›
›
›

3 Dạng đề toán ôn tập THPTQG Chuyên đề 19: Phương pháp giải trình mũ - Logarit (Có đáp án)

docx 58 trang haihamc 14/07/2023 2380
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "3 Dạng đề toán ôn tập THPTQG Chuyên đề 19: Phương pháp giải trình mũ - Logarit (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docx3_dang_de_toan_on_tap_thptqg_chuyen_de_19_phuong_phap_giai_t.docx

Nội dung text: 3 Dạng đề toán ôn tập THPTQG Chuyên đề 19: Phương pháp giải trình mũ - Logarit (Có đáp án)

  1. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Tặng mọi người tài liệu hay 40 CHUYÊN ĐỀ TOÁN – ÔN LUYỆN THPT QG Toàn file Word nhé Tải đầy đủ 40 chuyên đề tại website : Chuyên đề 19 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ + GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM DẠNG 1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Dạng 1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số b + Nếu a 0, a 1: loga x b x a 1 + Nếu a 0, a 1: loga f x loga g x f x g x 2 g x + Nếu a 0, a 1: loga f x g x f x a (mũ hóa) 3  Các bước giải phương trình & bất phương trình mũ – logarit Bước 1. Đặt điều kiện (điều kiện đại số điều kiện loga), ta cần chú ý: log f x ĐK f x 0 ĐK 0 a 1 a mũ lẻ loga b  và . b 0 log f x ĐK f x 0 a mũ chẵn Bước 2. Dùng các công thức và biến đổi đưa về các cơ bản trên, rồi giải. Bước 3. So với điều kiện và kết luận nghiệm. Câu 1. (Mã 110 2017) Tìm tập nghiệm S của phương trình log x 1 log x 1 1. 2 1 2 A. S 3 B. S 2 5;2 5 3 13  C. S 2 5 D. S  2  Lời giải Chọn C x 1 0 Điều kiện x 1 (*) . x 1 0 Phương trình 2log2 x 1 log2 x 1 1 2log2 x 1 log2 x 1 log2 2 2 log2 x 1 log2 2 x 1 x2 2x 1 2x 2 Trang 1
  2. x 2 5 L x2 4x 1 0 . Vậy tập nghiệm phương trình S 2 5 x 2 5 Câu 2. (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa 2019) Số nghiệm của phương trình 2 log3 x 4x log1 2x 3 0 là 3 A. .2 B. . 3 C. . 0 D. . 1 Lời giải Viết lại phương trình ta được 3 x 2x 3 0 2 log x2 4x log 2x 3 x 1 . 3 3 2 x 1 x 4x 2x 3 x 3 Câu 3. (Đề Tham Khảo 2018) Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình 2 log x.log x.log x.log x bằng 3 9 27 81 3 80 82 A. 0. B. . C. 9. D. . 9 9 Lời giải Chọn D Điều kiện x 0 . Phương trình đã cho tương đương với x 9 1 1 1 2 log x 2 log . .log x. log x. log x (log x)4 16 3 3 3 3 3 3 1 2 3 4 3 log3 x 2 x 9 Câu 4. Nghiệm của phương trình log2 x log4 x log 1 3 là 2 1 1 1 A. x . B. .x 3 3 C. . x D. . x 3 3 3 3 Lời giải Điều kiện: x 0 1 1 Ta có: log2 x log4 x log 1 3 log2 x log2 x log2 3 2 2 2 2log2 x log2 x log2 3 0 3log2 x log2 3 0 3 3 3 1 log2 x log2 3 0 log2 3x 0 3x 1 x . 3 3 1 So với điều kiện, nghiệm phương trình là x . 3 3 Câu 5. (THPT Lê Quý Dôn Dà Nẵng 2019) Gọi S là tập nghiệm của phương trình log x 1 log x2 2 1. Số phần tử của tập S là 2 2 A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Lời giải ĐK: x 1 Trang 2
  3. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 2 2 x 2 x 0(TM ) log x 1 log x2 2 1 x 1 2 2 2 x 4(L) Vậy tập nghiệm có một phần tử Câu 6. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Số nghiệm thục của phương trình 3 3log3 x 1 log1 x 5 3 là 3 A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 Lời giải Chọn B Điều kiện: x 5 3 3log3 x 1 log1 x 5 3 3log3 x 1 3log3 x 5 3 3 log3 x 1 log3 x 5 1 log3 x 1 x 5 1 x 1 x 5 3 x2 6x 2 0 x 3 7 Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có 1 nghiệm x 3 7 Câu 7. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tổng các nghiệm của phương trình log x 2 log x 4 2 0 3 3 là S a b 2 (với a, b là các số nguyên). Giá trị của biểu thức Q a.b bằng A. 0. B. 3. C. 9. D. 6. Lời giải Chọn D Điều kiện: 2 x 4 . Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương 2log3 x 2 2log3 x 4 0 log3 x 2 x 4 0 x 2 x 4 1 x 2 x 4 1 x2 6x 7 0 x 3 2 2 x 2 x 4 1 x 6x 9 0 x 3 So lại điều kiện, ta nhận hai nghiệm x1 3 2; x2 3 Ta được: S x1 x2 6 2 a 6;b 1 . Vậy Q a.b 6 . Câu 8. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log2 x 1 log2 x 1 là A. 1. B. . 1 C. . 2 D. . 2 Lời giải Chọn A Điều kiện: x 0 . 2 x 1(N) Phương trình tương đương log2 x 1 x 1 x 1 x 2 x x 2 0 x 2(L) Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 1 . 1 Câu 9. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình log x2 4x 1 log8x log 4x bằng 2 A. .4 B. . 3 C. 5. D. .1 Lời giải Trang 3
  4. Chọn C 1 Phương trình log x2 4x 1 log8x log 4x điều kiện x 2 5 2 2 8x log x 4x 1 2log 4x log x2 4x 1 log 22 x 2 4x 1 4 x 1 . x 5 Nghiệm x 1 loại, x 5 thỏa mãn. Suy ra tổng các nghiệm là 5 . 2 Câu 10. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2 log 2 2x 2 log 2 x 3 2 trên ¡ . Tổng các phần tử của S bằng A. .6 2 B. . 8 2C. . 8 D. 4 2 . Lời giải Chọn D x 1 Điều kiện: . x 3 2 2 2 2 log 2 2x 2 log 2 x 3 2 log2 2x 2 log2 x 3 2 . 2 2 2 2 log2 2x 2 x 3 2 2x 8x 6 2 . 2x2 8x 6 2 x2 4x 2 0 1 . 2 2 2x 8x 6 2 x 4x 4 0 2 x 2 2 +) 1 . x 2 2 (l) +) 2 x 2 . S 2;2 2 . Vậy tổng các nghiệm của S là: 2 2 2 4 2 . Câu 11. (SGD Nam Định 2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 1 4 log3 x 5x 6 log1 x 2 log 1 x 3 bằng 3 2 81 A. 10. B. 3 10. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn A Điều kiện: x 3. 2 1 4 log3 x 5x 6 log1 x 2 log 1 x 3 3 2 81 1 2 1 1 log3 x 5x 6 log3 x 2 log3 x 3 2 2 2 2 log3 x 5x 6 log3 x 2 log3 x 3 0 Trang 4
  5. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 2 log3 x 9 0 x2 9 1 x 10 (do điều kiện). 2 2 Câu 12. (SGD Gia Lai 2019) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log2 (x + y )= 1+ log2 xy . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. x = y . B. .x > y C. . x 0 ta có: 2 2 2 2 log2 (x + y )= 1+ log2 xy Û log2 (x + y )= log2 2xy . Û x2 + y2 = 2xy . Û x = y . 2 Câu 13. Biết phương trình log 2 x 5x 1 log 4 9 có hai nghiệm thực x1 , x2 . Tích x1.x2 bằng: A. . 8 B. 2 . C. .1 D. . 5 Lời giải Chọn B 2 2 Ta có: log 2 x 5x 1 log 4 9 log2 x 5x 1 log2 3 x2 5x 1 3 0 x ¡ x2 5x 2 0 * Phương trình * có a.c 2 0 nên luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy x1.x2 2 . Câu 14. (Chuyên Long An-2019) Tìm nghiệm phương trình 2log4 x log2 x 3 2 . A. x 4. B. .x 1 C. . x 3 D. . x 16 Lời giải Chọn A Điều kiện: x 3 . 2log4 x log2 x 3 2 log2 x log2 x 3 2 log2 x x 3 2 x2 3x 4 0 x 4 x 1 Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình là: x 4 . log x 1 2 log 2x 1 2 Câu 15. (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Số nghiệm của phương trình 3 3 là A. .2 B. 1. C. .4 D. . 3 Lời giải Chọn B Trang 5
  6. Ta có 2 1 log x 1 log 2x 1 2 , điều kiện x , x 1 . 3 3 2 2 2 log3 x 1 log3 2x 1 log3 9 2 log3 x 1 2x 1 log3 9 2 2x2 3x 1 9 2x2 3x 1 3 2 2x 3x 1 3 1 x 2 x 2 Thử lại ta có một nghiệm x 2 thỏa mãn. 2 Câu 16. (Sở Quảng Trị 2019) Số nghiệm của phương trình log3 x 4x log1 2x 3 0 là 3 A. .2 B. . 0 C. . 3 D. 1. Lời giải Chọn D x 4 2 x 4x 0 x 0 Điều kiện: x 0 2x 3 0 3 x 2 Ta có 2 2 log3 x 4x log1 2x 3 0 log3 x 4x log3 2x 3 0 3 2 2 x 1 log3 x 4x log3 2x 3 x 2x 3 0 x 1. x 3(l) log x log 2x 1 1 Câu 17. Biết nghiệm lớn nhất của phương trình 2 1 là x a b 2 (a,b là hai số 2 nguyên ). Giá trị của a 2b bằng A. 4. B. .6 C. . 0 D. . 1 Lời giải Chọn A 1 Điều kiện x . 2 x2 log x log 2x 1 1 2log x log 2x 1 1 log 1 x2 4x 2 0 2 1 2 2 2 . 2 2x 1 Nghiệm lớn nhất của phương trình là x 2 2 a 2,b 1 a 2b 4 . log x 2 log x 4 2 0 Câu 18. Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 3 3 . A. 6 2 . B. .6 C. . 3 2 D. . 9 Lời giải Trang 6
  7. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Chọn A x 2 Điều kiện: . x 4 2 Ta có: log x 2 log x 4 2 0 x 2 x 4 1 . 3 3 x 3 2 nhan x 2 x 4 1 x2 6x 7 0 x 3 2 loai . 2 x 2 x 4 1 x 6x 9 0 x 3 nhan log x 2 log x 4 2 0 Vậy tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 3 3 bằng 6 2 . 1 Câu 19. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình log x2 log x 10 2 log 4 . Tính S ? 2 A. .S 10 B. . S C. 1 5 S 10 5 2 . D. .S 8 5 2 Lời giải Chọn C x 0 Điều kiện phương trình: . x 10 1 Phương trình: log x2 log x 10 2 log 4 log x log x 10 log 4 2 2 log 4 x x 10 2 4 x x 10 100 x x 10 25 . + Khi 10 x 0 : Phương trình x x 10 25 x2 10x 25 0 x 5 t/m . + Khi x 0 : x 5 5 2 t/m Phương trình x x 10 25 x2 10x 25 0 . x 5 5 2 l Vậy S 5 5 5 2 10 5 2 . log x 1 2 2 log 4 x log 4 x 3 Câu 20. Cho phương trình 4 2 8 . Tổng các nghiệm của phương trình trên là A. .4 2 6 B. . 4 C. 4 2 6 . D. .2 2 3 Lời giải Chọn C x 1 2 0 x 1 Điều kiện: 4 x 0 . 4 x 4 4 x 0 log x 1 2 2 log 4 x log 4 x 3 log x 1 log 4 log 4 x log 4 x 4 2 8 2 2 2 2 Trang 7
  8. 2 4 x 1 16 x x2 4x 12 0 log 4 x 1 log 16 x2 4 x 1 16 x2 2 2 2 2 4 x 1 16 x x 4x 20 0 x 2 x 6 . x 2 2 6 x 2 2 6 So với điều kiện phương trình trình có 2 nghiệp x 2; x 2 2 6. Vậy tổng các nghiệm là 4 2 2. 2 2 Câu 21. Cho log8 x log4 y 5 và log8 y log4 x 7 . Tìm giá trị của biểu thức P x y . A. P 56. B. .P 16 C. . P 8 D. . P 64 Lời giải Chọn A Ta có: 1 1 log x log y2 5 log x log y2 5 . 8 4 3 2 2 2 3 3 3 3 5 5 15 log2 x log2 y 5 x . y 2 x . y 2 2 1 . 2 3 21 Tương tự: log8 y log4 x 7 y . x 2 2 . Lấy 1 nhân 2 được x4.y4 236 x2.y2 218 3 . y2 1 Lấy 1 chia 2 được x2 26.y2 4 . x2 26 4 Thay 4 vào 3 được 26.y4 218 y4 212 23 y 23 8 . 2 Thay y 8 vào 4 được x2 26.64 26 x 26 64 . Do đó P x y 56 . a + 2b 1 Câu 22. Cho a,b, x > 0; a > b và b, x ¹ 1 thỏa mãn log x = log x a + 2 . 3 logb x 2a2 + 3ab + b2 Khi đó biểu thức P = có giá trị bằng: (a + 2b)2 5 2 16 4 A. P = . B. .P = C. . P = D. . P = 4 3 15 5 Lời giải Chọn A a + 2b 1 a + 2b log x = log x a + 2 Û log x = log x a + log x b 3 logb x 3 Û a + 2b = 3 ab Û a2 - 5ab + 4b2 = 0 Û (a- b)(a- 4b)= 0 Û a = 4b (do a > b ). 2a2 + 3ab + b2 32b2 + 12b2 + b2 5 P = = = . (a + 2b)2 36b2 4 Trang 8
  9. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 1 Câu 23. Cho x 0; , biết rằng log2 sin x log2 cos x 2 và log2 sin x cos x log2 n 1 . 2 2 Giá trị của n bằng 1 5 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Lời giải Chọn D Ta có sin x 0 ; cos x 0 , x 0; . 2 1 Theo bài ra log sin x log cos x 2 log sin x.cos x 2 sin x.cos x . 2 2 2 4 1 Do đó log sin x cos x log n 1 . 2 2 2 2 log2 sin x cos x log2 n 1 2 2 log2 n 1 log2 sin x 2sin x.cos x cos x . 3 log n 1 log . 2 2 2 3 log n log . 2 2 4 3 n . 4 Câu 24. (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Biết rằng phương trình 2ln x 2 ln 4 ln x 4ln 3 có hai nghiệm x1 phân biệt x1 , x2 x1 x2 . Tính P . x2 1 1 A. . B. . 64 C. . D. .4 4 64 Lời giải x 2 0 Điều kiện x 0 * . x 0 Phương trình ln x 2 2 ln 4 ln x ln 34 ln 4 x 2 2 ln x.34 x.34 0 x 16 1 x1 x 1 1 thỏa mãn * 4 P 1 . 2 x x 64 4 x 2 81x 2 4 x2 16 1 2 Câu 25. (THPT Lê Xoay - 2018) Phương trình log x2 log x 1 log log 3 có bao nhiêu 49 2 7 7 3 nghiệm? A. 2 . B. .3 C. . 1 D. . 4 Lời giải x 0 Điều kiện . x 1 Trang 9
  10. 1 2 log x2 log x 1 log log 3 log x log x 1 log 2 log x x 1 log 2 49 2 7 7 3 7 7 7 7 7 x x 1 2 x2 x 2 0 x 2 . 2 x x 1 2 x x 2 0 x 1 Câu 26. (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Phương trình log x 1 2 2 log 4 x log 4 x 3 có bao nhiêu nghiệm? 4 2 8 A. Vô nghiệm. B. Một nghiệm. C. Hai nghiệm. D. Ba nghiệm. Lời giải Điều kiện: 4 x 4 và x 1 . Ta có log x 1 2 2 log 4 x log 4 x 3 log 4 x 1 log 4 x 4 x 4 2 8 2 2 x 2 4 x 1 16 x2 2 x 6 2 x 4x 12 0 4 x 1 16 x . 4 x 1 x2 16 x2 4x 20 0 x 2 2 6 x 2 2 6 Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm x 2 và x 2 2 6 . Câu 27. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình 2 log2 x 2 log4 x 5 log 1 8 0 bằng 2 A. .6 B. . 3 C. 9 . D. .12 Lời giải x 2 Điều kiện * . x 5 log x 2 x 5 log 8 Ta có log2 x 2 log2 x 5 log2 8 0 2 2 x 5 x 2 x 5 8 x 6 x 2 x 5 8 3 17 thỏa mãn * . 2 x 5 x 2 x 2 5 x 8 3 17 3 17 Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 6 9 . 2 2 Câu 28. (Xuân Trường - Nam Định - 2018) Cho phương trình log x x2 1 .log x x2 1 log x x2 1 . Biết phương trình có một nghiệm là 1 và 2 3 6 1 một nghiệm còn lại có dạng x alogb c a logb c (với a , c là các số nguyên tố và a c ). Khi 2 đó giá trị của a2 2b 3c bằng: A. .0 B. 3 . C. .6 D. . 4 Lời giải 1 x 1 Điều kiện * 2 x x 1 0 Trang 10
  11. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 log x x2 1 .log x x2 1 log x x2 1 2 3 6 1 log x x2 1 .log log x x2 1 2 3 6 x x2 1 log x x2 1 .log 6.log x x2 1 log x x2 1 2 3 6 6 log x x2 1 log 6.log x x2 1 1 0 6 3 2 log x x2 1 0 1 6 log 6.log x x2 1 1 0 2 3 2 x 1 1 x x2 1 1 x2 1 x 1 x 1 . 2 2 x 1 x 1 2 log x x2 1 .log 6 1 log x x2 1 log 3 2 3 2 6 x 2log6 3 2 log6 3 1 log6 3 log6 3 x x 1 2 2 x 2 2 . 2 log6 3 2 x 1 2 x 1 x 3log6 2 3 log6 2 . (thỏa mãn * ) 2 1 Như vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x 1 , x 3log6 2 3 log6 2 . 2 Khi đó a 3 , b 6 , c 2 . Vậy a2 2b 3c 3 . Dạng 1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ PP  Loại 1. P loga f x 0  đặt t loga f x .  Loại 2. Sử dụng công thức alogb c clogb a để đặt t alogb x t xlogb a . 5 Câu 29. Phương trình log 2 log x có hai nghiệm x , x x x . Khi đó tổng x 2 x bằng x 2 2 1 2 1 2 1 2 9 9 A. . B. . 3 C. 6. D. . 2 4 Lời giải Chọn C Điều kiện phương trình: x 0, x 1. log x 2 2 x 4 5 1 5 2 5 log x 2 log2 x log2 x log2 x log2 x 1 0 1 2 log x 2 2 log x x 2 2 2 2 Suy ra x1 2, x2 4 . 2 Suy ra x 1 x2 6 . 2 2 Câu 30. (SGD Gia Lai 2019) Số nghiệm của phương trình log2 x + 8log2 x + 4 = 0 là: A. .2 B. . 3 C. . 0 D. 1. Lời giải Chọn D Trang 11
  12. Điều kiện: x > 0 1 log2 x2 + 8log x + 4 = 0 Û 4log2 x + 8log x + 4 = 0 Û log x = - 1Û x = (TM ) 2 2 2 2 2 2 2 Câu 31. Tích tất cả các nghiệm của phương trình log3 x- 2log3 x- 7 = 0 là A. 9. B. .- 7 C. . 1 D. . 2 Lời giải Chọn A Điều kiện: x> 0 2 Đặt t = log3 x , phương trình trở thành: t - 2t - 7 = 0 (1) Do a.c = - 7< 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm t1;t2 phân biệt thỏa mãn t1 + t2 = 2 . t1 t2 Khi đó, các nghiệm của phương trình ban đầu là: x1 = 3 ; x2 = 3 . t1 t2 t1+ t2 2 Þ x1.x2 = 3 .3 = 3 = 3 = 9. Câu 32. (Yên Dũng 2-Bắc Giang 2019) Tổng các nghiệm của phương trình log2 x log 9.log x 3 là 2 2 3 17 A. .2 B. . C. .8 D. . 2 2 Lời giải Chọn B 1 log x 1 x Ta có log2 x log 9.log x 3 log2 x 2log x 3 0 2 2 2 2 3 2 2 log2 x 3 x 8 1 17 Vậy S 8 . 2 2 Câu 33. (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Biết phương trình 2 có hai nghiệm log2 2x 5log2 x 0 phân biệt và . Tính . x1 x2 x1 .x2 A. 8. B. .5 C. . 3 D. . 1 Lời giải Chọn A Điều kiện x 0 . Biến đổi phương trình đã cho về phương trình sau: 2 . log 2 x 3log2 x 1 0 2 Do log2 x1 và log2 x2 là hai nghiệm của phương trình t 3t 1 0 nên log x log x log x .x log2 x1 log2 x2 3, mà 2 1 2 2 2 1 2 . Suy ra nên . log2 x1.x2 3 x1 .x2 8 2 Câu 34. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Biết rằng phương trình log2 x 7log2 x 9 0 có 2 nghiệm x1, x2 . Giá trị của x1x2 bằng A. 128. B. .6 4 C. . 9 D. . 512 Trang 12
  13. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Lời giải Chọn A + Điều kiện x 0 . 7 13 7 13 log x 2 x 2 2 2 2 + log2 x 7log2 x 9 0 (thỏa mãn điều kiện x 0 ). 7 13 7 13 2 log2 x x 2 2 7 13 7 13 2 2 Vậy x1x2 2 .2 128 . log2 4x log 2x 5 Câu 35. (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho phương trình 2 2 . Nghiệm nhỏ nhất của phương trình thuộc khoảng A. 0;1 . B. . 3;5 C. . 5;9 D. . 1;3 Lời giải Chọn A Điều kiện: x 0. 2 log2 4x log 2x 5 1 log 2x 2log 2x 5 0 2 2 2 2 x 2 log2 2x 2 log2 2x 4 . 2 1 log2 2x 2 x 8 1 Nghiệm nhỏ nhất là x 0;1 . 8 2 Câu 36. Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình log1 x 5log3 x 4 0 . Tính T . 3 A. .L 4 B. . T 5C. T 84 . D. .T 5 Lời giải Chọn C Điều kiện: x 0 . 2 2 log1 x 5log3 x 4 0 log3 x 5log3 x 4 0 . 3 log3 x 1 x 3 4 ( thỏa mãn). log3 x 4 x 3 81 Vậy T 3 81 84 . 2 Câu 37. (Ngô Quyền - Hải Phòng 2019) Phương trình log2 x 5log2 x 4 0 có hai nghiệm x1, x2 . Tính tích x1.x2 . A. 32 . B. .3 6 C. . 8 D. . 16 Lời giải Chọn A 2 log2 x 1 x1 2 log2 x 5log2 x 4 0 . Vậy tích x1.x2 32 . log2 x 4 x2 16 Trang 13
  14. Câu 38. (Chuyên ĐH Vinh 2019) Cho các số thực a, b thỏa mã 1 a b và log b log a2 3 . Tính giá a b a2 b trị của biểu thức T log . ab 2 1 3 2 A. . B. . C. . 6 D. . 6 2 3 Lời giải Chọn D 2 1 Ta có loga b logb a 3 2logb a 3 logb a logb a 1 a b (L) 2 2 2log b a 3logb a 1 0 b a log a 1 b 2 a b (N) a2 b 2 Vậy T log log a2 nên đáp án D đúng. ab 2 a3 3 2 Câu 39. Biết rằng phương trình log2 x log2 2018x 2019 0 có hai nghiệm thực x1, x2 . Tích x1.x2 bằng A. .l og2 2018 B. . 0,5 C. . 1 D. 2. Lời giải Chọn D ĐKXĐ: x 0 . 2 2 log2 x log2 2018x 2019 0 log2 x log2 x log2 2018 2019 0 . t 2 Đặt t log2 x x 2 , ta có t t log2 2018 2019 0 * t1 t2 1 Gọi t1,t2 là hai nghiệm của * , ta có x1.x2 2 2 2 . 2 2 2 Câu 40. Cho phương trình log3 3x log3 x 1 0. Biết phương trình có 2 nghiệm, tính tích P của hai nghiệm đó. 2 A. P 9. B. P . C. P 3 9. D. P 1. 3 Lời giải Chọn C 2 2 2 Ta có log3 3x log3 x 1 0 ( điều kiện x 0 ). 2 2 1 log3 x 2log3 x 1 0. 2 2 2 t Đặt log x t ta có phương trình 1 t 2t 1 0 3t 2 2t 0 3 . 3 t 0 Với t 0 log3 x 0 x 1. 2 2 2 1 Với t log x x 3 3 . 3 3 3 3 9 Vậy P 1.3 9 3 9. x4 Câu 41. (THPT Ba Đình 2019) Biết rằng phương trình log2 x log có hai nghiệm a và b . Khi đó 3 3 3 ab bằng Trang 14
  15. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 A. .8 B. . 81 C. 9 . D. 64 . Lời giải Đ/K: .x 0 x4 log x 2 3 Phương trinh log2 x log log2 x 4.log x 1 0 3 3 3 3 3 3 log3 x 2 3 x 32 3 . Khi đó a.b 32 3.32 3 81 . 2 3 x 3 Câu 42. (Chuyên Quốc Học Huế -2019) Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình 2 log1 x- 5log3 x + 4 = 0 . Tính T . 3 A. T = 4 B. T = - 4 C. T = 84 D. T = 5 Lời giải ĐKXĐ: x > 0 2 Ta có: log1 x- 5log3 x + 4 = 0 3 2 Û (- log3 x) - 5log3 x+ 4 = 0 élog x = 1 éx = 3 Û log 2 x- 5log x+ 4= 0 Û ê 3 Û ê 3 3 ê ê 4 ëlog3 x = 4 ëx = 3 Vậy T = 3 + 34 = 84 Câu 43. (Cụm 8 Trường Chuyên 2019) Cho phương trình log2 4x log 2x 5 . Nghiệm nhỏ nhất 2 2 của phương trình thuộc khoảng nào sau đây? A. . 1; 3 B. . 5 ; 9 C. 0 ;1 . D. . 3; 5 Lời giải 2 log2 4x log 2x 5 1 log 2x 2log 2x 5 log2 2x 4 2 2 2 2 2 2x 4 x 2 log2 2x 2 1 . 1 log2 2x 2 2x x 4 8 Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình thuộc khoảng 0 ;1 . Câu 44. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tích tất cả các nghiệm của phương trình 2 log3 x 2log3 x 7 0 là A. .9 B. . 7 C. . 1 D. . 2 Lời giải 2 Dễ thấy phương trình bậc hai: log3 x 2log3 x 7 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt 2 Khi đó theo Vi-et, log x log x log (x .x ) 2 x .x 9 . 3 1 3 2 1 3 1 2 1 2 Câu 45. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho 2 số thực dương a và b thỏa mãn log a4 log b 8 và log a log b 9 . Giá trị biểu thức P ab 1 bằng 9 3 3 3 3 A. .8 2 B. . 27 C. . 243 D. . 244 Lời giải Trang 15
  16. 4 log9 a log3 b 8 2log3 a log3 b 8 log3 a 3 a 27 Ta có: log a log b 9 log a 3log b 9 log b 2 b 9 3 3 3 3 3 3 Nên P ab 1 244 2 Câu 46. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Biết phương trình log2 x 7log2 x 9 0 có hai nghiệm x1, x .2 Giá trị x1.x2 bằng A. 128 B. 64 C. 9 D. 512 Lời giải Chọn A 7 13 7 13 log x 2 x 2 2 2 2 Đk: x 0 ; log2 x 7log2 x 9 0 7 13 7 13 2 log2 x x 2 2 7 13 7 13 2 2 7 Vậy x1.x2 2 .2 2 128 Câu 47. (Mã 104 2017) Xét các số nguyên dương a , b sao cho phương trình a ln2 x bln x 5 0 có hai 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 và phương trình 5log x blog x a 0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1x2 x3 x4 . Tính giá trị nhỏ nhất Smin của S 2a 3b . A. Smin 17 B. Smin 30 C. Smin 25 D. Smin 33 Lời giải Chọn B Điều kiện x 0 , điều kiện mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là b2 20a . Đặt t ln x,u log x khi đó ta được at 2 bt 5 0 1 , 5t 2 bt a 0 2 . Ta thấy với mỗi một nghiệm t thì có một nghiệm x , một u thì có một x . b b b b t1 t2 t1 t2 a u1 u2 5 a 5 Ta có x1.x2 e .e e e , x3.x4 10 10 , lại có x1x2 x3 x4 e 10 b b 5 ln10 a a 3 ( do a,b nguyên dương), suy ra b2 60 b 8 . a 5 ln10 Vậy S 2a 3b 2.3 3.8 30 , suy ra Smin 30 đạt được a 3,b 8 . Câu 48. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tích các nghiệm của phương trình log 125x .log2 x 1 x 25 . 1 630 7 A. .6 30 B. . C. . D. 125 625 125 Lời giải Điều kiện x 0; x 1 . 2 2 1 2 Ta có log x 125x .log25 x 1 log x 125 log x x log5 x 1 3.log x 5 1 log5 x 4 2 Đặt log5 x t phương trình tương đương: x 5 3 t 1 log5 x 1 1 t 2 4 t 2 3t 4 0 1 t t 4 log5 x 4 x 625 Trang 16
  17. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 1 Vậy tích các nghiệm của phương trình là . 125 Câu 49. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tích các nghiệm của phương trình log 125x .log2 x 1 x 25 . 1 630 7 A. .6 30 B. . C. . D. 125 625 125 Lời giải Chọn B Điều kiện x 0; x 1 . 2 2 1 2 Ta có log x 125x .log25 x 1 log x 125 log x x log5 x 1 3.log x 5 1 log5 x 4 2 Đặt log5 x t phương trình tương đương: x 5 3 t 1 log5 x 1 1 t 2 4 t 2 3t 4 0 1 t t 4 log5 x 4 x 625 1 Vậy tích các nghiệm của phương trình là . 125 Câu 50. (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Xét phương trình log2 x 1 log3 x 2 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Phương trình trên vô nghiệm. B. Phương trình trên có nghiệm bé hơn 1 . C. Phương trình trên có nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm bé hơn 1 . D. Phương trình trên chỉ có nghiệm hơn 1 . Lời giải Chọn C log2 x 1 log3 x 2 3 , điều kiện x 0 . 2 log2 x 1 log3 2.log2 x 2 3 0 log3 2. log2 x 2 log3 2 log2 x 5 0 1 . Đặt t log2 x . 2 Phương trình 1 trở thành: log3 2 .t 2 log3 2 t 5 0 2 . Phương trình 2 có ac 0 nên luôn có hai nghiệm t1 0 t2 . t1 0 t2 0 Suy ra x1 2 2 1 và x2 2 2 1 . Vậy phương trình 1 có nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm bé hơn 1 . Câu 51. (Tham khảo 2018) Cho dãy số un thỏa mãn logu1 2 logu1 2logu10 2logu10 và 100 un 1 2un với mọi n 1 . Giá trị nhỏ nhất của n để un 5 bằng Trang 17
  18. A. .2 47 B. 248 . C. .2 29 D. .290 Lời giải Chọn B n Có un 1 2un 2 u1 . Xét logu1 2 logu1 2logu10 2logu10 (*) Đặt t logu1 2logu10 , điều kiện t 2 t 0 Pt (*) trở thành 2 t t 2 t 1 t t 2 0 9 Với t 1 logu1 2logu10 1 (với logu10 log 2 .u1 9log 2 logu1 ) 1 18log 2 logu1 1 18log 2 u1 10 n 1 n 1 1 18log 2 n 18log 2 100 99 18log 2 Mặt khác un 2 u1 2 .10 2 .5.10 5 n log2 5 .10 247,87 Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 248 . 5b- a a Câu 52. Cho a , b là các số dương thỏa mãn log a = log b = log . Tính giá trị . 9 16 12 2 b a 3+ 6 a a a 3- 6 A. . = B. = 7- 2 6 . C. . = 7 +D.2 . 6 = b 4 b b b 4 Lời giải Chọn B 5b- a + Đặt log a = log b = log = t 9 16 12 2 ïì ï t ï a = 9 ï t t ï t 5.16 - 9 t t t t Þ í b = 16 Þ = 12 Û 9 + 2.12 - 5.16 = 0 ï 2 ï 5b- a t ï = 12 îï 2 éæ öt êç3÷ 2t t ç ÷ = - 1+ 6 æ3ö æ3ö êèç4ø÷ Û ç ÷ + 2.ç ÷ - 5 = 0 Û ê . ç ÷ ç ÷ ê t è4ø è4ø êæ3ö ç ÷ = - 1- 6 l êç ÷ ( ) ëêè4ø 2t a 9t æ3ö 2 + = = ç ÷ = - 1+ 6 = 7- 2 6 . b 16t èç4ø÷ ( ) Câu 53. (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hai số thực dương m , nthỏa mãn m m log4 log6 n log9 m n . Tính giá trị của biểu thức P . 2 n 1 A. .P 2 B. P 1. C. .P 4 D. . P 2 Lời giải Chọn B Trang 18
  19. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 m 1 4t t 2 m 4 2 m t t Đặt t log4 log6 n log9 m n n 6 n 6 2 t t m n 9 m n 9 t 2 2t t 1 VN t 2 2 3 2 1 1 2.4t 6t 9t 2. 1 0 t log t 2 3 3 2 1 3 2 3 2 3 2 1 t t t log 2 2 m 2.4 m 4 2 2 3 1 P 2. 2. 2. 2. 1. t n 6 n 6 3 3 2 ChọnB. Câu 54. (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - 2019) Giả sử p, q là các số thực dương thỏa mãn p log p log q log p q . Tính giá trị của . 16 20 25 q 1 8 1 4 A. 1 5 . B. . C. . 1 D.5 . 2 5 2 5 Lời giải Chọn A t log16 p t p 16 t t t t log16 p log20 q log25 p q log20 q t q 20 16 20 25 t log25 p q t p q 25 t 4 1 5 t t vn 16 4 5 2 1 0 t 25 5 4 1 5 5 2 t p 4 1 5 Suy ra . q 5 2 2 Câu 55. (TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Tích các nghiệm của phương trình log x 125x log25 x 1 bằng 7 630 1 A. . B. . C. . D. .630 25 625 125 Lời giải Điều kiện: 0 x 1 , ta có: 3 log 125x log2 x 1 log2 x log2 x.log 125 1 log2 x log x 1 0 x 25 25 25 x 25 2 25 1 x 5 log x 25 2 . 1 x 2 log25 x 2 25 1 Vậy tích các nghiệm của phương trình là: . 125 Trang 19
  20. Câu 56. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018) Tích tất cả các nghiệm của phương trình 2 log2 x log2 x 1 1 1 5 1 5 1 A. 2 2 . B. .1 C. . 2 2 D. . 2 Lời giải x 0 x 0 1 Điều kiện 1 x . log2 x 1 0 x 2 2 2 Đặt log2 x 1 t , t 0 log2 x t 1 ta có phương trình 2 t 2 1 t 1 t 4 2t 2 t 0 t t3 2t 1 0 t t 1 t 2 2t 1 0 t 0 t / m t 1 t / m 1 5 t t / m . 2 1 5 t loai 2 1 Với t 0 thì log2 x 1 x 2 . 0 Với t 1 thì log2 x 0 x 2 . 1 5 1 5 1 5 Với t thì log x x 2 2 . 2 2 2 1 5 Vậy tích các nghiệm của phương trình là 2 2 . Câu 57. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Gọi x , y các số thực dương thỏa mãn điều kiện x - a + b log x = log y = log (x + y) và = , với a, b là hai số nguyên dương. Tính 9 6 4 y 2 T a2 b2 . A. T = 26. B. T = 29. C. T = 20. D. T = 25. Lời giải Chọn A ïì x = 9t ï Đặt t = log x = log y = log (x + y) , ta có íï y = 6t Þ 9t + 6t = 4t 9 6 4 ï ï t îï x + y = 4 éæ3öt - 1- 5 êç ÷ = (loai) 2t t êç ÷ æ3ö æ3ö è2ø 2 t Û ç ÷ + ç ÷ - 1= 0 Û ê æ3ö - 1+ 5 ç ÷ ç ÷ ê t Þ ç ÷ = . è2ø è2ø êæ3ö - 1+ 5 ç ÷ ç ÷ = è2ø 2 êç ÷ ëêè2ø 2 Trang 20
  21. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 x æ9öt æ3öt - 1+ 5 Suy ra = ç ÷ = ç ÷ = . y èç6÷ø èç2ø÷ 2 x - a + b - 1+ 5 Mà = = Þ a = 1;b = 5. y 2 2 Vậy T a2 b2 12 52 26. Câu 58. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn b log a = log b = log (4a- 5b)- 1. Đặt T = . Khẳng định nào sau đây đúng? 4 6 9 a 1 2 1 A. .1 T 2 B. . C. . T D. 2 T 0 0 T . 2 3 2 Lời giải Chọn D a 4t t Giả sử: log4 a log6 b log9 4a 5b 1 t b 6 t 1 4a 5b 9 t t 2t t t t t 4 6 2 2 Khi đó 4.4 5.6 9.9 4. 5. 9 4. 5. 9 0 9 9 3 3 t 2 9 3 4 9 t log t 2 t 2 2 3 4 1 VN 3 t 2 b 6 3 4 1 Vậy T 0; . a 4 2 9 2 Dạng 1.3 Phương pháp mũ hóa g x + Nếu a 0, a 1: loga f x g x f x a (mũ hóa) x Câu 59. (Cần Thơ 2019) Tích tất cả các nghiệm của phương trình log2 12 2 5 x bằng A. .2 B. . 32 C. 6 . D. .3 Lời giải Chọn C Điều kiện 12 2x 0 (*) 2x 4 x 2 Khi đó log 12 2x 5 x 12 2x 25 x 22x 12.2x 32 0 2 x 2 8 x 3 Ta thấy cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) , và tích bằng 2.3 6 . x Câu 60. Phương trình log4 3.2 x 1 có nghiệm là x0 thì nghiệm x0 thuộc khoảng nào sau đây A. . 1;2 B. 2;4 . C. . 2;1 D. . 4; Lời giải Chọn B x x x 1 x x Ta có log4 3.2 x 1 3.2 4 4 12.2 0 Trang 21
  22. 2x 0, vn x log 12 2;4 . x 2 2 12 x Câu 61. Phương trình log4 3.2 1 x 1 có hai nghiệm x1 ;x2 . Tính giá trị của P x1 x2 . A. .6 4 2 B. . 12 C. . D. log2 6 4 2 2 . Lời giải Chọn D 1 Điều kiện: 3.2x 1 0 2x * . 3 x x x 1 1 x 2 x log4 3.2 1 x 1 3.2 1 4 2 3.2 1 0 4 x 2 6 4 2 t/m * x log2 6 4 2 2x 6 4 2 t/m * x log 6 4 2 2 Khi đó P log2 6 4 2 log2 6 4 2 log2 6 4 2 6 4 2 log2 4 2 . Câu 62. (Sở Bạc Liêu - 2018) Gọi x1, x(với2 x1 x ) 2 là nghiệm của phương trình 2x 1 x 1 x1 x2 log3 3 3 1 x khi đó giá trị của biểu thức 3 3 là: A. 1 3 . B. .1 3 C. . 2 3D. . 2 3 Lời giải 2x 1 x 1 log3 3 3 1 x 32x 1 3x 1 1 3x 32x 4.3x 3 0 3x 3 3x 1 x 1 x 0. Do x1 x2 nên x1 0, x2 1. Ta được đáp án A là đúng. Câu 63. (Chuyên Thái Bình - 2018) Số nghiệm của phương trình 2log5 x 3 x là: A. .0 B. 1. C. .3 D. . 2 Lời giải Đk: x 3 t Đặt t log5 x 3 x 5 3 , phương trình đã cho trở thành t t 2 1 2t 5t 3 2t 3 5t 3. 1 (1) 5 5 t t 2 1 Dễ thấy hàm số f t 3. nghịch biến trên ¡ và f 1 1 nên phương trình (1) có 5 5 nghiệm duy nhất t 1 . Với t 1 , ta có log5 x 3 1 x 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2 . Trang 22
  23. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 x Câu 64. (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Phương trình log2 5 2 2 x có hai ngiệm x ,1 x .2 Tính P x1 x2 x1x2 . A. 11 . B. 9 . C. .3 D. 2 . Lời giải Điều kiện: 2x 5 4 2x 1 x 0 log 5 2x 2 x 5 2x 22 x 5 2x 2 x x 2 2 4 x 2 P x x x x 2 1 2 1 2 . x Câu 65. (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho phương trình log 4 3.2 1 x 1 có hai nghiệm x1 , x2 . Tổng x1 x2 là: A. .l og2 6B. 4 2 2. C. .4 D. . 6 4 2 Lời giải. Chọn B x x x x 1 4 x log4 3.2 1 x 1 3.2 1 4 3.2 1 0 1 . 4 1 Đặt t 2x t 0 . PT 2 t 2 3t 1 0 2 . 4 x1 x2 x1 x2 Giả sử 2nghiệm của PT 2 là t1 ,t2 t1.t2 4 2 .2 4 2 4 x1 x2 2. Dạng 1.4 Phương pháp hàm số, đánh giá Thông thường ta sẽ vận dụng nội dung các định lý (và các kết quả) sau:  Nếu hàm số y f x đơn điệu một chiều trên D thì phương trình f x 0 không quá một nghiệm trênD.  Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm được 1 nghiệm x xo của phương trình, rồi chỉ rõ hàm đơn điệu một chiều trên D (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên D) và kết luận x xlào nghiệm duy nhất.  Hàm số f t đơn điệu một chiều trên khoảng a;b và tồn tại u; v a;b thì f u f v u v ".  Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f t . Câu 66. (Đề tham khảo 2017) Hỏi phương trình 3x2 6x ln x 1 3 1 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt? A. .2 B. . 1 C. 3. D. 4 Lời giải Chọn C Điều kiện: x 1 . Phương trình đã cho tương đương với 3x2 6x 3ln x 1 1 0 . Xét hàm số y 3x2 6x 3ln x 1 1 liên tục trên khoảng 1; . Trang 23
  24. 3 6x2 3 y 6 x 1 . x 1 x 1 2 y 0 2x2 1 0 x (thỏa điều kiện). 2 2 2 Vì f 0 , f 0 và lim y nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân 2 2 x biệt. 1 Câu 67. (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2018) Số nghiệm của phương trình ln x 1 là: x 2 A. .1 B. . 0 C. . 3 D. 2 . Lời giải Hàm số f x ln x 1 luôn đồng biến trên khoảng 1; . 1 1 Hàm số g x có g x 0 , x 2 nên g x luôn nghịch biến trên khoảng x 2 x 2 2 1;2 và 2; . Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm. Câu 68. (THPT Nguyễn Trãi - Đà Nẵng - 2018) Giải phương trình log2 x.log3 x x.log3 x 3 log2 x 3log3 x x . Ta có tổng tất cả các nghiệm bằng A. .3 5 B. . 5 C. 10. D. .9 Lời giải Điều kiện x 0 . log2 x.log3 x x.log3 x 3 log2 x 3log3 x x log2 x x 3 log3 x 1 0 x 3 . log2 x x 3 0 Ta có hàm số f x log2 x x liên tục và đồng biến trên 0; và f 2 3 nên phương trình log2 x x 3 0 có một nghiệm x 2 . Vậy tổng tất cả các nghiệm bằng 5 . 1 Câu 69. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình log x 3 log x 1 x2 x 4 2 x 3 . 2 2 2 A. .S 2 B. S 1. C. .S 1 D. . S 1 2 Trang 24
  25. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Lời giải Chọn B Điều kiện: x 1 . Ta có: 1 2 log x 3 log x 1 x2 x 4 2 x 3 log x 3 x 3 1 log x 1 x2 * 2 2 2 2 2 2 Xét hàm số f t log2 t t 1 trên khoảng 0; . 2 1 2 2ln 2. t 1 ln 2 1 1 2ln 2 t t 2 f t 2 t 1 0 t 0 . t ln 2 t ln 2 t ln 2 Vậy hàm số f t đồng biến trên khoảng 0; . Suy ra * f x 3 f x 1 x 3 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 . x x 2 0 x 2 Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 1 . 2 x + 1 æ x 1 ö Câu 70. Biết phương trình log = 2log ç - ÷ có một nghiệm dạng x = a + b 2 trong đó 5 3 ç ÷ x èç 2 2 x ø÷ a, b là các số nguyên. Tính 2a+ b . A. .3 B. 8. C. .4 D. . 5 Lời giải Chọn B Điều kiện: ïì x > 0 ì x > 0 ï ï ï ï í x 1 Û í 1 Û x > 1. ï - > 0 ï x > îï 2 2 x îï x Ta có: æ ö 2 x + 1 çx- 1÷ log5 = 2log3 ç ÷Û log5 (2 x + 1)- log5 x = 2log3 (x- 1)- 2log3 (2 x) x èç2 x ø÷ Û log5 (2 x + 1)+ 2log3 (2 x)= log5 x + 2log3 (x- 1) (*) Xét hàm số: f (t)= log5 (t + 1)+ 2log3 (t) trên (2;+ ¥ ) 1 2 Ta có: f '(t)= + > 0 với mọi t Î (2;+ ¥ ) . (t + 1)ln 5 t.ln 3 Suy ra f (t) đồng biến trên (2;+ ¥ ) é ê x = 1- 2 Từ đó ta có (*)Û f (2 x)= f (x- 1)Þ 2 x = x- 1Û x- 2 x - 1= 0 Û ê ëê x = 1+ 2 Vậy x = 1+ 2 Þ x = 3+ 2 2 Þ a = 3,b = 2 Trang 25
  26. 2 Câu 71. Số nghiệm thực của phương trình 2 x 1 log x x2 1 4x log 3x . 2 2 A. .0 B. 1. C. .2 D. . 3 Lời giải Chọn B Đk: x 0 . 2 Ta có x x2 1 1,x 0 do đó 2 x 1 log x x2 1 0,x 0 . 2 2 2 x 1 log x x2 1 0 1 2 Với 0 x thì , do đó phương trình đã cho vô nghiệm. 3 x 4 log2 3x 0 1 Với x . 3 2 2 2 x 1 log x x2 1 4x log 3x 2x x 1 log x x2 1 23x log 3x .(*) 2 2 2 2 t Xét hàm số f t 2 log2 t , với t 1 . t 1 Có f t 2 ln 2log2 t f t 0,t 1; . t ln 2 Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 1; . 2 2 1 1 Do đó (*) f x x 1 f 3x x x 1 3x x ; . 3 3 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm thực. 2 1 2x 1 1 Câu 72. (Bắc Ninh - 2018) Cho phương trình log2 x 2 x 3 log2 1 2 x 2 , gọi 2 x x S là tổng tất cả các nghiệm của nó. Khi đó, giá trị của S là 1 13 1 13 A. .S 2 B. . SC. . D. S 2 S . 2 2 Lời giải 1 2 x Điều kiện 2 . x 0 2 Xét hàm số f t log2 t t 1 , t 0 . 1 2ln 2.t 2 2ln 2.t 1 Ta có f t 2 t 1 0 , t 0 , do đó hàm số f t đồng biến t ln 2 t.ln 2 trên khoảng 0; . Mặt khác ta có: 2 1 2x 1 1 log2 x 2 x 3 log2 1 2 x 2 2 x x 2 2 1 1 log2 x 2 x 2 1 log2 2 2 1 x x 1 f x 2 f 2 x Trang 26
  27. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 1 x 2 2 x x3 2x2 4x 1 0 x 1 3 13 x 2 3 13 x 2 x 1 1 13 Kết hợp với điều kiện ta được 3 13 . Vậy S . x 2 2 Câu 73. (Toán Học Và Tuổi Trẻ - 2018) Biết x ,1 x 2 là hai nghiệm của phương trình 2 4x 4x 1 2 1 log7 4x 1 6x và x1 2x2 a b với a , b là hai số nguyên dương. Tính 2x 4 a b. A. .a b 16 B. . aC. b 11 a b 14 . D. a b 13. Lời giải x 0 Điều kiện 1 x 2 2 4x2 4x 1 2x 1 Ta có log 4x2 1 6x log 4x2 4x 1 2x 7 7 2x 2x 2 2 log7 2x 1 2x 1 log7 2x 2x 1 1 Xét hàm số f t log t t f t 1 0 với t 0 7 t ln 7 Vậy hàm số đồng biến 3 5 x 2 2 4 Phương trình 1 trở thành f 2x 1 f 2x 2x 1 2x 3 5 x 4 9 5 l 4 Vậy x1 2x2 a 9;b 5 a b 9 5 14. 9 5 tm 4 Câu 74. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2018) Số nghiệm của phương trình x2 x ln x2 2 2018 là 2 A. .3 B. . 1 C. 4 . D. .2 Lời giải x2 Xét hàm số f x x ln x2 2 với x ; 2  2; . 2 Trang 27
  28. 2x 2x2 4 Ta có f x x 1 ; f x 1 0,x ; 2  2; . 2 2 x 2 x2 2 2x Nên suy ra hàm số f x x 1 đồng biến trên mỗi khoảng ; 2 và 2; . x2 2 8 Mặ khác f 2 . f 3 1. 1 3 0 và f 3 . f 2 .1 0 nên f x có đúng một 7 nghiệm a ; 2 và đúng một nghiệm b 2; . Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f x 2018 có bốn nghiệm phân biệt. Câu 75. (THPT Lê Xoay - 2018) Số nghiệm của phương trình sin 2x cos x 1 log2 sin x trên khoảng 0; là: 2 A. .4 B. . 3 C. . 2 D. 1. Lời giải Vì sin x 0 và cos x 0 , x 0; nên phương trình đã cho tương đương 2 sin 2x cos x log2 cos x 1 log2 sin x log2 cos x log2 cos x cos x log2 sin 2x sin 2x * 1 Xét hàm số f t log t t , với t 0;1 ta có f t 1 0, t 0;1 . 2 t ln 2 Do đó, hàm số f t đồng biến trên khoảng 0;1 . 1 Từ phương trình * , ta có f cos x f sin 2x cos x sin 2x sin x hay x . 2 6 Câu 76. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Phương trình 2 2 log3 x 2x 3 x x 7 log3 x 1 có số nghiệm là T và tổng các nghiệm là S . Khi đó T S bằng A. .2 B. 4 . C. .3 D. . 1 Lời giải x2 2x 3 0 * Điều kiện x 1 . x 1 0 * Ta có x 3 là một nghiệm của phương trình. Trang 28
  29. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 2 x 2x 3 2 * Khi x 1 , phương trình đã cho được viết lại log3 x x 7 * . x 1 * Phương trình * có vế trái là hàm đồng biến và vế phải là hàm nghịch biến khi x 1suy ra x 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. * Vậy T S 4 . Câu 77. (THPT Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - 2018) Biết x1, x2 x1 x 2là hai nghiệm của phương 2 4x 4x 1 2 1 trình log7 4x 1 6x và x1 3x2 a 2 b với a, b là các số nguyên 2x 4 dương. Tính a b A. .a b 14 B. . C.a b 16 a b 17 . D. .a b 15 Lời giải 2 1 4x2 4x 1 2x 1 x 0 0 2 . 2x 2x x 0 2 4x 4x 1 2 2 2 log7 4x 1 6x log7 2x 1 2x 1 log7 2x 2x 2x Xét hàm f t log7 t t t 0 . 1 Ta có f t 1 0t 0 , vậy f t log t t t 0 là hàm đồng biến suy ra t ln 7 7 2 2 2 2 2 log7 2x 1 2x 1 log7 2x 2x 2x 1 2x 4x 6x 1 0 4x 6x 1 0 3 5 x2 4 . 3 5 x1 4 1 x 3x 12 2 5 . 1 2 4 2 x 1 x 1 Câu 78. (THPT Lương Văn Can - 2018) Cho biết phương trình log 2log có 5 3 x 2 2 x mx a 2 nghiệm duy nhất x a b 2 . Hỏi m thuộc khoảng nào dưới đây để hàm số y có x m giá trị lớn nhất trên đoạn 1; 2 bằng 2 . A. .m 7; 9 B. . C.m 6; 7 m 2; 4 . D. .m 4; 6 Lời giải + Điều kiện: x 1 . 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 Ta có: log 2log log 2log 5 3 5 3 x 2 2 x x 2 x 2 2 log5 2 x 1 log5 x log3 x 1 log3 2 x Trang 29
  30. 2 2 log5 2 x 1 log3 2 x log5 x log3 x 1 (*). 2 Xét hàm số f t log5 t log3 t 1 , với t 1 1 2 có f t 0, t 1 t.ln 5 t 1 .ln 3 nên f t đồng biến do đó (*) x 2 x 1 x 1 2 (vì x 1 ) x 3 2 2 . Vậy a 3 . mx 1 + Với a 3 , ta xét hàm số y x m TXĐ: D ¡ \ m m2 1 y ' 0 do đó hàm số luôn nghịch biến. x m 2 m 1; 2 Khi đó hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn 1; 2 bằng 2 y 1 2 m 1; 2 m 1 m 3. 2 1 m DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 2.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số + Nếu a 0, a 1 thì a f x a g x f x g x f x g x a 1 + Nếu a chứa ẩn thì a a a 1 f x g x 0 . f x g x f x g x f x g x + a b loga a loga b f x loga b.g x (logarit hóa). x2 2x 3 1 x 1 Câu 1. (Chuyên Bắc Giang 2019) Nghiệm của phương trình 5 là 5 A. x 1; x 2. B. x 1; x 2. C. x 1; x 2. D. Vô nghiệm. Lời giải Chọn A Ta có: x2 2x 3 1 x 1 (x2 2x 3) x 1 2 2 x 1 5 5 5 x 2x 3 x 1 x x 2 0 . 5 x 2 Vậy nghiệm của phương trình là x 1; x 2. x2 2x 3 1 x 1 Câu 2. Tập nghiệm của phương trình 7 là 7 A. . 1 B. 1;2. C. . 1;4 D. . 2 Lời giải Chọn B x2 2x 3 1 x 1 x2 2x 3 x 1 2 Ta có: 7 7 7 x 2x 3 x 1 . 7 Trang 30
  31. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 2 x 1 x x 2 0 . x 2 2 Câu 3. Tổng các nghiệm của phương trình 2x 2x 82 x bằng A. . 6 B. 5. C. .5 D. . 6 Lời giải Chọn B 2 2 Ta có: 2x 2x 82 x 2x 2x 26 3x x2 5x 6 0 x 1 . x 6 Vậy tổng hai nghiệm của phương trình bằng 5 . x2 2x 3 x 1 1 Câu 4. (SGD Điện Biên - 2019) Gọi x1, x 2là hai nghiệm của phương trình 7 . Khi đó 7 2 2 x1 x2 bằng: A. .1 7 B. . 1 C. 5. D. .3 Lời giải Chọn C x2 2x 3 2 x 1 1 x 1 x 2x 3 2 2 x1 1 7 7 7 x 1 x 2x 3 x x 2 0 . 7 x2 2 2 2 Vậy x1 x2 5. x2 3x 2 1 Câu 5. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 5 bằng 5 A. .2 B. 5 . C. .0 D. . 3 Lời giải Chọn B x2 3x 2 1 3x 2 x2 2 x 1 Ta có 5 5 5 x 3x 2 0 . 5 x 2 x2 3x 2 1 Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình 5 bằng 5 . 5 Câu 6. Nghiệm của phương trình 27 x 1 82x 1 là A. x 2. B. x 3. C. x 2. D. x 1. Lời giải Chọn C 27 x 1 82x 1 27 x 1 23.(2x 1) 27 x 1 26x 3 7x 1 6x 3 x 2 . x 1 5x 7 2 Câu 7. (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Giải phương trình 2,5 . 5 A. .x 1 B. x 1. C. .x 1 D. . x 2 Lời giải Trang 31
  32. x 1 5x 7 x 1 5x 7 2 5 5 Ta có 2,5 5x 7 x 1 x 1 . 5 2 2 3x 1 x2 4 1 Câu 8. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Phương trình 3 có hai nghiệm 9 x1, x2 . Tính x1x2 . A. 6 . B. . 5 C. . 6 D. . 2 Lời giải 3x 1 x2 4 1 2 2 Ta có 3 x 4 2 6x x 6x 6 0 . 9 Áp dụng Vi-ét suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thì x1x2 6 . 2 Câu 9. (Sở Quảng Nam - 2018) Tổng các nghiệm của phương trình 2x 2x 82 x bằng A. .5 B. 5 . C. .6 D. . 6 Lời giải 2 Phương trình đã cho tương đương: 2x 2x 23 2 x x2 2x 6 3x x2 5x 6 0 . b Do đó tổng các nghiệm của phương trình là: S 5 . a x x x2 1 Câu 10. (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2018) Tập nghiệm của phương trình 4 là 2 2 1  3 A. . 0;  B. . 0; C. . D.0; 2 0;  . 3 2 2 Lời giải x x 0 2 x x2 1 2x 2x x 2 2 Ta có 4 2 2 2x 2x x 2x 3x 0 3 . 2 x 2 Câu 11. (THPT Kim Liên - Hà Nội - 2018) Tính tổng S x1 x2 biết x1 , x2 là các giá trị thực thỏa mãn x 3 x2 6x 1 1 đẳng thức 2 . 4 A. .S 5 B. . S 8 C. S 4 . D. .S 2 Lời giải x 3 x2 6x 1 1 x2 6x 1 2 x 3 2 Ta có 2 2 2 x 6x 1 2x 6 4 2 x1 1 x 4x 5 0 S x1 x2 4. x2 5 Câu 12. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Nội - 2018) Tích các nghiệm của phương trình x 1 x 1 5 2 5 2 x 1 là A. 2 . B. . 4 C. . 4 D. . 2 Lời giải Trang 32
  33. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Chọn.A. ĐKXĐ : x 1 1 Vì 5 2 5 2 1 nên 5 2 5 2 . x 1 x 1 Khi đó phương trình đã cho tương đương 5 2 5 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 . (thỏa điều kiện) x 2 Suy ra tích hai nghiệm là 2 . Câu 13. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Giải phương trình 42x 3 84 x . 6 2 4 A. x . B. .x C. . x 2 D. . x 7 3 5 Lời giải 6 42x 3 84 x 24x 6 212 3x 4x 6 12 3x x . 7 28 x 4 2 Câu 14. (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho phương trình2 3 16x 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng: A. Nghiệm của phương trình là các số vô tỷ. B. Tổng các nghiệm của một phương trình là một số nguyên. C. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm. D. Phương trình vô nghiệm. Lời giải. Chọn C 28 28 x 4 x 4 2 2 28 2 3 16x 1 2 3 24x 4 x 4 4x2 4 1 . 3 x 3 TM 3 28 2 2 28 TH1: Nếu x . PT 1 : x 4 4x 4 4x x 8 0 2 7 3 3 x L 3 x 0 L 3 28 2 2 28 TH1: Nếu x . PT 1 : x 4 4x 4 4x x 0 7 7 3 3 x TM 3 7  Phương trình có tập nghiệm S ;3 . 3  Dạng 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ  Loại 1. P a f x 0 PP đặt t a f x , t 0 . f x 2. f x f x 2. f x PP 2. f x a  Loại 2. .a . a.b λ.b 0  Chia hai vế cho b , rồi đặt t 0 b (chia cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất). 1  Loại 3. a f x b f x c với a.b 1 PP đặt t a f x b f x . t Trang 33
  34. f x g x a .a f x f x g x PP u a  Loại 4. .a f x .a b 0  đặt . a g x v a a g x Câu 15. (Mã 123 2017) Cho phương trình 4x 2x 1 3 0. Khi đặt t 2x ta được phương trình nào sau đây A. 2t2 3t 0 B. 4t 3 0 C. t2 t 3 0 D. t2 2t 3 0 Lời giải Chọn D Phương trình 4x 2.2x 3 0 Câu 16. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Tập nghiệm của phương trình 2 2 2 5x 4x 3 5x 7 x 6 52x 3x 9 1 là A. . 1; 1;3 B. . C. 1 ;1;3;6 6; 1;1;3. D. . 1;3 Lời giải 2 2 x2 4x 3 x2 7 x 6 2x2 3x 9 x2 4x 3 x2 7 x 6 x 4x 3 x 7 x 6 5 5 5 1 5 5 5 1. a x2 4x 3 Đặt , ta được phương trình: 2 b x 7x 6 5a 1 a 0 5a 5b 5a b 1 5a 5b 5a.5b 1 1 5a 1 5b 0 b 5 1 b 0 x 1 2 x 4x 3 0 x 3 Khi đó . 2 x 7x 6 0 x 1 x 6 Tập nghiệm của phương trình là 6; 1;1;3 . Câu 17. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Phương trình 9 x 6 x 22 x 1 có bao nhiêu nghiệm âm? A. .2 B. . 3 C. . 0 D. . 1 Lời giải 2 x x x x 2 x 1 x x x 3 3 Phương trình 9 6 2 9 6 2.4 2 . 2 2 x 3 2 t 1 (L) Đặt t với t 0 , phương trình trở thành t t 2 0 . 2 t 2 x 3 Với t 2 2 x log 3 2 0 . 2 2 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm. Câu 18. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Tổng các nghiệm của phương trình 4 x 6.2 x 2 0 bằng A. .0 B. 1. C. .6 D. . 2 Lời giải x x log 3 7 2 2 3 7 2 4x 6.2x 2 0 2x 6.2x 2 0 . 2x 3 7 x log 3 7 2 Trang 34
  35. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là log 3 7 log 3 7 log 3 7 3 7 log 2 1. 2 2 2 2 Câu 19. (Cụm 8 Trường Chuyên 2019) Tổng các nghiệm của phương trình 3x 1 31 x 10 là A. 1. B. 0. C. 1. D. 3. Lời giải 3 Ta có: 3x 1 31 x 10 3.3x 10 3x t 3 x 3 Đặt t 3 t 0 , phương trình trở thành: 3t 10 3t 2 10t 3 0 1 . t t 3 Với t 3 ta có 3x 3 x 1 . 1 1 Với t ta có 3x 3x 3 1 x 1 . 3 3 Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: 1 1 0 . x x 2 2 Câu 20. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình 2 3 2 3 4 . Khi đó x1 2x2 bằng A. 2. B. .3 C. 5. D. 4. Lời giải x x x x 1 Ta có: 2 3 . 2 3 1 . Đặt t 2 3 ,t 0 2 3 . t 1 Phương trình trở thành: t 4 t 2 4t 1 0 t 2 3 . t x Với t 2 3 2 3 2 3 x 1 . x x 1 Với t 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 x 1 . 2 2 Vậy x1 2x2 3 . Câu 21. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2.4 x 9.2 x 4 0 bằng. A. .2 B. . 1 C. . 0 D. . 1 Lời giải Phương trình: 2.4 x 9.2 x 4 0 (1) có TXĐ: D ¡ . Đặt t 2 x ( t 0) Khi đó pt( 1) trở thành: t 4(tm) 2 2t 9t 4 0 (t 4)(2t 1) 0 1 t (tm) 2 Với t 4 2 x 4 2 x 22 x 2 1 1 Với t 2x 2x 2 1 x 1 2 2 Phương trình có tập nghiệm là: .S Vậy {2 tổng; 1} tất cả các nghiệm của pt (1) là . 1 2x 1 x 1 Câu 22. (THPT Nghĩa Hưng NĐ 2019) Phương trình 6 5.6 1 0 có hai nghiệm x1 ,x2 . Khi đó tổng hai nghiệm x1 x2 là. A. 5. B. 3. C. 2. D. 1. Trang 35
  36. Lời giải 62x 5.6 x 6x1 2 62x 1 5.6x 1 1 0 1 0 62x 5.6x 6 0 . x 6 6 6 2 3 x1 x2 x1 x2 6 .6 3.2 6 6 x1 x2 1. Câu 23. Cho phương trình 25x 20.5x 1 3 0 . Khi đặt t 5x , ta được phương trình nào sau đây. 20 A. .t 2 3 0 B. . C. t. 2 4D.t .3 0 t 2 20t 3 0 t 3 0 t Lời giải x 2 5 2 Ta có: 25x 20.5x 1 3 0 5x 20. 3 0 5x 4.5x 3 0 5 Đặt t 5x , t 0 Khi đó phương trình trở thành: t 2 4t 3 0 . Câu 24. (Sở Bình Phước -2019) Tập nghiệm của phương trình 9 x 4.3x 3 0 là A. {0;1} B. {1} C. {0} D. {1;3} Lời giải Chọn A 3x 1 3x 30 x 0 Ta có: 9 x 4.3x 3 0 . x x 1 3 3 3 3 x 1 Câu 25. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Số nghiệm thực của phương trình 4 x 1 2 x 3 4 0 là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải 2x 1 8 2 17 pt 4x 1 16.2x 1 4 0 x 1 log 8 2 7 x 1 2 2 8 2 17 Câu 26. (Chuyên Bắc Giang 2019) Tập nghiệm của phương trình 32 x 32 x 30 là 1  A. S 3;  B. S 1 C. S 1; 1 D. S 3;1. 3 Lời giải Chọn C 3x 3 2 x 2 x 2x x 3 3 30 3.3 10.3 3 0 1 x 1 3x 3 Câu 27. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số f x x.5x .Tổng các nghiệm của phương trình 25x f ' x x.5x.ln5 2 0 là A. 2 B. 0 C. 1 D. 1 lời giải: Chọn B Ta có f x x.5x f ' x 5x x.5x.ln5 Nên 25x f ' x x.5x.ln 5 2 0 25x 5x 2 0 Trang 36
  37. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Đặt t 5x t 0 t 1 2 x Ta được phương trình t t 2 0 5 1 x 0 t 2 l Câu 28. (Chuyên KHTN 2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 32x 2.3x 2 27 0 bằng A. .9 B. . 18 C. 3 . D. .27 Lời giải x x log 9 3 6 2 3 9 3 6 1 3 32x 2.3x 2 27 0 3x 18.3x 27 0 . 3x 9 3 6 x log 9 3 6 2 3 Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là: x x log 9 3 6 log 9 3 6 log 9 3 6 9 3 6 log 27 3 . 1 2 3 3 3 3 Câu 29. (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Phương trình 9 x 6 x 22 x 1 có bao nhiêu nghiệm âm? A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 Lời giải x 3 2x x 1 L 3 3 2 Ta có: 9 x 6 x 22 x 1 9x 6x 2.4x 2 0 x log 2 . x 3 2 2 3 2 2 2 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm. x x Câu 30. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Phương trình 2 1 2 1 2 2 0 có tích các nghiệm là? A. 0. B. 2. C. 1. D. .1 Lời giải x x 1 Đặt t 2 1 (t > 0) 2 1 t Phương trình đã cho trở thành 1 t 2 2 0 t t 2 2 2 t 1 0 t 1 2 t 1 2 x Với t 1 2 2 1 1 2 x 1 x Với t 1 2 2 1 1 2 x 1 Vậy tích 2 nghiệm của phương trình đã cho là 1 x2 x x2 x 1 Câu 31. (Chuyên Bắc Giang 2019) Gọi x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình 4 2 3 .Tính x1 x2 A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 Lờigiải Trang 37
  38. Chọn D 2 Đặt 2x x t(t 0) . Phương trình tương đương với 2 t 1 t 2t 3 0 t 3 2 x 0 Vì t 0 t 1 x x 0 x1 x2 1 x 1 Câu 32. (HSG Bắc Ninh 2019) Giải phương trình: 41 x 41 x 2 22 x 22 x 8 Lời giải 41 x 41 x 2 22 x 22 x 8 41 x 41 x 4 21 x 21 x 8 Đặt t 21 x 21 x t 2 41 x 41 x 8 Phương trình trở thành: 1 x 1 x t 0 21 x 21 x 0 21 x 21 x x 0 t 2 4t 2x 1 2 (VN) 1 x 1 x 2x x t 4 2 2 4 2 2.2 1 0 x log2 1 2 x 2 1 2 Câu 33. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình 32x 8 4.3x 5 27 0 ? 4 4 A. .5 B. 5. C. . D. . 27 27 Lời giải Chọn B Ta có: 32x 8 4.3x 5 27 0 32 x 4 12.3x 4 27 0 . x 4 2 t 3 Đặt t 3 t 0 ta được phương trình t 12t 27 0 t 9 3x 4 3 x 3 từ đó ta có x 4 3 9 x 2 Vậy tổng các nghiệm phương trình đã cho là -5. Câu 34. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 32 x - 2.3x+ 2 + 27 = 0 bằng A. .0 B. . 18 C. 3 . D. .27 Lời giải Chọn C Ta có: x é 2 é3 = 9+ 3 6 êx = log3 (9+ 3 6) 2x x+ 2 x x ê 3 - 2.3 + 27 = 0 Û (3 ) - 18.3 + 27 = 0 Û ê Û ê ê3x = 9- 3 6 êx = log 9- 3 6 ë ëê 3 ( ) Vậy tổng các nghiệm là log3 (9+ 3 6)+ log3 (9- 3 6)= log3 (9+ 3 6)(9- 3 6)= log3 27 = 3 . Câu 35. (Hội 8 trường chuyên ĐBSH 2019) Tổng các nghiệm của phương trình 3x 1 31 x 10 là A. .1 B. . 3 C. . 1 D. 0 . Lời giải Chọn D Trang 38
  39. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 3 Cách 1: Ta có 3x 1 31 x 10 3.3x 10 . 3x t 3 x Đặt t 3 ,t 0 phương trình trở thành 3t 2 10t 3 0 1 . t 3 Với t 3 ta có 3x 3 x 1 1 1 Với t ta có 3x x 1 3 3 Câu 36. (SGD Điện Biên - 2019) Tích tất cả các nghiệm của phương trình 3x 34 x 30 bằng A. 3. B. .1 C. . 9 D. . 27 Lời giải Chọn A 81 3x 34 x 30 3x 30 . 3x Đặt t 3x t 0 , phương trình đã cho trở thành: 81 t 30 t 2 30t 81 0 t t 27 3x 27 x 3 x t 3 3 3 x 1 Vậy tích tất cả các nghiệm của phương trình là 1.3 3 . Câu 37. (Thi thử hội 8 trường chuyên 2019) Kí hiệu x1 , x2 là hai nghiệm thực của phương trình x2 x x2 x 1 4 2 3 . Giá trị của x1 x2 bằng A. .3 B. . 4 C. . 2 D. 1. Lời giải Chọn D 2 2 2 2 2 Ta có 4x x 2x x 1 3 2x x 2.2x x 3 0 . x2 x 2 t 3 Đặt 2 t 0 ta được: t 2t 3 0 . t 1 2 x x 2 x 0 Vì t 0 nên nhận t 1 . Suy ra 2 1 x x 0 . x 1 x1 0 x1 1 Như thế hoặc . x2 1 x2 0 Vậy x1 x2 1 . sin x sin x Câu 38. (Đại học Hồng Đức 2019) Cho phương trình 7 4 3 7 4 3 4 . Tổng các nghiệm của phương trình trong  2 ;2  bằng Trang 39
  40. 3 A. . B. . C. 0. D. . 2 2 Lời giải Chọn C sin x sin x sin x sin x 7 4 3 7 4 3 4 2 3 2 3 4 . sin x Đặt t 2 3 , t 0 . Khi đó phương trình đã cho trở thành 1 t 2 3 t 4 t 2 4t 1 0 . t t 2 3 k 3  Với t 2 3 sin x 1 x k2 ¢  x ;  . 2 x  2 ;2  2 2  k 3  Với t 2 3 sin x 1 x k2 ¢  x ;  . 2 x  2 ;2  2 2  Vậy tổng các nghiệm bằng 0 . Câu 39. (Xuân Trường - Nam Định - 2018) Gọi a là một nghiệm của phương trình 4.22log x 6log x 18.32log x 0 . Khẳng định nào sau đây đúng khi đánh giá về a ? A. . a 10 2 1 log x 2 9 B. acũng là nghiệm của phương trình . 3 4 C. .a2 a 1 2 D. a 102 . Lời giải Điều kiện x 0 . 2log x log x 2log x 3 3 Chia cả hai vế của phương trình cho 3 ta được 4 18 0 . 2 2 log x 3 Đặt t , t 0 . 2 9 t Ta có 4t 2 t 18 0 4 . t 2 L log x 9 3 9 Với t log x 2 x 100 . 4 2 4 Vậy a 100 102 . Câu 40. (THPT Lục Ngạn - 2018) Nghiệm của phương trình 25x 2 3 x 5x 2x 7 0 nằm trong khoảng nào sau đây? A. . 5;10 B. 0;2 . C. . 1;3 D. 0;1 Lời giải Đặt t 5x , t 0 . 2 t 1 L Phương trình trở thành: t 2 3 x t 2x 7 0 . t 2x 7 Trang 40
  41. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Với t 2x 7 ta có : 5x 2x 7 5x 2x 7 0 . Phương trình có một nghiệm x 1 . Với x 1 : 5x 2x 7 5 2 7 5x 2x 7 0 phương trình vô nghiệm. Với x 1 : 5x 2x 7 5 2 7 5x 2x 7 0 phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x 1 0;2 . Câu 41. (THPT Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình 15.2x 1 1 2x 1 2x 1 bằng bao nhiêu? A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. Lời giải Với x 0 thì 15.2x 1 1 2x 1 2x 1 30.2x 1 3.2x 1 . (1) Đặt t 2x 1 thì 1 30t 1 3t 1 30t 1 3t 1 2 9t 2 36t 0 0 t 4 1 2x 4 x 0;1;2 . Câu 42. (Toán Học Tuổi Trẻ Số 6) Cho phương trình 8x 1 8. 0,5 3x 3.2x 3 125 24. 0,5 x . Khi đặt 1 t 2x , phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây? 2x A. .8 t3 3B.t .1C.2 0 8t3 3t 2 t 10 0 8t3 125 0. D. .8t3 t 36 0 Lời giải 3x x 1 1 Ta có 8x 1 8. 0,5 3.2x 3 125 24. 0,5 8.23x 8. 24.2x 24. 125 0 23x 2x 3x 1 x 1 8 2 3x 24 2 x 125 0 . 2 2 1 1 Đặt t 2x t 2 . Khi đó ta có 23x t3 3t 2x 23x Phương trình trở thành 8 t3 3t 24t 125 0 8t3 125 0 . Câu 43. (THPT Bình Giang - Hải Dương - 2018) Gọi S là tập nghiệm của của phương trình: 2 2 2 4x 3x 2 4x 6x 5 42x 3x 7 1. Khi đó S là A. . 1;2 B. . 1;2; C.1 1;2; 1; 5 . D. . Lời giải Nhận xét: 2 2 2 Ta có (x2 3x 2) (x2 +6x 5) 2x2 +3x 7 do đó 42x +3x 7 4x 3x 2.4x +6x 5 Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau: 2 2 2 2 2 2 (4x 3x 2 42x 3x 7 ) (1 4x 6x 5 ) 0 4x 3x 2 (1 4x 6x 5 ) (1 4x 6x 5 ) x2 6x 5 2 x2 6x 5 x2 3x 2 4 1 x 6x 5 0 (1 4 )(4 1) 0 x2 3x 2 2 4 1 x 3x 2 0 Vậy.S 1;2; 1; 5 Dạng 2.3 Phương pháp logarit hóa Trang 41
  42. f x 0 a 1,b 0 Dạng 1: Phương trình: a b f x loga b Dạng 2: Phương trình: f x g x f x f x a b loga a loga b f x g x .loga b f x g x hoặc logb a logb b f x .logb a g x . 2 Câu 44. (THPT Thuận Thành 3 - Bắc Ninh 2019) Số giao điểm của các đồ thị hàm số y 3x 1 và y 5 là A. .0 B. . 3 C. 2 . D. .1 Lời giải Chọn C 2 Số giao điểm của hai đồ thị hàm số y 3x 1 và y 5 bằng số nghiệm của phương trình 2 3x 1 5 x2 1 2 2 +)3 5 x 1 log3 5 x log3 5 1 x log3 5 1 2 +) Vậy số giao điểm của hai đồ thị hàm số y 3x 1 và y 5 bằng 2 2 Câu 45. (Sở GD Nam Định - 2019) Tính tích các nghiệm thực của phương trình 2x 1 32x 3 A. . 3log2 3 B. log2 54 . C. . 1 D. . 1 log2 3 Lời giải Chọn B x2 1 2x 3 PT log2 2 log2 3 2 x 1 2x 3 log2 3 2 x 2x.log2 3 1 3log2 3 0 Do 1. 1 3log2 3 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm thực phân biệt x1, x2 . Theo Vi-ét ta có x1x2 1 3log2 3 log2 2 log2 27 log2 54 . x x2 1 Câu 46. Cho hai số thực a 1, b 1 . Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình a .b 1 . Trong trường 2 x1.x2 hợp biểu thức S 4x1 4x2 đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng? x1 x2 A. .a b B. . a.b 4C. . D.a. b 2 a b . Lời giải Chọn D x x2 1 2 Ta có: a .b 1 x x logb a 1 0 . Nhận thấy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. Theo Vi-et: x1 x2 logb a ; x1.x2 1 . 2 x1.x2 2 4 Khi đó: S 4x1 4x2 loga b . x1 x2 loga b 4 4 2t3 4 Đặt log b t, t 0 ( Vì a 1, b 1 ), S t 2 ; S 2t ; S 0 t 3 2 a t t 2 t 2 Trang 42
  43. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 3 3 Suy ra biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất tại t 2 hay loga b 2 1 a b . Câu 47. (TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn 2x 3y 6 z.Giá trị của biểu thức M xy yz xz là: A. 0. B. 6. C. 3. D. 1. Lời giải Đặt 2x 3y 6 z t với t 0. x 2 t x log2 t y 3 t y log3 t . z z log t 6 t 6 1 1 1 log t.log t Mặt khác: log t 3 2 . 6 log 6 log 3 log 2 1 1 log t log t t t t 3 2 log3 t log2 t M xy yz xz log3 t.log2 t log3 t.log6 t log6 t.log2 t log3 t.log2 t log3 t log2 t .log6 t log3 t.log2 t log3 t.log2 t log3 t log2 t . 0. log3 t log2 t Câu 48. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Gọi x , y các số thực dương thỏa mãn điều kiện x - a + b log x = log y = log (x + y) và = , với a, b là hai số nguyên dương. Tính 9 6 4 y 2 T a2 b2 . A. T = 26. B. T = 29. C. T = 20. D. T = 25. Lời giải Chọn A ïì x = 9t ï Đặt t = log x = log y = log (x + y) , ta có íï y = 6t Þ 9t + 6t = 4t 9 6 4 ï ï t îï x + y = 4 éæ3öt - 1- 5 êç ÷ = (loai) 2t t êç ÷ æ3ö æ3ö è2ø 2 t Û ç ÷ + ç ÷ - 1= 0 Û ê æ3ö - 1+ 5 ç ÷ ç ÷ ê t Þ ç ÷ = . è2ø è2ø êæ3ö - 1+ 5 ç ÷ ç ÷ = è2ø 2 êç ÷ ëêè2ø 2 x æ9öt æ3öt - 1+ 5 Suy ra = ç ÷ = ç ÷ = . y èç6÷ø èç2ø÷ 2 x - a + b - 1+ 5 Mà = = Þ a = 1;b = 5. y 2 2 Vậy T a2 b2 12 52 26. Trang 43
  44. Câu 49. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn b log a = log b = log (4a- 5b)- 1. Đặt T = . Khẳng định nào sau đây đúng? 4 6 9 a 1 2 1 A. .1 T 2 B. . C. . T D. 2 T 0 0 T . 2 3 2 Lời giải Chọn D a 4t t Giả sử: log4 a log6 b log9 4a 5b 1 t b 6 t 1 4a 5b 9 t t 2t t t t t 4 6 2 2 Khi đó 4.4 5.6 9.9 4. 5. 9 4. 5. 9 0 9 9 3 3 t 2 9 3 4 9 t log t 2 t 2 2 3 4 1 VN 3 t 2 b 6 3 4 1 Vậy T 0; . a 4 2 9 2 2 1 Câu 50. (THPT Cao Bá Quát - 2018) Phương trình 3x .4x 1 0 có hai nghiệm x , x . Tính 3x 1 2 T x1.x2 x1 x2 . A. .T log3B.4 . C. T log3 4 T 1. D. .T 1 Lời giải 2 1 Ta có 3x .4x 1 0 3x 3x x 1 .4x 1 1 log 3x x 1 .4x 1 0 log3x x 1 log 4x 1 0 x x 1 log3 x 1 log 4 0 x 1 x log3 log 4 0 x 1 x log3 4 Do đó T x1.x2 x1 x2 log3 4 1 log3 4 1 Dạng 2.4 Phương pháp hàm số, đánh giá Thông thường ta sẽ vận dụng nội dung các định lý (và các kết quả) sau:  Nếu hàm số y f x đơn điệu một chiều trên D thì phương trình f x 0 không quá một nghiệm trênD.  Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm được 1 nghiệm x xo của phương trình, rồi chỉ rõ hàm đơn điệu một chiều trên D (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên D) và kết luận x xlào nghiệm duy nhất. Trang 44
  45. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023  Hàm số f t đơn điệu một chiều trên khoảng a;b và tồn tại u; v a;b thì f u f v u v ".  Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f t . Câu 51. (SGD Nam Định 2019) Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 15x.5x 5x 1 27x 2 3 bằng. A. . 1 B. . 2 C. . 1 D. 0 . Lời giải ChọnD. Ta có 15x.5x 5x 1 27x 23 5x 1 3x 1 27x 23 (1) 1 Dễ thấy x không thỏa mãn phương trình trên nên ta có 3 27x 23 5x 1 3x 1 27x 23 5x 1 . (2) 3x 1 Hàm số y f x 5x 1 5.5x đồng biến trên ¡ . 27x 23 96 Hàm số y g x , có đạo hàm g x 0 , nên nghịch biến trên mỗi 3x 1 3x 1 2 1 1 khoảng ; và ; . 3 3 1 1 Do đó trên mỗi khoảng ; và ; , phương trình (2) có nhiều nhất một nghiệm. 3 3 1 1 Ta thấy x 1 và x 1 là các nghiệm lần lượt thuộc các khoảng ; và ; . 3 3 Do đó (2) và (1) có hai nghiệm x 1 và x 1 . Tổng hai nghiệm này bằng 0 . Câu 52. Cho số thực sao cho phương trình 2x - 2- x = 2cos( x) có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình 2x + 2- x = 4+ 2cos( x) là A. .2 019 B. . 2018 C. . 40D.37 4038 . Lời giải Chọn D x x 2 æ - ö æ xö x - x ç 2 2 ÷ 2 ÷ Ta có: 2 + 2 = 4+ 2cos( x)Û ç2 - 2 ÷ = 2.2cos ç ÷ èç ø÷ èç 2ø÷ x x é - æ xö ê22 - 2 2 = 2cosç . ÷ (1) ê èç 2ø÷ Û ê . ê x x - æ xö ê22 - 2 2 = - 2cosç . ÷ (2) ê ç ÷ ëê è 2ø Ta thấy, nếu phương trình 2x - 2- x = 2cos( x) có 2019 nghiệm thực thì phương trình (1) cũng có 2019 nghiệm thực. Nhận xét: + x0 là nghiệm của phương trình (1) Û - x0 là nghiệm của phương trình (2). + x0 = 0 không là nghiệm của hai phương trình(1),(2) . Trang 45
  46. Do đó, tổng số nghiệm của cả hai phương trình (1),(2) là4038 . Vậy phương trình 2x + 2- x = 4+ 2cos( x) có 4038 nghiệm thực. æ4x2 - 4x + 1ö ç ÷ 2 Câu 53. Biết x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình log7 ç ÷+ 4x + 1= 6x và èç 2x ø÷ 1 x + 2x = a + b với a ,b là hai số nguyên dương. Tính a+ b . 1 2 4( ) A. .a + b = 13B. . C.a + b= 11 a+ b = 16. D. .a+ b = 14 Lời giải Chọn C 1 Điều kiện: x > 0, x ¹ . 2 æ 2 ö ç4x - 4x + 1÷ 2 2 2 Ta có: log7 ç ÷+ 4x + 1= 6x Û log7 (4x - 4x + 1)+ 4x - 4x + 1= log7 (2x)+ 2x . èç 2x ø÷ 1 Xét hàm số f (t)= log t + t có f ¢(t)= + 1> 0 " t > 0 nên là hàm số đồng biến trên 7 t ln 7 (0;+ ¥ ). 3± 5 Do đó ta có 4x2 - 4x + 1= 2x Û 4x2 - 6x + 1= 0 Û x = . 4 Khi đó 3- 5 3+ 5 1 3+ 5 3- 5 1 x + 2x = + 2 = 9+ 5 hoặc x + 2x = + 2 = 9- 5 . 1 2 4 4 4( ) 1 2 4 4 4( ) 3- 5 3+ 5 Vậy x = ; x = . Do đó a = 9;b = 5 và a+ b = 9+ 5= 14 . 1 4 2 4 Câu 54. Phương trình x 2x 1 4 2x 1 x2 có tổng các nghiệm bằng A. 7 B. 3 C. 5 D. 6 Lời giải: ChọnA. x 2x 1 4 2x 1 x2 x.2x 1 4.2x 1 4x x2 0 Ta có 2x 1(x 4) x(x 4) 0 (x 4)(2x 1 x) 0 x 4 x 2 2x ( ) Giải phương trình (*): Xét hàm số f (x) 2x 2x có f '(x) 2x ln 2 2; f ''(x) 2x ln2 2 0 . Suy ra phương trình f '(x) 0 có duy nhất một nghiệm, suy ra phương trình f (x) 0 có nhiều nhất là hai nghiệm. Mà ta thấy f (1) f (2) 0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm x 1; x 2 Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 7. 2 Câu 55. (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Tìm số nghiệm của phương trình x 1 e x 1 log 2 0 . A. 4. B. .3 C. . 2 D. . 0 Lời giải Chọn A Trang 46
  47. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Tập xác định: D ¡ . x t 1 Đặt t x 1 1 . Với t 1 x t 1 . x t 1 Khi đó phương trình trở thành t 2et log 2 0 1 . Số nghiệm của phương trình 1 là số điểm chung của đồ thị hàm số y f t t 2et log 2 và đường thẳng y 0 t 2 t 0 (TM ) Ta có: f t e t 2t f t 0 . t 2 (L) Bảng biến thiên 1 Ta có log 2 0 log 2 , dựa vào bảng biên thiên ta được phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt e t1,t2 thỏa mãn 1 t1 t2 hay phương trình đã cho có 4 nghiệm x phân biệt. x 11 Câu 56. Tính số nghiệm của phương trình cot x 2 trong khoảng ;2019 . 12 A. .2 019 B. 2018 . C. .1 D. 2020 . Lời giải ChọnB. Xét phương trình cot x 2x 1 . Điều kiện: sin x 0 x k , k ¢ . x 11 Xét hàm số f x 2 cot x, x ;2019 \ k  , với k ¢ . 12 x 2 11 f x 2 .ln 2 1 cot x 0 x ;2019 \ k  , với k ¢ . 12 Suy ra hàm số f x liên tục và đồng biến trên mỗi khoảng 11 ; ; ;2 ; ; 2018 ;2019 . 12 11 +) Trên khoảng ; ta có bảng biến thiên 12 Trang 47
  48. 11 11 11 Ta có f 2 12 cot 11,0925 0. Do đó phương trình f x 0 vô nghiệm trên 12 12 11 khoảng ; . 12 +) Trên mỗi khoảng k ; k 1 ,k 1;2; ;2018 ta có bảng biến thiên Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy mỗi khoảng k ; k 1 ,k 1;2; ;2018phương trình f x 0 có đúng 1 nghiệm. Mà có 2018 khoảng nên phương trìnhf x 0 có đúng 2018 nghiệm. Vậy phương trìnhf x 0 có2018 nghiệm. Câu 57. Hỏi phương trình 3.2 x 4.3x 5.4 x 6.5x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ? A. .0 B. 1. C. .3 D. . 2 Lời giải Chọn B x x x x x x x 2 3 4 Ta có : 3.2 4.3 5.4 6.5 3 4 5 6 0 . 5 5 5 x x x 2 3 4 Xét hàm số f x 3 4 5 6 , x ¡ . 5 5 5 x x x 2 2 3 3 4 4 Có f x 3 ln 4 ln 5 ln 0 , x ¡ nên hàm số f x nghịch biến trên 5 5 5 5 5 5 ¡ suy ra phương trình f x 0 có nhiều nhất một nghiệm 1 . 8 22 176 Mặt khác f 1 . f 2 . 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 5 25 125 khoảng 1;2 . 2 . Trang 48
  49. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Từ 1 và 2 suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Câu 58. (SP Đồng Nai - 2019) Phương trình 2019sin x sin x 2 cos2 x có bao nhiêu nghiệm thực trên  5 ;2019 ? A. 2025. B. .2 017 C. . 2022 D. Vô nghiệm. Lời giải Chọn A Xét: 2019sin x sin x 2 cos2 x 2019sin x sin x 1 sin2 x 1 . Đặt: t sin x, t  1;1. Khi đó 1 trở thành 2019t t 1 t 2 2019t t 1 t 2 1 2 . Xét hàm số: 2019t t 1 t 2 ( 1 t 2 ln 2019 1) f t 2019t t 1 t 2 ,t  1;1 f t . 1 t 2 t 1 t 2 0 Cho f t 0 vô nghiệm f t 0,t  1;1. 2 1 t ln 2019 1 0 2 có nghiệm duy nhất t 0 s inx 0 x k , k Z. mà x  5 ;2019  5 k 2019 5 k 2019 k  5;2019. Kết luận: Có 2025 nghiệm thực trên  5 ;2019 . Câu 59. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Số nghiệm của phương trình 3log7 x 4 x là A. 1. B. .0 C. . 2 D. . 3 Lời giải Chọn A Điều kiện của phương trình: x 4 . Với x 0 phương trình đã cho tương đương với phương trình log7 x 4 log3 x. Đặt log7 x 4 log3 x t. t t x 4 7t 3 1 Ta có suy ra 7t 3t 4 7t 3t 4 4 1 0 1 . t x 3 7 7 t t 3 1 Xét hàm số f t 4 1,t ¡ . 7 7 t t 3 3 1 1 Ta có f ' t ln 4 ln 0, t ¡ . 7 7 7 7 Nên f t nghịch biến trên tập ¡ . Mà f 1 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất t 1 x 3 . 1 Câu 60. Cho các số thực x , y với x 0 thỏa mãn ex 3 y exy 1 x y 1 1 e xy 1 3y . Gọi m là ex 3 y giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x 2 y 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? Trang 49
  50. A. .m 2;3 B. . C.m 1; 0 m 0;1 . D. .m 1;2 Lời giải Chọn C 1 Từ giả thiết ex 3y exy 1 x y 1 1 e xy 1 3y ex 3y 1 1 ex 3y x 3y e xy 1 xy 1 (1). ex 3y e xy 1 1 1 Xét hàm số f t = et t với t ¡ ta có f ' t = et 1 0, t ¡ f t là hàm số et et đồng biến trên ¡ . x 1 Phương trình (1) có dạng f x 3y f xy 1 x 3y xy 1 y (x 0) . x 3 2x 2 4 x2 6x 5 Khi đó T x 2y 1 x 1 T ' 1 0,x 0 x 3 x 3 2 x 3 2 2.0 2 1 T 0 1 m . min 0 3 3 Câu 61. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Số nghiệm của phương trình 2 x2 5x 2 x2 8x 3 .83x 5 3x 5 .8x 8x 3 là A. .4 B. 3 . C. .1 D. . 2 Lời giải Đặt u x2 8x 3 , v 3x 5 , phương trình đã cho viết lại là u v u.8v v.8u u 1 8v v 8u 1 * Ta thấy u 0 hoặc v 0 thỏa mãn phương trình * . 1 8v 8u 1 Với u 0 và v 0 ta có * v u Ta thấy: 8u 1 8u 1 Nếu u 0 thì 0 và nếu u 0 thì 0 . Do đó VP 0,u 0 . u u 1 8v 1 8v Nếu v 0 thì 0 và nếu v 0 thì 0 . Do đó VT 0,v 0 . v v Từ đó suy ra vô nghiệm. Như vậy, phương trình đã cho tương đương với x 4 13 u 0 x2 8x 3 0 x 4 13 . v 0 3x 5 0 5 x 3 Vậy, phương trình đã cho có 3 nghiệm. Câu 62. (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Tích tất cả các giá trị của x thỏa mãn phương trình 2 2 2 3x 3 4x 4 3x 4x 7 bằng A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. Lời giải Trang 50
  51. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 2 Phương trình 3x 4x 7 3x 4x 1 3x 4x 7 2.4x 8 1 3x 4x 7 2.4x 8 0 x x 3 4 7 0 2 Xét phương trình 1 : 1 4x 4 x 1 . Xét phương trình 2 : Xét hàm f x 3x 4x 7 trên ¡ . Hàm f x liên tục và f x 3x.ln 3 4x.ln 4 0 x ¡ nên f x là hàm đồng biến trên ¡ Khi đó, 2 f x f 1 x 1 . Vậy tích các nghiệm của phương trình bằng.1 Câu 63. (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Phương trình ex e 2x 1 1 x2 2 2x có1 nghiệm trong khoảng nào? 5 3 3 1 A. 2; . B. ;2 . C. 1; . D. ;1 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 1 ĐK: x 2 ex e 2x 1 1 x2 2 2x 1 2 ex e 2x 1 x 1 2 2x 1 1 2 ex x 1 2 e 2x 1 2x 1 1 * 2 1 Xét hàm số f t et t 1 với t 2 1 f ' t et 2 t 1 0 với mọi t 2 1 Suy ra hàm số đồng biến trên ; . 2 * f x f 2x 1 x 2x 1 x 0 x 0 x 0 2 2 x 1 2 . x 2x 1 x 2x 1 0 x 1 2 x 1 2 DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP CỦA MŨ VÀ LOGARIT x Câu 1. (Tham khảo 2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log3 7 3 2 x bằng A. 2 . B. .1 C. . 7 D. . 3 Lời giải Trang 51
  52. Chọn A x x Điều kiện xác định của phương trình là 7 3 0 3 7 x log3 7 . x x 2 x x 9 log3 7 3 2 x 7 3 3 7 3 x . 3 x Đặt t 3 , với 0 t 7 , suy ra x log3 t . 7 13 7 13 Ta có phương trình t 2 7t 9 0 có hai nghiệm t và t . 1 2 2 2 Vậy có hai nghiệm x1, x2 tương ứng. Ta có x1 x2 log3 t1 log3 t2 log3 t1.t2 Theo định lý Vi-ét ta có t 1.t2 9 , nên x1 x2 log3 9 2 . x 1 x Câu 2. Tích các nghiệm của phương trình log 1 6 36 2 bằng 5 A. 0 . B. .l og 6 5 C. . 5 D. . 1 Lời giải Chọn A x 1 x x 1 x x 1 x Ta có: log 1 6 36 2 2log5 6 36 2 log5 6 36 1 . 5 6x 1 x 0 6x 1 36x 5 62x 6.6x 5 0 . x 6 5 x log6 5 Vậy tích các nghiệm của phương trình bằng: 0.log6 5 0 . x Câu 3. Tổng các nghiệm của phương trình log2 5 – 2 2 x bằng A. .3 B. . 1 C. 2. D. .0 Lời giải ChọnC. Điều kiện: 5 2x 0. x x 2 x x 4 2x x log2 5 2 2 x 5 2 2 5 2 x 2 5.2 4 0. 2 2x 1 x 0 tmdk . x 2 4 x 2 Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là bằng 2 . x x 1 Câu 4. (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Số nghiệm của phương trình log2 (4 4) x log 1 (2 3) 2 A. .3 B. 1. C. .0 D. 2 Lời giải Chọn B 3 Điều kiện: 2x 1 3 0 2x . 2 x x 1 x x x 1 Ta có: log2 (4 4) x log 1 (2 3) log2 (4 4) log2 2 log 1 (2 3) 2 2 x x x 1 log2 (4 4) log2 2 (2 3) Trang 52
  53. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 4x 4 2x (2x 1 3) (2x )2 3.2x 4 0 2x 1(k t/m)) x 2 x . 2 4(t/m) Đối chiếu điều kiện ta thấy x 2 thõa mãn. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm. Câu 5. Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình log 2 102x x . Số tập con của S bằng A. .4 B. . 1 C. 2. D. .0 Lời giải Chọn C Xét phương trình log 2 102x x , điều kiện 2 102x 0 2x log2 x log 2 . 10x 2 Ta có log 2 102x x 2 102x 10x 102x 10x 2 0 x log1 0 . x 10 1 (Vì 10 x 2 0 vô nghiệm) Vậy phương trình có một nghiệm x 0 thỏa mãn điều kiện. loại Số tập con của S là 21 2 . x Câu 6. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log2 6 2 1 x bằng A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 3 . Lời giải Chọn A x x Điều kiện xác định 6 2 0 2 6 x log2 6 Ta có: x x 1 x x 2 2x x log2 6 2 1 x 6 2 2 6 2 x 2 6.2 2 0 2 c Hơn nữa 2x1 x2 2x1.2x2 2 x x 1 a 1 2 Câu 7. (Chuyên Thái Bình - 2018) Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình 2 1 x 2x 1 2x log2 2 5. 2x 1 A. .0 B. . 2 C. . 1 D. . 2 Lời giải Điều kiện: x 0 . 2 2 2x 1 2x 1 2x PT: log2 2 5 1 . 2x 2x2 1 1 1 Đặt t x 2 x. 2 2x 2x 2x Trang 53
  54. t PT trở thành log2 t 2 5 (2) . t Xét hàm f t log2 t 2 t 2 là hàm đồng biến nên: 2 f t f 2 t 2 (t/m). 2x2 1 1 Với t 2 thì 2 2x2 4x 1 0 (t/m). Vậy x x (theo Viet ). 2x 1 2 2 x Câu 8. (Thi thử hội 8 trường chuyên 2019) Phương trình log2 5.2 4 2x có bao nhiêu nghiệm nguyên dương? A. .2 B. . 0 C. . 3 D. 1. Lời giải Chọn D 2x 1 x 0 Phương trình log 5.2x 4 2x 22x 5.2x 4 0 . 2 x 2 4 x 1 Vậy phương trình có một nghiệm nguyên dương. x Câu 9. (SP Đồng Nai - 2019) Phương trình log2 5 2 2 x có hai nghiệm thực x1, x2 . Tính P x1 x2 x1x2 A. 2. B. .9 C. . 3 D. . 11 Lời giải Chọn A x x Điều kiện: 5 2 0 0 2 5 x log2 5 . 2x 1 x 0 (n) Phương trình log 5 2x 2 x 5 2x 22 x 22x 5.2x 4 0 . 2 x 2 4 x 2 (n) Khi đó P x1 x2 x1x2 2 . x Câu 10. Phương trình 2 5 log2 x 3 0 có hai nghiệm x1 , x2 (với x1 < x2 ). Tính giá trị của biểu thức K = x1 + 3x2 . A. .K = 3B.2 +. logC.3 2 K = 18+ log2 5 K = 24+ log2 5. D. .K = 32+ log2 3 Lời giải Chọn C Điều kiện: x 0 . é2x - 5 = 0 2x 5 x log 5 ïì x = log 5 x ê 2 ï 1 2 (2 - 5)(log2 x- 3)= 0 Û Û Û Þ í . ê ï x = 8 ëlog2 x- 3 = 0 log2 x 3 x 8 îï 2 Vậy K = x1 + 3x2 = log2 5+ 3.8 = 24+ log2 5 . x+1 Câu 11. Cho biết phương trình log3 (3 - 1) = 2x + log 1 2 có hai nghiệm x1, x2 . Hãy tính tổng 3 S = 27 x1 + 27 x2 . A. .S = 252 B. . S = C.45 . D. S = 9 S = 180 . Lời giải Chọn D x+1 x+1 x+1 2x Ta có log3 (3 - 1) = 2x + log 1 2 Û log3 2(3 - 1) = 2x Û 2.3 - 2 = 3 3 Û 32 x - 6.3x + 2 = 0 . Trang 54
  55. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Đặt 3x = t, (t > 0) , phương trình trở thành t 2 - 6.t + 2 = 0 . Phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt. x1 x2 Đặt 3 = t1, 3 = t2 , t1 + t2 = 6, t1.t2 = 2 . 3 3 3 Ta có S = (t1 + t2 ) = (t1 + t2 ) - 3t1.t2 (t1 + t2 ) = 216- 3.2.6 = 180 Câu 12. (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang 2019) Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình 2 1 x 2x 1 2x log2 2 5 . 2x 1 A. .2 B. . 0 C. . D. .1 2 Lời giải Chọn C 2x 0 Điều kiện: 2x2 1 x 0 . 0 2x 2 1 1 1 x x x 2x 1 2x 1 2x 1 2x Khi đó, log2 2 5 log2 x 2 5 log2 x 5 2 . 2x 2x 2x 1 1 Đặt t x 2 x. 2 , phương trình trở thành: log t 5 2t , t 2 . 2x 2x 2 1 Xét f t log t , t 2 . Ta có: f t 0 , t 2 nên f t đồng biến trên 2; . 2 t.ln 2 Xét g t 5 2t , t 2 . Ta có: g t 2t.ln 2 0 , t 2 nên g t nghịch biến trên 2; . Từ đó phương trình f t g t có nhiều nhất một nghiệm t 2 . Ta nhận thấy t 2 là nghiệm, và đây là nghiệm duy nhất của phương trình log t 5 2t trên 2; . 2 2 2 x 1 2 2 Suy ra x 2 2x 4x 1 0 . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện 2x 2 2 x 2 x 0, nên đều là nghiệm của phương trình đã cho. 2 2 2 2 1 Tích hai nghiệm là: . . 2 2 2 2x 4 Câu 13. Số nghiệm của phương trình log x 3 2 2x 12 A. .0 B. 1. C. .2 D. . 3 Lời giải Chọn B Trang 55
  56. x x x 2 4 2 4 x 3 x 2 x Phương trình log2 x x 3 x 2 2 4 3 2 12 2 12 2 12 2 x 2 2 4 2x 4. 2 x 32 0 . x 2 8 + Với 2 x 4 x 2 . + Với 2 x 8 phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm. 2 1 x 2x 1 2x Câu 14. Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình log2 2 5 . 2x 1 A. .0 B. . 2 C. . 1 D. . 2 Lời giải Chọn D 2 1 2 x 2x 1 2x 2x 1 log2 2 5. Điều kiện 0 x 0 . 2x 2x 2x2 1 2 2x2.1 Ta có 2 . 2x 2x 1 Xét hàm số f t log t 2t f ' t 2t ln 2 0,t 2 . 2 t ln 2 t Phương trình f t log2 t 2 5 f t f 2 t 2 . 2 1 2 x 2x 1 2x 2x 1 2 Vậy log2 2 5 2 2x 4x 1 0 2x 2x 1 Ta có phương trình 2x 2 4x 1 0 có hai nghiệm dương phân biệt có tích bằng . 2 x Câu 15. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log 10 2019 2019x 4 bằng 2 A. .l og2019 16 B. 2log2019 16. C. .l og201910 D. . 2log2019 10 Lời giải Chọn B x x Ta có log 10 2019 2019x 4 10 2019 2019x 16 (1) 2 x 2 2 t 2 Đặt t 20192 t 0 ta có PT (1) trở thành 10t t 16 t 10t 16 0 t 8 x x Với t 2 ta có 20192 2 log 2 x 2log 2 2 2019 2019 x x Với t 8 ta có 20192 8 log 8 x 2log 8 . Do đó tổng tất cả các nghiệm bằng 2 2019 2019 2log2019 2 2log2019 8 2 log2019 2 log2019 8 2 log2019 2.8 2log2019 16 . Trang 56
  57. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 1 x Câu 16. (THPT Hòa Vang - Đà Nẵng - 2018) Biết rằng 2 x log 14 y 2 y 1 với x 0 . Tính 2 giá trị của biểu thức P x2 y2 xy 1 . A. .3 B. . 1 C. 2. D. .4 Lời giải 1 1 1 x Do x 0 nên x 2 x. 2 2 x 22 4 , dấu bằng xảy ra khi x 1 . x x y 2 Xét hàm f y 4 y 2 y 1, y 1 , ta có f y y 1 2 y 1 2y 2 y 2 0 y 0 . Lập bảng biến thiên, suy ra max f y 16 khi y 0 . 1; 2 y 1  Suy ra log 14 y 2 y 1 log 16 4 . 2 2 1 x x 1 Do đó 2 x log 14 y 2 y 1 . Vậy P x2 y2 xy 1 2 . 2 y 0 log x Câu 17. (Toán Học Tuổi Trẻ - 2018) Phương trình 4x 8 xlog8 4x 4 có tập nghiệm là 1  1 1 1 A. . 2;8 B. . ;8 C. . D. ;  2;  . 2  2 8 8 Lời giải Điều kiện: x 0 . log x 4x 8 xlog8 4x 4 4x log8 x 4x log8 x 4 4x log8 x 2 log8 x log8 4x log8 2 2 1 log8 x log8 x . 3 3 Đặt t log8 x . 1 2 1 2 2 1 t Phương trình trở thành: t t t t 0 3 . 3 3 3 3 t 1 1 1 t log x x 2 (nhận). 3 8 3 1 t 1 log x 1 x (nhận). 8 8 1 Vậy tập nghiệm là 2;  . 8 Câu 18. (THPT Yên Lạc- 2018) Tính tổng S tất cả các nghiệm của phương trình: x x 5 3 x 1 x ln 5 5.3 30x 10 0 . 6x 2 Trang 57
  58. A. S 1. B. .S 2 C. . S 1D. S 3 Lời giải 1 Điều kiện x . 3 Phương trình tương đương ln 5x 3x ln 6x 2 5 5x 3x 5 6x 2 0 ln 5x 3x 5 5x 3x ln 6x 2 5 6x 2 (1). 1 Xét hàm sô f t ln t 5t,t 0 . Có f ' t 5 0 , t 0 nên f t đồng biến. Từ 1 suy t ra f 5x 3x f 6x 2 5x 3x 6x 2 5x 3x 6x 2 0 Xét g x 5x 3x 6x 2 , g ' x 5x ln 5 3x ln 3 6 2 2 1 g '' x 5x ln 5 3x ln 3 0 x . 3 1 Nên g ' x 0 có không quá 1 nghiệm suy ra g x 0 có không quá 2 nghiệm trên ; . 3 Mà g 0 g 1 0 . Vậy phương trình có nghiệm 0,1 . Do đó S 1. 40 CHUYÊN ĐỀ TOÁN – ÔN LUYỆN THPT QG Toàn file Word Tải đầy đủ 40 chuyên đề tại website : Trang 58