›
›
›

Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 3: Phương trình mặt phẳng

pdf 38 trang thungat 1890
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 3: Phương trình mặt phẳng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_cuong_on_tap_mon_toan_lop_12_chu_de_3_phuong_trinh_mat_ph.pdf

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 3: Phương trình mặt phẳng

  1. CHỦ ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. TỔNG HỢP LÝ THUYẾT I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Vectơ n 0 là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n vuông góc với mặt phẳng () Chú ý:  Nếu n là một VTPT của mặt phẳng () thì kn (k 0) cũng là một VTPT của mặt phẳng () .  Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.  Nếu u, v có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng () thì n [,] u v là một VTPT của () . II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng  Trong không gian Oxyz , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình: Ax By Cz D 0 với ABC2 2 2 0  Nếu mặt phẳng () có phương trình Ax By Cz D 0 thì nó có một VTPT là n(;;) A B C .  Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(;;) x 0 y 0 z 0 và nhận vectơ n(;;) A B C khác 0 là VTPT là: A( x x0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0 . Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng () : Ax By Cz D 0 với ABC2 2 2 0  Nếu D 0 thì mặt phẳng () đi qua gốc tọa độ O .  Nếu ABC 0, 0, 0 thì mặt phẳng () song song hoặc chứa trục Ox .  Nếu ABC 0, 0, 0 thì mặt phẳng () song song hoặc chứa trục Oy .  Nếu ABC 0, 0, 0 thì mặt phẳng () song song hoặc chứa trục Oz .  Nếu ABC 0, 0 thì mặt phẳng () song song hoặc trùng với Oxy .  Nếu ACB 0, 0 thì mặt phẳng () song song hoặc trùng với Oxz .  Nếu BCA 0, 0 thì mặt phẳng () song song hoặc trùng với Oyz . Trang 1/40
  2. Chú ý:  Nếu trong phương trình () không chứa ẩn nào thì () song song hoặc chứa trục tương ứng. x y z  Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn : 1 . Ở đây () cắt các trục tọa độ a b c tại các điểm a;0;0 , 0;b ;0 , 0;0;c với abc 0. III. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Trong không gian Oxyz , cho điểm M0(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và mặt phẳng :Ax By Cz D 0 Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng () được tính: |Ax0 By 0 Cz 0 D | d( M 0 ,( )) ABC2 2 2 IV. Góc giữa hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng :A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 và  :A2 x B 2 y C 2 z D 2 0.   Góc giữa và  bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n , n  . Tức là:     n. n  AABBCC1 2 1 2 1 2 cos ,  cosn , n    2 2 2 2 2 2 n . n  ABCABC1 1 1. 2 2 2 V. Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó. Phương pháp giải Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm M0 x 0;; y 0 z 0 và song song với 1 mặt phẳng  :Ax By Cz D 0 cho trước. Phương pháp giải Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:  1. VTPT của  là n A;;. B C   2. //  nên VTPT của mặt phẳng là n n  A;;. B C 3. Phương trình mặt phẳng : A x x0 B y y 0 C z z 0 0. Cách 2: 1. Mặt phẳng //  nên phương trình P có dạng: Ax By Cz D 0 (*), với DD . 2. Vì P qua 1 điểm M0 x 0;; y 0 z 0 nên thay tọa độ M0 x 0;; y 0 z 0 vào (*) tìm được D . Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A , B , C không thẳng hàng. Phương pháp giải   1. Tìm tọa độ các vectơ: AB,. AC Trang 2/40
  3.    2. Vectơ pháp tuyến của là : n AB,. AC 3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C ).  4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT n . Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng Phương pháp giải 1. Tìm VTCP của là u .   2. Vì  nên có VTPT n u .  3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT n . Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng , vuông góc với mặt phẳng  . Phương pháp giải  1. Tìm VTPT của  là n .  2. Tìm VTCP của là u .    3. VTPT của mặt phẳng là: n n;. u  4. Lấy một điểm M trên . 5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng  . Phương pháp giải  1. Tìm VTPT của  là n .  2. Tìm tọa độ vectơ AB.    3. VTPT của mặt phẳng là: n n,. AB  4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với ( , chéo nhau). Phương pháp giải   1. Tìm VTCP của và là u và u '.    2. VTPT của mặt phẳng là: n u,. u 3. Lấy một điểm M trên . 4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và 1 điểm M Phương pháp giải   1. Tìm VTCP của là u , lấy 1 điểm N trên . Tính tọa độ MN.    2. VTPT của mặt phẳng là: n u;. MN 3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau và . Phương pháp giải   1. Tìm VTCP của và là u và u '.    2. VTPT của mặt phẳng là: n u;. u ' Trang 3/40
  4. 3. Lấy một điểm M trên . 4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 song song và . Phương pháp giải   1. Tìm VTCP của và là u và u , lấy MN ,.    2. VTPT của mặt phẳng là: n u;. MN 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M và song song với hai đường thẳng và chéo nhau cho trước. Phương pháp giải   1. Tìm VTCP của và ’ là u và u '.    2. VTPT của mặt phẳng là: n u;. u 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng PQ , cho trước. Phương pháp giải   1. Tìm VTPT của P và Q là nP và nQ .    2. VTPT của mặt phẳng là: n n;. n PQ 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng  và cách  :Ax By Cz D 0 một khoảng k cho trước. Phương pháp giải 1. Trên mặt phẳng  chọn 1 điểm M . 2. Do //  nên có phương trình Ax By Cz D 0 ( DD ). 3. Sử dụng công thức khoảng cách d ,,  d M  k để tìm D . Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng  :Ax By Cz D 0 cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước. Phương pháp giải 1. Do //  nên có phương trình Ax By Cz D 0 ( DD ). 2. Sử dụng công thức khoảng cách d M, k để tìm D . Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S . Phương pháp giải 1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu S . 2. Nếu mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S tại MS thì mặt phẳng đi qua  điểm M và có VTPT là MI. 3. Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm được VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax By Cz D 0 ( D chưa biết). Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d I, R để tìm D . Trang 4/40
  5. Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và tạo với một mặt phẳng  :Ax By Cz D 0 cho trước một góc cho trước. Phương pháp giải  1. Tìm VTPT của  là n .  2. Gọi n ( A ; B ; C ).    (;)n n  3. Dùng phương pháp vô định giải hệ:   n n  u 4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. VI. Các ví dụ Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ()P đi qua điểm A(1;0; 2) và có vectơ pháp tuyến n(1; 1;2) . Lời giải Mặt phẳng ()P đi qua điểm A(1;0; 2) và có vectơ pháp tuyến n(1; 1;2) có phương trình là: 1(x 1) 1( y 0) 2( z 2) 0 x y 2 z 3 0 . Vậy phương trình mặt phẳng ()P là: x y 2 z 3 0 . Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ()P đi qua điểm M (0;1;3) và song song với mặt phẳng (Q ) : 2 x 3 z 1 0 . Lời giải Mặt phẳng ()P song song với mặt phẳng (Q ) : 2 x 3 z 1 0 nên mặt phẳng ()P có phương trình dạng: 2x 3 z D 0 ( D 1) . Mặt phẳng ()P đi qua điểm M (0;1;3) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn. Ta được: 2.0 3.3 DD 0 9 (thỏa mãn D 1 ). Vậy phương trình mặt phẳng ()P là: 2x 3 z 9 0 . Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;0; 2), B(1;1;1), C(0; 1;2) . Lời giải     Ta có: AB (0;1;3), AC ( 1; 1:4) AB, AC (7; 3;1) . Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()ABC ta có  n AB    nên n cùng phương với AB, AC . n AC Chọn n (7; 3;1) ta được phương trình mặt phẳng ()ABC là: 7(x 1) 3( y 0) 1( z 2) 0 7x 3 y z 5 0 . Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm O và vuông x t góc với đường thẳng d: y 1 2 t z 2 t . Lời giải  Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ud (1;2;1). Mặt phẳng () vuông góc với đường thẳng d nên () có một vectơ pháp tuyến là:   n ud (1;2;1) . Trang 5/40
  6. Đồng thời () đi qua điểm O nên có phương trình là: x 2 y z 0 . Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng x t d: y 1 2 t và vuông góc với  :x 2 y z 1 0. z 2 t . Lời giải  Đường thẳng d đi qua điểm A 0; 1;2 và có VTCP là: ud ( 1;2;1).  Mặt phẳng  có VTPT là n 1;2; 1 . Mặt phẳng () chứa đường thẳng d và vuông góc với  nên () có một vectơ pháp tuyến    là: n u, n 4;0; 4 4 1;0;1 . d  Phương trình mặt phẳng là: x z 2 0 . Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm AB(1;2; 2), (2; 1;4) và vuông góc với  :x 2 y z 1 0. Lời giải  Có AB 1; 3;6  Mặt phẳng  có VTPT là n 1; 2; 1 . Mặt phẳng () chứa A, B và vuông góc với  nên () có một vectơ pháp tuyến là:    n AB, n 15;7;1 .  Phương trình mặt phẳng là: 15x 7 z 1 27 0 . Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ()P chứa đường thẳng x 1 x 1 y z 1 d1 : y 1 2 t và song song với đường thẳng d2 : . 1 2 2 z 1 t Lời giải  Đường thẳng d1 đi qua điểm M 1 (1;1;1) vectơ chỉ phương u1 (0; 2;1) .  Đường thẳng d2 đi qua điểm M 2 (1;0;1) vectơ chỉ phương u2 (1;2; 2) .   Ta có u, u ( 6;1;2) . 1 2 Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()P , ta có:  n u    1 nên n cùng phương với u, u . 1 2 n u2 Chọn n ( 6;1; 2) . Mặt phẳng ()P đi qua điểm M 1 (1;1;1) và nhận vectơ pháp tuyến n ( 6;1; 2) có phương trình: 6(x 1) 1( y 1) 2( z 1) 0 6x y 2 z 3 0 . Thay tọa độ điểm M 2 vào phương trình mặt phẳng ()P thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình mặt phẳng ()P là: 6x y 2 z 3 0 . Trang 6/40
  7. Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng x 1 d: y 1 2 t và điểm M ( 4;3;2). z 1 t Lời giải  Đường thẳng d đi qua điểm N (1;1;1) vectơ chỉ phương ud (0; 2;1) .  MN 5; 2; 1 . Mặt phẳng () chứa đường thẳng d và điểm M nên () có một vectơ pháp tuyến là:    n u, MN 4;5;10 . d Phương trình mặt phẳng là: 4x 5 y 10 z 19 0 . Ví dụ 9. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ()P chứa đường thẳng x 1 x 1 3 t d1 : y 1 2 t và d2 : y 1 2 t . z 1 t z 1 t Lời giải  Đường thẳng d1 đi qua điểm M 1 (1;1;1) vectơ chỉ phương u1 (0; 2;1) .  Đường thẳng d2 đi qua điểm M 2 (1;1;1) vectơ chỉ phương u2 (3; 2;1) .    Ta có u, u 0;3;6 , MM 0;0;0 1 2 1 2    Do M M u, u 0 nên đường thẳng d, d cắt nhau. 1 2 1 2 1 2 Mặt phẳng () chứa đường thẳng d1, d 2 cắt nhau nên () có một vectơ pháp tuyến là:    n u, u 0;3;6 3 0;1;2 . 1 2 Phương trình mặt phẳng là: y 2 z 3 0 . Ví dụ 10. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng x 1 x 4 d1 : y 1 2 t và d2 : y 3 4 t z 1 t z 1 2 t Lời giải  Đường thẳng d1 đi qua điểm M 1 (1;1;1) vectơ chỉ phương u1 (0; 2;1) .  Đường thẳng d2 đi qua điểm M 2 4;3;1 vectơ chỉ phương u2 0; 4;2 .    Ta có u, u 0 , MM 3;2;0 . 1 2 1 2   Do u, u 0 nên đường thẳng d, d song song 1 2 1 2 Mặt phẳng () chứa đường thẳng d1, d 2 song song nên () có một vectơ pháp tuyến là:    n u, M M 2;3;6 2; 3; 6 . 1 1 2 Phương trình mặt phẳng là: 2x 3 y 6 z 7 0 . Trang 7/40
  8. Ví dụ 11. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ()P đi qua điểm x 1 x 1 y z 1 A(1;0; 2) và ()P song song với hai đường thẳng d1 : y 1 2 t và d2 : . 1 2 2 z 1 t Lời giải  Đường thẳng d1 đi qua điểm M 1 (1;1;1) vectơ chỉ phương u1 (0; 2;1) .  Đường thẳng d2 đi qua điểm M 2 (1;0;1) vectơ chỉ phương u2 (1;2; 2) .   Ta có u, u ( 6;1;2) . 1 2 Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ()P , ta có:  n u    1 nên n cùng phương với u, u . 1 2 n u2 Chọn n ( 6;1; 2) ta được phương trình mặt phẳng ()P là: 6(x 1) 1( y 0) 2( z 2) 0 6x y 2 z 10 0 . Ví dụ 12 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ()P đi qua điểm M(;;) 1 2 5 và vuông góc với hai mặt phẳng (Q ) : x 2 y 3 z 1 0 và (R ) : 2 x 3 y z 1 0 . Lời giải   VTPT của ()Q là nQ (1;2; 3) , VTPT của ()R là nR (2; 3;1).   Ta có n, n ( 7; 7; 7) nên mặt phẳng ()P nhận n(1;1;1) là một VTPT và ()P đi qua QR điểm M(;;) 1 2 5 nên có phương trình là: x y z 2 0 . Ví dụ 13: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ()P song song với mặt phẳng (Q ) : x 2 y 2 z 1 0 và cách ()Q một khoảng bằng 3. Lời giải Trên mặt phẳng (Q ) : x 2 y 2 z 1 0 chọn điểm M(;;) 1 0 0 . Do ()P song song với mặt phẳng ()Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: x 2 y 2 z D 0 với D 1. | 1 D | D 8 Vì d(( P ),( Q )) 3 d( M ,( P )) 3 3 | 1 D | 9 12 2 2 ( 2) 2 D 10 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x 2 y 2 z 8 0 và x 2 y 2 z 10 0 . Ví dụ 14 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ()P song song với mặt phẳng (Q ) : x 2 y 2 z 1 0 và ()P cách điểm M(;;)1 2 1 một khoảng bằng 3. Lời giải Do ()P song song với mặt phẳng ()Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: x 2 y 2 z D 0 với D 1. |1 4 2 D | D 4 Vì d( M ,( P )) 3 3 | 5 D | 9 12 2 2 ( 2) 2 D 14 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x 2 y 2 z 4 0 và x 2 y 2 z 14 0 . Trang 8/40
  9. Ví dụ 15: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ()P song song với mặt phẳng (Q ) : x 2 y 2 z 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu ():S x2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 3 0 Lời giải Mặt cầu ()S có tâm I ( 1;2;1) và bán kính R ( 1)2 2 2 1 2 3 3 Do ()P song song với mặt phẳng ()Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: x 2 y 2 z D 0 với D 1. Vì ()P tiếp xúc với mặt cầu ()S nên | 1 4 2 D | D 10 d( I ,( P )) R 3 3 |1 D | 9 12 2 2 ( 2) 2 D 8 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x 2 y 2 z 10 0 và x 2 y 2 z 8 0 . Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng P và đường thẳng d lần lượt có x 1 phương trình P : x 2 y z 5 0 và d: y 1 z 3 . Viết phương trình mặt phẳng 2 Q chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng P một góc 600 . Lời giải Giả sử mặt phẳng ()Q có dạng Ax By Cz D 0 ABC2 2 2 0 . Chọn hai điểm M 1; 1;3 , N 1;0;4 d . ABCD. 1 1 .3 0 CAB 2 Mặt phẳng Q chứa d nên MNQ, ABCD.1 .0 .4 0 DAB 7 4 Suy ra mặt phẳng có phương trình là Ax By 2 A B z 7 A 4 B 0 và có VTPT  nQ A; B ; 2 A B . Q tạo với mặt phẳng P một góc ABAB 2 2 1 cos(600 ) 600 ABAB2 2 (2 )2 1 2 2 2 ( 1) 2 2 A (4 2 3)B Cho B 1 ta được A (4 2 3). Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (423) x y 943 z 321430 (423) x y 943 z 321430 Trang 9/40
  10. B. BÀI TẬP Câu 1. Chọn khẳng định sai A. Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì kn() k cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) . B. Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm nó đi qua và một vectơ pháp tuyến của nó. C. Mọi mặt phẳng trong không gian Oxyz đều có phương trình dạng: Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0) . D. Trong không gian Oxyz , mỗi phương trình dạng: Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0) đều là phương trình của một mặt phẳng nào đó. Câu 2. Chọn khẳng định đúng A. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó song song. B. Nếu hai mặt phẳng song song thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng cùng phương. C. Nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng bằng nhau. D. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. Câu 3. Chọn khẳng định sai   A. Nếu hai đường thẳng AB,CD song song thì vectơ AB, CD là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) .   B. Cho ba điểm A, B,C không thẳng hàng, vectơ AB, AC là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) .   C. Cho hai đường thẳng AB,CD chéo nhau, vectơ AB, CD là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng AB và song song với đường thẳng CD .   D. Nếu hai đường thẳng AB,CD cắt nhau thì vectơ AB, CD là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) . Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng :Ax By Cz D 0. Tìm khẳng định sai trong các mệnh đề sau: A. ABCD 0, 0, 0, 0 khi và chỉ khi song song với trục Ox. B. D 0 khi và chỉ khi đi qua gốc tọa độ. C. ABCD 0, 0, 0, 0 khi và chỉ khi song song với mặt phẳng Oyz D. ABCD 0, 0, 0, 0 khi và chỉ khi song song với mặt phẳng Oxy . Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A a;0;0 , B 0; b ;0 , C 0;0; c , abc 0 . Khi đó phương trình mặt phẳng ABC là: x y z x y z A. 1. B. 1. a b c b a c x y z x y z C. 1. D. 1. a c b c b a Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng : 3x z 0 . Tìm khẳng định đúng trong các mệnh đề sau: A. //Ox . B. // xOz . C. //Oy . D.  Oy . Trang 10 /40
  11. Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Mặt phẳng (P) là x 3 z 2 0 có phương trình song song với: A. Trục Oy. B. Trục Oz. C. Mặt phẳng Oxy. D. Trục Ox. Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x 2 y z 1 0 . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: A. n(3;2;1) . B. n( 2;3;1) . C. n(3;2; 1) . D. n(3; 2; 1). Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x 2 y z 3 0 . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: A. n(4; 4;2) . B. n( 2;2; 3) . C. n( 4;4;2) . D. n(0;0; 3) . Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;1 , B 1;3;3 , C 2; 4;2 . Một vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng ABC là: A. n 9;4; 1 . B. n 9;4;1 . C. n 4;9; 1 . D. n 1;9;4 . Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P) 2x y 5 0 A. ( 2;1;0) . B. ( 2;1; 5) . C. (1;7;5) . D. ( 2;2; 5) . Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A( 1;2;0) và nhận n( 1;0;2) là VTPT có phương trình là: A. x 2 y 5 0 B. x 2 z 5 0 C. x 2 y 5 0 D. x 2 z 1 0 Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 3; 2; 2 , B 3;2;0 , C 0;2;1 . Phương trình mặt phẳng ABC là: A. 2x 3 y 6 z 0 . B. 4y 2 z 3 0 . C. 3x 2 y 1 0. D. 2y z 3 0 . Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A( 1;0;1),B( 2;1;1) . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là: A. x y 2 0. B. x y 1 0. C. x y 2 0 . D. x y 2 0 . Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Mặt phẳng (P) đi qua các điểm A( 1;0;0) , B(0;2;0), C(0;0; 2) có phương trình là: A. 2x y z 2 0 . B. 2x y z 2 0 . C. 2x y z 2 0 . D. 2x y z 2 0 . Câu 16. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A 1;2;1 và hai mặt phẳng : 2x 4 y 6 z 5 0 và  :x 2 y 3 z 0 . Tìm khẳng định đúng? A. Mặt phẳng  đi qua điểm A và song song với mặt phẳng ; B. Mặt phẳng  đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng ; C. Mặt phẳng  không đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng ; D. Mặt phẳng  không đi qua điểm A và song song với mặt phẳng ; Câu 17. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm M 2; 1;3 và các mặt phẳng: :x 2 0,  :y 1 0,  :z 3 0 . Tìm khẳng định sai. A. //Ox . B.  đi qua M . Trang 11 /40
  12. C.  // xOy . D.    . Câu 18. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Phương trình mặt phẳng qua A 2;5;1 và song song với mặt phẳng Oxy là: A. 2x 5 y z 0 . B. x 2 0 . C. y 5 0. D. z 1 0 . Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Mặt phẳng đi qua M 1;4;3 và vuông góc với trục Oy có phương trình là: A. y 4 0 . B. x 1 0 . C. z 3 0 . D. x 4 y 3 z 0. Câu 20. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng : 6x 3 y 2 z 6 0 . Khẳng định nào sau đây sai? A. Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là u 6,3,2 . 6 B. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng bằng . 8 C. Mặt phẳng chứa điểm A 1,2, 3 . D. Mặt phẳng cắt ba trục Ox,, Oy Oz . Câu 21. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Biết ABC,, là số thực khác 0 , mặt phẳng chứa trục Oz có phương trình là: A. Ax Bz C 0 . B. Ax By 0 C. By Az C 0. D. Ax By C 0 . Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(5;1;3), B(1;2;6),C(5;0;4), D(4;0;6) . Viết phương trình mặt phẳng qua D và song song với mặt phẳng (ABC) . A. x y z 10 0 . B. x y z 9 0. C. x y z 8 0 . D. x 2y z 10 0 . Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(5;1;3), B(1;2;6),C(5;0;4), D(4;0;6) . Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD . A. 2x 5 y z 18 0 . B. 2x y 3z 6 0 . C. 2x y z 4 0 . D. x y z 9 0 . Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x y z 3 0 . Phương trình mặt phẳng (P) là: A. y z 0 . B. y z 0 . C. y z 1 0 . D. y 2z 0 . Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và qua điểm I 2; 3;1 là: A. 3y z 0. B. 3x y 0 . C. y 3 z 0 . D. y 3 z 0. Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm AB 2; 1;1 , 1;0;4 và C 0; 2; 1 . Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC là: A. 2x y 2 z 5 0 . B. x 2 y 3 z 7 0 . C. x 2 y 5 z 5 0 . D. x 2 y 5 z 5 0 . Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng đi qua A 2; 1;4 , B 3;2; 1 và vuông góc với mặt phẳng Q : x y 2 z 3 0 . Phương trình mặt phẳng là: Trang 12 /40
  13. A. 5x 3 y 4 z 9 0 . B. x 3 y 5 z 21 0. C. x y 2 z 3 0 . D. 5x 3 y 4 z 0 . Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua M 0; 2;3 , song song với x 2 y 1 đường thẳng d: z và vuông góc với mặt phẳng  :x y z 0 có phương 2 3 trình: A. 2x 3 y 5 z 9 0 . B. 2x 3 y 5 z 9 0 . C. 2x 3 y 5 z 9 0. D. 2x 3 y 5 z 9 0 . Câu 29. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Tọa độ giao điểm M của mặt phẳng P : 2 x 3 y z 4 0 với trục Ox là ? 4 A. M 0,0, 4 . B. M 0, ,0 . C. M 3,0,0 . D. M 2,0,0 . 3 Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi là mặt phẳng qua các hình chiếu của A 5;4;3 lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng là: A. 12x 15 y 20 z 60 0 B.12x 15 y 20 z 60 0 . x y z x y z C. 0 . D. 60 0 . 5 4 3 5 4 3 Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng đi qua hai điểm A 5; 2;0 , B 3;4;1 và có một vectơ chỉ phương là a 1;1;1 . Phương trình của mặt phẳng là: A. 5x 9 y 14 z 0 . B. x y 7 0 . C. 5x 9 y 14 z 7 0 . D. 5x 9 y 14 z 7 0 . Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng (P ) : x y z 6 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2 y2 z2 12? A. 2 B. Không có. C. 1. D. 3. Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 mặt phẳng P : x 2 y 4 x 3 0 , Q 2 x 4 y 8 z 5 0 , R :3 x 6 y 12 z 10 0, W : 4x 8 y 8 z 12 0 . Có bao nhiêu cặp mặt phẳng song song với nhau. A.2. B. 3. C.0. D.1. Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng :3x m 1 y 4 z 2 0 ,  :nx m 2 y 2 z 4 0 . Với giá trị thực của m, n bằng bao nhiêu để song song  A. m 3; n 6 . B. m 3; n 6 . C. m 3; n 6 D. m 3; n 6 . Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x my m 1 z 2 0 , Q : 2 x y 3 z 4 0 . Giá trị số thực m để hai mặt phẳng PQ , vuông góc 1 1 A. m 1 B. m C. m 2 D. m 2 2 Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Cho hai mặt phẳng :x 2 y 2 z 3 0 ,  :x 2 y 2 z 8 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ,  là bao nhiêu ? 5 11 4 A. d ,  B. d ,  C. d ,  5 D. d ,  3 3 3 Trang 13 /40
  14. Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y z 1 0. Gọi mặt phẳng Q là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng P qua trục tung. Khi đó phương trình mặt phẳng Q là ? A. x 2 y z 1 0 B. x 2 y z 1 0 C. x 2 y z 1 0 D. x 2 y z 1 0 Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 3 y 5 z 4 0 . Gọi mặt phẳng Q là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng P qua mặt phẳng ()Oxz . Khi đó phương trình mặt phẳng Q là ? A. P : 2 x 3 y 5 z 4 0 B. P : 2 x 3 y 5 z 4 0 C. P : 2 x 3 y 5 z 4 0 D. P : 2 x 3 y 5 z 4 0 Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , là mặt phẳng đi qua điểm A 2; 1;5 và vuông góc với hai mặt phẳng P : 3 x 2 y z 7 0 và Q :5 x 4 y 3 z 1 0 . Phương trình mặt phẳng là: A. x 2 y z 5 0 . B. 2x 4 y 2 z 10 0 . C. 2x 4 y 2 z 10 0 . D. x 2 y z 5 0 . Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,tọa độ điểm M nằm trên trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: P : x y z 1 0 và Q : x y z 5 0 là: A. M 0; 3;0 . B. M 0;3;0 . C. M 0; 2;0 . D. M 0;1;0 . Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi là mặt phẳng qua G 1;2;3 và cắt các trục Ox,, Oy Oz lần lượt tại các điểm ABC,, (khác gốc O) sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Khi đó mặt phẳng có phương trình: A. 3x 6 y 2 z 18 0 . B. 6x 3 y 2 z 18 0. C. 2x y 3 z 9 0 . D. 6x 3 y 2 z 9 0 . Câu 42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi là mặt phẳng song song với mặt phẳng  : 2x 4 y 4 z 3 0 và cách điểm A 2; 3;4 một khoảng k 3. Phương trình của mặt phẳng là: A. 2x 4 y 4 z 5 0 hoặc 2x 4 y 4 z 13 0 . B. x 2 y 2 z 25 0 . C. x 2 y 2 z 7 0 . D. x 2 y 2 z 25 0 hoặc x 2 y 2 z 7 0 . Câu 43. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng d1, d 2 lần lượt có phương trình x 2 y 2 z 3 x 1 y 2 z 1 d : , d : . Phương trình mặt phẳng cách đều hai 1 2 1 3 2 2 1 4 đường thẳng d1, d 2 là: A. 7x 2 y 4 z 0 . B. 7x 2 y 4 z 3 0 . C. 2x y 3 z 3 0. D.14x 4 y 8 z 3 0 . Trang 14 /40
  15. Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A 1;0;0 , B 0; b ;0 , C 0;0; c , b 0, c 0 và mặt phẳng P : y z 1 0. Xác định b và c biết mặt phẳng ABC vuông góc với mặt phẳng 1 P và khoảng cách từ O đến ABC bằng . 3 1 1 1 1 1 1 A. b , c B.b 1, c C. b , c D.b , c 1 2 2 2 2 2 2 Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,mặt phẳng đi qua điểm M 5;4;3 và cắt các tia Ox, Oy, Oz các đoạn bằng nhau có phương trình là: A. x y z 12 0 B. x y z 0 C. 5x 4 y 3 z 50 0 D. x y z 0 Câu 46. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy và tạo với mặt phẳng y z 1 0 góc 600 . Phương trình mặt phẳng (P) là: x z 0 x y 0 x z 1 0 x 2z 0 A. B. C. D. x z 0 x y 0 x z 0 x z 0 Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 1. Phương trình mặt phẳng chứa trục Oz và tiếp xúc với S A. : 4x 3 y 2 0. B. : 3x 4 y 0. C. :3x 4 y 0. D. : 4x 3 y 0. Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , tam giác ABC có A 1,2, 1 , B 2,1,0 , C 2,3,2 . Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng OGB bằng bao nhiêu ? 3 174 174 2 174 4 174 A. B. C. D. 29 29 29 29 Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 16 . Phương trình mặt phẳng chứa Oy cắt hình cầu S theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 8 A. :3x z 0 B. :3x z 0 C. :3x z 2 0 D. :x 3 z 0 Câu 50. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz và cắt mặt cầu (x 1)2 (y 2)2 z2 12 theo đường tròn có chu vi lớn nhất. Phương trình của (P) là: A. x 2y 1 0 . B. y 2 0 . C. y 1 0 . D. y 2 0 . Câu 51. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3). Gọi () là mặt phẳng chứa trục Oy và cách M một khoảng lớn nhất. Phương trình của () là: A. x 3 z 0 . B. x 2 z 0 . C. x 3 z 0 . D. x 0 . Câu 52. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 9 , điểm A 0;0;2 . Phương trình mặt phẳng P đi qua A và cắt mặt cầu S theo thiết diện là hình tròn C có diện tích nhỏ nhất ? A. P: x 2 y 3 z 6 0 . B. P: x 2 y z 2 0 . Trang 15 /40
  16. C. P:3 x 2 y 2 z 4 0 . D. P: x 2 y 3 z 6 0 . Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm N 1;1;1 . Viết phương trình mặt phẳng P cắt các trục Ox,, Oy Oz lần lượt tại ABC,, (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A. P : x y z 3 0 . B. P : x y z 1 0 . C. P : x y z 1 0 . D. P : x 2 y z 4 0 . Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng P đi qua hai điểm A(1;1;1) , B 0;2;2 đồng thời cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại hai điểm MN, (không trùng với gốc tọa độO ) sao cho OM 2 ON A. P : 2 x 3 y z 4 0 . B. P : x 2 y z 2 0. C. P : x 2 y z 2 0. D. P : 3 x y 2 z 6 0 . Câu 55. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có các đỉnh A 1;2;1 , B 2;1;3 , C 2; 1;3 và D 0;3;1 . Phương trình mặt phẳng đi qua AB, đồng thời cách đều CD, A. P1 :4 x 2 y 7 z 150; P 2 : x 5y z 100 . B. P1 :6 x 4 y 7 z 50; P 2 :3 x y 5100 z . C. P1 :6 x 4 y 7 z 50; P 2 :2 x 3 z 50 . D. P1 :3 x 5 y 7 z 200; P 2 : x 3 y 3 z 100 . Câu 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm ABC 2;1;3 ; 3;0;2 ; 0; 2;1 . Phương trình mặt phẳng P đi qua AB, và cách C một khoảng lớn nhất ? A. P : 3 x 2 y z 11 0 . B. P : 3 x y 2 z 13 0. C. P : 2 x y 3 z 12 0 . D. P : x y 3 0 . Câu 57. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng đi qua điểm M 1;2;3 và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B ,C ( khác gốc toạ độ O) sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Mặt phẳng có phương trình là: x y z A. x 2 y 3 z 14 0 . B. 1 0 . 1 2 3 C. 3x 2 y z 10 0 . D. x 2 y 3 z 14 0. Câu 58. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm G(1;4;3) . Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B,C sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC ? x y z x y z x y z x y z A. 0 . B. 1. C. 1. D. 0. 4 16 12 4 16 12 3 12 9 3 12 9 Câu 59. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3). Mặt phẳng (P) qua M cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại ABC,, sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất có phương trình là: A. 6x 3y 2z 0 . B. 6x 3y 2z 18 0 . C. x 2y 3z 14 0 . D. x y z 6 0 . Trang 16 /40
  17. Câu 60. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng có phương trình P x 2 y 2 z 1 0 Q : x 2 y z 3 0 và mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 2 5.Mặt phẳng vuông với mặt phẳng PQ , đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S . A. 2x y 1 0;2 x y 9 0 . B. 2x y 1 0;2 x y 9 0 . C. x 2 y 1 0; x 2 y 9 0 . D. 2x y 1 0; 2 x y 9 0 . Câu 61. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y 2 z 1 0 , 2 điểm AB 1;0;0 , ( 1;2;0) S : x 1 2 y 2 2 z 2 25 . Viết phương trình mặt phẳng vuông với mặt phẳng P , song song với đường thẳng AB , đồng thời cắt mặt cầu S theo đường tròn có bán kính bằng r 2 2 A. 2x 2 y 3 z 110;2 x 2 y 3 z 230 . B. 2x 2 y 3 z 110;2 x 2 y 3 z 230 . C. 2x 2 y 3 z 110;2 x 2 y 3 z 230 . D. 2x 2 y 3 z 110;2 x 2 y 3 z 230 . Câu 62. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho 3 điểm A 1;1; 1 , B 1;1;2 , C 1;2; 2 và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 1 0 . Lập phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với mặt phẳng P cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB 2 IC biết tọa độ điểm I là số nguyên A. : 2x y 2 z 3 0 . B. : 4x 3 y 2 z 9 0 . C. : 6x 2 y z 9 0 . D. : 2x 3 y 2 z 3 0 . Câu 63. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P x y z 3 0 , Q : 2 x 3 y 4 z 1 0 . Lập phương trình mặt phẳng đi qua A 1;0;1 và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng PQ , ? A. : 2x 3 y z 3 0. B. : 7x 8 y 9 z 16 0 . C. : 7x 8 y 9 z 17 0 . D. : 2x 2 y z 3 0 . Câu 64. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho 2 đường thẳng x y 1 z x 1 y z 1 d : d : .Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với d ,cắt 1 2 1 1 2 1 2 1 1 Oz tại A và cắt d2 tại B ( có tọa nguyên ) sao cho AB 3 . A. :10x 5 y 5 z 1 0 . B. : 4x 2 y 2 z 1 0 . C. : 2x y z 1 0. D. : 2x y z 2 0 . Câu 65. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có điểm AB 1;1;1 , 2;0;2 ,CD 1; 1;0 , 0;3;4 . Trên các cạnh AB,, AC AD lần lượt lấy các điểm AB AC AD BCD', ', ' thỏa : 4 . Viết phương trình mặt phẳng BCD''' biết tứ diện AB''' AC AD AB''' C D có thể tích nhỏ nhất ? A.16x 40 y 44 z 39 0 . B.16x 40 y 44 z 39 0 . C.16x 40 y 44 z 39 0 . D.16x 40 y 44 z 39 0 . Trang 17 /40
  18. Câu 66. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho P : x 4 y 2 z 6 0 , Q : x 2 y 4 z 6 0 . Lập phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của PQ , và cắt các trục tọa độ tại các điểm ABC,, sao cho hình chóp O. ABC là hình chóp đều. A. x y z 6 0. B. x y z 6 0 . C. x y z 6 0 . D. x y z 3 0 . Trang 18 /40
  19. C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 8.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A A B C A B II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Chọn khẳng định sai A. Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì kn() k cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) . B. Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm nó đi qua và một vectơ pháp tuyến của nó. C. Mọi mặt phẳng trong không gian Oxyz đều có phương trình dạng: Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0) . D. Trong không gian Oxyz , mỗi phương trình dạng: Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0) đều là phương trình của một mặt phẳng nào đó. Câu 2. Chọn khẳng định đúng A. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó song song. B. Nếu hai mặt phẳng song song thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng cùng phương. C. Nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng bằng nhau. D. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. Câu 3. Chọn khẳng định sai   A. Nếu hai đường thẳng AB,CD song song thì vectơ AB, CD là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) .   B. Cho ba điểm A, B,C không thẳng hàng, vectơ AB, AC là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) .   C. Cho hai đường thẳng AB,CD chéo nhau, vectơ AB, CD là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng AB và song song với đường thẳng CD .   D. Nếu hai đường thẳng AB,CD cắt nhau thì vectơ AB, CD là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) . Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng :Ax By Cz D 0. Tìm khẳng định sai trong các mệnh đề sau: A. ABCD 0, 0, 0, 0 khi và chỉ khi song song với trục Ox. B. D 0 khi và chỉ khi đi qua gốc tọa độ. C. ABCD 0, 0, 0, 0 khi và chỉ khi song song với mặt phẳng Oyz D. ABCD 0, 0, 0, 0 khi và chỉ khi song song với mặt phẳng Oxy . Trang 19 /40
  20. Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A a;0;0 , B 0; b ;0 , C 0;0; c , abc 0 . Khi đó phương trình mặt phẳng ABC là: x y z x y z A. 1. B. 1. a b c b a c x y z x y z C. 1. D. 1. a c b c b a Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng : 3x z 0 . Tìm khẳng định đúng trong các mệnh đề sau: A. //Ox . B. // xOz . C. //Oy . D.  Oy . Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Mặt phẳng (P) là x 3 z 2 0 có phương trình song song với: A. Trục Oy. B. Trục Oz. C. Mặt phẳng Oxy. D. Trục Ox. Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x 2 y z 1 0 . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: A. n(3;2;1) . B. n( 2;3;1) . C. n(3;2; 1) . D. n(3; 2; 1). Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x 2 y z 3 0 . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: A. n(4; 4;2) . B. n( 2;2; 3) . C. n( 4;4;2) . D. n(0;0; 3) . Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;1 , B 1;3;3 , C 2; 4;2 . Một vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng ABC là: A. n 9;4; 1 . B. n 9;4;1 . C. n 4;9; 1 . D. n 1;9;4 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận   Ta có AB 2;5;2 , AC 1; 2;1   n AB, AC 9;4; 1 . Phương pháp trắc nghiệm Sử dụng MTBT tính tích có hướng.   Có AB 2;5;2 , AC 1; 2;1 . Chuyển sang chế độ Vector: Mode 8.  Ấn tiếp 1 – 1: Nhập tọa độ AB vào vector A.  Sau đó ấn AC. Shift – 5 – 1 – 2 – 1 Nhập tọa độ AC vào vector B. Sau đó ấn AC.   Để nhân AB, AC ấn Shift – 5 –3 – X Shift - 5 – 4 - = Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P) 2x y 5 0 A. ( 2;1;0) . B. ( 2;1; 5) . C. (1;7;5) . D. ( 2;2; 5) . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Trang 20 /40
  21. Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, nếu điểm nào làm cho vế trái bằng 0 thì đó là điểm thuộc mặt phẳng. Phương pháp trắc nghiệm Nhập phương trình mặt phẳng (P) vào máy tính dạng sau: 2XYA 0 5 0, sau đó dùng hàm CALC và nhập tọa độ (x ; y; z ) của các điểm vào. Nếu bằng 0 thì điểm đó thuộc mặt phẳng. Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A( 1;2;0) và nhận n( 1;0;2) là VTPT có phương trình là: A. x 2 y 5 0 B. x 2 z 5 0 C. x 2 y 5 0 D. x 2 z 1 0 Hướng dẫn giải Mặt phẳng (P) đi qua điểm A( 1;2;0) và nhận n( 1;0;2) là VTPT có phương trình là: 1(x 1) 0( y 2) 2( z 0) 0 x 1 2 z 0 x 2 z 1 0 . Vậy x 2 z 1 0 . Phương pháp trắc nghiệm (nên có) Từ tọa độ VTPT suy ra hệ số B=0, vậy loại ngay đáp án x 2 y 5 0 và x 2 y 5 0 Chọn 1 trong 2 PT còn lại bằng cách thay tọa độ điểm A vào Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 3; 2; 2 , B 3;2;0 , C 0;2;1 . Phương trình mặt phẳng ABC là: A. 2x 3 y 6 z 0 . B. 4y 2 z 3 0 . C. 3x 2 y 1 0. D. 2y z 3 0 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận   AB 0;4;2 , AC 3;4;3   ABC qua A 3; 2; 2 và có vectơ pháp tuyến AB, AC 4; 6;12 2 2; 3;6 ABC : 2 x 3 y 6 z 0 Phương pháp trắc nghiệm Sử dụng MTBT tính tích có hướng. Hoặc thay tọa độ cả 3 điểm A, B, C vào mặt phẳng xem có thỏa hay không? Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A( 1;0;1),B( 2;1;1) . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là: A. x y 2 0. B. x y 1 0. C. x y 2 0 . D. x y 2 0 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận  +) AB ( 1;1;0) . 3 1 +) Trung điểm I của đoạn AB là I ( ; ;1) 2 2 3 1 Mặt phẳng trung trực của đọan AB là (x ) ( y ) 0 hay x y 2 0 . 2 2 Phương pháp trắc nghiệm Do là mặt phẳng trung trực của AB nên  AB   Kiểm tra mặt phẳng nào có n k AB và chứa điểm I   Cả 4 đáp án đều thỏa điều kiện n k AB . Trang 21 /40
  22. Cả 4 PT đều chung dạng: x–y+0z+D=0, nên để kiếm tra PT nào thỏa tọa độ điểm I ta bấm máy tính: trong đó nhập A, B, C là tọa độ I, còn D là số hạng tự do từng PT, nếu cái nào làm bằng 0 thì chọn. Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Mặt phẳng (P) đi qua các điểm A( 1;0;0) , B(0;2;0), C(0;0; 2) có phương trình là: A. 2x y z 2 0 . B. 2x y z 2 0 . C. 2x y z 2 0 . D. 2x y z 2 0 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận x y z Theo công thức phương trình mặt chắn ta có: 1 2x y z 2 0. 1 2 2 Vậy 2x y z 2 0 . Phương pháp trắc nghiệm Nhập phương trình mặt phẳng (P) vào máy tính, sau đó dùng hàm CALC và nhập tọa độ (x ; y; z ) của các điểm vào. Nếu tất cả các điểm đều cho kết quả bằng 0 thì đó đó là mặt phẳng cần tìm. Chỉ cần 1 điểm làm cho phương trình khác 0 đều loại. Câu 16. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A 1;2;1 và hai mặt phẳng : 2x 4 y 6 z 5 0 và  :x 2 y 3 z 0 . Tìm khẳng định đúng? A. Mặt phẳng  đi qua điểm A và song song với mặt phẳng ; B. Mặt phẳng  đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng ; C. Mặt phẳng  không đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng ; D. Mặt phẳng  không đi qua điểm A và song song với mặt phẳng ; Hướng dẫn giải   Có n 2;4; 6 , n 1;2; 3 //  Và A  Câu 17. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm M 2; 1;3 và các mặt phẳng: :x 2 0,  :y 1 0,  :z 3 0 . Tìm khẳng định sai. A. //Ox . B.  đi qua M . C.  // xOy . D.    . Câu 18. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Phương trình mặt phẳng qua A 2;5;1 và song song với mặt phẳng Oxy là: A. 2x 5 y z 0 . B. x 2 0 . C. y 5 0. D. z 1 0 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Mặt phẳng qua A 2;5;1 và có vectơ pháp tuyến k 0;0;1 có phương trình: z 1 0 . Phương pháp trắc nghiệm Mặt phẳng qua A và song song với Oxy có phương trình z zA . Trang 22 /40
  23. Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Mặt phẳng đi qua M 1;4;3 và vuông góc với trục Oy có phương trình là: A. y 4 0 . B. x 1 0 . C. z 3 0 . D. x 4 y 3 z 0. Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Mặt phẳng qua M 1;4;3 và có vectơ pháp tuyến j 0;1;0 có phương trình y 4 0 . Phương pháp trắc nghiệm Mặt phẳng qua M và vuông góc với trục Oy có phương trình y yM . Câu 20. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng : 6x 3 y 2 z 6 0 . Khẳng định nào sau đây sai? A. Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là u 6,3,2 . 6 B. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng bằng . 8 C. Mặt phẳng chứa điểm A 1,2, 3 . D. Mặt phẳng cắt ba trục Ox,, Oy Oz . Hướng dẫn giải: 6 6 Do d O, . 36 9 4 7 Câu 21. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Biết ABC,, là số thực khác 0 , mặt phẳng chứa trục Oz có phương trình là: A. Ax Bz C 0 . B. Ax By 0 C. By Az C 0. D. Ax By C 0 . Hướng dẫn giải Trục Oz là giao tuyến của 2 mặt phẳng Ozx , Oyz nên mặt phẳng chứa Oz thuộc chùm mặt phẳng tạo bởi 2 mặt Ozx , Oyz Ax By 0 Vậy Ax By 0 . Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(5;1;3), B(1;2;6),C(5;0;4), D(4;0;6) . Viết phương trình mặt phẳng qua D và song song với mặt phẳng (ABC) . A. x y z 10 0 . B. x y z 9 0. C. x y z 8 0 . D. x 2y z 10 0 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận     +) AB ( 4;1;3), AC (0; 1;1) AB, AC (4;4;4) . +) Mặt phẳng đi qua D có VTPT n (1;1;1) có phương trình: x y z 10 0 . +) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: x y z 10 0 . Phương pháp trắc nghiệm Gọi phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng Ax By Cz D 0 . Trang 23 /40
  24. Sử dụng MTBT giải hệ bậc nhất 3 ẩn, nhập tọa độ 3 điểm ABC,, vào hệ, chọn D 1 ta được 1 1 1 ABC ,, . (Trong trường hợp chọn D 1 vô nghiệm ta chuyển sang chọn D 0 ). 9 9 9 Suy ra mặt phẳng (ABC) có VTPT n (1;1;1) Mặt phẳng đi qua D có VTPT n (1;1;1) có phương trình: x y z 10 0 . Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn. Vậy chọn A. Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(5;1;3), B(1;2;6),C(5;0;4), D(4;0;6) . Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD . A. 2x 5 y z 18 0 . B. 2x y 3z 6 0 . C. 2x y z 4 0 . D. x y z 9 0 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận     +) AB ( 4;1;3), CD ( 1;0;2) AB, CD (2;5;1) . +) Mặt phẳng đi qua A có VTPT n (2;5;1) có phương trình là: 2x 5 y z 18 0 . +) Thay tọa độ điểm C vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2x 5 y z 18 0 Phương pháp trắc nghiệm +) Sử dụng MTBT kiểm tra tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình hay không? thấy đáp án B, C không thỏa mãn.  +) Kiểm tra điều kiện VTPT của mặt phẳng cần tìm vuông góc với véctơ CD ta loại được đáp D. Vậy chọn A. Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x y z 3 0 . Phương trình mặt phẳng (P) là: A. y z 0 . B. y z 0 . C. y z 1 0 . D. y 2z 0 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Trục Ox véctơ đơn vị i (1;0;0) . Mặt phẳng ()Q có VTPT n()Q (1;1;1) . Mặt phẳng (P) chứa trục Ox và vuông góc với (Q) : x y z 3 0 nên (P) có VTPT  n i, n (0; 1;1) . ()Q Phương trình mặt phẳng (P) là: y z 0 . Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P) chứa trục Ox nên loại đáp án C. +) Kiểm tra điều kiện VTPT của mặt phẳng ()Q vuông góc với VTPT của (P) ta loại tiếp được đáp án B, D. Vậy chọn A. Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và qua điểm I 2; 3;1 là: A. 3y z 0. B. 3x y 0 . C. y 3 z 0 . D. y 3 z 0. Hướng dẫn giải Trang 24 /40
  25. Trục Ox đi qua A 1;0;0 và có i 1;0;0  Mặt phẳng đi qua I 2; 3;1 và có vectơ pháp tuyến n i, AI 0;1;3 có phương trình y 3 z 0. Vậy y 3 z 0. Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm AB 2; 1;1 , 1;0;4 và C 0; 2; 1 . Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC là: A. 2x y 2 z 5 0 . B. x 2 y 3 z 7 0 . C. x 2 y 5 z 5 0 . D. x 2 y 5 z 5 0 . Hướng dẫn giải  Ta có: CB 1;2;5 .  Mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC có một VTPT là CB 1;2;5 nên có phương trình là: x 2 y 5 z 5 0 . Vậy x 2 y 5 z 5 0 . Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng đi qua A 2; 1;4 , B 3;2; 1 và vuông góc với mặt phẳng Q : x y 2 z 3 0 . Phương trình mặt phẳng là: A. 5x 3 y 4 z 9 0 . B. x 3 y 5 z 21 0. C. x y 2 z 3 0 . D. 5x 3 y 4 z 0 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận   AB 1;3; 5 , nQ 1;1;2 Mặt phẳng đi qua A 2; 1;4 và có vectơ pháp tuyến   AB, n 10; 6;8 2 5;3; 4 có phương trình: 5x 3 y 4 z 9 0 . Q Vậy 5x 3 y 4 z 9 0 . Phương pháp trắc nghiệm     Do  Q n . nQ 0 , kiểm tra mp nào có n . nQ 0 . Vậy chọn A. Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua M 0; 2;3 , song song với x 2 y 1 đường thẳng d: z và vuông góc với mặt phẳng  :x y z 0 có phương 2 3 trình: A. 2x 3 y 5 z 9 0 . B. 2x 3 y 5 z 9 0 . C. 2x 3 y 5 z 9 0. D. 2x 3 y 5 z 9 0 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận   Ta có ud 2; 3;1 , n 1;1; 1    Mặt phẳng đi qua M 0; 2;3 và có vectơ pháp tuyến n u, n 2;3;5 d  : 2x 3 y 5 z 9 0 . Phương pháp trắc nghiệm Trang 25 /40
  26.   // d n knQ Do   kiểm tra mp nào thỏa hệ  Q n . nQ 0 Vậy chọn A. Câu 29. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Tọa độ giao điểm M của mặt phẳng P : 2 x 3 y z 4 0 với trục Ox là ? 4 A. M 0,0, 4 . B. M 0, ,0 . C. M 3,0,0 . D. M 2,0,0 . 3 Hướng dẫn giải: Gọi M a,0,0 là điểm thuộc trục Ox . Điểm M P 2 a 4 0 a 2 . Vậy M 2,0,0 là giao điểm của P , Ox . Phương pháp trắc nghiệm 2x 3 y z 4 0 Giải hệ PT gồm PT của (P) và của (Ox): y 0 ; bấm máy tính. z 0 Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi là mặt phẳng qua các hình chiếu của A 5;4;3 lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng là: A. 12x 15 y 20 z 60 0 B.12x 15 y 20 z 60 0 . x y z x y z C. 0 . D. 60 0 . 5 4 3 5 4 3 Hướng dẫn giải Gọi MNP,, lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Ox,, Oy Oz . Ta có: M 5;0;0 , N 0;4;0 , P 0;0;3 . Phương trình mặt phẳng qua M 5;0;0 , N 0;4;0 , P 0;0;3 là: x y z 1 12x 15 y 20 z 60 0. 5 4 3 Vậy 12x 15 y 20 z 60 0 . Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng đi qua hai điểm A 5; 2;0 , B 3;4;1 và có một vectơ chỉ phương là a 1;1;1 . Phương trình của mặt phẳng là: A. 5x 9 y 14 z 0 . B. x y 7 0 . C. 5x 9 y 14 z 7 0 . D. 5x 9 y 14 z 7 0 . Hướng dẫn giải  Ta có: AB 8;6;1 . Mặt phẳng đi qua hai điểm A 5; 2;0 , B 3;4;1 và có một vectơ chỉ phương là a 1;1;1  nên có một VTPT là: n AB, a 5;9; 14 . Mặt phẳng đi qua điểm A 5; 2;0 và có một VTPT n 5;9; 14 có phương trình là: 5x 9 y 14 z 7 0 . Vậy 5x 9 y 14 z 7 0 . Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng (P ) : x y z 6 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2 y2 z2 12? A. 2 B. Không có. C. 1. D. 3. Hướng dẫn giải Trang 26 /40
  27. Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng ()Q song song với mặt phẳng ()P có dạng: x y z D 0 ( D 6) . +) Do mặt phẳng ()Q tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2 y 2 z 2 12 nên d( I ;( Q )) R với I là tâm cầu, R là bán kính mặt cầu. Tìm được D 6 hoặc D 6 (loại) Vậy có 1 mặt phẳng thỏa mãn. Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 mặt phẳng P : x 2 y 4 x 3 0 , Q 2 x 4 y 8 z 5 0 , R :3 x 6 y 12 z 10 0, W : 4x 8 y 8 z 12 0 . Có bao nhiêu cặp mặt phẳng song song với nhau. A.2. B. 3. C.0. D.1. Hướng dẫn giải: a b c d Hai mặt phẳng song song khi a'''' b c d 1 2 4 3 Xét P và Q : PQ  2 4 8 5 1 2 4 3 Xét P và R : PR  3 6 12 10 QR  1 2 4 Xét P và W : 4 8 8 2 4 8 Xét Q và W : 4 8 8 3 6 12 Xét R và W : . 4 8 8 Vậy có 3 cặp mặt phẳng song song. Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng :3x m 1 y 4 z 2 0 ,  :nx m 2 y 2 z 4 0 . Với giá trị thực của m, n bằng bao nhiêu để song song  A. m 3; n 6 . B. m 3; n 6 . C. m 3; n 6 D. m 3; n 6 . Hướng dẫn giải: 3m 1 4 4 Để song song  m 3; n 6. n m 2 2 2 Vậy m 3; n 6 . Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x my m 1 z 2 0 , Q : 2 x y 3 z 4 0 . Giá trị số thực m để hai mặt phẳng PQ , vuông góc 1 1 A. m 1 B. m C. m 2 D. m 2 2 Hướng dẫn giải:  1 Để 2 mặt phẳng PQ , vuông góc np . n 0 1.2 m . 1 m 1 .3 0 m . Q 2 1 Vậy m . 2 Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Cho hai mặt phẳng :x 2 y 2 z 3 0 ,  :x 2 y 2 z 8 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ,  là bao nhiêu ? Trang 27 /40
  28. 5 11 4 A. d ,  B. d ,  C. d ,  5 D. d ,  3 3 3 Hướng dẫn giải: 5 5 Lấy M 1,0,1 thuộc mặt phẳng .Ta có d ,,  d M  . 1 2 2 22 3 5 Vậy d ,  . 3 Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y z 1 0. Gọi mặt phẳng Q là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng P qua trục tung. Khi đó phương trình mặt phẳng Q là ? A. x 2 y z 1 0 B. x 2 y z 1 0 C. x 2 y z 1 0 D. x 2 y z 1 0 Hướng dẫn giải: Gọi M(,,) x y z là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng P . Điểm M',, x y z là điểm đối xứng của M qua trục tung Q : x 2 y z 1 0 là mặt phẳng đi qua M ' và là mặt phẳng đối xứng của P Vậy x 2 y z 1 0 . Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x 3 y 5 z 4 0 . Gọi mặt phẳng Q là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng P qua mặt phẳng ()Oxz . Khi đó phương trình mặt phẳng Q là ? A. P : 2 x 3 y 5 z 4 0 B. P : 2 x 3 y 5 z 4 0 C. P : 2 x 3 y 5 z 4 0 D. P : 2 x 3 y 5 z 4 0 Hướng dẫn giải Gọi M(,,) x y z là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng P . Điểm M',, x y z là điểm đối xứng của M qua trục tung Q : 2 x 3 y 5 z 4 0 là mặt phẳng đi qua M ' và là mặt phẳng đối xứng của P . Vậy P : 2 x 3 y 5 z 4 0 . Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , là mặt phẳng đi qua điểm A 2; 1;5 và vuông góc với hai mặt phẳng P : 3 x 2 y z 7 0 và Q :5 x 4 y 3 z 1 0 . Phương trình mặt phẳng là: A. x 2 y z 5 0 . B. 2x 4 y 2 z 10 0 . C. 2x 4 y 2 z 10 0 . D. x 2 y z 5 0 . Hướng dẫn giải  Mặt phẳng (P) có một VTPT là n 3; 2;1  P Mặt phẳng (Q) có một VTPT là nQ 5; 4;3 Mặt phẳng vuông góc với 2 mặt phẳng P : 3 x 2 y z 7 0 , Q :5 x 4 y 3 z 1 0    nên có một VTPT là n n, n 2; 4; 2 . PPQ Phương trình mặt phẳng là: x 2 y z 5 0 Trang 28 /40
  29. Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,tọa độ điểm M nằm trên trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: P : x y z 1 0 và Q : x y z 5 0 là: A. M 0; 3;0 . B. M 0;3;0 . C. M 0; 2;0 . D. M 0;1;0 . Hướng dẫn giải Ta có M Oy M 0; m ;0 m 1 m 5 Giả thiết có d M,, P d M Q m 3 3 3 Vậy M 0; 3;0 Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi là mặt phẳng qua G 1;2;3 và cắt các trục Ox,, Oy Oz lần lượt tại các điểm ABC,, (khác gốc O) sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Khi đó mặt phẳng có phương trình: A. 3x 6 y 2 z 18 0 . B. 6x 3 y 2 z 18 0. C. 2x y 3 z 9 0 . D. 6x 3 y 2 z 9 0 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Gọi A a;0;0 , B 0; b ;0 , C 0;0; c là giao điểm của mặt phẳng các trục Ox,, Oy Oz x y z Phương trình mặt phẳng : 1 a, b , c 0 . a b c Ta có G là trọng tâm tam giác ABC a 1 3 a 3 b x y z 2 b 6 : 1 6x 3 y 2 z 18 0 3 3 6 9 c 9 c 3 3 Câu 42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi là mặt phẳng song song với mặt phẳng  : 2x 4 y 4 z 3 0 và cách điểm A 2; 3;4 một khoảng k 3. Phương trình của mặt phẳng là: A. 2x 4 y 4 z 5 0 hoặc 2x 4 y 4 z 13 0 . B. x 2 y 2 z 25 0 . C. x 2 y 2 z 7 0 . D. x 2 y 2 z 25 0 hoặc x 2 y 2 z 7 0 . Hướng dẫn giải Vì / /  : 2x 4 y 4 z m 0 m 3 32 m m 14 Giả thiết có d A, 3 3 6 m 50 Vậy :x 2 y 2 z 7 0 , :x 2 y 2 z 25 0 Câu 43. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng d1, d 2 lần lượt có phương trình x 2 y 2 z 3 x 1 y 2 z 1 d : , d : . Phương trình mặt phẳng cách đều hai 1 2 1 3 2 2 1 4 đường thẳng d1, d 2 là: Trang 29 /40
  30. A. 7x 2 y 4 z 0 . B. 7x 2 y 4 z 3 0 . C. 2x y 3 z 3 0. D.14x 4 y 8 z 3 0 . Hướng dẫn giải   Ta có d đi qua A 2;2;3 và có u 2;1;3 , d đi qua B 1;2;1 và có u 2; 1;4 1 d1 2 d 2    AB 1;1; 2 ; u ; u 7; 2; 4 ; d1 d 2    u; u AB 1 0 nên d, d chéo nhau. d1 d 2 1 2    Do cách đều d, d nên song song với d, d n u; u 7; 2; 4 1 2 1 2 d1 d 2 có dạng 7x 2 y 4 z d 0 d 2 d 1 3 Theo giả thiết thì d A,, d B d 69 69 2 :14x 4 y 8 z 3 0 Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A 1;0;0 , B 0; b ;0 , C 0;0; c , b 0, c 0 và mặt phẳng P : y z 1 0. Xác định b và c biết mặt phẳng ABC vuông góc với mặt phẳng 1 P và khoảng cách từ O đến ABC bằng . 3 1 1 1 1 1 1 A. b , c B.b 1, c C. b , c D.b , c 1 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải x y z Phương trình mặt phẳng ABC có dạng 1 bcx cy bz bc 0 1 b c ABC P c b 0 b c 2 Theo giả thiết: 1 bc 1 b 1 d O, ABC 2 2 2 3 4 2 3 bc c b b 2 b 3 1 1 3b2 b 4 2 b 2 8b4 2 b 2 b c 2 2 Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,mặt phẳng đi qua điểm M 5;4;3 và cắt các tia Ox, Oy, Oz các đoạn bằng nhau có phương trình là: A. x y z 12 0 B. x y z 0 C. 5x 4 y 3 z 50 0 D. x y z 0 Hướng dẫn giải Gọi A a;0;0, B 0; a ;0, C 0;0; a a 0 là giao điểm của mặt phẳng và các tia Ox, Oy, Oz . x y z Phương trình mặt phẳng qua A, B, C là: 1. a a a Mặt phẳng qua điểm M 5;4;3 a 12 x y z Ta có 1 x y z 12 0 12 12 12 Câu 46. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy và tạo với mặt phẳng y z 1 0 góc 600 . Phương trình mặt phẳng (P) là: Trang 30 /40
  31. x z 0 x y 0 x z 1 0 x 2z 0 A. B. C. D. x z 0 x y 0 x z 0 x z 0 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (P) chứa trục Oy nên có dạng: Ax Cz 0 ( A2 C 2 0) .   n()()PQ. n +) Mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng y z 1 0 góc 600 nên cos 600   . n()()PQ. n 1 C 2 2 2 2 AC ACC 2 AC 0 2 AC2 2 . 2 AC x z 0 Phương trình mặt phẳng (P) là: x z 0 Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P) chứa trục Oy nên loại đáp án B, C. +)Còn lại hai đáp án A, D chung phương trình thứ hai nên ta thử điều kiện về góc đối với phương trình thứ nhất của đáp án A thấy thỏa mãn. Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 1. Phương trình mặt phẳng chứa trục Oz và tiếp xúc với S A. : 4x 3 y 2 0. B. : 3x 4 y 0. C. :3x 4 y 0. D. : 4x 3 y 0. Hướng dẫn giải: Mặt phẳng chứa trục Oz có dạng : Ax By 0 AB2 2 0 AB 2 Ta có : d I, 3 1 AB2 2 4AB B2 0 4 A B 0 . Chọn A 3, B 4 :3 x 4 y 0 Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , tam giác ABC có A 1,2, 1 , B 2,1,0 , C 2,3,2 . Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng OGB bằng bao nhiêu ? 3 174 174 2 174 4 174 A. B. C. D. 29 29 29 29 Hướng dẫn giải 1 1 Do G là trọng tâm tam giác ABC G ,2, 3 3   1 2 13 Gọi n là một vtpt của mặt phẳng OGB n OG  OB ,, 3 3 3 3 174 Phương trình mặt phẳng OGB : x 2 y 13 z 0 d A, OGB 29 Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 16 . Phương trình mặt phẳng chứa Oy cắt hình cầu S theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 8 Trang 31 /40
  32. A. :3x z 0 B. :3x z 0 C. :3x z 2 0 D. :x 3 z 0 Hướng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng :Ax Cz 0 A2 C 2 0 Ta có : 2 r 8 r 4 . Mà S có tâm IR 1,2,3 , 4 Do R r 4 I A 3 C 0 Chọn A 3, C 1 :3 x z 0 Câu 50. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz và cắt mặt cầu (x 1)2 (y 2)2 z2 12 theo đường tròn có chu vi lớn nhất. Phương trình của (P) là: A. x 2y 1 0 . B. y 2 0 . C. y 1 0 . D. y 2 0 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (x 1)2 (y 2)2 z2 12 theo đường tròn có chu vi lớn nhất nên mặt phẳng (P) đi qua tâm I(1; 2;0) . Phương trình mặt phẳng ()P song song với mặt phẳng Oxz có dạng : Ay B 0 Do ()P đi qua tâm I(1; 2;0) có phương trình dạng: y 2 0 . Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxz nên lọai đáp án D. +) Mặt phẳng (P) đi qua tâm I(1; 2;0) nên thay tọa độ điểm I vào các phương trình loại được đáp án B,C. Câu 51. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3). Gọi () là mặt phẳng chứa trục Oy và cách M một khoảng lớn nhất. Phương trình của () là: A. x 3 z 0 . B. x 2 z 0 . C. x 3 z 0 . D. x 0 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Gọi HK, lần lượt là hình chiếu vuông M góc của M trên mặt phẳng () và trục Oy . Ta có : K(0;2;0) d( M ,( )) MH MK H K Vậy khoảng cách từ M đến mặt Oy phẳng () lớn nhất khi mặt phẳng () qua K và vuông góc với MK . Phương trình mặt phẳng: x 3 z 0 Câu 52. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 9 , điểm A 0;0;2 . Phương trình mặt phẳng P đi qua A và cắt mặt cầu S theo thiết diện là hình tròn C có diện tích nhỏ nhất ? A. P: x 2 y 3 z 6 0 . B. P: x 2 y z 2 0 . C. P:3 x 2 y 2 z 4 0 . D. P: x 2 y 3 z 6 0 . Hướng dẫn giải: Trang 32 /40
  33. Mặt cầu S có tâm IR 1,2,3 , 3 . Ta có IA R nên điểm A nằm trong mặt cầu. Ta có : d I, P R2 r 2 Diện tích hình tròn C nhỏ nhất r nhỏ nhất d I, P lớn nhất.  Do d I, P IA maxd I , P IA Khi đó mặt phẳng P đi qua A và nhận IA làm vtpt P : x 2 y z 2 0 Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm N 1;1;1 . Viết phương trình mặt phẳng P cắt các trục Ox,, Oy Oz lần lượt tại ABC,, (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A. P : x y z 3 0 . B. P : x y z 1 0 . C. P : x y z 1 0 . D. P : x 2 y z 4 0 . Hướng dẫn giải: Gọi A a;0;0, B 0; b ;0, C 0;0; c lần lượt là giao điểm của P với các trục Ox,, Oy Oz x y z P : 1 a , b , c 0 a b c 1 1 1 1 NP a b c Ta có: NANB a 1 b 1 abc 3 xyz 3 0 NA NC a 1 c 1 Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng P đi qua hai điểm A(1;1;1) , B 0;2;2 đồng thời cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại hai điểm MN, (không trùng với gốc tọa độO ) sao cho OM 2 ON A. P : 2 x 3 y z 4 0 . B. P : x 2 y z 2 0. C. P : x 2 y z 2 0. D. P : 3 x y 2 z 6 0 . Hướng dẫn giải: Gọi M a;0;0 , N 0; b ;0 lần lượt là giao điểm của P với các tia Ox, Oy a, b 0  Do OM 2 ON a 2 b MN 2 b ; b ;0 b 2; 1;0 .Đặt u 2; 1;0  Gọi n là môt vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P n u, AB 1;2;1 Phương trình măt phẳng P : x 2 y z 2 0. Câu 55. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có các đỉnh A 1;2;1 , B 2;1;3 , C 2; 1;3 và D 0;3;1 . Phương trình mặt phẳng đi qua AB, đồng thời cách đều CD, A. P1 :4 x 2 y 7 z 150; P 2 : x 5y z 100 . B. P1 :6 x 4 y 7 z 50; P 2 :3 x y 5100 z . C. P1 :6 x 4 y 7 z 50; P 2 :2 x 3 z 50 . D. P1 :3 x 5 y 7 z 200; P 2 : x 3 y 3 z 100 . Hướng dẫn giải: Trang 33 /40
  34. Trường hợp 1:CD P    nP AB  CD 6; 10; 14 2 3;5;7 P :3 x 5 y 7 z 20 0 Trường hợp 2: P đi qua trung điểm I 1;1;2 của CD    nP AB  AI 1;3;3 P : x 3 y 3 z 100 . D C C I P P D Câu 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm ABC 2;1;3 ; 3;0;2 ; 0; 2;1 . Phương trình mặt phẳng P đi qua AB, và cách C một khoảng lớn nhất ? A. P : 3 x 2 y z 11 0 . B. P : 3 x y 2 z 13 0. C. P : 2 x y 3 z 12 0 . D. P : x y 3 0 . Hướng dẫn giải: C Gọi HK, lần lượt là hình chiếu C của lên mp P và doạn thẳng AB Ta có : CH d I, P CK d C, P lớn nhất khi B HK . Khi đó mặt phẳng P đi qua AB, và vuông với mặt H K phẳng ABC P A     Ta có n AB, AC  AB 9, 6, 3 p P :3 x 2 y z 11 0 Câu 57. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng đi qua điểm M 1;2;3 và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B ,C ( khác gốc toạ độ O) sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Mặt phẳng có phương trình là: x y z A. x 2 y 3 z 14 0 . B. 1 0 . 1 2 3 C. 3x 2 y z 10 0 . D. x 2 y 3 z 14 0. Hướng dẫn giải Cách 1:Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB , K là hình chiếu vuông góc B trên AC . M là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M BK  CH AB CH  Ta có :  AB  COH AB  OM (1) (1) C AB CO K Chứng minh tương tự, ta có: AC OM (2). M Từ (1) và (2), ta có: OM ABC  A Ta có: OM 1;2;3 . O H  Mặt phẳng đi qua điểm M 1;2;3 và có một VTPT là B OM 1;2;3 nên Trang 34 /40
  35. có phương trình là: x 12 y 2330 z x 23140 y z . Cách 2: +) Do A, B,C lần lượt thuộc các trục Ox,Oy,Oz nên A( a ;0;0), B (0; b ;0), C (0;0; c ) ( a, b , c 0 ). x y z Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) là: 1. a b c   AM. BC 0   +) Do M là trực tâm tam giác ABC nên BM. AC 0 . Giải hệ điều kiện trên ta được a,, b c M () ABC Vậy phương trình mặt phẳng: x 2 y 3 z 14 0 . Câu 58. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm G(1;4;3) . Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B,C sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC ? x y z x y z x y z x y z A. 0 . B. 1. C. 1. D. 0. 4 16 12 4 16 12 3 12 9 3 12 9 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Do A, B,C lần lượt thuộc các trục Ox,Oy,Oz nên A( a ;0;0), B (0; b ;0), C (0;0; c ) . x x x x x OABC G 4 yOABC y y y +) Do G là trọng tâm tứ diện OABC nên yG 4 yOABC y y y zG 4 suy ra a 4, b 16, c 12. x y z +) Vậy phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) là: 1. 4 16 12 Câu 59. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3). Mặt phẳng (P) qua M cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại ABC,, sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất có phương trình là: A. 6x 3y 2z 0 . B. 6x 3y 2z 18 0 . C. x 2y 3z 14 0 . D. x y z 6 0 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (P) cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại ABC,, nên A( a ;0;0), B (0; b ;0), C (0;0; c ) ( a, b , c 0 ). x y z Phương trình mặt phẳng (P) 1. a b c 1 2 3 +) Mặt phẳng (P) qua M nên 1. a b c 1 2 3 6 Ta có 1 33 abc 162 a b c abc 1 +) Thể tích khối tứ diện OABC bằng V abc 27 . 6 1 2 3 1 Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất khi suy ra a 3, b 6, c 9 . a b c 3 Trang 35 /40
  36. x y z Phương trình mặt phẳng (P) 1hay 6x 3y 2z 18 0 . 3 6 9 Câu 60. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng có phương trình P x 2 y 2 z 1 0 Q : x 2 y z 3 0 và mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 2 5.Mặt phẳng vuông với mặt phẳng PQ , đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S . A. 2x y 1 0;2 x y 9 0 . B. 2x y 1 0;2 x y 9 0 . C. x 2 y 1 0; x 2 y 9 0 . D. 2x y 1 0; 2 x y 9 0 . Hướng dẫn giải Mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 2 5 có tâm I 1; 2;0 và bán kính R 5  Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    Ta có : n nP  nQ n 6;3;0 3 2; 1;0 3 n1 Lúc đó mặt phẳng có dạng : 2x y m 0 . m 4 m 1 Do mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S d I, 5 5 5 m 9 Vậy phương trình mặt phẳng : 2x y 1 0 hoặc 2x y 9 0. Câu 61. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y 2 z 1 0 , 2 điểm AB 1;0;0 , ( 1;2;0) S : x 1 2 y 2 2 z 2 25 . Viết phương trình mặt phẳng vuông với mặt phẳng P , song song với đường thẳng AB , đồng thời cắt mặt cầu S theo đường tròn có bán kính bằng r 2 2 A. 2x 2 y 3 z 110;2 x 2 y 3 z 230 . B. 2x 2 y 3 z 110;2 x 2 y 3 z 230 . C. 2x 2 y 3 z 110;2 x 2 y 3 z 230 . D. 2x 2 y 3 z 110;2 x 2 y 3 z 230 . Hướng dẫn giải Mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 2 5 có tâm I 1;2;0 và bán kính R 5  Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng     Ta có : n n, AB n 4;4;6 2 2;2;3 2 n P 1 Lúc đó mặt phẳng có dạng : 2x 2 y 3 z m 0 Gọi J là hình chiếu của I lên mặt phẳng Ta có : R2 r 2 IJ 2 IJ 2 17 d I, 17 6 m 17 m 11hoặc m 23 Vậy phương trình mặt phẳng : 2x 2 y 3 z 11 0 hoặc 2x 2 y 3 z 23 0 Câu 62. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho 3 điểm A 1;1; 1 , B 1;1;2 , C 1;2; 2 và mặt phẳng P : x 2 y 2 z 1 0 . Lập phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với mặt phẳng P cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB 2 IC biết tọa độ điểm I là số nguyên A. : 2x y 2 z 3 0 . B. : 4x 3 y 2 z 9 0 . C. : 6x 2 y z 9 0 . D. : 2x 3 y 2 z 3 0 . Hướng dẫn giải : Trang 36 /40
  37.   I 3;3; 6 IB 2 IC Do IBC,, thẳng hàng và IB 2 IC   1 5 2 IB 2 IC I ;; 3 3 3 Vì tọa độ điểm I là số nguyên nên I 3;3; 6 Lúc đó mặt phẳng đi qua AI, 3;3; 6 và vuông góc với mặt phẳng P : 2x y 2 z 3 0 . Câu 63. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P x y z 3 0 , Q : 2 x 3 y 4 z 1 0 . Lập phương trình mặt phẳng đi qua A 1;0;1 và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng PQ , ? A. : 2x 3 y z 3 0. B. : 7x 8 y 9 z 16 0 . C. : 7x 8 y 9 z 17 0 . D. : 2x 2 y z 3 0 . Hướng dẫn giải: Gọi MN, là các điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng PQ , . x y z 3 0 MN, thỏa hệ phương trình : 2x 3 y 4 z 1 0 y z 4 y 3 Cho x 7 M (7; 3; 1) . 3y 4 z 13 z 1 y z 3 y 1 Cho x 6 N 6; 1; 2 . 3y 4 z 11 z 2 Lúc đó mặt phẳng chứa 3 điểm A, N , M : 7 x 8 y 9 z 16 0 . Câu 64. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho 2 đường thẳng x y 1 z x 1 y z 1 d : d : .Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với d ,cắt 1 2 1 1 2 1 2 1 1 Oz tại A và cắt d2 tại B ( có tọa nguyên ) sao cho AB 3 . A. :10x 5 y 5 z 1 0 . B. : 4x 2 y 2 z 1 0 . C. : 2x y z 1 0. D. : 2x y z 2 0 . Hướng dẫn giải Do mặt phẳng vuông góc với d1 2x y z m 0 . Mặt phẳng cắt Oz tại A0;0; m , cắt d tại B m 1,2 m , m 1 2  7 AB m 1,2 m ,2 m 1 9m2 2 m 2 3 9 m 2 2 m 7 0 m 1, m . 9 Vậy mặt phẳng : 2x y z 1 0. Câu 65. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có điểm AB 1;1;1 , 2;0;2 ,CD 1; 1;0 , 0;3;4 . Trên các cạnh AB,, AC AD lần lượt lấy các điểm AB AC AD BCD', ', ' thỏa : 4 . Viết phương trình mặt phẳng BCD''' biết tứ diện AB''' AC AD AB''' C D có thể tích nhỏ nhất ? A.16x 40 y 44 z 39 0 . B.16x 40 y 44 z 39 0 . C.16x 40 y 44 z 39 0 . D.16x 40 y 44 z 39 0 . Trang 37 /40
  38. Hướng dẫn giải: AB AC AD AB AC AD Áp dụng bất đẳng thức AM GM ta có : 4 3 3 AB' AC ' AD ' ABACAD '. '. ' AB'. AC '. AD ' 27 VAB''' C D AB'. AC '. AD ' 27 27 VVAB''' C D ABCD AB. AC . AD 64 VABCD AB. AC . AD 64 64 AB' AC ' AD ' 3  3  7 1 7 Để VAB''' C D nhỏ nhất khi và chỉ khi AB'';; AB B AB AC AD 4 4 4 4 4 7 1 7 Lúc đó mặt phẳng BCD''' song song với mặt phẳng BCD và đi qua B ';; 4 4 4 B' C ' D ' :16 x 40 y 44 z 39 0 . Câu 66. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho P : x 4 y 2 z 6 0 , Q : x 2 y 4 z 6 0 . Lập phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của PQ , và cắt các trục tọa độ tại các điểm ABC,, sao cho hình chóp O. ABC là hình chóp đều. A. x y z 6 0. B. x y z 6 0 . C. x y z 6 0 . D. x y z 3 0 . Hướng dẫn giải Chọn MN 6;0;0 , 2;2;2 thuộc giao tuyến của PQ , Gọi A a;0;0, B 0; b ;0, C 0;0; c lần lượt là giao điểm của với các trục Ox,, Oy Oz x y z : 1 a , b , c 0 a b c 6 1 a chứa MN, 2 2 2 1 a b c Hình chóp O. ABC là hình chóp đều OA OB OC a b c Vây phương trình x y z 6 0 . Trang 38 /40