Đề luyện ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 10: Mũ, Logarit

Nội dung text: Đề luyện ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 10: Mũ, Logarit

1. Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –  Chuyên đề 10: MŨ, LOGARIT  Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1: Dạng cơ bản: với 0 0; giải phương trình g(t) 0 Dạng 4: Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó duy nhất. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 0 a 1 Điều kiện tồn tại loga f(x) là f(x) 0 0 a 1 Dạng 1: log f(x) b a b f(x) a 0 a 1 Dạng 2: Đưa về cùng cơ số: logaa f(x) log g(x) g(x) 0 f(x) g(x) Dạng 3: Đặt ẩn phụ Đặt t = logax sau đó giải phương trình đại số theo t Dạng 4: Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 2 Giải phương trình: log8x21 log 1x 1x 20 (x R). 2 Giải 2 log8x21 log 1x 1x 20 . Điều kiện: –1 x 1. 2 288
2. TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 2 2 log22 8 x log 1 x 1 x 2 8 x 4 1 x 1 x (*). Với –1 x 1 thì hai vế của (*) không âm nên bình phương hai vế của (*) ta 2 2 được: (*) 8 x22 16 2 2 1 x 8 x22 32 1 1 x (1). Đặt t = 1x 2 t2 = 1 – x2 x2 = 1 – t2 , (1) trở thành: 2 7 t2 32 1 t t4 + 14t2 – 32t + 17 = 0 (t – 1)(t3 – t2 +15t – 17) = 0 (t – 1)2(t2 + 2t + 17) = 0 t = 1. Do đó (1) 1x 2 = 1 x = 0 (Thỏa điều kiện –1 x 1). Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm x = 0. Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 22 Giải bất phương trình 4x 3.2 xx2x3 4 1x2x3 0 Giải 22 22 4x 3.2 xx2x3 4 1x2x3 0 22x 3.2 x .2 x2x3 4.2 2x2x3 0 22 1 3.2x 2x3x 4.2 2(x 2x3x) 0 (1) 2 Đặt t = 2 x 2x 3 x > 0 (*) 1 (1) thành 1 – 3t – 4t2 > 0 4t2 + 3t – 1 < 0 1t 4 2 1 Do đó bất phương trình đã cho tương đương: 2 x 2x 3 x < = 2-2 4 x2 2 x 3 x 2 x2 2x 3 x 2 1 1 i 7 3x . z 2 2 2 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 33 Giải phương trình 42xx2 2 x 4 2x2 2 x4x4 (x ) Giải 33 42xx2 2 x 4 2x2 2 x4x4 (*); Điều kiện : x 2 . 3 3 (*) 42 x 2 (2 4x 4 1) 2 x (2 4x 4 1) 0 (24x 4 1)(4 2 x 2 2 x ) 0 Do đó phương trình (*) có hai trường hợp. 24x 4 1 4x 4 0 x 1 (nhận) 289
3. Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 3 224 2 x 2 x x3 2 x 2 4 x3 8 2( x 2 2) 2(x 2) (x 2)(x2 2x 4) x 2 2 x 2 nhận 2 x2 2x 4 (1) x 2 2 Nhận xét: Phương trình (1) có: 2 VT = x22 2x 4 (x 1) 3 3; VP = 1 x 2 2 Suy ra phương trình (1) vô nghiệm. Vậy : (*) chỉ có hai nghiệm x = 1; x = 2. Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 2 Giải phương trình log22 (x 1) 6log x 1 2 0 Giải 2 log22 (x 1) 6log x 1 2 0 (1) Điều kiện x > 1 2 (1) log22 (x 1) 3log (x 1) 2 0 log2 (x 1) 1 x 1 2 x 1 log(x1)22 x14 x3 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 2 2 Giải phương trình log2x – 1(2x + x – 1) + logx + 1(2x – 1) = 4 Giải 0 2x 1 1 2 1 2x x 1 0 x 1 Điều kiện: 2 x1 0 x 1 1 2 x1 2 (2x 1) 0 22 log2x 1 (2x x 1) log x 1 (2x 1) 4 2 log2x – 1(2x – 1)(x + 1) + logx + 1(2x – 1) = 4 1 + log2x – 1(x + 1) + 2logx + 1(2x – 1) = 4 11 Đặt: t log2x 1 (x 1) log x 1 (2x 1) log2x 1 (x 1) t 2 2 t1 Ta có phương trình ẩn t là: 1 t 4 t 3t 2 0 t t2 290
4. TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Với t = 1 log2x – 1(x + 1) = 1 x + 1 = 2x – 1 x = 2 (nhận) x 0 (loại) 2 Với t = 2 log2x – 1(x + 1) = 2 (2x – 1) = x + 1 5 x 4 5 Nghiệm của phương trình là: x = 2 và x . 4 Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 xx 1 Giải phương trình: log22 (4 15.2 27) 2log 0 4.2x 3 Giải Điều kiện: 4.2x 3 > 0. Phương trình đã cho tương đương với. x x x 2 x 2 x log2(4 + 15.2 + 27) = log2(4.2 3) 5.(2 ) 13.2 6 = 0 2 2x loại 5 x 23 x x Do 2 > 0 nên 2 = 3 x = log23 (thỏa mãn điều kiện) Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Giải phương trình: (21) xx (21) 22 0 Giải x Đặt 2 1 t (t 0), khi đó phương trình trở thành: 1 t 220 t 21,t 21 t Với t 2 1 ta có x = 1. Với t 2 1 ta có x = 1. Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 22 Giải phương trình : 2x x 4.2 x x 2 2x 4 0 Giải Phương trình đã cho tương đương với: 2 2 2 22x (2 x x 1) 4(2 x x 1) 0 (2 2x 4)(2 x x 1) 0 2x 2x 2 2 4 0 2 2 x 1. x22 x x x 2 2 102 1xx0x0,x1 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0, x = 1. 291
5. Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Giải phương trình: 3.8x 4.12 x 18 x 2.27 x 0 Giải 3x 2x x 2 2 2 Phương trình đã cho tương đương với: 3 4 2 0 (1) 3 3 3 x 2 3 2 Đặt t = (t > 0), phương trình (1) trở thành 3t + 4t t 2 = 0 3 2 (t + 1)2 (3t 2) = 0 t = (vì t > 0). 3 x 2 2 2 Với t = thì hay x = 1. 3 3 3 Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ 2 x Giải phương trình: log5 5 4 1 x Giải Điều kiện: 5x – 4 > 0 (a) Dễ thấy x = 1 là nghiệm của (1) x VT: f(x) = log5 5 4 là hàm số đồng biến VP: g(x) = 1 – x là hàm số nghịch biến Do đó x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình Bài 11: 22 Giải phương trình 2x x 2 2 x x 3. Giải 2 Đặt t2 xx (t > 0) x22 x 2 x x 4 2 t 1 (loại) 2 2 3 t 3 t 3t 4 0 t t = 4 (nhận) 2 Vậy 2xx = 22 x2 x 2 = 0 x = 1  x = 2. Bài 12: 22 Cho phương trình log33 x log x 1 2m 1 0 (2): (m là tham số). 1/ Giải phương trình (2) khi m = 2. 2/ Tìm m để phương trình (2) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 1 ; 3 3 . 292
6. TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải 22 1/ Khi m = 2 thì phương trình (2) trở thành log33 x log x 1 5 0 2 Điều kiện x > 0. Đặt t = log3 x 1 1 (2) t2 + t 6 = 0 t = 2  t = 3 (loại) 3 t = 2 log3 x 3 x = 3 32 2/ 1 x 3 1 log3 x 1 4 1 t 2 . Phương trình (2) có ít nhất 1 nghiệm thuộc 1; 3 3 2m = t2 + t 2 = f(t) có nghiệm t [1, 2] Vì f tăng trên [1, 2] nên ycbt f(1) 2m f(2) 0 m 2.  Vấn đề 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ af(x) a g(x) (1) Nếu a > 1: (1) f(x) > g(x) Nếu 0 loga g(x) (1) g(x) 0 Nếu a > 1 : (1) f(x) g(x) f(x) 0 Nếu 0 < a < 1 : (1) g(x) f(x) B.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 xx2 Giải bất phương trình: log log 0 0,7 6 x4 293
7. Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Giải xx2 0 x4 Điều kiện: xx2 log 0 6 x4 xx2 Bất phương trình tương đương với log log log 1 (1) 0,7 6 0,7 x4 x2 x x 2 x x 2 5x 24 (1) log 1 6 0 6 x 4 x 4 x 4 4 8 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 x2 3x 2 Giải bất phương trình: log 0 1 x 2 Giải x2 3x 2 Điều kiện: 0 x x2 3x 2 Bất phương trình tương đương với log log 1 (1) 11x 22 x22 3x 2 x 3x 2 00 xx (1) x22 3x 2 x 4x 2 10 xx (x2 3x 2)x 0 2 0 x 1  x 2 (x 4x 2)x 0 x 0  2 2 x 2 2 x0 2 2 x 1  2 x 2 2 . Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Giải bất phương trình: 2log31 (4x 3) log (2x 3) 2 3 Giải 3 (4x 3)2 Điều kiện: x. Bất phương trình đã cho log 2 4 3 2x 3 294
8. TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 3 (4x 3)22 9(2x 3) 16x 42x 18 0 x 3 8 3 Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: x3. 4 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 x x 2 Giải bất phương trình: log5 (4 144) 4log 5 2 1 log 5 (2 1). Giải Bất phương trình đã cho tương đương với x x 2 log5 (4 144) log 5 16 1 log 5 (2 1) (1) x x 2 (1) log5 (4 144) log 5 16 log 5 5 log 5 (2 1) x x 2 log55 (4 144) log [80(2 1)] 4x 144 80(2 x 2 1) 4 x 20.2 x 64 0 4 2x 16 2 x 4 Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ 2 x Giải phương trình: log5 5 4 1 x Giải Điều kiện : 5x – 4 > 0 (a) Để thấy x = 1 là nghiệm của (1) x VT : f(x) = log5 5 4 là hàm số đồng biến VP : g(x) = 1 – x là hàm số nghịch biến Do đó x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Bài 6: Giải bất phương trình: log log 9x 72 1 x3 Giải 0 x 1 x Điều kiện 9 72 0 x log9 73 log 9x 72 0 3 x Bất phương trình log39 9 72 x (Vì x > log 73 1) 9x 3 x 72 0 8 3 x 9 x 2 Kết hợp với điều kiện ta được log9 73 < x 2. 295
9. Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –  Vấn đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI Thường sử dụng phương pháp biến đổi từng phương trình trong hệ, sau đó dùng phương pháp thế để tìm nghiệm. B.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 log (3y 1) x 2 Giải hệ phương trình: (x, y ) x x 2 4 2 3y Giải Điều kiện: 3y – 1 > 0 21x log (3y 1) x x 2 3y 1 2 y Ta có 3 x x 2 x x 2 4 2 3y 4 2 3y x x 2 4 2 3y x x x 21 21 21 y y y 3 3 3 x x x 2 xx xx1 3(4 2 ) (2 1) 2.4 2 1 0 (2 1)(2 ) 0 2 21x y x1 3 1 (nhận) x 1 y 2 2 2 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 2 x 4x y 2 0 Giải hệ phương trình: 2log (x 2) log y 0 2 2 Giải 2 x 4x y 2 0 (1) ; Điều kiện: x > 2 , y > 0 2log (x 2) log y 0 (2) 2 2 22 y x 2 (2) (x 2) y y 2 x 2 x 0 (loại) y x 2: (1) x 3x 0 x 3 y 1 296
10. TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 2 x 1 (loại) y 2 x: (1) x 5x 4 0 x 4 y 2 (loại) x3 Vậy hệ có một nghiệm . y1 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 22 log22 x y 1 log xy Giải hệ phương trình: x,y x22 xy y 3 81 Giải Với điều kiện xy > 0 (*), hệ đã cho tương đương: 22 x y 2xy xy xy 22 2 x xy y 4 y4 y2 Kết hợp (*), hệ có nghiệm: (x; y) = (2; 2) và (x; y) = ( 2; 2) Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: exy e ln(1 x) ln(1 y) y x a Giải Điều kiện: x, y > 1. Hệ đã cho tương đương với: ex a e x ln(1 x) ln(1 a x) 0 (1) y x a (2) Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất trong khoảng ( 1; + ). Xét hàm số f(x) = ex a e x ln(1 x) ln(1 a x) với x > 1. Do f(x) liên tục trong khoảng ( 1; + ) và lim f(x) , lim f(x) x1 x nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng ( 1; + ). 11 Mặt khác: f '(x) ex a e x 1 x 1 a x a = exa (e 1) 0,  x > 1 (1 x)(1 a x) f(x) đồng biến trong khoảng ( 1; + ). Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trong khoảng ( 1; + ). Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất. 297
11. Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 x 1 2 y 1 Giải hệ phương trình: 23 3log93 (9x ) log y 3 Giải x 1 2 y 1 (1) x1 . Điều kiện : 23 0y2 3log93 (9x ) log y 3 (2) (2) 3(1 + log3x) 3log3y = 3 log3x = log3y x = y. Thay y = x vào (1) ta có x 1 2 x 1 x 1 2 x 2 (x 1)(2 x) 1 (x 1)(2 x) 0 x 1, x = 2. Kết hợp với điều kiện (*) hệ có hai nghiệm là (x; y) = (1; 1) và (x; y) = (2; 2). Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2x x 1 2 x 1 7 7 2005x 2005 1 2 x m 2 x 2m 3 0 2 Giải Điều kiện x 1. Ta có : (1) 72x x 1 7 2 x 1 2005(1 x) Xét 1 x 1 2x 2 72x x 1 7 2 x 1 0 2005(1 x) nên (1) đúng x [ 1;1] Xét x 1 2x 2 72x x 1 7 2 x 1 0 2005(1 x) nên (1) hiển nhiên sai. Do đó (1) 1 x 1 Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi: (2) có nghiệm [ 1; 1] x2 – 2x + 3 m(x - 2) có nghiệm x [ 1; 1] x2 2x 3 m (vì x 2 0) có nghiệm x [ 1; 1] x2 x2 2x 3 Xét hàm f(x) = , x [ 1; 1] x2 x2 4x 1 f (x) , f’(x) = 0 x 2 3 x2 2 x 1 23 1 2 23 + f'(x) + 0 0 + f(x) 2 2 298
12. TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm 2 ≤ m Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ 1 1 log14 y x log 1 Giải hệ phương trình: 4 y . 22 x y 25 Giải y0 Điều kiện y x 0 1 y x 1 log11 y x log 1 Hệ 44y y4 22 22 x y 25 x y 25 4 y= x 4 3 y = x x 3 x = 3 3 (nhận) (loại) 2216 y 4 y 4 x x 25 x92 9 Bài 8: 23x 5y 2 4y Giải hệ phương trình: 42x x 1 . y 22x Giải 3x 2 2 5y 4y 3x 2 2 3 2 5y 4y 5y 4y y x x 1 42 xx y 2 y y 2 22x 2 y 5y 4 0 x = 0 x = 2  . x y2 y = 1 y = 4 Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ 1 x 4 | y | 3 0 1 Giải hệ phương trình: log42 x log y 0 2 Giải x1 Điều kiện: . y1 2 2 2 2 (2) log4x = log4y x = y . Thay x = y vào (1) ta được : y – 4y + 3 = 0 y1 y 1 x 1 (do y 1) y3 y 3 x 9 Vậy hệ có 2 cặp nghiệm (1; 1) và (9; 3). 299