Chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán - Nguyễn Minh Tiến

37 trang thungat 1900

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán - Nguyễn Minh Tiến", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_luyen_thi_dai_hoc_mon_toan_nguyen_minh_tien.pdf

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán - Nguyễn Minh Tiến

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG HAY VÀ ĐẶC SẮC TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MAS 137 - Lê Thánh Tông - Hạ Long - Quảng Ninh Giáo viên : Nguyễn Minh Tiến Thành phố Hạ Long tháng 7 năm 2015
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Chuyên Vinh lần 1 - 2015 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có ACD[ = α 1 −−→ −−→ với cos α = √ . Điểm H thỏa mãn điều kiện HB = −2HC và K là giao điểm của hai đường 5 1 4 thẳng AH và BD cho biết điểm H ; − và K (0; 1). Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ 3 3 nhật ABCD biết điểm B có hoành độ dương. Lời giải tham khảo CD 1 √ Tam giác ACD vuông tại D có cos ACD[ = = √ → AC = 5CD → AD = 2CD AC 5 Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với AH, đường thẳng này cắt BC tại điểm I → tứ giác BIKA nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180o) → [IBK = [IAK CD 1 IK 1 1 Ta có tan [IBK = tan CBD[ = = → tan [IAK = = → IK = AK BC 2 AK 2 2 2 4 Ta có BH = BC = AB, ta có hai tam giác vuông ABH và IKH đồng dạng 4 3 BH KH 4 3 3 −−→ 3−−→ 1 9 → = = → IK = KH, do đó AK = KH → AK = KH → A − ; AB IK 3 4 2 2 2 2 Chuyên Sư Phạm Hà Nội lần 3 - 2015 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có E là điểm nằm trên cạnh BC. Đường thẳng qua A và vuông góc với AE cắt đường thẳng CD tại điểm F, trung tuyến AM của tam giác AEF cắt cạnh CD tại điểm K. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A (−6; 6); M (−4; 2); K (−3; 0). Lời giải tham khảo Ta có BAE[ + EAD[ = 90o = EAD[ + DAF[ → BAE[ = DAF[ → ∆BAE = ∆DAF → AE = AF. √ → ∆AEF vuông cân tại A → AM = ME = MF = 2 5 và EF ⊥ AM Phương trình EF đi qua M vuông góc với AK → EF : x − 2y + 8 = 0 → F (2a − 8; a)  a = 4 2 2 2 Ta có MF 2 = (2a − 4) + (a − 2) = 20 ⇔ (a − 2) = 4 ⇔  a = 0 • Với a www.mas.edu.vn= 4 → F (0; 4) → phương trình CD đi qua K và F là CD : 4x − 3y + 12 = 0 6 12 Phương trình AD đi qua A vuông góc với CD → AD : 3x + 4y − 6 = 0 → D − ; . 5 5 • Với a = 0 → F (−8; 0) → phương trình CD đi qua K và F là CD : y = 0 Phương trình AD đi qua A vuông góc với CD → AD : x + 6 = 0 → D (−6; 0). Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 2
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG HSG Nghệ An Lớp 11 - 2015 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm I (1; 0) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng qua I và vuông góc với AI cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N sao cho BM.CN = 50, điểm P (3; 11) thuộc cạnh AB và điểm M thuộc đường thẳng (d): x + y + 7 = 0. Viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC biết điểm M có hoành độ âm. Lời giải tham khảo Dễ thây ∆AMN cân tại A → AMN\ = ANM\ → BMI[ = [CNI (1) A C A C Xét tam giác AIC có [ACI + [AIC + [CAI = 180o → + + 90o + [CIN = 180o → + + [CIN = 90o 2 2 2 2 A B C Tam giác ABC có tâm nội tiếp I → + + = 90o do đó [CIN = IBM[ (2) 2 2 2 IN CN Từ (1) và (2) → hai tam giác CIN và IBM đồng dạng → = → IM.IN = BM.CN → IM2 = 50. BM IM Điểm M ∈ (d) → M (m; −m − 7) → IM2 = (m − 1)2 + (−m − 7)2 = 50 ⇔ 2m2 + 12m = 0 ⇔ m = −6 (do điểm M có hoành độ âm) → M (−6; −1) phương trình AB đi qua M và P → AB : 4x − 3y + 21 = 0 Phương trình AI đi qua I và vuông góc với IM → AI : 7x + y − 7 = 0 → A (0; 7) I là trung điểm của MN → N (8; 1), phương trình AC đi qua A và N → AC : 3x + 4y − 28 = 0. Hình vuông : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có E và F (1; 2) là các điểm lần 1 lượt nằm trên các cạnh AD và AB sao cho AE = AF = AB. Gọi K là hình chiếu của F lên cạnh 3 6 2 CD, đường thẳng AK cắt đường thẳng BE tại điểm H ; . Xác định tọa độ đỉnh C của hình 5 5 vuông ABCD. Lời giải tham khảo Dễ dàng chứng minh được ∆ABE = ∆DAK → DAK[ = ABE[ → AK ⊥ BE Đặt cạnh hình vuông AB = BC = 3a → AE = AF = a, AH AE a 1 Ta có tam giác ABE vuông tại A có AH là đường cao ⇒ = = = BH AB 3a 3 AF a 1 AH AF 1 Mà = www.mas.edu.vn= ⇒ = = ⇒ hai tam giác AHF và BHC đồng dạng BC 3a 3 BH BC 3 ⇒ AFH[ = BCH[ ⇒ tứ giác BFHC nội tiếp (2 góc đối bù nhau) ⇒ FBC[ + FHC[ = 180o ⇒ FHC[ = 90o hay CH ⊥ HF Phương trình đường thẳng CH đi qua H và vuông góc với FH ⇒ CH : x − 8y + 2 = 0 √ AE HF 1 3 13 Tứ giac BFHC nội tiếp → ABE[ = HCF[ ⇒ = = ⇒ HC = 3HF = ⇒ ok men AB HC 3 5 Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 3
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG mathlinks - 19/50 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có AC = 2AB. Phương 5 trình đường chéo BD là x−4 = 0, gọi E ; 7 là điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AC = 4AE. Điểm 2 M là trung điểm của đoạn BC, diện tích tứ giác BEDC bằng 36. Xác định tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD biết điểm M thuộc đường thẳng (d) : 2x + y − 18 = 0 và đỉnh B có tung độ nhỏ hơn 2. Lời giải tham khảo Do M là trung điểm của BC → d (C; BD) = 2d (M; BD), 3 E là trung điểm của AI → d (A; BD) = d (C; BD) = 2d (E; BD) ⇒ d (E; BD) = d (M; BD) = 2  11 3 m = Điểm M ∈ (d) ⇒ M (m; 18 − 2m) ⇒ d (M; BD) = |m − 4| = ⇒  2 2  5 m = 2 11 5 • Với m = ⇒ M ; 13 (loại do cùng 1 phía với E so với BD) 2 2 11 11 • Với m = ⇒ M ; 7 2 2 1 1 Ta có S = S + S = d (B; EC) .EC + d (D; EC) .EC mà d (B; EC) = d (D; EC) BEDC EBC EDC 2 2 ⇒ SBEDC = 2SEBC đồng thời M là trung điểm của BC ⇒ SEBC = 2SEBM 1 3 Do đó S = 4S = 36 ⇒ S = 9 = .d (B; EM) .EM = .d (B; EM) ⇒ d (B.EM) = 6 BEDC EBM EBM 2 2 Phương trình đường thẳng EM : y − 7 = 0, điểm B ∈ BD ⇒ B (4; b) ⇒ d (B; EM) = |b − 7| = 6 → b = 13 (do b > 2) ⇒ B (4; 13) toanhoc24h - 36 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có A (2; −4) và M là 8 34 trung điểm của cạnh BC. Gọi E là điểm nằm trên cạnh AD và H − ; là hình chiếu của E lên 5 5 đường thẳng AC, đường thẳng EM có phương trình (d): x + 3y − 8 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của hìnhwww.mas.edu.vn chữ nhật ABCD. Lời giải tham khảo Phương trình đường thẳng AC đi qua A và H ⇒ AC : 3x + y − 2 = 0 Phương trình EH đi qua H và vuông góc với AC ⇒ EH : x − 3y + 22 = 0 ⇒ E (−7; 5) Phương trình đường thẳng AD đi qua A và E ⇒ AD : x + y + 2 = 0 Phương trình đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với AD ⇒ AB : x − y − 6 = 0 Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 4
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Lấy điểm M ∈ EM ⇒ M (8 − 3m; m), phương trình BC đi qua M và // với AD ⇒ BC : x+y+2m−8 = 0 B là giao điểm của BC và AB ⇒ B (7 − m; 1 − m), M là trung điểm của BC ⇒ C (9 − 5m; 3m − 1) Điểm C ∈ AC ⇒ 3 (9 − 5m) + 3m − 1 − 2 = 0 ⇔ m = 2 ⇒ B (5; −1) và C (−1; 5) ⇒ D (−4; 2) Hà Nội - Amsterdam - 2015 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có điểm M (3; 2) là trung điểm của cạnh BC. Chân đường cao của tam giác hạ từ đỉnh B là điểm 6 13 K − ; và trung điểm của cạnh AB nằm trên đường thẳng (d): x − y + 2 = 0. Xác định tọa 5 5 độ các đỉnh của tam giác ABC. Lời giải tham khảo Gọi N là trung điểm của AB ⇒ N ∈ (d) ⇒ N (n; n + 2) ⇒ MN là đường trung bình tam giác ABC Tam giác AMB vuông tại M có N là trung điểm của AB ⇒ AN = BN = MN Tam giác AKB vuông tại K có N là trung điểm của AB ⇒ AN = BN = NK ⇒ NK = NM 62 32 ⇒ (n − 3)2 + n2 = n + + n − ⇔ n = 1 ⇒ N (1; 3). 5 5 Phương trình AC đi qua K và song song với MN ⇒ AC : x+2y−4 = 0 ⇒ A (4 − 2a; a) ⇒ B (2a − 2; 6 − a)  a = 1 −−→ −−→  AM ⊥ BM ⇒ AM.BM = 0 ⇔ (1 − 2a) (2a − 5) + (a − 2) (4 − a) = 0 ⇔  13 a = 25 • Với a = 1 ⇒ A (2; 1); B (0; 5) và C (6; −1) 13 6 13 16 17 14 3 • Với a = ⇒ A − ; ; B ; và C ; . 5 5 5 5 5 5 5 Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H (5; 5). Phương trình đường thẳng BC là : x + y − 8 = 0, biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua hai điểm M(7; 3) và N(4; 2). Tính diện tích tam giác ABC. Lời giải tham khảo Dễ dàng chứng minh được điểm H’ đối xứng với H qua BC thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC www.mas.edu.vn0 Phương trình đường cao AH là : x − y = 0 ⇒ chân đường cao hạ từ A là K (4; 4) ⇒ H (3; 3) Phương trình trung trực của MN là : 3x + y − 19 = 0, phương trình trung trực của MH’ là : x − 5 = 0 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua M, N, H’ ⇒ tâm đường tròn là I (5; 4) √ Phương trình đường tròn tâm I là (C):(x − 5)2 + (y − 4)2 = 5 ⇒ A (6; 6) ⇒ AK = 2 2. √ 2 Gọi M là trung điểm của BC ta có IM = d (I; BC) = 2 Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 5
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG √ 9 3 2 √ Tam giác IBM vuông tại M ⇒ MB2 = IB2 − IM2 = ⇒ BM = ⇒ BC = 3 2 2 2 1 1 √ √ Ta có S = BC.AK = .3 2.2 2 = 6 (đvdt). ABC 2 2 Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có AO là đường cao (O là gốc tạo độ). Gọi (C) là đường tròn tâm A đường kính OD, tiếp tuyến của (C) tại D cắt đường thẳng CA tại điểm E (−8; 8), đường thẳng vuông góc với ED tại E và đường thẳng đi qua A vuông góc với EB cắt nhau tại điểm M (−8; −2). Xác định tọa độ đỉnh B của tam giác ABC. Lời giải tham khảo Dễ thấy ∆ACO = ∆AED ⇒ AC = AE và OC = ED EM cắt BC tại K ⇒ EDOK là hình chữ nhật ⇒ OK = DE Phương trình OK đi qua O và vuông với EM ⇒ OK : y = 0 Phương trình EK đi qua E và M ⇒ EK : x + 8 = 0 ⇒ K(−8; 0) O là trung điểm của CK ⇒ C (8; 0) Phương trình AB đi qua A và vuông góc với AC ⇒ AB : 2x−y+4 = 0 Phương trình BC đi qua O và C ⇒ BC : y = 0 ⇒ B (0; −2) Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có điểm M thuộc cạnh AC sao cho 5AB = 10AM = 6CM. Đường thẳng AB đi qua điểm P (1; 2), đường thẳng BC đi qua điểm Q (9; 6) và đường thẳng AC đi qua điểm K (0; 3). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình đường thẳng BM : 2x − y − 2 = 0. Lời giải tham khảo √ AM 2 Xét tam giác AMB vuông tại A có AB = 2AM ⇒ BM = 5AB ⇒ cos AMB\ = = √ BM 5  b = 0 −→ |2a − b| 2 Gọi n = (a; b) là vtpt của AC ⇒ cos AMB\ = √ √ = √ ⇔ 3b2 + 4ab = 0 ⇔  www.mas.edu.vn5. a2 + b2 5  4 b = − a 3 −→ • Với b = 0 ⇒ n = (1; 0) ⇒ AC : x = 0, phương trình AB : y − 2 = 0 ⇒ B (2; 2) và A (0; 2) 6 Phương trình BC đi qua B và Q ⇒ BC : 4x − 7y + 6 = 0 ⇒ C 0; 7 −→ 4 78 • Với 3b = −4a ⇒ n = (3; −4) ⇒ AC : 3x − 4y + 12 = 0 ⇒ AB : 4x + 3y − 10 = 0 ⇒ A ; 25 25 Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 6
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 8 6 52 30 B = AB∩BM ⇒ B ; , phương trình BC qua B và Q ⇒ BC : 24x−37y+6 = 0 ⇒ C − ; . 5 5 23 23 Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A có I là trung điểm của cạnh BC. Gọi M là trung điểm của IB và N là điểm nằm trên đoạn thẳng IC sao cho NC = 2NI. Biết rằng M (5; −4), phương trình đường thẳng AN là : x − y − 2 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết điểm A có hoành độ âm. Lời giải tham khảo √ √ √ 3a 2 √ 5a 2 Đặt AB = AC = 6a ⇒ BC = 6a 2 ⇒ BM = IM = ; IN = IC = a 2 ⇒ MN = IM + IN = 2 3 2 45a2 Xét ∆AMI có AM2 = AI2 + IM2 = , ∆ANI có AN2 = AI2 + IN2 = 20a2 2 2 2 2 AM + AN − MN 1 −→ Xét ∆AMN có cos MAN\ = = √ , gọi n = (a; b) là vecto pháp tuyến của AM 2AM.AN 2 " |a − b| 1 a = 0 ⇒ cos MAN\ = √ √ = √ ⇔ ab = 0 ⇔ 2. a2 + b2 2 b = 0 √ −→ 7 2 • Với a = 0 ⇒ n = (0; 1) ⇒ AM : y + 4 = 0 ⇒ A = AM ∩ AN ⇒ A(−2; −4) ⇒ AM = 7 ⇒ a = √ 3 5   19 6 ( √ 2 2 196 AI = 3a 2 = √14  (x + 2) + (y + 4) = I ; − 5  5  5 5 Do đó √ , gọi điểm I (a; b) ⇒ ⇒  MI = 3a 2 = √7 2 2 49  19 34 2 5  (x − 5) + (y + 4) = I ; − 5 5 5 19 6 32 34 Do điểm I nằm giữa AM và AN ⇒ I ; − , M là trung điểm của BI ⇒ B ; − 5 5 5 5 4 22 Đồng thời I là trung điểm của BC ⇒ C ; 5 5 −→ • Với b = 0 ⇒ n (1; 0) ⇒ AB : x − 5 = 0 ⇒ A = AM ∩ AN ⇒ A (5; 3) (loại) Lương Thế Vinh - Hà Nội lần 2 - 2015 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có diện tích bằng 6 và CD = 2AB, điểm B (0; 4). Biết điểm I (3; −1) và K (2; 2) lần lượt nằm trên các đường thẳng AD và CD. Viết phương trình đường thẳng AD biết AD không song songwww.mas.edu.vn với các trục tọa độ. Lời giải tham khảo −→ Do AD không song song với các trục tọa độ nên gọi vecto pháp tuyến của AD là n = (1; a) Phương trình đường thẳng AD là : x + ay − 3 + a = 0, phương trình đường thẳng AB là : ax − y + 4 = 0 1 3 3 Ta có S = AD. (AB + CD) = .AD.AB = .d (B; AD) .d (K; AB) ABCD 2 2 2 Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 7
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG  a = 1 |5a − 3| |2a + 2| 3 |5a − 3| |2a + 2|  5 d (B; AD) = √ và d (K; AB) = √ ⇒ .√ .√ = 6 ⇔  a = − . a2 + 1 a2 + 1 2 a2 + 1 a2 + 1   3 √ a = −1 ± 2 2 Chu Văn An - Hà Nội lần 1 - 2015 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là I (−2; 1) và thỏa mãn điều kiện [AIB = 900. Chân đường cao hạ từ A đến cạnh BC là D (−1; −1), đường thẳng AC đi qua điểm M (−1; 4). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh A có hoành độ dương. Lời giải tham khảo Tam giác IAB có [AIB = 90bo và IA = IB → ∆IAB vuông cân tại I Tứ giác AIDB nội tiếp → [BAI = [CDI = 45o (cùng bù với [BDI) 1 Gọi H là giao điểm của ID và AC, có ACB[ = [AIB = 45o 2 → CDH[ + DCH[ = 90o → DHC[ = 90o hay ID ⊥ AC Phương trình ID : 2x + y + 3 = 0 và AC : x − 2y + 9 = 0 → H(−3; 3) ∆ADC vuông tại D có DH = CH → HA = HD Lấy A (2a − 9; a) ∈ AC → AH2 = (2a − 6)2 + 5 (a − 3)2 = 20 → a = 5 → A (1; 5) H là trung điểm của AC → C (−7; 1) → phương trình BC : x + 3y + 4 = 0 Phương trình đường tròn (C):(x + 2)2 + (y − 1)2 = 25 → B (2; −2) Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh B (−5; 2) và phương trình cạnh AC : x − y − 1 = 0. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM.BC = 48, độ dài bán √ kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC bằng 10. Xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC Lời giải tham khảo √ Phương trình cạnh AB đi qua B và vuông góc với AC → AB : x + y + 3 = 0 → A (−1; −2) → AB = 4 2 www.mas.edu.vnAM √ AM.BC √ √ Xét tam giác AMC có = 2R = 2 10 → = 2 10 → AM.BC = 16 5 sin C AB AB Xét tam giác ABM có AM2 = AB2 + BM2 − 2AB.BM. cos B → AM2 = AB2 + BM2 − 2AB.BM. BC √ → (AM.BC)2 = AB2.BC2 + (BM.BC)2 − 2AB2. (BM.BC) → BC = 8 → AB = AC = 4 2  a = −5 2 2 2 Lấy điểm C (a; a − 1) ∈ AC → AC2 = (a + 1) + (a + 1) = 32 → (a + 1) = 16 →  a = 3 Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 8
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có D là trung điểm của AB. 11 5 13 5 Điểm I ; là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, điểm E ; là trọng tâm của 3 3 3 3 tam giác ADC. Điểm M (3; −1) và N (−3; 0) lần lượt thuộc các cạnh DC và AB. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết điểm A có tung độ dương. Lời giải tham khảo 1 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ G ∈ CD và DG = CD 2 1 1 2 Gọi F là trung điểm của CD ⇒ DG = CD = .2DF = DF 3 3 3 2 DG AE 2 E là trọng tâm của tam giác ACD ⇒ AE = AF ⇒ = = ⇒ EF // AB 3 DF AF 3 I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ ID ⊥ AB hay ID ⊥ EF, mặt khác AG ⊥ DE ⇒ I là trực tâm tam giác DEG ⇒ IE ⊥ CD ⇒ phương trình CD : x − 3 = 0  d = 3 −→ −−→ 2 5  Lấy điểm D (3; d) ∈ CD ta có ID ⊥ AB ⇒ ID.ND = 0 ⇔ .6 + − d d = 0 ⇔  4 3 3 d = − 3 • Với d = 3 ⇒ D (3; 3), phương trình đường thẳng AB đi qua D và N ⇒ AB : x − 2y + 3 = 0 Phương trình AI đi qua I và vuông góc với DE ⇒ AI : x − y − 2 = 0 ⇒ A (7; 5) ⇒ B (−1; 1) Phương trình BD đi qua B và vuông góc với AI ⇒ BC : x + y = 0 C là giao của BC và CD ⇒ C (3; −3) 4 • Với d = − (xét tương tự) 3 toanhoc24h - 38 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm M (2; 3) và N (3; 2) lần 3 3 lượt nằm trên các cạnh AB và BC. Trên tia phân giác trong của góc ABC[ lấy điểm E ; sao 2 2 cho EB = EC. Xác định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác ABC biết tâm đường tròn ngoại tiếp 19 2 tam giác ABC là I ; . www.mas.edu.vn6 3 Lời giải tham khảo Ta có EB = EC ⇒ E thuộc trung trực của BC ⇒ IE ⊥ BC ⇒ phương trình BC : 2x − y − 4 = 0 5 Phương trình đường thẳng IE qua I và E ⇒ IE : x + 2y − 9 = 0, gọi D là trung điểm của BC ⇒ D ; 1 2 Lấy điểm B (b; 2b − 4) ∈ BC, ta có BE là phân giác ABC[ ⇒ d (E; AB) = d (E; BC) Phương trình AB đi qua M và B ⇒ AB : (2b − 7) x + (2 − b) y − b + 8 = 0 Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 9
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG  √ b = 4 |6b − 21 + 6 − 3b − 2b + 16| 5 ⇒ = ⇔ 24b2 − 162b + 264 = 0 ⇔  q 2  11 2 (2b − 7)2 + (b − 2)2 b = 4 • Với b = 4 ⇒ B (4; 4), D là trung điểm của BC ⇒ C (1; −2) 11 11 3 9 1 • Với b = ⇒ B ; , D là trung điểm của BC ⇒ C ; 4 4 2 4 2 Tại sao lại loại 1 trường hợp ? Ai biết không ??????????? Hình vuông : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh A (−6; 6) và điểm E thuộc cạnh BC. Một đường thẳng qua A và vuông góc với AE cắt đường thẳng CD tại F, đường trung tuyến AM của tam giác AEF cắt đường thẳng CD tại điểm K (−3; 0). Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm M (−4; 2). Lời giải tham khảo Ta có BAE[ = DAF[ (cùng phụ với góc EAD[ ) → ∆BAE = ∆DAF (g.c.g) → AE = AF → ∆AEF vuông cân tại A, M là trung điểm của EF → AM = ME = MF Phương trình đường thẳng EF đi qua M và ⊥ AM → EF : x − 2y + 8 = 0, lấy F (2a − 8; a) ∈ EF  a = 4 √ 2 2 2 → MF = AM = 2 5 → MF2 = (2a − 4) + (a − 2) = 20 ⇔ (a − 2) = 4 ⇔  a = 0 • Với a = 4 → F (0; 4), phương trình AB đi qua A và song song với FK → AB : 4x − 3y + 42 = 0 • Với a = 0 → F (−8; 0), phương trình AB đi qua A và song song với FK → AB : y − 6 = 0. Hình chữ nhật : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có 3AD = 4AB. Gọi (C) là đường tròn đi qua hai điểm B, C đồng thời tiếp xúc với cạnh AD tại E, đường tròn (C) cắt cạnh CD tại điểm F. Phương trình đường thẳng EF : x − 5y − 5 = 0, điểm E có hoành độ nguyên. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết A (−2; −3). Lời giải tham khảo Đường trònwww.mas.edu.vn qua B và C đồng thời tiếp xúc với AD tại điểm E → E là trung điểm của AD √ Đặt cạnh AD = 4d → AB = 3d → AE = DE = 2d → BE2 = AB2 + AE2 = 13d2 → BE = d 13 8 Gọi H là hình chiếu của A lên EF → d (A; EF) = AH = √ . 26 Ta có AEH[ = ABE[ (cùng phụ với góc AEB[) → hai tam giác AHE và EAB đồng dạng AH AE 2d 2 √ → = = √ = √ → AE = 2 2, lấy E (5a + 5; a) ∈ EF AE BE d 13 13 Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 10
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG  a = −1 2 2 2 2  → AE = (5a + 7) + (a + 3) = 8 ⇔ 26a + 76a + 50 = 0 ⇔  25 → E (0; −1). a = − 13 Phương trình AB đi qua A và vuông góc với AE → AB : x + y + 5 = 0 Phương trình BE đi qua E và vuông góc với EF → BE : 5x + y + 1 = 0 → B (1; −6) E là trung điểm của AD → D (2; 1) → C (5; −2). Hình vuông : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB. Hình chiếu của D lên đường thẳng CM là H (6; 3), hình chiếu của A lên đường thẳng HD là K (6; 1). Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh C có hoành độ lớn hơn 5. Lời giải tham khảo Gọi N là trung điểm của CD → AMCN là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song) → AN // CM → AN ⊥ DH → AK và AN trùng nhau hay A, K, N thẳng hàng Xét tam giác CHD có KN // CH và N là trung điểm của CD → K là trung điểm của DH → D (6; −1) Ta có DAK[ = CDH[ (cùng phụ với góc ADK[ ) → ∆ADK = ∆DCH (cạnh huyền - góc nhọn) → CH = DK = KH → ∆CHK vuông cân tại H, phương trình CH đi qua H và ⊥ CK → CH : y − 3 = 0  a = 8 2 Lấy điểm C (a; 3) ∈ CH → CH = KH = 2 → (a − 6) = 4 ⇔  → C (8; 3) a = 4 Phương trình AD đi qua D và ⊥ CD → AD : x + 2y − 4 = 0 Phương trình AK đi qua K và ⊥ DH → AK : y − 1 = 0 A là giao điểm của AK và AD → A (2; 1) → B (4; 5). Hình thang : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và CD > AB. Gọi E và F (0; 3) lần lượt là trung điểm của AB và AD. Điểm M (2; 9) thuộc đường thẳng DE. Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết đỉnh C (8;www.mas.edu.vn 1) và điểm E thuộc đường thẳng (d): x + y − 6 = 0, đỉnh D có hoành độ nguyên. Lời giải tham khảo Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 11
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG −−→ −−→ −→ Xét ∆ACD có CF là đường trung tuyến → 2CF = CD + CA −−→ −−→ −−→ ∆ADB có DE là đường trung tuyến → 2DE = DA + DB −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ ⇒ 2CF.2DE = CD + CA . DA + DB = CA.DA + CD.DB −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ ⇒ 2CF.2DE = AC.AD − DC.DB −→ −−→ −−→ −−→ Xét AC.AD = AC.AD. cos CAD[ và DC.DB = DC.DB. cos CDB[ (1) AC DC Hai ∆ACD và ∆BDA đồng dạng → = → AC.AD = DB.DC (2) DB AD Đồng thời CAD[ = CDB[ (cùng phụ với góc ADB[ ) (3) −−→ −−→ Từ (1); (2) và (3) → CF.DE = 0 hay CF ⊥ DE Phương trình DE qua M và vuông với CF → DE : 4x − y + 1 = 0 → E (1; 5),  −−→ −−→ d = 0 Lấy điểm D (d; 4d + 1) ∈ DE có CD ⊥ DF hay CD.DF = 0 ⇔ 17d2 − 16d = 0 ⇔  16 → D (0; 1) F d = 17 là trung điểm của AD → A (0; 5), E là trung diểm của AB → B (2; 5) mathlinks - 26/50 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A (0; 7). Điểm I (0; 1) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, gọi E là trung điểm của BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết AH = 7HE và đỉnh B có hoành độ âm. Lời giải tham khảo AE BE Dễ thấy hai ∆ABE và ∆BHE đồng dạng → = BE HE BE2 HE 1 → BE2 = AE.HE → = = → AE2 = 8BE2 AE2 AE 8 Xét ∆ABE vuông tại E → AB2 = AE2 + BE2 = 9BE2 → AB = 3BE AI AB −→ −→ → = = 3 → AI = 3IE → AI = 3IE → E (0; −1) IE BE Phương trình BC qua E và vuông với AE → BC : y + 1 = 0 Lấy điểm B (b; −1) ∈ BC → AB2 = 9BE2 ⇔ b2 + 64 = 9b2 √www.mas.edu.vn √ √ ⇔ b = −2 2 (xB < 0) ⇒ B −2 2; −1 → C 2 2; −1 Hình chữ nhật : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có E là trung điểm của AD. Hình chiếu của B lên đường thẳng CE là điểm H (5; −4), hình chiếu của E lên cạnh BC là điểm F (1; −7). Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉnh A thuộc đường thẳng (d): x + y − 4 = 0. Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 12
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Lời giải tham khảo Dễ thấy tứ giác BFHE nội tiếp → BHF[ = BEF[ (cùng chắn cung BF) ABFE là hình chữ nhật → BEF[ = BAF[ do đó BAF[ = BHF[ → tứ giác ABFH nội tiếp → ABF[ + AHF[ = 180o → AHF[ = 90o hay AH ⊥ HF Phương trình AH đi qua H và vuông góc với HF → AH : 4x + 3y − 8 = 0 → A (−4; 8) Dễ thấy F là trung điểm của BC, AF cắt BH tại I, ta có IF // HC → I là trung điểm của BH Phương trình AF : 3x + y − 4 = 0, phương trình BH qua H và ⊥ AF → BH : x − 3y − 17 = 0 1 11 I là giao điểm của AF và BH → I ; − , I là trung điểm của BH → B (−4; −7) 2 2 F là trung điểm của BC → C (6; −7) → D (6; 8). Hình vuông : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh B (6; 1). Tiếp tuyến kẻ từ A của đường tròn đường kính CD (không trùng với AD) cắt cạnh BC tại điểm M, điểm M thuộc đường thẳng (d) : 2x − y − 5 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh D thuộc trục tung và có tung độ nguyên. Lời giải tham khảo Lấy điểm D (0; d) ∈ Oy. Gọi N là trung điểm của CD, dễ dàng chứng minh được ANM\ = 90o AD CN → hai tam giác ADN và tam giác NCM → = = 2 → BC = 4MC. DN CM −−→ −−→ 4m − 6 8m − 21 Lấy điểm M (m; 2m − 5) ∈ (d) có BC = 4CM → BC = 4MC → C ; . 3 3 4m − 3 4m − 6 8m − 21 8m − 21   − 6 + − 1 − d = 0 CD = CB  6 3 3 3 Ta có → 2 2 2 2 −−→ −−→ 4m − 6 8m − 21 4m − 6 8m − 21 CD.CB = 0  − 6 + − 1 = + − d  3 3 3 3  9 m = Do D có tung độ nguyên → 2 → C (4; 5) ; D (0; 3) → A (2; −1). www.mas.edu.vnd = 3 Hình thang : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB = AD < CD và đỉnh B (1; 2), đường chéo BD có phương trình y − 2 = 0. Đường thẳng (d) : 7x − y − 25 = 0 lần lượt cắt các đường thẳng AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho BM ⊥ BC và tia BN là tia phân giác của góc MBC\. Xác định tọa độ đỉnh D của hình thang ABCD biết đỉnh D có hoành độ dương. Lời giải tham khảo Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 13
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Tứ giác MBCD nội tiếp đường tròn đường kính MC (hai góc đối đỉnh cùng vuông) → BCM\ = BDM\ = 45o (2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) → BM = BC → ∆BCN = ∆BMN (c.g.c) → d (B; MN) = d (B; CN) (2 đường cao trong hai tam giác bằng nhau) Hình thang ABCD vuông tại A và D có AB = AD → AB = d (B; CD) √ √ → AB = d (B; MN) = 2 2 → BD = AB. 2 = 4. Lấy điểm D (d; 2) ∈ BD (điều kiện d > 0) → BD2 = (d − 1)2 = 4 → d = 5 (do d > 0) → D (5; 2). Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng BC là x + y − 8 = 0 và H (5; 5) là trực tâm của tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt đi qua hai điểm M (7; 3) và N (4; 2). Tính diện tích tam giác ABC. Lời giải tham khảo Gọi E là điểm đối xứng với H qua BC → ∆ECH cân tại C có BC là đường cao → BCE[ = BCH[ Gọi F là giao điểm của CH và AB, giao điểm của AH và BC là D, dễ thấy tứ giác AFDC nội tiếp → BAD[ = BCH[ (cùng chắn cung DF) hay BCE[ = BAE[ (cùng bằng BCH[ ) → tứ giác BACE nội tiếp → E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Phương trình đường cao AH : x − y = 0 → D (4; 4) → E (3; 3) Phương trình trung trực của EM là (d1): x − 5 = 0 Phương trình trung trực của MN là (d2) : 3x + y − 19 = 0 → tâm đường tròn ngoại tiếp là I (5; 4) 1 9 Gọi F là trung điểm của BC → IF = d (I; BC) = √ , ta có BF2 = IB2 − IF2 = 2 2 3 √ → BF = √ → BC = 2BF = 3 2, lấy điểm A (a; a) ∈ AH 2 Ta có IA = IE → (a − 5)2 + (a − 4)2 = 5 → 2a2 − 18a + 36 = 0 → a = 6 → A (6; 6) √ 1 1 √ √ → AD = 2 2 → S = AD.BC = .2 2.3 2 = 6 (đvdt). ABC 2 2 Hình thang : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại B và C (0; 4). Gọi I là www.mas.edu.vn 8 4 trung điểm của BC thỏa mãn IA ⊥ ID, điểm H ; là hình chiếu của I lên AD. Xác định tọa 5 5 độ các đỉnh còn lại của hình thang biết đỉnh B thuộc đường thẳng (d): x − y = 0. Lời giải tham khảo Tứ giác ABIH nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180o) → ABH[ = [AIH (cùng chắn cung AH) Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 14
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG [AIH = [ADI (cùng phụ với góc [HID) → ABH[ = [ADI = [AIH Lại có tứ giác CIHD nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o) → [ADI = [HCI (cùng chắn cung IH) Do đó ABH[ = HCB[ = [ADI, mà ABH[ + HBC[ = 90o → HBC[ + HCB[ = 90o → HB ⊥ HC. Phương trình BH đi qua H và vuông góc với CH → BH : x − 2y = 0 → B (0; 0) → I (0; 2) Phương trình đường thẳng AD qua H và vuông góc với IH → AD : 4x − 3y − 4 = 0 Phương trình đường thẳng AB đi qua B và vuông góc với BC → AB : y = 0 → A (1; 0) Phương trình đường thẳng CD đi qua C và vuông góc với BC → CD : y − 4 = 0 → C (4; 4). Hình vuông : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm E (4; 2) thuộc cạnh BC. Giao điểm của AE và BD là F, K là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF và BD, đường thẳng AB đi qua điểm M (1; 3). Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết phương trình đường thẳng AK là x + y − 1 = 0 và điểm A có hoành độ âm. Lời giải tham khảo Xét hai tam giác AFB và tam giác CFB có BF chung, AB = AC và ABF[ = CBF[ → ∆ABF = ∆CBF → BAF[ = BCF[ (2 góc tương ứng). Ta có tứ giác CEFK nội tiếp → ECF[ = FKE[ (2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) → BAE[ = BKE[ → tứ giác ABEK nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh cùng nhìn 1 cạnh dưới 1 góc) → ABE[ = AKE[ = 90o Đồng thới ABK[ = AEK[ = 45o → ∆AKE vuông cân tại K 3 1 Phương trình đường thẳng KE đi qua E và vuông góc với AK → KE : x − y − 2 = 0 → K ; − 2 2 32 3 2 25 Lấy điểm A (a; 1 − a) ∈ AK → AK = KE → a − + − a = → a = −1 → A (−1; 2). 2 2 2 Phương trình đường thẳng AB đi qua A và M → AB : x − 2y + 5 = 0 Phương trình đường thẳng BC đi qua E và vuông góc với AB → BC : 2x + y − 10 = 0 → B (3; 4) √ √ → AB = 2 www.mas.edu.vn5 và BE = 5 → AB = 2BE hay E là trung điểm của BC → C (5; 0) → D (1; −2). Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh C (1; 7) và nội tiếp đường tròn (C) có tâm I. Đường thẳng vuông góc với AI tại A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC tại điểm thứ hai là K (−2; 6), đường thẳng AI đi qua điểm E (0; 2). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết điểm I có hoành độ nguyên. Lời giải tham khảo Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 15
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Có tứ giác AKCI nội tiếp mà [KAI = 90o → [KCI = 90o → KC ⊥ BC và IK là đường kính Phương trình BC đi qua C và vuông góc với KC → BC : 3x + y − 10 = 0 −→ Giả sử phương trình đường thẳng AI có vtpt là n = (a; b) → phương trình AI : ax + by − 2b = 0 " |2a − 4b| √ a = −3b Ta có KA = KC → d (K; AI) = d (K; BC) → √ = 10 ⇔ 3a2 − 8ab − 3b2 = 0 ⇔ a2 + b2 b = 3a 4 • Với a = −3b → phương trình AI : 3x − y + 2 = 0 , I là giao điểm của AI và BC → I ; 6 (loại) 3 • Với b = 3a → phương trình AI : x + 3y − 6 = 0, I là giao điểm của AI và BC → I (3; 1) I là trung điểm của BC → B (5; −5) Phương trình AK đi qua K và vuông góc với AI → AK : 3x − y + 12 = 0 → A (−3; 3). Hình vuông : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh D (0; −1). Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm thuộc cạnh BC sao cho BN = 2CN. Phương trình đường thẳng MN là : x + y − 1 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD điểm M và A có tọa độ nguyên. Lời giải tham khảo Đặt cạnh hình vuông AB = 6a → AM = BM = 3a và BN = 4a; CN = 2a √ Tam giác ADM vuông tại A → DM2 = AD2 + AM2 = 45a2 → DM = 3a 5 √ Tam giác CDN vuông tại C → DN2 = CD2 + CN2 = 40a2 → DN = 2a 10 Tam giác BMN vuông tại B → MN2 = BM2 + BN2 = 25a2 → MN = 5a 1 Xét tam giác DMN có DN2 = DM2 + MN2 − 2DM.MM. cos DMN\ → cos DMN\ = √ 5 −→ Gọi n = (a; b) là vtpt của đường thẳng DM → DM : ax + by + b = 0, góc tạo bởi DM và MN là DMN\ " |a + b| 1 a = −3b → cos DMN\ = √ √ = √ ⇔ 3a2 + 10ab + 3b2 = 0 ⇔ 2. a2 + b2 5 b = 3a 1 1 • Với a = −3b → DM : 3x − y − 1 = 0 → M ; (loại) 2 2 www.mas.edu.vn√ 2 • Với b = 3a → DM : x + 3y + 3 = 0 → M (3; −2) → DM2 = 10 = 45a2 → a = 3  AM2 = (x − 3)2 + (y + 2)2 = 2 Giả sử điểm A (x; y) ta có → A (2; −3) AD2 = x2 + (y + 1)2 = 8 M là trung điểm của AB → B (4; −1) → C (2; 1). Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 16
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I (1; 2). Đường phân giác trong góc A có phương trình là (d): x − y − 2 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết chân đường cao hạ từ A lên cạnh BC là H (3; −4). Lời giải tham khảo AD là phân giác của góc BAC[ → ID ⊥ BC hay ID // AH Tam giác IAD cân tại I → [IAD = [IDA (2 góc ở đáy tam giác cân) Ta có [IDA = HAD[ (2 góc so le trong) → [IAD = HAD[ → AD là phân giác của góc [HAI Qua I kẻ (∆) ⊥ AD → (∆) : x + y − 3 = 0 5 1 AD và (∆) cắt nhau tại điểm K ; 2 2 Gọi H’ đối xứng với I qua AD → H0 (4; −1) Phương trình AH đi qua H và H’ → AH : 3x − y − 13 = 0 Phương trình BC đi qua H và ⊥ AH → BC : x + 3y + 9 = 0 1 5 Phương trình ID đi qua I và song song với AH → ID : 3x − y − 1 = 0 → D − ; − 2 2 11 7 K là trung điểm của AD → A ; 2 2 Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 24. Phương trình ba đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C lần lượt là (d1): x − y + 2 = 0; (d2) : 5x − y − 2 = 0 và (d3): x + 3y − 10 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lời giải tham khảo Hình chữ nhật : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có M và N lần lượt thuộc các cạnh AB và BC sao cho AM = BC và CN = BM. Điểm H (7; 1) thuộc đường thẳng AN, đường thẳng CMwww.mas.edu.vn có phương trình (d) : 2x + y − 18 = 0. Xác định tọa độ đỉnh A của hình chữ nhật biết đỉnh A thuộc đường thẳng (∆) : 2x − y − 6 = 0. Lời giải tham khảo Đặt cạnh AB = a và BM = b → BC = AM = AB − BM = a − b và BN = BC − CN = BC − BM = a − 2b AB a Xét tam giác ABN vuông tại B đặt ANB[ = α → tan α = = (α nhọn) BN a − 2b Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 17
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG BC a − b Xét tam giác CBM vuông tại B đặt CMB\ = β → tan β = = (β nhọn) BM b a a − b + tan α + tan β a − 2b b Ta có tan (α + β) = = = −1 → α + β = 135o (do α và β nhọn) 1 − tan α. tan β a a − b 1 − . a − 2b b Xét tứ giác MENB có MEN\ + MBN\ + α + β = 3600 → MEN\ = 135o → AEM\ = 45o −→ Đường thẳng AN đi qua H và tạo với CM một góc 45o, gọi n = (m; n) là vtpt của đường thẳng AN  |2m + n| 1 m = −3n → cos 45o = √ √ = √ → 3m2 + 8mn − 3n2 = 0 →  1 m2 + n2. 5 2 m = n 3 −→ • Với m = −3n → n = (−3; 1) → phương trình AN : 3x − y − 20 = 0 → A (14; 22) 1 −→ • Với m = n → n = (1; 3) → phương trình AN : x + 3y − 10 = 0 → A (4; 2) 3 Đa Phúc - Hà Nội - Lần 2 - 2015 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là (C):(x − 2)2 + (y − 3)2 = 25. Chân đường cao hạ từ B và C xuống các cạnh AC và AB lần lượt là M (1; 0) và N (4; 0). Xác định tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABC biết tam giác ABC nhọn và đỉnh A có tung độ âm. Lời giải tham khảo www.mas.edu.vn Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 18
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Hình vuông : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm E và F (2; 0) tương ứng thuộc cách cạnh AD và AB sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống 7 −7 cạnh BE, đường thẳng CH cắt cạnh AD tại điểm M ; . Xác định tọa độ các đỉnh của hình 3 3 vuông ABCD biết đỉnh C thuộc đường thẳng (d): x − 2y + 1 = 0. Lời giải tham khảo Đặt cạnh hình vuông AB = BC = a, AE = AF = b, AH AE b Ta có ∆ABE vuông tại A có AH là đường cao ⇒ = = BH AB a AF b AH AF b Mà = ⇒ = = ⇒ ∆AHF đồng dạng ∆BHC BC a BH BC a ⇒ AFH[ = BCH[ ⇒ tứ giác BFHC nội tiếp ( 2 góc đối bù nhau ) ⇒ FBC[ + FHC[ = 180o ⇒ FHC[ = 90o hay CH ⊥ HF ⇒ Tứ giác AMHF nội tiếp → MAH\ = MFH[ (cùng chắn cung MH) Tứ giác BFHC nội tiếp → FBH[ = FCH[ (cùng chắn cung FH) Ta có FBH[ = MAH\ (cùng phụ với góc HAB[ ) do đó MFH[ = FCH[ = ABH[ Mà FCH[ + HFC[ = 90o ⇒ MFH[ + FHC[ = 90o hay MF ⊥ CF. 11 3 Phương trình CF đi qua F và vuông góc với MF ⇒ CF : x − 7y − 2 = 0 ⇒ C ; − 5 5 Hình vuông : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh D (2; 2). Đường thẳng (d) : 4x + 3y − 4 = 0 cắt các cạnh BC và AB lần lượt tại I và E sao cho [EDI = 45o. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh B thuộc đường thẳng (∆) : x + y = 0. Lời giải tham khảo Chọn hệ trục tọa độ sao cho D (0; 0) ; A (0; 1) ; B (1; 1) và C (1; 0). Lấy điểm E thuộc cạnh AB giả sử điểm E (b; 1), qua D kẻ đường thẳng (d1) vuông góc với DE → (d ): bx www.mas.edu.vn+ y = 0 BC : x − 1 = 0 1 , phương trình đường thẳng . Gọi M là giao điểm của (d1) và BC → M (1; −b) → DE = DH hay tam giác EDH vuông cân tại D Ta có [EDI = 45o → DI là phân giác EDH[ hay DI cũng là phân giác của góc EIC Hạ DM vuông góc với EI → ∆DIM = ∆DIC (cạnh huyền - góc nhọn) → DM = CD = d (D; EI) = 2 √ √ → BD = CD 2 = 2 2, lấy điểm B (a; −a) ∈ (∆) → BD2 = (a − 2)2 + (a + 2)2 = 8 → a = 0 Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 19
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG mathlinks - 31/50 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C):(x − 1)2 + (y − 2)2 = 5. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC đến (C) với B và C là hai tiếp điểm. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết trực tâm H của tam giác ABC nằm trên đường tròn (C) và điểm A nằm trên đường thẳng (d): x − y − 1 = 0. Lời giải tham khảo AB và AC là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ A → AB = AC → tam giác ABC cân tại A và AO là đường cao và phân giác Trực tâm H thuộc AO và đường tròn (C) → HB = HC hay H chia đôi cung nhỏ BC Tam giác HBC cân tại H → HBC[ = HCB[ , lại có ACH[ = HBC[ (cùng chắn cung BC) → ACH[ = HCB[ = HBC[ hay CH vừa là đường cao vừa là phân giác tại đỉnh C → ∆ABC cân tại C do đó AB = AC = BC hay tam giác ABC đều √ Xét tam giác ABO vuông tại B có BAO[ = 30o → AO = 2BO = 2R = 2 5. Lấy điểm A (a; a − 1) ∈ (d) " a = −1 → AO2 = (a − 1)2 + (a − 3)2 = 20 → a2 − 4a − 5 = 0 → a = 5 Hình hình hành : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành có tam giác ABC nhọn và đỉnh A (−2; −1). Gọi H, K, E là hình chiếu của của A lên đường thẳng BC, BD và CD, đường tròn ngoại tiếp tam giác HKE có phương trình (C): x2 + y2 + x + 4y + 3 = 0, đỉnh C thuộc đường thẳng (d): x − y − 3 = 0 và có hoành độ dương. Xác định tọa độ các đỉnh của hình bình hành biết đỉnh H có hoành độ âm. Lời giải tham khảo Gọi I = AC ∩ BD. Ta có AHC[ = AEC[ = 90o → tứ giác AHCE nội tiếp đường tròn đường kính AC, Ta có [HIE = 2HAE[ = 2 180o − BCD[ Các tứ giácwww.mas.edu.vn AKED và AKHB nội tiếp được một đường tròn EKD[ = EAD[ và BKH[ = BAH[ Do đó HKE[ = 180o − EKD[ − BKH[ = 180o − EAD[ − BAH[ = 2HAE[ = 2 180o − BCD[ = [HIE → tứ giác HKIE nội tiếp → I thuộc đường tròn (C), lấy điểm C (c; c − 3) ∈ (d) " c − 2 c − 4 c = 2 I là trung điểm của AC → I ; ∈ (C) → c2 − c − 2 = 0 ⇔ ⇒ C (2; −1) 2 2 c = −1 Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 20
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H (2; 1) và đỉnh A (−2; −1), √ độ dài cạnh BC = 2 5. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết trung điểm M của cạnh BC thuộc đường thẳng (d): x − 2y − 1 = 0 và có tung độ dương. Lời giải tham khảo Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và AD là đường kính Ta có BH ⊥ AC và CD ⊥ AC → BH // CD Đồng thời CH ⊥ AB và BD ⊥ AB → CH // BD → BHCD là hình bình hành → M là trung điểm của HD 1 √ Tam giác AHD có OM là đường trung bình → OM = AH = 5 2 √ ∆OMC có OC2 = OM2 + MC2 = 10 → OC = OA = 10 −−→ −−→ Lấy điểm M (2m + 1; m) ∈ (d) có AH = 2OM → O (2m − 1; m − 1)  m = 1 2 2 → OA2 = (2m + 1) + (m) = 10 ⇔ 5m2 + 4m − 9 = 0 ⇔  9 → M (3; 1). m = − 5 Phương trình đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AH → BC : 2x + y − 7 = 0 " b = 4 Lấy điểm B (b; 7 − 2b) ∈ BC → MB2 = (b − 3)2 + (2b − 6)2 = 5 ⇔ (b − 3)2 = 1 ⇔ b = 2 Tứ giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC. Điểm M (3; −1) là trung điểm của BD và C (4; −2). Điểm N (−1; −3) nằm trên đường thẳng đi qua B và vuông góc với AD. Xác định tọa độ các đỉnh A, B, D biết đường thẳng AD đi qua điểm P (1; 3)và đường thẳng BE có hệ số góc nguyên. Lời giải tham khảo Gọi E là hình chiếu của B lên AD và H là hình chiếu của M lên BE → MH là đườngwww.mas.edu.vn trung bình của ∆BED → DE = 2MH Gọi K là hình chiếu của C lên BE → CDEK là hình chữ nhật → DE = CK hay CK = 2MH −→ Gọi n = (a; b) là vtpt của đường thẳng BE → BE : ax + by + a + 3b = 0  a = −b 2 |4a + 2b| |5a + b| −→ CK = 2MH → d (C; BE) = 2d (M; BE) → √ = √ ⇔  5b → n = (1; −1) a2 + b2 a2 + b2 a = − 13 −→ Với n = (1; −1) → BE : x − y − 4 = 0 → AD : x + y − 4 = 0 Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 21
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường thẳng CD đi qua C và vuông góc với AD → CD : x − y − 6 = 0 → D (5; −1) M là trung điểm của BD → B (1; −1), phương trình AB : 3x − y − 4 = 0 → A (2; 2) Hình thoi : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có H là hình chiếu vuông góc của A lên đường chéo BD và K là hình chiếu của H lên cạnh AD. Điểm N (5; 3) là trung điểm của HK, phương trình đường thẳng BK là : x − y − 1 = 0, điểm A thuộc đường thẳng (d): x − 3y + 8 = 0. 7 Xác định tọa độ đỉnh B của hình thoi ABCD biết diện tích tam giác ABN bằng . 2 Lời giải tham khảo Gọi M là trung điểm của KD → MN // HD (đường trung bình) ⇒ MN ⊥ AH đồng thời HN ⊥ AD ⇒ N là trực tâm ∆AHM ⇒ AN ⊥ MH mà MH // BK (đường trung bình) ⇒ AN ⊥ BK Phương trình AN qua N và ⊥ BK → BK : x + y − 8 = 0 → A (4; 4) 9 7 1 1 7 √ Gọi I = AN ∩ BK → I ; , ta có SABN = AN.BI = 2.√ .BI = → BI = 7 2 2 2 2 2 2  23 92 92 92 b = 2  2 Lấy điểm B (b; b − 1) ∈ BK → BI = b − + b − = 98 ⇔ b − = 49 ⇔  5 2 2 2 b = − 2 mathlinks - 34/50 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD có hai cạnh đáy AD = 3BC và hai đường chéo vuông góc với nhau tại H. Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho AB = 3AM, N là trung điểm của đoạn HC. Đường thẳng HM đi qua điểm T (2; −3) và phương trình đường thẳng DN là x + 2y − 5 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết đỉnh B (−1; −3). Lời giải tham khảo −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 2−−→ 1−−→ Ta có BM = 2AM hay MB = −2MA → MH + HB = −2MH − 2HA → HM = HA + HB 3 3 −−→ 1−−→ 1−−→ 1−−→ 1−−→ 1−−→ −−→ 1 N là trung điểm của HC → DN = DH + DC = DH + DH + HC = DH + HC 2 2 2 2 2 2 −−→ −−→www.mas.edu.vn2−−→ 1−−→ −−→ 1−−→ 2−−→ −−→ 1−−→ −−→ 1−−→ −−→ 1−−→ −−→ → HM.DN = HA + HB . DH + HC = HA.HD + HA.HC + DH.HB + HB.HC (∗) 3 3 2 3 3 3 6 −−→ −−→ −−→ −−→ Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau → HA.HD = 0 và HB.HC = 0  −−→ −−→ HA HD AD HA = 3HC HA = −3HC Hai đáy AD // BC → = = = 3 → hay −−→ −−→ HC HB BC HD = 3HB DH = 3HB −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ Thay vào biểu thức (∗) ta được HM.DN = −HC.HC + HB.HB = −HC2 + HB2 = 0 → HM⊥DN Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 22
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường thẳng HM đi qua T và vuông góc với DN → 2x − y − 7 = 0, lấy H (h; 2h − 7) ∈ HM −−→ −−→ Ta có DH = 3HB → D (3 + 4h; 8h − 19) ∈ DN → h = 2 → H (2; −3) và D (11; −3) 3 Đường thẳng AC đi qua H và vuông góc với BD → AC : x − 2 = 0 → N 2; 2 −−→ −−→ N là trung điểm của HC → C (2; 6) và HA = −3HC → A (2; −30) Huỳnh Đức Khánh : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Gọi M (0; 3) và N là trung điểm của AB và CD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm P sao cho BC = 2CP, 1 đường thẳng PN cắt BD tại điểm Q − ; −1 . Xác định tọa độ đỉnh B của hình chữ nhật ABCD 2 biết đường thẳng đi qua hai điểm M và N là (d) : 2x + y − 3 = 0. Lời giải tham khảo Gọi I là tâm ABCD và K, G là trung điểm của IN, BC NG PG 2 3 Ta có NG // BQ → = = → BQ = NG BQ PB 3 2 4 NG là đường trung bình ∆BCD → BD = 2NG → BD = BQ 3 → Q là trung điểm của ID → QI = QN → ∆QIN cân → QK ⊥ MN Phương trình QK qua Q và ⊥ MN → QK : 2x − 4y − 3 = 0 3 K là giao điểm của QK và MN → K ; 0 2 −−→ −→ −→ −→ Ta có MI = 2IK → MI = 2IK → I (1; 1) và IB = 2QI → IB = 2QI → B (4; 5) Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có phương trình AB : y − 1 = 0. Một đường thẳng song song với trung tuyến kẻ từ đỉnh C cắt các cạnh AB, AC, BC lần lượt tại D, E, F. Biết phương trình CD : 5x + 4y − 49 = 0 và N (8; 6) là tọa độ trung điểm của EF. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết E ∈ (d): x − 3y − 2 = 0. Lời giải tham khảo BD DF AD DE Ta có DF // MC → = (1), đồng thời MC // DE → = (2) www.mas.edu.vnBM MC AM MC BD AD DE DF AD + BD DE + DF Lấy (1) + (2) ta được + = + → = BM AM MC MC AM MC AB DF + DF + EF 2DF + 2NF → = → = 2 → MC = DN → MDNC là hình bình hành hay NC // AB AM MC MC D là giao điểm của AB và CD → D (9; 1), phương trình DE đi qua D và N → DE : 5x + 4y − 46 = 0 35 10 29 39 E là giao điểm của DE và (d) → E ; , N là trung điểm của EF → F ; 4 4 4 4 Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 23
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình CN đi qua N và song song với AB → CN : y − 6 = 0 → C (5; 6) Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H (−1; −1) và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I (2; 1). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết bán kính 4 đường tròn nội tiếp r = 2 và sin BAC\ = . 5 Lời giải tham khảo Huỳnh Đức Khánh : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M và N là trung điểm của AB và CD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm P, đường thẳng PN cắt BD tại điểm 1 Q − ; −1 . Đường thẳng đi qua hai điểm M và N là (d) : 2x + y − 3 = 0,đường thẳng PM đi 2 qua điểm E (7; −7). Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết điểm P thuộc đường thẳng (∆) : x + 5y − 2 = 0. Lời giải tham khảo Hình chữ nhật : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD gọi M là trung điểm của CD , H là hình chiếu của D lên AM, N là trung điểm AH. Gọi I là giao của hai đường chéo và 52 92 25 phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN là (C): x − + y − = . Xác định 2 2 2 tọa độ đỉnh B của hình chữ nhật ABCD biết D thuộc đường thẳng (d): x − 2y = 0 và hoành độ của D là số nguyên. Lời giải tham khảo Gọi K là trung điểm của DH → KN là đường trung bình ∆AHD IM là đường trung bình ∆ACD ⇒ KN // = IM → KNIM là h.b.h Xét ∆DNM có NK và DK là 2 đường cao → K là trực tâm ∆DNM → KM ⊥ DN → IN ⊥ DN (do IN // KM) → Tứ giác DNIM nội tiếp → D ∈ (C) → D = (C) ∩ (d) → D (2; 1) 5 9 Gọi E là tâmwww.mas.edu.vn của (C) → E ; , E là trung điểm của DI → I (3; 8), I là trung điểm BD → B (4; 15) 2 2 Hình thoi : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có điểm A thuộc đường thẳng có √ phương trình (d) : 2x − y − 1 = 0 và AC = 2BD. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của I (1; −2) √ lên AB và AD (I là giao điểm của AC và BD), HK cắt AC tại M biết HM = 2. Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C, D. Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 24
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Lời giải tham khảo Hình chữ nhật : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có 5AB = 6AD. Về phía ngoài của hình chữ nhật lấy điểm E thuộc đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC sao cho BE = BD. Cho phương trình đường thẳng DE (d): x + y − 8 = 0 và điểm F(7;4) là trung điểm của CD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết xA < 4 < xD. Lời giải tham khảo 5 Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có cos BAC\ = − và H 13 là trung điểm cạnh BC. Trên đoạn AH lấy điểm M sao cho HM = 2MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho 3BN = BC. Đường thẳng AN cắt đường thẳng BM tại điểm E, có phương trình đường thẳng CE là (d) : 3x − 11y = 0. Tìm tọa độ đỉnh A và C biết đỉnh B (−7; −9) và đỉnh A nằm trên đường thẳng (∆) : x + y − 1 = 0. Lời giải tham khảo Hình chữ nhật : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, phương trình đường thẳng AB : y − 2 = 0, điểm E thuộc cạnh AB sao cho 4AE = AB. Biết phương trình đường thẳng DE : 2x − y + 3 = 0, diện tích tam giác DEC bằng 9. Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD biết hoành độ điểm D âm. Lời giải tham khảo 1 E = AB ∩ DE → E − ; 2 , phương trình EM : 2x + 1 = 0 2 Lấy điểm D (d; 2d + 3) ∈ DE, có CD // AD → CD : y − 2d − 3 = 0 1 M = CD ∩ EF → M − ; 2d + 3 2 1 1 9 81 S = EM.CD = EM.4DM = 2EM.DM = 9 → EM.DM = → EM2.DM2 = DEC 2 2 2 4  2 d = 1 2 1 4 ⇔ 4 (2d + 1)www.mas.edu.vn. d + = 81 ⇔ (2d + 1) = 81 ⇔  → D (−2; −1) 2 d = −2 1 −−→ −−→ Với D(−2; −1) → M − ; −1 và DC = 4DM → DC = 4DM → C (4; −1) 2 Phương trình AD qua D và vuông với AB → AD : x + 2 = 0 → A(−2; 2) → B (4; 2). Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 25
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 7 14 19 Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D 4; và E ; lần lượt 2 5 10 là chân đường cao kẻ từ đỉnh A, B và N (3; 3) là trung điểm của cạnh AB. Tìm toạ độ A, B, C biết trung điểm M của cạnh BC thuộc đường thẳng (d): x − 3y − 1 = 0 và hoành độ điểm M lớn hơn 2. Lời giải tham khảo Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại C, có đường phân giác trong 7 7 3 5 AD điểm D ; − thuộc BC. Gọi E ; − và F lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho 2 2 2 2 AE = AF. Đường thẳng EF cắt cạnh BC tại điểm K. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và K là (d): x − 2y − 3 = 0 và điểm F có hoành độ nhỏ hơn 3. Lời giải tham khảo Gọi H = AD ∩ EF, ∆AEF cân có AH là phân giác ⇒ AD ⊥ EF Tứ giác FCDH nội tiếp ⇒ FCH[ = FDH[ (cùng chắn cung FH) Tứ giác KCHA nội tiếp ⇒ AKH[ = ACH[ (cùng chắn cung AH) ⇒ AKH[ = FDH[ ⇒ tứ giác MKCH nội tiếp (M = DF ∩ AK) ⇒ DMK\ = KHD[ = 90o hay AK ⊥ DF Phương trình DF qua D và vuông góc với AK ⇒ DF : 4x+2y−7 = 0 Phương trình đường thẳng DE đi qua D và E ⇒ DE : 2x + 4y + 7 = 0  AD : x + y = 0 ⇒ phương trình đường phân giác của DE và DF là  AD : x − y − 7 = 0 • Với AD : x + y = 0 ⇒ A là giao điểm của AD và AK ⇒ A (1; −1) Phương trình đường thẳng EF đi qua E và vuông góc với AD ⇒ EF : x − y − 4 = 0 5 3 F là giao điểm của DF và EF ⇒ F ; − www.mas.edu.vn2 2 Phương trình AC đi qua A và F ⇒ AC : x + 3y + 2 = 0, Phương trình AB đi qua A và E ⇒ AB : 3x + y − 2 = 0 Phương trình BC đi qua D và vuông góc với AC ⇒ BC : 3x − y − 14 = 0 8 B là giao điểm của AB và BC ⇒ B ; −6 , C là giao điểm của AC và BC ⇒ C (4; −2) 3 Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 26
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG • Với AD : x − y − 7 = 0 xét tương tự (trường hợp này loại ). Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm I. Điểm 31 1 M (2; −1) là trung điểm của cạnh BC và điểm E ; là hình chiếu vuông góc của B lên 13 13 đường thẳng AI. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng AC có phương trình (d) : 3x + 2y − 13 = 0. THPT Đặng Thúc Hứa - Lần 2 - 2015 Lời giải tham khảo Hạ AD ⊥ BC và gọi N là trung điểm của cạnh AB Khi đó tứ giác BDEA nội tiếp đường tròn đường kính AB → ngũ giác BNIEM nội tiếp đường tròn đường kính BI 1 → ENM\ = EBM[ = EBD[ = END[ 2 → MN là phân giác END[ lại có NE = ND → MN là trung trực của đoạn thẳng ED Đương thẳng MN đi qua M và song song với ED → MN : 3x + 2y − 4 = 0 → DE : 2x − 3y − 5 = 0 Ta có MN là trung trực của DE nên dễ dàng tính được D (1; −1) → phương trình BC : y + 1 = 0 C là giao của BC và AC → C (5; −1), M là trung điểm của BC → B (−1; −1) Phương trình AD đi qua D và vuông góc với BD → AD : x − 1 = 0 → A (1; 5). Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;4), tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong của góc ADB có phương trình (d): x − y + 2 = 0, điểm M (−4; 1) thuộc cạnh AC . Viết phương trình đường thẳng AB . www.mas.edu.vnLời giải tham khảo Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 27
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Gọi H và E lần lượt là giao điểm của (d) với AB và AC, Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với (d) cắt (d) tại F và cắt BC tại N → AN : x + y − 5 = 0 3 7 F là giao điểm của AN và (d) → F ; , F là trung điểm của AN → N (2; 3) 2 2 Tam giác ADN cân tại D → DAN[ = DNA[ , ta có NAB\ + BAD\ Và DNA[ = NAC[ + ACB[ (góc ngoài của tam giác) đồng thời BAD[ = ACB[ (cùng chắn cung AB) → NAB[ = NAC[ hay AN là phân giác góc BAC[ → ∆HAE cân tại H → FH = FE 7 11 Phương trình đường thẳng AC đi qua A và M → AC : 3x − 5y + 17 = 0 → E ; 2 2 1 3 F là trung điểm của HE → H − ; , phương trình AB đi qua A và H → AB : 5x − 3y + 7 = 0. 2 2 Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A và có đỉnh B (4; 1). Trên √ cạnh BC lấy điểm M 4 − 2 5; 1 sao cho AC = BM, qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt √ đường phân giác trong góc C tại điểm I, đường thẳng AI cắt BC tại điểm N −1 − 5; 1. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng AC đi qua điểm E (−5; 3). Huỳnh Đức Khánh Lời giải tham khảo IN MN Có MI // AB → = IA BM IN CN CI là phân giác trong của ∆ACN → = IA AC Theo giả thiết AC = BM → MN = CN → C(−6; 1) Phương trình AC đi qua C và E → AC : 2x − y + 13 = 0 Phương trình AB đi qua B và ⊥ AC → AB : x + 2y − 6 = 0 A là giao điểm của AC và AB → A (−4; 5) Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm www.mas.edu.vn√ I (1; −1) và có bán kính R = 29. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC, đường tròn 10 5 đường kính AH cắt AB và AC lần lượt tại M − ; và N (0; 3). Xác định tọa độ các đỉnh của 3 3 tam giác ABC. Huỳnh Đức Khánh Lời giải tham khảo Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 28
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG √ 2 29 Gọi K là trung điểm của AH, ta có MN = 3 √ 2 29 Ta có MAN\ = 90o → MN là đường kính của (K) → AH = 3   b2 + c2 = a2 = 116 b = Tam giác ABC có 116 → bc = ah = c = 3 Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có đỉnh A (−1; 4) và trực tâm H. Đường thẳng AH cắt cạnh BC tại điểm M, đường thẳng CH cắt cạnh AB tại điểm N. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN là I (2; 0), đường thẳng BC đi qua điểm P (1; −2). Xác định tọa độ các đỉnh B và C biết đỉnh B thuộc đường thẳng (d): x + 2y − 2 = 0. Lời giải tham khảo Ta có HNB[ = HMB\ = 90o → tứ giác BMHN nội tiếp → Tam giác HMN nội tiếp đường tròn đường kính BH → I là trung điểm của BH, lấy điểm B (2 − 2b; b) ∈ (d) I là trung điểm của BH → H (2b + 2; −b) −−→ −−→ AH là đường cao → AH ⊥ BC hay AH.BP = 0 → (2b + 3) (1 − 2b) + (−b − 4) (b + 2) = 0 ⇔ b2 + 2b + 1 = 0 ⇔ b = −1 Với b = −1 → B (4; −1) và H (0; 1), phương trình BC đi qua B và P → BC : x − 3y − 7 = 0 Phương trình CH đi qua H và vuông góc với AB → CH : x − y + 1 = 0 → C (−5; −4). Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại C nội tiếp đường tròn (T ). Gọi D (11; 8) là điểm đối xứng với A qua C, đường thẳng BD cắt (T ) tại điểm thứ hai là M, gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC, trên tia đối của tia CE lấy điểm F sao cho CE = CF. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDME biết đỉnh B (−1; 2) và điểm F thuộc đường thẳng (d) : 4x − 3y = 0. www.mas.edu.vnNgô Minh Ngọc Bảo Lời giải tham khảo Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 29
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ∆ABD có BC là đường cao và trung tuyến → ∆ABD cân tại B Có AM ⊥ BC → E là trực tâm ∆ABD → DE = AE → ∆AED cân tại E → ADE[ = DAE[ (2 góc ở đáy) ∆EDF có DC là đường cao và trung tuyến → ∆EDF cân tại D → DC là phân giác → ADE[ = ADF[ ⇒ ADE[ = ADF[ = DAE[ → AM // DF (2 góc so le trong) mà AM ⊥ BD → DF ⊥ BD Phương trình DF đi qua D và ⊥ BD → DF : 2x + y − 30 = 0 → F = DF ∩ (d) → F (9; 12) Phương trình đường thẳng BF đi qua B và F → BF : x − y + 3 = 0 Phương trình AC đi qua D và vuông góc với BF → x + y − 19 = 0 → C (8; 11) C là trung điểm của AD → A (5; 14). Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I) có bán kính √ 11 7 R = 10 và nhận điểm G ; làm trọng tâm tam giác ABC. Các điểm D (4; 4) và E (3; 1) lần 3 3 lượt là chân đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lời giải tham khảo Giả sử điểm H (a; b) là trực tâm của tam giác ABC Kéo dài AH cắt (I) tại N và BH cắt (I) tại M Dễ thấy D là trung điểm của HN → N (8 − a; 8 − b) Và E là trung điểm của HM → M (6 − a; 2 − a) −−→ −→ 33 − 3a 21 − 3b Ta có HG = 2GI → HG = 2GI → I ; 2 2 √ Theo giả thiết ta có IM = IN = R = 10 (1) √ DE là đường trung bình của ∆HMN → MN = 2DE = 2 20 (2) www.mas.edu.vn  MN 14 − 2a = 33 − 3a a = 19 Từ (1) và (2) → IM = IN = hay I là trung điểm của MN → → 2 10 − 2b = 21 − 3b b = 11 Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 30
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H và phương trình đường 7 tròn ngoại tiếp tam giác HBC là (C):(x − 3)2 + y2 = 5. Điểm M 4; là trung điểm của AB, 2 điểm H thuộc đường thẳng (d): x − 3y − 2 = 0 và có tung độ dương. Xác định tọa độc các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh C có hoành độ dương. Lời giải tham khảo Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và AH ∩ (I) = D Dễ dàng chứng minh được H và D đối xứng nhau qua BC → ∆HBC = ∆DBC → RHBC = RDBC √ Tứ giác ABDC nội tiếp (I) → RABC = RDBC hay RABC = RHBC = 5 Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC → K (3; 0) và H = (C) ∩ (d) → H (5; 1) I và K cùng thuộc trung trực của BC và KB = IB → K và I đối xứng nhau qua BC Gọi điểm C (a; b), ta có C ∈ (C) → (a − 3)2 + b2 = 5 (1) −−→ −−→ a + 8 b + 7 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC → CG = 2GM → CG = 2GM → G ; 3 3 −−→ −→ a + 3 b + 6 Ta có HG = 2GI → HG = 2GI → I ; → IC2 = (a − 3)2 + (b − 6)2 = 20 (2) 2 2 Hình chữ nhật : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Gọi M và N 16 lần lượt là trung điểm của AB và CD, đường thẳng BN cắt đường thẳng AC tại điểm E ; 1 , 3 phương trình đường thẳng CM là x − 3y + 1 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉnh C có hoành độ nhỏ hơn 3. mathlinks - 36/50 Lời giải tham khảo Ta có AB = 2BC và M, N là trung điểm của AB và CD → BM = BC = CN → MBCN là hình vuông → CM ⊥ BN → phương trình BN đi qua E và vuông góc với CM → BN : 3x + y − 17 = 0 Gọi G là tâmwww.mas.edu.vn của hình vuông MBCN → G = CM ∩ BN → G (5; 2) −−→ −−→ Dễ thấy E là trọng tâm của tam giác MNC → NE = 2EG → NE = 2EG → N (6; −1) G là trung điểm của BN → B (4; 5), gọi điểm C (3a − 1; a) ∈ CM, ta có GC = GN " a = 3 → (3a − 6)2 + (a − 2)2 = 10 ⇔ (a − 2)2 = 1 ⇔ → C (2; 1) a = 1 N là trung điểm của CD → D (10; −3) → A (12; 1) Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 31
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Hình thoi : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có BD = 2AC và đường chéo BD có phương trình (d): x − y = 0. Gọi M là trung điểm của CD và H (2; −1) là hình chiếu của A trên BM. Viết phương trình đường thẳng AH. Lời giải tham khảo Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ B và C xuống 16 2 các cạnh đối diện lần lượt là K (−2; 2) và E (2; 2). Điểm P ; − là hình chiếu của E xuống 5 5 cạnh BC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lời giải tham khảo Phương trình đường thẳng BC đi qua P và vuông góc với EP → BC : x − 2y − 4 = 0 Phương trình trung trực của EK là (d): x = 0, (d) ∩ BC = M (0; −2) là trung điểm của BC (do tứ giác BEKC nội tiếp đường tròn đường kính BC → tâm là trung điểm của BC) " b = 0 Lấy điểm B (2b + 4; b) ∈ ta có BM = ME → (2b + 4)2 + (b + 2)2 = 20 ⇔ (b + 2)2 = 4 ⇔ b = −4 • Với b = 0 → B (4; 0) → C (−4; −4), phương trình đường thẳng AB : x + y − 4 = 0 Phương trình đường thẳng AC : 3x − y + 8 = 0 → A (−1; 5) • Với b = −4 → B (−4; −4) → C (4; 0), phương trình đường thẳng AB : x − y = 0 Phương trình đường thẳng AC : x + 3y − 4 = 0 → A (1; 1) Hình bình hành : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có tam giác ABD nội tiếp đường tròn tâm I (0; 1). Đường chéo AC cắt đường tròn (I) tại điểm M (−5; −4), gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và D lên các cạnh AD và AB. Xác định tọa độ các đỉnh của hình bình hành biết phương trình đường thẳng EF là (d) : 5x + 5y − 7 = 0. Nguyễn Đại Dương www.mas.edu.vnLời giải tham khảo Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A và N là trung điểm của 11 13 đoạn thẳng AB. Gọi E (7; 1) và F ; lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B và C của 5 5 tam giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình đường thẳng CN là (d) : 2x + y − 13 = 0. Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 32
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Lời giải tham khảo Gọi M là trung điểm của BC, do ∆ABC cân tại A nên AM là trung trực của EF → AM : 3x − y − 12 = 0 Gọi G là trọng tâm ∆ABC → G = CN ∩ AM → G (5; 3) Lấy điểm A (a; 3a − 12) ∈ AM và C (c; 13 − 2c) ∈ CN, do G là trọng tâm → B (15 − a − c; 8 − 3a + 2c) −−→ −−→ ∆ABC cân tại A → AM ⊥ BC → BC.AM = 0 ⇔ 15 − a − 2c + 3 (−5 − 3a + 4c) = 0 ⇔ a = c (1) −−→ −−→ Mặt khác EB ⊥ EC → EB.EC = 0 ⇔ (8 − a − c)(c − 7) + (7 − 3a + 2c) (12 − 2c) = 0 (2) Từ (1) và (2) → a = c = 7 → A (7; 9) ; B (1; 1) và C (7; −1). Hình chữ nhật : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường chéo BD là : 5x − y − 7 = 0 và đỉnh A thuộc đường thẳng (d): x − y + 1 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết điểm M (1; 4) là trung điểm của cạnh CD và điểm A có hoành độ dương, điểm D có hoành độ nguyên. Lời giải tham khảo Gọi I là tâm của hình chữ nhật ta có AD = 2MI và AB = 2DM Gọi E và N là hình chiếu của A và M lên đường chéo BD 1 1 1 1 1 1 Xét ∆ABD có = + = + AE2 AD2 AB2 4 MI2 DM2 1 1 1 1 1 Xét ∆MID có = + → = → AE = 2MN MN2 MI2 DM2 AE2 4MN2 Hay d (A; BD) = 2d (M; BD), lấy điểm A (a; a + 1) ∈ (d) " |5a − a − 1 − 7| 2.6 a = 5 → √ = √ ⇔ |4a − 8| = 12 ⇔ → A (5; 6) 26 26 a = −1 −−→ −−→ Lấy điểm D (d; 5d − 7) ∈ BD ta có AD ⊥ MD → AD.MD = 0  37 d = → (d − 5) (d − 1) + (5d − 13) (5d − 11) = 0 ⇔ 26d2 − 126d + 148 = 0 ⇔  13 → D (2; 3) d = 2 M là trung điểmwww.mas.edu.vn của CD → C (0; 5) → B (3; 8). Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có hình chiếu vuông góc của điểm A lên cạnh BC là điểm H (4; 5). Kéo dài đường thẳng AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm D, đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD có phương trình (C):(x − 3)2 + (y − 3)2 = 5. Biết đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm M (7; 5) và đỉnh A thuộc đường thẳng (d) : 3x−y +5 = 0 hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lời giải tham khảo Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 33
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Gọi K là tâm của đường tròn (C) → K (3; 3), KH ∩ AC = N Ta có ACB[ = ADB[ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB) ∆DHK cân tại K → ADB[ = DHK[ (2 góc ở đáy của tam giác cân) Ta có DHK[ + CHN[ = 90o → ACB[ + CHN[ = 90o hay AC ⊥ HK → Phương trình AC qua M và ⊥ HK → AC : x + 2y − 17 = 0 A = AC ∩ (d) → A (1; 8) → phương trình BC : x − y + 1 = 0 B là giao điểm thứ hai của BC và (C) → B (1; 2) và C (5; 6) Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC và điểm 5 5 I ; là trung điểm của cạnh BC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = AB. gọi E (1; 1) là 2 2 trung điểm của AM và đỉnh C thuộc đường thẳng (d): x − 2y − 4 = 0. Xác định tọa độ đỉnh A của tam giác ABC. k2pi.net.vn - Lần 11 - 2015 Lời giải tham khảo Gọi D là điểm đối xứng của A qua I → ABDC là hình chữ nhật Xét ∆DCM có Cb = 90o và CD = CM → ∆DCM vuông cân Có IE là đường trung bình trong ∆ADM → IE // DM → IEM[ = 45o Phương trình EI qua E và I → EI : x − y = 0 " AC : x − 1 = 0 Phương trình AC qua E và tạo với EI góc 45o → AC : y − 1 = 0 3 • Với AC : x − 1 = 0 → C 1; − → [IEC = 135o (loại) 2 • Với AC : y − 1 = 0 → C (6; 1) → [IEC = 45o (thỏa mãn) " 52 52 58 a = 6 A ∈ AC → A (a; 1) có IA = IC → a − + 1 − = ⇔ → A (−1; 1) www.mas.edu.vn2 2 4 a = −1 Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có cạnh AC đi qua điểm M (0; −1) thỏa mãn AB = 2AM. Đường phân giác trong góc A có phương trình x − y = 0 và đường cao CH có phương trình 2x + y + 3 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lời giải tham khảo Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 34
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Hình vuông : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABDC có tâm I. Trọng tâm các tam 4 7 5 giác ABC và IBC lần lượt là G ; 2 và K ; . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông 3 3 3 ABCD biết tâm I có tọa độ nguyên. Lời giải tham khảo Gọi M là trung điểm của BC, K là trọng tâm ∆IBC → IK = 2KM G là trọng tâm ∆ABC → AG = 2GM → GK//IA Ta có IA ⊥ IB → GK ⊥ IB và BIM[ = 45o → ∆IGK vuông cân tại G → phương trình BD : 3x − y − 2 = 0 Ta có IG = GK và I ∈ BD → I (1; 1) Ta có BG = 2GI → B (2; 4) → D (−2; 0), IK = 2KM → M (3; 2) Đồng thời AG = 2GM → A (−2; 2) → C (4; 0) Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A (−1; 3). Gọi D là một điểm 1 3 nằm trên AB sao cho AB = 3AD và H là hình chiếu của B lên CD. Điểm M ; − là trung điểm 2 2 của HC. Xác định tọa độ điểm C biết B nằm trên đường thẳng (d): x + y + 7 = 0. Lời giải tham khảo Từ B kẻ By ⊥ BC và từ A kẻ AF ⊥ By (F ∈ By) Qua M kẻ đường thẳng // với BC cắt BH tại K Có MH = MC và MK // BC → BC = 2MK (đường trung bình) Gọi N = By ∩ AC. Xét ∆IBC vuông tại B có AB = AC → AC = AN, đồng thời AF // BC → BC = 2AF (đường trung bình) Do đó AFKM là hình bình hành → AM // FK Xét tam giácwww.mas.edu.vn NBC có BA là trung tuyến và AB = 3AD → D là trọng tâm tam giác NBC → D ∈ CF hay C, D, F thẳng hàng Xét ∆BFM có BH và KM là hai đường cao → K là trực tâm ∆BFM → FK ⊥ BM hay AM ⊥ BM Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 35
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có trực tâm H. Gọi D (−2; 0) 11 3 và E ; − lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A và B lên BC và AC. Xác định tọa độ các 5 5 đỉnh của tam giác ABC biết trung điểm của AH thuộc đường thẳng (d): x − y + 2 = 0. Lời giải tham khảo Gọi I là trung điểm của AH, do ∆ABC cân tại A → DB = DC Tam giác BDE cân tại D → DBE[ = DEB[ (1) Từ giác ABDE nội tiếp → DBE[ = DAE[ (2) Tam giác AIE cân tại I → DAE[ = [IEA (3) Từ (1); (2) và (3) → DEB[ = [IEA Ta có [AEI + [IEB = 90o → DEB[ + [BEI = 90o hay DE ⊥ EI Phương trình EI qua E và ⊥ DE → EI : 7x − y − 16 = 0 → I (3; 5) Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AB = 2BC và đỉnh A (3; 1). Phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến đi qua đỉnh B là : x + y − 2 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết góc ABC[ = 120o và đỉnh B có hoành độ lớn hơn 1. Lời giải tham khảo Gọi N là trung điểm của AB → BC = 2MN → BN = AN = 2MN → ANM\ = ABC[ = 120o → MNB\ = 60o Xét ∆BMN có BM2 = BN2 + MN2 − 2.BN.MN. cos BNM\ = 3MN2 → BN2 = 4MN2 = MN2 + 3MN2 = MN2 + BN2 → ∆BMN vuông tại M hay MN ⊥ BM → BM ⊥ BC √ √ √ Hạ AD ⊥ BM → AD = d (A; BM) = 2 → BC = 2 → AB = 2 2 " √ b = 2 − 3 Lấy điểm B (b; 2 − b) ∈ AB2 = (b − 3)2 + (1 − b)2 = 8 ⇔ 2b2 − 8b + 2 = 0 ⇔ √ www.mas.edu.vnb = 2 + 3 √ √ Do B có hoành độ lớn hơn 1 → B 2 + 3; 3 Phương trình AD qua A và vuông với BM → AD : x − y − 2 = 0 → D (2; 0) √ √ ! 4 + 3 3 √ √ M là trung điểm của DB → M ; , M cũng là trung điểm của AC → C 1 + 3; 3 − 1 2 2 Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 36
maths287 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC và đỉnh C (4; −3). Gọi M là trung điểm của BC, qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC trên đường √ thẳng đó lấy điểm E sao cho ME = MB (A và E khác phía đối với BC) và AE = 7 2. Xác định tọa độ đỉnh B biết đường thẳng AE có phương trình (d): x − y − 1 = 0 và điểm A có hoành độ âm. Huỳnh Đức Khánh Lời giải tham khảo Ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, ME = MB → E ∈ (M) → BEC[ = 90o → ∆BEC vuông tại E ME là đường cao và trung tuyến → ∆BEC vuông cân tại E → CBE[ = EAC[ = 45o (cùng chắn cung EC) Và BCE[ = BAE[ = 45o (cùng chắn cung BE) → EAB[ = EAC[ = 45o → AE là phân giác góc BAC[ √ √ Hạ CN ⊥ AE → CN = d (C; AE) = 3 2 → AC = CN 2 = 6 Lấy điểm A (a; a − 1) ∈ AC2 = (a − 4)2 + (a + 2)2 = 36 → a = −2 → A (−2; −3) Phương trình đường thẳng AB đi qua A và ⊥ AC → AB : x + 2 = 0 √ √ Xét ∆AEC có EC2 = AE2 + AC2 − 2.AC.AE. cos EAC[ = 50 → CE = 5 2 → BC = CE 2 = 10 " " b = 5 B(−2; 5) Lấy điểm B (−2; b) ∈ AB → BC2 = 36 + (b + 3)2 = 100 → → a = −11 B(−2; −11) Do B và C nằm về 2 phía khác nhau với đường thẳng AE → B (−2; 5) www.mas.edu.vn Biên soạn: Nguyễn Minh Tiến 37