 Câu 50: Cho hàm số f x thỏa mãn x 1 f ' x dx 10 và 2f 1 f 0 2 . Tính 0 1 I f x dx . 0 A. I 8 . B. I 8 . C. I 4 . D. I 4 . Hướng dẫn giải 1 A x 1 f ' x dx Đặt u x 1 du dx , dv f' x dx Chọn v f x 0 1 1 1 1 1 A x1 . f x f x dx 2 f (1) f (0) f x dx 2 f x dx 10 f x dx 8 0 0 0 0 0 Chọn B 1 x Câu 51: Cho hàm số f x thỏa f 0 f 1 1. Biết e f x f' x dx ae b . Tính biểu 0 thức Q a2018 b 2018 . A. Q 8 . B. Q 6 . C. Q 4. D. Q 2. Hướng dẫn giải 1 1 1 x x x A e fx fxdx'' efxdx efxdx 0 0 0 AA1 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 A ex f x dx 1 0 1 1 Đặt u f x du f' x dx , dv ex dx Chọn v ex A ex.' f x e x f x dx 1 0 0 A2 1 1 Vậy Aefx x AAefx x ef. 1 f 0 e 1 02 2 0 a 1 2018 2018 a b 1 1 2 b 1 Chọn D x2 Câu 52: Cho hàm số f x liên tục trên 0; và thỏa f t dt x.cos x . Tính f 4 . 0 2 3 1 A. f 4 123. B. f 4 . C. f 4 . D. f 4 . 3 4 4 Hướng dẫn giải Ta cĩ: F t f t dt F' t f t x2 Đặt G x f t dt F x2 F 0 0 / 2 2 G' x F x 2 x . f x (Tính chất đạo hàm hợp: f''.' u x f u u x ) x2 Mặt khác, từ gt: G x f t dt x.cos x 0 G' x x .cos x ' x sin x cos x 2x . f x2 x sin x cos x (1) Tính f 4 ứng với x 2 1 Thay x 2 vào (1) 4.f 4 2sin2 cos2 1 f 4 4 Chọn D f x Câu 53: Cho hàm số f x thỏa mãn t2. dt x .cos x . Tính f 4 . 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 A. f 4 2 3 . B. f 4 1. C. f 4 . D. f 4 3 12 . 2 Hướng dẫn giải 3 f x 3 f x f x 2 t 3 t dt xcos x f x 3 x .cos x 0 30 3 f x 3 3 x cos x f 4 3 12 Chọn D Câu 54: Cho hàm số f x cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f x 0 khi x 1,2. 2 2 f' x Biết f' x dx 10 và dx ln 2 . Tính f 2 . 1 1 f x A. f 2 10. B. f 2 20 . C. f 2 10 . D. f 2 20. Hướng dẫn giải 2 2 Ta cĩ: f' x dx f x f 2 f 1 10 (gt) 1 1 2 f' x 2 f 2 dx ln f x ln f 2 ln f 1 ln ln 2 (gt) 1 1 f x f 1 f 2 f 1 10 f 2 20 Vậy ta cĩ hệ: f 2 2 f 1 10 f 1 Chọn B Câu 55: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn  1;1, thỏa mãn f x 0 x R và f' x 2 f x 0 . Biết f 1 1, tính f 1 . A. f 1 e 2 . B. f 1 e3 . C. f 1 e4 . D. f 1 3 . Hướng dẫn giải f' x Từ gt: f' x 2 f x 0 f ' x 2 f x 2 f x f' x dx 2 dx ln f x 2 x C f x e 2x C f x Cĩ f 1 1 e 2 c 1 e 0 c 2 f x e 2 x 2 f 1 e4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn C Câu 56: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm liên tục trên R, nhận giá trị dương trên khoảng 0; và thỏa f 1 1, f x f' x 3 x 1 . Mệnh đề nào đúng? A. 1 f 5 2 . B. 4 f 5 5. C. 2 f 5 3. D. 3 f 5 4 . Hướng dẫn giải 1 f' x Từ gt: f x f ' x 3 x 1 3x 1 f x 2 3x 1 C f' x 1 2 3 dx dx ln f x 3 x 1 C f x e f x 3x 1 3 2 2 4 4 .2 C 4 3x 1 Vì f 1 1 e3 1 e0 C f x e3 3 f 5 e 3 3,79 3 Chọn D Câu 57: Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm liên tục trên R và f x 0 khi x [0; a] ( a 0 ). Biết a dx f x . f a x 1, tính tích phân I . 0 1 f x a a a A. I . B. I 2 a . C. I . D. I . 2 3 4 Hướng dẫn giải a dx I (1) Đặt t a x dt dx Đổi cận: 0 1 f x 0 dt a1 a 1 I dt dx (2) (Tích phân xác định khơng a 1 f a t 0 1 f a t 0 1 f a x phụ thuộc vào biến số tích phân) a 1 1 (1) + (2) 2I dx 0 1 f x 1 f a x 1 f a x 1 f x 2 2 f a x f x a a dx dx dx a I 1 fxfaxfxfax . 0 2 faxfx 0 2 Chọn A x Câu 58: Cho hàm số G x t.cos x t . dt . Tính G ' . 0 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A. G ' 1. B. G ' 1. C. G ' 0. D. G ' 2 . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Cách 1: Ta cĩ: Ft t.cos xtdtFxt ' .cos xt x Đặt G x t.cos x t dt F x F 0 0 // GxFxF' 0 FxF ' ' 0 xxx cos 0 x ' 1 G ' 1 2 Chọn B x Cách 2: Ta cĩ G x t.cos x t dt . Đặt u t du dt , dv cos x t dx Chọn 0 v sin x t x x x x G x t.sin x t sin x t dt sin x t dt cos x t cos 0 cos x 1 cos x 0 0 0 0 G' x sin x G ' sin 1 2 2 Chọn B x2 Câu 59: Cho hàm số G x cos t . dt ( x 0 ). Tính G' x . 0 A. G' x x2 .cos x . B. G' x 2 x .cos x . C. G' x cos x . D. G' x cos x 1 . Hướng dẫn giải x2 Ta cĩ F t cos tdt F ' t cos t G x cos tdt F x2 F 0 0 /// 2 2 / 2 2 GxFxF' 0 Fx F 0 Fx 2 xx .F' 2x .cos x2 2 x .cos x Chọn B x Câu 60: Tìm giá trị lớn nhất của G x t2 t dt trên đoạn  1;1. 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 5 5 A. . B. 2 . C. . D. . 6 6 6 Hướng dẫn giải x x 3 2 3 2 3 2 2 t t x x 1 1 x x 5 G x t t dt 3 2 3 2 3 2 3 2 6 1 1 G' x x2 x bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên Chọn C x Câu 61: Cho hàm số G x 1 t2 dt . Tính G' x . 1 x 1 A. . B. 1 x2 . C. . D. x2 1 x 2 1 . 1 x2 1 x2 Hướng dẫn giải Đặt F t 1 t2 dt F ' t 1 t 2 x x G x 1 t2 dt F x F 1 G ' x F ' x F ' 1 F ' x 2 1 1 x Chọn A x Câu 62: Cho hàm số F x sin t2 . dt ( x 0 ). Tính F' x . 1 sin x 2sin x A. sin x . B. . C. . D. sin x . 2 x x Hướng dẫn giải x Đặt F t sin t2 dt ,G x sin t2 dt F x F 1 1 2 sin x G' x F ' x F ' 1 F ' x x '.sin x 2 x Chọn B x Câu 63: Tính đạo hàm của f x , biết f x thỏa t. ef t dt e f x . 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 1 A. f' x x . B. f' x x2 1. C. f' x . D. f' x . x 1 x Hướng dẫn giải x f t f t f t Đặt F t t.'. e dt F t t e G x t. e dt F x F 0 0 / f x f x f x f x f x G'' x F x e (gt) x. e e x. e e 1 ef x x. f ' x .e f x f ' x . e f x 1 x . f ' x f ' x f ' x 1 x Chọn D 2 Câu 64: Cho y f x là hàm số chẵn, cĩ đạo hàm trên đoạn  6;6 . Biết rằng f x d x 8 và 1 3 6 f 2 x d x 3. Tính f x d x . 1 1 A. I 11. B. I 5 . C. I 2 . D. I 14 . Hướng dẫn giải 3 Xét tích phân K f 2 x d x 1 du Đặt u 2 x d u 2d x d x 2 Đổi cận: Khi x 1 u 2 ; x 3 u 6 1 6 1 2 2 Vậy, K f u d u f x d x . Mà K 3 , nên f x d x 6 . 2 2 2 6 6 6 2 Vì f là hàm chẵn trên  6;6 nên f x d x f x d x 6 . 2 6 6 2 6 Từ đĩ suy ra I f x d x f x d x f x d x 8 6 14 . 1 1 2 Chọn D. a 1 Câu 65: Cho hàm số f(). x b xe x . Biết rằng f '(0) 22 và f( x ) dx 5 . Khi đĩ tổng 3 (x 1) 0 a b bằng? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 146 26 26 146 A. . B. . C. . D. . 13 11 11 13 Hướng dẫn giải 3a x f'(x) be (1 x ) (x 1)4 f '(0) 22 3ab 22 (1) 1 11 1 fxdx( ) 5 a dxbxedx x 5 (x 1)3 0 0 0 a b 5 (2) 4 108 38 Giải hệ (1) và (2) ta được: a , b . 13 13 Chọn D. 3 Câu 66: Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa: f x 3 g x d x 10 . 1 3 3 2f x g x d x 6 . Tính f x g x d x . 1 1 A. 8. B. 9. C. 6. D. 7. Hướng dẫn giải 3 3 3 + Ta cĩ fx 3 gxx d 10 fxx d 3 gxx d 10 . 1 1 1 3 3 3 + Tương tự 2fxgxx d 6 2 fxxgxx d d 6 . 1 1 1 u 3 v 10 u 4 3 3 + Xét hệ phương trình , trong đĩ u f x d x , v g x d x . 2u v 6 v 2 1 1 3 3 3 + Khi đĩ fxgx d x fxx d gxx d 4 2 6 . 1 1 1 2 5 1 0 a . 10 a 2 40 12 5 Nên ta cĩ hệ phương trình sau: P2 : y x 5 5 40 2 b b 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 19 10 12 5 8 2 3 Ta cĩ thể tích của bê tơng là: V 5.2 x dx 2 x 2 dx 40 m 040 2 0 361 . 2 Câu 67: Cho I cosn xdx , n , n 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? n 0 n 1 n 2 n 1 A. II . B. II . C. II . D. II 2 nn n 1 nn n 2 nn n 2 n n 2 Hướng dẫn giải 2 Với I ; I cos xdx 1 . 02 1 0 Đặt u cosn 1 x du n 1cos n 2 x .sin xdx . dv cos xdx Chọn v sin x . 2 2 Suy ra cosnxdx cos n 1 x .sin x2 n 1 cos n 2 x .sin 2 xdx 0 0 0 2 2 2 n 1 cosn 2 x . 1 cos 2 x dx n 1 cosn 2 x . dx n 1 cos n x . dx . 0 0 0 2n 1 2 Do đĩ cosnx . dx cos n 2 x . dx . n 0 0 Chọn C. 1 1 1 Câu 68: Rút gọn biểu thức: T C0 C 1 C 2 Cn , n * . n2 n 3 nn 1 n 2n 2n 1 2n 1 1 A. T . B. T 2n 1 . C. T . D. T n 1 n 1 n 1 Hướng dẫn giải Ta cĩ 1 1 1 1 1 1 TCCC 0 1 n . Nhận thấy các số ; ; ; ; thay đổi ta nghĩ ngay đến n2 nn 1 n 1 2 3n 1 1 biểu thức xn dx x n 1 c . n 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng n 0 1 2 2 3 3 n n Ở đây ta sẽ cĩ lời giải như sau: 1 x Cn xC n x C n x C n x C n . 1 1 Khi đĩ ta suy ra 1 xn dx C0 xC 1 x 2 C 2 x 3 C 3 xn C n dx n n n n n 0 0 2 3n 1 1 n 1 1 0x 1 x 3 x n 1 x 1 Cn x C n C n C n n 10 2 3 n 1 0 2n 1 1 1 1 1 CCCC0 1 2 n . n 1n 2 n 3 n n 1 n Chọn D. a 3 2 Câu 69: Nếu a là một số thỏa mãn các điều kiện sau: a ; và cos x a dx sin a thì: 2 2 0 A. a . B. a . C. a 2 . D. a 2 . Hướng dẫn giải: a a cosx a2 dx sin x a 2 sin a sin a a 2 sin a 2 sin a 0 0 a 2 a2 a a a 2cos .sin 2sin .cos 1 2 2 2 2 3 a 3 a Vì a ; nên ; sin 0 , vậy: 2 2 2 4 4 2 a 2 a2 a a a 2 a 1 cos cos cos cos 0 2 2 2 2 a2 a a 2 a 2 2 sin 0 k 1 a a a 2 2 2sin .sin 0 k , l . 2 2 a2 a 2 sin 0 l 2 2 2 3 Vì k nên (1) khơng thỏa mãn với mọi a ; ,hoặc thay 4 vào đáp án (1) ta thấy 2 2 đều khơng thỏa. 3 Đối với (2). Vì a ; nên Chọn l=1 lúc đĩ a 2 . 2 2 Chọn D. e k Câu 70: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện lndx e 2 . Khi đĩ: 1 x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A. S 1 . B. S 2 . C. S 1,2 D. S  . Hướng dẫn giải: e k ln dx 1 x Dùng phương pháp tích phân từng phần k 1 u ln ln k ln x du dx x x dv dx v x ke e k I xln dx e ln ln k e 1 x1 1 e e k k Vậy lndx e 2 e ln ln k e 1 e 2 1 x e e ln k 1 ln k 1 e 1 ln k e 1 ln k 1 k e mà k là số nguyên dương nên Chọn k 1;2. Chọn C. 3 5 4 3 4 Câu 71: Biết f x dx và f t dt . Tính f u du . 0 3 0 5 3 8 14 17 16 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Hướng dẫn giải: 4 3 4 f u du f u du f u du . 0 0 3 3 3 5 4 4 3 Mà f u du f x dx và f u du f t dt 0 0 3 0 0 5 3 54 4 3 5 16 Nên: f u du f u du 5 33 3 5 3 15 Chọn D. Chú ý: tích phân khơng phụ thuộc vào biến số. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 1 x2 1 x2 Câu 72: Biết dx a . Tính giá trị của I dx . x x 0 1 e 0 1 e 1 1 A. I a. B. I 1 a . C. I a. D. I 1 a . 2 3 Hướng dẫn giải: 1x2 1 x 2 1 Sử dụng phân tích dx dx x2 dx . x x 01 e 0 1 e 0 Hoặc máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả. Chọn C. 2 Câu 73: Đặt I sinn xdx . Khi đĩ: n 0 A. IIn 1 n. B. IIn 1 n . C. IIn 1 n. D. IIn 1 n . Hướng dẫn giải: Khi 0 x thì 0 sinx 1. Do đĩ với 0 x Ta cĩ: 2 2 2 2 sinn 1x sin n x I sin n 1 xdx I sin n xdx , tức là: II . n n n 1 n 0 0 Chọn A. 1 1 n n Câu 74: Cho I x21 x 2 dx và J x1 x2 dx . Xét các câu: n n 0 0 1 (1) I với mọi n. n 2 n 1 1 (2) J với mọi n. n 2 n 1 1 (3) IJ với mọi n. n n 2 n 1 A. (1) đúng. B. (1) và (2) đúng. C. Tất cả đều sai. D. cả (1) và (3) đúng. Hướng dẫn giải: Chỉ (1) và (3) đúng. Khẳng định (2) sai. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 2 n Ta đặt x cos t để tính J sin t 1 cos2 t cos tdx sin 2n 1 t .cos tdt . n 0 0 2 sin2n 2 2 1 sin2n 1 td sin t . 0 2n 20 2 n 1 Như vậy khẳng định (2) sai. Ngồi ra, để thấy rằng với mọi x 0;1 1 x x2 nên suy ra với mọi n ta cĩ IJ . n n 2 n 1 Vậy: (1) và (3) cùng đúng. Chọn D. 1 dx Câu 75: Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất, thỏa mãn 0 . 0 2x k A. k 3. B. k 4 . C. k 1. D. k 2 . Hướng dẫn giải: 1 dx x *,  x  0;1, 2 x k 0 do đĩ: 0 , x *. 0 2x k Suy ra số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa mãn ycbt là k=1 Chọn C. Câu 76: Cho f x , g x là các hàm liên tục trên [a; b]. b b b (1) Với mọi số thực y, ta cĩ: y2 f 2 x dx 2 y f x . g x dx g 2 x dx 0 . a a a 2 b b b (2) f x g x dx 2 f 2 x dx 2 g 2 x dx . a a a Trong hai khẳng định trên: A. Chỉ cĩ (1) đúng. B. Chỉ cĩ (2) đúng. C. Cả hai khẳng định đều đúng. D. Cả hai khẳng định đều sai. Hướng dẫn giải: 2 Với mọi số thực y ta cĩ: 0 y . f x g x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng y2. f 2 x 2 y . f x . g x g 2 x từ đĩ suy ra (1) đúng: b b b y2 f 2( x ) dx 2 y f ( x ).g x dx g 2 ( x ) dx 0 a a a Vì vế trái của Bất đẳng thức trên là tam thức bậc hai đối với y, nên theo định thức về dấu của tam thức bậc hai, Ta cĩ: 2 b b b ' f ().() x g x dx f2 ().() x dx g 2 x dx 0 a a a 2 b b b f( x ). g ( x ) dx f2 ( x ) dx . g 2 ( x ) dx ((2) đúng). a a a Chọn C. Câu 77: Cho f x , g x là các hàm liên tục trên [a; b]. g x f x 0,  x  a ; b và m M,;  x  a b. f x Căn cứ vào giả thiết đĩ, một học sinh lập luận: (1) Ta cĩ bất đẳng thức g x g x 2 0 m M . f x ,  x  a ; b . * f x f x (2) Biến đổi, (*) trở thành 0 gx2 () Mmfxgx Mmfx (), 2  x  ab ;. b b b (3) suy ra g2 x dx M mx f 2 x dx M m f x g x dx . a a a Lập luận trên: A. Đúng hồn tồn. B. Sai từ (1). C. Sai từ (2). D. Sai từ (3). Hướng dẫn giải: Lập luận đúng hồn tồn. Bất đẳng thức sau cùng được gọi là bất đẳng thức Diza Chọn A. Câu 78: Cho hai hàm f x , g x cùng đồng biến và liên tục trên [a; b]. Với a b . Khi đĩ, xét khẳng định sau đây: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng b b b (1) x  a; b . Ta cĩ: f a dx f x dx f b dx . a a a b (2) f x dx f b . a 1 b (3) Tồn tại x a; b sao cho f x f x dx . 0   0 b a a Các khẳng định đúng trong 3 khẳng định trên là: A. Chỉ (1) và (2). B. Chỉ (2) và (3). C. Chỉ (1) và (3). D. Cả (1), (2) và (3). Hướng dẫn giải: Chỉ (1) và (3) đúng. Khẳng định (2) sai: Do tính đồng biến nên a x b ta cĩ f a f x f b , tức là: b b b f a dx f x dx f b dx vậy (1) đúng a a a b Suy ra: b a .(). f a f x dx b a f b a Do đĩ f x liên tục trên [a;b] nên tồn tại x0  a; b sao cho: 1 b f x f x dx . Vậy (3) đúng. 0 b a a Chọn C. f x khi f x g x Câu 79: Ta định nghĩa: max f x , g x . g x khi g x f x Cho f x x2 và g x 3 x 2 . 2 Như thế max f ( x ), g ( x ) dx bằng: 0 2 1 2 2 A. x2 dx . B. x2 dx 3 x 2 dx .C. 3x 2 dx . D. 15. 0 0 1 0 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 65 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Hồnh độ giao điểm của hai đường thẳng là x 1; x 2 Xét x2 3 x 2 và vẽ Bảng xét dấu để xem trên đoạn nào thì f x x2 và g x 3 x 2 hàm cĩ Giá trị lớn hơn. x 0 1 2 x2 3 x 2 + 0 − 0 2 1 2 2 Do đĩ max f x , g x dx x dx 3 x 2 dx 0 0 1 Chọn B. cos2 x cos2 x Câu 80: Biết dx m . Tính giá trị của I dx . x x 1 3 1 3 A. m. B. m. C. m. D. m. 4 4 Hướng dẫn giải: cos2x cos 2 x Sử dụng phân tích: dx dx cos2 x . dx x x 1 3 1 3 (sử dụng MTCT để tính cos2 xdx . ) cos2 x Do đĩ: I dx m . x 1 3 Chọn A. 1 dx Câu 81: Cho I , với m > 0. Tìm các giá trị của tham số m để I 1. 0 2x m 1 1 1 1 A. 0 m . B. m . C. m . D. m 0. 4 4 8 4 Hướng dẫn giải: Tính tích phân theo tham số m bằng cách đặt t 2 x m , sau đĩ tìm m từ Bắt phương trình I 1. Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 66 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng m Câu 82: Cho m là một số dương và I 4x ln 4 2 x ln 2 dx . Tìm m khi I 12 . 0 A. m 4 . B. m 3 . C. m 1. D. m 2 . Hướng dẫn giải: m m Tính tích phân theo tham số m ta được: I 4x ln 4 2 x ln 2 dx 4x 2 x 4 m 2 m , 0 0 sau đĩ tìm m từ phương trình I =12. Chọn D. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 67 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng GTNN, GTLN TÍCH PHÂN 1 Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của S x2 ax dx với a 0 , 1 0 2 2 2 1 2 2 2 1 A. . B. . C. . D. 6 3 3 6 Câu 2: Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 1 và thỏa mãn 2 1 f' x f 1 e.f 0 e; dx 1. Tìm mệnh đề đung 0 f x 1 2 1 1 1 1 A. f e . B. f e . C. f e . D. f 2 2 2 2 2e b Câu 3: Cho a b ab 4 và a b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I x2 a b x ab dx a A. 4 3 . B. 12. C. 2 3 . D. 48 b Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của I x2 2 m x 2 dx trong đĩ a b là hai nghiệm cảu phương a trình x2 2 m x 2 0 128 8 2 A. . B. . C. 8. D. 2 2 9 3 1 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của S x3 ax dx với a 0 , 1 0 2 2 1 1 2 2 A. . B. . C. . D. 6 8 4 8 2m Câu 6: Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của S x3 4 mx 2 5 m 2 x 2 m 3 dx với m m 1 ; 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng 41 21 A. a b . B. a b 1. C. a b . D. a b 2 6 4 Câu 7: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn 0; 1 và nhận giá trị khơng âm trên đoạn 0; 1 . 1 1 Tìm m nhỏ nhất sao cho f 2018 xdx m.fxdx f A 0 0 1 A. 2018 . B. 1. C. . D. 2018 2018 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 68 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 8: Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và cĩ đạo hàm f' x liên tục trên đoạn 0; 1 thỏa mãn f 1 2018 .f 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức 1 1 1 2 M dx f' x dx 2 0 f x 0 A. ln 2018. B. 2ln 2018 . C. 2e . D. 2018e b 2 Câu 9: Cho a b ab 4 và a b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I x a x b dx a 64 49 A. 12. B. 0. C. . D. 3 3 2 Câu 10: Cho a b 2 a2 b 2 4 và a b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức b I x2 a b x ab dx a 16 9 4 3 A. . B. . C. . D. 9 16 3 4 Câu 11: Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và cĩ đạo hàm f' x liên tục trên đoạn 0; 1 1 1 1 2 thỏa mãn f1 e. f 0 . Biểu thức dx f' x dx 2 . Mệnh đề nào đúng 2 0 f x 0 2e 2e2 2 e 2 2 e 2 A. f 1 . B. f 1 . C. f 1 . D. f 1 e 1 e2 1 e 1 e2 1 Câu 12: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn 0; 1 . Tìm 1 1 2 2018  m min x.f x dx x .f x dx  f A 0 0  1 1 2017 1 A. . B. . C. . D. 2019 16144 2018 16140 Câu 13: m là tham số thuộc đoạn 1; 3. Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2m 2 2 P x m x 2 m dx . Tính a b m 122 121 A. 31. B. 36. C. . D. 15 4 2 2m 2 a Câu 14: Giá trị nhỏ nhất của P x2 2 m 2 m 1 x 4 m 3 m dx là S ;a,b nguyên m b a dương và tối giản. Tính T a b b A. 7. B. 337. C. 25. D. 91 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 69 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 15: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn 0; 1 . Tìm 1 1 2 2013  M min x.f x dx+ x .f x dx  f A 0 0  1 503 2012 1 A. . B. . C. . D. 2014 2014 2013 8. 2013 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 70 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng HƯỚNG DẪN GIẢI GTNN, GTLN TÍCH PHÂN 1 Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của S x2 ax dx với a 0 , 1 0 2 2 2 1 2 2 2 1 A. . B. . C. . D. 6 3 3 6 Hướng dẫn giải: Phá dấu trị tuyệt đối ta cĩ a 1 1a 1 3 2 3 2 3 2 2 2 x ax x ax 2 a 3 a 2 S x ax dx x ax dx x ax dx 3 3 3 3 6 0 0 a 0 a 1 2 2 Smin f 2 6 Câu 2: Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 1 và thỏa mãn 2 1 f' x f 1 e.f 0 e; dx 1. Tìm mệnh đề đung 0 f x 1 2 1 1 1 1 A. f e . B. f e . C. f e . D. f 2 2 2 2 2e Hướng dẫn giải: 1 ' f x 1 f 1 Ta cĩ dx=ln f x lnf 1 ln f 0 ln ln e 1 0 0 f x f 0 2 2 1 f'' x 1 f x Nên dx 1 1 dx 0 f x f x 0 0 2 2 1 f'''' x f x 1 f x f x 2. 1 dx 0 1 dx 0 1 0 f x f x f x f x 0 0 x x 1 Vậy: f x A.e . Mà f 1 e. f 0 e Nên f x e f e 2 b Câu 3: Cho a b ab 4 và a b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I x2 a b x ab dx a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 71 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A. 4 3 . B. 12. C. 2 3 . D. 48 Ta cĩ 23 2 3 2 3 3 a b 4 ab ab 4 4 ab ab 2 12 3 2 12 I 4 48 36.a 36 36 36 36 I 4 3 b Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của I x2 2 m x 2 dx trong đĩ a b là hai nghiệm cảu phương a trình x2 2 m x 2 0 128 8 2 A. . B. . C. 8. D. 2 2 9 3 2 3 3 2 m 8 128 8 2 II 36a4 36 9 3 1 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của S x3 ax dx với a 0 , 1 0 2 2 1 1 2 2 A. . B. . C. . D. 6 8 4 8 a 1 a 1 2 4 4 2 3 3 a.x x x a.x S a.x x dx x a.x dx 0 2 4 4 2 a 0 a 2 a2 a 2 1 a a 2 a 2 1 1 1 1 S a 2 4 4 2 4 2 2 2 8 8 2m Câu 6: Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của S x3 4 mx 2 5 m 2 x 2 m 3 dx với m m 1 ; 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng 41 21 A. a b . B. a b 1. C. a b . D. a b 2 6 4 2m 2 m 2 m S xmxmdx 2 2 xmxmdx 2 2 xm 2 xmmdx m m m 2m 2m 2 m 4 3 4 3 2 x m m x m m S xmdx+m xmdx= m m 4 3 12 m 41 Thay m 1 ; 3 vào ta cĩ a b 6 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 72 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 7: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn 0; 1 và nhận giá trị khơng âm trên đoạn 0; 1 . 1 1 Tìm m nhỏ nhất sao cho f 2018 xdx m.fxdx f A 0 0 1 A. 2018 . B. 1. C. . D. 2018 2018 1 1 1 Đặt t2018 x dx 2018 .t 2017 dt nên f 2018 x dx=2018. t2017 .f t .dt 2018 f t .dt 0 0 0 Tìm m nhỏ nhất nên m 2018. Ta sẽ Cm m 2018 là số cần tìm. Xét f x xn ta cĩ 1 1 2018 m 2018 n 1 xn/2018 dx m x n dx m 0 0 n 2018 n 1 n 2018 Cho n ta cĩ m 2018. Vậy m 2018 là hằng số nhỏ nhất cần tìm Câu 8: Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và cĩ đạo hàm f' x liên tục trên đoạn 0; 1 thỏa mãn f 1 2018 .f 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức 1 1 1 2 M dx f' x dx 2 0 f x 0 A. ln 2018. B. 2ln 2018 . C. 2e . D. 2018e Hướng dẫn giải: 2 1 1 1 1 f x f x 1 M= f' x dx 2 dx 2 dx 2 ln f x 2 ln 2018 '' 0 0 f x 0 f x 0 f x b 2 Câu 9: Cho a b ab 4 và a b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I x a x b dx a 64 49 A. 12. B. 0. C. . D. 3 3 b b b 2 2 2 S xa xa abdx xa xadxab xadx a a a 14 1 22 1 2 2 1 2 2 S ab ab 4 ab ab 4 4 ab ab 2 12 12 12 12 12 12 2 Câu 10: Cho a b 2 a2 b 2 4 và a b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức b I x2 a b x ab dx a 16 9 4 3 A. . B. . C. . D. 9 16 3 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 73 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 4 a b 2 a2 b 2 a b 2 1 a b 2 a b 2 23 2 3 3 a b 4ab a b 43 4 I 2 36a4 36 36 36 3 a b 0 a 1 Khi đĩ 2 2 2 2 b 1 a b a b 4 Câu 11: Cho hàm số y f x nhận giá trị dương và cĩ đạo hàm f' x liên tục trên đoạn 0; 1 1 1 1 2 thỏa mãn f1 e. f 0 . Biểu thức dx f' x dx 2 . Mệnh đề nào đúng 2 0 f x 0 2e 2e2 2 e 2 2 e 2 A. f 1 . B. f 1 . C. f 1 . D. f 1 e 1 e2 1 e 1 e2 1 Hướng dẫn giải: 2 1 1 Viết lại biểu thức cho dưới dạng f' x dx 0 . Dấu bằng xảy ra khi 0 f x 1 1 fx'' 0 fx 1 dxfx.dfx f x f x f2 x x c f x 2 x c 2 f 0 2 c f 1 2 2c 1 Thay x 0 vào ta cĩ e c f0 e2 1 f 1 2 2 c 2c 1 2e2 f x 2 x f 1 e2 1 e 2 1 Câu 12: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn 0; 1 . Tìm 1 1 2 2018  m min x.f x dx x .f x dx  f A 0 0  1 1 2017 1 A. . B. . C. . D. 2019 16144 2018 16140 Hướng dẫn giải: Biểu thức đã cho là tam thức bậc 2 ẩn là f x cĩ hệ số a x;b x2018 ;c 0 b x2017 f x 2a 2 Nên biểu thức Min tại 1 1 1 x4036 x 4035 1 m dx dx min 4a 4 .x 4 x 4036 16144 0 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 74 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 13: m là tham số thuộc đoạn 1; 3. Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2m 2 2 P x m x 2 m dx . Tính a b m 122 121 A. 31. B. 36. C. . D. 15 4 m5 1 3 5 3 5 1 122 P;T 30 30 30 30 15 2 2m 2 a Câu 14: Giá trị nhỏ nhất của P x2 2 m 2 m 1 x 4 m 3 m dx là S ;a,b nguyên m b a dương và tối giản. Tính T a b b A. 7. B. 337. C. 25. D. 91 Hướng dẫn giải: 3 2 3 4 m m 1 4 3 9 Ta cĩ: P.T 9 16 25 3 3 4 16 Câu 15: A là tập các hàm số f lien tục trên đoạn 0; 1 . Tìm 1 1 2 2013  M min x.f x dx+ x .f x dx  f A 0 0  1 503 2012 1 A. . B. . C. . D. 2014 2014 2013 8. 2013 Hướng dẫn giải: Biểu thức đã cho là tam thức bậc 2 ẩn là f x cĩ hệ số a x;b x2013 ;c 0 b x2013 x 2012 f x 2a 2 x 2 Nên biểu thức Max tại 1 1 1 x4026 x 4026 1 M dx dx max 4a 4 .x 4 . 4026 4 . 4026 0 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 75 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN NÂNG CAO A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Diện tích hình phẳng y f1() x y f2 () x Nếu cĩ hình phẳng giới hạn bởi các đường . x a x b (Trong đĩ f1( x ), f 2 ( x ) liên tục trên đoạn [a;b]), b thì diện tích S được tính theo cơng thức S f()() x f x dx . 1 2 a 2. Thể tích khối trịn xoay y f x Ox Quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng giới giới hạn bởi các đường . x a x b (Trong đĩ f x liên tục trên đoạn [a;b]), quay quanh trục Ox, ta được khối trịn xoay. b Thể tích V của khối trịn xoay được tính theo cơng thức V f() x2 dx . x x   a x f y Oy Quay quanh trục Oy: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x a x b (Trong đĩ f y liên tục trên đoạn [a;b]), quay quanh trục Oy, ta được khối trịn xoay. b Thể tích V của khối trịn xoay được tính theo cơng thức V f(y) 2 dx . y y   a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 76 Facebook:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a; b . Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C : y f x , trục hồnh, hai đường thẳng x a , x b (như hình vẽ dưới đây). Giả sử SD là diện tích hình phẳng D . Chọn cơng thức đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây? 0 b 0 b A. S f xd x f x d x . B. S f xd x f x d x . D D a 0 a 0 0 b 0 b C. S f xd x f x d x . D. S f xd x f x d x . D D a 0 a 0 1 Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C của hàm số y x2 4 x 3 và hai tiếp 2 tuyến của C xuất phát từ M 3; 2 là 8 5 13 11 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 3: Gọi D là miền được giới hạn bởi các đường y 3 x 10, y 1, y x2 và D nằm ngồi parabol y x2 . Khi cho D quay xung quanh trục Ox, ta nhận được vaath thể trịn xoay cĩ thể tích là: 56 25 A. 11 . B. . C. 12 . D. . 5 3 Câu 4: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y ln x tại giao điểm của đồ thị đĩ với trục Ox. Diện tích của hình tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường thẳng d được xác định bởi tích phân: 1 1 ln x 1 1 A. ln xdx . B. dx . C. x 1 dx . D. x 1 dx 0 0 x 0 0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 77 Facebook: