Đề rèn luyện ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 45 - Hoàng Xuân Nhàn

Nội dung text: Đề rèn luyện ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 45 - Hoàng Xuân Nhàn

1. ĐỀ SỐ 45 ĐỀ RÈN LUYỆN MƠN TỐN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Nội dung: Thời gian: 90 phút Khối đa diện – Khối nĩn, trụ, cầu – Phương pháp tọa độ Khơng gian (đến PT đường thẳng) x−2 y + 5 z − 2 Câu 1. Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d : ==. Vectơ nào dưới đây là một vectơ 3 4− 1 chỉ phương của d ? A. u2 =−(3;4; 1) . B. u1 =−(2; 5;2) . C. u3 =−(2;5; 2) . D. u3 = (3;4;1) . Câu 2. Hình bát diện đều cĩ số cạnh là A. 6 . B. 8 . C. 12. D. 10. Câu 3. Trong khơng gian Oxyz với hệ tọa độ (O;;; i j k ) cho OA= −25 i + k . Tìm tọa độ điểm A . A. (−2;5). B. (5;− 2;0). C. (−2;0;5). D. (−2;5;0). x−+12 y z Câu 4. Đường thẳng ( ) : = = khơng đi qua điểm nào dưới đây? 2 1− 1 A. A(−1;2;0) . B. (−−1; 3;1) . C. (3;−− 1; 1) . D. (1;− 2;0) . Câu 5. Cho hình chĩp tam giác S. ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B , AB= a , ACB =60 , cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt đáy và SB hợp với mặt đáy một gĩc 45. Tính thể tích V của khối chĩp S. ABC . a3 3 a3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 18 23 9 6 Câu 6. Trong khơng gian với hệ tọa độ (O;;; i j k ) , cho hai vectơ a =−(2; 1;4) và b=− i3 k . Tính ab. . A. ab.=− 11. B. ab.=− 13. C. ab.5= . D. ab.=− 10 . Câu 7. Cho hình chĩp tứ giác S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a 3 , SA⊥ ( ABCD) và SA= a 6 . Thể tích của khối chĩp S. ABCD là. a3 6 a3 6 A. . B. a3 6 . C. a3 3 . D. . 3 2 Câu 8. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm M (1;2;3) ; N (3;4;7) . Tọa độ của véctơ MN là A. (4;6;10) . B. (2;3;5) . C. (2;2;4) . D. (−−−2; 2; 4) . Câu 9. Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi là 60 cm, diện tích đáy 900 cm2. Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật cĩ kích thước là bao nhiêu để làm thân nồi đĩ? (bỏ qua kích thước các mép gấp). A. Chiều dài 60 cm, chiều rộng 60 cm. B. Chiều dài 900cm, chiều rộng 60 cm. C. Chiều dài 180 cm, chiều rộng 60 cm. D. Chiều dài 30 cm, chiều rộng 60 cm. Câu 10. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x2+ y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 4 z − 25 = 0 . Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S ) ? A. I (1;− 2;2) ; R = 6 . B. I (−−1;2; 2) ; R = 5. HỒNG XUÂN NHÀN 468
2. C. I (−−2;4; 4) ; R = 29 . D. I (1;− 2;2) ; R = 34 . Câu 11. Cho mặt phẳng ( ) : 2x− 3 y − 4 z + 1 = 0 . Khi đĩ, một véctơ pháp tuyến của ( ) là A. n =−( 2;3;1) . B. n =−(2;3; 4) . C. n =−(2; 3;4) . D. n =−( 2;3;4) . Câu 12. Cho khối lăng trụ ABC. A B C cĩ thể tích bằng 9a3 và M là điểm nằm trên cạnh CC sao cho MC= 2 MC . Tính thể tích khối tứ diện AB CM theo a . A. 2a3 . B. 4a3 . C. 3a3 . D. a3 . Câu 13. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm thuộc trục Ox và cách đều hai điểm A(4;2;− 1) và B (2;1;0) là A. M (−4;0;0). B. M (5;0;0) . C. M (4;0;0) . D. M (−5;0;0) . Câu 14. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành và AB==22 AC a, BC= a 3 . Tam giác V SAD vuơng cân tại S , hai mặt phẳng (SAD) và ( ABCD) vuơng gĩc nhau. Tính tỉ số biết V là a3 thể tích khối chĩp . 1 3 1 A. . B. . C. 2 . D. . 4 2 2 Câu 15. Trong khơng gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A(3;− 1;2) và vuơng gĩc với mặt phẳng (P) : x+ y − 3 z − 5 = 0 cĩ phương trình là x−113 y − z + x+3 y − 1 z + 2 A. d : ==. B. d : ==. 3− 1 2 1 1− 3 x−3 y + 1 z − 2 x+1 y + 1 z − 3 C. d : ==. D. d : ==. 1 1− 3 3− 1 2 Câu 16. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho a=23 i + j − k , b =−(2;3; 7) . Tìm tọa độ của x=−23 a b . A. x =−(2; 1;19) . B. x =−( 2; 3; 19) . C. x =( −2; − 3; 19). D. x =( −2; − 1;19) . Câu 17. Cho hình nĩn đỉnh S , đáy là hình trịn tâm O , bán kính, R = 3cm, gĩc ở đỉnh hình nĩn là =120 . Cắt hình nĩn bởi mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB , trong đĩ A , B thuộc đường trịn đáy. Diện tích tam giác SAB bằng A. 3 3 cm2 . B. 6 3 cm2 . C. 6 cm2 . D. 3 cm2 . Câu 18. Mặt cầu S cĩ tâm I 1;− 3;2 và đi qua A 5;− 1;4 cĩ phương trình: ( ) ( ) ( ) A. ( x−13)2++( y +) 2( z −2) 2 = 24 . B. ( x+13)2++( y −) 2( z +2) 2 = 24 . C. ( x+13)2++( y −) 2( z +2) 2 = 24 . D. ( x−13)2++( y +) 2( z −2) 2 = 24 . Câu 19. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng a , SA vuơng gĩc với đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng ( ABCD) một gĩc 45o . Tính Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chĩp 4 1 2 A. Va= π 3 . B. Va= π 3 . C. Va= π 3 . D. Va= π 3 . 3 3 3 HỒNG XUÂN NHÀN 469
3. Câu 20. Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu x2+ y 2 + z 2 +2 x − 4 y − 2 z − 3 = 0 cĩ bán kính bằng A. 33. B. 9 . C. 3 . D. 3 . xt= −2 + Câu 21. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d: y=+ 1 2 t , (t ) cĩ vectơ chỉ phương là zt=−53 A. a =( −1; − 2;3) . B. a = (2;4;6) . C. a = (1;2;3) . D. a =−( 2;1;5) . Câu 22. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A B C D cĩ A(0; 0; 0) , B (3; 0; 0), D (0; 3; 0) , D (0; 3;− 3). Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là A. (1; 1;− 2) . B. (2; 1;− 2). C. (1; 2;− 1) . D. (2; 1;− 1) . Câu 23. Cho tứ diện đều ABCD cạnh 3a . Khoảng cách giữa hai cạnh AB, CD là 33a 3a 32a A. . B. . C. a . D. . 2 2 2 Câu 24. Trong khơng gian Oxyz , khoảng cách từ điểm A(1;− 2;3) đến (P) : x+ 3 y − 4 z + 9 = 0 là 26 17 4 26 A. . B. 8 . C. . D. . 13 26 13 Câu 25. Khối lăng trụ ABC. A B C cĩ thể tích bằng 6 . Mặt phẳng ( A BC ) chia khối lăng trụ thành một khối chĩp tam giác và một khối chĩp tứ giác cĩ thể tích lần lượt là: A. 2 và 4 . B. 3 và 3 . C. 4 và 2 . D. 1 và 5 . x−1 y − 2 z − 1 Câu 26. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : ==, A(2;1;4) . Gọi 112 H( a;; b c) là điểm thuộc d sao cho AH cĩ độ dài nhỏ nhất. Tính T= a3 + b 3 + c 3 . A. T = 8. B. T = 62 . C. T =13 . D. T = 5 . Câu 27. Khối cầu bán kính Ra= 2 cĩ thể tích là: 32 a3 8 a3 A. . B. 6 a3 . C. . D. 16 a2 . 3 3 Câu 28. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây khơng thuộc mặt phẳng (P) : x+ y + z − 1 = 0 . A. K (0;0;1) . B. J (0;1;0) . C. I (1;0;0) . D. O(0;0;0) . Câu 29. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxy , cĩ tất cả bao nhiêu số tự nhiên của tham số m để phương trình x2+ y 2 + z 2 +2( m − 2) y − 2( m + 3) z + 3 m 2 + 7 = 0 là phương trình của một mặt cầu. A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Câu 30. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho M (1;– 2;1) , N (0;1; 3) . Phương trình đường thẳng qua hai điểm M , N là x+1 y − 2 z + 1 x+1 y − 3 z − 2 A. ==. B. ==. −1 3 2 1− 2 1 x y−−13 z x y−−13 z C. ==. D. ==. −1 3 2 1− 2 1 Câu 31. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng chứa hai điểm A(1; 0;1) , B (−1; 2; 2) và song song với trục Ox cĩ phương trình là A. yz−2 + 2 = 0 . B. xz+2 − 3 = 0. C. 2yz− + 1 = 0. D. x+ y − z = 0 . HỒNG XUÂN NHÀN 470
4. Câu 32. Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) cĩ đường kính AB , với A(6;2;− 5) , B (−4;0;7). Viết phương trình mặt phẳng ( P) tiếp xúc với mặt cầu (S ) tại A . A. (P) :5 x+ y – 6 z + 62 = 0 . B. (P) :5 x+ y – 6 z − 62 = 0 . C. (P) :5 x− y – 6 z − 62 = 0 . D. (P) :5 x+ y + 6 z + 62 = 0 . Câu 33. Cho một hình trụ cĩ bán kính đáy bằng R và cĩ chiều cao bằng R 3 . Diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ lần lượt cĩ giá trị là A. 2( 3+ 1) R2 và 23 R2 . B. 23 R2 và 2( 3+ 1) R2 . C. 23 R2 và 2 R2 . D. 23 R2 và 23 RR22+ . Câu 34. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A(0;1;2) , B (2;− 2;1) , C (−2;0;1) . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuơng gĩc với BC là A. 2xy− − 1 = 0 . B. −yz +2 − 3 = 0 . C. 2xy− + 1 = 0. D. yz+2 − 5 = 0. Câu 35. Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm M (2;0;0) , N (0;1;0) và P(0;0;2) . Mặt phẳng (MNP) cĩ phương trình là x y z x y z x y z x y z A. + + = 0. B. + + = −1. C. + + =1. D. + + =1. 2− 1 2 2− 1 2 2 1 2 2− 1 2 Câu 36. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x− 2 y + 2 z − 2 = 0 và điểm I (−−1;2; 1) . Viết phương trình mặt cầu (S ) cĩ tâm I và cắt mặt phẳng ( P) theo giao tuyến là đường trịn cĩ bán kính bằng 5 . A. (S) :( x+ 1)2 +( y − 2) 2 +( z + 1) 2 = 25. B. (S) :( x+ 1)2 +( y − 2) 2 +( z + 1) 2 = 16. C. (S) :( x− 1)2 +( y + 2) 2 +( z − 1) 2 = 34. D. (S) :( x+ 1)2 +( y − 2) 2 +( z + 1) 2 = 34. Câu 37. Một hình nĩn trịn xoay cĩ độ dài đường cao là h và bán kính đường trịn đáy là r . Thể tích khối nĩn trịn xoay được giới hạn bởi hình nĩn đĩ là 1 1 2 A. V= r2 h . B. V= r2 h. C. V= rh . D. V= rh . 3 3 3 Câu 38. Trong khơng gian Oxyz , cho điểm M (3;2;− 1) . Hình chiếu vuơng gĩc của điểm M lên trục Oz là điểm: A. M 3 (3;0;0) . B. M 4 (0;2;0) . C. M1 (0;0;− 1) . D. M 2 (3;2;0) . Câu 39. Trong khơng gian với hệ trục Oxyz , cho A(1;0;− 3) , B(3;2;1) . Mặt phẳng trung trực đoạn AB cĩ phương trình là A. x+ y +2 z − 1 = 0. B. 2x+ y − z + 1 = 0. C. x+ y +2 z + 1 = 0. D. 2x+ y − z − 1 = 0 . Câu 40. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh bằng a . Cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt đáy và SA= a 2 . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chĩp S. ABCD theo a . 82 a3 4 A. . B. 4 a3 . C. a3 . D. 8 a3 . 3 3 Câu 41. Cho lăng trụ tam giác đều cĩ cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b . Tính thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ. 1 3 3 A. (4ab22+ 3) . B. (4ab22+ 3) . 18 3 18 3 3 3 C. (4.ab22+ ) D. (4ab22+ 3) . 18 3 18 2 HỒNG XUÂN NHÀN 471
5. Câu 42. Cho hình trụ cĩ thiết diện qua trục là hình vuơng ABCD cạnh bằng 2 3( cm) với AB là đường kính của đường trịn đáy tâm O . Gọi M là điểm thuộc cung AB của đường trịn đáy sao cho ABM =60 . Thể tích của khối tứ diện ACDM là: A. V = 3( cm3 ) . B. V = 4( cm3 ) . C. V = 6( cm3 ) . D. V = 7( cm3 ) . Câu 43. Cho mặt phẳng ( P) đi qua các điểm A(−2; 0; 0) , B (0; 3; 0) , C (0; 0;− 3) . Mặt phẳng ( P) vuơng gĩc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau? A. x+ y + z +10 = . B. x−2 y − z − 3 = 0. C. 2x+ 2 y − z − 1 = 0. D. 3x− 2 y + 2 z + 6 = 0 . x+1 y − 1 z − 2 Câu 44. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : == và mặt phẳng 2 1 3 (P) : x− y − z − 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;1;− 2) , biết // (P) và cắt d . x−1 y − 1 z + 2 x−1 y − 1 z + 2 A. ==. B. ==. 1−− 1 1 2 1 3 x−1 y − 1 z + 2 x−1 y − 1 z + 2 C. ==. D. ==. 8 3 5 2 1 1 Câu 45. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;1;2) và mặt cầu (S) : x2+ y 2 + z 2 − 2 y − 2 z − 7 = 0 . Mặt phẳng ( P) đi qua A và cắt (S ) theo thiết diện là đường trịn (C ) cĩ diện tích nhỏ nhất. Bán kính đường trịn (C ) là A. 1. B. 5 . C. 3 . D. 2 . Câu 46. Ban đầu ta cĩ một tam giác đều cạnh bằng 3 (hình 1). Tiếp đĩ ta chia mỗi cạnh của tam giác thành 3 đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bằng hai đoạn bằng nĩ sao cho chúng tạo với đoạn bỏ đi một tam giác đều về phía bên ngồi, ta được hình 2 . Khi quay hình 2 xung quanh trục d ta được một khối trịn xoay. Tính thể tích khối trịn xoay đĩ. 53 93 53 53 A. . B. . C. . D. . 3 8 6 2 Câu 47. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;1;1) . Mặt phẳng ( P) đi qua M và cắt chiều dương của các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C thỏa mãn OA= 2 OB . Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC . HỒNG XUÂN NHÀN 472
6. 64 10 9 81 A. . B. . C. . D. . 27 3 2 16 Câu 48. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng 2 , SA = 2 và SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy ( ABCD) . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho mặt phẳng (SMC) vuơng gĩc với mặt phẳng (SNC ) . Biết rằng khi thể tích khối chĩp S. AMCN đạt giá trị nhỏ nhất thì biểu thức P=2022 AM − 2021 AN = a b − a với ab, . Tính 2 log2 (ab) . A. 3+ log3 2. B. 2+ log2 3. C. 3+ log2 3. D. 2 . Câu 49. Trong tất cả các khối chĩp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a , thể tích V của khối chĩp cĩ thể tích nhỏ nhất. 8a3 10a3 32a3 A. V = . B. V = . C. Va= 2 3 . D. V = . 3 3 3 11 22 16 Câu 50. Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho A(1;2;0) , B(5;4;4) , C ;;− . Gọi (S1 ) , (S2 ) , (S3 ) là 3 3 3 13 3 mặt cầu tâm lần lượt là A, B , C và cĩ cùng bán kính là . Xác định số tiếp diện chung của ba 5 mặt cầu trên. A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9 . ___HẾT___ HỒNG XUÂN NHÀN 473
7. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C A A D B C A D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A C D C C A D A C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A B D D A B A D C C 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B B C C D A C A C 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B A C C D A D B D A Lời giải câu hỏi vận dụng cao đề số 45 Câu 45. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;1;2) và mặt cầu (S) : x2+ y 2 + z 2 − 2 y − 2 z − 7 = 0 . Mặt phẳng ( P) đi qua A và cắt (S ) theo thiết diện là đường trịn (C ) cĩ diện tích nhỏ nhất. Bán kính đường trịn (C ) là A. 1. B. 5 . C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải: Mặt cầu (S ) cĩ tâm I (0;1;1) và bán kính R = 3. Ta cĩ IA =(2 − 0)2 +( 1 − 1) 2 +( 2 − 1) 2 =53 = R nên A nằm trong mặt cầu (S ) . Đặt h là khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P) , r là bán kính đường trịn . Khi đĩ: r2=− R 2 h 2 . Diện tích đường trịn thiết diện là nhỏ nhất khi nhỏ nhất, suy ra h lớn nhất, mà h = IA 5 . Do vậy hmax = 5 ; khi đĩ IA⊥ ( P) . 2 2 Chọn Suy ra rmin =3 − 5 = 2 . ⎯⎯⎯→ D Câu 46. Ban đầu ta cĩ một tam giác đều cạnh bằng 3 (hình 1). Tiếp đĩ ta chia mỗi cạnh của tam giác thành 3 đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bằng hai đoạn bằng nĩ sao cho chúng tạo với đoạn bỏ đi một tam giác đều về phía bên ngồi, ta được hình 2 . Khi quay hình 2 xung quanh trục d ta được một khối trịn xoay. Tính thể tích khối trịn xoay đĩ. HỒNG XUÂN NHÀN 474
8. 53 93 53 53 A. . B. . C. . D. . 3 8 6 2 Hướng dẫn giải: Ta cĩ thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng 2 lần thể tích nửa trên khi cho hình SIABK quay quanh trục SK . Tam giác SIH quay quanh trục SK tạo 1 3 thành khối nĩn cĩ r== IH , h== SH . 1 2 1 2 Thể tích khối nĩn này bằng 1 1 1 3 3 V= r2 h = = . 13 1 1 3 4 2 24 Hình thang vuơng HABK quay quanh trục HK 3 3 tạo thành hình nĩn cụt cĩ R== AH , r= BK =21 IH = , h= HK = SH = . 2 2 h 22 3 9 3 19 3 Thể tích khối nĩn cụt này bằng V2 =.( R + r + R . r) = . + 1 + = . 3 3 2 4 2 24 53 Suy ra thể tích khối trịn xoay đã cho: VVV=2( +) = . ⎯⎯⎯→Chọn A 12 3 Câu 47. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;1;1) . Mặt phẳng ( P) đi qua M và cắt chiều dương của các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C thỏa mãn OA= 2 OB . Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC . 64 10 9 81 A. . B. . C. . D. . 27 3 2 16 Hướng dẫn giải: Giả sử Aa( ;0;0) , Bb(0; ;0) , Cc(0;0; ) với abc, , 0. Suy ra OA= a,, OB = b OC = c . x y z 1 1 1 Khi đĩ mặt phẳng ( P) cĩ dạng + + =1. Vì ( P) đi qua nên + + =1 (1). a b c abc Mặt khác OA= 2 OB nên ab= 2 (2). 1 1 1 31 Thay (2) vào (1): + + =1 +=1 . 2b b c 2bc 1 1 1 Thể tích khối tứ diện OABC là: V= OAOB OC = abc = b2 c . OABC 6 6 3 HỒNG XUÂN NHÀN 475
9. 3 1 3 3 1 9 9116bc2 bc2 81 Ta cĩ: 13= + = + + 3 3 27 . 2b c 4 b 4 b c 16 b2 c 16bc2 3 9 3 16 12 81 81 3 1 1 Do đĩ: VOABC = b c hay (V ) = ; dấu đẳng thức xảy ra khi: == 3 16 OABC Min 16 43bc 99 abc =, = , = 3. ⎯⎯⎯→Chọn D 24 Câu 48. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng 2 , SA = 2 và SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy ( ABCD) . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho mặt phẳng (SMC) vuơng gĩc với mặt phẳng (SNC ) . Biết rằng khi thể tích khối chĩp S. AMCN đạt giá trị nhỏ 2 nhất thì biểu thức P=2022 AM − 2021 AN = a b − a với ab, . Tính log2 (ab) . A. 3+ log3 2. B. 2+ log2 3 . C. 3+ log2 3. D. 2 . Hướng dẫn giải: Đặt AM= x, AN= y . Trong (ABCD), gọi O= AC BD , E= BD CM , F= BD CN . HO CO Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của O trên SC , khi đĩ: CHO đồng dạng CAS = AS CS 22 .2 CO.2 AS HO = =2 = . CS 2 3 22 + ( 2 2) BD⊥ AC Ta cĩ: BD ⊥( SAC) BD ⊥ SC . BD⊥ SA SC⊥⊥ OH SC HE Khi đĩ: SC ⊥( HBD) . SC⊥⊥ BD SC HF Do đĩ: ((SCM),( SCN)) ==( HE , HF ) 900 . hay HE⊥ HF . 11 Ta cĩ: S= S − S − S =−4 .2.( 2 −− x) .2.( 2 −=−+−+=+ y) 4 2 x 2 y x y . AMCN ABCD BCM CDN 22 12 Suy ra: V= SA. S =( x + y) . S. AMCN33 AMCN Xét tam giác HEF vuơng tại H, cĩ đường cao OH2 = OE. OF (1). Ta cần tính OE , OF . HỒNG XUÂN NHÀN 476
10. Xét tam giác OAB với EM= OA C ; theo định lí Menelaus, ta cĩ: AM BE OC x BE12 x 2y . .= 1 . . = 1 OE = . Tương tự: OF = . MB EO AC2−− x OE 2 4 x 4 − y 22xy Thay OE, OF vừa tìm được vào (1): = 3xy = 16 − 4( x + y) + xy 3( 4−−xy)( 4 ) xy +2 x + 2 y = 8 ( x + 2)( y + 2) = 12 . 2 2 2 8 Ta cĩ: VS. AMCN =+=( x y) ( x +++− 2) ( y 2) 4 2( x + 2)( y +−= 2) 4( 3 − 1) . 3 3 3 3 AM−= GM 12 8 Do đĩ: (V ) =−31. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi S. AMCN Min 3 ( ) x+2 = y + 2 = 12 x = y = 2 3 − 2 = AM = BN . 2 Vì vậy P=2022 AM − 2021 AN = 2 3 − 2 = a b + a a = 2, b = 3. Ta cĩ: log22(ab) =+ 2 log 3. ⎯⎯⎯→Chọn B Câu 49. Trong tất cả các khối chĩp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a , thể tích V của khối chĩp cĩ thể tích nhỏ nhất. 8a3 10a3 32a3 A. V = . B. V = . C. Va= 2 3 . D. V = . 3 3 3 Hướng dẫn giải: Xét hình chĩp S.ABCD ngoại tiếp mặt cầu như hình vẽ. Gọi SO= x2 a , ta cĩ: SI=− x a; SE= SI2 − IE 2 =( x − a)2 − a 2 = x 2 − 2 ax . SE IE IE.2 SO ax ax Xét SEI∽ SON , ta cĩ: = NO = = AD = . SO NO SE x22−−22 ax x ax 2 1 2ax 4 a22 x Thể tích khối chĩp là : Vx==. . 3 x2 − 2 ax 3(xa− 2 ) x2 x2 − 4 ax Xét hàm số fx( ) = (02 ax) ; fx ( ) = =0 xa= 4 . xa− 2 (xa− 2 )2 Bảng biến thiên : HỒNG XUÂN NHÀN 477
11. 4aa23 32 Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích là Va==.8 . ⎯⎯⎯→Chọn D Min 33 11 22 16 Câu 50. Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho A(1;2;0) , B(5;4;4) , C ;;− . Gọi (S1 ) , (S2 ) , (S3 ) là 3 3 3 13 3 mặt cầu tâm lần lượt là A, B , C và cĩ cùng bán kính là . Xác định số tiếp diện chung của ba 5 mặt cầu trên. A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9 . Hướng dẫn giải: Nhận xét: Trong khơng gian, cho trước điểm A , đường thẳng và số thực dương h. ▪ Nếu h d( A, ) thì tồn tại hai mặt phẳng chứa và cách A một khoảng bằng h (hayd( A ,( P)) = h ). (Xem hình). ▪ Nếu h= d( A, ) thì tồn tại một mặt phẳng duy nhất chứa và cách A một khoảng bằng h. (Mặt phẳng này chứa và vuơng gĩc AI với I là hình chiếu của A trên ). ▪ Nếu h d( A, ) thì khơng tồn tại mặt phẳng nào chứa và cách A một khoảng bằng h. Xét mặt phẳng ( ) đi qua các điểm A, B , C . Ta tính được: AB = 6, AC = 8, BC =10 . Do đĩ tam giác ABC vuơng tại A. Gọi D, E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , AC . Trương hợp 1: Xét mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng DE và tiếp xúc cả ba mặt cầu đã cho; tức là chứa DE và 13 d( A,,,( P)) = d( B( P)) = d( C( P)) = mà 5 13 3, =BD = d( B DE) ; theo phần nhận xét ở 5 trên, ta biết tồn tại hai mặt phẳng thỏa mãn. Trương hợp 2: Xét mặt phẳng chứa đường thẳng EF và tiếp xúc cả ba mặt cầu đã cho; tức là chứa EF và 13 mà 4, =AF = d( A EF ) ; theo phần nhận xét ở trên, ta 5 biết tồn tại hai mặt phẳng thỏa mãn. Trương hợp 3: HỒNG XUÂN NHÀN 478
12. Xét mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng DF và tiếp xúc cả ba mặt cầu đã cho; tức là chứa DF và 13 d( A,,,( P)) = d( B( P)) = d( C( P)) = . Xét tam giác ADF vuơng tại A với đường cao 5 AD. AF 3.4 12 13 12 AH = = = . Ta cĩ: =AH = d( A, DF ) ; theo phần nhận xét ở trên, AD2++ AF 234 2 2 5 55 ta biết khơng tồn tại mặt phẳng nào thỏa mãn. Hơn nữa (S1 ) , (S2 ) , (S3 ) cĩ cùng bán kính nên cĩ 2 mặt phẳng tiếp xúc với chúng và song song với mặt phẳng ( ABC) . Vậy cĩ tất cả 6 tiếp diện chung của ba mặt cầu đã cho. ⎯⎯⎯→Chọn A HỒNG XUÂN NHÀN 479