›
›
›

Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 1 (Có đáp án chi tiết)

doc 30 trang thungat 2470
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 1 (Có đáp án chi tiết)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_on_thi_thpt_quoc_gia_mon_toan_de_so_1_co_dap_an_chi_tiet.doc

Nội dung text: Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 1 (Có đáp án chi tiết)

  1. ®Ò sè 1 Câu 1: Điểm Mtrong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức Ẩ n hiệ n lướ i y A. .z 2 i B. . z 1 2i Khung hì nh bao quanh C. .z 2 i D. . z 1 2i M 1 Ẩ n hiệ n hoà nh độ 5,6 Ẩ n hiệ n hoà nh độ 3,4 x 2 Câu 2: lim bằng -4 -3 2 O x x x 3 2 A. . B. . 1 C. . 2 D. . 3 3 -2 Câu 3: Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là: 8 2 2 2 A. .A 10 B. . A10 C. . C10 D. . 10 Câu 4: Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng vàh diện tích đáy bằng là:B 1 1 1 A. .V Bh B. . VC. . Bh D. . V Bh V Bh 3 6 2 Câu 5: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? A. . 2;0 B. . C.; . 2 D. . 0;2 0; Câu 6: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b a b . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức. b b b b A. .V B. .f 2C. x . dxD. . V 2 f 2 x dx V 2 f 2 x dx V 2 f x dx a a a a Câu 7: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau x 0 2 y 0 0 5 y 1 Hàm số đạt cực đại tại điểm A. .x 1 B. . x 0 C. . x D.5 . x 2 Câu 8: Với làa số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng ? Trang 1/30
  2. 1 1 A. .l og B.3a . 3lC.og .a D. . log a3 log a log a3 3log a log 3a log a 3 3 Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x2 là1 x3 A. .x 3 C B. . C. x. C D. . 6x C x3 x C 3 Câu 10: Trong không gian Oxy ,z cho điểm A 3; 1;1 . Hình chiếu vuông góc của Atrên mặt phẳng Oyz là điểm A. .M 3;0;0 B. . C.N . 0; 1;1 D. . P 0; 1;0 Q 0;0;1 ‰ Câu 11: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ? y A. .y x4 2x2 2 B. .y x4 2x2 2 3 2 x C. .y x 3x 2 O D. .y x3 3x2 2 x 2 y 1 z Câu 12: Trong không gian Oxy ,z cho đường thẳng d : . Đường thẳng dcó một vec tơ 1 2 1 chỉ phương là:     A. .u 1 B.1;2 .; 1 C. . u2 D. 2.;1;0 u3 2;1;1 u4 1;2;0 Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình: 22x 2x là:6 A. . 0;6 B. . ;6C. . D. 0 .;64 6; Câu 14: Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3πa2 và bán kính đáy bằng a . Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng: 3a A. .2 2a B. . 3a C. . 2a D. . 2 Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 2;0;0 , N 0; 1;0 và P 0;0;2 . Mặt phẳng MNP có phương trình là x y z x y z x y z x y z A. . B. . 0C. . D. . 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 Câu 16: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng ? x2 3x 2 x2 x A. .y B. . C. . y D. . y x2 1 y x 1 x2 1 x 1 Câu 17: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Trang 2/30
  3. Số nghiệm của phương trình f x 2 0 là A. .0 B. . 3 C. . 1 D. . 2 Câu 18: Giá trị lớn nhất của hàm số f x x4 4x2 5 trên đoạn  2;3 bằng A. .5 0 B. . 5 C. . 1 D. . 122 2 dx Câu 19: Tích phân bằng 0 x 3 16 5 5 2 A. . B. . log C. . ln D. . 225 3 3 15 2 Câu 20: Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 4z 4z 3 .0 Giá trị của biểu thức z1 z2 bằng A. .3 2 B. . 2 3 C. . 3 D. . 3 Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và Abằng C A D C B D' A' B' C' 3a A. . 3a B. . a C. . D. . 2a 2 Câu 22: Một người gửi 10 0 triệu đồng vào một ngân hàng với lại suất 0,4% /tháng. Biết rằng nếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau đúng 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi ? A. 102.424.000đồng. B. 102.423.000đồng. C. 102.016.000đồng. D. 102.017.000đồng. Câu 23: Một hộp chứa 1 quả1 cầu gồm quả5 cầu màu xanh và quả6 cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để chọn ra 2 quả cầu cùng màu bằng 5 6 5 8 A. . B. . C. . D. . 22 11 11 11 Câu 24: Trong không gian Oxy ,z cho hai điểm A 1;2;1 và B 2;1;0 . Mặt phẳng qua Avà vuông góc với AB có phương trình là A. .3 x B.y . z 6 0 3x y z 6 0 Trang 3/30
  4. C. .x 3D.y . z 5 0 x 3y z 6 0 Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm SD . Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD bằng 2 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3 1 2 Câu 26: Với nlà số nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 5 ,5 số hạng không chứa xtrong khai triển của n 3 2 thức x 2 bằng x A. .3 22560 B. . 3360 C. . D.80 6. 40 13440 2 Câu 27: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log x.log x.log x.log x bằng 3 9 27 81 3 82 80 A. . B. . C. . 9 D. . 0 9 9 Câu 28: Cho tứ diện OAB Ccó O ,A O ,B O Cđôi một vuông góc với nhau và OA OB O . CGọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A O B M C A. .9 0 B. . 30 C. . 60 D. . 45 x 3 y 3 z 2 Câu 29: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : ; 1 1 2 1 x 5 y 1 z 2 d : và mặt phẳng P : x 2y 3z 5 0 . Đường thẳng vuông góc với 2 3 2 1 P , cắt d1 và d2 có phương trình là x 1 y 1 z x 2 y 3 z 1 A. . B. . 1 2 3 1 2 3 x 3 y 3 z 2 x 1 y 1 z C. . D. . 1 2 3 3 2 1 1 Câu 30: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y x3 mx đồng biến trên 5x5 khoảng 0; ? Trang 4/30
  5. A. .5 B. . 3 C. . 0 D. . 4 Câu 31: Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x2 , cung tròn có phương trình y 4 x2 (với 0 x 2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của H bằng 4 3 4 3 4 2 3 3 5 3 2 A. . B. . C. . D. . 12 6 6 3 y 2 x O 2 2 dx Câu 32: Biết I a b c với ,a ,b c là các số nguyên dương. Tính 1 x 1 x x x 1 P a b c . A. .P 24 B. . P 12C. . D.P . 18 P 46 Câu 33: Cho tứ diện đều ABC Dcó cạnh bằng . 4Tính diện tích xung quanh S củaxq hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD . 16 2 16 3 A. .S B. . C. . S D.8 .2 S S 8 3 xq 3 xq xq 3 xq Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 16x 2.12x m 2 9x 0 có nghiệm dương ? A. .1 B. . 2 C. . 4 D. . 3 Câu 35: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mđể phương trình 3 m 33 m 3sin x si ncóx nghiệm thực ? A. .5 B. . 7 C. . 3 D. . 2 Câu 36: Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực saom cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x m trên đoạn 0;2 bằng 3 . Số phần tử của S là A. .1 B. . 2 C. . 0 D. . 6 1  2 Câu 37: Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ thỏa mãn f x , f 0 1và f 1 .2 Giá 2 2x 1 trị của biểu thức f 1 f 3 bằng A. .4 ln15 B. . 2 C.ln 1. 5 D. . 3 ln15 ln15 Câu 38: Cho số phức z a b i a,b ¡ thỏa mãn z 2 i z 1 i 0và z .1 Tính P a .b A. .P 1 B. . P C.5 . D.P . 3 P 7 Trang 5/30
  6. Câu 39: Cho hàm số y f x .Hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Hàm số y f 2 x đồng biến trên khoảng: A. . 1;3 B. . 2; C. . D. 2.;1 ;2 x 2 Câu 40: Cho hàm số y có đồ thị C và điểm A a;1 . Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị thực x 1 của a để có đúng một tiếp tuyến từ C đi qua A . Tổng tất cả giá trị của phần tử S bằng 3 5 1 A. .1 B. . C. . D. . 2 2 2 Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;1;2 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng P đi qua M và cắt các trục x Ox , y Oy , z Oz lần lượt tại điểm A ,B ,C sao cho OA OB OC 0 ? A. .3 B. . 1 C. . 4 D. . 8 Câu 42: Cho dãy số un thỏa mãn logu1 2 logu1 2logu10 2logu10 và un 1 2un với mọi 100 n 1. Giá trị nhỏ nhất để un 5 bằng A. .2 47 B. . 248 C. . 229 D. . 290 Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số cóy 3 điểmx4 4x3 12x2 m 7 cực trị ? A. .3 B. . 5 C. . 6 D. . 4 8 4 8 Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 2; 1 , B ; ; . Đường thẳng đi qua tâm 3 3 3 đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng OAB có phương trình là x 1 y 3 z 1 x 1 y 8 z 4 A. . B. . 1 2 2 1 2 2 1 5 11 2 2 5 x y z x y z C. . 3 3 6 D. . 9 9 9 1 2 2 1 2 2 Câu 45: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng , 1lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE . Thể tích của khối đa diện ABCDSEF bằng. 7 11 2 5 A. . B. . C. . D. . 6 12 3 6 Câu 46: Xét các số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn z 4 3i .5 Tính P a b khi z 1 3i z 1 i đạt giá trị lớn nhất. Trang 6/30
  7. A. .P 10 B. . P 4 C. . PD. .6 P 8 Câu 47: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB 2 3 và AA 2 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh A B , A C và BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng vàA B C bằng MNP C' N B' M A' C P B A 6 13 13 17 13 18 13 A. . B. . C. . D. . 65 65 65 65 Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;2;1 , B 3; 1;1 và C 1; 1;1 . Gọi S1 là mặt cầu có tâm A , bán kính bằng 2 ; S2 và S3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B , C và bán kính bằng 1 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu S1 , S2 , S3 . A. .5 B. . 7 C. . 6 D. . 8 Câu 49: Xếp ngẫu nhiên 1 0học sinh gồm 2học sinh lớp 12 ,A học3 sinh lớp 12 Bvà học5 sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng 11 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 630 126 105 42 1 2 Câu 50: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 1thỏa mãn f 1 , 0 f x dx 7 0 1 1 1 và x2 f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 3 0 7 7 A. . B. . 1 C. . D. . 4 5 4 HẾT BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A B C A A A D C D B A A B B D D B A C D B A C B D Trang 7/30
  8. 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 D A C A D B D A B A B C D C C A B D A C A B B A A HƯỚNG DẪN GIẢI Ẩ n hiệ n lướ i Câu 1: Điểm Mtrong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức y Khung hì nh bao quanh A. .z 2 i B. . z 1 2i C. .z 2 i D. . z 1 2i M 1 Ẩ n hiệ n hoà nh độ 5,6 Lời giải Chọn A. Ẩ n hiệ n hoà nh độ 3,4 x Điểm M 2;1 biểu diễn số phức z 2 i . -4 -3 2 O x 2 Câu 2: lim bằng x x 3 -2 2 A. . B. . 1 C. . 2 D. . 3 3 Lời giải Chọn B. 2 x 2 1 1 Chia cả tử và mẫu cho x , ta có lim lim x 1 . x x 3 x 3 1 1 x Câu 3: Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là: 8 2 2 2 A. .A 10 B. . A10 C. . C10 D. . 10 Lời giải Chọn C. Số tập con gồm 2 phần tử của M là số cách chọn 2 phần tử bất kì trong 10 phần tử của M . 2 Do đó số tập con gồm 2 phần tử của M là C10 . Câu 4: Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng vàh diện tích đáy bằng là:B 1 1 1 A. .V Bh B. . VC. . Bh D. . V Bh V Bh 3 6 2 Lời giải Chọn A. 1 Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là: .V Bh 3 Câu 5: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? A. . 2;0 B. . C.; . 2 D. . 0;2 0; Lời giải Trang 8/30
  9. Chọn A. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng 2;0 và 2; . Câu 6: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b a b . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức. b b b b A. .V B. .f 2C. x . dxD. . V 2 f 2 x dx V 2 f 2 x dx V 2 f x dx a a a a Lời giải Chọn A. Theo công thức tính thể tích vật tròn xoay khi quay hình H quanh trục hoành ta có b V f 2 x dx . a Câu 7: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau x 0 2 y 0 0 5 y 1 Hàm số đạt cực đại tại điểm A. .x 1 B. . x 0 C. . x D.5 . x 2 Lời giải Chọn D. Qua bảng biến thiên ta có hàm số đại cực đại tại điểm x 2 . Câu 8: Với làa số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1 1 A. .l og B.3a . 3lC.og .a D. . log a3 log a log a3 3log a log 3a log a 3 3 Lời giải Chọn C. Ta có log 3a log3 log a suy ra loại A, D. log a3 3log a (do a 0 ) nên chọn C. Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x2 là1 x3 A. .x 3 C B. . C. x. C D. . 6x C x3 x C 3 Lời giải Chọn D. x3 Ta có 3x2 1 dx 3. x C x3 x C . 3 Câu 10: Trong không gian Oxy ,z cho điểm A 3; 1;1 . Hình chiếu vuông góc của Atrên mặt phẳng Oyz là điểm Trang 9/30
  10. A. .M 3;0;0 B. . C.N . 0; 1;1 D. . P 0; 1;0 Q 0;0;1 Lời giải Chọn B. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng Oyz . Mặt phẳng Oyz : x 0 có VTPT n 1;0;0 . Đường thẳng AH qua A 3; 1;1 và vuông góc với Oyz nên nhận n 1;0;0 làm VTCP. x 3 t AH : y 1 t ¡ H 3 t; 1;1 . z 1 Mà H Oyz 3 t 0 H 0; 1;1 . Câu 11: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ? ‰ A. .y x4 2x2 2 y B. .y x4 2x2 2 C. .y x3 3x2 2 3 2 x D. .y x 3x 2 O Lời giải Chọn A. Đồ thị của hàm số y ax4 bx2 c . Nhìn dạng đồ thị suy ra: a 0 . Đồ thị có ba điểm cực trị nên a.b 0 suy ra: b 0 . x 2 y 1 z Câu 12: Trong không gian Oxy ,z cho đường thẳng d : . Đường thẳng dcó một vec tơ 1 2 1 chỉ phương là:     A. .u 1 B.1;2 .; 1 C. . u2 D. 2.;1;0 u3 2;1;1 u4 1;2;0 Lời giải Chọn A. Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình: 22x 2x là:6 A. . 0;6 B. . ;6C. . D. 0 .;64 6; Lời giải Chọn B. Ta có 22x 2x 6 2x x 6 x 6 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S ;6 . Câu 14: Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3πa2 và bán kính đáy bằng a . Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng: 3a A. .2 2a B. . 3a C. . 2a D. . 2 Lời giải Chọn B. Trang 10/30
  11. 3πa2 Ta có S πrl 3πa2 πal l 3a . xq πa Vậy độ dài đường sinh của hình nón đã cho là l 3a . Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 2;0;0 , N 0; 1;0 và P 0;0;2 . Mặt phẳng MNP có phương trình là x y z x y z x y z x y z A. . B. . 0C. . D. . 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 Lời giải Chọn D. Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình của mặt phẳng MNP là x y z 1. 2 1 2 Câu 16: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng ? x2 3x 2 x2 x A. .y B. . C. . y D. . y x2 1 y x 1 x2 1 x 1 Lời giải Chọn D. x x x Ta có lim , lim nên đồ thị hàm số y có một đường tiệm cận x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 đứng x 1 . Câu 17: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Số nghiệm của phương trình f x 2 0 là A. .0 B. . 3 C. . 1 D. . 2 Lời giải Chọn B. Ta có: f x 2 0 f x 2 . Do 2 2;4 nên phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. Câu 18: Giá trị lớn nhất của hàm số f x x4 4x2 5 trên đoạn  2;3 bằng A. .5 0 B. . 5 C. . 1 D. . 122 Lời giải Chọn A. Hàm số f x x4 4x2 5 xác định và liên tục trên  2;3 . Ta có: f x 4x3 8x . Trang 11/30
  12. x 0 Do đó: f x 0 . x 2 Mà: f 0 5 , f 2 f 2 1 , f 2 5 , f 3 50 . Suy ra: max f x 50 .  2;3 2 dx Câu 19: Tích phân bằng 0 x 3 16 5 5 2 A. . B. . log C. . ln D. . 225 3 3 15 Lời giải Chọn C. 2 dx 2 5 Ta có: ln x 3 ln 2 3 ln 0 3 ln . 0 0 x 3 3 2 Câu 20: Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 4z 4z 3 .0 Giá trị của biểu thức z1 z2 bằng A. .3 2 B. . 2 3 C. . 3 D. . 3 Lời giải Chọn D. 1 2 z1 i 2 2 2 Ta có: 4z 4z 3 0 . 1 2 z2 i 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 Khi đó: z z 3 . 1 2 2 2 2 2 Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và Abằng C A D C B D' A' B' C' 3a A. . 3a B. . a C. . D. . 2a 2 Lời giải Trang 12/30
  13. Chọn B. Ta có BD // A B C D d BD, A C d BD, A B C D d B, A B C D BB a . Câu 22: Một người gửi 10 0 triệu đồng vào một ngân hàng với lại suất 0,4% /tháng. Biết rằng nếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau đúng 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi ? A. 102.424.000đồng. B. 102.423.000đồng. C. 102.016.000đồng. D. 102.017.000đồng. Lời giải Chọn A. Áp dụng công thức lãi kép ta có sau đúng 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền 6 6 (cả vốn ban đầu và lãi) là P6 P0 1 r 100 1 0,4% 102.4241284 đồng. Câu 23: Một hộp chứa 1 quả1 cầu gồm quả5 cầu màu xanh và quả6 cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để chọn ra 2 quả cầu cùng màu bằng 5 6 5 8 A. . B. . C. . D. . 22 11 11 11 Lời giải Chọn C. 2 Số cách chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ 11 quả cầu là C11 55 . 2 2 Số cách chọn ra 2 quả cầu cùng màu là C5 C6 25 . 25 5 Xác suất để chọn ra 2 quả cầu cùng màu bằng . 55 11 Câu 24: Trong không gian Oxy ,z cho hai điểm A 1;2;1 và B 2;1;0 . Mặt phẳng qua Avà vuông góc với AB có phương trình là A. .3 x B.y . z 6 0 3x y z 6 0 C. .x 3D.y . z 5 0 x 3y z 6 0 Lời giải Chọn B.  Ta có AB 3; 1; 1 .  Mặt phẳng cần tìm vuông góc với AB nên nhận AB 3; 1; 1 làm vectơ pháp tuyến. Do đó phương trình của mặt phẳng cần tìm là: 3 x 1 y 2 z 1 0 3x y z 6 0 . Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm SD . Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD bằng 2 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3 Trang 13/30
  14. Lời giải Chọn D. S M C D H O B A Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ABCD và O AC  BD . 1 Ta có MH song song với SO và MH SO . 2 BM có hình chiếu vuông góc trên ABCD là BH Do đó góc giữa BM và ABCD là M· BH . 2a2 a 2 a 2 3 3a 2 Ta có SO SD2 OD2 a2 MH ; BH BD . 4 2 4 4 4 a 2 MH 1 Trong tam giác MBH vuông tại H nên có: tan M· BH 4 . BH 3a 2 3 4 1 2 Câu 26: Với nlà số nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 5 ,5 số hạng không chứa xtrong khai triển của n 3 2 thức x 2 bằng x A. .3 22560 B. . 3360 C. . D.80 6. 40 13440 Lời giải Chọn D. Điều kiện n 2 và n Z n 10 1 2 n! n! 2 Ta có Cn Cn 55 55 n n 110 0 n 1 ! n 2 !2! n 11 L 10 3 2 Với n 10 ta có khai triển x 2 x k k 3 10 k 2 k k 30 5k Số hạng tổng quát của khai triển C10 x . 2 C10 2 x , với 0 k 10 . x Số hạng không chứa x ứng với k thỏa 30 5k 0 k 6 . 6 6 Vậy số hạng không chứa x là C10 2 13440 . 2 Câu 27: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log x.log x.log x.log x bằng 3 9 27 81 3 82 80 A. . B. . C. . 9 D. . 0 9 9 Lời giải Trang 14/30
  15. Chọn A. Điều kiện: x 0 . 1 1 1 2 4 Phương trình tương đương: . . .log x.log x.log x.log x log x 16 2 3 4 3 3 3 3 3 3 x 9 log x 2 3 . 1 log3 x 2 x 9 1 82 Vậy tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình là: 9 . 9 9 Câu 28: Cho tứ diện OAB Ccó O ,A O ,B O Cđôi một vuông góc với nhau và OA OB O . CGọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A O B M C A. .9 0 B. . 30 C. . 60 D. . 45 Lời giải Chọn C. Cách 1: A N B O M C Gọi N là trung điểm của CD , ta có MN //AB OM ; AB OM ;MN O· NM . Do OAB OCB OAC và OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau nên AB OM ON MN OM ; AB O· NM 60. 2 Cách 2: Trang 15/30
  16.  2  2  2        Ta có: OA a2 , OA a2 , OA a2 , OA.OB 0, OB.OC 0, OC.OA 0, AB a 2,  a 2     1  1  OM . Do O là trung điểm của BC nên AB OB OA; OM OB OC . 2 2 2     1  1  1     OM.AB OB OA OB OC OB OA OB OC 2 2 2 2   1  2       a OM.AB OB OB.OC OA.OB OA.OC 2 2   a2   OM.AB 1 cos OM ; AB cos OM ; AB   2 OM . AB a 2 2 a 2. 2 OM ; AB 60 . x 3 y 3 z 2 Câu 29: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : ; 1 1 2 1 x 5 y 1 z 2 d : và mặt phẳng P : x 2y 3z 5 0 . Đường thẳng vuông góc với 2 3 2 1 P , cắt d1 và d2 có phương trình là x 1 y 1 z x 2 y 3 z 1 A. . B. . 1 2 3 1 2 3 x 3 y 3 z 2 x 1 y 1 z C. . D. . 1 2 3 3 2 1 Lời giải Chọn A. Cách 1: Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường thẳng d cần tìm với d1 và d2 , khi đó  M 3 t;3 2t; 2 t , N 5 3s; 1 2s;2 s MN 2 3s t; 4 2s 2t;4 s t .   Đường thẳng d vuông góc với P suy ra MN cùng phương với nP 1;2;3 . Do đó 2 3s t 4 2s 2t 4 s t t 2 M 1; 1;0 . 1 2 3 s 1 Vậy đường thẳng cần tìm qua M 1; 1;0 và có vectơ chỉ phương là u 1;2;3 là x 1 y 1 z . 1 2 3 Cách 2: Vì đường thẳng d cần tìm ở 4 đáp án đều không cùng phương với cả d1 và d2 nên ta chỉ cần kiểm tra tính đồng phẳng của d và d1 , d và d2 .  d1 có vectơ chỉ phương là a 1; 2;1 và qua điểm A 3;3; 2 .  d2 có vectơ chỉ phương là b 3;2;1 và qua điểm B 5; 1;2 . Đường thẳng d cần tìm có vectơ chỉ phương là u 1;2;3 và qua điểm M 1; 1;0 .   Ta có AM 2; 4;2 ; BM 4;0; 2 . Khi đó Trang 16/30
  17.   u;a 8; 4;0 u;a .AM 0 nên d và d đồng phẳng. 1   u;b 4; 10;8 u;b .BM 0 nên d và d đồng phẳng. 2 1 Câu 30: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y x3 mx đồng biến trên 5x5 khoảng 0; ? A. .5 B. . 3 C. . 0 D. . 4 Lời giải Chọn D. Hàm số xác định và liên tục trên khoảng 0; . 1 Ta có y 3x2 m , x 0; . Hàm số đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi x6 1 y 3x2 m 0 , x 0; . Dấu đẳng thức chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm. x6 1 m 3x2 g x , x 0; x6 6 6x8 6 m max g x . Ta có g x 6x ; g x 0 x 1 x 0: x7 x7 Bảng biến thiên x 0 1 g x 0 4 g x Suy ra max g x g 1 4 do đó m 4 m 4; 3; 2; 1 . x 0: Câu 31: Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x2 , cung tròn có phương trình y 4 x2 (với 0 x 2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của H bằng 4 3 4 3 4 2 3 3 5 3 2 A. . B. . C. . D. . 12 6 6 3 y 2 x O 2 Lời giải Trang 17/30
  18. Chọn B. y 2 x O 1 2 Phương trình hoành độ giao điểm của parabol y 3x2 và cung tròn y 4 x2 (với 0 x 2 ) là: x2 1 2 2 2 4 4 x 3x 4 x 3x 4 x 1 (vì 0 x 2 ). x2 3 Cách 1: Diện tích của H là: 1 2 2 3 1 3 S 3x2dx 4 x2 dx x3 I I với I 4 x2 dx . 0 0 1 3 3 1 Đặt: x 2sint , t ; dx 2cost.dt . 2 2 Đổi cận: x 1 t , x 2 t . 6 2 2 2 2 2 3 I 4 4sin2 t.2cost.dt 4cos2 t.dt 2 1 cos2t .dt 2x sin 2t 2 . 6 3 2 6 6 6 3 3 2 3 4 3 Vậy S I . 3 3 3 2 6 Cách 2: Diện tích của H bằng diện tích một phần tư hình tròn bán kính 2trừ diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung tròn, parabol và trục Oy . 1 Tức là: S 4 x2 3x2 dx . 0 2 dx Câu 32: Biết I a b c với ,a ,b c là các số nguyên dương. Tính 1 x 1 x x x 1 P a b c . A. .P 24 B. . P 12C. . D.P . 18 P 46 Lời giải Chọn D. Ta có: x 1 x 0 , x 1;2 nên: 2 dx 2 dx I x 1 x x x 1 1 1 x x 1 x 1 x Trang 18/30
  19. 2 x 1 x dx 2 x 1 x dx 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 2 1 1 2 dx 2 x 2 x 1 4 2 2 3 2 32 12 2 . 1 1 x x 1 a 32 Mà I a b c nên b 12 . Suy ra: P a b c 32 12 2 46 . c 2 Câu 33: Cho tứ diện đều ABC Dcó cạnh bằng . 4Tính diện tích xung quanh S củaxq hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD . 16 2 16 3 A. .S B. . C. . S D.8 .2 S S 8 3 xq 3 xq xq 3 xq Lời giải Chọn A. 42 3 Tam giác BCD đều cạnh 4 có diện tích: S 4 3 . BCD 4 a3 2 16 Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều cạnh a là V V 2 . 12 ABCD 3 3V 4 2 Độ dài đường cao khối tứ diện: h ABCD . SBCD 3 S 4 3 2 3 Bán kính đáy đường tròn nội tiếp tam giác BCD : r . p 6 3 2 3 4 2 16 2 Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: S 2 rh 2 . . . xq 3 3 3 Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 16x 2.12x m 2 9x 0 có nghiệm dương ? A. .1 B. . 2 C. . 4 D. . 3 Lời giải Chọn B. 2x x x x x 4 4 Ta có: 16 2.12 m 2 9 0 2. m 2 0 1 . 3 3 x 4 Đặt: t 0 . 3 Phương trình 1 t 2 2t 2 m 2 . Phương trình 1 có nghiệm dương phương trình 2 có nghiệm t 1 . Số nghiệm phương trình 2 là số giao điểm của đồ thị hàm số f t t 2 2 ,t t 1; và đường thẳng d : y 2 m . Xét hàm số f t t 2 2t , t 1; . Trang 19/30
  20. f t 2 t 1 0 , t 1; . Suy ra, hàm số f luôn đồng biến trên 1; . Bảng biến thiên: x 1 + ∞ f'(t) + f(t) + ∞ 1 Dựa vào BBT, ycbt 2 m 1 m 3 . Vậy có 2 giá trị m dương thoả mãn là m 1;2 . Câu 35: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mđể phương trình 3 m 33 m 3sin x si ncóx nghiệm thực ? A. .5 B. . 7 C. . 3 D. . 2 Lời giải Chọn A. Ta có 3 m 33 m 3sin x sin x 33 m 3sin x sin3 x m . 1 Đặt sin x u . Điều kiện 1 u 1 và 3 m 3sin x v m 3u v3 . 2 Khi đó 1 trở thành u3 m 3v 3 Từ 3 và 2 suy ra u3 3v v3 3u u v u2 uv v2 3 0 u v . 2 2 2 2 1 3v (Do u uv v 3 u v 3 0 , u , v ¡ ) 2 4 Suy ra: 3 m 3u u m u3 3u , với u  1;1 . Xét hàm số f u u3 3u trên đoạn  1;1 . Ta có f u 3u2 3 ; f u 0 u 1 . Suy ra max f u 2 , min f u 2 .  1;1  1;1 Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2 m 2 , mà m Î ¢ nên m 0; 1; 2 . Câu 36: Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực saom cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x m trên đoạn 0;2 bằng 3 . Số phần tử của S là A. .1 B. . 2 C. . 0 D. . 6 Lời giải Chọn B. Xét hàm số f x x3 3x m là hàm số liên tục trên đoạn 0;2 . 2 x 1 n Ta có f x 3x 3 f x 0 x 1 l Suy ra GTLN và GTNN của thuộcf x f 0 ; f 1 ; f 2  m;m 2;m . 2 Trang 20/30
  21. Xét hàm số y x3 3x m trên đoạn 0;2 ta được giá trị lớn nhất của y là max m ; m 2 ; m 2 3 . TH1: max 1;3;5 5 (loại). TH2: m 2 3 m 1 m 5 + Với m = - 1 . Ta có max 1;3 3 (nhận). +Với m = 5 . Ta có max 3;5;7 7 (loại). TH3: m 2 3 m 1 m 5 + Với m = 1 . Ta có max 1;3 3 (nhận). + Với m = - 5 . Ta có max 3;5;7 7 (loại). Do đó m Î {- 1;1} Vậy tập hợp S có 2 phần tử. Chú ý: Ta có thể giải nhanh như sau: Sau khi tìm được Suy ra GTLN và GTNN của thuộcf x x3 3x m f 0 ; f 1 ; f 2  m;m 2;m 2. + Trường hợp 1: m ³ 0 thì max f (x) = m + 2 = 3 Û m = 1 . [0;2] + Trường hợp 2: m < 0 thì max f (x) = m- 2 = 2- m = 3 Û m = - 1 [0;2] 1  2 Câu 37: Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ thỏa mãn f x , f 0 1và f 1 .2 Giá 2 2x 1 trị của biểu thức f 1 f 3 bằng A. .4 ln15 B. . 2 C.ln 1. 5 D. . 3 ln15 ln15 Lời giải Chọn C. 2 1  Ta có: f x f x dx dx ln 2x 1 C , với mọi x ¡ \  . 2x 1 2 1 + Xét trên ; . Ta có f 0 1 , suy ra C 1 . 2 1 Do đó, f x ln 2x 1 1 , với mọi x ; . Suy ra f 1 1 ln 3 . 2 1 + Xét trên ; . Ta có f 1 2 , suy ra C 2 . 2 1 Do đó, f x ln 2x 1 2 , với mọi ; . Suy ra f 3 2 ln 5 . 2 Vậy f 1 f 3 3 ln 3 ln 5 3 ln15 . Câu 38: Cho số phức z a b i a,b ¡ thỏa mãn z 2 i z 1 i 0và z .1 Tính P a .b A. .P 1 B. . P C.5 . D.P . 3 P 7 Trang 21/30
  22. Lời giải Chọn D. z 2 i z 1 i 0 a 2 b 1 i z i z 2 2 a 2 z a 2 a b 1 b 1 z 2 2 b 1 a b 2 Lấy 1 trừ 2 theo vế ta được a b 1 0 b a 1 . Thay vào 1 ta được 2 a 2 1 do z 1 a 2 a2 a 1 a 3. Suy ra b 4 . 2 a 2a 3 0 Do đó z 3 4i có z 5 1 (thỏa điều kiện z 1 ). Vậy P a b 3 4 7 . Câu 39: Cho hàm số y f x .Hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Hàm số y f 2 x đồng biến trên khoảng: A. . 1;3 B. . 2; C. . D. 2.;1 ;2 Lời giải Chọn C. Ta có: f 2 x 2 x . f 2 x f 2 x 2 x 1 x 3 Hàm số đồng biến khi f 2 x 0 f 2 x 0 . 1 2 x 4 2 x 1 x 2 Câu 40: Cho hàm số y có đồ thị C và điểm A a;1 . Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị thực x 1 của a để có đúng một tiếp tuyến từ C đi qua A . Tổng tất cả giá trị của phần tử S bằng 3 5 1 A. .1 B. . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn C. Phương trình đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc k : y k x a 1 Phương trình hoành độ giao điểm của d và C : x 2 k x a 1 kx ka 1 x 1 x 2 x 1 x 1 kx2 k ka 2 x 3 ka 0 x 1 * Với k 0 , ta có d :y 1 là tiệm cận ngang đồ thị hàm số nên không thể tiếp xúc được. Với k 0 , d và C tiếp xúc nhau 1 có nghiệm kép Trang 22/30
  23. 2 2 2 x k 1 a 2 4k 3 ka 0 x k 1 a 4k a 2 4 0 Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn ktham số a Để qua A a;1 vẽ được đúng 1 tiếp tuyến thì phương trình x 0 có đúng một nghiệm k 0 . *Xét 1 a 0 a 1 , ta có 4k 4 0 k 1 thỏa. *Có f 0 4 0 nên loại đi trường hợp có hai nghiệm trong đó có một nghiệm là 0 . *Còn lại là trường hợp x 0 có nghiệm kép khi 2 2 3 4 a 2 a 1 4 2a 3 0 a k 2 3 5 Tổng là 1 . 2 2 Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;1;2 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng P đi qua M và cắt các trục x Ox , y Oy , z Oz lần lượt tại điểm A ,B ,C sao cho OA OB OC 0 ? A. .3 B. . 1 C. . 4 D. . 8 Lời giải Chọn A. Gọi A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c . Từ đó ta có OA a , OB b , OC c x y z Mặt phẳng đoạn chắn đi qua các điểm A ,B ,C có dạng: P : 1 . a b c 1 1 2 Vì M P nên 1 . a b c Vì OA OB OC a b c 1 1 2 1 Từ đó ta có hệ phương trình: a b c a b c a;b;c 4;4;4 Xét các trường hợp,phá trị tuyệt đối và giải hệ, ta có 3 nghiệm tương a;b ;ứngc 2; 2;2 a;b;c 2;2;2 P : x y z 4 0 với 3 phương trình mặt phẳng P : x y z 2 0 . P : x y z 2 0 Câu 42: Cho dãy số un thỏa mãn logu1 2 logu1 2logu10 2logu10 và un 1 2un với mọi 100 n 1. Giá trị nhỏ nhất để un 5 bằng A. .2 47 B. . 248 C. . 229 D. . 290 Lời giải Chọn B. Vì un 1 2un nên dễ thấy dãy số un là cấp số nhân có công bội q 2 . 9 9 Ta có: u10 u1.q 2 .u1 Xét logu1 2 logu1 2logu10 2logu10 Trang 23/30
  24. 9 9 logu1 2log 2 .u1 2 logu1 2log 2 .u1 0 logu1 18log 2 2logu1 2 logu1 18log 2 2logu1 0 logu1 18log 2 2 logu1 18log 2 0 Đặt 2 logu1 18log 2 t t 0 . Phương trình trên trở thành: 2 2 t 1 t 2 t 0 t t 2 0 t 2 L 5 Với t 1 2 logu 18log 2 1 2 logu 18log 2 1 u 1 1 1 217 5 Trong trường hợp này ta có: u .2n 1 5100 2n 18 599 n 99log 5 18 n 217 2 Mà n ¥ * nên giá trị nhỏ nhất trong trương hợp này là n 248 . Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số cóy 3 điểmx4 4x3 12x2 m 7 cực trị ? A. .3 B. . 5 C. . 6 D. . 4 Lời giải Chọn D. Xét hàm số y 3x4 4x3 12x2 m . TXĐ: D ¡ . x 0 3 2 Có y 12x 12x 24x , y 0 x 1 x 2 Ta có bảng biến thiên x 1 0 2 y 0 0 0 y m m 5 m 32 m 5 0 Từ bảng biến thiên, để hàm số đã cho có 7 cực trị thì 0 m 5 . m 0 Vì m nguyên nên các giá trị cần tìm của m là m 1; 2; 3; 4 . Vậy có 4 giá trị nguyên cần tìm của m . 8 4 8 Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 2; 1 , B ; ; . Đường thẳng đi qua tâm 3 3 3 đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng OAB có phương trình là Trang 24/30
  25. x 1 y 3 z 1 x 1 y 8 z 4 A. . B. . 1 2 2 1 2 2 1 5 11 2 2 5 x y z x y z C. . 3 3 6 D. . 9 9 9 1 2 2 1 2 2 Lời giải Chọn A. Gọi I a;b;c là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB    Khi đó AB.IO OB.IA OA.IB 0 * . Ta có OA 3 , OB 4 , AB 5 ;    8 4 8 IO a; b; c , IA 2 a;2 b;1 c , IB a; b; c . 3 3 3 8 5a 4 2 a 3 a 0 3 a 0 4 Từ * ta có 5b 4 2 b 3 b 0 b 1 . 3 c 1 8 5c 4 1 c 3 c 0 3 Do đó I 0;1;1 .   Mặt khác, ta có: OA,OB 4; 8; 8 . Suy ra vec tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là u 1; 2; 2 . x y 1 z 1 Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình là: . Đáp án A thỏa bài toán. 1 2 2 Câu 45: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng , 1lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE . Thể tích của khối đa diện ABCDSEF bằng. 7 11 2 5 A. . B. . C. . D. . 6 12 3 6 Lời giải Chọn C. E S F I N H K B C M A D Dựng điểm H sao cho EFH.BAD là hình lăng trụ. Trang 25/30
  26. Gọi N là hình chiếu của B lên ED , S là điểm đối xứng của N qua B , gọi K là trung điểm của ED . Gọi M là hình chiếu của S lên BD , I SM  EH . Ta có: BD 2 ; DE 3 BE 2.BD2 6 Xét tam giác vuông BED ta có: BN ; BE 2 BD2 3 DB2 2 DE 3 DN ; KN DN . ED 3 2 6 SB.DN 4 1 Xét tam giác SBD ta có: SM.BD DN.SB SM IS BD 3 3 2 2 EI 2 Xét tam giác vuông SIH ta có: IH SH 2 SI 2 2NK SI 2 3 EH 3 d I, ABEF EI 2 d H, ABEF EH 3 2 Do SI // ABEF d S, ABEF d I, ABEF 3 1 4 1 2 2 V V V . .1 . .1 . ABCDSEF S.ABCD S.ABEF 3 3 3 3 3 Câu 46: Xét các số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn z 4 3i .5 Tính P a b khi z 1 3i z 1 i đạt giá trị lớn nhất. A. .P 10 B. . P 4 C. . PD. .6 P 8 Lời giải Chọn A. Ta có: z 4 3i 5 a 4 2 b 3 2 5 a2 b2 8a 6b 20 Đặt A z 1 3i z 1 i ta có: A a 1 2 b 3 2 a 1 2 b 1 2 A2 12 12 a 1 2 b 3 2 a 1 2 b 1 2 2 2 a2 b2 4b 12 2 16a 8b 28 8 4a 2b 7 1 Mặt khác ta có: 4a 2b 7 4 a 4 2 b 3 15 42 22 a 4 2 b 3 2 15 25 2 Từ 1 và 2 ta được: A2 200 4a 2b 7 25 a 6 Để Amax 10 2 a 4 b 3 b 4 4 2 Vậy P a b 10 . Câu 47: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB 2 3 và AA 2 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh A B , A C và BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng vàA B C bằng MNP Trang 26/30
  27. C' N B' M A' C P B A 6 13 13 17 13 18 13 A. . B. . C. . D. . 65 65 65 65 Lời giải Chọn B. Gọi I , Q lần lượt là trung điểm của MN , B C . Gọi O PI  AQ . O AB C  MNP Khi đó nênB C giao // M tuyếnN của và là đường AB C MNP B C  AB C ,MN  MNP thẳng d qua O và song song MN , B C . Tam giác AcânB Ctại nên A AQ  B C A .Q  d Tam giác PMN cân tại P nên PI  MN PI  d . Do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng vàA B C là M gócNP giữa và AQ . PI 5 Ta có AP 3 , AQ 13 , IP . 2 AP 2 2 13 2 5 Vì OAP ∽ OQI và 2 nên OA AQ ; OP IP . IQ 3 3 3 3 Trang 27/30
  28. OA2 OP2 AP2 13 cos ·AB C , MNP cos ·AQ, PI cos ·AOQ . 2OA.OP 65 Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;2;1 , B 3; 1;1 và C 1; 1;1 . Gọi S1 là mặt cầu có tâm A , bán kính bằng 2 ; S2 và S3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B , C và bán kính bằng 1 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu S1 , S2 , S3 . A. .5 B. . 7 C. . 6 D. . 8 Lời giải Chọn B. Gọi phương trình mặt phẳng P tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là: ax by cz d 0 ( đk: a2 b2 c2 0 ). Khi đó ta có hệ điều kiện sau: a 2b c d 2 2 2 2 d A; P 2 a b c a 2b c d 2 a2 b2 c2 3a b c d 2 2 2 d B; P 1 1 3a b c d a b c . a2 b2 c2 d C; P 1 a b c d a2 b2 c2 a b c d 1 a2 b2 c2 Khi đó ta có: 3a b c d a b c d 3a b c d a b c d a 0 . 3a b c d a b c d a b c d 0 Với a 0 thì ta có 2b c d 2 b2 c2 2b c d 2 b2 c2 c d 0, b 0 4b c d 0 2b c d 2 b c d c d 4b, c 2 2b c d 0 Do đó có 3 mặt phẳng thỏa bài toán. Với a b c d 0 thì ta có 4 2 2 2 b a 3b 2 a b c 3b 4 a 3 2 2 2 2a a2 b2 c2 11 2a a b c c a 3 Do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán. Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán. Câu 49: Xếp ngẫu nhiên 1 0học sinh gồm 2học sinh lớp 12 ,A học3 sinh lớp 12 Bvà học5 sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng 11 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 630 126 105 42 Lời giải Chọn A. Số cách xếp 10 học sinh vào 10 vị trí: n  10! cách. Gọi A là biến cố: “Trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”. Sắp xếp 5 học sinh lơp 12C vào 5 vị trí, có 5! cách. Trang 28/30
  29. Ứng mỗi cách xếp 5 học sinh lớp 12C sẽ có 6 khoảng trống gồm 4 vị trí ở giữa và hai vị trí hai đầu để xếp các học sinh còn lại. C1 C2 C3 C4 C5 3 TH1: Xếp 3 học sinh lớp 12B vào 4 vị trí trống ở giữa (không xếp vào hai đầu), có A4 cách. Ứng với mỗi cách xếp đó, chọn lấy 1 trong 2 học sinh lớp 12A xếp vào vị trí trống thứ 4 (để hai học sinh lớp 12C không được ngồi cạnh nhau), có 2 cách. Học sinh lớp 12A còn lại có 8 vị trí để xếp, có 8 cách. 3 Theo quy tắc nhân, ta có 5!.A4 .2.8 cách. TH2: Xếp 2 trong 3 học sinh lớp 12B vào 4 vị trí trống ở giữa và học sinh còn lại xếp vào hai 1 2 đầu, có C3.2.A4 cách. Ứng với mỗi cách xếp đó sẽ còn 2 vị trí trống ở giữa, xếp 2 học sinh lớp 12A vào vị trí đó, có 2 cách. 1 2 Theo quy tắc nhân, ta có 5!.C3.2.A4 .2 cách. Do đó số cách xếp không có học sinh cùng lớp ngồi cạnh nhau là: 3 1 2 n A 5!.A4 .2.8 5!.C3.2.A4 .2 63360 cách. n A 63360 11 Vậy P A . n  10! 630 1 2 Câu 50: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 1thỏa mãn f 1 , 0 f x dx 7 0 1 1 1 và x2 f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 3 0 7 7 A. . B. . 1 C. . D. . 4 5 4 Lời giải Chọn A. 1 du f x dx 2 u f x Tính:x f x dx . Đặt 3 . 2 x 0 dv x v 3 Ta có: 1 x3 f x 1 1 1 1. f 1 0. f 1 1 1 1 1 x2 f x dx x3. f x dx x3. f x dx x3. f x dx . 0 3 0 3 0 3 3 0 3 0 1 1 1 1 1 1 Mà x2 f x dx x3. f x dx x3. f x dx 1 . 0 3 3 0 3 0 1 2 Ta có f x dx 7 (1). 0 1 x7 1 1 1 1 x6.dx 49x6.dx .49 7 (2). 0 7 0 7 0 7 1 1 x3. f x dx 1 14x3. f x dx 14 (3). 0 0 Trang 29/30
  30. 1 2 1 1 Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra f x dx 49x6.dx 14x3. f x dx 7 7 14 0 . 0 0 0 1 1 2 3 6 3 2 f x 14x f x 49x dx 0 f x 7x dx 0 . 0 0 1 1 3 2 3 2 3 2 3 Do f x 7x 0 f x 7x dx 0 . Mà f x 7x dx 0 f x 7x . 0 0 1 1 7x4 7 7 f x dx 7x3 dx f x C . Mà f 1 0 C 0 C . 0 0 4 4 4 7x4 7 Do đó f x . 4 4 1 1 7x4 7 7x5 7 1 7 Vậy f x dx dx x . 0 0 4 4 20 4 0 5 HẾT Trang 30/30