Chuyên đề ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 2: Khảo sát hàm số

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 2: Khảo sát hàm số

1. Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ Chuyên đề 2 KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT 1. KHẢO SÁT HÀM BẬC BA: y = ax3+bx2+cx+d Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 – 4. x 3 Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x2 x 1 3 Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x 3 3x2 4x 2 Giải Ví dụ 1: Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS Tập xác định D = Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y’ = 3x2 + 6x Bước 2:Tìm y’ và lập phương trình y’ = 0 3x2 + 6x = 0 x(3x + 6) = 0 y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có thì ghi ra x = 0; x = - 2 nếu vô nghiệm thì nêu vô nghiệm – vì chủ yếu là để Tìm dấu của y’ sử dụng trong bảng biến thiên Giới hạn: lim y ; lim y Bước 3:Chỉ cần tìm giới hạn của số x x hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm lim x3 ?? hoặc lim ( x3 ) ?? x x Bảng biến thiên: Bước 4:BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: dành cho x, y’ và y x -∞ -2 0 +∞ y' + 0 - 0 + y 0 +∞ CT CĐ -∞ - 4 Điểm cực đại: x = - 2 ; y = 0 Bước 5:Phải nêu điểm cực đại; Điểm cực tiểu: x = 0; y = -4 điểm cực tiểu (nếu không có thì y’’ = 6x + 6 không nêu ra) (Điểm uốn cần thiết y’’ = 0 6x + 6 = 0 x = 1 ( điểm uốn I(1;-2)) khi giúp vẽ đồ thị của hàm số không cực trị) Đồ thị hàm số: Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo trang 1
2. Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ Giao điểm với Ox: thứ tự gợi ý sau:  Vẽ hệ trục tọa độ Oxy y = 0 x = -2; x = 1  Xác định các điểm cực đại, cực Giao điểm với Oy: tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy x = 0 y = - 4  Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số) Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3 y y y y I I I I O x O x O x O x a > 0 a 0 a < 0 Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ? Dạng 2: hàm số không có cực trị ? 2. KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG : y = ax4+bx2+c Ví dụ 4: Khảo sát hàm số y = x4 - 2x2 – 3. x4 3 Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x2 2 2 Ví dụ 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x4 2x2 2 Giải Ví dụ 4: Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS Tập xác định D = Bước 1:Tìm tập xác định của hàm số y’ = 4x3 - 4x Bước 2: tính y’ và xét dấu ý y’ = 0 4x3 - 4x = 0 x(4x2 – 4) = 0 x = 0; x = 1; x = - 1 Giới hạn: lim y ; lim y Bước 3: Chỉ cần tìm giới hạn x x của số hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm lim x4 ?? x trang 2
3. Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ Bảng biến thiên: Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: dành cho x, y’ và y x -∞ -1 0 1 +∞ y' - 0 + 0 - 0 + y +∞ CT -3 CT +∞ CĐ -4 -4 Điểm cực đại: x = 0 ; y = -3 Bước 5: Phải nêu các điểm Điểm cực tiểu: x = -1; y = -4 cực đại; các điểm cực tiểu x = 1; y = -4 Đồ thị hàm số: Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau: Giao điểm với Ox:  Vẽ hệ trục tọa độ Oxy x = ; y = 0  Xác định các điểm cực đại, x = - ; y = 0 cực tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy Giao điểm với Oy:  Dựa vào BBT và dạng đồ x = 0 ; y = - 3 thị để vẽ đúng dạng (tham khảo các dạng đồ thị ở sau đây) Học sinh giải ví dụ 5 và ví dụ 6- Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương y y y y O x O x O x O x a > 0 a 0 a < 0 Dạng 1: hàm số có 3 cực trị pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân Dạng 1: hàm số có 1 cực trị pt y’ = 0 có 1 nghiệm biệt duy nhất x = 0 ax b 3. KHẢO SÁT HÀM NHẤT BIẾN: y ( tử và mẫu không có nghiệm chung) cx d x 2 Ví dụ 7: Khảo sát hàm số y . x 1 x 2 Ví dụ 8: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y 2x 1 trang 3
4. Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ 1 2x Ví dụ 9: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y 2x 4 Giải Ví dụ 7: Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS Tập xác định D = \{-1} Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số 3 Bước 2:Tìm y’ và dựa vào tử số y’ = < 0 x D. (x 1)2 để khẳng định luôn luôn âm (hay luôn luôn dương) từ đó suy ra: Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định Hàm số luôn luôn giảm ( hay luôn luôn tăng ). Giới hạn và tiệm cận: Bước 3: Hàm số luôn có 2 tiêm Tiệm cận đứng x = - 1 vì lim y ; lim y cận là tiệm cân đứng và tiệm cận x 1 x 1 ngang Tiệm cận ngang: y = - 1 vì lim y 1 lim y 1 x x Bảng biến thiên: Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: x -∞ -1 +∞ y' - - y -1 +∞ -∞ -1 Hàm số không có cực trị Bước 5:luôn không có cực trị Đồ thị hàm số: Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau: Giao điểm với Ox: y = 0 x = 2  Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác Giao điểm với Oy: x = 0 y = 2 định giao điểm với Ox,Oy.  Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và ngang.  Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số) Học sinh giải ví dụ 8 và ví dụ 9 Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến y y trang 4 I I O x O x Dạng 1: hsố đồng biến Dạng 2: hsố nghịch biến
5. Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ BÀI TẬP 1. Hàm số bậc ba: y ax3 bx2 cx d a 0 Bài 1. Cho hàm số y x3 3x 2 (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương x3 3x 2 m 0. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 2;4 . 1 d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x . 2 e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ y 0 . Bài 2. Cho hàm số y x3 3x2 4 (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương x3 3x2 m 0 . 1 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là x . 2 9 d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k . 4 e) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d :y 3x 2012. Bài 3. Cho hàm số y 4x3 3x 1 (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 3 b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực phương rình:x3 x m 0 4 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 15 d :y x 2012 1 9 trang 5
6. Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x d :y 2012 2 72 e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. Bài 4. Cho hàm số y 2x3 3x2 1 (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2 d :y x 2012 1 3 c) Viết phương trình đường thẳng đi qua M 2;3 và tiếp xúc với đồ thị (C). d) Tìm m để đường thẳng d2 :y mx 1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt . e) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). Bài 5. Cho hàm số y x3 3 m 1 x2 3x 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số khi m 1 . b) Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình: x3 6x2 3x 2k 0 . c) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu . d) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x 2 . e) Tìm m để hàm số luôn giảm trên tập xác định. 3 Bài 6. Cho hàm số y 4x 3 m 1 x 1 Cm a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C0) của hàm số khi m 0 . b) Dựa vào đồ thị (C0) biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình: 4x3 3x k 0 c) Tìm m để họ đồ thị (Cm) có hai cực trị . d) Tìm m để họ đồ thị (Cm) đạt cực tiểu tại x 1 e) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của họ đồ thị (Cm). 3 Bài 7. Cho hàm số y x – mx m 2 có đồ thị là Cm a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3. b) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x – k 1 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D):y 3 . d) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x 2 . Bài 8 Xác định tham số m để hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M1(x1;y1), M2(x2;y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. y y Chứng minh rằng : 1 2 = 2. Kết quả : m < 1 (x1 x2)(x1x2 1) trang 6
7. Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ Bài 9 Tìm tham số m để hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x1, x2 và khi đó x2 – x1 không phụ thuộc tham số m. Kết quả : m và x2 – x1 = 1 x3 x2 Bài 10 Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): y 2x 3 2 13 1 và đường thẳng (d): y m(x ) . 12 2 27 27 KQ: 1 giao điểm ( m ), 3 giao điểm ( m > ) 12 12 2. Hàm số trùng phương : y ax 4 bx2 c , a 0 Bài 1. Cho hàm số y x 4 2x2 (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x 4 2x2 m c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x 2 . d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y 8 . e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 . Bài 2. Cho hàm số y x 4 2x2 1 (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x 4 2x2 m . c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x 2 . d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y 9 . e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 Bài 3. Cho hàm số y x 4 x2 1 (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x 4 2x2 m . 21 c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y . 16 d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d1 :y 6x 2012 e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường 1 thẳng d :y x 2012 . 2 6 1 Bài 4. Cho hàm số y x 4 2x2 1 (C) 4 trang 7
8. Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Tìm m để phương trình x 4 8x2 4 m có 2 nghiệm thực phân biệt . c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 1 . d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng. d :8x 231y 1 0 e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục Ox và các đường thẳng x 1; x 1 . Bài 5. Cho hàm số y x 4 2x2 3 (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình x 4 2x2 8 . c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung . d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3 . e) Tìm m để đường thẳng d :y mx 3 cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt . x 4 5 Bài 6. Cho hàm số y 3mx2 m (1) 2 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 1 . b) Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình x 4 6x2 k 0 . x 4 c) Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình 3x2 4 . 2 d) Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x 3 . e) Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị . Bài 7. Cho hàm số y mx 4 m2 9 x2 10 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 1 . b) Tìm k để phương trình x 4 8x2 10k 0 có hai nghiệm thực phân biệt . c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d :2x 45y 1 0 . d) Tìm m để hàm số có một điểm cực trị . e) Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị . ax b 3. Hàm số hữu tỉ : y cx d 2x 1 Bài 1. Cho hàm số y (C) x 1 a) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 1 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x . 2 trang 8
9. Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ 1 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y . 2 d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k 3 . 5 e) Tìm m để đường thẳng d :y mx 2m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt . 3 x 1 Bài 2. Cho hàm số y (C) x 1 a) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 1 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y . 2 c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường 9 thẳng. d :y x 2012 1 2 d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường 1 thẳng. d :y x 1 2 8 1 e) Tìm m để đường thẳng cắtd đồ:y thịm (C)x 2tạim 2 điểm phân biệt có 3 3 hoành độ âm . x 1 Bài 3. Cho hàm số y (C) x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành . c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung . d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường 8 1 thẳng. d :y x 1 9 3 1 e) Tìm m để đường thẳng cắtd đồ:y thịm (C)x 2tạim 2 điểm phân biệt có 2 3 hoành độ dương . x 2 Bài 4. Cho hàm số y (C) 2 x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ hai (y x ). c) Tìm m để đường thẳng đồd1 thị:y (C)m xtại 3hai m điểm A, B phân biệt . d) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên . trang 9
10. Gia sư Trí Thức Việt Bệ phóng của những ước mơ e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. x 2 Bài 5. Cho hàm số y có đồ thị (C). x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) có phương trình y x 1 . c)Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ.x 2 d) Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2;3] e)Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên. x 3 Bài 6. Cho hàm số y có đồ thị (C). 2x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung. c) CMR đường thẳng d:y x m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt. d) Tìm giao điểm của (C) và đường thẳng (d) có phương trình y 2x 1 . (m 1)x m Bài 7. Cho hàm số y (m 0 ) và có đồ thị là (Cm ) x m a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C2). b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C2), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x 3,x 4. c) Tìmm để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó. trang 10