Đề rèn luyện ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 12 - Hoàng Xuân Nhàn

Nội dung text: Đề rèn luyện ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 12 - Hoàng Xuân Nhàn

1. ĐỀ SỐ 12 ĐỀ RÈN LUYỆN MƠN TỐN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Nội dung: Thời gian: 90 phút TỔNG HỢP HÀM SỐ - KHỐI ĐA DIỆN Câu 1. Cho hàm số cĩ bảng biến thiên như sau Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; + ) . B. (−3; + ) . C. (−1;1) . D. (− ;1) . 23x − Câu 2. Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là: x −1 A. y = 2 . B. y =1. C. x =1. D. x = 2 . Câu 3. Thể tích của khối lăng trụ cĩ chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là 1 1 A. V= Bh . B. V= 2 Bh . C. V= Bh . D. V= Bh . 6 3 Câu 4. Cho hàm số y= f( x) cĩ bảng biến thiên như sau Số nghiệm của phương trình 2fx( ) −= 11 0 bằng A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 4 . Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= x42 −23 x − trên đoạn −1;2 bằng A. −4. B. 0 . C. 5 . D. −3. Câu 6. Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây cĩ tiệm cận đứng? 1 2 1 3 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x2 +1 x xx2 −+2 x4 +1 Câu 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên (− ; + ) ? x +1 A. y= − x42 +3 x − 2 x + 1. B. y = . 22x − HỒNG XUÂN NHÀN 123
2. C. y= − x32 + x −21 x + . D. yx=+3 3. Câu 8. Cho khối chĩp cĩ diện tích đáy bằng a2 và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chĩp đã cho bằng 2a3 A. . B. 2a3 . C. 4a3 . D. a3 . 3 21x + Câu 9. Cho hàm số y = . Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn −1;0 x −1 bằng 3 −1 A. . B. 2 . C. . D. 0 . 2 2 Câu 10. Cho khối lăng trụ cĩ đáy là hình vuơng cạnh a và chiều cao bằng 3a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 4 A. a3 . B. 4a3 . C. a3 . D. 3a3 . 3 Câu 11. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây? x − 2 A. y = . x +1 x + 2 B. y = . x +1 x + 2 C. y = . x −1 24x − D. y = . x +1 2x Câu 12. Đồ thị hàm số y = cĩ số đường tiệm cận là x2 −1 A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Câu 13. Cho hình chĩp S. ABC cĩ SA,, AB BC đơi một vuơng gĩc với nhau. Tính thể tích khối chĩp S. ABC , biết SA= a3, AB = BC = a . 3a3 3a3 3a3 3a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 9 2 6 3 Câu 14. Cho hàm số y= f( x) cĩ đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng ym= cắt đồ thị hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt là A.Vơ số. B. 3 . C. 0. D. 5 . Câu 15. Cho hàm số y= f( x) cĩ đạo hàm f ( x) = x( x +31)( x − )2 . Số điểm cực trị của hàm số bằng A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos2 xm=− 1 cĩ nghiệm. A. 12 m . B. m 2. C. 12 m . D. m 1. Câu 17. Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt? HỒNG XUÂN NHÀN 124
3. A. Năm mặt. B. Bốn mặt. C. Ba mặt. D. Hai mặt ax+ b Câu 18. Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số y = , với cx+ d a,,, b c d là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. yx 0,  . B. yx 0,  1. C. yx 0,  . D. yx 0,  1. Câu 19. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số yx= −4 −1 là A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 . Câu 20. Cho khối lăng trụ đứng ABC. A B C cĩ BB = a , đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B và AB= a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. Va= 3 . 2 6 3 x2 −1 khi x 1 Câu 21. Cho bốn hàm số f1 ( x) =− x 1 ; f2 ( x) = x ; f3 ( x) = tan x ; fx4 ( ) = x −1 . Hỏi trong bốn 2 khi x = 1 hàm số trên cĩ bao nhiêu hàm số liên tục trên ? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 22. Nếu khối hộp chữ nhật cĩ thể tích và chiều cao lần lượt bằng 9a3 và a thì chu vi đáy nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A. 43a . B. 12a . C. 6a . D. a 3 . Câu 23. Cho khối lăng trụ đứng ABC. A B C cĩ đáy là tam giác vuơng tại B , AB= a , AC= a 5 , AA = 23 a (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng A. 23a3 . B. 43a3 . 23a3 C. . 3 3a3 D. . 3 Câu 24. Cho hàm số y= f( x) cĩ đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số cĩ giá trị cực tiểu bằng 2 . B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2 . C. Hàm số cĩ giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng −2. D. Hàm số cĩ ba điểm cực trị. xm+−2 Câu 25. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y = nghịch biến x +1 trên các khoảng mà nĩ xác định? A. m 1. B. m −3 . C. m −3 . D. m 1. HỒNG XUÂN NHÀN 125
4. Câu 26. Cho khối chĩp tứ giác đều cĩ cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V của khối chĩp đã cho. 2a3 11a3 14a3 14a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 6 12 2 6 Câu 27. Tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=4 x32 − 6 x + 1, biết tiếp tuyến đĩ đi qua điểm M (−−1; 9) . A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . Câu 28. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s= t32 −3 t + 5 t + 2 , trong đĩ t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là A. 24 m/s2 . B. 12 m/s2 . C. 17 m/s2 . D. 14 m/s2 . 1 3 Câu 29. Tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số yx=+ trên đoạn ;3 . x 2 10 13 10 A. max y = , min y = . B. max y = , miny = 2 . 3 3 3 3 ;3 3 ;3 6 ;3 3 ;3 2 2 2 2 16 10 5 C. max y = , miny = 2 . D. max y = , min y = . 3 3 3 3 ;3 3 ;3 ;3 3 ;3 2 2 2 2 2 Câu 30. Cho hàm số y= f( x) cĩ bảng biến thiên như sau. Tổng số đường tiệm cận (bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số là A. 0. B. 3. C. 2. D. 1. 24x + Câu 31. Gọi M , N là giao điểm của đường thẳng yx=+1 và đường cong y = . Khi đĩ hồnh độ x −1 trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng: A. 2 . B. −1. C. −2. D. 1. 1 Câu 32. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S( t) = − t42 +3 t − 2 t − 4 , trong đĩ t tính bằng 4 giây (s) và S tính bằng mét (m) . Tại thời điểm nào vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất? A. t =1. B. t = 2 . D C C. t = 2. D. t = 3 . Câu 33. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A B C D cĩ A B AB=1, AD = 2, AA = 3. Thể tích của khối chĩp DABCD. là A. V = 2 . B. V =1. D' C' C. V = 6 . D. V = 3. A' B' HỒNG XUÂN NHÀN 126
5. Câu 34. Tìm m để hàm số y= mx3 −( m 2 +1) x 2 + 2 x − 3 đạt cực tiểu tại x =1. 3 3 A. m = . B. m =− . C. m = 0. D. m =−1. 2 2 Câu 35. Cho bảng biến thiên của hàm số y= f( x) . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Giá trị lớn nhất của hàm số y= f( x) trên tập bằng 0 . B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f( x) trên tập bằng −1. C. Hàm số y= f( x) nghịch biến trên (−1;0) và (1; + ). D. Đồ thị hàm số y= f( x) khơng cĩ đường tiệm cận. Câu 36. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB và G là trọng tâm của tam giác SBC . Gọi V ,V lần lượt là thể tích của các khối chĩp M. ABC và G. ABD , tính tỉ số V . V V 3 V 4 V 5 V 2 A. = . B. = . C. = . D. = . V 2 V 3 V 3 V 3 Câu 37. Cho hàm số y= f( x) cĩ đạo hàm liên tục trên và cĩ bảng xét dấu đạo hàm như sau. Tổng giá trị tất cả các điểm cực trị của hàm số y= f( x −2022) + 2023 là A. 4046 . B. 4045 . C. 2 . D. 4044 . 4 Câu 38. Giá trị lớn nhất của hàm số y=−2cos x cos3 x trên 0; . 3 2 10 22 A. max y = . B. max y = . C. max y = . D. maxy = 0 . 0;  3 0;  3 0;  3 0;  Câu 39. Cho hàm số y= x32 +( m −2) x +( m − 2) x + 1. Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (− ; + ) là A. 3 . B. 0 . C. 4 . D. 2 . 500 Câu 40. Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp cĩ thể tích bằng m3 . 3 Đáy hồ là hình chữ nhật cĩ chiều dài gấp đơi chiều rộng. Giá thuê nhân cơng để xây hồ là 500.000 đồng/m2. Hãy xác định kích thước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân cơng thấp nhất và chi phí đĩ là A. 74 triệu đồng. B. 75 triệu đồng. C. 76 triệu đồng. D. 77 triệu đồng. HỒNG XUÂN NHÀN 127
6. Câu 41. Cho hình chĩp S. ABC cĩ SA⊥ ( ABC ) , ABC là tam giác đều cạnh a và tam giác SAB cân. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC ) . a 3 a 3 2a a 3 A. h = . B. h = . C. h = . D. h = . 7 2 7 7 Câu 42. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y= x42 −21 mx + đồng biến trên khoảng (3; + ) . Tổng giá trị các phần tử của T bằng A. 9 . B. 45 . C. 55 . D. 36 . Câu 43. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AD= 2 a . Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy, SA= 2 a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng 2a A. a 2. B. . C. 2.a D. a. 5 Câu 44. Cho hàm số bậc bốn y= f( x) cĩ đạo hàm trên . Đồ thị hàm số fx ( ) như hình vẽ. Hàm số g( x) =+ f( x2 2) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (2;3) . B. (−−3; 2) . C. (−1;1) . D. (−1;0) . Câu 45. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y= mx − m −1 cắt đồ thị của hàm số y= x32 −3 x + x tại ba điểm phân biệt A, B , C phân biệt sao cho AB= BC . 5 A. m −; + . B. m ( −2; + ) . 4 C. m . D. m ( − ;0  4; + ) . Câu 46. Cho hình lập phương ABCD. A B C D cĩ cạnh bằng a . Gọi I là điểm thuộc cạnh AB sao cho a AI = . Tính khoảng cách từ điểm C đến (B DI ) . 3 a a 3a 2a A. . B. . C. . D. . 3 14 14 3 Câu 47. Cho hàm số bậc ba y= f( x) cĩ đồ thị như hình vẽ. Cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(2 sin x) = f( m2 + 6 m + 10) cĩ nghiệm? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . HỒNG XUÂN NHÀN 128
7. Câu 48. Cho khối chĩp S. ABC cĩ SA= SB = SC = a và ASB= BSC = CSA =30  Mặt phẳng ( ) qua A và V cắt hai cạnh SB , SC tại B , C sao cho chu vi tam giác AB C nhỏ nhất. Tính k = S. AB C . VS. ABC 1 A. k =−22. B. k =−4 2 3 . C. k = . D. k =−2 2 2 . 4 ( ) 32 Câu 49. Cho đồ thị hàm số f( x) = x + bx + cx + d cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ x1 , x2 , 1 1 1 x3 . Tính giá trị biểu thức P = + + . f ( x1) f ( x 2) f ( x 3 ) 11 A. P =+. B. P = 0 . C. P= b + c + d . D. P=32 + b + c . 2bc Câu 50. Cho hàm số fx( ) liên tục trên đoạn −4;4 và cĩ bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới Cĩ tất cả bao nhiêu giá trị thực của m − 4;4 để hàm số g( x) = f( x3 +23 x) + f( m) cĩ giá trị lớn nhất trên đoạn −1;1 bằng 8? A. 11. B. 9. C. 10. D. 12. ___HẾT___ HỒNG XUÂN NHÀN 129
8. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C D B A B C A C D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A D C B B C C D C A 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 B B A B D D D B A C 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D B A A B A A C C B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A B A B B C B B B A Lời giải câu hỏi vận dụng cao đề số 12 Câu 41. Cho hình chĩp S. ABC cĩ SA⊥ ( ABC ) , ABC là tam giác đều cạnh a và tam giác SAB cân. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC ) . a 3 a 3 2a a 3 A. h = . B. h = . C. h = . D. h = . 7 2 7 7 Hướng dẫn giải: Gọi D là trung điểm BC . Do tam giác ABC đều nên AD⊥ BC . Trong tam giác SAD , kẻ AH⊥ SD tại H (1) . SA⊥ BC Do BC ⊥( SAD) BC ⊥ AH (2) . AD⊥ BC Từ (1) và (2) , suy ra AH⊥ ( SBC ) . Do đĩ khoảng cách cần tìm : d( A,( SBC)) = AH . Ta cĩ tam giác SAB vuơng tại A, theo giả thiết : SA== AB a . a 3 Tam giác ABC đều cĩ đường cao AD = . 2 Xét tam giác SAD vuơng tại A cĩ đường cao: HỒNG XUÂN NHÀN 130
9. a 3 a. SA.3 AD a Chọn AH = =2 = . ⎯⎯⎯→ A SA2+ AD 23 a 2 7 a2 + 4 Câu 42. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y= x42 −21 mx + đồng biến trên khoảng (3; + ) . Tổng giá trị các phần tử của T bằng A. 9 . B. 45 . C. 55 . D. 36 . Hướng dẫn giải: Ta cĩ: y =4 x3 − 4 mx 0 ,  x ( 3; + ) x2 m ,  x ( 3; + ) m 9 . Vì m nguyên dương nên m 1;2; ;9. Tổng giá trị tất cả phần tử của T là: 1+ 2 + . + 9 = 45. ⎯⎯⎯→Chọn B Câu 43. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AD= 2 a . Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy, SA= 2 a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng 2a A. a 2. B. . C. 2.a D. a. 5 Hướng dẫn giải: Ta cĩ: AB// CD ( SCD) AB // ( SCD) mà SD ( SCD) nên d( AB,,, SD) == d( AB( SCD)) d( A( SCD)) . Trong tam giác SAD, dựng đường cao AH (1). Ta cĩ: CD⊥ AD CD ⊥( SAD) CD ⊥ AH (2) . CD⊥ SA Từ (1) và (2) suy ra AH⊥ ( SCD) . Do vậy d( AB,, SD) == d( A( SCD)) AH . AS. AD 2 a .2 a Xét tam giác SAD vuơng tại A cĩ đường cao: AaH === 2. AS 2+ AD 2(22aa) 2+ ( ) 2 Vậy d( AB, SD) == AH a 2. Câu 44. Cho hàm số bậc bốn y= f( x) cĩ đạo hàm trên . Đồ thị hàm số fx ( ) như hình vẽ. Hàm số g( x) =+ f( x2 2) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (2;3) . B. (−−3; 2) . C. (−1;1) . D. (−1;0) . Hướng dẫn giải: HỒNG XUÂN NHÀN 131
10. x = 0 x = 0 x2 +22 = − 2 2 2 Ta cĩ: g ( x) =( x +2) . f ( x + 2) = 2 x . f ( x + 2) ; g ( x) =0 x = 3 . x2 +=22 2 x =− 3 x +25 = Bảng xét dấu gx ( ) : Ta thấy, hàm số g( x) =+ f( x2 2) nghịch biến trên (−3; − 2) ( − ; − 3) . ⎯⎯⎯→Chọn B  Lưu ý: Khi xét dấu biểu thức đạo hàm của hàm số hợp, ta nên chọn từng giá trị cụ thể của biến x trong khoảng đang xét rồi thay vào biểu thức đạo hàm, dấu của giá trị thu được cũng là dấu của đạo hàm trên khoảng đang xét. ▪ Chẳng hạn trong bài trên, khi xét dấu trên khoảng ( 3;+ ) , ta chọn x = 2 thay vào g ( x) =+22 xf( x2 ), ta cĩ: gf (2) = 2.2.( 6) ; quan sát đồ thị y= f ( x) , ta thấy ??? f (6) 0 g ( 2) = 2.2. f ( 6) 0 g ( x) 0 khi x ( 3; + ). ▪ Khi xét dấu trên khoảng (0; 3) , ta chọn x =1thay vào , ta được gf (1) = 2.1.( 3) ; quan sát đồ thị , ta thấy f (30) ??? g (2) = 2.1. f ( 3) 0 g ( x) 0 khi x (0; 3) . ▪ Học sinh làm tương tự để xét dấu các khoảng cịn lại của . Câu 45. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y= mx − m −1 cắt đồ thị của hàm số y= x32 −3 x + x tại ba điểm phân biệt A, B , C phân biệt sao cho AB= BC . 5 A. m −; + . B. m ( −2; + ) . 4 C. m . D. m ( − ; 0  4; + ) . Hướng dẫn giải: Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: x32−3 x + x = mx − m − 1 (1) x =1 ( x −1) x2 − 2 x −( m + 1) = 0 . x2 −2 x − m + 1 = 0 2 ( ) ( ) Đường thẳng (d ) cắt đồ thị (C ) tại ba điểm phân biệt ABC, , Phương trình (1) cĩ ba nghiệm =1 +m + 1 0 phân biệt Phương trình (2) cĩ hai nghiệm phân biệt khác 1 m −2 . 1− 2 −(m + 1) 0 Theo giả thiết mà A, B, C cùng thuộc một đường thẳng nên B là trung điểm của AC. HỒNG XUÂN NHÀN 132
11. Gọi các điểm A( x11; mx−− m 1), B (1;− 1) , C( x22; mx−− m 1) trong đĩ x1 , x2 là các nghiệm của xx12+=2 phương trình (2) . Theo định lí Vi-ét ta cĩ: hay xACB+= x2 x . Vậy chỉ cần điều x12.1 x= −( m + ) kiện m −2 thì B luơn là trung điểm của đốn AC. Tĩm lại m −2 thỏa mãn đề bài. ⎯⎯⎯→Chọn B  Lưu ý: xx+ x = AB I 2 ▪ Điều kiện đầy đủ để I là trung điểm đoạn AB: (*); tuy nhiên khi A, B, I yy+ y = AB I 2 đã cùng nằm trên một đường thẳng thì ta chỉ cần một trong hai điều kiện của (*) là đủ để khẳng định I là trung điểm đoạn AB. ▪ Khi gặp phương trình bậc ba, ta thường nhẩm nghiệm và chia Hoocne để tách biểu thức bậc ba làm tích của hai thừa số (bậc một nhân với bậc hai). Trong trường hợp này ta cĩ thể nhờ sự trợ giúp của máy tính bỏ túi để thao tác này diễn ra nhanh hơn mà cũng rất chính xác. Dưới đây là thao tác trên VINACAL 680EX PLUS để tách bậc ba x3−3 xxmxm 2 +=−− − 1 x 3 3 x 2 +−( 1 mxm) ++= 1 0 . Ta bắt đầu với lệnh: MENU ⎯⎯→next9 ⎯⎯→ next ⎯⎯→ 2 next 3 (chọn chức năng giải phương trình bậc ba). 1⎯⎯→next − 3⎯⎯→ next − 1 100 ⎯⎯→ next + 100 ⎯⎯→ 1 = next (nhập các hệ số với m =100 ). Ta thấy máy tính hiển thị: X12=1 + 102 = 1 + m + 2; X = 1; Xm3 =1 − 102 = 1 − + 2 . Vì vậy, ta tạm thời tách được: x3−3 x 2 +( 1 − m) x + m + 1 =( x − 1)( x 2 − Sx + P) trong 2 đĩ S= X1 + X 3 =2, P = X 1 . X 3 = 1 −( m + 2) = − m − 1 . Do đĩ, ta thu được x3−3 x 2 +( 1 − m) x + m + 1 =( x − 1)( x 2 − 2 x − m − 1) . Câu 46. Cho hình lập phương ABCD. A B C D cĩ cạnh bằng a . Gọi I là điểm thuộc cạnh AB sao cho a AI = . Tính khoảng cách từ điểm C đến (B DI ) . 3 a a 3a 2a A. . B. . C. . D. . 3 14 14 3 HỒNG XUÂN NHÀN 133
12. Hướng dẫn giải: Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O= BC DI . d( C,( B DI )) CO CD 3 Ta cĩ: === d( B,( B DI )) BO BI 2 3 =d( C,,( B DI)) d( B( B DI )) (I). 2 d( B,( B DI )) BI ==2 d( A,( B DI )) AI =d( B,( B DI)) 2 d( A ,( B DI )) (II). Xét riêng hình chĩp DAIB với DA⊥ ( AIB ) và gĩc AIB tù. Trong ( AIB ), kẻ AK⊥ IB tại K; trong tam giác ADK, kẻ đương cao AH (1). IB ⊥ DA Ta cĩ: IB ⊥( ADK) IB ⊥ AH (2) . IB ⊥ AK Từ (1) và (2) suy ra AH⊥( DIB ) ( DKB ) , do vậy d( A,( B DI)) = AH (III). 1 11 a2 Vì AI= AB nên SSS= = = ; ta lại cĩ 3 AIB 3 ABB 6 ABB A 6 1 2. a2 1 2S AIB 6 a 13 S AIB = AK. IB , suy ra: AK = = = . 2 IB 4a2 13 + a2 9 a 13 a. AD. AK a 14 Xét tam giác vuơng ADK cĩ đường cao AH = =13 = . AD2+ AK 213 a 2 14 a2 + 169 3 3a 14 Từ (I), (II), (III), ta suy ra: dCBDI( ,( )) = .2 dABDI( ,( )) = 3 AH = . ⎯⎯⎯→Chọn C 2 14 Câu 47. Cho hàm số bậc ba y= f( x) cĩ đồ thị như hình vẽ. Cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(2 sin x) = f( m2 + 6 m + 10) cĩ nghiệm? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Hướng dẫn giải: HỒNG XUÂN NHÀN 134
13. Ta cĩ: 2 sinxx 0,  ; m2 +6 m + 10 =( m + 3)2 + 1 0,  m . Xét hàm số y= f( t) , quan sát đồ thị ta thấy với t (0; + ) thì hàm số luơn đồng biến. Do vậy f(2 sin x) = f( m22 + 6 m + 10) 2 sin x = m + 6 m + 10 (*). Miền giá trị của hàm số yx= 2 sin là 0;2 nên phương trình (*) cĩ nghiệm mm2 +6 + 10 0 −42 m − . 2 mm+6 + 10 2 Vì m nguyên nên m −4; − 3; − 2. Vậy cĩ ba giá trị nguyên của m thỏa mãn. ⎯⎯⎯→Chọn B Câu 48. Cho khối chĩp S. ABC cĩ SA= SB = SC = a và ASB= BSC = CSA =30  Mặt phẳng ( ) qua A và V cắt hai cạnh SB , SC tại B , C sao cho chu vi tam giác AB C nhỏ nhất. Tính k = S. AB C . VS. ABC 1 A. k =−22. B. k =−4 2 3 . C. k = . D. k =−2 2 2 . 4 ( ) Hướng dẫn giải: Cắt hình chĩp theo cạnh SA rồi trải các mặt bên ra cùng một mặt phẳng, ta được hình như hình vẽ ( A là điểm sao cho khi gấp lại thành hình chĩp thì trùng với A). Khi đĩ chu vi tam giác AB C bằng AB ++ B C C A; chu vi này nhỏ nhất khi A, B , C , A thẳng hàng hay AB + B C + C A = AA . Xét SAA cĩ ASA = ASB + B SC + C SA =90  và SA== SA a nên SAA vuơng cân tại S . Xét SAB cĩ ASB =300 , SAB = 45 0 , SB A = 105 0 , SA = a nên: SA SB SB sin 45 SB SC = = =31 − = = . sin105 sin 45 SA sin105  SB SC V SB SC Do đĩ k =S. AB C =. =( 3 − 1)( 3 − 1) = 4 − 2 3 . VS. ABC SB SC 32 Câu 49. Cho đồ thị hàm số f( x) = x + bx + cx + d cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ x1 , x2 , 1 1 1 x3 . Tính giá trị biểu thức P = + + . f ( x1) f ( x 2) f ( x 3 ) 11 A. P =+. B. P = 0 . C. P= b + c + d . D. P=32 + b + c . 2bc Hướng dẫn giải: HỒNG XUÂN NHÀN 135
14. 32 Do đồ thị hàm số f( x) = x + bx + cx + d cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ x1 , x2 , x3 nên f( x) =( x − x1)( x − x 2)( x − x 3 ) . fx ( ) =( xxxx −2)( − 3) +( xxxx − 1)( − 3) +( xxxx − 1)( − 2 ) . 1 1 1 1 1 1 Ta cĩ P = + + = + + f ( x1) f ( x 2) f ( x 3 ) (xxxx1213−)( −) ( xxxx 2123 −)( −) ( xxxx 3132 −)( − ) −(x − x) −( x − x) −( x − x ) Chọn ==2 3 3 1 1 2 0. Vậy P = 0 . ⎯⎯⎯→ B (x1− x 2)( x 2 − x 3)( x 3 − x 1 ) Câu 50. Cho hàm số fx( ) liên tục trên đoạn −4;4 và cĩ bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới Cĩ tất cả bao nhiêu giá trị thực của m − 4;4 để hàm số g( x) = f( x3 +23 x) + f( m) cĩ giá trị lớn nhất trên đoạn −1;1 bằng 8? A. 11. B. 9. C. 10. D. 12. Hướng dẫn giải:  Lưu ý: ▪ Trong bài này, ta cần đến một cơng thức quan trọng về giá trị lớn nhất hàm chứa giá trị a+ b + a − b tuyệt đối, đĩ là: max ab ,  = (*). 2 ▪ Ta chứng minh cơng thức (*) như sau: Xét 0 ab, khi đĩ max a , b == b b . Vế phải (*) là: a+ b + a − b a++− b b a ==b ; tức là (*) đúng (1). 22 Xét ab 0, khi đĩ max a , b = a = − a . Vế phải (*) là: a+ b + a − b −a − b + b − a = = −a ; ta thấy (*) đúng (2). 22 Xét ab 0 và ab , khi đĩ max a , b == b b . Vế phải (*) là: + a+ b + a − b a++− b b a ==b , do vậy (*) đúng (3). 22 HỒNG XUÂN NHÀN 136
15. Xét ab 0 và ab , khi đĩ max a , b = a = − a . Vế phải (*) là: − a+ b + a − b −a − b + b − a = = −a , ta thấy (*) cũng đúng (4). 22 Từ (1), (2), (3), (4), ta đã chứng minh được cơng thức (*). Đặt t= x32 +2 x t = x + 2 0,  x t( x) đồng biến trên −1;1 . Vì vậy: x  −1;1 , t( − 1) t t( 1) − 3 t 3 . Từ bảng biến thiên, suy ra: −65 ft( ) . Khi đĩ, hàm số gx( ) trở thành y=+ f( t) 3 f( m) . 5+ 3f( m) − 6 + 3 f( m) + 5 + 3 f( m) + 6 − 3( m) Maxg( x) = Max 5 + 3 f( m) ; − 6 + 3 f( m) = −1;1 2 6fm( ) −+ 1 11 = . 2 fm( ) =1 6fm( ) −+ 1 11 Theo giả thiết: = =8 6fm( ) − 1 = 5 2 . 2 fm( ) =− 3 2 Theo bảng biến thiên, ta thấy fm( ) = 1 cho ra 5 giá trị m thuộc −4;4 thỏa mãn; fm( ) =− cho 3 ra 6 giá trị m thỏa mãn và khác những giá trị m tìm được trước đĩ. Vậy cĩ tất cả 11 giá trị m thỏa mãn đề bài. ⎯⎯⎯→Chọn A HỒNG XUÂN NHÀN 137