›
›
›

Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 12

pdf 24 trang thungat 970
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 12", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_cuong_on_thi_mon_toan_lop_12.pdf

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 12

  1. Chuyên đề 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ @ Điều kiên đủ: Nếu f/ (x) > 0, x (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) Nếu < 0, thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) @ Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì 0 Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì 0 (trong điều kiện đủ nếu đạo hàm bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì kết luận vẫn đúng) @ Phƣơng pháp tìm các khoảng đồng biến_nghịch biến của một hàm số 1. Tìm tập xác định của hàm số 2. Tính f '(x) .Tìm các điểm xi ( i = 1,2, ,n) mà tại đó = 0 hoặc không xác định. 3. Lập bảng xét dấu của 4. Sử dụng điều kiện đủ để kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến. BÀI TẬP 1 Bài 1: Tìm m để hs y x32 mx (m 6)x (2m 1) đồng biến trên R 3 Bài 2: Tìm m để hs y x3 mx m 2 luôn đồng biến trên R Bài 3: Tìm m để hs y mx3 (2m 1)x 2m 1 luôn đồng biến trên R Bài 4: Cho hàm số y x32 3mx 3(2m 1)x 1. Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. mx 1 Bài 5: Tìm m để hs y nghịch biến trên từng khoảng xác định x2 (m 2)x 1 Bài 6: Tìm m để hs y đồng biến trên từng khoảng xác định xm CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ @ Nếu qua điểm x0 mà fx()đổi dấu thì x0 là điểm cực trị fx(0 ) 0 @ Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm xx0 thì fx(0 ) 0 fx( ) 0 @ Để hàm số đạt cực đại tại điểm thì 0 fx(0 ) 0 @ Qui tắc tìm cực trị của một hàm số Quy tắc 1 Quy tắc 2 1) Tìm tập xác định. 1) Tìm tập xác định. 2) Tính f '(x). Giải f '(x) 0 2) Tính . Giải = 0 tìm nghiệm xi 3) Lập bảng biến thiên. Kết luận 3) Tính f ''(x) và f ''(xi ). Kết luận. BÀI TẬP 1 Bài 1: Tìm m để hs y x32 mx mx 1 không có cực trị 3 Bài 2: Tìm m để hs y mx4 (m 2 9)x 2 10 có 3 cực trị Bài 3: Cho hàm số y x32 (m 1)x (m 2)x 1. CMR hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu. Bài 4: Tìm m để hs y x42 2mx m 1 có cực đại và cực tiểu. 1 Bài 5: Tìm m để hs y x3 mx 2 (m 2 m1)x1 đạt cực đại tại x= 1 3 Bài 6: Tìm m để hs y x3 3mx m đạt cực tiểu tại x= -1 1 Bài 7: Tìm m để hs y x32 mx (2m1)x m1 có 2 điểm cực trị có hoành độ dương. 3 Bài 8: Tìm m, n để hs y x42 mx n đạt cực trị bằng 2 khi x=1
  2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT_GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Trên đoạn [ a; b] Trên khoảng ( a; b ) 1) Hàm số liên tục trên đoạn [a;b] 1) Tính f '(x). Giải pt f '(x) = 0 2) Tính f '(x). Giải f '(x) 0 tìm nghiệm xi (;) a b 2) Lập bảng biến thiên 3) Dựa vảo BBT để kết luận : 3) Tính f(a), f(b), f(xi) 4) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số max f (x) yCD , min f (x) y CT (a;b) (a;b) trên. Ta có max f (x) M , min f (x) m [a;b] [a;b] BÀI TẬP Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hs y= 2x32 3x 12x 2 trên đoạn [-1;2] 2x 1 Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hs y trên đọan 2;4 x2 Bài 3: Tìm GTLN- GTNN của hs f(x) x2 ln(1 2x) trên đoạn  2;0 Bài 4: Tìm GTLN, GTNN của hs y= x – e2x trên đoạn [-1;0] x1 Bài 5: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hs y= 1x 2 Bài 6: Tìm GTLN, GTNN của hs y= cos2 x cosx 2 3 Bài 7: Tìm GTLN, GTNN của hs y= 2sin x sin 2x trên đoạn 0; 2 ex Bài 8: Tìm GTLN, GTNN của hs y= trên đoạn [ln2;ln4] eex Bài 9: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hs y= x 1 x2 ĐƢỜNG TIỆM CẬN + Nếu lim f (x) y0 thì y = y0 là tiệm cận ngang của (C): y = f(x). x + Nếu lim f (x) hoặc lim f (x) thì x = x0 là tiệm cận đứng của (C): y = f(x). xx0 xx0 BÀI TẬP (SGK) HẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN & VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 1. Tập xác định của hàm số 2. Sự biến thiên Tìm giới hạn tiệm cận (nếu có) Tính đạo hàm y’. Giải phương trình y’ = 0 Lập bảng biến thiên Kết luận về đồng biến - nghịch biến và cực trị. 3. Đồ thị: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu dễ), tìm thêm vài điểm đặc biệt rồi vẽ đồ thị Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0 ) a > 0 A < 0 Ph.trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Ph.trình y’ = 0 Có nghiệm kép. Ph.trình y’ = 0 vô nghiệm. Chú ý: Đồ thị hàm bậc 3 đối xứng qua điểm uốn I( x00 ; y ), với x0 là nghiệm pt y 0 và y00 f( x ).
  3. Dạng của đồ thị hàm trùng phƣơng y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0 ) a > 0 a 0 D = ad – bc < 0 y y x O x O Chú ý: Đồ thị hàm b1/b1 đối xứng qua giao điểm của 2 đường tiệm cận SỰ TƢƠNG GIAO CỦA HAI ĐƢỜNG Cho hai đường cong (C1): y = f (x) và (C2): y = g (x) . Ph.trình: f (x) = g (x) (*) gọi là ph.trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2). Số nghiệm ph.trình (*) chính là số giao điểm của (C1 ) và (C2). BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PH.TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Dùng đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình F (x,m ) = 0 B1) Biến đổi ph.trình F(x,m ) = 0 f (x)=g(m) (*) B2) Pt (*) là ph.trình hoành độ giao điểm của (C): y = f (x) và đ.thẳng d: y = g (m) Số nghiệm ph.trình đã cho chính là số giao điểm của (C) và d. B3) Dựa vào đồ thị (C) để biện luận (Lưu ý các giá trị cực trị ( nếu có) của hàm số). PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ / Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). PTTT của (C) tại M0 x 0 ;y 0 C có là y f (x0 )(x x 0 ) y 0 . Khi đó: M0 x 0 ;y 0 với y0=f(x0) được gọi là tiếp điểm. f '(x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến. Dạng 1: TT của (C) tại điểm Dạng 2: TT của (C) có hệ số góc k cho trƣớc Tìm f '(x) tính / f '(x0 ) Tìm f '(x), giải ph.trình: f (x0 ) = k tìm x0 Viết ph.trình tiếp tuyến. Tìm y0 = f (x0 ). Viết ph.trình tiếp tuyến. Lƣu ý: Nếu đề bài chỉ cho biết hoành độ x0 ( hay Lƣu ý: / tung độ y0) thì ta thay tọa độ đã biết vào phương * Nếu tt d // : y = ax + b thì f x a trình y = f (x) để tìm tọa độ còn lại; tiếp tục tính 0 / để thay vào công thức. * Nếu tt d : y = ax + b thì f x0 .a 1 BÀI TẬP Bài 1: Cho hàm số y=x(3–x)2 1. KS và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C): a. Tại điểm có hoành độ x0. Biết rằng f ’’(x0)=0. b. Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành. c. Biết rằng tiếp tuyến đó song song với đ.thẳng y 9x 2 . 3. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình x32 6x 9x 1 m 0
  4. Bài 2: Cho hàm số y x32 3mx 3(2m 1)x 1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m=1 b. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0. Biết rằng f’(x0)=3. Bài 3: Cho hàm số y x32 (m 1)x (m 2)x 1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m = 1 b. Viết ph.trình đ.thẳngd đi qua hai điểm cực trị của (C). c. Viết ph.trình đ.thẳng (d) vuông góc với đ.thẳng x 3y 0 và tiếp xúc với đồ thị (C). d. Dựa vào (C), biện luận theo k, số nghiệm của ph.trình x3 3x k . Bài 4: Cho hs y x32 3x 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình x32 3x m 0 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0. Biết rằng f ' x0 0 . Bài 5: Cho hs y x3 3x 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình x3 3x m 0 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 . Biết rằng f ' x0 0 . Bài 6: Cho hs y x3 3x 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình x3 3x 2 m 0 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0. Biết rằng f ' x0 0 . Bài 7: Cho hs y x3 3x 2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình x3 3x 2 m 0 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại ðiểm có hoành ðộ x0. Biết rằng f ' x0 0 . Bài 8: Cho hs y x32 x x 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình x32 x x 2 m 0 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0. Biết rằng f ' x0 0 . Bài 9: Cho hs y x32 6x 9x 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình x32 6x 9x m 0 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0. Biết rằng f ' x0 0 . Bài 10: Cho hs y x32 3x 4 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình x32 3x 2 m 0 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0. Biết rằng f ' x0 0 . Bài 11: Cho hs y x32 3x 2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình x32 3x 1 m 0 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0. Biết rằng f ' x0 0 . Bài 12: Cho hs y x32 3x 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0. Biết rằng f ' x0 0 . Bài 13:Cho hs y x32 3x 4 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0. Biết rằng f ' x0 0 .
  5. Bài 14:Cho hs y x32 6x 9x 4 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình x32 6x 9x 2 m 0 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0. Biết rằng f ' x0 0 . x 3 Bài 15:Cho hs y 2x2 3x 1 3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình x32 6x 9x 3 m 0 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0. Biết rằng f ' x0 0 . Bài 16: Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. 2. Định m để ph.trình x42 2x 1 m 0 có 4 nghiệm phân biệt. 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0= -1. 11 Bài 17: Cho hàm số y x42 x 1 42 1. KS và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm ph.trình x42 2x 4 m 0 . 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ bằng 3. x54 Bài 18: Cho hs y 3x 2 22 1. Khảo sát và vẽ đồ thị(C) của hs 2. Biện luận theo m số nghiệm của ph.trình: x42 6x 5 m 0 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0. Biết rằng f "(x0 ) 0 Bài 19: Cho hs y x42 x 2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 2. Định m để ph.trình x42 x 1 m 0 có 2 nghiệm phân biệt. 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 =1. Bài 24: Cho hs y x42 2x 3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình x42 2x 2 m 0 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 dương. Biết f ' x0 0 Bài 25: Cho hs y x42 4x 5 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình x42 4x 3 m 0 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 = -2 x 4 Bài 26: Cho hs y 2x2 1 2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình x42 4x 2 m 0 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 âm. Biết rằng f " x0 10 x 4 Bài 27: Cho hs yx 2 2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0=1. x34 Bài 28: Cho hs yx 2 22 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 . Biết rằng f " x0 2 .
  6. x3 Bài 29: Cho hs y x1 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a) Tại điểm có tung độ bằng 2 b) Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành c) Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung 3) CMR với mọi giá trị m, đường thẳng y=2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt. 2x 3 Bài 30: Cho hs y 2x 1) KS và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng d: y= -x+m 2x 1 Bài 31: Cho hs y x2 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 =2 3) Tìm giá trị m để đường thẳng y = mx-2m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt x1 Bài 32: Cho hs y x1 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 = 2 2x 2 Bài 33: Cho hs y x1 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 = 4 x2 Bài 34: Cho hs y x1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2 x2 Bài 35: Cho hs y x2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 = 3 2x 1 Bài 36: Cho hs y x1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0=3 3. Tìm m để đường thẳng d:y=-x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt 3 2x Bài 37: Cho hs y x1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Tìm giá trị của m để đường thẳng y=mx+2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt x2 Bài 38: Cho hs y 2x 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 = 5 2 2x Bài 39: Cho hs y x2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 = 3 6x Bài 40: Cho hs y x3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 = 2
  7. 4 2x Bài 41: Cho hs y x4 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 = -4 2x 4 Bài 42: Cho hs y x3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Xác định m để đường thẳng y mx 2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. 2x 4 Bài 43: Cho hs y x1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2 2x 4 Bài 44: Cho hs y x4 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0=-2 ################## Chuyên đề 2: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT LŨY THỪA a0 = 1 a .a a aa. a .b ab 1 a aa m a n a aan n m n a a bb khi a 1 aa khi 0 a 1 LOGARIT log b a b log 1 0 log a 1 a a a log b 1 aba log b log b log b log b aa a a b log b log (b b ) log b log b log1 logb logb log b c a 1 2 a 1 a 2 a a 1 a 2 a b2 logc a Khi cơ số a = 10 thì log10 b (logarit thập phân) thường được viết là log b hay lg b Khi cơ số a = e thì loge b (logarit tự nhiên) được viết là lnb BÀI TẬP 1 1 4 1 4 1 2 1 3 1 2n3 3n 3 4n 3 : 2n 3 a3 a 3 a 3 : a4 a 4 a 4 Bài 1: Đơn giản a) b) Bài 2: Cho log30 8 qua log30 5 và log30 3 Bài 3: Cho lg392=a; lg112=b. Tính lg7 và lg5 theo a,b 23 5 4 a . a. a 5 5 5 Bài 4: Tính a) loga b) log55 log 5 4 a n HÀM SỐ MŨ_HÀM SỐ LOGARIT x Đặc điểm Hàm số mũ y = a ( a > 0, a 1) Hàm số lôgarit y = logax ( a > 0, a 1) Tập xác định 0; Tập giá trị a > 1: hàm số luôn đồng biến a > 1: hàm số luôn đồng biến Chiều biến thiên 0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến 0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến
  8. BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM (c) 0, (x) 1 (c.u) c.u (u v) u v (u.v) u.v v.u u u .v v .u 11 11 2 2 .v 2 vv vv xx 1 1 1 1 ( x ) ( u ) .u (x ) .x (u ) .u .u 2x 2u (sin x) cos x (sinu) u .cosu (cos x) sin x (cosu) u sinu 1 2 u 2 (tan x) 2 1 tan x (tan u) 2 u (1 tan u) cos x cos u 1 u (cot x) (1 cot2 x) (cotu) u(1 cotu)2 sin2 x sin2 u xx uu xx uu (a ) a lna (a ) a lna.u (e ) e (e ) e .u 1 u 1 1 (loga x) (loga u) (ln x) (ln u) .u x ln a u.ln a x u BÀI TẬP (SGK) PHƢƠNG TRÌNH MŨ_LOGARIT x a. Phƣơng trình mũ cơ bản : a = b a. Phƣơng trình lôgarit cơ bản: loga x = b b b > 0 : Pt có nghiệm duy nhất x loga b Pt luôn có nghiệm duy nhất xa b ≤ 0 : Phương trình vô nghiệm. b. Phƣơng trình mũ đơn giản b. Phƣơng trình logarit đơn giản + Đưa về cùng cơ số: + Đưa về cùng cơ số: af (x) a g(x) f (x) g(x) f (x) 0 logaa f (x) log g(x) g(x) 0 f (x) g(x) + Đặt ẩn phụ: + Đặt ẩn phụ: x Đặt ta(đk t> 0), biến đổi phương trình mũ Đặt t loga x đưa về phương trình ẩn t thành phương trình đại số theo t Giải phương trình theo t Giải phương trình theo t và chọn t > 0 Tìm x từ t log x x a t x a Tìm x từ a t x loga t + Lôgarit hóa: Lôgarit 2 vế của pt cùng 1 cơ số + Mũ hóa: Mũ 2 vế của pt cùng 1 cơ số c. Bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit: Cơ số Bất phương trình mũ Bất phương trình lôgarit a > 1 f (x) g(x) a a f(x) g(x) logaa f(x) log g(x) f(x) g(x) 0 < a < 1 f (x) g(x) a a f(x) g(x) logaa f(x) log g(x) f(x) g(x) BÀI TẬP 1. Giải các ph.trình sau: (cùng cơ số) x1 x2 5x 6 5 x 7 2 Bài 2: 21 ĐS: x = 2, x = 3 Bài 1:1.5 ĐS: x = 1 3 2 x1 x5 Bài 3: 2x 6x 6 64 ĐS: x = 0, x = 6 Bài 4: 16x1 0, 25.8 x5 ĐS: x= 20 385 3 2 2x 3 3x 7 x 2x 3 7 11 1 x1 Bài 5: 7 ĐS: x= -1; x= 2 Bài 6: ĐS: x= 2 7 11 7 2 x 1 2 x 3x 4 (2x 2) Bài 7: 3 3 108 ĐS: x= 2 Bài 8: 39 ĐS: x= 8/ 7 Bài 9: log x 3 log x1 3 ĐS: x= 5 33 22 5 Bài 10: ln(4x 2) ln(x 1) lnx ĐS: 2
  9. 2. Giải các ph.trình sau: (đặt ẩn phụ) Bài 1: 4x 1 6.2 x 1 8 0 ĐS: x = 1; x= 0 x x 1 Bài 2: log22 2 1.log 2 2 12 xx Bài 3: 9 8.3 9 0 ĐS: x=2 17 x x 1 ĐS: x log 9; x log Bài 4: 4 2.2 3 0 2216 2 2 Bài 6: 16xx 17.4 16 0 ĐS: x 0; x 2 Bài 5: log2 x 1 3log 2 x 1 log32 2 0 Bài 7: 4xx 5.2 4 0 ĐS: Bài 8: 27x 12 x 2.8 x ĐS: x0 23 xx Bài 9: log22 x log x 4 0 Bài 10: 25 7.5 6 0 2 x 1 x 2 Bài 11: log24 x 6log x 4 Bài 12: 4 2 3 0 ĐS: x log2 3 1 3. Giải các ph.trình sau: (mũ hóa_logarit hóa) 2 x 3 x1 x1 x2 x x1 x2 2 x 3 3 Bài 2: 2 2 2 3 3 3 Bài 1:32 2 ĐS: x = 2 x 3 x 2 x 1 x 1 x 1 x Bài 3: 2 .3 .5 400 Bài 4: 2 2 2 28 ĐS: x= 3 4. Giải các ph.trình sau: x x 12 Bài 2: 6.9x 13.6 x 6.4 x 0 ĐS: x 1;x 1 Bài 1:336 3 80 0 ĐS: x 12 Bài 3: 52 x 7 x 5.17 2 x 7.17 x 0 Bài 4: log x log 9x2 9 ĐS: x= 3 3 3 Bài 5: 5x 1 5 3 x 26 ĐS: x = 1; x = 3 Bài 6: 8x 2.4 x 2 x 2 0 ĐS: x = 0; x = 1 Bài 7: 4.9x 12 x 3.16 x 0 ĐS: x = 1 Bài 8: 2x 4 2 x 2 5 x 1 3.5 x ĐS: x = 1 Bài 9: log x log x2 log9x ĐS: x= 3 Bài 10: logx43 log4x 2 logx ĐS: x= 5 Bài 11: log (3x 1)log x 2log (3x 1) Bài 12: log (x 2)log x 2log (x 2) 2 3 2 3 53 x2 x11 x 2 x 1 x 1 Bài 13: log44 (x 2)(x 3) log 2 Bài 14: 3.4 .9 6.4 .9 x3 32 5. Giải các ph.trình_bất ph.trình sau: x1 2x 1 x1 x1 x1 2 x 1 Bài 1: log1 0 ĐS: Bài 2: 2 1 2 1 ĐS: x1 x2 2 x1 2x 3 x 7 3x 1 Bài 3: 6 2 .3 ln 1 sin 2 2 1 Bài 4: e log2 x 3x 0 ĐS: x 2 log 3 2 4 ĐS: 4 x 3;0 x 1 2 Bài 5: log22 x log (x 2) Bài 6: log22 (x 3) log (x 2) 1 3x 5 log23 x log x 4 0 Bài 7: log 1 Bài 8: 22 3 x1 1 x 1 x log2 x log x 6 0 Bài 9: 3 3 10 Bài 10: 0,2 0,2 2 x 1 x Bài 11: log24 x 6log x 4 Bài 12: 7 2.7 9 0 1 log (x2 2x 8) 8 log x 1 Bài 14: 1 Bài 13: 2 2 log2 x ĐS: 1 265x 4  2x 1 265 x 1 x 1 xx 1 Bài 15: 4 6.2 8 0 Bài 16: 4 3.2 8 0 ĐS: x 0  x 1 ĐS: x 1  x 2 x 2 x 1 Bài 17: 24 Bài 18: ln x 2 ln x 4 3ln 2 ĐS: 4 x 0 ĐS: 1 17 x 2  0 x 1 17
  10. Chuyên đề 3: NGUYÊN HÀM_TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM @ Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu F'(x) f (x), x K . @ Sự tồn tại nguyên hàm: Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K @ Chú ý: k.f(x)dx k. f(x)dx (k là hằng số khác 0) f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx Bảng công thức nguyên hàm STT Nguyên hàm theo biến số x Nguyên hàm theo biến số u 1 1dx x C 1du u C 2 x 1 u 1 x dx C ( 1) u du C ( 1) 1 1 3 1 1 dx ln x C du ln u C x u 4 exx dx e C euu du e C 5 ax au ax dx C au du C ln a ln a 6 cos xdx s inx C cosudu sinu C 7 sinxdx cos x C sinudu cosu C 8 1 1 dx tan x C du tan u C cos2 x cos2 u 9 1 1 dx co t x C du co t u C sin2 x sin2 u @ Một số công thức nguyên hàm bổ sung 1 (ax b) 1 1 (ax b) dx . C sin(ax b)dx cos(ax b) C a1 a 11 1 dx ln ax b C cos(ax b)dx sin(ax b) C ax b a a 1 11 eax b dx e ax b C dx tan(ax b) C a cos2 (ax b) a 11 t anxdx ln cos x C, co t xdx ln sin x C dx cot(ax b) C sin2 (ax b) a ###### PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM @ Phƣơng pháp đổi biến số Nếu f(u)du F(u) C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì f[u(x)]u'(x)dx F[u(x)] C udaoham du @ Phƣơng pháp tính nguyên hàm từng phần: udv u.v vdu Nhớ: dvnguyenham v Lưu ý: Cho P (x) là một đa thức, cách đặt u và dv của một số nguyên hàm: Đặt P(x).ex dx P(x).sinxdx P(x).cos xdx P(x).ln xdx u = P (x) P (x) P (x) Lnx dv = exdx sinxdx cosxdx P (x)dx
  11. BÀI TẬP sin4 x 1 Bài 2: Tìm x32 2x 3x 2 dx Bài 1: Tìm dx sin2 x Bài 3: Tìm x x2 3x 3 dx Bài 4: Tìm sin x 2cos(3x 1) 3 dx 1 32 Bài 5: Tìm dx Bài 6: Tìm (2x 1) x x 5dx x2 2x 3 Bài 7: Tìm sin5 x.cos xdx Bài 8: Tìm x.sin xdx Bài 9: Tìm (2x 1)ex dx Bài 10: Tìm x.ln xdx Bài 11: Tìm một ng.hàm F(x) của f(x) = 4x3- x biết rằng F(-1)= 2 Bài 12: Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = sin2x+3x2 Bài 13: Tìm một ng.hàm F(x) của f(x) = tan2 x biết biết F(0)= 2 F(0)= 1 ĐS: F(x) = tanx – x +1 Bài 14: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số 2 x Bài 13: Tìm (x) của f(x)= sin biết f ; 2 24 x π 2π f (x) cos + biết F( )= -1; 26 3 ###### TÍCH PHÂN b b @ Công thức Newton_Leibniz : f(x)dx F(x) F(b) F(a) a a @ Phƣơng pháp đổi biến số đổi biến; đổi cận; tính tích phân mới với biến số mới và cận mới.  1  Lưu ý : Khi gặp dạng: dx ; (a22 x )dx đặt x = atant ax22   1 Khi gặp dạng: a22 x dx ; dx đặt x = asint 22 ax @ Phƣơng pháp tích phân từng phần: Cách đặt u và dv tƣơng tự nhƣ bài nguyên hàm. daoham bbb u du Công thức: udv uv vdu Nhớ: aaa dvnguyenham v BÀI TẬP 2 Bài 1: 4 x2 dx . Đặt x=2sint ĐS: 1 dx 2 0 Bài 2: . Đặt x=tant ĐS: 1 23 0 (1+x ) 2 1 dx 1 Bài 3: . Đặt x= tant ĐS: Bài 4: x22 1 x dx . Đặt x=2sint ĐS: 0 1+x 2 4 0 16 1 2 2 1 3x Bài 5: 1 x dx Đặt x= sint ĐS: Bài 6: dx ĐS: ln2 0 4 0 x13 cosx 1 1 Bài 7: 2 dx ĐS: ln2 Bài 8: x3 (1- x 2 ) 3 dx . ĐS: 0 1+sinx 0 40 π 1 π Bài 9: 6 1+ 4sinxcosxdx ĐS: (3 3 1) Bài 10: 2 esinx cosxdx ĐS: e-1 0 6 0 2 e 1+ lnx 2 2 x 1 Bài 11: dx . ĐS: 2 2 1 Bài 12: dx ĐS: 3 81 1 3 3 1 x 3 0 1+ x 2 π x 8 4 e Bài 13: 2 sin5 x.dx . ĐS: Bài 14: .dx . ĐS: 2(e2 – e) 0 15 1 x 2 sin 2x 4 e ln x 1 Bài 15: 2 dx ĐS: ln Bài 16: dx ĐS: 0 4 cos2 x 3 1 x 3 π 22 Bài 17: 2 cos2 xsinxdx ĐS: Bài 18: 4 x.cosxdx ĐS: 1 0 0 82
  12. 3 3 e Bài 19: 4x ln xdx ĐS: 18ln3-8 2 2e 8 1 Bài 20: (1 x )ln xdx ĐS: 1 99 1 2 1 x Bài 21: (2x -1).lnx.dx ĐS: 2ln 2 Bài 22: (4x +1)e .dx ĐS: e+3 1 2 0 π 1 2 Bài 23: 4 x.sin2x.dx ĐS: Bài 24: 2 (x sin2 x)cosxdx ĐS: 0 4 0 23 0 sin 2x 2 x Bài 25: sin cos2x dx ĐS: 2- 2 Bài 26: dx ĐS: ln4-2 2 0 2 2 2 s inx 1 21 1 4 Bài 27: 3x cos2x dx ĐS: sin 2 Bài 28: x x ex dx ĐS: 0 ln 3 2 0 3 1 2 xx Bài 30: x ex sinx dx ĐS: 1 2 1 e 1 sin1 cos1 Bài 29: 1+sin cos dx ĐS: 2 0 2 0 22 2 t anx 2 sin2x 4 Bài 31: 4 dx ĐS: 1 Bài 32: 2 dx ĐS: ln 0 cosx 2 0 4 cos2 x 3 2 3 1 x 2 3 2 2 Bài 32: 2 1 2sin x cos xdx ĐS: 10 Bài 33: dx ĐS: 0 3 0 2x 3 3 x π sinx ln 4 Bài 34: dx ĐS: 1 Bài 35: 2 .dx . ĐS: 0 2 x1 0 1+ 3cosx 3 5 2 2 248ln 2 35 2 x dx 2 Bài 36: x ln(x-1)dx ĐS: Bài 37: ĐS: 10 3 2 3 32 1 x2 3 ###### ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN @ Diện tích hình phẳng b 1. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x);y 0;x a;x b là S f (x)dx a cb Lưu ý : Nếu f (x) 0 có nghiệm x c a,b thì S f(x).dx f(x).dx ac x2 2. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x);y 0 là S f (x) dx với x1, x2 ( x1 < x2) là hai x1 nghiệm của phương trình fx( ) 0. b 3. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x);y g(x);x a;x b là S f(x) g(x)dx a cb Lưu ý: Nếu f (x) g(x) 0có nghiệm x c (a;b) thì S f(x) g(x)dx f(x) g(x)dx ac x2 4. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x);y g(x) là S f(x) g(x)dx với x1, x2 ( x1 < x2) là x 1 hai nghiệm của phương trình @ Thể tích khối tròn xoay khi hình (H) quay quanh Ox b y f (x); y 0 2 1. (H): V  f(x)dx x a; x b a x2 y f (x) 2 2. (H): V  f(x)dx với x1, x2 ( x1 < x2) là hai nghiệm của phương trình y0 x1
  13. BÀI TẬP Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y 1 1 3 27 yx ln , x , x e và trục hoành ĐS: 21 = -x +3x-2 và trục hoành ĐS: e e 4 Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hs y = ex , trục tung, đường thẳng x = 1 ĐS: e-1 đường y = ex, y=2, và x=1 ĐS: e+2ln2-4 Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): Bài 6: Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi 1 1 32 y , x=0,x=1, trục hoành. ĐS: ln 3 (P):y=x 2, đ.thẳng y = 6-x, trục hoành. ĐS: 2x 1 2 3 Bài 7: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra do Bài 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi (P ) : y x2 2 x , 1 quay hình phẳng giới hạn bởi (C): y x32 x , trục hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo 3 16 81 thành khi quay hình (H) quanh trục hoành ĐS: y=0, x=0,x=3 quanh trục Ox ĐS: 15 35 Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=ex, đường y = cosx, y = 0, x=0, x= /2 ĐS: 1 trục hoành, và đường thẳng x=1 ĐS: e-1 Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): Bài 12: Tính diện tích hính phẳng giới hạn bởi (C): 4 3 2 2 89 x55 24 6 y = x -3x +3x – 1 và (P): y = -x +2x+1 ĐS: y = 3x 2 và y = . ĐS: 12 222 5 Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các Bài 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): đường y = xex ,x = 2, y = 0 ĐS: e2+1 3 y = x3, x+y=2 y = -x+2 và trục hoành ĐS: 4 Bài 15: Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi Bài 16: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y 1 2 1 2 2 9 (P1): yx , (P2): y 3x x . ĐS: 8 = -x +2x, và đ.thẳng x+y=0 y= -x ĐS: 4 2 2 ############### Chuyên đề 4: SỐ PHỨC 1. Số phức: là biểu thức có dạng a+bi trong đó a, b R ; i2= -1 Kí hiệu: z = a+bi trong đó a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo; i gọi là đơn vị ảo Chú ý: + Tập số phức kí hiệu là C (Complex) + Mỗi số thực a được coi là số phức với phần ảo bằng 0 (số thực cũng là số phức tức RC) + Số 0 + bi gọi là số thuần ảo 2. Biểu diễn hình học của số phức Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trong hệ trục tọa độ Oxy 3. Mô đun của số phức: Độ dài của OM đgl mô đun của số phức Z. Kí hiệu: z a bi a22 b 4. Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z a bi là z a bi Chú ý: z z ; z z 5. Các phép toán về số phức: cho z1 a 1 b 1 i ; z 2 a 2 b 2 i aa Số phức bằng nhau z z a b i a b i 12 (thực = thực; ảo = ảo) 1 2 1 1 2 2 bb12 zz abi abi aa bbi Cộng, trừ số phức 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 (tƣơng ứng) zz1 2 abi 1 1 abi 2 2 aa 1 2 bbi 1 2 Nhân 2 số phức z.z12 a 11 bi.a 22 bi a.a 1212 bb ab 1221 abi a b i a b i z z .z z .z z1 a 1 b 1 i 1 1 2 2 Chia số phức cho số phức 1 1 2 1 2 hay z zz 2 z a b i a22 b 2 22 z 2 2 2 2 2 2 1z Nghịch đảo của số phức 2 z z
  14. 6. Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực ax2 bx c 0(a 0)a,b,c R Tính b2 4ac b + Nếu >0 thì ph.trình có 2 nghiệm thực phân biệt x 1,2 2a b + Nếu =0 thì ph.trình có 1 nghiệm thực x 2a bi + Nếu < 0 thì ph.trình có 2 nghiệm phức phân biệt x 1,2 2a Chú ý: trên tập số phức C mọi ph.trình bậc hai đều có nghiệm (không nhất thiết phân biệt) BÀI TẬP Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức 1) Tính A= i(3 i)(3 i) ĐS: 10i 22 2) Tính P= 2 i 5 2 i 5 ĐS: -2 B= 2 3i (5 i)(6 i) ĐS: 33+4i 22 2 3) Tính Q= 1 i 2 1 i 2 ĐS: -2 4) Cho z (1 2i)(2 i) . Tính z.z ĐS: 125 5) Cho z = 2 + 3i. Tính z z21 z z 6) Cho z = 4 - 3i. Tính z z21 z z 2 7) Cho z = 1 i 3 . Tính zz2 ĐS: - 4 Dạng 2: Xác định phần thực_ảo , tìm mô đun. 1) z 4 3i (1 i)3 ĐS: ab 2; 5 2) z 1 4i (1 i)3 ĐS: ab 1; 2 3) z 4 i (2 i)3 ĐS: ab 6; 10 4) z 3 2i (6 i)(5 i) ĐS: ab 32; 13 1i 23 14 5) z 4 3i ĐS: ab ; 2i 55 Dạng 3: Tìm x,y dựa vào 2 số phức bằng nhau 1) ( 2x+3y+1) + ( -x+2y)i = ( 3x-2y+2) +( 4x-y-3)i 2) 4x+3 + (3y-2)i = y+1 +(x-3)i ĐS: x = 9/11; y = 4/11 ĐS: x = - 7/11; y = - 6/11 3) x+2y+( 2x-y)i = 2x+y +(x+2y)i 4) (x+1) + 3(y-1)i = 5-6i ĐS: x = y = 0 ĐS: x = 4; y = -1 Dạng 4: Nghịch đảo số phức 1 2 3 1 i 5 1 3 2 5 2 3 5 1) z 2 i 3 ĐS: i 2. z = ĐS: i z 5 5 3 2i z 6 6 2 1 7 6 2 3. z = 3 i 2 ĐS: i z 121 121 Dạng 5: Giải ph.trình trên tập số phức 1) (3-2i)z + (4+5i) = 7+3i ĐS:1 33 19 2) (1+3i)z – (2+5i)= 7+3i ĐS: i 10 10 42 19 23 19 3) (3+4i)z = (1+2i)(4+i) ĐS: i 4) 3z(2 -i) +1= 2iz( 1+i) +3i ĐS: i 25 25 89 89 z 2 i 1 3i 22 4 5) (2 3i) 5 2i ĐS: 15-5i 6) z ĐS: i 4 3i 1 i 2 i 25 25 2 2 7) Giải pt x – 4x + 5 = 0. ĐS: x1,2 2 i 8) Giải pt z + 2z + 17 = 0. ĐS: x1,2 1 4i 2 3 9) Giải pt x – 4x + 9 = 0. ĐS: x1,2 2 i 5 10) Giải pt x + 8 = 0. ĐS: x= - 2; x2,3 1 i 3 3 11) Giải pt x - 8 = 0 12) Giải pt z42 z 3 0 ĐS: x= 2; x 1 i 3 2,3 1 13 1 13 ĐS: z ; z i 1,222 3,4 13) Giải pt z42 7z 10 0 14) Giải pt ĐS: z1,2 i 2;z 3,4 i 5 ĐS:
  15. Chuyên đề 5: ĐA DIỆN-MẶT CẦU-MẶT NÓN- MẶT TRỤ KHỐI ĐA DIỆN KHỐI LĂNG TRỤ KHỐI CHÓP KHỐI CHÓP CỤT 1 1 V B.h V B.h V (B B' BB').h 3 3 Trong đó: B,B’ là diện tích đáy và h là chiều cao. MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN NÓN TRỤ CẦU 2 Sxq .r.l SSStp xq day Sxq 2 r.l Stp S xq 2S day S 4 r 2 1 V r h 4 3 V r2 h Vr 3 3 BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA=5. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3, BC=4. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 450. a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. b) Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA tạo với mặt đáy một góc 600. Hình chiếu của S trên mp (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. a) Chứng minh BC v.góc với SA b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Bài 4. Cho h.chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh SA v.góc với đáy. Biết SA=AB=BC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Bài 5. Cho h.chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.Gọi I là trung điểm của BC a) Chứng minh SA v.góc với BC b) Thể tích khối SABI theo a Bài 6. Cho h.chóp S.ABC có mặt bên là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc mp đáy. Biết BAC 1200 , tính thể tích khối chóp theo a Bài 7. Cho h.chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB=a, AC= a3, cạnh bên SA vuông góc với mp đáy và SA= a2. Tính thể tích khối chóp theo a Bài 8: Cho khối chóp đều S.ABCD có AB=a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. Bài 9: Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc nhau từng đôi một, SA=1cm,SB=SC=2cm. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tính diện tích của mặt cầu, thể tích khối cầu đó Bài 10: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD Bài 11:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 6 và độ dài đường cao bằng 1. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 12: cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc bằng 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho và tính thể tích khối cầu tương ứng Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a. Bài 14: Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC=b, C = 600. Đồng thời đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mp (AA’C’C) một góc 300 a/ Tính độ dài đoạn AC’ b/ Tính thể tích khối lăng trụ Bài 15: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC= a, biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600. Tính thể tích lăng trụ Bài 16: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 17: Cho khối hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy 3 o a6 (ABCD) một góc 60 .Tính thể tích khối hộp chữ nhật. ĐS: V 2
  16. Bài 18: Một hình nón có đỉnh S, khoảng cách từ tâm O của đáy đến dây cung AB của đáy bằng a, SAO 300 SAB 600 . Tính độ dài đường sinh theo a. ĐS: la 2 Bài 19: Cắt khối trụ tròn xoay bằng một mp qua trục của khối trụ ta được 1 hình vuông cạnh a. Tính diện 2 tích xung quanh của khối trụ đó. ĐS: Saxq Bài 20: Cho hình nón có đường cao bằng 12cm, bán kính đáy bằng 16cm. Tính diện tích xung quanh của 2 hình nón đó ĐS: Sxq 320( cm ) Bài 21: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAB bằng 300. Tính diện tích xung quanh a62 của hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. ĐS: S xq 6 Bài 22: Một hình trụ có bán kính đáy là r và đường cao là r 3 2 2 a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ ĐS: Sxq = 2 r ; Stp = 2 r 13 b/ Thể tích khối trụ tương ứng ĐS: V= r3 Bài 23: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a 2 2 21 2 a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón ĐS: Sxq = a ; Stp = a 2 2 2 b/ Tính thể tích khối nón tương ứng ĐS: Va 3 12 Bài 24: Một hình trụ có bán kính đáy R=2, chiều cao h= 2 . Một hình vuông có các đỉnh nằm trên 2 đ.tròn đáy sao cho có ít nhất 1 cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Tính cạnh của hình vuông. ĐS: 3 Bài 25: Cho khối hộp MNPQ.M’N’P’Q’ có thể tích V. Tính thể tích khối tứ diện P’MNP theo V Bài 26: Cho hình chóp S.ABC . Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp M.SBC và M.ABC ĐS: 2 ##### MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN NẮM Tam giác ABC vuông tại A Tam giác ABC vuông cân tại A Tam giác ABC đều Pitago BC2 AB 2 AC 2 0 AB=AC B C 45 AB=AC=BC 1 1 1 2 0 2 2 2 AH AB A B C 60 AH AB AC 2 BC 3 AH2 BH.CH ; AM 1 AB2 AH AB 2 S BC.AH 2 22 2 22 1 AB 3 AB AB.BH ; AC AC.CH 1 S BC.AH 11 S AB.AC.sinA 24 S AB.AC BC.AH 2 22 Hình chữ nhật ABCD Hình vuông ABCD Hình thang ABCD BD2 AB 2 AD 2 AC BD AB 2 AD BC S AH S AB.AD S AB2 2 - Góc giữa đường thẳng d và mp(P) là góc giữa - Góc giữa 2 mp cắt nhau là góc giữa hai đường thẳng d và hình chiếu d’ của d trên (P). trong hai mặt phẳng lần lượt vuông góc giao tuyến.
  17. Chuyên đề 6: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM & VECTƠ Vectơ * M là trung điểm của AB: a (x;y;z)a a a a xi a yj a zk. a xABABAB x y y z z M;; 0 (0;0;0) (vec tơ không) 2 2 2 * G là trọng tâm tam giác ABC AB (xBABABA x;y y;z z) (sau – trước) Độ dài xABCABCABC x x y y y z z z G;; 2 2 2 3 3 3 AB (xBABABA x) (y y) (z z) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ Trong không gian Oxyz cho a (x;y;z)a a a b (x;y;z) b b b xx ab a b (xa x;y b a y;z b a z) b 2 2 2 a b yab y ; a xa y a z a a b (xa x;y b a y;z b a z) b zzab Nhân vectơ với 1số (kq là 1vectơ cùng hướng nếu k>0 Tích có hướng(kq là 1 vectơ vuông góc với cả và ngược hướng nếu k<0) 2 vectơ thành phần) k.a (kx ;ky ;kz ), k R y z z x x y a a a a,ba a ; a a ; a a Ứng dụng: chứng minh 2 vectơ cùng phương yb z b z b x b x b y b Với b 0,a cùng phƣơng b Ứng dụng: chứng minh 2 vec tơ cùng phương a kb xa kx,y b a ky,z b a kz b a cp b a,b 0 (sgk HH12 nâng cao) Ứng dụng: tính diện tích tam giác Tích vô hướng: a.b xa x b y a y b z a z b 1 Ứng dụng: a b a.b 0 S AB, AC ABC 2 Góc giữa 2 vec tơ a 0 ,b 0 Ứng dụng: tính thể tích tứ diện ABCD 1 a.b x x y y z z V AB, AC .AD cos(a,b) a b a b a b ABCD 6 2 2 2 2 2 2 a . b xa y a z a . x b y b z b @Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x;y;z) trên các trục và mặt phẳng tọa độ Hình chiếu trên Hình chiếu trên Hình chiếu trên Hình chiếu trên Hình chiếu trên Hình chiếu trên Ox Oy Oz (Oxy) (Oyz) (Oxz) M1(x ; 0 ; 0) M2(0 ; y ; 0) M3(0 ; 0 ; z) M4(x ; y ; 0) M5(0 ; y ; z) M6(x ; 0 ; z) ( khi chiếu vuông góc một điểm lên trục nào(mp tọa độ nào) thì tọa độ hình chiếu của nó chỉ còn thành phần tương ứng với trục đó(mp tọa độ đó)) @Tọa độ điểm đối xứng của điểm M(x;y;z) qua các trục, mặt phẳng tọa độ, gốc tọa độ Đối xứng Đối xứng Đối xứng Đối xứng Đối xứng Đối xứng Đối xứng qua Ox qua Oy qua Oz qua (Oxy) qua (Oyz) qua (Oxz) qua O M1(x; -y; -z) M2(-x; y; -z) M3(-x; -y; z) M4(x; y; -z) M5(-x; y; z) M6(x; -y; z) M7(-x; -y; -z) @ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng (hay là 3 đỉnh của 1 tam giác) A o A, B, C không thẳng hàng AB, AC 0 C o Hoặc viết ptts đ.thẳng BC, kiểm tra thấy A không thuộc BC (tức là khi B thay tọa độ của A vào ph.trình đường BC thấy không thỏa) @ Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng (hay là 4 đỉnh của 1 tứ diện) A o A, B, C, D không đồng phẳng AB, AC .AD 0 o Hoặc viết pttq của mp (BCD) B D Kiểm tra thấy A không thuộc mp (BCD). (tức là thay tọa độ điểm A vào C ph.trình mp (BCD) thấy không thỏa )
  18. BÀI TẬP Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm Bài 2: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0), A(1;-1;2), B(1;3;2),C(4;3;2), D(4;1;2). B(0;1;0), C(0;0;1) và D(–2;1;–1). 1. Chứng minh 4 điểm A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. diện. Tính thể tích tứ diện ABCD. b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ 2. Tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ diện ABCD. đỉnh B. c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao 3. Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ hạ từ A diện đó Bài 3: Cho tứ diện PABC, có P(1; –2; 1),A(2; 4; 1), Bài 4: Cho A = (1; 0; 0), B (0; 2; -2), C (0; -1; -3). B(–1; 0; 1) và C(–1; 4; 2). Tìm tọa độ hình chiếu Tìm tọa độ của D sao cho ABCD là hình bình vuông góc của P trên (ABC) hành. Bài 5: Cho A(1;-1;1), B(2;-3;2), C(4;-2;2). Bài 6: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1). a)Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB a/ CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b)Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC b/ Tìm tọa độ đỉnh D để ABCD là hình bình hành. c/ Tính các góc của tam giác ABC. ###### MẶT PHẲNG @ Phƣơng trình tổng quát của mp (P): Ax By Cz D 0 trong đó A2 B 2 C 2 0 @ Công thức viết pttq mp (P) khi biết 1 điểm thuộc M0 x 0 ;y 0 ;z 0 và 1 vectơ pháp tuyến n A;B;C là A x x0 B y y 0 C z z 0 0 (*) (Chú ý: vectơ pháp tuyến có thể tìm từ tích có hướng của 2 vec tơ không cùng phương với mặt phẳng) @ Phƣơng trình các mp tọa độ Mp Oxy Mp Oxz Mp Oyz z = 0 y = 0 x = 0 @ Một số trƣờng hợp đặc biệt của mặt phẳng - Phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ là Ax+By+Cz = 0 x y z - Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A( a ;0;0), B (0; b ;0), C (0;0; c ), với abc 0 là 1 a b c @ Tính khoảng cách: từ điểm đến mặt phẳng (P): Ax0 By 0 Cz 0 D d M0 , P ABC2 2 2 @ Vị trí tƣơng đối giữa 2 mặt phẳng (P): A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 và (Q): A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 nPQ kn PQ VTPT của (P) là nP A1 ;B 1 ;C 1 n kn VTPT của (Q) là nQ A2 ;B 2 ;C 2 D kD D1=kD2 12 (P) cắt (Q) (P) // (Q) (P)  (Q) Lƣu ý: (P)  (Q) nPQ .n 0 @ Một số bài toán thƣờng gặp về phƣơng trình mặt phẳng (khi dùng tích có hướng của 2 vectơ thì phải nhớ rằng 2 vectơ đó không cùng phương_trong các trường hợp đưới đây xem như đã chú ý đến điều này) DẠNG CÁCH GIẢI Viết ph.trình mp đi qua 3 nP o A (P) (hoặc B, hoặc C) ; VTPT là điểm A, B, C không thẳng C hàng P A B nP = AB, AC o Thế vào pt (*) (có thể thay 2 điểm B,C bằng đ.thẳng d nằm trong (P))
  19. Viết ph.trình mp(P) đi qua Cách 1: điểm M0(x0;y0;z0) và song M o M (P) ; VTPT là nPQ =n =(A;B;C) song với mp P 0 0 n (Q):Ax+By+Cz+D=0. Q o Thế vào pt (*) Cách 2: (có thể thay mp (Q) bằng Q các mp tọa độ) o Vì (P) // (Q) nên ph.trình (P) có dạng: Ax+By+Cz+D’=0 o M0 (P) nên Ax0+By0+Cz0+D’=0 => D’ o A (P) ; VTCP của d cũng là VTPT của mp Viết ph.trình mp(P) đi qua điểm A xAAA ; y ; z và (P): nP =u d = (x ;y ;z ) x x0u x t u u u o Thế vào pt (*) vuông góc với đ.thẳng d: y y y t 0u (có thể thay d bằng trục tọa độ) z z0u z t Viết ph.trình mp trung trực o Gọi I là trung điểm của AB, ta có của đoạn AB với xABABAB x y y z z I I ; ; (P) A B 2 2 2 B xBBB ; y ;z o VTPT là n = AB ( hoặc IA , hoặc IB ) P o Thế vào pt (*) Viết ph.trình mp (P) tiếp o Tìm tâm I của mặt cầu (S) xúc mc (S) tại o I ; VTPT là MI0 (hay IM 0 ) M x ; y ;z 0 0 0 0 o Thay vào pt (*) M0 P Viết ph.trình mp (P) qua 2 d o (hoặc là B); VTPT n P = ud , AB điểm phân biệt A, B và song nP song với đ.thẳng B o Thay vào pt (*) (nếu (P) chứa d’ thì thay A bởi điểm thuộc d’ A P ud và AB bởi VTCP u ; nếu (P) chứa trục tọa độ d d' thì thay A bởi O và bởi vectơ đơn vị trên trục) Viết ph.trình mp(P) qua 2 n P o (hoặc là B); VTPT n PQ = n , AB điểm phân biệt A, B và n Q AB vuông góc với mp nQ o Thay vào pt (*) (Q):Ax+By+Cz+D=0. (Tương tự trường hợp trên khi (P) chứa đ.thẳng B Q hoặc chứa trục tọa độ) P A BÀI TẬP: Bài 1: A(1;0;-2), B(0;0;5), C(2;2;0) Bài 2: Cho điểm M(2;-1;-1). Viết ph.trình mp (P) a) Viết ph.trình mp (ABC) trong các trường hợp sau: b) Viết ph.trình mp trung trực của AB a. Đi qua điểm M và song song với mp(Oxy). c) Viết ph.trình mp (P) qua A và song song mp b. Đi qua 3 điểm M1,M2,M3 theo thứ tự là hình x-2y+z+4=0 chiếu của M lên Ox, Oy, Oz. c. Đi qua điểm M và chứa trục Ox. (Oy, Oz) Bài 3: Trong không gian Oxyz, lập ph.trình mp (P) Bài 4: Cho điểm M(1;2;3). Gọi M1, M2, M3 lần qua hai điềm A(7; 2; -6) và B(5; 6; -4) . Biết: lượt là hình chiếu của M trên trục hoành, trục tung 1. (P) song song với Oy. và trục cao Viết ph.trình mặt phẳng đi qua ba điểm 2. (P) vuông góc với mp(Q): x - 4y = 5. M1, M2, M3. x 1 y 2 z 3 Bài 6: Viết ph.trình mp (P) Bài 5: cho A(2;3;4) và d: 2 1 1 a) (P) qua 2 điểm M(1;2;3), N(2;-2;4) và song song a) Viết ph.trình mp (P) chứa điểm A và trục hoành với trục Oy. (Ox, Oy) b) Viết ph.trình mp (Q) chứa điểm A và v.góc d x 1 2t c) Viết ph.trình mp (R) chứa đường thẳng OA và b) (P) chứa d: y 1 t và v.góc (Q):x+y+z-3=0 vuông góc với mp(Oxy). z 2 3t d) Viết pt mp qua A và song song (Oxy)
  20. Bài 7: Xét vị trí tương đối của các cặp mp sau : 3x 2y 3z 5 0 : x 2y z 3 0 a) b)  : 9x 6y 9z 5 0  : x 2y z+3 0 : x y 2z 4 0 d) tìm m,n để 2 mp sau song song c) : x+my 3z 5 0  :10x 10y 20z 40 0  : nx 6y 6z 2 0 e) tìm m,n để 2 mp sau song song f) tìm m để 2mp sau vuông góc : 3x y mz 9 0 : 3x 5y mz 3 0  : 2x+ny 2z 3 0  : mx+3y 2z 5 0 Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm M(1;2-3) lần lượt đến các mp sau a) x+2y-2z+1=0 b) 3x+4z+25=0 c) z+5=0 d) các mp tọa độ ###### ĐƢỜNG THẲNG @ Đƣờng thẳng d đi qua điểm M0 x 0 ;y 0 ;z 0 và có 1 vectơ chỉ phƣơng u = (xu ;y u ;z u ) x x0u x t x x0 y y 0 z z 0 có ph.trình tham số y y0u y t t R (*) và ph.trình chính tắc xu y u z u z z0u z t @ Phƣơng trình các trục tọa độ Trục Ox Trục Oy Trục Oz x t;y 0;z 0 x 0;y t;z 0 x 0;y 0;z t @ Vị trí tƣơng đối của 2 đ.thẳng x x/// x t x x0u x t 0u //// Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d y y0u y t (t R) và d’ y y0u y t (t R) /// z z z t z z z t 0u 0u / udd ku / udd ku VTCP của d là ud x ;y ;z , u u u /// // / VTCP của d’ là ud xu ;y u ;z u , Md0 Hệ {d,d’} có / / Md Md Hệ {d,d’} VN nghiệm duy I 0 0 d trùng d’ d // d’ d chéo d’ d cắt d’ @ Một số bài toán thƣờng gặp về phƣơng trình đƣờng thẳng DẠNG CÁCH GIẢI Viết ph.trình đ.thẳng d đi qua 2 điểm A(xA;yA;zA) o Ad (hoặc B) ; VTCP u = AB . B(xB;yB;zB) o Thế vào phương trình (*) d Có thể dùng pt: A B x xAAA y y z z xBABABA x y y z z Viết ph.trình đ.thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và song o Md0 ; VTCP // /// x x0u x t u d =u d ' =(x;y;zu u u ) . // song với đ.thẳng d ': y y0u y t o Thế vào phương trình (*) // (Nếu d song song với trục tọa độ thì có thể z z z t 0u dùng vectơ đơn vị làm VTCP cho d)
  21. Viết ph.trình đ.thẳng d đi qua 1 d o Md0 ; VTPT của (P) cũng là VTCP điểm M0(x0;y0;z0) và vuông góc M0 nP với mặt phẳng (P): của d nP ud = (A;B;C) Ax+By+Cz+D=0 P o Thế vào phương trình (*) Viết ph.trình đ.thẳng d qua điểm d' o Viết pttq mp (P) qua M0 và vuông góc ud' M0, vuông góc và cắt d’ với d’ M d 0 o Xác định M  d/ (P) (giải hpt P M {d’,(P)}) o Viết ptts của d qua 2 điểm M0, M Viết ph.trình đ.thẳng d qua điểm d' o Viết pttq mp (Q) qua M0 và song song M0, song song với mp (P) và cắt d M0 mp (P) M đ.thẳng d’ Q o Tìm M  d/ (Q) o Viết ptts của d qua 2 điểm M0, M P BÀI TẬP: Bài 1: Viết ptts của đường thẳng đi qua điểm A(3;2;- Bài 2: Viết ptct của đ.thẳng đi qua A(1;-2;-3) và 1) và song song với vuông góc với x 1 y 1 z a) mặt phẳng ( ) : 2x y 0 a) đường thẳng : 2 3 4 b) mặt phẳng ():3x 5y z 12 0 b) đường thẳng :x= -1+2t; y=2+t; z= -3-t c) các mp tọa độ c) các trục tọa độ Bài 3: Viết ptts và ptct của đ.thẳng d đi qua hai điểm Bài 4: Cho ABC với A(3;6;-7), B(-5;2;3), C(4;- A(1; 2; 3), B(5; 7; 9) 7-2). Viết ptts các đường trung tuyến của ABC Bài 5: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1, d’ có phương trình sau: x 3 2t x 5 t ' x t x 9 2t ' a) d:y1 23t d':y 14t' b) d:y1 1t d':y 82t' z 6 4t z 20 t ' z 2 t z 10 2t ' x1y1z2 x1y5z4 x t x 0 c) d : d ': 1 1 2 3 3 2 2 d) d1 : y 3t d ' : y 9 z 1 2t z 5t ' ###### MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN GIỮA ĐƢỜNG THẲNG & MẶT PHẲNG @ Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và mặt phẳng x x0u x t Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d y y0u y t và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz +D = 0 z z0u z t Xét phương trình Ax 0 xt u By 0 yt u Cz 0 zt u D0 (*) (t là ẩn) Nếu (*) vô nghiệm thì d // (P) Nếu (*) có đúng 1 nghiệm t = t0 thì d cắt Nếu (*) có vô số nghiệm (P) tại 1 điểm là thì d  (P) M0 x 0 xt;y u 0 0 yt;z u 0 0 zt u 0 @ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên mp (P) o Viết ptts của đ.thẳng d qua M và vuông góc mp (P) d M o Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P), H là giao điểm của d và d (P). Giải hpt tìm H P H (P) M' (Nếu M’ là điểm đối xứng với M qua (P) thì H là trung điểm của MM’, áp dụng công thức tọa độ trung điểm ta tìm tọa độ của M’)
  22. @ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đ.thẳng d o Viết pttq của mp (P) qua M và vuông góc đ.thẳng d M o Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, H là giao điểm của d và d d H (P). Giải hpt tìm H (P) M' (Nếu M’ là điểm đối xứng với M qua d thì H là trung điểm của MM’, áp P dụng công thức tọa độ trung điểm ta tìm tọa độ của M’) BÀI TẬP Bài 1: Cho điểm A(-2,1,0) và mặt phẳng (P): Bài 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, x+2y-2z-9=0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc cho điểm A(2; 3; 5) và (P): 2x + 3y + z -17 = 0 của điểm A lên mặt phẳng (P) và sau đó tìm tọa 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P). vuông góc với (P). 2. Tìm điểm A' đối xứng với A qua (P). Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz x 1 2t cho điểm A(1 ;l ;-2) vả đường thằng d có phương Bài 4: Cho điểm A(1;1;8) và : y 1 t . x 1 y 1 z 2 trình: 2 1 3 zt 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên vuông góc với đường thẳng d. đường thẳng và sau đó tìm tọa độ điểm A’ là điểm 2. Tìm toạ độ điểm B đối xứng với A qua d. đối xứng với điểm A qua đường thẳng . Bài 5: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt Bài 6: Cho A(1;4;2) và mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 phẳng (P), với d : x =2+ 2t ; y= -1 + 3t; z = 1 + 5t a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của và (P) : 2x+y+z - 8=0 điểm M trên mặt phẳng (P). b) Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng với M qua (P). Bài 7: Cho điểm A(1;0;0) và đ.thẳng Bài 8: a) Tìm khoảng cách giữa (P):3x-2y–z+5=0 và x 2 y 1 z x 1 z 3 : d : y 7 1 2 1 24 a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc x 3 y 1 z 1 b) Chứng tỏ : song song với của điểm A trên . 1 2 2 / b) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với A qua mp (P):2x y 2z 3 0 và tính k/c giữa chúng c) Tính khoảng cách từ A đến . Bài 8: Xét vị trí tương đối của đ.thẳng d và mp (P) trong các t/h sau xt x 2 t a) d:y 1 2t (P):x 2y z 3 0 b) d:y t (P):x z5 0 z 1 t z 2 t c) d:x 3 t;y 2 t;z 1 2t x 3 y 1 z 1 d) d: ;(P):2x2yz30 (P) : x y z 6 0 2 3 2 Bài 9: Tìm giao điểm của đ.thẳng d và mp (P) trong các t/h sau d:x 1 t;y 1 2t;z 6t, x 3 y 2 z 1 a) b) d: ;(P):x2yz150 (P):2x 3y z 1 0 3 1 5 MẶT CẦU Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và bán kính R có phương trình là 2 2 2 Dạng 1: x a y b z c R2 Dạng 2: x2 x 2 z 2 2Ax 2By 2Cz D 0 với A2 B 2 C 2 D 0 Tâm I A; B; C ; bán kính RABCD 2 2 2 @ Một số bài toán viết ph.trình mặt cầu Dạng Cách giải (S) có tâm I (a; b; c) và đi 2 2 2 o Bán kính R IM (xMMM a) (y b) (z c) qua điểm M(xM; yM; zM) o Viết phương trình dạng 1.
  23. xABABAB x y y z z o Tâm I là trung điểm của AB I;; (S) có đường kính AB với 2 2 2 A(xA; yA; zA), B(xB; yB; 2 2 2 AB (xBABABA x) (y y) (z z) zB) o Bán kính R 22 o Viết phương trình dạng 1. (S) có tâm I(a;b;c), tiếp Aa Bb Cc D xúc với mp(P) o Bán kính R d I,(P) 2 2 2 Ax+By+Cz+D=0 ABC o Viết phương trình dạng 1. (S) đi qua 4 điểm A, B, C, o Viết phương trình mặt cầu (S) dạng 2. D không đồng phẳng o Lần lượt thay các điểm vào phƣơng trình mặt cầu, ta được hệ phương (hay (S) ngoại tiếp tứ diện trình với các ẩn cần tìm là A, B, C, D. ABCD) o Thay A, B, C, D vào phương trình của (S) o Nhận dạng tọa độ tâm I (S) có tâm thuộc trục tọa Nếu I Ox thì I(A;0;0); I Oy thì I(0;B;0); I Oz thì I(0;0;C) độ và qua 2 điểm o Thay tọa độ các điểm vào ph.trình (S) ta được hệ 2 ph.trình 2 ẩn o Giải hpt tìm 2 ẩn thay vào ph.trình (S) o Nhận dạng tọa độ tâm I (S) có tâm thuộc mp tọa Nếu I (Oxy) thì I(A;B;0); I (Oyz) thì I(0;B;C); I (Oxz) thì I(A;0;C) độ và qua 3 điểm o Thay tọa độ các điểm vào ph.trình (S) ta được hệ 3 ph.trình 3 ẩn o Giải hpt tìm 3 ẩn thay vào ph.trình (S) o Nếu phương trình mặt cầu dạng 1: Xác định các số a, b, c, R Tâm I(a;b;c) ; bán kính là R Tìm tọa độ tâm I và bán o Nếu phương trình mặt cầu dạng 2: kính R. Tâm I( A; B; C) So sánh hệ số x,y,z tìm A, B, C, D BK R A222 B C D BÀI TẬP: Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(1;2;3) Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy). Oz và đi qua 2 điểm C(0;1;2), D(1;0;-1). Bài 3: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau Bài 4: Lập phương trình mặt cầu đây a/ x2 + y2 + z2 - 8x - 8y + 1 = 0 a/ Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3). b/ 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 8y + 15z - 3 = 0. b/ Đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1). Bài 5: Lập phương trình mặt cầu Bài 6: Cho mp( ) có phương trình x + 2y - 2z + 6 a/ Có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc (P):x+2y-2z+5=0. = 0. Viết pt mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O và b/ Đi qua C(6; -2; 3), D(0; 1;6), E(2;0;-1), F(4;1;0). tiếp xúc với ( ). BÀI TẬPTỔNG HỢP Bài 1: Cho mặt phẳng (P): 2x y z 6 0 Bài 2: Cho M(-1;-1;0) và (P) x + y - 2z – 4 = 0 a) Viết pt mặt phẳng (Q) qua O và song song (P) a) Viết ptmp (Q) đi qua M và song song với (P). b) Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua b) Viết phương trình tham số của đ.thẳng d đi qua gốc O và vuông góc (P) điểm M và vuông góc với mp (P). Tìm tọa độ giao c) Tính khoảng cách từ O tới (P) điểm H của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Bài 3: Cho A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4). Bài 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 1. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 4x + 2y + 4z - 7 = 0 và phương trình tham số của đường thẳng AB. mặt phẳng (P) : x - 2y + 2z + 3 = 0 2. Gọi M là điểm sao cho MB 2MC . Viết pt 1. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P). mặt phẳng đi qua M và vuông góc với BC. 3. Gọi A’ là hình chiếu của điểm A trên 2. Viết phương trinh mặt phẳng (Q) song song với mp(Oxy). Viết phương trình đường thẳng đi mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). qua điểm A’ và vuông góc với mp(P): x-z+3=0 Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho Bài 6 : Trong không gian Oxyz cho A(0;0;1) B(- điểm A(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình 1;0;2) C(3;1;0) : x + 2y + z – 1 = 0. a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông 1) Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A góc BC. trên mặt phẳng (P). b) Tìm tọa độ giao điểm của MP (P) với đường 2) Viết pt của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P). thẳng BC.
  24. Bài 7: Trong không gian Oxyz cho A(-2;0;1) Bài 8: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz B(0;10;3) C(2;0;-1) và D(5;3;-1) cho điểm A (2; l; 4), B(-l; -3; 5). a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A,B,C. a. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn b) Viết phương trình đường thẳng đi qua D và thẳng AB. vuông góc (P) b. Viết phương trình mặt cầu tâm A đi qua B. c) Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc (P) x 2t Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x 1 y 2 z x 5 y 3 z Bài 9: Cho 1 : , 2 : y 5 3t đường thẳng : và mặt phẳng 2 2 1 2 1 4 z4 (P): 2x – y + z – 3 = 0. 1) Chứng minh rằng đường thẳng ( 1) và đường 1. Xét vị trí tương đối của đ.thẳng và mp (P). thẳng ( 2) chéo nhau . 2. Viết ph.trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với 2) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường mp(P). thẳng ( 1) và song song với đường thẳng ( 2) . Bài 11: Trong không gian Oxyz cho điểm M(-1;- Bài 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 1;0) và mặt phẳng (P): x + y - 2z - 4 = 0 4 điểm A( 2;1; 1),B(0;2; 1),C(0;3;0),D(1;0;1) . a) viết ph.trình mp (Q) qua M và song song với (P) a. Viết phương trình đường thẳng BC . b) Viết ptts của đ.thẳng d đi qua M và vuông góc b. CMR: 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng . với (P). Tìm tọa độ điểm H của d với mp(P) c. Tính thể tích tứ diện ABCD .