Bài ôn tập môn Hình học Lớp 12 - Phần: Khối đa diện

Nội dung text: Bài ôn tập môn Hình học Lớp 12 - Phần: Khối đa diện

1. Thể tích khối đa diện KHỐI ĐA DIỆN Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a, AD a 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và AC . a 3 a 3 a 2 A. . B. .a 3 C. . D. . 4 2 2 Hướng dẫn giải 2 2 D C Ta có: A C A B B C 2a. Kẻ B H  A C . A B .B C a.a 3 a 3 B H . A B B C 2a 2 Vì BB // ACC A nên d BB , AC d BB , ACC A a 3 D' d BB , ACC A B H . C' 2 H a 3 Nên d BB , AC . A' B' 2 Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , tam giác ABC vuông cân tại B , AC 2a và SA a. Gọi M là trung điểm cạnh SB . Tính thể tích khối chóp S.AMC. a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 6 3 9 12 Hướng dẫn giải AC Xét tam giác vuông cân ABC có: AB BC a 2 S 2 1 S AB.BC a2 ABC 2 a 3 M 1 1 2 a VS.ABC SA.SABC .a.a 3 3 3 C Áp dụng định lí Sim-Son ta có: A 2a V SA SM SC 1 SAMC . . VS.ABC SA SB SC 2 1 a3 B V V S.AMC 2 S.ABC 6 · Câu 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB a , AC 2a , AA1 2a 5 và BAC 120. Gọi K , I lần lượt là trung điểm của các cạnh CC ,1 BB .1 Tính khoảng cách từ điểm đếnI mặt phẳng A1BK . a 5 a 5 a 15 A. . B. .a 15 C. . D. . 3 6 3 Hướng dẫn giải A1 C1 2 2 0 Ta có IK B1C1 BC AB AC 2AB.AC.cos120 a 7 Kẻ AH  B1C1 khi đó AH là đường cao của tứ diện A1BIK H B1 a 21 K Vì A H.B C A B .AC .sin1200 A H 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 2 1 3 SVIKB IK.KB a 35 VA .IBK a 15(dvtt) I 2 2 1 6 A C 1 B
2. Mặt khác áp dụng định lý Pitago và công thức Hê-rông ta tính đc S 3a 3 dvdt A1BK 3V A1IBK a 5 Do đó d I, A1BK . S 6 A1BK Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Tam giác SAB vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và SB 4 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh SD . Tính khoảng cách l từ điểm M đến mặt phẳng SBC . 2 A. l 2 B. l 2 2 C. D.l 2 l 2 Hướng dẫn giải S K M N H 4 2 D A B C SAB  ABCD , SAB  ABCD AB Theo giả thiết, ta có SA  ABCD . SA  AB Gọi N, H, K lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB và đoạn SH . BC  SA Ta có BC  SAB BC  AH . BC  AB Mà AH  SB (VABC cân tại A có AH là trung tuyến). Suy ra AH  SBC , do đó KN  SBC (vì KN || AH , đường trung bình). Mặt khác MN || BC MN || SBC . 1 Nên d M , SBC d N, SBC NK AH 2 2 . 2 Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BD. Lấy điểm không đổi P trên cạnh AB (khác A, B ). Thể tích khối chóp PMNC bằng 9 2 8 3 27 2 A. B. C. 3 3 D. 16 3 12 Hướng dẫn giải Do AB P CMN nên d P, CMN d A, CMN d D, CMN A 1 Vậy V V V V PCMN DPMN MCND 4 ABCD (Do diện tích đáy và chiều cao đều bằng một nửa). M P 2 2 3 1 a 3 2 a a 2 27 2 Mặt khác VABCD . a nên 3 4 3 12 12 N B D 1 27 2 9 2 VMCND . 4 12 16 C Câu 6: Cho tứ diện ABCD cóAD 14, BC 6 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD và MN 8 . Gọi là góc giữa hai đường thẳng BC và MN . Tính sin .
3. Thể tích khối đa diện 2 2 3 1 2 A. B. C. D. 3 2 2 4 Hướng dẫn giải A Gọi P là trung điểm của cạnh CD , ta có ·MN, BC ·MN, NP . Trong tam giác MNP , ta có 14 MN 2 PN 2 MP2 1 cos M· NP . Suy ra M· NP 60 . M 2MN.NP 2 3 8 7 Suy ra sin . 2 D Câu 7: Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là đều N 3 P cạnh AB 2a 2 . Biết AC ' 8a và tạo với mặt đáy một B 6 C góc 450 . Thể tích khối đa diện ABCC ' B ' bằng 8a3 3 8a3 6 16a3 3 16a3 6 A. . B. C. . D. . . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu của A lên mp A' B 'C ' B H· C ' A 450 2a 2 A AHC ' vuông cân tại H. AC ' 8a AH 4a 2. C 2 2 8a NX: 2 B' 2 2 2 2a 2 . 3 16a3 6 VA.BCC 'B' VABC.A'B'C ' AH.SABC .4a 2. . A' H 3 3 3 4 3 Chọn D. C' Gọi H là hình chiếu của A lên mp A' B 'C ' H· C ' A 450 AHC ' vuông cân tại H. AC ' 8a AH 4a 2. 2 2 2 2 2 2 2a 2 . 3 16a3 6 NX: V V AH.S .4a 2. . A.BCC 'B' 3 ABC.A'B'C ' 3 ABC 3 4 3 Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC ' và CD ' . a 3 a 2 A. .a 2 B. . C. . 2a D. . 3 3 Hướng dẫn giải 3
4. A' D' O B' C' H A D B C Gọi O A'C ' B ' D ' và từ B ' kẽ B ' H  BO Ta có CD ' //(BA'C ') nên BB '.B 'O a 3 d(BC ';CD ') d(D ';(BA'C ')) d(B ';(BA'C ')) B ' H BO 3 Câu 9: Một hình hộp chữ nhật ABCD.A B C Dcó ba kích thước là 2c , m 3c vàm 6c . mThể tích của khối tứ diện A.CB D bằng A. .8 cm3 B. . 12 cm3 C. . 6 cmD.3 . 4 cm3 Hướng dẫn giải Ta có : A' D' VABCD.A B C D VB.AB C VD.ACD VA .B AD VC.B C D VA.CB D B' VABCD.A B C D 4VB.AB C VA.CB D C' 6 cm VA.CB D VABCD.A B C D 4VB.AB C 1 V V 4. V A.CB D ABCD.A B C D 6 ABCD.A B C D A D 1 1 3 VA.CB D VABCD.A B C D .2.3.6 12cm 3 cm 3 3 B 2 cm C Câu 10: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2cm .Gọi M , N, P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác ABC, ABD, ACD. Tính thể tích V của khối chóp AMNP. 2 2 2 4 2 2 A. .V cB.m3 . C. . V D. . cm3 V cm3 V cm3 162 81 81 144 Hướng dẫn giải A 2 3 Tam giác BCD đều DE 3 DH 3 2 6 AH AD2 DH 2 3 1 1 1 1 3 N S .d .FK . d . BC EFK 2 E,FK 2 2 D,BC 2 4 M P 1 1 2 6 3 2 B K VSKFE AH.S EFK . . . 3 3 3 4 6 D AM AN AP 2 Mà E H AE AK AF 3 F Lại có: C VAMNP AM AN AP 8 8 4 2 . . VAMNP VAEKF . VAEKF AE AK AF 27 27 81
5. Thể tích khối đa diện Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A B C D có B· CD 60, AC a 7, BD a 3, AB AD,đường chéo BD hợp với mặt phẳng ADD A góc 30 . Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A B C D . 39 A. 39a3. B. C.a3 . D. 2 3a3. 3 3a3. 3 Hướng dẫn giải D' C' 30° A' B' x D C O y A B Đặt x CD; y BC x y Áp dụng định lý hàm cos và phân giác trong tam giác BCD 3a2 x2 y2 xy và x2 y2 5a2 x 2a; y a Với x 2y 2a và Cµ 60 BD  AD B·D ';(ADD'A') 30 DD ' 3a 2 SABCD xy.sin 60 a 3 Vậy V hình hộp = a33 3 2 Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích V . Gọi M là trung điểm của cạnh SD . 6 Nếu SB  SD thì khoảng cách từ B đến mặt phẳng MAC bằng: 1 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 4 Hướng dẫn giải S M D A O B C Giả sử hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Khi đó, BD a 2 . BD a 2 Tam giác SBD vuông cân tại S nên SD SB a và SO . 2 2 Suy ra các tam giác SCD, SAD là các tam giác đều cạnh a và SD  MAC tại M . 1 a3 2 Thể tích khối chóp là V .SO.S 3 ABCD 6 a3 2 2 Mà a 1 6 6 5
6. 1 Vì O là trung điểm BD nên d B, MAC d D, MAC DM . 2 Câu 13: Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên bằng bvà tạo với mặt phẳng đáy một góc . Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là 3 3 3 3 A. a2bsin . B. a2bsin . C. a2bcos . D. a2bcos . 12 4 12 4 Hướng dẫn giải A' C' S B' A C H H' B Gọi H là hình chiếu của A trên ABC . Khi đó ·A AH . a2b 3 sin Ta cóA H A A.sin bsin nên thể tích khối lăng trụ là V A H.S . ABC.A B C ABC 4 Lại có chiều cao của chóp theo yêu cầu đề bài chính là chiều cao của lăng trụ và bằng A H 1 a2b 3 sin nên thể tích khối chóp là V V . S.ABC 3 ABC.A B C 12 Câu 14: Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng a, b, .c Thể tích của khối hộp đó là b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 A. V . 8 b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 B. V . 8 C. V abc. D. V a b c. Hướng dẫn giải B C x a A y D b z c B' C' A' D' Giả sử hình hộp chữ nhật có ba kích thước: x, y, z .
7. Thể tích khối đa diện x2 y2 a2 y2 a2 x2 y2 a2 x2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Theo yêu cầu bài toán ta có y z c y z c a x b x c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x z b z b x z b x 2 2 2 2 a b c y 2 2 2 2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 b2 c2 a2 2 a b c x V 2 8 2 2 2 2 b c a z 2 Câu 15: Cho hình lăng trụ ABCA B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai a 3 đường thẳng AA và BC bằng . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCA B C . 4 a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. 24 12 A' a3 3 a3 3 C' V . D. V . 3 6 Hướng dẫn giải H B' M là trung điểm của BC thì BC  AA M . Gọi MH là đường cao của tam giác A AM thì A C MH  A A và HM  BC nên HM là khoảng cách G AA và BC . M Ta có A A.HM A G.AM B a 3 a 3 a2 .A A A A2 4 2 3 a2 4a2 4a2 2a A A2 4 A A2 3A A2 A A2 A A . 3 3 9 3 4a2 3a2 a Đường cao của lăng trụ là A G . 9 9 3 a 3a2 a3 3 Thể tích V . . LT 3 4 12 Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có ·ASB C· SB 600 , ·ASC 900 , SA SB SC a . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng SBC . a 6 2a 6 A. .d 2a 6 B. . dC. . D. . d a 6 d 3 3 Hướng dẫn giải 7
8. S B A H C + Ta có: SAB , SBC là các đều cạnh a nên AB BC a + Ta có: SAC vuông cân tại S nên AC a 2 a2 + Ta có: AC 2 AB2 BC 2 nên ABC vuông tại B có S ABC 2 + Gọi H là trung điểm của AC . Ta có: HA HB HC và SA SB SC nên SH  ABC và AC a 2 SH . 2 2 a 2 a2 . 3V SH.S a 6 + Vậy d A; SBC S.ABC ABC 2 2 2 SSBC SSBC a 3 3 4 Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 2a 3 , góc B· AD bằng 120 0. Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy. Góc gữa mặt phẳng SBC và ABCD bằng 450 . Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng SBC . 2a 2 3a 2 A. h 2a 2. B. h . C. h . D. h a 3. 3 2 Hướng dẫn giải Gọi H là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC. Xét tam giác ABH : S AH sin B AH 2a 3.sin 600 3a. AB BH cosB BH 2a 3.cos600 a 3. AB Xét tam giác SAH vuông tại A : SA I tan SHA SA 3a tan 450 3a. AH D Trong tam giác SAH vuông tại A , kẻ A AI  SH tại I. Ta có AI  SBC nên AI là khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC . B H C Xét tam giác SAH , ta có: 1 1 1 1 1 2 . AI 2 SA2 AH 2 3a 2 3a 2 9a2 3a 2 d A, SBC AI . 2 Câu 18: Khi chiều cao của một hình chóp đều tăng lên n lần nhưng mỗi cạnh đáy giảm đi n lần thì thể tích của nó.
9. Thể tích khối đa diện A. Không thay đổi. B. Tăng lên nlần. C. Tăng lên n 1lần.D. Giảm đi lần.n Hướng dẫn giải 1 Ta có: V .h.S , với h là chiều cao, S là diện tích đáy 3 x2a S với x là độ dài cạnh của đa giác đều, a là số đỉnh của đa giác đều. 1800 4 tan a 2 x a 1 n 1 1 1 Ycbt V1 .nh. . .h.S .V . 3 1800 n 3 n 4 tan a Câu 19: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC. Mặt phẳng BMN chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng: 7 1 7 6 A. . B. . C. . D. . 5 7 3 5 Hướng dẫn giải S N E H D C M O F B A Giả sử các điểm như hình vẽ. E SD  MN E là trọng tâm tam giác SCM , DF // BC F là trung điểm BM . a 6 a 7 Ta có: S·D, ABCD S· DO 60 SO , SF SO2 OF 2 2 2 a 6 1 a2 7 d O, SAD OH h ;SSAD SF.AD 2 7 2 4 V ME MF MD 1 MEFD   VMNBC MN MB MC 6 5 5 1 1 5 1 5a3 6 VBFDCNE VMNBC  d M , SAD  SSBC 4h SSAD 6 6 3 2 18 2 72 1 a3 6 7a3 6 V SO.S V V V  S.ABCD 3 ABCD 6 SABFEN S.ABCD BFDCNE 36 V 7 Suy ra: SABFEN  VBFDCNE 5 9
10. Câu 20: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có tồng diện tích của tất cả các mặt là ,3 độ6 dài đường chéo AC bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu? A. 8 . B. .8 2 C. 1.6 2 D. . 24 3 Hướng dẫn giải Gọi chiều dài 3 cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là: a , b , c 0 Ta có AC 2 a2 b2 c2 36;S 2ab 2bc 2ca 36 (a b c)2 72 a b c 6 2 3 3 a b c a b c 6 2 3 abc abc 16 2 . Vậy V 16 2 Max 3 3 3 Câu 21: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy cạnh bằng a , góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng 60 . Gọi A , B , C tương ứng là các điểm đối xứng của A , B , C qua S . Thể tích của khối bát diện có các mặt ABC, A B C , A BC , B CA , C AB , AB C , BA C , CA B là 2 3a3 3a3 4 3a3 A B. .C 2D3 a3 3 2 3 Cách 1: Ta tính thể tích khối chóp S.ABC : a 3 Gọi H là tâm tam giác ABC đều cạnh a CH . Góc giữa đường thẳng SA và mặt 3 1 1 a2 3 a3 3 phẳng (ABC) bằng 600 S· CH 60o SH a V .S H.S a. . S.ABC 3 ABC 3 4 12 2a3 3 V 2V 2.4V 8V . B.ACA'C ' B.ACS S.ABC 3 a3 3 Cách 2: Ta có thể tích khối chóp S.ABC là:V . S.ABC 12 a2 39 Diện tích tam giác SBC là: S . A' SBC 12 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là: 3a B' C' d A, SBC . 13 Tứ giác BCB 'C ' là hình chữ nhật vì có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. S 2a 3 2a 3 a 39 Có SB BB ' B 'C . 3 3 3 a2 39 Diện tích BCB 'C ' là:S . BCB'C ' 3 C B Thể tích khối 8 mặt cần tìm là: H 1 2a3 3 A V 2. d A, SBC .SBCB'C ' . 3 3 Cách 3 1 Thể tích khối bát diện đã cho là V 2V 2.4V 8V 8. SG.S A'B'C 'BC A'.SBC S.ABC 3 ABC Ta có: ·SA; ABC S· AG 600. Xét SGA vuông tại G : SG tan S· AG SG AG.tan S· AG a. AG 1 1 a2 3 2 3a3 Vậy V 8. SG.S 8. .a. . 3 ABC 3 4 3 Câu 22: Cho khối chóp S.ABC có SA a , SB a 2 , SC a 3 . Thể tích lớn nhất của khối chóp là
11. Thể tích khối đa diện a3 6 a3 6 a3 6 A. .a 3 6 B. . C. . D. . 2 3 6 1 Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC) V AH.S . 3 SBC Ta có AH SA ; dấu “=” xảy ra khi AS  SBC . 1 1 S SB.SC.sin S· BC SB.SC , dấu “=” xảy ra khi SBC 2 2 A SB  SC . 1 1 1 1 Khi đó, V AH.SSBC AS  SB  SC SA SB  SC . 3 3 2 6 a Dấu “=” xảy ra khi SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp là a 3 3 C 1 a 6 S H V SA.SB.SC . 6 6 Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnha , a 2 a 17 SD , hình chiếu vuông góc H của S lên mặt B 2 ABCD là trung điểm của đoạn AB . Tính chiều cao của khối chópH .SBD theoa . 3a a 3 a 21 3a A. . B. . C. . D. . 5 7 5 5 Ta có SHD vuông tại H S 2 2 a 17 a SH SD2 HD2 a2 a 3 . 2 2 1 a 2 Cách 1. Ta có d H, BD d A, BD . 2 4 B C Chiều cao của chóp H .SBD là H SH.d H, BD B C d H, SBD A D 2 2 SH d H, BD a 2 H a 3. 2 a 6.2 2 a 3 I 4 . a2 4.5a 5 3a2 8 A D 1 3 Cách 2. S.ABCD SH.S a3 3 ABCD 3 1 1 1 3 V V V V a3 . H .SBD 2 A.SBD 2 S.ABC 4 S.ABCD 12 a2 a 13 Tam giác SHB vuông tại H SB SH 2 HB2 3a2 . 4 2 a 13 a 17 5a2 Tam giác SBD có SB ; BD a 2;SD S . 2 2 SBD 4 3V a 3 d H, SBD S.HBD . S SBD 5 11
12. Cách 3. Gọi I là trung điểm BD . Chọn hệ trục Oxyz với O  H; Ox  HI; Oy  HB; Oz  HS. a a Ta có ;H ; ; 0;0;0 B 0 ; ;0 S 0;0;a 3 I ;0;0 2 2 z Vì SBD  SBI 2x 2y z 3 SBD : 1 2x 2y z a 0 . S a a a 3 3 3 2.0 2.0 .0 a 3 a 3 Suy ra d H, SBD . y 1 5 4 4 B 3 C I Câu 24: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng a3 . Mặt x bên SAB là tam giác đều cạnh a và đáy ABCD là OH hình bình hành. Tính theo a khoảng cách giữa SA A D và CD . 2a a A. .2 3a B. . a 3 C. . D. . 3 2 Hướng dẫn giải Vì đáy ABCD là hình bình hành S 1 a3 V V V . SABD SBCD 2 S.ABCD 2 Ta có: Vì tam giác SAB đều cạnh a a2 3 S SAB 4 A Vì CD P AB CD P SAB nên D d CD,SA d CD, SAB d D, SAB a a3 B 3V 3. C SABD 2 2 3 a . 2 SSBD a 3 4 Câu 25: Tìm Vmax là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ nhật có đường chéo bằng 3 2cm và diện tích toàn phần bằng 18cm2. 3 3 A. V max 6cm . B. Vmax 5cm . 3 3 C. V max 4cm . D. Vmax 3cm . Hướng dẫn giải a2 b2 c2 18 Đặt a,b,c là kích thước của hình hộp thì ta có hệ . ab bc ac 9 Suy ra a b c 6. Cần tìm GTLN của V abc. Ta có b c 6 a bc 9 a b c 9 a 6 a . 2 2 Do b c 4bc 6 a 4 9 a 6 a 0 a 4. Tương tự 0 b,c 4 . Ta lại có V a 9 a 6 a . Khảo sát hàm số này tìm được GTLN của V là 4. Câu 26: Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . SA SB SC a , Cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là:
13. Thể tích khối đa diện a3 a3 3a3 a3 A. . B. . C. . D. . 8 4 8 2 Hướng dẫn giải Khi SD thay đổi thi AC thay đổi. Đặt AC x . S Gọi O AC  BD . Vì SA SB SC nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . H BO . 2 2 2 2 2 2 x 4a x 4a x Ta có OB a 2 4 2 A B 2 2 2 2 1 1 4a x x 4a x x SABC OB.AC x. O 2 2 2 4 H a a.a.x a2 x a2 HB R . 2 2 2 2 4SABC x 4a x 4a x D C 4. 4 4 2 2 2 2 2 a a 3a x SH SB BH a 2 2 4a x 4a2 x2 1 2 a 3a2 x2 x 4a2 x2 VS.ABCD 2VS.ABC 2. SH.SABC . . 3 3 4a2 x2 4 2 2 2 3 1 2 2 1 x 3a x a a x. 3a x a 3 3 2 2 Câu 27: Cho khối đa diện đều n mặt có thể tích V và diện tích mỗi mặt của nó bằng SKhi. đó, tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì bên trong khối đa diện đó đến các mặt của nó bằng nV V A. . B. . S nS 3V V C. . D. . S 3S Hướng dẫn giải Xét trong trường hợp khối tứ diện đều. S Các trường hợp khác hoàn toàn tương tự. 1 1 1 1 V h .S; V h .S; V h .S; V h .S H .ABC 3 1 H .SBC 3 2 H .SAB 3 3 H .SAC 3 4 3V 3V 3V 3V h 1 ;h 2 ;h 3 ;h 4 1 S 2 S 3 S 4 S A C 3 V1 V2 V3 V4 3V h h h h H 1 2 3 4 S S Câu 28: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a , B một mặt phẳng cắt các cạnh AA , BB , CC , DD lần lượt 1 2 tại M , N , P , Q . Biết AM a , CP a . Thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ là: 3 5 11 a3 2a3 11 A. . a3 B. . C. . D. . a3 30 3 3 15 13
14. HD: Tứ giác MNPQ là hình bình hành có tâm là I B C thuộc đoạn OO’. O AM CP 11 a Ta có: OI a 2 30 2 A D N Gọi O1 là điểm đối xứng O qua I thì : 11 M OO1=2OI=a < a. Vậy O1 nằm trong đoạn OO’. I 15 P Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt các cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ lần lượt tại Q A1, B1,C1, D1. Khi đó I là tâm của hình hộp O B' 1 C' ABCD.A B1C1D1. Vậy V(ABCD. MNPQ)=V( MNPQ.A1 B1C1D1) O' 1 1 11 D' =V (ABCD.A B C D ) a2OO a3 A' 2 1 1 1 1 2 1 30 Câu 29: Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết các cạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính thể tích của khối tám mặt đều đó: a 3 a 3 a 3 a 3 A. B. C. D. 4 6 12 8 C Dựng được hình như hình bên + Thấy được thể tích khối cần tính bằng 2 lần thể tích của hình chóp S.ABCD D + Nhiệm vụ bây giờ đi tìm thể tích của S.ABCD S + ABCD là hình vuông có tâm O đồng thời chính là hình B chiếu của S lên mặt đáy a cạnh SO ; BD cạnh của hình lập phương a . Suy ra các 2 2 của hình vuông ABCD a A 2 1 1 1 2 2 a3 a3 V Sh . . a3 . V 2.V . S.ABCD khối đa diện S.ABCD 3 3 2 2 2 12 6 Câu 30: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BCD . Tính thể tích V của khối chóp A.GBC . A. .V 3 B. . V 4 C. . V D. 6 . V 5 Cách 1: Phân tích: tứ diện ABCD và khối chóp A.GBC có cùng đường cao là khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD . Do G là trọng tâm tam giác BCD nên ta có S BGC S BGD S CGD S BCD 3S BGC (xem phần chứng minh). Áp dụng công thức thể tích hình chóp ta có: A 1  1 V h.S h.S ABCD 3 BCD V BCD S ABCD 3 BCD 3  1 1 VA.GBC S GBC V h.S h.S GBC A.GBC 3 GBC  3 1 1 VA.GBC VABCD .12 4 . B D 3 3 B D Chứng minh: Đặt DN h; BC a . N G Từ hình vẽ có: G E +) C M MF CM 1 1 h F MF // ND MF DN MF . DN CD 2 2 2 C
15. Thể tích khối đa diện GE BG 2 2 2 h h +) GE // MF GE MF . MF BM 3 3 3 2 3 1 1 S DN.BC ha D +) BCD 2 2 3 S 3S S 1 1 h BCD GBC GBC GE.BC a 2 2 3 +) Chứng minh tương tự có S BCD 3S GBD 3S GCD G A C S BGC S BGD S CGD . H Cách 2: H1 I d G; ABC GI 1 1 .  d G; ABC d D; ABC d D; ABC1 DI 3 1 3 B Nên VG.A BC d G; ABC .S ABC .VDABC 4. 3 3 Câu 31: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 , diện tích đáy bằng diện tích của mặt cầu có bán kính bằng 1 . Tính thể tích V khối trụ đó. A. V = 4 . B. V = 6 .C. . D.V = 8 . V = 10 B, D nhìn AC dưới một góc 90° . AD 2 a2 a SD = a 5;KD = = = ; SC = SA2 + AC 2 = a 6 SD a 5 5 1 1 1 2a Ta có: + = Þ AK = (1) S SA2 AD 2 AK 2 5 SC 2 = SD 2 + CD 2 Þ tam giác SCD vuông tại D . Khi đó tam giác KDC vuông tại D . a 6 Þ KC = CD 2 + KD 2 = E 5 K Ta có: AK 2 + KC 2 = AC 2 . Vậy A·KC = 90° . Tương H tự A·HC = 900 Vậy AC chính là đường kính mặt cầu ngoại tiếp A D khối ABCDEHK . a O AC = a 2 Þ OA = . B C 2 4 4 a3 2 V = pOA3 = p = pa3 3 3 2 2 3 Câu 32: Ghép 5 khối lập phương cạnh a để được khối hộp chữ thập như hình vẽ. Tính diện tích toàn phần Stp của khối chữ thập 2 2 2 2 A SB.tp. = 20a C D Stp = 30a Stp = 12a Stp = 22a 15
16. 2 Diện tích mỗi mặt khối lập phương: S1 = a 2 Diện tích toàn phần các khối lập phương: S2 = 6a 2 Diện tích toàn phần khối chữ thập: S = 5S2 - 8S1 = 22a Câu 33: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60° . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng (BMN ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 1 7 1 7 A. . B. . C. . D. . 5 3 7 5 S ïìV = V ï 1 SABIKN V1 Đặt í ® = ? ïV = V V îï 2 NBCDIK 2 1 a 6 2 6 3 * VS.ABCD = . a = a 3 2 6 N * 60° A B 1 1 SO V = .NH.S = . .S K N .BMC 3 DBMC 3 2 DBMC a 1 a 6 1 6 I O = . .a.2a = a3 3 4 2 12 H M * Nhận thấy K là trọng tâm của tam D a C MK 2 giác SMC ® = MN 3 V MD MI MK 1 1 2 1 * M .DIK = . . = . . = VM .CBN MC MB MN 2 2 3 6 5 5 6 5 6 ® V = V - V = V = . a3 = a3 2 M .CBN M .DIK 6 M .CBN 6 12 72 7 6 3 V a 6 3 5 6 3 7 6 3 1 72 7 ® V1 = VS.ABCD - V2 = a - a = a ® = = 6 72 72 V 5 6 5 2 a3 72 Câu 34:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA  ABCD , ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB 2a ,AD 3BC 3a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a , biết khoảng cách từ A đến 3 6 mặt phẳng (SCD) bằng. a 4 A. 6 6a3 . B. 2 6a3 .C. . 2 3a3 D 6 3a3 Hướng dẫn giải
17. Thể tích khối đa diện Dựng AM  CD tại M . S Dựng AH  SM tại H . 3 6 Ta có: AH a . 4 AD BC S .AB 4a2 ABCD 2 K CD AD BC 2 AB2 2a 2 1 S AB.BC a2 D ABC 2 A S S S 3a2 ACD ABCD ABC M 1 2SACD 3 2 SACD AM.CD AM a 2 CD 2 B C 1 1 1 AH.AM 3 6 Ta có: 2 2 2 AS a AH AM AS AM 2 AH 2 2 1 V SA.S 2 6a3 S.ABCD 3 ABCD Câu 35:Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' có BB ' a , góc giữa đường thẳng BB' và ABC bằng 60 , tam giác ABC vuông tại C và góc B· AC 60 . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên ABC trùng với trọng tâm của ABC . Thể tích của khối tứ diện A'.ABC theo a bằng 13a3 7a3 15a3 9a3 A. . B. .C. . D. . 108 106 108 208 Hướng dẫn giải Gọi M , N là trung điểm của AB, AC B' C' và G là trọng tâm của ABC . B 'G  ABC B·B ', ABC B· ' BG 600 . A' 1 1 V .S .B 'G .AC.BC.B 'G A'.ABC 3 ABC 6 Xét B ' BG vuông tại G , có B· ' BG 600 60° B a 3 C B 'G . (nửa tam giác đều) 2 M G N 60° A Đặt AB 2x . Trong ABC vuông tại C có B· AC 600 AB tam giác ABC là nữa tam giác đều AC x, BC x 3 2 3 3a Do G là trọng tâm ABC BN BG . 2 4 Trong BNC vuông tại C : BN 2 NC 2 BC 2 3a AC 2 2 2 9a x 2 2 9a 3a 2 13 3x x x 16 4 52 2 13 3a 3 BC 2 13 17
18. 1 3a 3a 3 a 3 9a3 Vậy, V . . . . A' ABC 6 2 13 2 13 2 208 Câu 36:Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ', biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ a tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng A' BC bằng .Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' . 6 3a3 2 3a3 2 3a3 2 3a3 2 A. . B. .C. .D. . 8 28 4 16 Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm của BC , A' C' ta có A' AM  A' BC theo giao tuyến A'M . Trong A' AM kẻ OH  A'M (H A'M ) . B' OH  A' BC a Suy ra: d O, A' BC OH . 6 2 A a 3 H C S ABC . 4 O M Xét hai tam giác vuông A' AM và OHM có góc M¶ chung nên B chúng đồng dạng. a 1 a 3 . OH OM 1 3 Suy ra: 6 3 2 . A' A A'M A' A 2 2 A' A 2 A' A AM a 3 A' A2 2 a 6 a 6 a2 3 3a3 2 A' A . Thể tích: V S .A' A . . 4 ABC.A'B'C ' ABC 4 4 16 Câu 37:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Biết thể tích khối chóp bằng a3 2 . Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng BC và SA . 6 a 2a a A. . B. a. C. . D. . 6 6 2 Hướng dẫn giải Gọi O là tâm hình vuông S.ABCD , suy ra S SO ^ (ABCD). Đặt SO = x . Ta có 1 1 a3 2 a 2 V = .S .SO = a2.x = Û x = . S.ABCD 3 ABCD 3 6 2 Ta có BC PAD nên BC P(SAD) . Do đó K C D d éBC,SAù= d éBC, SAD ù= d éB, SAD ù= 2d éO, SAD ù ëê ûú ëê ( )ûú ëê ( )ûú ëê ( )ûú . O E Kẻ OK ^ SE . Khi đó B A é ù SO.OE a d êO,(SAD)ú= OK = = . ë û SO2 + OE 2 6
19. Thể tích khối đa diện é ù 2a Vậy d ëêBC,SAûú= 2OK = . 6 Câu 38: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a 2. Tam giác (SAD) cân 4 tại S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng a3. 3 Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD) . 2 4 8 3 A. h = a. B. h = a. C. h = a. D. h = a. 3 3 3 4 Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm AD . S Suy ra SH ^ AD Þ SH ^ (ABCD). Đặt SH = x . 1 2 4 Ta có V = .x. a 2 = a3 Þ x = 2a . 3 ( ) 3 Ta có d éB, SCD ù= d éA, SCD ù A ëê ( )ûú ëê ( )ûú B K 4a = 2d éH,(SCD)ù= 2HK = . Chọn B. H ëê ûú 3 Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình D C vuông tâm O , cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc S·BD = 600 . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO . a 3 a 6 a 2 a 5 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 5 Hướng dẫn giải Ta có DSAB = DSAD c - g - c , suy ra SB = SD . ( ) S Lại có S·BD = 600 , suy ra DSBD đều cạnh SB = SD = BD = a 2 . Trong tam giác vuông SAB , ta có SA = SB 2 - AB 2 = a . Gọi E là trung điểm AD , suy ra K OE PAB và AE ^ OE . E A D Do đó d éAB,SOù= d éAB, SOE ù= d éA, SOE ù. ëê ûú ëê ( )ûú ëê ( )ûú O Kẻ AK ^ SE . B C é ù SA.AE a 5 Khi đó d êA,(SOE )ú= AK = = . ë û SA2 + AE 2 5 Câu 40:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , AA ' = 2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD ' . 2a 5 a 5 A. a 2. B. 2a. C. . D. . 5 5 Hướng dẫn giải Gọi I là điểm đối xứng của A qua D , suy ra BCID là hình bình hành nên BD PCI . Do đó d éBD,CD 'ù= d éBD, CD 'I ù= d éD, CD 'I ù. ëê ûú ëê ( )ûú ëê ( )ûú 19
20. Kẻ DE ^ CI tại E , kẻ DK ^ D 'E . Khi đó d éD, CD 'I ù= DK . ëê ( )ûú A' D' B' C' K A D I E B C Xét tam giác IAC , ta có DE PAC (do cùng vuông góc với CI ) và có D là trung điểm của 1 AI nên suy ra DE là đường trung bình của tam giác. Suy ra DE = AC = a. 2 D 'D.DE 2a 5 Tam giác vuông D 'DE , có DK = = . D 'D 2 + DE 2 5 Câu 41:Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD . Mặt phẳng (a )đi qua A, B và trung điểm M của SC . Tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó là: 1 3 5 3 A. . B. . C D 4 8 8 5 Hướng dẫn giải Kẻ MN PCD (N Î CD) , suy ra hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp. Ta có VS.ABMN = VS.ABM + VS.AMN . S V SM 1 Mà S.ABM = = . VS.ABC SC 2 1 1 Suy ra V = V = V . N S.ABM 2 S.ABC 4 S.ABCD M VS.AMN SM SN 1 1 Và = . = Þ VS.AMN = VS.ABCD . D A VS.ACD SC SD 4 8 1 1 3 Suy ra V = V + V = V . S.ABMN 4 S.ABCD 8 S.ABCD 8 S.ABCD B 5 C Từ đó suy ra V = V nên ABMNDC 8 S.ABCD V 3 S.ABMN = . VABMNDC 5 Câu 42:Cho lăng trụ đứng ABCD.A' B 'C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh bằng 1 , B·AD = 1200 . Góc giữa đường thẳng AC ' và mặt phẳng (ADD ' A') bằng 300 . Tính thể tích khối lăng trụ. A' B' N 6 A. V = 6 . B. V = . C. 6 D' 6 C' V = . D. .V = 3 2 Hướng dẫn giải Hình thoi ABCD có B·AD = 1200 , suy ra A·DC = 600 . Do đó tam giác ABC và ADC là các tam giác đều. A B Vì N là trung điểm A' D ' nên D C
21. Thể tích khối đa diện 3 C ' N ^ A' D ' và C ' N = . 2 Suy ra 300 = A·C ',(ADD ' A')= A·C ', AN = C·' AN . C ' N 3 Tam giác C' AN , có AN = = . tanC·' AN 2 Tam giác AA' N , có AA' = AN 2 - A' N 2 = 2 . 3 Diện tích hình thoi S = AB 2 .sin B·AD = . ABCD 2 6 Vậy V = S .AA' = (đvtt). ABCD.A' B 'C ' D ' ABCD 2 Câu 43:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD . a 21 a 2 a 21 A. . B. . C. . D. a. 14 2 7 Hướng dẫn giải Gọi I là trung điểm của AD nên suy ra SI ^ AD Þ SI ^ (ABCD). S Kẻ Ax PBD . Do đó é ù é ù é ù d [BD,SA]= d ëBD,(SAx)û= d ëD,(SAx)û= 2d ëI,(SAx)û. é ù Kẻ IE ^ Ax , kẻ IK ^ SE . Khi đó d ëI,(SAx)û= IK . Gọi F là hình chiếu của I trên BD , ta có D AO a 2 C IE = IF = = . K F 2 4 x O SI.IE a 21 I Tam giác vuông SIE , có IK = = . SI 2 + IE 2 14 E A B a 21 Vậy d [BD,SA]= 2IK = . 7 Câu 44:Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là60 . Tính thể tích khối lăng trụ 27 3 3 9 A. .V a3 B. . C.V . a3 D. . V a3 a3 8 4 2 4 Hướng dẫn giải Ta có ABCDEF là lục giác đều nên góc ở đỉnh bằng 120 . ABC là tam giác cân tại B , DEF là tam giác cân tại E . 1 a2 3 A' F' SABC SDEF a.a.sin120 2 4 B' E' 2 2 AC AB BC 2.AB.BC.cos B 2 2 1 C' D' a a 2.a.a. a 3 2 S AC.AF a 3.a a2 3 ACDF A F a2 3 a2 3 3a2 3 60° S S S S a2 3 ABCDEF ABC ACDF DEF 4 4 2 B H E a 3 B· ' BH 60 B ' H BB '.sin 60 2 C D 2 3a 3 9 3 V BH '.SABCDEF a 3. a Suy ra 4 4 21
22. Câu 45:Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao 12cm , đường kính đáy 4c ,m lượng nước trong cốc cao 8cm . Thả vào cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính2cm . Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? (làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân, bỏ qua độ dày của cốc) A. .2 ,67cm B. . 2,75C.cm . D. . 2,25cm 2,33cm Hướng dẫn giải Lượng nước dâng lên chính là tổng thể tích của 4 viên bi thả vào bằng 4 16 V 4. r 3 cm3 . b 3 b 3 Dễ thấy phần nước dâng lên là hình trụ có đáy bằng với đáy cốc nước và thể tích là 16 cm3 . 3 16 4 Chiều cao của phần nước dâng lên là h thỏa mãn: r 2h nên h cm . d 3 d d 3 4 8 Vậy nước dâng cao cách mép cốc là 12 8 2,67 cm. 3 3 Câu 46: Cho tứ diện đều cạnh a và điểm I nằm trong tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ Iđến các mặt của tứ diện. a a 6 a 3 a 34 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 2 Hướng dẫn giải 2 2 a 3 a 3 AH AM . . 3 3 2 3 S a2 a 6 SH SA2 AH 2 a2 . 3 3 1 1 a2 3 a 6 a3 2 Ta có V S .SH . . . SABC 3 ABC 3 4 3 12 Mặt khác, VSABC VISAB VIABC VISAC VISBC 1 A C S . d I; SAB d I; ABC d I; SAC d I; SBC ABC I 3 H M 3V d I; SAB d I; ABC d I; SAC d I; SBC SABC SABC B a3 2 3. a 6 12 . a2 3 3 4 Câu 47: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB AC a , SC  ABC và SC a . Mặt phẳng qua C , vuông góc với SB cắt SA, SB lần lượt tại E và F . Tính thể tích khối chóp S.CEF . 2a3 a3 a3 2a3 A. .V B. . C. .V D. . V V SCEF 36 SCEF 18 SCEF 36 SCEF 12 Hướng dẫn giải Từ C hạ CF  SB, F SB , CE  SA, E SA AB  AC Ta có AB  SAC AB  CE CE  SAB CE  SB AB  SC
23. Thể tích khối đa diện Vậy mặt phẳng qua C và vuông góc SB là mặt CEF . S V SE SF Ta có SCEF . VSCAB SA SB Tam giác vuông SAC vuông tại C ta có: F SA SC 2 AC 2 a 2 a SE SC 2 a2 SE 1 và 2 2 SA SA 2a SA 2 E B Tam giác vuông SBC vuông tại C ta có: C SB SC2 BC2 a 3 a a SF SC 2 a2 SF 1 và SB SB2 3a2 SC 3 A VSCEF 1 1 1 1 1 1 1 3 Do đó . VSCEF VSABC . SA.SABC a . VSCAB 2 3 6 6 6 3 36 Câu 48: Cho hình lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng V . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các AM 1 BN CP 2 cạnh AA , BB , CC sao cho , . Thể tích khối đa diện ABC.MNP bằng AA 2 BB CC 3 2 9 20 11 A. V B. V C. V D. V 3 16 27 18 Hướng dẫn giải Đặt A' B' 1 V1 VM .NPCB d M , CC B B .SNPCB 3 C' 1 2 2 d M , CC B B . SCC B B V 3 3 9 N 1 M V2 VM .ABC d M , ABC .SABC 3 1 1 1 P . d A , ABC .SABC V 3 2 6 2 1 11 Vậy V V V V V V ABC.MNP 1 2 9 6 8 A B C 23