Bộ 10 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán học Lớp 12 - Năm học 2010-2011

Nội dung text: Bộ 10 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán học Lớp 12 - Năm học 2010-2011

1. ĐỀ SỐ 1 SỞ GD VÀ ĐT TỈNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN 12 Câu 1. a) Giải phương trình: 2 x 6 3 x 5 x 3 b) Các số a,b,c thỏa mãn điều kiện a 2b 5c 0 . Chứng minh rằng phương trình ax2 bx c 0 có nghiệm. x2 4xy x 2y 0 Câu 2. Giải hệ phương trình: 4 2 2 2 x 8x y 3x 4y 0 Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho các điểm A 1;3 , B 5; 3 . Xác định tọa độ điểm M trên   đường thẳng d : x 2y 1 0 sao cho 2MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4. Tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức: cot A cot C cot B . 1 a) Xác định góc giữa hai đường trung tuyến AA &CC của tam giác ABC khi . 1 1 2 b) Tìm giá trị lớn nhất của góc B khi 2 . 1 1 1 Câu 5. Ba số dương a,b,c thỏa mãn 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a2 b2 c2 1 1 1 P . 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 HẾT
2. ĐỀ SỐ 2 SỞ GD VÀ ĐT TỈNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN 12 Câu 1. (4,0 điểm) 3 2 2 Cho hàm số y x m 1 x 4 m x 1 2m Cm a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m 1 . b) Tìm các giá trị của m để Cm có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Câu 2. (6,0 điểm) a) Giải phương trình cos2x+cos3x-sinx cos4x=sin6x . b) Giải bất phương trình: 6 x2 3x 1 x4 x2 1 0 . c) Tìm số thực a để phương trình 9x 9 a3x cos x có nghiệm thực duy nhất. 2 sinx Câu 3. (2,0 điểm)Tính tích phân: dx . 3 0 sinx 3cosx Câu 4. (6,0 điểm) a) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 . Gọi M , N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng DMN vuông góc với mặt phẳng ABC . Đặt AM x, AN y . Tìm x, y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : x y 5 0 và hai elip x2 y2 x2 y2 E : 1, E : 1 a b 0 có cùng tiêu điểm. Biết E đi qua M . 1 25 16 2 a2 b2 2 Tìm M sao cho E2 có độ dài trục lớn nhỏ nhất. c) Trong không gian Oxyz cho điểm M 0;2;0 và hai đường thẳng x 1 2t x 3 2s 1 : y 2 2t ; 2 : y 1 2s t, s ¡ . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua M z 1 t z s song song với trục Ox , sao cho P cắt 1; 2 lần lượt tại A, B : AB 1 . Câu 5. (2,0 điểm) a2 b2 c2 6 Cho các số thực a,b,c thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của P a6 b6 c6 . ab bc ca 3
3. ĐỀ SỐ 3 SỞ GD VÀ ĐT TỈNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN 12 Câu 1. (3,0 điểm)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y sin4 x cos4 x cos3 x sin3 x . Câu 2. (4,0 điểm)Cho lục giác ABCDEF nội tiếp trong đường tròn O; R sao cho AB CD EF R . Gọi I, J, K theo thứ tự là trung điểm của BC, DE, FA; P,Q lần lượt là trung điểm của DC, AD .     a) Xác định phép biến hình biến AC thành BD và tính góc giữa AC & BD . Chứng minh rằng tam giác IPQ đều. b) Chứng minh rằng tam giác IJK đều. Câu 3. (4,0 điểm) a) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình cos 2x 3 2m cosx m 0 . 1 1 sin2 x cos2 x 2 2 b) Giải phương trình: 8 2 2 2 2 32 49 56 x 16x . Câu 4. (4,0 điểm) a) Biển số xe là dãy kí tự gồm hai chữ cái đứng trước và bốn chữ số dứng sau. Các chữ cái lấy từ 26 chữ cái A,B,C, Z; các chữ số được chọn từ 10 chữ số 0,1,2, ,9 . Hỏi có bao nhiêu biến số xe có hai chữ số đầu (sau hai chữ cái) khác nhau, đồng thời có đúng hai chữ số chẵn và hai chữ số chẵn đó giống nhau? 15 b) Cho biểu thức f (x) 1 x x2 . Khai triển f (x) thành đa thức 2 29 30 f (x) a0 a1x a2 x  a29 x a30 x . Tính A a0 a1 a2 a3  a29 a30 và a10 . Câu 5. (4,0 điểm)Cho tứ diện SABC có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Cho BC a,CA b, AB c . a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC theo a,b,c . b) Tính thể tích tứ diện SABC theo a,b,c . Câu 6. (1,0 điểm)An, Bình và Tâm mỗi người có hai nghề nghiệp khác nhau và khác với hai người còn lại. Các nghề của họ là nhà văn, kiến trúc sư, giáo viên, bác sĩ, luật sư và họa sĩ . Mỗi nhân vật trong các câu dưới đây là một người riêng biệt: 1. Người giáo viên và nhà văn đi chơi tennis với An. 2. Người bác sĩ đặt họa sĩ vẽ một bức họa. 3. Người bác sĩ có cuộc hẹn với người giáo viên. 4. Người họa sĩ có họ với người kiến trúc sư. 5. Tâm thắng bình và người họa sĩ khi chơi cờ. 6. Bình sống ở bên cạnh nhà của nhà văn. Hãy tìm nghề nghiệp của mỗi người?
4. ĐỀ SỐ 4 SỞ GD VÀ ĐT TỈNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN 12 Câu 1. a) Giải phương trình x 1 x 1 2 x x2 2 . b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m 2 x m x 1 có nghiệm thuộc đoạn  2;2 . 3 3 2 y y x 3x 4x 2 Câu 2. Giải hệ phương trình: 2 1 x y 2 y 1 Câu 3. a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn log4 x 2y log4 x 2y 1 . Chứng minh rằng: 2x y 15 . 2 b) Cho a,b,c là ba số thực không đồng thời bằng 0 , thỏa mãn a b c 2 a2 b2 c2 . Tìm a3 b3 c3 GTLN, GTNN của biểu thức P . a b c ab bc ca Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G 1;2 . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình x2 y2 2x 4y 4 0 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Câu 5. a) Cho tứ diện ABCD , gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC & ABD . Gọi SC , SD theo thứ tự 2S S sin là diện tích của tam giác ABC, ABD . Chứng minh: V C D V V . 3AB ABCD b) Cho tứ diện SABC có SA SB SC a . Mặt phẳng P thay đổi đi qua trọng tâm của tứ diện, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A , B ,C S . Tìm GTLN của: 1 1 1 P SA .SB SB .SC SC .SA HẾT
5. ĐỀ SỐ 5 SỞ GD VÀ ĐT TỈNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN 12 (Ngày thứ nhất) Câu 1. (4,0 điểm) 1 x2 y2 5 Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: 57 4x2 3x y 3x 1 25 Câu 2. (4,0 điểm) * Cho dãy số xn với x1 a, xn 1 xn xn 1 , n ¥ . Tìm điều kiện cần và đủ của a để dãy trên có giới hạn hữu hạn. Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn có phân giác trong AD D BC . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC . Gọi H là giao điểm của BF &CE . Chứng minh rằng AH vuông góc với BC . Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S , BC a,CA b,AB c . Chứng minh rằng: b c a a2 c a b b2 a b c c2 2 3S . b c c a a b Câu 5. (4,0 điểm) Câu 6. Cho số nguyên dương n 2 và tập M 1;2;3;;n . Với mỗi tập con A khác rỗng của M , ta kí hiệu A là số phần tử của tập A , min A và max A tương ứng là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của tập A . Tính  min A maxA A theo n . AM ,A  HẾT
6. ĐỀ SỐ 6 SỞ GD VÀ ĐT TỈNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN 12 (Ngày thứ hai) Câu 1. (4,0 điểm) Cho P,Q là các số nguyên dương thỏa mãn P,Q và P.Q đều không là số chính phương. Chứng minh rằng nếu a;b là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình x2 PQy2 1 và c,d là c2 PQd 2 a nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình x2 PQy2 1 thì ta có: 2cd b (Lưu ý: Nghiệm nguyên dương ; được gọi là lớn hơn ngiệm nguyên dương ; nếu 0,   0 ) Câu 2. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: i). f x2 y2 2 f xy f 2 x y ,x, y ¡ ii)x, y 2010; : x y thì.f (x) f (y) Câu 3. (4,0 điểm)   Cho tam giác ABC và M , N là hai điểm di động trên đường thẳng BC sao cho MN BC . Đường thẳng d1 đi qua M và vuông góc với AC , đường thẳng d2 đi qua N và vuông góc với AB . Gọi K là giao điểm của d1 & d2 . Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn AK luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Câu 4. (4,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: 9 a4 b4 c4 25 a2 b2 c2 48 0 . Tính giá trị nhỏ a2 b2 c2 nhất của biểu thức: F . b 2c c 2a a 2b Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Ta chia tam giácABC thành n tam giác nhọn. Hỏi giá trị nhỏ nhất của n là bao nhiêu? HẾT
7. ĐỀ SỐ 7 SỞ GD VÀ ĐT TỈNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN 12 Câu 1. (3,0 điểm) 3 Giải phương trình: 6sin x 2 sin 3x 1 162sin x 27 . Câu 2. (3,0 điểm) x2 x 2 3 y2 x 3 2 2 Giải hệ phương trình y y 2 3 z y 3 . 2 2 z z 2 3 x z 3 Câu 3. (4,0 điểm) u 3 1 Cho dãy số xác định bởi un 1 2 un 1 un un 4 , n 1,2 5 a) Chứng minh rằng dãy un tăng nhưng không bị chặn trên. n 1 b) Đặt vn  ,n 1,2 , tính limvn . k 1 uk 3 Câu 4. (5,0 điểm) Hình chóp n giác đều có góc tạo bởi giữa mặt bên và mặt đáy bằng , góc tạo bởi giữa cạnh bên và mặt đáy là  . Chứng minh rằng sin2 sin2  tan2 . 2n Câu 5. (3,0 điểm) Xét x, y ¡ thỏa mãn điều kiện: 3x 6 2x 4 4 3y 18 y . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x y nhất của biểu thức: P 1 . 2 3 Câu 6. (2,0 điểm) 1 Cho đa thức f (x) có bậc là 2010 thỏa mãn f (n) , n 1,2 2011 . Tính f (2012) . n HẾT
8. ĐỀ SỐ 8 SỞ GD VÀ ĐT THÀNH PHỐ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN 12 Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình: 2sin 2x cos2x 7sinx 2cosx 4 . Câu 2. (6,0 điểm) a) Chứng minh ad bc a2 b2 c2 d 2 với a,b,c,d là các số thực. 1 1 1 b) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: a b c . Chứng minh rằng: a b c 3 2 a b c a b c abc c) Cho x, y, z ¡ thỏa x2 y2 z2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của A x y z xyz . Câu 3. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n4 n3 1 là số chính phương. Câu 4. (2,0 điểm) x3 3xy2 49 Giải hệ phương trình: 2 3 x 8xy y 8y 17x Câu 5. (2,0 điểm) Định m để phương trình sau có nghiệm: 1 x x m x x2 2 Câu 6. (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . SA vuông góc với ABCD , SA a . Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AC & SD. Câu 7. (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A 2x2 xy 2y với2 x, ylà các số thực thỏa mãn x2 xy y2 3 . HẾT
9. ĐỀ SỐ 9 SỞ GD VÀ ĐT TỈNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN 12 Câu 1. (5,0 điểm) a) Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị là T . Gải sử A, B,C là ba điểm thẳng hàng trên T , tiếp tuyến của T tại các điểm A, B,C lần lượt cắt T tại các điểm A , B ,C (tương ứng khác A, B,C ). Chứng minh rằng A , B ,C thẳng hàng. b) Cho hàm số y x2n 1 2011x 2012 1 , chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì đồ thị hàm số 1 luôn cắt trục hoành tại đúng một điểm. Câu 2. (5,0 điểm) a) Giải phương trình: log2 x log4 x log6 x log3 x log5 x log7 x x ¡ . 2 1 1 b) Giải phương trình: 5x 6 x2 x ¡ . 5x 7 x 1 Câu 3. (3,0 điểm) k Kí hiệu Cn là tổ hợp chập k của n phần tử 0 k n;k,n ¢ , tính tổng sau: 0 1 2 2009 2010 S C2010 2C2010 3C2010  2010C2010 2011C2010 . Câu 4. (5,0 điểm) a) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành, AD 4a a 0 , các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất. b) Cho tứ diện ABCD có BAˆC 600 ,CAˆD 1200 . Gọi E là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABD . Chứng minh rằng tam giác ACE vuông. Câu 5. (2,0 điểm) Cho hai số thực x, y : x2 y2 . Chứng minh rằng cos x cosy 1 cos xy . HẾT
10. ĐỀ SỐ 10 (Đề HSG lớp 12, Lâm Đồng) Câu 1. (3.0 điểm) Cho hàm số y x3 3x2 mx (1) . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d :x 2y 9 0 . Câu 2. (3.0 điểm) 2 (x cosx) Tính tích phân I dx . 2 2 4cos x 3sin x 2 Câu 3. (2.0 điểm) 10 Cho biểu thức P(x) 1 4x 3x2 . Xác định hệ số của x3 trong khai triển P(x) thành lũy thừa của x. Câu 4. (3.0 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC biết tâm đường tròn ngoại tiếp là I(4;0) ; phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất phát đỉnh A của ABC là d1 : x y 2 0 và d2 : x 2y 3 0 . Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ABC . b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC có AB c; BC a;CA b . Chứng minh rằng: IA2 IB2 IC 2 1 . bc ca ab Câu 5. (3.0 điểm) a) Giải phương trình 2sin 2x cos2x 2 2. sin 2x.cos x sinx 2cos x . 81 b) Cho x, y, z 0;1 . Chứng mình rằng 2x 2y 2z 2 x 2 y 2 z . 8 Câu 6. (3.0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết khoảng cách từ A đến (SBC) bằng b; góc giữa mặt bên và mặt đáy hình chóp bằng . Tìm để thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 7. (3.0 điểm) x y 2 2 y x Giải hệ phương trình . 2 2 x 3y 2y 3x 2 0 Hết