›
›
›

Tài liệu trắc nghiệm nâng cao Số phức Lớp 12 - Đặng Việt Đông

pdf 109 trang thungat 990
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu trắc nghiệm nâng cao Số phức Lớp 12 - Đặng Việt Đông", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftai_lieu_trac_nghiem_nang_cao_so_phuc_lop_12_dang_viet_dong.pdf

Nội dung text: Tài liệu trắc nghiệm nâng cao Số phức Lớp 12 - Đặng Việt Đông

  1. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 0 Facebook:
  2. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A - LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa - Một biểu thức dạng a bi với a, b R , i2 1 được gọi là một số phức. - Đối với số phức z a bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z. - Tập hợp số phức kí hiệu là  2. Hai số phức bằng nhau - Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. a c - Công thức: a bi c di b d Biểu diễn hình học của số phức. - Điểm M a; b trong hệ tọa độ vuông góc Oxy được gọi là điểm biểu diễn của số phức z a bi. Môđun của số phức. - Cho số phức z a bi có điểm biểu diễn là M a; b trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Độ dài của  véctơ OM được gọi là mô đun của số phức z và kí hiệu là z .  - Công thức z OM a bi a2 b 2 . 3. Số phức liên hợp - Cho số phức z a bi, số phức dạng z a bi được gọi là số phức liên hợp của z. Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia. - Cho số phức z1 a bi,, z 2 c di ta có zz1 2 abi cdi ac bdi . - Cho số phức z1 a bi,, z 2 c di ta có zz1 2 abi cdi ac bdi . - Cho số phức z1 a bi,, z 2 c di ta có z1 z 2 a bi c di ac bd ad bc i - Cho số phức z1 a bi,, z 2 c di (với z2 0 ) tacó: z1 a bi a bi c di ac bd bc ad 2 2 2 2 i. z2 c di c di c di c d c d Phương trình bậc hai với hệ số thực. Cho phương trình bậc hai ax2 bx c 0 với a,, b c R và a 0. Phương trình này có biệt thức b2 4 ac , nếu: b - 0 phương trình có nghiệm thực x . 2a b - 0 phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x . 1,2 2a File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook:
  3. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao b i - 0 phương trình có hai nghiệm phức x . 1,2 2a 4. Acgumen của số phức z 0 ĐỊNH NGHĨA 1 Cho số phức z 0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z . Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là acgumen của z. CHÚ Ý Nếu là một acgumen của z (hình dưới) thì gọi acgumen của z có dạng k2 , k Z . (người ta thường nói: Acgumen của z 0 xác định sai khác k2 , k Z ). 5. Dạng lượng giác của số phức Xét số phức z a bi 0 a , b  . Kí hiệu r là mô đun của z và của một acgumen của z (hình dưới) thì dễ thấy rằng: a rcos , b r sin . Vậy z a bi 0 có thể viết dưới dạng z r cos + i sin . ĐỊNH NGHĨA Dạng z r cos + i sin , trong đó r 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z 0. Dạng z a bi 0 a , b  , được gọi là dạng đại số của số phức z. Nhận xét. Để tìm dạng lượng giác z r cos + i sin của số phức z a bi 0 a , b  khác 0 cho trước ta cần: 1. Tìm r : đó là mô đun của z,; r a2 b 2 số r cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức. a b 2. Tìm : đó là một acgumen của z; là số thực sao cho cos = và sin ; số đó cũng là r r số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM. CHÚ Ý 1. Z 1 khi và chỉ khi Z cos + i sin ;  . 2. Khi z 0 thì z r 0 nhưng acgumen của z không xác định (đôi khi coi acgumen của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết 0 0 c os + i sin . 3. Cần để ý đòi hỏi r 0 trong dạng lượng giác r cos + i sin của số phức z 0. 6. Nhân và chia số phức lượng giác Ta đã công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số. Sau đây là định lý nêu lên công thức nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác; chúng giúp cho các quy tắc tính toán đơn giản về nhân và chia số phức. ĐỊNH LÝ Nếu z r cos + i sin ; z' r ' c os '+ i sin ' r 0, r ' 0 z r Thì zz' rr 'os c '+sin i '; cos ' + i sin ' ; khi r 0 z'' r File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook:
  4. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Nói một cách khác, để nhân các số phức dưới dạng lượng giác, ta lấy tích các mô đun và tổng acgumen; để chia các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy thương các mô đun và hiệu các acgumen. Chứng minh zz' r c os + i sin r ' c os '+ i sin ' lim x rr' c os . c os ' sin .sin ' i sin . c os '+cos .sin ' rr' c os ' + i sin ' . 1 1 Mặt khác, ta có cos i sin . Theo công thức nhân số phức, z r z1 r Ta có: z. c os ' + i sin ' . z''' z r 7. Công thức Moa-vrơ (Moivre) Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng suy ra rằng với mọi số nguyên dương n. n n r cos + i sin r c osn + i sin n Và khi r 1, ta có cos +sin i n c osn +sin i n Cả hai công thức đó đều được gọi là công thức Moa – vrơ. 8. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Từ công thức Moa – vrơ, dễ thấy số phức z r cos + i sin , r 0 có căn bậc hai là r cos + i sin và r cos + i sin r c os( + )+ i sin( ) . 2 2 2 2 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook:
  5. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: TÍNH TOÁN TRÊN SỐ PHỨC 5 z i Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn 2 i 1 . Tính mô đun của số phức  1 z z 2 . z 1 A. 13 B. 15 C. 17 D. 19 z1 Câu 2: Cho z1, z 2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn 2 và z1 z 2 2 3. Tính z2 môđun của số phức z1. 5 A. z 5. B. z 3. C. z 2. D. z . 1 1 1 1 2 m 2 6i Câu 3: Cho số phức z , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m 1;50 để z là số 3 i thuần ảo? A. 24. B. 26. C. 25. D. 50. z 2 1 Câu 4: Nếu z 1 thì z A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực. z2 a Câu 5: Nếu z a; a 0 thì z A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực. z 1 z i Câu 6: Có bao nhiêu số phức z thỏa 1 và 1? i z 2 z A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 7: Cho hai số phức z1, z 2 thảo mãn z1 z 2 1; z 1 z 2 3. Tính z1 z 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 3 2008 Câu 8: Tính z i i i i có kết quả: A. 0 B. 1 C. i D. i 2 3 2017 Câu 9: Tính S 1009 i 2 i 3 i 2017 i . A. S 2017 1009i. B. 1009 2017i . C. 2017 1009i . D. 1008 1009i . 1 1 1 Câu 10: Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu thức . z w z w Môđun của số phức w bằng: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook:
  6. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A. 1 B. 2 C. 2016 D. 2017 z6 7 i Câu 11: Cho số phức z thoả mãn: z . Tìm phần thực của số phức z2017 . 1 3i 5 1008 1008 504 2017 A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 Câu 12: Cho các số phức z1, z 2 khác nhau thỏa mãn: z1 z 2 . Chọn phương án đúng: z z z z A. 1 2 0. B. 1 2 là số phức với phần thực và phần ảo đều khác 0 . z1 z 2 z1 z 2 z z z z C. 1 2 là số thực. D. 1 2 là số thuần ảo. z1 z 2 z1 z 2 u v 10 3u 4 v 2016 M 4 u 3 v Câu 13: Cho hai số phức u,v thỏa mãn và . Tính . A. 2984 B. 2884 C. 2894 D. 24 Câu 4( Số phức).Cho các số phức z thỏa mãn z 2.Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w 3 2 i 2 i z là một đường tròn.Tính bán kính r của đường tròn đó. A. 20 B. 20 C. 7 D. 7 Câu 14: Cho ba số phức z1,, z 2 z 3 thỏa mãn z1 z 2 z 3 1 và z1 z 2 z 3 1. Mệnh đề nào sau đây là sai. A. Trong ba số đó có hai số đối nhau. B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1. C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1. D. Tích của ba số đó luôn bằng 1. m 1 Câu 15: Cho số phức z m . Số các giá trị nguyên của m để z i 1 là 1 m 2 i 1 A. 0 B. 1 C. 4 D. Vô số 1 1 1 Câu 16: Cho z là số phức có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn . Mô đun zw z w của số phức z là: A. 2015 B. 1 C. 2017 D. 0 2z i Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Đặt A . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 iz A. A 1. B. A 1. C. A 1. D. A 1. Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2 4 2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng? 3 1 3 1 A. z . B. 5 1 z 5 1. 6 6 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook:
  7. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 1 2 1 C. 6 1 z 6 1. D. z . 3 3 Câu 19: Cho z1, z 2 , z 3 là các số phức thỏa mãn z1 z 2 z 3 0 và z1 z 2 z 3 1. Khẳng định nào dưới đây là sai ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 A. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 . B. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 C. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 . D. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 . Câu 20: Cho z1,, z 2 z 3 là các số phức thỏa z1 z 2 z 3 1. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 . B. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 . C. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 . D. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 . Câu 21: Tìm số phức z có z 1 và z i max : A. 1 B. 1 C. i D. i Câu 22: Tìm phần thực của số phức z 1 i n , n  thỏa mãn phương trình: log4 n 3 log 4 n 9 3 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 z1 z 2 Câu 23: Cho hai số phức phân biệt z1; z 2 thỏa mãn điều kiện là số ảo. Khẳng định nào sau z1 z 2 đây đúng? A. z1 1; z 2 1 B. z1 z 2 C. z1 z 2 D. z1 z 2 Câu 24: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z 2 i 1 z i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1,3 . A. 3 i . B. 1 3i . C. 2 3i . D. 2 3i . Câu 25: Trong các số phức z thỏa mãn z 1. Tìm số phức z để 1 z 3 1 z đạt giá trị lớn nhất. 4 3 4 3 3 3 A. z i,. z i B. z i,. z i 5 5 5 5 5 5 4 3 4 3 3 4 3 C. z i,. z i D. z i,. z i 5 5 5 5 5 5 5 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook:
  8. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: TÍNH TOÁN TRÊN SỐ PHỨC 5 z i Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn 2 i 1 . Tính mô đun của số phức  1 z z 2 . z 1 A. 13 B. 15 C. 17 D. 19 Hướng dẫn giải: Giả sử z a bi 5 a bi i 1 2i 5 a 5 i b 1 2 a 2 bi 2 ai bi2 i a bi 1 3a 2 b 0 a 1 3a 2 b i 5 b 5 2 b a 1 0 z 1 i 3b a 4 0 b 1  11i 12123 i i  49 13 Chọn A. z1 Câu 2: Cho z1, z 2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn 2 và z1 z 2 2 3. Tính z2 môđun của số phức z1. 5 A. z 5. B. z 3. C. z 2. D. z . 1 1 1 1 2 Hướng dẫn giải: Gọi z1 a bi z 2 a bi; a ; b . Không mất tính tổng quát ta gọi b 0. Do z1 z 2 2 3 2 bi 2 3 b 3. 3 z1 z 1 3 Do z1, z 2 là hai số phức liên hợp của nhau nên z1. z 2 , mà 2 2 z1 . z2 z1 z 2 b 0 Ta có: zabi3 3 aab 33 2 3 abbi 2 3 3 abb 2 3 0 a 2 1. 1 2 2 3a b 2 2 Vậy z1 a b 2. Chọn C. m 2 6i Câu 3: Cho số phức z , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m 1;50 để z là số 3 i thuần ảo? A. 24. B. 26. C. 25. D. 50. Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook:
  9. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao m 2 6i m m m Ta có: z (2 i ) 2 . i 3 i z là số thuần ảo khi và chỉ khi m 2 k 1, k (do z 0;  m * ). Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài. Chọn C. z2 1 Câu 4: Nếu z 1 thì z A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực. Hướng dẫn giải: z2 1 1 z z Ta có: z z z z z là số thuần ảo. z z z. z z 2 Chọn B. z2 a Câu 5: Nếu z a; a 0 thì z A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực. Hướng dẫn giải: z2 a 2 a a 2 z a 2 z Ta có: z z z z z là số thuần ảo. z z z. z z 2 Chọn B. z 1 z i Câu 6: Có bao nhiêu số phức z thỏa 1 và 1? i z 2 z A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải: z 1 3 1 x i z z 1 i z x y 2 3 3 Ta có: z i. z i z i 2 z 4x 2 y 3 3 2 2 1 y 2 z 2 Chọn A. Câu 7: Cho hai số phức z1, z 2 thảo mãn z1 z 2 1; z 1 z 2 3. Tính z1 z 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Nhận xét: Bài này nhìn vào có vẻ khá khó, nhưng các em cần phải bình tĩnh, chỉ cần gọi z1 a 1 biz 1;,,, 2 a 2 biaabb 2 1 2 1 2  sau đó viết hết các giả thiết đề bài cho: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook:
  10. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 2 2 2 z1 z 2 1 a1 b 1 a 2 b 2 1 2 2 z1 z 2 3 a1 a 2 b 1 b 2 3 2 2 2 Và viết cái cần tính ra z1 z 2 a 1 a 2 b 1 b 2 . Hãy quan sát cái cần tính và thấy rằng chỉ cần bình phương lên là có thể dùng được giả thiết. Hướng dẫn giải: Ta có: z1 a 1 biz 1;,,, 2 a 2 biaabb 2 1 2 1 2  2 2 2 2 z1 z 2 1 a1 b 1 a 2 b 2 1 2 2 2 2 2 a1 b 1 a 2 b 2 1 a 1 a 2 b 1 b 2 1 z1 z 2 3 a1 a 2 b 1 b 2 3 2 2 2 Vậy: z1 z 2 a 1 a 2 b 1 b 2 1. Chọn A. Câu 8: Tính z i i2 i 3 i 2008 có kết quả: A. 0 B. 1 C. i D. i Hướng dẫn giải: Ta có iz i2 i 3 i 2008 i 2009 và z i i2 i 3 i 2008 . Suy ra z i 1 i2009 i i i 2008 1 0 z 0 Chọn A. Câu 9: Tính S 1009 i 2 i2 3 i 3 2017 i 2017 . A. S 2017 1009i. B. 1009 2017i . C. 2017 1009i . D. 1008 1009i . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có S 1009 i 2 i2 3 i 3 4 i 4 2017 i 2017 1009 4i4 8 i 8 2016 i 2016 i 5 i 5 9 i 9 2017 i 2017 2i2 6 i 6 10 i 10 2014 i 2014 3 i 3 7 i 7 11 i 11 2015 i 2015 504 505 504 504 1009  4n i  4 n 3  4 n 2 i  4 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1009 509040 509545i 508032 508536 i 2017 1009 i . Cách khác: Đặt f x 1 x x2 x 3 x 2017 f x 1 2 x 3 x2 2017 x 2016 xf x x 2 x2 3 x 3 2017 x 2017 1 Mặt khác: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook:
  11. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao x2018 1 f x 1 x x2 x 3 x 2017 x 1 2018x2017 x 1 x 2018 1 f x x 1 2 2018x2017 x 1 x 2018 1 xf x x. 2 x 1 2 Thay x i vào 1 và 2 ta được: 2017 2018 2018i i 1 i 1 2018 2018i 2 S 1009. i 1009 i 20171009 i i 1 2 2i 1 1 1 Câu 10: Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu thức . z w z w Môđun của số phức w bằng: A. 1 B. 2 C. 2016 D. 2017 Hướng dẫn giải: 2 1 1 1z w 1 z w zw Từ 0 0 zwzw zw zw zwzw 1 3 z2 w 2 zw 0 z 2 zw w 2 w 2 0 4 4 2 2 2 1 32 1 i 3 w z w w z w 2 4 2 2 2 2 w i 3w 1 i 3 z Từ z z w w= 2 2 2 2 1i 3 2 2 2017 Suy ra: w 2017 1 3 4 4 Chọn D. z6 7 i Câu 11: Cho số phức z thoả mãn: z . Tìm phần thực của số phức z2017 . 1 3i 5 1008 1008 504 2017 A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 Hướng dẫn giải: z6 7 i Cho số phức z thoả mãn: z . Tìm phần thực của số phức z2013 . 1 3i 5 a bi6 7 i Gọi số phức z a bi(,) a b z a bi thay vào (1) ta có a bi 1 3i 5 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook:
  12. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao (a bi )(1 3 i ) 6 7 i abi 10 abiabiba 10 3 ( 3 ) 12 14 i 10 5 9a 3 b i (11 b 3 a ) 12 14 i 9a 3 b 12 a 1 11b 3 a 14 b 1 504 504 a b1 z 1 i z2017 (1+i) 4 1 i 4 1 i 2 1008 2 1008 i Chọn B. Câu 12: Cho các số phức z1, z 2 khác nhau thỏa mãn: z1 z 2 . Chọn phương án đúng: z z z z A. 1 2 0. B. 1 2 là số phức với phần thực và phần ảo đều khác 0 . z1 z 2 z1 z 2 z z z z C. 1 2 là số thực. D. 1 2 là số thuần ảo. z1 z 2 z1 z 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Phương pháp tự luận: z1 z 2 Vì z1 z 2 và z1 z 2 nên cả hai số phức đều khác 0 . Đặt w và z1 z 2 a , ta z1 z 2 có a2 a2 z z z z z z z z w 1 2 1 2 1 2 1 2 w z zz z a2 a2 z z 1 2 1 2 2 1 z1 z2 Từ đó suy ra w là số thuần ảo. Chọn D. Phương pháp trắc nghiệm: z1 z 2 1 i Số phức z1, z 2 khác nhau thỏa mãn z1 z 2 nên chọn z1 1; z 2 i , suy ra i z1 z 2 1 i là số thuần ảo. u v 10 3u 4 v 2016 M 4 u 3 v Câu 13: Cho hai số phức u,v thỏa mãn và . Tính . A. 2984 B. 2884 C. 2894 D. 24 Hướng dẫn giải: Ta có z2 z. z . Đặt N 3 u 4 v . Khi đó N2 3 uvuv 4 3 4 9 u2 16 v 2 12 uvvu . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11 Facebook:
  13. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Tương tự ta có M2 16 u2 9 v 2 12 uv vu . Do đó M2 N 2 25 u2 v 2 5000 . Suy ra MNM2 5000 2 5000 2016 2984 2984 . Câu 4( Số phức).Cho các số phức z thỏa mãn z 2.Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w 3 2 i 2 i z là một đường tròn.Tính bán kính r của đường tròn đó. A. 20 B. 20 C. 7 D. 7 Hướng dẫn giải: Chọn B. Đặt w x yi,, x y w 3 2 i 2 i z x yi 3 2 i 2 i z 2 2 x 3 y 2 i 2x y 8 x 2 y 1 2 x y 8 x 2 y 1 z i 2 2 i 5 5 5 5 x2 y 2 6 x 4 y 7 0 x 3 2 y 2 2 20 Bán kính của đường tròn là r 20 Câu 14: Cho ba số phức z1,, z 2 z 3 thỏa mãn z1 z 2 z 3 1 và z1 z 2 z 3 1. Mệnh đề nào sau đây là sai. A. Trong ba số đó có hai số đối nhau. B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1. C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1. D. Tích của ba số đó luôn bằng 1. Hướng dẫn giải: Ta có: z1 z 2 z 3 1 1 z 1 z 2 z 3 . Nếu 1 z1 0 thì z2 z 3 0 z 2 z 3 . Nếu 1 z1 0 thì điểm P biểu diễn số phức 1 z1 z 2 z 3 không trùng với góc tọa độ O. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z1 và A là điểm biểu diễn của số 1.    Khi đó ta có OA OM OP (do P là điểm biểu diễn của số 1 z1 ) nên OAPM là hình bình hành. Mà z1 z 2 z 3 1 nên các điểm biểu diễn cho ba số z1,, z 2 z 3 đều nằm trên đường tròn đơn vị. Ta cũng có OA OM 1 nên OAPM là hình thoi. Khi đó ta thấy M, A là giao điểm của đường trung trực đoạn OP với đường tròn đơn vị. Tương tự do P cũng là điểm biểu diễn của z2 z 3 , nếu M’ và A’ là hai điểm biểu diễn của số z2, z 3 thì ta cũng có M’, A’ là giao điểm đường trung trực của OP và đường tròn đơn vị. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12 Facebook:
  14. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Vậy MMAA','  hoặc ngược lại. Nghĩa là z2 1, z 3 z 1 hoặc z3 1, z 2 z 1 . Do đó A, B là mệnh đề đúng. C đúng là hiển nhiên, vì nếu ba số đều 1 một thì tổng bằng 3. 2 2 2 2 D sai vì với z 1, z i , z i thỏa hai tính chất trên của đề bài nhưng 1 22 2 3 2 2 z1 z 2 z 3 1. Chọn D. m 1 Câu 15: Cho số phức z m . Số các giá trị nguyên của m để z i 1 là 1 m 2 i 1 A. 0 B. 1 C. 4 D. Vô số Hướng dẫn giải: m 1 m 1 i 1 2 mi m 3 m 1 m 1 i Ta có z i i 1 m 2 i 1 1 m 2 i 1 1 m 2 mi 3m 1 m 1 i 3m 1 m 1 i z i 1 1 m 2 mi 1 m 2 mi 3m 1 m 1 i 1 m 2 mi 3 m 1 2 m 1 2 1 m 2 4 m2 1 5m2 6 m 1 0 1 m 5 Vì m Không có giá trị của m thỏa mãn. 1 1 1 Câu 16: Cho z là số phức có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn . Mô đun zw z w của số phức z là: A. 2015 B. 1 C. 2017 D. 0 Hướng dẫn giải: 1 1 1 Từ ta suy ra z2 w 2 z w 0 zw z w 2 2 w i 3w 1 i 3 z z w 2 2 2 2 Lấy mô đun hai vế ta có z w 2017. Chọn C. 2z i Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Đặt A . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 iz A. A 1. B. A 1. C. A 1. D. A 1. Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13 Facebook:
  15. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn A. Đặt Có a a bi, a , b a2 b 2 1 (do z 1) 2 2z i 2a 2 b 1 i 4 a2 2 b 1 A 2 iz 2 b ai 2 b 2 a2 4a2 2 b 1 2 Ta chứng minh 1. 2 b 2 a2 2 2 4a 2 b 1 2 2 Thật vậy ta có 1 4a2 2 b 1 2 b a 2 a 2 b 2 1 2 b 2 a2 Dấu “=” xảy ra khi a2 b 2 1. Vậy A 1. Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2 4 2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng? 3 1 3 1 A. z . B. 5 1 z 5 1. 6 6 2 1 2 1 C. 6 1 z 6 1. D. z . 3 3 Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức u v u v , ta được 2z 4 z2 4 4 z2 z 2 2 z 4 0 z 5 1. 2z z2 z2 4 z 2 4 z 2 2 z 4 0 z 5 1. Vậy, z nhỏ nhất là 5 1, khi z i i 5 và z lớn nhất là 5 1, khi z i i 5. Chọn B. Câu 19: Cho z1, z 2 , z 3 là các số phức thỏa mãn z1 z 2 z 3 0 và z1 z 2 z 3 1. Khẳng định nào dưới đây là sai ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 A. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 . B. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 C. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 . D. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Cách 1: Ta có: z1 z 2 z 3 0 z 2 z 3 z 1 3 3 3 3 zzz123 zzz 1233 zzzzzzz 1213123 3 zzzz 2323 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14 Facebook:
  16. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 3 3 3 3 3 3 z1 z 2 z 3 3 z 1 z 2 z 3 z1 z 2 z 3 3 z 1 z 2 z 3 . 3 3 3 z1 z 2 z 3 3 z 1 z 2 z 3 3 z 1 z 2 z 3 3 3 3 3 Mặt khác z1 z 2 z 3 1 nên z1 z 2 z 3 3 . Vậy phương án D sai. Cách 2: thay thử z1 z 2 z 3 1vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu 20: Cho z1,, z 2 z 3 là các số phức thỏa z1 z 2 z 3 1. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 . B. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 . C. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 . D. z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Cách 1: Kí hiệu Re : là phần thực của số phức. 2 2 2 2 Ta có z1 z 2 z 3 z1 z 2 z 3 2Re z 1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 3 2 Re z1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 (1). 2 2 2 2 z1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 zz12 zz 23 zz 31 2 Re zzzz 1223 zzzz 2331 zzzz 3112 zz2. 2 zz 2 . 2 zz 2 . 2 2Re zzzzzzzzz 2 2 2 12 23 31 123231312 3 2Re zzzzzz132132 3 2Re zzzzzz 123331 (2). Từ 1 và 2 suy ra z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 . Các h khác: B hoặc C đúng suy ra D đúngLoại B, C. Chọn z1 z 2 z 3 A đúng và D sai Cách 2: thay thử z1 z 2 z 3 1vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai z 1 z i : Câu 21: Tìm số phức z có và max A. 1 B. 1 C. i D. i Hướng dẫn giải: Đặt z a bi thì z a2 b 2; z i a 2 b 1 2 Khi đó ta có: z 1 ab2 2 1 bziab 1; 2 1 2 abb 2 2 2 1 2 b 2 2 Do đó giá trị lớn nhất đạt được bằng 2 khi a 0; b 1; z i . Chọn C. Câu 22: Tìm phần thực của số phức z 1 i n , n  thỏa mãn phương trình: log4 n 3 log 4 n 9 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15 Facebook:
  17. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Hướng dẫn giải: Điều kiện n 3, n  Phương trình: log4 n 3 log 4 n 9 3 log 4 n 3 n 9 3 n 7 (so đk) 3 z 1 i7 1 i 1 i 2 1 i 2 i 3 8 8 i Vậy phần thực của số phức z là 8. Chọn D. z1 z 2 Câu 23: Cho hai số phức phân biệt z1; z 2 thỏa mãn điều kiện là số ảo. Khẳng định nào sau z1 z 2 đây đúng? A. z1 1; z 2 1 B. z1 z 2 C. z1 z 2 D. z1 z 2 Hướng dẫn giải: z1 z 2 z 1 z 2 0 z z z z z z Thì 1 2 là số ảo 1 2 1 2 0. z1 z 2 z1 z 2 z 1 z 2 z1 z 2 z 1 z 2 0 z1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 0. z1 z 2 z1 z 2 2 z1 z 1 z 2 z 2 0 z 1 z 1 z 2 z 2 0 z 1 z 2 0. Chọn C. Câu 24: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z 2 i 1 z i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1,3 . A. 3 i . B. 1 3i . C. 2 3i . D. 2 3i . Hướng dẫn giải: Gọi M x, y là điểm biểu diễn số phức z x yi x, y R Gọi E 1, 2 là điểm biểu diễn số phức 1 2i Gọi F 0, 1 là điểm biểu diễn số phức i Ta có: z 2 i 1 z i ME MF Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục EF: x y 2 0 . Để MA ngắn nhất khi MA EF tại M M3,1 z 3 i Câu 25: Trong các số phức z thỏa mãn z 1. Tìm số phức z để 1 z 3 1 z đạt giá trị lớn nhất. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16 Facebook:
  18. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 4 3 4 3 3 3 A. z i,. z i B. z i,. z i 5 5 5 5 5 5 4 3 4 3 3 4 3 C. z i,. z i D. z i,. z i 5 5 5 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: Giả sử z x yi,, x y  Vì z 1 x2 y 2 1 x 2 y 2 1 Khi đó: 1 z 3 1 z x 1 2 y2 3 x 1 2 y 2 x 1 2 1 x2 3 x 1 2 1 x 2 2 1 x 3 1 x Xét hàm số f x 2 1 x 3 1 x trên đoạn  1;1 ta có: 1 3 4 f' x 2 ; f ' x 0 x 2 1 x 2 1 x 5 4 Ta có: f 1 6; f 2 10 5 4 3 4 x ; y 4 x 5 5 Vậy f f 2 10 5 max 5 2 2 4 3 y 1 x x ; y 5 5 4 3 4 3 Vậy z i,. z i 5 5 5 5 Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17 Facebook:
  19. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÊN SỐ PHỨC z i z2 1 z 3 i 0 Câu 1: Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình: A. 3. B. 4. C. 6. D. 8 2 Câu 2: Gọi z1, z 2 là 2 nghiệm của phương trình z 2 z 2 0 trên tập số phức. Tìm mô đun của số 2015 2016 phức  z1 1 z 2 1 . A.  5 B.  2 C.  1 D.  3 Câu 3: Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z ) z2 bz c 0 nhận z 1 i là một nghiệm. A. b 2; c 2 B. b 2; c 2 C. b 2; c 2 D. b 1; c 1 Câu 4: Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực m, n để phương trình z4 mz 2 n 0 không có nghiệm thực. m2 4 n 0 2 2 A. m 4 n 0. B. m 4 n 0 hoặc m 0 . n 0 m2 4 n 0 m2 4 n 0 2 C. m 0 . D. m 4 n 0 hoặc m 0 . n 0 n 0 Câu 5: Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình iz 1 z 3 i z 2 3 i 0 là các điểm nào sau đây? A. ABC 0;1; 0;3; 2;3 B. ABC 1;0; 3;0; 2; 3 C. ABC 0; 2 ; 0;1 ; 2;3 D. ABC 2; 2 ; 1;1 ; 1;0 Câu 6: Tìm các số thực a,, b c sao cho hai phương trình az2 bz c 0, cz 2 bz a 16 16 i 0 có nghiệm chung là z 1 2 i A. a, b , c 1; 2;5 B. a, b , c 1;2;5 C. a, b , c 1; 2;5 D. a, b , c 1; 2; 5 Câu 7: Tìm các số thực a,, b c để phương trình (với ẩn z ) z3 az 2 bz c 0 nhận z 1 i làm nghiệm và cũng nhận z 2 làm nghiệm. A. a 4; b 6; c 4 B. a 4; b 5; c 4 C. a 3; b 4; c 2 D. a 1; b 0; c 2 4 z 1 Câu 8: Phương trình 1 có bao nhiêu nghiệm. z 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18 Facebook:
  20. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm 25 Câu 9: Số nghiệm phức của phương trình z 8 6 i là? z A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm 4 2 Câu 10: Gọi z1;;; z 2 z 3 z 4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4 m z 4 m 0. Tìm tất cả các giá trị m để z1 z 2 z 3 z 4 6. A. m 1 B. m 2 C. m 3 D. m 1 4 z 1 Câu 11: Gọi z1, z 2 , z 3 , z 4 là các nghiệm của phương trình 1. Tính giá trị biểu thức 2z i 2 2 2 2 P z1 1 z 2 1 z 3 1 z 4 1 . 17 16 15 A. P 2. B. P . C. P . D. P . 9 9 9 Câu 12: Tìm số thực m a b 20 (a, b là các số nguyên khác 0) để phương trình 2 2z 2( m 1) z (2 m 1) 0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1 z 2 10 . Tìm a. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19 Facebook:
  21. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÊN SỐ PHỨC z i z2 1 z 3 i 0 Câu 1: Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình: A. 3. B. 4. C. 6. D. 8 Hướng dẫn giải: z i z i z i z 1 z 1 z i z2 1 z 3 i 0 z 1 z i z i 3 3 z i 0 2 i 5 z iz 1 0 z 2 Suy ra tổng mô-đun các nghiệm bằng 6. Chọn C. 2 Câu 2: Gọi z1, z 2 là 2 nghiệm của phương trình z 2 z 2 0 trên tập số phức. Tìm mô đun của số 2015 2016 phức  z1 1 z 2 1 . A.  5 B.  2 C.  1 D.  3 Hướng dẫn giải: Phương trình z2 2 z 2 0 có ' 1 2 1 i2 . z1 1 i z1 1 i Suy ra phương trình có hai nghiệm hoặc z2 1 i z2 1 i z1 1 i 2015 2016 21007 2 1013 Thay vào  ta được:  i i i . i i 1 i . z2 1 i z1 1 i 20152016 21002 2 1003 Thay vào  i i i . i i 1 i . z2 1 i Vậy  2. Chọn B. Câu 3: Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z ) z2 bz c 0 nhận z 1 i là một nghiệm. A. b 2; c 2 B. b 2; c 2 C. b 2; c 2 D. b 1; c 1 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20 Facebook:
  22. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Nếu z 1 i là nghiệm thì: 2 b c 0 b 2 1 i b 1 i c 0 b c b 2 i 0 b 2 0 c 2 Một phương trình bậc hai với hệ số thực, nếu có một nghiệm phức z thì cũng nhận z lam nghiệm. Vậy nếu z 1 i là một nghiệm thì z 1 i cũng là nghiệm. Theo định lý Vi-ét: 1 i 1 i b b 2 1 i 1 i 2 c Chọn A. Câu 4: Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực m, n để phương trình z4 mz 2 n 0 không có nghiệm thực. m2 4 n 0 2 2 A. m 4 n 0. B. m 4 n 0 hoặc m 0 . n 0 m2 4 n 0 m2 4 n 0 2 C. m 0 . D. m 4 n 0 hoặc m 0 . n 0 n 0 Hướng dẫn giải: Phương trình z4 mz 2 n 0 không có nghiệm thực trong các trường hợp: TH1: Phương trình vô nghiệm, tức là m2 4 n 0. 0 m2 4 n 0 4 2 2 TH2: Phương trình t mt n 0; t z có hai nghiệm âm S 0 m 0 . P 0 n 0 Chọn D. Câu 5: Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình iz 1 z 3 i z 2 3 i 0 là các điểm nào sau đây? A. ABC 0;1; 0;3; 2;3 B. ABC 1;0; 3;0; 2; 3 C. ABC 0; 2 ; 0;1 ; 2;3 D. ABC 2; 2 ; 1;1 ; 1;0 Hướng dẫn giải: 1 z i iz 1 0 i z i izziz 1 3 2 3 i 0 zi 3 0 zi 3 zi 3 z 2 3 i 0 z 2 3 i z 2 3 i File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21 Facebook:
  23. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Vậy các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho là ABC 0;1; 0;3; 2;3. Chọn A. Câu 6: Tìm các số thực a,, b c sao cho hai phương trình az2 bz c 0, cz 2 bz a 16 16 i 0 có nghiệm chung là z 1 2 i A. a, b , c 1; 2;5 B. a, b , c 1;2;5 C. a, b , c 1; 2;5 D. a, b , c 1; 2; 5 Hướng dẫn giải: Theo giả thiết phương trình az2 bz c 0 có nghiệm z 1 2 i khi 2 3a b c 0 a 1 2 ib 1 2 ic 0 3 abcabi 4 2 0 1 4a 2 b 0 Tương tự phương trình cz2 bz a 16 16 i 0 có nghiệm z 1 2 i khi cibia 12 2 12 16160 i c 34 ibbia 2 16160 i a b 3 c 16 0 a b 3 c 16 2 b 2 c 8 i 0 2 b 2 c 8 0 Từ 1 , 2 suy ra a, b , c 1; 2;5 . Chọn A. Câu 7: Tìm các số thực a,, b c để phương trình (với ẩn z ) z3 az 2 bz c 0 nhận z 1 i làm nghiệm và cũng nhận z 2 làm nghiệm. A. a 4; b 6; c 4 B. a 4; b 5; c 4 C. a 3; b 4; c 2 D. a 1; b 0; c 2 Hướng dẫn giải: z 1 i là nghiệm thì 1 i 3 a 1 i 2 b 1 i c 0 z 2 là ngiệm thì 8 4a 2 b c 0 b c 2 0 1 Từ đó ta có hệ phương trình 2a b 2 0 2 4a 2 b c 8 0 3 Từ 1 suy ra c 2 b Từ 2 suy ra b 2 2 a c 2 2 2 a 4 2 a Thay vào 3 ta có: 4a 2 2 2 a 4 2 a 8 0 a 4 Với a 4 b 6; c 4. Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22 Facebook:
  24. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 4 z 1 Câu 8: Phương trình 1 có bao nhiêu nghiệm. z 1 A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Hướng dẫn giải: 2 z 1 4 1, 1 z 1 z 1 1 2 z 1 z 1 1, 2 z 1 z 1 1 z 1 z 1 z 1 i i 1 z 0 z 1 z 1 z 1 z 0 1 z 1 z 1 i z 1 z 1 iz 1 z 1 2 z 1 z 1 iz 1 z 1 i z 1 Vậy nghiệm phương trình là: z 0; z 1; z 1 Chọn C. 25 Câu 9: Số nghiệm phức của phương trình z 8 6 i là? z A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Hướng dẫn giải: Giả sử z a bi với; a, b R và a, b không đồng thời bằng 0. 1 1 a bi Khi đó z a bi; z a bi a2 b 2 Khi đó phương trình 2 2 2 2 25 25 a bi a a b 25 8 a b 1 z 8 6 i a bi 8 6 i . z a2 b 2 2 2 2 2 b a b 25 6 a b 2 3 Lấy 1 chia 2 theo vế ta có b a, thế vào 1 . Ta có a 0 hoặc a 4. 4 Với a 0 b 0 (Loại) Với a 4 b 3. Ta có số phức z 4 3 i . Chọn B. 4 2 Câu 10: Gọi z1;;; z 2 z 3 z 4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4 m z 4 m 0. Tìm tất cả các giá trị m để z1 z 2 z 3 z 4 6. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23 Facebook:
  25. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A. m 1 B. m 2 C. m 3 D. m 1 Hướng dẫn giải: z1,2 2 i z4 4 m z 2 4 m 0 z 2 4 z 2 m 0 z3,4 m z1;2 2 i Nếu m 0 hoặc nếu m 0 z3;4 i m 6 z z z z 4 2 m Khi đó 1 2 3 4 m 1 m 0 6 z z z z 4 2 m Hoặc 1 2 3 4 m 1 m 0 Kết hợp lại m 1 thỏa mãn bài toán. Chọn D. 4 z 1 Câu 11: Gọi z1, z 2 , z 3 , z 4 là các nghiệm của phương trình 1. Tính giá trị biểu thức 2z i 2 2 2 2 P z1 1 z 2 1 z 3 1 z 4 1 . 17 16 15 A. P 2. B. P . C. P . D. P . 9 9 9 Hướng dẫn giải: Ta có phương trình f z 2 z i 4 z 1 4 0. Suy ra: f z 15 z z1 z z 2 z z 3 z z 4 . Vì f i . f i z2 1 z i z i P 1 . 1 1 1 225 4 4 4 17 Mà f i i4 i 1 5; f i 3 i i 1 85. Vậy từ 1 P . 9 Chọn B. Câu 12: Tìm số thực m a b 20 (a, b là các số nguyên khác 0) để phương trình 2 2z 2( m 1) z (2 m 1) 0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1 z 2 10 . Tìm a. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: ' m2 6 m 1  TH1: ' 0 hay m ( ;3 10)  (3 10; ) 2 2 Khi đó z1 z 2 10 z 1 z 2 2 z 1 z 2 10 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24 Facebook:
  26. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2m 1 0 (1 m )2 10 2 m 1 10 ( loai ) (1 m ) (2 m 1) 2 m 110 2m 1 0 m 3 20 2 m 6 m 11 0 TH2: ' 0 hay m (3 10;3 10) 1 m i ( m2 6 m 1) 1 m i ( m 2 6 m 1) Khi đó: z z 10 10 1 2 2 2 Hay (1 m )2 ( m 2 6 m 1) 10 m 2 Vậy m = 2 hoặc m 3 20 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25 Facebook:
  27. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao DẠNG 3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM, BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Câu 1: Tìm tập hợp T các điểm M biểu diễn các số phức z sao cho log1z 2 log 1 z . 2 2 A. Miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x 1 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 C. Hình vành khăn gồm các điểm giữa hai hình tròn O;1 và O;2 kể cả các điểm nằm trên đường tròn O;2 ; không kể các điểm nằm trên đường tròn O;1 D. Đường thẳng x 1 Câu 2: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z 1 z 1 4 là: 2 2 A. x2 y 2 4 B. x 1 y 1 4 x2 y 2 C. 1 D. 3x2 4 y 2 36 0 4 3 Câu 3: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z 2 z 2 3 là: A. x2 y 2 1 B. x 2 2 y 2 2 9 x2 y 2 x2 y 2 C. 1 D. 2 2 1 3 2 3 7 2 2 Câu 4: Cho 3 số phức: 1;3i ; 3 5 i biểu diễn bởi các điểm ABC,, . Điểm I thỏa mãn    2IA 3 IB 2 IC 0 biểu diễn số phức nào sau đây? A. 4 19i B. 4 19i C. 4 19i D. 4 6i Câu 5: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z 2 i 3 là đường tròn tâm I. Tất cả giá trị m thỏa mãn 1 khoảng cách từ I đến : 3x 4 y m 0 bằng là: 5 A. m 7; m 9 B. m 8; m 8 C. m 7; m 9 D. m 8; m 9 Câu 6: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thảo mãn điều kiện: z2 5 z 5 z 0. A. Đường thẳng qua gốc tọa độ. B. Đường tròn bán kính 1. C. Đường tròn tâm I 5;0 bán kính 5 D. Đường tròn tâm I 5;0 bán kính 3 z 2 3 i Câu 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u là một số thuần ảo. z i A. Đường tròn tâm I 1; 1 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm 0;1 và 2; 3 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26 Facebook:
  28. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao B. Đường tròn tâm I 1; 3 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm 0;1 và 2; 3 . C. Đường tròn tâm I 1; 4 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm 0;1 và 2; 3 . D. Đường tròn tâm I 2; 1 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm 0;1 và 2; 3 . 4 Câu 8: Tìm trong mặt phẳng tập hợp  các điểm M biểu diễn số phức z sao cho Z z là z một số thực. A. Trục hoành x' Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O, bán kính R 2 B. Trục hoành x' Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O, bán kính R 1 C. Đường tròn tâm O, bán kính R 1 D. Trục hoành x' Ox ngoại trừ điểm gốc Câu 9: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z x yi, M 0. Xem số phức 1 2 1 Z z 2 . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực. 2 z A. Trục tung (hay trục hoành ), không kể điểm O. B. Trục tung hay trục hoành C. Đường thẳng y 1 D. Đường thẳng x 1 Câu 10: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z x yi, M 0. Xem số phức 1 2 1 Z z 2 . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thuần ảo. 2 z A. Đường tròn tâm O, bán kính R 1 B. Đường tròn tâm I 0;1 bán kính R 1 C. Đường thẳng y 1 D. Đường thẳng x 1 1 iz Câu 11: Cho Z , z  , z x yi với x, y  . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số 1 iz thực. A. Trục tung ngoại trừ điểm A 0;1 B. Trục hoành ngoại trừ điểm A 0;1 C. Đường thẳng y 1 D. Đường thẳng x 1 1 iz Câu 12: Cho Z , z  , z x yi với x, y  . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số 1 iz thuần ảo. A. Đường tròn tâm O, bán kính R 1 ngoại trừ điểm A 0;1 B. Đường tròn tâm O, bán kính R 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27 Facebook:
  29. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao C. Đường thẳng y 1 D. Đường thẳng x 1 Câu 13: Trong mặt phẳng phức, cho m và M là điểm biểu diễn số phức z x yi, M 0. 1 1 Z X Yi z . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực. 2 z A. Đường tròn tâm O, bán kính R 1 và trục hoành Ox, không kể điểm gốc O B. Đường tròn tâm O, bán kính R 1 C. Đường thẳng y 1. 1 D. Đường thẳng x và trục hoành Ox 2 Câu 14: Trong mặt phẳng phức, cho m và M theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z x yi z 1 và Z . Tìm tập hợp các điểm m sao cho: Z là một số thuần ảo. z 2 i 1 5 A. Đường tròn tâm I ; 1 , bán kính R 2 2 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 C. Đường thẳng y 2 x 2 D. Đường thẳng x 1 Câu 15: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z 2 z i . 8 4 2 2 A. x2 y 2 y 0 B. x 1 y 1 4 3 3 x2 y 2 C. 1 D. 3x2 4 y 2 36 0 4 3 Câu 16: Cho A là điểm biểu diễn của các số phức: z 1 2 i ; M1 , M 2 lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 và z2 . Điều kiện để AM1 M 2 cân tại A là: A. z1 z 2 B. z1 1 2 i z 2 1 zi C. z1 z 2 1 2 i D. z1 1 2 i z 1 z 2 Câu 17: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z a z a aa A. Đường tròn tâm A, bán kính R AO B. Đường tròn tâm A, bán kính R 2 C. Một hyperbol vuông góc D. Đường thẳng x 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28 Facebook:
  30. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 18: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z 2 2 sao cho: z2 a 2 z a . A. Đường tròn tâm A, bán kính R AO B. Đường tròn tâm A, bán kính R 2 C. Một hyperbol vuông góc D. Đường thẳng x 1 Câu 19: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M là ảnh của số phức z sao cho: Ảnh của các số i,, z iz thẳng hàng. 2 2 1 1 2 A. Đường tròn x y x y 0, có tâm I ; , bán kính R ngoại trừ điểm 0;1 2 2 2 2 2 1 1 2 B. Đường tròn x y x y 0, có tâm I ; , bán kính R 2 2 2 C. Một hyperbol vuông góc D. Đường thẳng x 1 Câu 20: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M là ảnh của số phức z sao cho: Ảnh của các số z,, z2 z 4 thẳng hàng. 2 2 1 1 A. Đường tròn x y x y 0, có tâm I ; , bán kính R 1 ngoại trừ điểm 0;1 2 2 2 2 1 1 2 B. Đường tròn x y x y 0, có tâm I ; , bán kính R 2 2 2 C. Một hyperbol vuông góc và trục hoành Ox 1 D. Đường thẳng x và trục hoành Ox 2 Câu 21: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z z k z . Với k là một số thực cho trước. A. Đường tròn tâm O 0;0 , bán kính R 1 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 C. Nửa trục Ox, nửa trục Ox' D. Nửa trục Ox' Câu 22: Cho hai số phức: p a bi; q c di Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho số z p z q là số thực. A. Đường tròn tâm O 0;0 , bán kính R 1 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29 Facebook:
  31. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao a c b d C. Một hyperbol vuông góc có tiệm cận là x ; y 2 2 D. Các đường thẳng y 2 x , trừ gốc tọa độ O 0;0 Câu 23: Trong mặt phẳng phức, cho MM,' theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức z và z 1 i z':,' z x yi z . Tìm tập hợp điểm E các điểm M sao cho: Điểm M ' nằm z 1 trên trục tung và M ' 0. 1 1 A. Đường tròn tâm I 1; , bán kính R ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . 2 2 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . C. Đường thẳng y 1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . D. Đường thẳng x 1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . Câu 24: Trong mặt phẳng phức, cho MM,' theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức z và z 1 i z':,' z x yi z . Tìm tập hợp điểm E các điểm M sao cho: Điểm M ' nằm z 1 trên trục hoành và M ' 0. 1 1 A. Đường tròn tâm I 1; , bán kính R ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . 2 2 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . C. Đường thẳng y 1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . D. Đường thẳng x 1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . Câu 25: Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức w 1 i 3 z 2 biết số phức z thỏa mãn: z 1 2 1 . 2 2 A. Hình tròn x 3 2 y 3 16 B. Hình tròn x 3 2 y 3 9 2 2 C. Hình tròn x 3 2 y 3 25 D. Hình tròn x 3 2 y 3 36 Câu 26: Trong mặt phẳng phức, gọi NMAB,,, theo thứ tự là điểm biểu diễn các số: z 1 z x yi; Z X Yi ;1; 1. Tìm tập hợp điểm M khi N chạy trên đường tròn z 1 x2 y 2 1. A. Đường tròn tâm I 2 2;0 , bán kính R 5 4 2 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 C. Trục tung File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30 Facebook:
  32. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao D. Trục hoành Câu 27: Gọi M và A là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z x yi; a 10 6 i . Tìm tập hợp E1 các điểm M sao cho tích z z a là một số thực. A. Đường tròn tâm I 2 2;0 , bán kính R 5 4 2 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 3x C. Là một hyperbol vuông góc y , x 5 x 5 3x D. Là một hyperbol y , x 5 x 5 Câu 28: Gọi M và A là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z x yi; a 10 6 i . Tìm tập hợp E2 các điểm M sao cho tích z z a là một số thuần ảo. A. Đường tròn tâm I 2 2;0 , bán kính R 5 4 2 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 C. Là một hyperbol vuông góc có tâm đối xứng I 5; 3 , có trục thực nằm trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8. D. Là một hyperbol có tâm đối xứng I 5;3 , có trục thực nằm trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8. Câu 29: Tìm tập hợp T các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức z z z A. Đường tròn tâm O 0;0 , bán kính R 1 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 C. Đường thẳng x y3, x y 3 D. Đường thẳng y x3, y x 3 1 Câu 30: Điểm M biểu diễn số phức z 0 và điểm M’ biểu diễn số phức z ' . Nếu điểm M di động z trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R 2 thì M’ di động trên đường nào? A. x2 y 2 2 x 2 y 0 B. 2x 2 y 1 0 C. 2x 2 y 1 0 D. 2x 2 y 1 0 Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4 i 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2 z 1 i là hình tròn có diện tích A. S 9 . B. S 12 . C. S 16 . D. S 25 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31 Facebook:
  33. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 Câu 32: Cho số phức z thỏa mãn z và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . 2 1 Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w là một trong bốn điểm M , iz N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là A. điểm Q . B. điểm M . C. điểm N . D. điểm P . Câu 33: Biết số phức z thỏa điều kiện3 z 3 i 1 5. Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng A. 16 B. 4 C. 9 D. 25 z 2 z 3 i Câu 34: Gọi M là điểm biểu diễn số phức  , trong đó z là số phức thỏa mãn z2 2   2 i z i 3 i z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox, ON 2 , trong đó   Ox, OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II). C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV). 1 i Câu 35: Gọi điểm AB, lần lượt biểu diễn các số phức z và z z; z 0 trên mặt phẳng tọa 2 độ ( ABC, , và ABC , , đều không thẳng hàng). Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB vuông cân tại O. C. Tam giác OAB vuông cân tại B. D. Tam giác OAB vuông cân tại A. Câu 36: Cho ABCD, , , là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức 1 2;i 1 3 i ; 1 3 i ; 1 2 i . Biết ABCD là tứ giác nội tiếp tâm I. Tâm I biểu diễn số phức nào sau đây? A. z 3. B. z 1 3 i . C. z 1. D. z 1. Câu 37: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M là điểm biểu diễn số phức z 2 i 2 4 i và  gọi là góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ OM. Tính cos 2 . 425 475 475 425 A. . B. . C. . D. . 87 87 87 87 Câu 38: Gọi điểm AB, lần lượt biểu diễn các số phức z1 ; z2; z 1 . z 2 0 trên mặt phẳng tọa độ ( 2 2 ABC, , và ABC , , đều không thẳng hàng) và z1 z 2 z 1. z 2 . Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB vuông cân tại O. C. Tam giác OAB vuông cân tại B. D. Diện tích tam giác OAB không đổi. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32 Facebook:
  34. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2z z 1 i Câu 39: Gọi M là điểm biểu diễn số phức  , trong đó z là số phức thỏa mãn z2 i   1 i z i 2 i z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox, ON 2 , trong đó   Ox, OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II). C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV). Câu 40: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4 i 5 và biểu thức M z 2 2 z i 2 đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z i. A. z i 2 41 B. z i 3 5. C. z i 5 2 D. z i 41. ABC, , ABC , , Câu 41: Các điểm và lần lượt biểu diễn các số phức z1, z 2 , z 3 và z1 , z 2 , z 3 trên mặt phẳng tọa độ ( ABC, , và ABC , , đều không thẳng hàng). Biết z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 , khẳng định nào sau đây đúng? A. Hai tam giác ABC và ABC bằng nhau. B. Hai tam giác ABC và ABC có cùng trực tâm. C. Hai tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm. D. Hai tam giác ABC và ABC có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp. Câu 42: Cho số phức z1, z 2 thỏa mãn z1 3 , z2 2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần   z z lượt là các điểm MN, . Biết  OM, ON , tính giá trị của biểu thức 1 2 . 6 z1 z 2 7 3 1 A. 13 B. 1 C. D. 2 13 10 Câu 43: Cho thỏa mãn z thỏa mãn 2 i z 1 2 i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho z số phức w 3 4 i z 1 2 i là đường tròn I , bán kính R . Khi đó. A. IR 1; 2 , 5. B. IR 1;2 , 5. C. IR 1;2 , 5. D. IR 1; 2 , 5. Câu 44: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện: z 4 z 4 10. A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm O 0;0 và có bán kính R 4 x2 y 2 B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 1. 9 25 C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm M x; y trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn phương trình x 4 2 y2 x 4 2 y 2 12. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33 Facebook:
  35. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao x2 y 2 D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 1. 25 9 Câu 45: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z 2 i 1 z i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1,3 . A. 3 i . B. 1 3i . C. 2 3i . D. 2 3i . Câu 46: Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn 2 2 2 z z 2 z 16 là hai đường thẳng d1, d 2 . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1, d 2 là bao nhiêu? A. d d1, d 2 2. B. d d1, d 2 4. C. d d1, d 2 1. D. d d1, d 2 6 . Câu 47: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 z 2 10 . 2 2 2 2 x y A. Đường tròn x 2 y 2 100 . B. Elip 1. 25 4 2 2 2 2 x y C. Đường tròn x 2 y 2 10 . D. Elip 1. 25 21 Câu 48: Cho số phức z thỏa mãn z m2 2 m 5 với m là số thực. Biết rằng tập hợp điểm của số phức w 3 4 i z 2 i là đường tròn. Tìm bán kính R nhỏ nhất của đường tròn đó. A. R 5 . B. R 10. C. R 15. D. R 20 2 Câu 49: Cho số phức z thỏa mãn z và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . 2 1 Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w là một trong bốn điểm M , iz N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là: A. Điểm Q . C. Điểm M . B. Điểm N . D. Điểm P Câu 50: Trong mặt phẳng phức cho các điểm O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức z ' 0 và B' biểu diễn số phức zz '. Nhận định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều B. Hai tam giác OAB,'' OA B là hai tam giác đồng dạng C. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AA'' B D. Trọng tâm của OAB là điểm biểu diễn của số phức z1 z 2 z 3 z 1 i ; z 1 i . z  z,, z z Câu 51: Cho 1 2 Tìm 3 sao cho các điểm biểu diễn 1 2 3 tạo thành tam giác đều. A. z3 2 1 i và z3 2 1 i B. z3 3 1 i và z3 3 1 i File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34 Facebook:
  36. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao C. z3 2 1 i và z3 2 1 i D. z3 3 1 i và z3 3 1 i Câu 52: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Ký hiệu a; b là kết quả sẽ xảy ra sau khi gieo, trong đó a, b lần lượt là số chấm xuất hiện lần thứ nhất, thứ hai. Gọi A là biến cố số chấm xuất hiện trên hai lần gieo như nhau. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện nào sau đây? A. z 2 3 i 12 B. z 2 3 i 10 C. z 2 3 i 13 D. z 2 3 i 11 1 1 1 Câu 53: Cho 3 số phức z1,, z 2 z 3 phân biệt thỏa mãn z1 z 2 z 3 3 và . Biết z1,, z 2 z 3 z1 z 2 z 3 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm ABC,, trong mặt phẳng phức. Tính góc ACB . Câu 54: Cho hai số phức z1, z 2 thỏa: z1 z 2 5 . Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: z z1 2 z z 2 là đường tròn và có bán kính R . Tính giá trị của R . 5 7 10 14 A. R . B. R . C. R . D. R 3 3 3 3 Câu 55: Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa mãn z2 z z 0 là đường tròn C . Diện tích S của đường tròn C bằng bao nhiêu? A. S 4 . B. S 2 . C. S 3 . D. S Câu 56: Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa 1 z 1 i 2 là hình vành khăn. Chu vi P của hình vành khăn là bao nhiêu? A. P 4 . B. P . C. P 2 . D. P 3 Câu 57: Trong mặt phẳng phức Oxy, giả sử M là điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn z 2 z 2 8. Tập hợp những điểm M là? x2 y 2 x2 y 2 A. E : 1. B. E : 1. 16 12 12 16 C. T : x 2 2 y 2 2 64 . D. T : x 2 2 y 2 2 8 Câu 58: Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa z 2 i 1 z i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1;3 A. 3 i . B. 1 3i . C. 2 3i . D. 2 3i Câu 59: Xét 3 điểm ABC,, của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1,, z 2 z 3 thỏa mãn z1 z 2 z 3 . Nhận định nào sau đây đúng: A. Tam giác ABC đều B. O là tâm của tam giác ABC C. O là trọng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35 Facebook:
  37. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao D. Trọng tâm của ABC là điểm biểu diễn của số phức z1 z 2 z 3 Câu 60: Cho các số phức z thỏa mãn z 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w (3 4 i ) z i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r 4. B. r 5. C. r 20. D. r 22. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36 Facebook:
  38. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM, BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Câu 1: Tìm tập hợp T các điểm M biểu diễn các số phức z sao cho log1z 2 log 1 z . 2 2 A. Miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x 1 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 C. Hình vành khăn gồm các điểm giữa hai hình tròn O;1 và O;2 kể cả các điểm nằm trên đường tròn O;2 ; không kể các điểm nằm trên đường tròn O;1 D. Đường thẳng x 1 Hướng dẫn giải: Điều kiện: z 0, z 2 Cách 1: Đặt z x yi,,. x y R 2 2 2 2 log1z 2 log 1 z z 2 z x 2 y x y x 1. 2 2 Do đó, tập hợp T các điểm biểu diễn các số phức z là miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x 1. Cách 2: Ta có: log1z 2 log 1 z z 2 z . 2 2 Gọi A là điểm biểu diễn số phức z1 2 A 2;0 Xét trường hợp z 2 z MA MO Khi đó M chạy trên đường trung trực của đoạn OA, có phương trình x 1. Với trường hợp z 2 z MA MB M nằm bên phải đường thẳng . Do đó, tập hợp T các điểm M biểu diễn các số phức z là miền phẳng nằm bên phải đường thẳng , trung trực của đoạn thẳng OA là miền phẳng nằm bên phải đường thẳng x 1. Chọn A. Câu 2: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z 1 z 1 4 là: 2 2 A. x2 y 2 4 B. x 1 y 1 4 x2 y 2 C. 1 D. 3x2 4 y 2 36 0 4 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37 Facebook:
  39. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Hướng dẫn giải: Xét hai điểm: FF1 1;0 , 2 1;0 , theo giả thiết ta có: z 1 z 1 4 MF1 MF 2 4,  M z . Vậy tập hợp điểm cần tìm là elip có các tiêu điểm FF1 1;0 , 2 1;0 , nửa trục lớn a 2, x2 y 2 nửa trục nhỏ b 3 . Phương trình elip 1 4 3 . Chọn C. Câu 3: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z 2 z 2 3 là: A. x2 y 2 1 B. x 2 2 y 2 2 9 x2 y 2 x2 y 2 C. 1 D. 2 2 1 3 2 3 7 2 2 Hướng dẫn giải: Xét hai điểm FF1 2;0 , 2 2;0 , theo giả thiết ta có: z 2 z 2 3 MF1 MF 2 3,  M z . Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hyperbol có các tiêu điểm FF1 2;0 , 2 2;0 , nửa trục lớn 3 3 a , nửa trục nhỏ b . 2 2 x2 y 2 Phương trình của hyperbol 2 2 1. 3 7 2 2 Chọn D. Câu 4: Cho 3 số phức: 1;3i ; 3 5 i biểu diễn bởi các điểm ABC,, . Điểm I thỏa mãn    2IA 3 IB 2 IC 0 biểu diễn số phức nào sau đây? A. 4 19i B. 4 19i C. 4 19i D. 4 6i Hướng dẫn giải: Ta có: ABC 1;0, 0;3, 3;5          2IA 3 IB 2 IC 0 2 OA OI 3 OB OI 2 OC OI 0     OI 2 OA 3 OB 2 OC I 4; 19 Vậy điểm I biểu diễn số phức z 4 19 i . Chọn C. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38 Facebook:
  40. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 5: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z 2 i 3 là đường tròn tâm I. Tất cả giá trị m thỏa mãn 1 khoảng cách từ I đến : 3x 4 y m 0 bằng là: 5 A. m 7; m 9 B. m 8; m 8 C. m 7; m 9 D. m 8; m 9 Hướng dẫn giải: z 23 i x y 23 i x2 y 23 2 x 2 y 290;2 2 I 3.0 4.2 m 1 d I, 8 m 32 4 2 5 1 1 1 8 m 1 m 7 d I, 8 m 5 5 5 8 m 1 m 9 Chọn C. Câu 6: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thảo mãn điều kiện: z2 5 z 5 z 0. A. Đường thẳng qua gốc tọa độ. B. Đường tròn bán kính 1. C. Đường tròn tâm I 5;0 bán kính 5 D. Đường tròn tâm I 5;0 bán kính 3 Hướng dẫn giải: Đặt z x yi, ta có z x yi. Do đó: z2 550 z z x2 y 2 55550 x yi x yi x 5 2 y 2 25 Trên mặt phẳng tọa độ, đó là tập hợp các điểm thuộc đường tròn bán kính bằng 5 và tâm là I 5;0 . Chọn C. z 2 3 i Câu 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u là một số thuần ảo. z i A. Đường tròn tâm I 1; 1 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm 0;1 và 2; 3 . B. Đường tròn tâm I 1; 3 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm 0;1 và 2; 3 . C. Đường tròn tâm I 1; 4 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm 0;1 và 2; 3 . D. Đường tròn tâm I 2; 1 , bán kính bằng 5, khuyết 2 điểm 0;1 và 2; 3 . Hướng dẫn giải: Giả sử z a bi a,,, b  z i khi đó: a 2 bi 3 i a 2 b 3 i a b 1 i u a b 1 i a2 b 1 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39 Facebook:
  41. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Tử số bằng a2 b 2 2 a 2 b 3 2 2 a b 1 i u là số thuần ảo khi và chỉ khi: 2 2 a2 b 2 2 a 2 b 3 0 a 1 b 1 5 2a b 1 0 a; b 0;1 , 2; 3 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 1; 1 , bán kính bằng 5 , khuyết 2 điểm 0;1 và 2; 3 . Chọn A. 4 Câu 8: Tìm trong mặt phẳng tập hợp  các điểm M biểu diễn số phức z sao cho Z z là z một số thực. A. Trục hoành x' Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O, bán kính R 2 B. Trục hoành x' Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O, bán kính R 1 C. Đường tròn tâm O, bán kính R 1 D. Trục hoành x' Ox ngoại trừ điểm gốc Hướng dẫn giải: Đặt z x yi, z 0 với x, y  4 4 4 x yi Ta có: Z z x yi x yi z x yi x2 y 2 x x2 y 2 4 y x 2 y 2 4 i Z x2 y 2 2 2 y x y 4 0 y 0  x2 y 2 4 Z là một số thực: 2 2 2 2 x y 0 x y 0 Do đó  gồm: - Trục hoành x' Ox ngoại trừ điểm gốc. - Đường tròn tâm O, bán kính R 2. Chọn A. Câu 9: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z x yi, M 0. Xem số phức 1 2 1 Z z 2 . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực. 2 z A. Trục tung (hay trục hoành ), không kể điểm O. B. Trục tung hay trục hoành C. Đường thẳng y 1 D. Đường thẳng x 1 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40 Facebook:
  42. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Trường hợp Z là một số thực Phần ảo bằng 0. xy 2 x 0, y 0 x2 y 2 1 0 xy 0, x 2 y 2 0 2 x2 y 2 y 0, x 0 Tập hợp điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z là - Trục tung, không kể điểm O. - Trục hoành, không kể điểm O. Chọn A. Câu 10: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z x yi, M 0. Xem số phức 1 2 1 Z z 2 . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thuần ảo. 2 z A. Đường tròn tâm O, bán kính R 1 B. Đường tròn tâm I 0;1 bán kính R 1 C. Đường thẳng y 1 D. Đường thẳng x 1 Hướng dẫn giải: Trường hợp Z là một số thuần ảo Phần thực bằng 0. 2 x2 y 2 1 0 x 2 y 2 1 Tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R 1. Chọn A. 1 iz Câu 11: Cho Z , z  , z x yi với x, y  . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số 1 iz thực. A. Trục tung ngoại trừ điểm A 0;1 B. Trục hoành ngoại trừ điểm A 0;1 C. Đường thẳng y 1 D. Đường thẳng x 1 Hướng dẫn giải: 1 zi 1 i x yi Ta có: z x yi;, x y R Z 1 zi 1 i x yi 1 yi2 xi 1 y xi 1 y xi 1 y xi Z 1 yi2 xi 1 y xi 1 y xi 1 y xi 2 1 xi y2 1 x2 i 2 2 xi y 2 1 x 2 y 2 2 xi 1 y 2 x2 i 2 1 y 2 x 2 1 y 2 x 2 Z là một số thực x 0, y 0 Ta có z yi, y 1. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41 Facebook:
  43. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là trục tung ngoại trừ điểm A 1;0 . Chọn A. 1 iz Câu 12: Cho Z , z  , z x yi với x, y  . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số 1 iz thuần ảo. A. Đường tròn tâm O, bán kính R 1 ngoại trừ điểm A 0;1 B. Đường tròn tâm O, bán kính R 1 C. Đường thẳng y 1 D. Đường thẳng x 1 Hướng dẫn giải: 2 2 1 x y 0 x2 y 2 1 Số phức Z là một số thuần ảo khi và chỉ khi: 2 2 1 y x 0 x 0, y 0 Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O, bán kính R 1 ngoại trừ điểm A 0;1 Chọn A. Câu 13: Trong mặt phẳng phức, cho m và M là điểm biểu diễn số phức z x yi, M 0. 1 1 Z X Yi z . Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực. 2 z A. Đường tròn tâm O, bán kính R 1 và trục hoành Ox, không kể điểm gốc O B. Đường tròn tâm O, bán kính R 1 C. Đường thẳng y 1. 1 D. Đường thẳng x và trục hoành Ox 2 Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 1 1 1 1 x y 1 x x y 1 x Ta có: Z z x yi 2 z 2 x yi 2 x2 y 2 2 x 2 y 2 2 2 x y 1 y 0 Z là số thực khi và chỉ khi: Y 0 1 2 2 x y 0 y 0 y 0 Ta có: 1 2 2 2 2 x y 1 0 x y 1 Tập hợp các điểm M phải gồm: + Trục hoành Ox, không kể điểm gốc O. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42 Facebook:
  44. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao + Đường tròn tâm O, bán kính R 1 Chọn A. Câu 14: Trong mặt phẳng phức, cho m và M theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z x yi z 1 và Z . Tìm tập hợp các điểm m sao cho: Z là một số thuần ảo. z 2 i 1 5 A. Đường tròn tâm I ; 1 , bán kính R 2 2 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 C. Đường thẳng y 2 x 2 D. Đường thẳng x 1 Hướng dẫn giải: z 1 x yi 1 x 1 yi x 1 yi x y 2 i Ta có: Z z 2 i x yi 2 i x y 2 i x y 2 i x y 2 i x x 1 y y 2 y 2 x 2 i Z x2 y 2 2 Z là một số thuần ảo khi và chỉ khi: x x 1 y y 2 0 x2 y 2 x 2 y 0 1 5 Tập hợp các điểm m là đường tròn tâm I ; 1 , bán kính R . 2 2 Chọn A. Câu 15: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z 2 z i . 8 4 2 2 A. x2 y 2 y 0 B. x 1 y 1 4 3 3 x2 y 2 C. 1 D. 3x2 4 y 2 36 0 4 3 Hướng dẫn giải: Cách 1. Đặt z x yi, z 0 với x, y R 2 8 4 Ta có: z 2 z i x2 y 2 4 x 2 y 1 x 2 y 2 y 0 3 3      Cách 2. Ta có: z 2 z i OM 2 OM OB OM 2 BM Với B 1;0 là điểm biểu diễn số i. MO Do đó ta có: OM 2 BM 2 MB File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43 Facebook:
  45. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Ta suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn Apollonius đường kính IJ , với IJ, thuộc trục tung và:   OI 2 IB 2   I 0; và J 0;2 OJ 2 JB 3 2 2 2 2 2 8 4 Phương trình đường tròn: x y y 2 0 x y y 0 3 3 3 Chọn A. Câu 16: Cho A là điểm biểu diễn của các số phức: z 1 2 i ; M1 , M 2 lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 và z2 . Điều kiện để AM1 M 2 cân tại A là: A. z1 z 2 B. z1 1 2 i z 2 1 zi C. z1 z 2 1 2 i D. z1 1 2 i z 1 z 2 Hướng dẫn giải: AM1 M 2 cân tại A nên MAMM1 1 2 hay: z1 1 2 i z 2 1 2 i Chọn B. Câu 17: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z a z a aa A. Đường tròn tâm A, bán kính R AO B. Đường tròn tâm A, bán kính R 2 C. Một hyperbol vuông góc D. Đường thẳng x 1 Hướng dẫn giải: Ta có: z a. z a aa z a2 a 2 1 Gọi A là điểm biểu diễn số phức a trong mặt phẳng phức.  2  2 Ta có: 1 MA OA AM2 OA 2 AM AO Do đó, tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán kính R AO . Chọn A. Câu 18: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z 2 2 sao cho: z2 a 2 z a . A. Đường tròn tâm A, bán kính R AO B. Đường tròn tâm A, bán kính R 2 C. Một hyperbol vuông góc D. Đường thẳng x 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44 Facebook:
  46. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 Ta có: zaza2 2 zzaa 2 2 zzzz aaaa 2 z x yi Đặt: a  i Ta có: 2 2x 2 yi 2 2  i xy  Do đó, tập hợp các điểm M là một hyperbol vuông góc. Chọn C. Câu 19: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M là ảnh của số phức z sao cho: Ảnh của các số i,, z iz thẳng hàng. 2 2 1 1 2 A. Đường tròn x y x y 0, có tâm I ; , bán kính R ngoại trừ điểm 0;1 2 2 2 2 2 1 1 2 B. Đường tròn x y x y 0, có tâm I ; , bán kính R 2 2 2 C. Một hyperbol vuông góc D. Đường thẳng x 1 Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi điểm biểu diễn số phức z là M x;. y Gọi điểm biểu diễn số phức i là N 0;1 . Gọi điểm biểu diễn số phức iz là P y;. x   NM x; y 1 ; NP y ; x 1 Vì 3 điểm MNP,, thẳng hàng nên ta có: x x 1 y y 1 x2 y 2 x y 0. 2 2 1 1 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn x y x y 0, có tâm I ; , bán kính 2 2 2 R ngoại trừ điểm 0;1 . 2 Cách 2: Kí hiệu M z dùng để chỉ M là điểm biểu diễn số phức z hay ảnh của số phức z. Giả sử các điểm A i ,,' M z M iz thẳng hàng:   iz z MM', kMAk R izz kiz k i z i x yi x yi y x x y i x y 1 i Đặt z x yi k k i x yi x y 1 i x y 1 i File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45 Facebook:
  47. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao x2 y 2 x y x 2 y 2 x y k i x2 y 1 2 x 2 y 1 2 2 2 x y x y 0 k là một số thực. Do đó ta có: 2 2 x y 1 0 2 2 1 1 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn x y x y 0, có tâm I ; , bán kính 2 2 2 R ngoại trừ điểm 0;1 . 2 Chọn A. Câu 20: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm M là ảnh của số phức z sao cho: Ảnh của các số z,, z2 z 4 thẳng hàng. 2 2 1 1 A. Đường tròn x y x y 0, có tâm I ; , bán kính R 1 ngoại trừ điểm 0;1 2 2 2 2 1 1 2 B. Đường tròn x y x y 0, có tâm I ; , bán kính R 2 2 2 C. Một hyperbol vuông góc và trục hoành Ox 1 D. Đường thẳng x và trục hoành Ox 2 Hướng dẫn giải: Các điểm M z , M ' z2 , M '' z 4 thẳng hàng.   MM'' kMMkR ', z4 zkz 2 z zz 3 1 kzz 1 0 z z 1 z2 z 1 k 0, z 0,1 z 2 z 1 k 0 Đặt z x yi;, x y R Ta có: k z2 z1 x yi 2 x yi i 1 k x 2 y 2 x 1 2 xy y i 1 k R 2 xy x 0 y 0  x 2 Vậy tập hợp điểm M gồm: + Trục hoành Ox. 1 + Đường thẳng x . 2 Chọn D. Câu 21: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z z k z . Với k là một số thực cho trước. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46 Facebook:
  48. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao A. Đường tròn tâm O 0;0 , bán kính R 1 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 C. Nửa trục Ox, nửa trục Ox' D. Nửa trục Ox' Hướng dẫn giải: Đặt z x yi;, x y R Ta có: z z k z 1 2 x k x2 y 2 2 Nếu k 0, ta có: x 0 Tập hợp các điểm M là trục tung. Xét k 0 : 2 2 2 2 2 2 2 2 4x k x y 4 k x k y Ta có: 2 kx 0 kx 0 Với 2 k 2 và k 0, ta có: 4 k2 4 k 2 y2 x 2 y x kx 0 k2 k Do đó, tập hợp M phải tìm là: 4 k 2 - Các đường thẳng y x k + Giới hạn bởi 0 k 2, x 0. + Hoặc giới hạn bởi 2 k 0, x 0. - Nửa trục Ox nếu k 2. - Nửa trục Ox ' nếu k 2. Chọn C. Câu 22: Cho hai số phức: p a bi; q c di Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho số z p z q là số thực. A. Đường tròn tâm O 0;0 , bán kính R 1 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 a c b d C. Một hyperbol vuông góc có tiệm cận là x ; y 2 2 D. Các đường thẳng y 2 x , trừ gốc tọa độ O 0;0 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47 Facebook:
  49. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Đặt z x yi;, x y R Ta có: zpxa ybi ; zqxc ydi zpzq xa ybixc ydi xaxc ybyd xayd xcybi z p z q là một số thực. x a x c y b y d 0 xa xcy xad xcb b d x ad bc a c y với x 2x a c 2 Do đó ta có tập hợp các điểm M là một hyperbol vuông góc có tiệm cận là a c b d x ; y 2 2 Chọn C. Câu 23: Trong mặt phẳng phức, cho MM,' theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức z và z 1 i z':,' z x yi z . Tìm tập hợp điểm E các điểm M sao cho: Điểm M ' nằm z 1 trên trục tung và M ' 0. 1 1 A. Đường tròn tâm I 1; , bán kính R ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . 2 2 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . C. Đường thẳng y 1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . D. Đường thẳng x 1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . Hướng dẫn giải: 2 z 1 i x 1 y 1 i x 1 y y 1 x 1 i Ta có: z ' z 1 x 1 yi x 1 2 y2 Trường hợp M ' nằm trên trục tung và M ' 0. z ' là một số thuần ảo khác 0. 2 x 1 y y 1 0 x2 y 2 2 x y 1 0 x 1 0 x 1 1 1 E là đường tròn tâm I 1; bán kính R ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . 2 2 Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48 Facebook:
  50. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 24: Trong mặt phẳng phức, cho MM,' theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức z và z 1 i z':,' z x yi z . Tìm tập hợp điểm E các điểm M sao cho: Điểm M ' nằm z 1 trên trục hoành và M ' 0. 1 1 A. Đường tròn tâm I 1; , bán kính R ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . 2 2 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . C. Đường thẳng y 1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . D. Đường thẳng x 1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . Hướng dẫn giải: 2 z 1 i x 1 y 1 i x 1 y y 1 x 1 i Ta có: z ' z 1 x 1 yi x 1 2 y2 Trường hợp M ' nằm trên trục tung và M ' 0. z ' là một số thực. 2 x 1 y y 1 0 x 1 0 E là đường thẳng x 1 ngoại trừ các điểm 1;0 và 1; 1 . Chọn D. Câu 25: Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức w 1 i 3 z 2 biết số phức z thỏa mãn: z 1 2 1 . 2 2 A. Hình tròn x 3 2 y 3 16 B. Hình tròn x 3 2 y 3 9 2 2 C. Hình tròn x 3 2 y 3 25 D. Hình tròn x 3 2 y 3 36 Hướng dẫn giải: Giả sử w a bi a 2 bi a 3 b 3 i Ta có: a bi 1 i 3 z 2 z z 1 1 i 3 1 i 3 2 2 a 3 b 3 i a 3 b 3 i 2 2 1 2 2 a 3 b 3 16 1 i 3 2 2 Vậy quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình tròn x 3 2 y 3 16 (kể cả những điểm nằm trên biên) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49 Facebook:
  51. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn A. Câu 26: Trong mặt phẳng phức, gọi NMAB,,, theo thứ tự là điểm biểu diễn các số: z 1 z x yi; Z X Yi ;1; 1. Tìm tập hợp điểm M khi N chạy trên đường tròn z 1 x2 y 2 1. A. Đường tròn tâm I 2 2;0 , bán kính R 5 4 2 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 C. Trục tung D. Trục hoành Hướng dẫn giải: z 1 x2 y 2 1 2 y Ta có: Z X Yi X ; Y z 1 x 1 2 y2 x 1 2 y 2 Vì N chạy trên đường tròn: x 1 2 y2 1 nên ta có x 1 2 y2 1 X 0 Vậy tập hợp điểm M là trục tung. Chọn C. Câu 27: Gọi M và A là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z x yi; a 10 6 i . Tìm tập hợp E1 các điểm M sao cho tích z z a là một số thực. A. Đường tròn tâm I 2 2;0 , bán kính R 5 4 2 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 3x C. Là một hyperbol vuông góc y , x 5 x 5 3x D. Là một hyperbol y , x 5 x 5 Hướng dẫn giải: Ta có: z z a x yi x yi10 6 i x yi x 10 y 6 i x x 10 y y 6 2 xy 10 y 6 x i Tích z z a là một số thực. 3 2xy 10 y 6 x 0 y , x 5 x 5 Trong mặt phẳng phức, tập hợp E1 là một hyperbol vuông góc có phương trình: 3x y , x 5. x 5 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50 Facebook:
  52. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Chọn C. Câu 28: Gọi M và A là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z x yi; a 10 6 i . Tìm tập hợp E2 các điểm M sao cho tích z z a là một số thuần ảo. A. Đường tròn tâm I 2 2;0 , bán kính R 5 4 2 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 C. Là một hyperbol vuông góc có tâm đối xứng I 5; 3 , có trục thực nằm trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8. D. Là một hyperbol có tâm đối xứng I 5;3 , có trục thực nằm trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8. Hướng dẫn giải: Tích z z a là một số thuần ảo Phần thực bằng 0. x x 10 y y 6 0 x2 10 x y 2 6 y 0 2 2 2 2 x 5 y 3 x 5 y 3 16 1 16 16 Trong mặt phẳng phức, tập hợp E2 là một hyperbol có tâm đối xứng I 5;3 , có trục thực nằm trên trục Ox, độ dài các trục đều bằng 8. Chọn C. Câu 29: Tìm tập hợp T các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức z z z A. Đường tròn tâm O 0;0 , bán kính R 1 B. Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R 1 C. Đường thẳng x y3, x y 3 D. Đường thẳng y x3, y x 3 Hướng dẫn giải: Đặt z x yi với x, y  Ta có zzz xyi xyi xy2 22 x xy 2 2 x 0 x 0 2 2 2 4x x y y x 3 Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng biểu diễn số phức z x yi gồm hai đường thẳng: D: y x 3 1 D2 : y x 3 Chọn D. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51 Facebook:
  53. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 1 Câu 30: Điểm M biểu diễn số phức z 0 và điểm M’ biểu diễn số phức z ' . Nếu điểm M di động z trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R 2 thì M’ di động trên đường nào? A. x2 y 2 2 x 2 y 0 B. 2x 2 y 1 0 C. 2x 2 y 1 0 D. 2x 2 y 1 0 Đáp án: C x x ' 2 2 1 z x y Giải: Ta có z ' 2 . Do đó z z y y ' 2 2 x y M di động trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R 2 nên 2 2 2 2 x y 2 x 2 y x 1 y 12 x2 y 2 220 x y 0 x2 y 2 2x 2 y 1 0 2x ' 2 y ' 1 0 x2 y 2 x 2 y 2 Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4 i 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2 z 1 i là hình tròn có diện tích A. S 9 . B. S 12 . C. S 16 . D. S 25 . Hướng dẫn giải: Chọn C. w 1 i w 2 z 1 i z 2 w 1 i z 342 i 342 i w 1684 i i w 7941 i 2 Giả sử w x yi x, y , khi đó 1 x 7 2 y 9 2 16 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I 7; 9 , bán kính r 4. Vậy diện tích cần tìm là S .42 16 . 2 Câu 32: Cho số phức z thỏa mãn z và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . 2 1 Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w là một trong bốn điểm M , iz N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là y Q A. điểm Q . B. điểm M . C. điểm N . D. điểm P . Hướng dẫn giải: M A Chọn D. O x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com N Trang 52 Facebook: P
  54. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy nên gọi z a bi( a , b 0) . 2 2 Do z nên a2 b 2 . 2 2 1 b a Lại có w i nên điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba của iz a2 b 2 a 2 b 2 mặt phẳng Oxy . 1 1 w 2 2 z 2 OA . iz i. z Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P . Câu 33: Biết số phức z thỏa điều kiện3 z 3 i 1 5. Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng A. 16 B. 4 C. 9 D. 25 Đáp án chi tiết : 8 Đặt z x yi z 31 i x 1( y 3) i (1)( x 2 y 3) 2 6 Do đó 4 2 2 3 z 315 i 9(1) x ( y 3) 25 2 Tập hợp các điểm biểu diễn của Z là hình phẳng nằm trong đường tròn O 5 Tâm I 1 ;3 với bán kính bằng R 5 đồng thời nằm 2 ngoài đường tròn tâm I 1 ;3 với bán kính r 3 Diện tích của hình phẳng đó là S .52 .3 2 16 z 2 z 3 i Câu 34: Gọi M là điểm biểu diễn số phức  , trong đó z là số phức thỏa mãn z2 2   2 i z i 3 i z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox, ON 2 , trong đó   Ox, OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II). C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV). Hướng dẫn giải: 5 1 5 1 1 Ta có: 2 i z i 3 i z z 1 i w i M ; tan . 4 4 4 4 5 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53 Facebook:
  55. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao 2 tan 5 1 tan2 12 Lúc đó: sin 2 0; cos 2 0 . 1 tan2 13 1 tan 2 13 Chọn A. 1 i Câu 35: Gọi điểm AB, lần lượt biểu diễn các số phức z và z z; z 0 trên mặt phẳng tọa 2 độ ( ABC, , và ABC , , đều không thẳng hàng). Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB vuông cân tại O. C. Tam giác OAB vuông cân tại B. D. Tam giác OAB vuông cân tại A. Hướng dẫn giải: 1 i 1 i 2 Ta có: OA z; OB z z z z 2 2 2    1 i 1 i 2 Ta có: BAOAOBBAzz z z z z 2 2 2 Suy ra: OA2 OB 2 AB 2 và AB OB OAB là tam giác vuông cân tại B. Chọn C. Câu 36: Cho ABCD, , , là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức 1 2;i 1 3 i ; 1 3 i ; 1 2 i . Biết ABCD là tứ giác nội tiếp tâm I. Tâm I biểu diễn số phức nào sau đây? A. z 3. B. z 1 3 i . C. z 1. D. z 1. Hướng dẫn giải:   3 3i Ta có AB biểu diễn số phức 3 i ; DB biểu diễn số phức 3 3i . Mặt khác 3i 3 i     nên AB. DB 0 . Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua Ox ), DC. AC 0. Từ đó suy ra AD là một đường kính của đường tròn đi qua ABCD, , , . Vậy I 1;0 z 1. Chọn C. Câu 37: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M là điểm biểu diễn số phức z 2 i 2 4 i và  gọi là góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ OM. Tính cos 2 . 425 475 475 425 A. . B. . C. . D. . 87 87 87 87 Hướng dẫn giải: 2 13 Ta có: z 2 i 4 i 16 13 i M 16;13 tan . 16 1 tan2 425 Ta có: cos 2 . 1 tan2 87 Chọn D. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54 Facebook:
  56. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 38: Gọi điểm AB, lần lượt biểu diễn các số phức z1 ; z2; z 1 . z 2 0 trên mặt phẳng tọa độ ( 2 2 ABC, , và ABC , , đều không thẳng hàng) và z1 z 2 z 1. z 2 . Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB vuông cân tại O. C. Tam giác OAB vuông cân tại B. D. Diện tích tam giác OAB không đổi. Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 2 z2 Ta có: zzzz1212 . zzzz 1121 ; z 1 zzz 121 . . Do z1 0 z 2 z 1 ; z1 (1) 2 2 2 z1 Mặt khác: z1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2. z 1 z 2 z 1 z 2 (do z2 0 ) (2) z2 2 2 z2 z 1 Từ (1) và (2) suy ra: z1 z 2 . Vậy ta có: z1 z 2 z1 z 2 z 2 z 1 OA OB AB . Chọn A. 2z z 1 i Câu 39: Gọi M là điểm biểu diễn số phức  , trong đó z là số phức thỏa mãn z2 i   1 i z i 2 i z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox, ON 2 , trong đó   Ox, OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II). C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV). Hướng dẫn giải: 7 19 7 19 19 Ta có: 1 i z i 2 i z z 3 i w i M ; tan . 82 82 82 82 7 2 tan 133 1 tan2 156 Lúc đó: sin2 0; cos2 0 . 1 tan2 205 1 tan 2 205 Chọn C. Câu 40: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4 i 5 và biểu thức M z 2 2 z i 2 đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z i. A. z i 2 41 B. z i 3 5. C. z i 5 2 D. z i 41. Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55 Facebook:
  57. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Gọi z x yi; x ; y . Ta có: z 3 4 i 5 C : x 3 2 y 4 2 5 : tâm I 3;4 và R 5. Mặt khác: Mz 22 zix 2 22 yxy2 2 1423:4230. 2 xy dxyM Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và C có điểm chung 23 M d I; d R 5 23 M 10 13 M 33 2 5 4x 2 y 30 0 x 5 Mmax 33 2 2 z i 5 4 i z i 41. x 3 y 4 5 y 5 Chọn D. ABC, , ABC , , Câu 41: Các điểm và lần lượt biểu diễn các số phức z1, z 2 , z 3 và z1 , z 2 , z 3 trên mặt phẳng tọa độ ( ABC, , và ABC , , đều không thẳng hàng). Biết z1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 , khẳng định nào sau đây đúng? A. Hai tam giác ABC và ABC bằng nhau. B. Hai tam giác ABC và ABC có cùng trực tâm. C. Hai tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm. D. Hai tam giác ABC và ABC có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp. Hướng dẫn giải: Gọi zxyiz1 1 1; 2 xyiz 2 2 ; 3 xyixy 3 3 ; k; k ; k 1;3 . Khi đó: A x1; y 1 ; B x 2 ; y 2 ; C x 3 ; y 3 , gọi G là trọng tâm x1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 ABC G ;. 3 3 Tương tự, gọi zxyiz1 1 1; 2 xyiz 2 2 ; 3 xyixy 3 3 ; k; k ; k 1;3 . Khi đó: A x1 ; y 1 ; B x 2 ; y 2 ; C x 3 ; y 3 , x1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 gọi G là trọng tâm ABCG ;. 3 3 Do zzzzzz123123 xxx 123 yyyixxx 123 123 yyyi 123 x1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 GG  . y1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3 Chọn C. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56 Facebook:
  58. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 42: Cho số phức z1, z 2 thỏa mãn z1 3 , z2 2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần   z z lượt là các điểm MN, . Biết  OM, ON , tính giá trị của biểu thức 1 2 . 6 z1 z 2 7 3 1 A. 13 B. 1 C. D. 2 13 Hướng dẫn giải: Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức, khi đó biểu diễn của : z1 z 2 OP z1 z 2 MN z z z2 z 2 2 z z cos 1500 1 1 2 1 2 1 2 z z z2 z 2 2 z z cos 300 1 1 2 1 2 1 2 z z z z 1 2 1 2 1. z1 z 2 z 1 z 2 Chọn B. 10 Câu 43: Cho thỏa mãn z thỏa mãn 2 i z 1 2 i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho z số phức w 3 4 i z 1 2 i là đường tròn I , bán kính R . Khi đó. A. IR 1; 2 , 5. B. IR 1;2 , 5. C. IR 1;2 , 5. D. IR 1; 2 , 5. Hướng dẫn giải: Chọn C. Đặt z a bi và z c 0 , với a;; b c . w 1 2 i Lại có w 3 4 i z 1 2 i z . 3 4i Gọi w x yi với x; y . w 1 2 i w 1 2 i Khi đó z c c c x yi 1 2 i 5 c 3 4i 3 4 i x 1 2 y 2 2 5 c x 1 2 y 2 2 25 c2 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn I 1;2 . Khi đó chỉ có đáp án C có khả năng đúng và theo đó R 5 5 c 5 c 1. Thử c 1 vào phương trình (1) thì thỏa mãn. Câu 44: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện: z 4 z 4 10. A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm O 0;0 và có bán kính R 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57 Facebook:
  59. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao x2 y 2 B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 1. 9 25 C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm M x; y trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn phương trình x 4 2 y2 x 4 2 y 2 12. x2 y 2 D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 1. 25 9 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: Gọi M x; y là điểm biểu diễn của số phức z x yi. Gọi A 4;0 là điểm biểu diễn của số phức z 4. Gọi B 4;0 là điểm biểu diễn của số phức z 4. Khi đó: z 4 z 4 10 MA MB 10.(*) Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểm M là elip nhận AB, là các tiêu điểm. 2 2 x y 2 2 2 Gọi phương trình của elip là 2 2 1, a b 0, a b c a b Từ (*) ta có: 2a 10 a 5. AB 2 c 8 2 c c 4 b2 a 2 c 2 9 x2 y 2 Vậy quỹ tích các điểm M là elip: E : 1. 25 9 Câu 45: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z 2 i 1 z i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1,3 . A. 3 i . B. 1 3i . C. 2 3i . D. 2 3i . Hướng dẫn giải: Gọi M x, y là điểm biểu diễn số phức z x yi x, y R Gọi E 1, 2 là điểm biểu diễn số phức 1 2i Gọi F 0, 1 là điểm biểu diễn số phức i Ta có: z 2 i 1 z i ME MF Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục EF: x y 2 0 . Để MA ngắn nhất khi MA EF tại M M 3,1 z 3 i Chọn A. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58 Facebook:
  60. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao Câu 46: Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn 2 2 2 z z 2 z 16 là hai đường thẳng d1, d 2 . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1, d 2 là bao nhiêu? A. d d1, d 2 2. B. d d1, d 2 4. C. d d1, d 2 1. D. d d1, d 2 6 . Hướng dẫn giải: Gọi M x, y là điểm biểu diễn số phức z x yi x, y R 2 2 Ta có: z2 z 2 z 16 x 2 2 xyiyx 2 2 2 xyiy 2 2 x 2 2 y 2 16 2 4x 16 x 2 d d1, d 2 4 Chọn B. Ở đây lưu ý hai đường thẳng x = 2 và x = -2 song song với nhau. Câu 47: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 z 2 10 . 2 2 2 2 x y A. Đường tròn x 2 y 2 100 . B. Elip 1. 25 4 2 2 2 2 x y C. Đường tròn x 2 y 2 10 . D. Elip 1. 25 21 Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z x yi , x, y . Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2 Gọi B là điểm biểu diễn số phức 2 Ta có: z 2 z 2 10 MB MA 10 . Ta có AB 4 . Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với 2 tiêu điểm là A 2;0 , B 2;0 , tiêu cự AB 4 2 c , độ dài trục lớn là 10 2a , độ dài trục bé là 2b 2 a2 c 2 2 25 4 2 21 . Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 z 2 10 là x2 y 2 Elip có phương trình 1. 25 21 Câu 48: Cho số phức z thỏa mãn z m2 2 m 5 với m là số thực. Biết rằng tập hợp điểm của số phức w 3 4 i z 2 i là đường tròn. Tìm bán kính R nhỏ nhất của đường tròn đó. A. R 5 . B. R 10. C. R 15. D. R 20 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59 Facebook:
  61. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao wi 234 izwi 234 iz 34 iz 5 m 14202 . w 2 i 20 . Vậy đường tròn có bán kính Rmin 20 với tâm I 0;2 Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi m 1. 2 Câu 49: Cho số phức z thỏa mãn z và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . 2 1 Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w là một trong bốn điểm M , iz N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là: A. Điểm Q . C. Điểm M . B. Điểm N . D. Điểm P Hướng dẫn giải: Gọi z a bi a, b là điểm biểu diễn số phức A. Do z thuộc góc phần tư thứ nhất trong mặt phẳng Oxy , nên a, b 0 . 1 b a Lại có w i iz a2 b 2 a 2 b 2 Điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng Oxy . 1 1 w 2 2 z 2 OA . iz i. z Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P . Câu 50: Trong mặt phẳng phức cho các điểm O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức z ' 0 và B' biểu diễn số phức zz '. Nhận định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều B. Hai tam giác OAB,'' OA B là hai tam giác đồng dạng C. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AA'' B D. Trọng tâm của OAB là điểm biểu diễn của số phức z1 z 2 z 3 Hướng dẫn giải:     Ta có z OB,1 OA , z ' OA ' , zz ' z . z ' OB ' y    Ta có: AB OB OA z 1 B    AB' ' OB ' OA ' zzz ' ' zz ' . 1 B’ Từ trên ta suy ra z' z . z ' z ' . z 1 OA'''' OB A B A 1z z 1 OA OB AB File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60 Facebook:
  62. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao OA''. B OAB O A’ x Chọn B. z 1 i ; z 1 i . z  z,, z z Câu 51: Cho 1 2 Tìm 3 sao cho các điểm biểu diễn 1 2 3 tạo thành tam giác đều. A. z3 2 1 i và z3 2 1 i B. z3 3 1 i và z3 3 1 i C. z3 2 1 i và z3 2 1 i D. z3 3 1 i và z3 3 1 i Hướng dẫn giải: Để giải bài toán này ta cần chú ý đến kiến thức sau: Giả sử M1 x 1; y 1 biểu diễn số phức z1 x 1 y 1 i Giả sử M2 x 2; y 2 biểu diễn số phức z2 x 2 y 2 i Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm MM1 2 bằng mô đun của số phức z1 z 2. 2 2 Vậy M1 M 2 z 1 z 2 x 1 x 2 y 1 y 2 Áp dụng vào bài toán: Giả sử z3 x yi Để các điểm biểu diễn của z1,, z 2 z 3 tạo thành một tam giác đều thì 4 4 x 12 y 1 2 2 2 z1 z 2 z 1 z 3 x 1 y 1 8 2 2 z1 z 2 z 2 z 3 x y 0 4 4 x 1 y 1 2y2 6 y 3 x  3 Vậy có hai số phức thỏa mãn là: z3 3 1 i và z3 3 1 i Chọn D. Câu 52: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Ký hiệu a; b là kết quả sẽ xảy ra sau khi gieo, trong đó a, b lần lượt là số chấm xuất hiện lần thứ nhất, thứ hai. Gọi A là biến cố số chấm xuất hiện trên hai lần gieo như nhau. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện nào sau đây? A. z 2 3 i 12 B. z 2 3 i 10 C. z 2 3 i 13 D. z 2 3 i 11 Hướng dẫn giải: Ta có A 1;1 , 2;2 , 3;3 , 4;4 , 5;5 , 6;6  Gọi z x yi;, x y R khi đó z 2 3 i x 2 2 y 3 2 Giả sử z 2 3 i R x 2 2 y 3 2 R File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61 Facebook:
  63. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao x 2 2 y 3 2 R2 . Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là những điểm thuộc miền trong và trên đường tròn tâm I 2; 3 và bán kính R. Để tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thì IM R,.  M R Khi đó ta được R 13 Chọn C. 1 1 1 Câu 53: Cho 3 số phức z1,, z 2 z 3 phân biệt thỏa mãn z1 z 2 z 3 3 và . Biết z1,, z 2 z 3 z1 z 2 z 3 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm ABC,, trong mặt phẳng phức. Tính góc ACB . Hướng dẫn giải: 1 1 1 z z z 1 2 3 z z z z z z z z z Ta có: 1 2 3 1 1 2 2 3 3 z1 z 2 z3 2 2 2 z1 z 2 z 3 z1 z 2 z 3 Do tính đối xứng trục Ox nên C là điểm thứ 3 của hình bình hành OACB . OB AC Từ đó ta có: OA OC AC . OB OA OC OAC là tam giác đều Góc ACB 1200 . Câu 54: Cho hai số phức z1, z 2 thỏa: z1 z 2 5 . Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: z z1 2 z z 2 là đường tròn và có bán kính R . Tính giá trị của R . 5 7 10 14 A. R . B. R . C. R . D. R 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: Trong mặt phẳng phức, gọi ZZZ,,1 2 lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z,, z1 z 2 . A là điểm thứ tư của hình bình hành OZ2 AZ 1 .    OZ OZ OA 1 2 . z1 z 2 OA 5   Ta có: z z1 OZ OZ 1 ZZ 1 và   z z2 OZ OZ 2 OP với P là điểm thứ tư của hình bình hành File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62 Facebook:
  64. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao OZ2 PZ . Gọi N là trung điểm OA ON 2,5 và H là trung điểm cạnh OP OP 2 OH và H cũng là trung điểm cạnh ZZ2 . Ta có HN là đường trung bình của ZZ1 Z 2 ZZ1 2 HN . z z1 2 z z 2 ZZ 1 2 OP 2 HN 4 OH HN 2 HO .   ON 2,5 IN 2 IO OI Gọi IJ, lần lượt là hai điểm thỏa: 3 3 .   JN 2 JO OJ ON 2,5 Ta chứng minh được HI, HJ lần lượt đường phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh H 10 của HON HI  HJ H thuộc đường tròn đường kính IJ . 3 5 Gọi O là trung điểm IJ O I . 1 1 3 Gọi O' là là điểm sao cho O1 là trung điểm OZ' 2 . 10 Ta có: OH là đường trung bình của O' ZZ O ' Z 2 O H . 1 2 1 3 Với z1, z 2 không đổi thì AZZN,,1 2 cố định IJ, cố định O1 cố định O' cố định. 10 Vậy Z thuộc đường tròn tâm O' , bán kính R . 3 Câu 55: Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa mãn z2 z z 0 là đường tròn C . Diện tích S của đường tròn C bằng bao nhiêu? A. S 4 . B. S 2 . C. S 3 . D. S Hướng dẫn giải: Đặt z x yi x, y , ta có z x yi và z x2 y 2 . Khi đó, giả thiết z2 z z0 x2 y 2 x yi x yi 0 x 1 2 y 2 1. Suy ra tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 1;0 , bán kính RS 1 C . Chọn D. Câu 56: Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa 1 z 1 i 2 là hình vành khăn. Chu vi P của hình vành khăn là bao nhiêu? A. P 4 . B. P . C. P 2 . D. P 3 Hướng dẫn giải: Đặt z x yi x, y , khi đó ta có File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63 Facebook:
  65. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao z 1 i x 1 y 1 i x 1 2 y 1 2 1 x 1 2 y 1 2 1 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm bên ngoài hình tròn có tâm I1 1;1 , bán kính R1 1. z 1 i x 1 y 1 i x 1 2 y 1 2 2 x 1 2 y 1 2 4 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm bên trong hình tròn có tâm I2 1;1 , bán kính R2 2. Vì hai đường tròn đồng tâm nên chu vi P hình vành khăn là PCCRR 2 2 2 2 1 2 . Chọn C. Câu 57: Trong mặt phẳng phức Oxy, giả sử M là điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn z 2 z 2 8. Tập hợp những điểm M là? x2 y 2 x2 y 2 A. E : 1. B. E : 1. 16 12 12 16 C. T : x 2 2 y 2 2 64 . D. T : x 2 2 y 2 2 8 Hướng dẫn giải: Xét điểm F1 2;0 và F2 2;0 , ta có MF1 MF 2 8 2 a a 4 x2 y 2 F F 4 2 c c 2 b2 a 2 c 2 12 Tập hợp điểm là Elip E : 1. 1 2 16 12 Chọn A. Câu 58: Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa z 2 i 1 z i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1;3 A. 3 i . B. 1 3i . C. 2 3i . D. 2 3i Hướng dẫn giải: Xét điểm B 1; 2 , C 0; 1 MB MC Tập hợp điểm M là đường thẳng trung được của BC . 1 3 Ta có: BC : x y 1 0 và trung điểm BC là H ; Phương trình đường trung 2 2 trực BC là: :x y 2 0 . Lại có: AM d A, 2 2 . Dấu bằng khi M là hình chiếu của A lên 2 2 2 2 Khi đó: AM 2 2 xMMMM 1 y 3 8 x 1 x 5 8 2 xMM 3 0 x 3 M 3;1 . Chọn A. Câu 59: Xét 3 điểm ABC,, của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1,, z 2 z 3 thỏa mãn z1 z 2 z 3 . Nhận định nào sau đây đúng: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64 Facebook: