Bài tập môn Hình học Lớp 12 - Bài 1: Mặt nón. Hình nón. Khối nón

Nội dung text: Bài tập môn Hình học Lớp 12 - Bài 1: Mặt nón. Hình nón. Khối nón

1. §1. MẶT NÓN. HÌNH NÓN. KHỐI NÓN. Phần lý thuyết. I. Phần tự luận. Bài 1. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối nón có đường kính đáy bằng 2 và đường sinh bằng 3. Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có = , =∝ . Tính diện tích toàn phần của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ∆ quanh AB. Bài 3. Cắt hình nón đỉnh S bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2 . Tính thể tích của khối nón đó. Bài 4. Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy = 25, chiều cao ℎ = 20. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12. Tính diện tích thiết diện đó. Bài 5. Tính thể tích của khối nón ngoại tiếp khối tứ diện đều ABCD với A là đỉnh nón, đường tròn ngoại tiếp ∆ là đường tròn đáy của khối nón. Bài 6. Cho hình nón ( ) có bán kính đáy bằng R, đường cao SO. Một mặt phẳng (P) cố định vuông góc với SO tại ’ cắt hình nón ( ) theo một đường tròn có bán kính 푅’. Một mặt phẳng (푄) thay đổi, vuông góc với 푆 tại 1 ( 1 nằm giữa O và ’) cắt hình nón theo thiết diện là hình tròn bán kính . Tìm theo 푅 và 푅’ để (푄) chia phần hình nón nằm giữa (푃) và đáy hình nón thành hai phần có thể tích bằng nhau. II. Phần trắc nghiệm. Câu 1. Cho r, l, h lần lượt là độ dài bán kính đường tròn đáy, đường sinh và chiều cao của một hình nón. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 1 A. 2 B. . C. 2 2 2. D. 2 = ℎ푙. 푙2 = ℎ2 + 2 푙 = ℎ + ℎ = 푙 . Câu 2. Trong không gian, cho ∆ vuông tại A có = , = 30°. Khi ∆ quay xung quanh trục AB ta được một hình nón có bán kính của mặt đáy bằng : A. . B. 3 C. D. 3. 2 3 3
2. Câu 3. (Trích đề minh họa năm 2017) Trong không gian, cho ∆ vuông tại A có = , = 3. Tính độ dài đường sinh 푙 của hình nón nhận được khi quay ∆ quanh trục . A. 푙 = . B. 푙 = 2 . C. 푙 = 3 . D. 푙 = 2 . Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3. Diện tích 2 xung quanh của hình nón đỉnh S và có đáy là hình tròn nội tiếp tứ giác ABCD là. 2 2 2 A. 2. B. 2 C. 2 2 D. 2. 2 4 8 Câu 5. Một hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O, gọi M là điểm nằm trên SO sao cho 푆 = 2. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với SO cắt mặt nón theo một đường tròn có chu vi bằng . Góc ở đỉnh của hình nón bằng. A. 45°. B. 90°. C. 60°. D. 30°. Câu 6. Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy là a, chiều cao là 2. Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có diện tích S. Giá trị lớn nhất của S bằng : 2 2 A. 2. B. 2. C. 2 . D. 3 . 3 3 2 Câu 7. Cho hình lập phương ′ ′ ′ ′. Gọi 1 là thể tích khối trụ nội tiếp khối lập phương , 2 là thể tích khối nón có đáy nội tiếp hình vuông ABCD và đỉnh trùng với tâm của hình vuông ′ 1 ′ ′ ′. Tính tỉ số . 2 3 A. 3. B. 2. C. . D. 1. 2 Câu 8. Cho mặt cầu (S) bán kính R. Khối nón nội tiếp mặt cầu (S) với đáy là đường tròn lớn của mặt cầu có diện tích xung quanh bằng. 2 2 A. 푅 2. B. 2 2. C. 2 2. D. 푅 3. 2 푅 2 푅 2 Câu 9. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 16 5 , chiều cao gấp đối bán kính. Độ dài đường sinh của hình nón bằng : A. 2 5. B. 4 5. C. 5. D. 3 5. Câu 10. Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R và một điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đặt = 훼, 0 <∝< 90°, quay tam giác ACH quanh trục AB ta được một khối tròn xoay có thể tích V. Giá trị của tan ∝ bằng bao nhiêu để V đạt giá trị lớn nhất ? A. 3. B. 3 C. 2. D. 1. 3 . 2 Câu 11. Thiết diện qua trục của hình trụ tròn xoay là hình vuông cạnh bằng 2a, khối nón tròn xoay có đường tròn đáy là đáy của hình trụ và đỉnh là tâm của đường tròn đáy còn lại của hình trụ có thể tích bằng :
3. 2 1 4 A. 3. B. 3. C. 3. D. 3. 3 3 3 Câu 12. Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Xét mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón, bán kính của mặt cầu là. A. 3. B. 3. C. 2. D. 2. 4 2 4 2 Câu 13. Cho hình nón đỉnh S, có đáy là đường tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh 푅2 푆 , 푆 sao cho ∆푆 vuông và có diện tích bằng 2 . Góc giữa trục SO và (SAB) bằng 60°. Thể tích của khối nón bằng : 3 3 3 3 A. 푅 . B. 푅 . C. 2 푅 D. 푅 . 2 3 3 6 Câu 14. Trong không gian cho ∆ vuông cân tại I, cạnh = . Khi quay ∆ quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc tạo thành một hình nón tròn xoay. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó là : 2 2 A. . B. 2. C. 2 2. D. 2. 2 2 Câu 15. (trích đề thi THPT QG năm 2017) Cho hình nón đỉnh S có chiều cao ℎ = và bán kính đáy = 2 . Mặt phẳng (P) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho = 2 3 . Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến (P). A. 3 . B. . C. 5 . D. 2 . = 2 = = 5 = 2 Câu 16. Khi cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a quay quanh cạnh AB, đường gấp khúc ACB tạo nên một hình tròn xoay có thể tích bằng: 3 3 3 3 A. . B. . C 3. D. 3 4 2 . 12 6 . Câu 17. (Trích đề tham khảo năm 2017) Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón (N) có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao là h (h>R). Tính h để thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) đạt giá trị lớn nhất. 4푅 3푅 A. 3 . B. 2 . C. . D. . ℎ = 푅 ℎ = 푅 ℎ = 3 ℎ = 2 Câu 18. Một hình nón có bán kính đáy là R và chiều cao h (ℎ ≤ 푅). Diện tích lớn nhất của thiết diện cắt bởi mặt phẳng bất kì đi qua đỉnh hình nón bằng: 2 1 3 A. ℎ2 + 푅2. B.5 (ℎ + 푅2). C. (ℎ2 + 푅2) D. (ℎ2 + 푅2). 2 2 2 Câu 19. Trong tất cả hình nón có cùng diện tích toàn phần 2 2, hình nón có thể tích lớn nhất là : 3 3 3 3 A. 2. B. 2 . C. 2. D. . 12 3 6 3 Câu 20. Cho hình chữ nhật ABCD có = 2 , = . Các điểm , lần lượt di động trên các tia , sao cho , , thẳng hàng. Khi quay ∆ quanh trục BC ta được một vật thể tròn xoay có thể tích nhỏ nhất bằng
4. 3 3 A. 3. B. 9 . C. 27 . D. 3. 9 2 4 6