Đề rèn luyện ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 50 - Hoàng Xuân Nhàn

Nội dung text: Đề rèn luyện ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 50 - Hoàng Xuân Nhàn

1. ĐỀ SỐ 50 ĐỀ RÈN LUYỆN MƠN TỐN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Nội dung: Thời gian: 90 phút Giải tích: Tích phân Hình học: Phương pháp tọa độ trong khơng gian Câu 1. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f( x )=+( 3 x 1)2025 ? 2026 (31x + )2026 (31x + ) A. Fx( ) = . B. Fx( ) = . 6 075 2026 2026 (31x + ) (31x + )2026 C. Fx( ) = . D. Fx( ) = . 3 6 078 xt= −2 + Câu 2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d: y=+ 1 2 t , (t ) cĩ vectơ chỉ phương là zt=−53 A. a =( −1; − 2;3) . B. a = (2;4;6) . C. a = (1;2;3) . D. a =−( 2;1;5) . Câu 3. Cho các hàm số y= f( x) liên tục trên ab;  , (a,, b a b) . Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường , trục hồnh Ox , xa= , xb= . Phát biểu nào sau đây là đúng? b b a b A. S= f( x)d x. B. S= f( x)d x . C. S= f( x) d x . D. f( x) d x . a a b a x−+12 y z Câu 4. Đường thẳng ( ) : = = khơng đi qua điểm nào dưới đây? 2 1− 1 A. A(−1;2;0) . B. (−−1; 3;1) . C. (3;−− 1; 1) . D. (1;− 2;0) . Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f( x )=− x sin6 x xx2 cos6 xx2 sin 6 A. f( x)d x= − + C . B. f( x)d x= − + C . 26 26 xx2 cos6 xx2 sin 6 C. f( x)d x= + + C . D. f( x)d x= + + C . 26 26 Câu 6. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A(0;1;2) , B (2;− 2;1), C (−2;0;1) . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuơng gĩc với BC là A. 2xy− − 1 = 0 . B. −yz +2 − 3 = 0 . C. 2xy− + 1 = 0 . D. yz+2 − 5 = 0. Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số f( x) =+ exx(1 e− ) . A. f( x)d1 x= ex + + C . B. f( x)d x= ex + x + C . C. f( x)d x= − ex + x + C . D. f( x)d x=+ ex C . Câu 8. Trong khơng gian Oxyz , cho điểm M (3;2;− 1) . Hình chiếu vuơng gĩc của điểm M lên trục Oz là điểm: A. M 3 (3;0;0) . B. M 4 (0;2;0) . C. M1 (0;0;− 1) . D. M 2 (3;2;0) . HỒNG XUÂN NHÀN 523
2. 1 Câu 9. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = và các đường thẳng y = 0, x =1, x = 4 . Thể x tích V của khối trịn xoay sinh ra khi cho hình phẳng quay quanh trục Ox . 3 3 A. 2 ln 2. B. . C. −1. D. 2ln2. 4 4 Câu 10. Biết Fx( ) là một nguyên hàm của của hàm số f( x) =sin x và đồ thị hàm số y= F( x) đi qua điểm M (0;1). Tính F . 2 A. F = 2 . B. F =−1. C. F = 0 . D. F =1. 2 2 2 2 Câu 11. Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm M (2;0;0) , N (0;1;0) và P(0;0;2) . Mặt phẳng (MNP) cĩ phương trình là x y z x y z x y z x y z A. + + = 0. B. + + = −1. C. + + =1. D. + + =1. 2− 1 2 2− 1 2 2 1 2 2− 1 2 4 4 4 Câu 12. Cho f( x)d x = 10 và g( x)d5 x = . Tính I=− 3 f( x) 5 g( x) d x 2 2 2 A. I = 5. B. I =15 . C. I =−5 . D. I =10 . Câu 13. Bạn Minh ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới và vận tốc chuyển động của máy bay là v( t) =+3 t 2 5 (m/s) . Tính quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10. A. 246 m . B. 252 m . C. 1134 m. D. 966 m. Câu 14. Mặt cầu S cĩ tâm I 1;− 3;2 và đi qua A 5;− 1;4 cĩ phương trình: ( ) ( ) ( ) A. ( x−13)2++( y +) 2( z −2) 2 = 24 . B. ( x+13)2++( y −) 2( z +2) 2 = 24 . C. ( x+13)2++( y −) 2( z +2) 2 = 24 . D. ( x−13)2++( y +) 2( z −2) 2 = 24 . 2 ln xb b Câu 15. Biết dxa=+ ln 2 (với a là số thực, b , c là các số nguyên dương và là phân số tối giản). 2 1 xc c Tính giá trị của 23a++ b c. A. 4 . B. −6. C. 6 . D. 5 . Câu 16. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x2+ y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 4 z − 25 = 0 . Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S ) ? A. I (1;− 2;2) ; R = 6 . B. I (−−1;2; 2) ; R = 5. C. I (−−2;4; 4) ; R = 29 . D. ; R = 34 . x −1 Câu 17. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (Hy) : = và các trục tọa độ. Khi đĩ giá x +1 trị của S bằng A. S =−ln 2 1 (đvdt). B. S =−2ln 2 1 (đvdt). C. S =+2ln 2 1 (đvdt). D. S =+ln 2 1 (đvdt). 3 xa Câu 18. Cho dx= + b ln 2 + c ln3 với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của abc++ bằng 0 4++ 2x 1 3 A. 1. B. 2 . C. 7 . D. 9 . Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f( x) = xcos 2 x là HỒNG XUÂN NHÀN 524
3. xsin 2 x cos 2 x cos 2x A. −+C . B. xsin 2 x−+ C . 24 2 cos 2x xsin 2 x cos 2 x C. xsin 2 x++ C . D. ++C . 2 24 Câu 20. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm thuộc trục Oy và cách đều hai điểm A(3;4;1) và B (1;2;1) là A. M (0;4;0) . B. M (5;0;0) . C. M (0;5;0) . D. M (0;− 5;0) . e ln x Câu 21. Với cách đổi biến ux=+1 3ln thì tích phân dx trở thành 1 xx1+ 3ln 2 2 2 2 2 212 u2 − A. (uu2 −1d) . B. (uu2 −1d) . C. 2 (uu2 − 1) d . D. du . 3 1 9 1 1 9 1 u 1 Câu 22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số fx( ) = . 2 2x + 1 1 A. f( x)d x= 2 x + 1 + C . B. f( x)d x= 2 x + 1 + C . 2 1 C. f( x)d x= 2 2 x + 1 + C . D. f( x)d x=+ C . (2xx++ 1) 2 1 Câu 23. Trong khơng gian Oxyz , khoảng cách từ điểm A(1;− 2;3) đến (P) : x+ 3 y − 4 z + 9 = 0 là 26 17 4 26 A. . B. 8 . C. . D. . 13 26 13 2 Câu 24. Tìm nguyên hàm Fx( ) của hàm số f( x) =+6 x sin 3 x , biết F (0) = . 3 cos3x 2 cos3x A. F( x) =3 x2 − + . B. F( x) =31 x2 − − . 33 3 cos3x cos3x C. F( x) =31 x2 + + . D. F( x) =31 x2 − + . 3 3 1 dx Câu 25. Khi đổi biến xt= 3 tan , tích phân I = trở thành tích phân nào? 2 0 x + 3 3 6 3 6 6 1 A. It= 3d . B. It= d C. I= 3d t t . D. It= d . 0 0 3 0 0 t Câu 26. Tìm họ của nguyên hàm f( x) = tan 2 x . A. tan 2x d x= 2( 1 + tan2 2 x) + C . B. tan 2x d x= − ln cos 2 x + C . 1 1 C. tan 2x d x=( 1 + tan2 2 x) + C . D. tan 2x d x= − ln cos 2 x + C . 2 2 2 5 Câu 27. Cho f( x2 +=1) x d x 2 . Khi đĩ I= f( x)d x bằng: 1 2 A. 2 . B. 1. C. −1. D. 4 . HỒNG XUÂN NHÀN 525
4. Câu 28. Một ơ tơ đang chạy với tốc độ 10(ms) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đĩ ơ tơ chuyển động chậm dần đều với v( t) = −5 t + 10( m s), trong đĩ t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ơ tơ cịn di chuyển bao nhiêu mét. A. 8m. B. 10m . C. 5m. D. 20m . Câu 29. Cho điểm A(2;0;0) , B(0;2;0) , C (0;0;2) , D (2;2;2). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cĩ bán kính là 3 2 A. . B. 3 . C. . D. 3 2 3 5 Câu 30. Xét I=− x34(4 x 3) d x . Bằng cách đặt: ux=−434 , khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 1 A. I= u5d u . B. I= u5d u . C. I= u5d u . D. I= u5d u . 16 12 4 π 3 sin x Câu 31. Tính tích phân Ix= d . 3 0 cos x 5 3 π9 9 A. I = . B. I = . C. I =+ . D. I = . 2 2 3 20 4 1 (x −1)2 Câu 32. Tích phân I=d x = a ln b + c , trong đĩ a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức 2 0 x +1 abc++? A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . 1+ ln x Câu 33. Nguyên hàm của fx( ) = là xx.ln 1+ ln x 1+ ln x A. dx=+ ln ln x C . B. dx=+ ln x2 .ln x C . xx.ln xx.ln 1+ ln x 1+ ln x C. dx= ln x + ln x + C . D. dx=+ ln x .ln x C . xx.ln xx.ln Câu 34. Cho tam giác ABC với A(2;− 3;2) , B(1;− 2;2) , C (1;− 3;3) . Gọi A , B , C lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A, B , C lên mặt phẳng ( ) : 2x− y + 2 z − 3 = 0. Khi đĩ, diện tích tam giác ABC bằng 3 1 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 2 2 sin x Câu 35. Cho tích phân dx=+ a ln 5 b ln 2 với ab,. Mệnh đề nào dưới đây đúng? cosx + 2 3 A. 2ab+= 0. B. ab−=2 0. C. 2ab−= 0. D. ab+=2 0. π ux= 2 Câu 36. Tính tích phân I= x2 cos2 x d x bằng cách đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0 dv= cos 2 x d x 1 π 1 π A. I=− x2 sin 2 xπ x sin 2 x d x . B. I=− x2 sin 2 xπ 2 x sin 2 x d x . 0 0 2 0 2 0 1 π 1 π C. I=+ x2 sin 2 xπ 2 x sin 2 x d x . D. I=+ x2 sin 2 xπ x sin 2 x d x . 0 0 2 0 2 0 HỒNG XUÂN NHÀN 526
5. 1 2 Câu 37. Cho hàm số fx( ) liên tục trên và thỏa mãn f( x)d9 x = . Tính tích phân f(1−+ 3 x) 9 d x . −5 0 A. 27 . B. 21. C. 15. D. 75. Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx= và tiếp tuyến với đồ thị tại M (4,2) và trục hồnh là 8 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 8 3 3 Câu 39. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(2;0;0) , B(0;4;0) , C (0;0;− 2) và D (2;1;3). Tìm độ dài đường cao của tứ diện ABCD vẽ từ đỉnh D? 1 5 5 A. . B. . C. 2 . D. . 3 9 3 62x + Câu 40. Tìm dx. 31x − 4 A. F( x) =2 x + ln 3 x − 1 + C . B. F( x) =2 x + 4ln 3 x − 1 + C . 3 4 C. F( x) =ln 3 x − 1 + C . D. F( x) =2 x + 4ln( 3 x − 1) + C . 3 7 xm3 m Câu 41. Cho biết dx = với là một phân số tối giản. Tính mn− 7 . 3 2 0 1+ x n n A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 91. x+1 y − 1 z − 2 Câu 42. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : == và mặt phẳng 2 1 3 (P) : x− y − z − 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;1;− 2) , biết // (P) và cắt d . x−1 y − 1 z + 2 x−1 y − 1 z + 2 A. ==. B. ==. 1−− 1 1 2 1 3 x−1 y − 1 z + 2 x−1 y − 1 z + 2 C. ==. D. ==. 8 3 5 2 1 1 4 Câu 43. Biết xln( x2 + 9) d x = a ln5 + b ln3 + c , trong đĩ a , b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức 0 T= a + b + c là A. T =10 . B. T = 9 . C. T = 8. D. T =11. Câu 44. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm Aa( ;0;0) , Bb(0; ;0) , Cc(0;0; ) , trong đĩ a 0, b 0, c 0 . Mặt phẳng ( ABC) đi qua điểm I (1;2;3) sao cho thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đĩ các số a , b , c thỏa mãn đẳng thức nào sau đây? A. abc+ + =12. B. a2 + b = c −6. C. abc+ + =18 . D. a+ b − c = 0. 2 16 fx( ) Câu 45. Cho hàm số fx( ) liên tục trên và thỏa mãn cotx . f( sin2 x) d x== d x 2022 2023 . Tính 1 x 4 1 fx(4 ) tích phân dx . 1 x 8 HỒNG XUÂN NHÀN 527
6. A. I =1011 2023 . B. I = 4044 2023. C. I = 2022 2023. D. I = 5055 2023 . xt= Câu 46. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(3;2;− 1) và đường thẳng d: y= t . Viết phương zt=+1 trình mặt phẳng ( P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( P) là lớn nhất. A. 2x+ y − 3 z + 3 = 0. B. x+2 y − z − 1 = 0 . C. 3x+ 2 y − z + 1 = 0 . D. 2x− y − 3 z + 3 = 0 . Câu 47. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuơng cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau cĩ hình dạng parabol như hình bên. Biết AB = 5cm, OH = 4 cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đĩ. 160 A. cm2 . 3 140 B. cm2 . 3 14 C. cm2 . 3 D. 50 cm2 . Câu 48. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng: (P) : x− 2 y + z − 1 = 0 , (Q) : x− 2 y + z + 8 = 0 , (R) : x− 2 y + z − 4 = 0 . Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng ( P) , 144 (Q) , ( R) lần lượt tại A, B , C . Tìm giá trị nhỏ nhất của T=+ AB2 . AC A. 723 3 . B. 96 . C. 108 . D. 723 4 . Câu 49. Cho hai mặt cầu (S1 ) , (S2 ) cĩ cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của thuộc và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi ()S1 và ()S2 . 11 R3 11 R3 5 R3 13 R3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 24 12 24 3 2 fx ( ) 7 22 Câu 50. Cho hàm số fx thỏa mãn fx 0 ,  x 1;2 và dx = . Biết f 11= , f 2 = ( ) ( )   4 ( ) ( ) 1 x 375 15 2 , tính I= f( x)d x . 1 71 6 73 37 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 60 5 60 30 ___HẾT___ HỒNG XUÂN NHÀN 528
7. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A D A C C B C B A 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A D D A D B A D C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 B A D D B D D B B A 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B D D C A A B A D A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B C C C D A B C C A Lời giải câu hỏi vận dụng cao đề số 50 Câu 44. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm Aa( ;0;0) , Bb(0; ;0) , Cc(0;0; ) , trong đĩ a 0, b 0, c 0 . Mặt phẳng ( ABC) đi qua điểm I (1;2;3) sao cho thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đĩ các số a , b , c thỏa mãn đẳng thức nào sau đây? A. abc+ + =12. B. a2 + b = c −6. C. abc+ + =18 . D. a+ b − c = 0. Hướng dẫn giải: 11 Ta cĩ: V== OAOB OC abc do , , . OABC 66 x y z 1 2 3 Phương trình mặt phẳng ( ABC) :1+ + = . Do I ( ABC) + + =1 . a b c abc 1 2 3 6 33 6 Theo AM− GM , ta cĩ: 1= + + 33 = 33abc 3 6 abc 162 . a b c abc 3 abc 1 Suy ra: V= abc 27 nên (V ) = 27 . OABC 6 OABC Max 1 2 3 == abc Chọn Dấu bằng xảy ra a =3, b = 6, c = 9. ⎯⎯⎯→ C 1 2 3 + + =1 abc 2 16 fx( ) Câu 45. Cho hàm số fx( ) liên tục trên và thỏa mãn cotx . f( sin2 x) d x== d x 2022 2023 . Tính 1 x 4 1 fx(4 ) tích phân dx . 1 x 8 A. I =1011 2023 . B. I = 4044 2023. C. I = 2022 2023. D. I = 5055 2023 . Hướng dẫn giải: HỒNG XUÂN NHÀN 529
8. 2 Xét I==cot x . f sin2 x d x 2022 2023 . 1 ( ) 4 dt Đặt tx= sin2 =dt 2sin x .cos x d x = 2sin2 x .cot x d x =2t .cot x d x cot x d x = . 2t 1 xt= = 2 1 1 42 2 1 1 ft( ) Đổi cận: . Khi đĩ: I1 = cot x . f( sin x) d x = f( t).d t = dt 2t 2 t xt= =1 1 1 2 4 2 2 1 1 fx( ) 1 fx( ) == dt 2022 2023 . Suy ra dt = 4044 2023 . 2 1 x 1 x 2 2 16 fx( ) xt=11 = Xét Ix==d 2022 2023 . Đặt t= x t2 = x =2t d t d x . Đổi cận: . 2 1 x xt=16 = 4 16fx( ) 4 ft( ) 44f( t) f( x) Khi đĩ: I==d x 2 t d t =2 dtx = 2 d = 2022 2023 . 2 2 11xt11tx 4 fx( ) Suy ra dx = 1011 2023 . 1 x 11 1 fx(4 ) t 1 xt= = Tính Ix= d . Đặt t=4 x x = d x = d t . Đổi cận: 82. x 44 1 xt=14 = 8 4f( t) 1 4 f( t) 4 f( x) 1 f( x) 4 f( x) Khi đĩ: I=. d t = d t = d x = d x + d x t 14 1t 1 x 1 x1 x 24 2 2 2 =4044 2023 + 1011 2023 = 5055 2023 . ⎯⎯⎯→Chọn D xt= Câu 46. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(3;2;− 1) và đường thẳng d: y= t . Viết phương zt=+1 trình mặt phẳng ( P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( P) là lớn nhất. A. 2x+ y − 3 z + 3 = 0. B. x+2 y − z − 1 = 0 . C. 3x+ 2 y − z + 1 = 0 . D. 2x− y − 3 z + 3 = 0 . Hướng dẫn giải: d qua M 0 (0;0;1) cĩ vectơ chỉ phương u = (1;1;1) . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên ( P) và d (khi đĩ AK cố định). Ta cĩ: d( A,( P)) = AH AK . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi HK . HỒNG XUÂN NHÀN 530
9. Do đĩ d A, P= AK . Khi đĩ P đi M 0;0;1 nhận AK làm vectơ pháp tuyến. ( ( ))max ( ) 0 ( ) Gọi K( t, t ,1+ t) d AK =( t −3; t − 2; t + 2) . Ta cĩ: AK⊥ u AK.0 u = 1.(t − 3) + 1.( t − 2) + 1.( t + 2) = 0 t = 1. Suy ra: AK =( −2; − 1;3) . Vậy phương trình (P) :− 2( x − 0) − 1.( y − 0) + 3.( z − 1) = 0 2x + y − 3 z + 3 = 0 . ⎯⎯⎯→Chọn A Câu 47. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuơng cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau cĩ hình dạng parabol như hình bên. Biết AB = 5 cm, OH = 4 cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đĩ. 160 140 14 A. cm2 . B. cm2 . C. cm2 . D. 50 cm2 . 3 3 3 Hướng dẫn giải: Xét parabol (P) với hệ trục tọa độ như hình vẽ, (P) cĩ dạng y= ax2 + bx + c( a 0) . 55 Vì (P) qua các điểm OAB(0;0) , − ;4 , ;4 suy ra 22 c = 0 c = 0 25 5 16 a− b =40 b = . Suy ra (P) : y= x2 . 42 25 16 25 5 a = ab+=4 25 44 Ta cần tính phần diện tích S được giởi hạn bởi (P) và đường thẳng y = 4 . Ý tưởng chính là lấy diện tích hình chữ nhật ABCD trừ đi phần diện tích được tơ đậm, ta cĩ diện tích cần tìm. 5 2 16 20 40 Vậy S=4.5 − x2 dx = 20 − = . 5 25 3 3 − 2 40 140 Do đĩ diện tích bề mặt hoa văn là: S =1022 − 4. = cm . ⎯⎯⎯→Chọn B HV 33 Câu 48. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng: (P) : x− 2 y + z − 1 = 0 , (Q) : x− 2 y + z + 8 = 0 , (R) : x− 2 y + z − 4 = 0 . Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng ( P) , 144 (Q) , ( R) lần lượt tại A, B , C . Tìm giá trị nhỏ nhất của T=+ AB2 . AC HỒNG XUÂN NHÀN 531
10. A. 723 3 . B. 96 . C. 108 . D. 723 4 . Hướng dẫn giải: Dựa vào phương trình ba mặt phẳng (PQR),,( ) ( ) đã cho, ta thấy chúng song song nhau; so sánh hệ số tự do trong phương trình ba mặt phẳng thì: −4 − 1 8, do vậy mặt phẳng ( P) nằm giữa hai mặt phẳng (QR), ( ) . Ta tính khoảng cách giữa với hai mặt phẳng cịn lại: 81−−( ) 9 d(( P),( Q)) ==; 122+( − 2)2 + 1 6 −41 −( − ) 3 d(( P),( R)) ==. 122+( − 2)2 + 1 6 Do vậy d(( P),( Q)) = 3 d(( P) ,( R)) . Gọi AB , lần lượt là hình chiếu của C trên các mặt 3 39 AC CA 1 1 phẳng (PQ), ( ) CA =, A B = . Vì AA // BB nên = =6 = hay AC= AB . 66 AB A B 9 3 3 6 144 144 432 216 216AM− GM 216 216 Ta cĩ: T= AB2 + = AB 2 + = AB 2 + = AB 2 + + 33 AB 2 . . . 1 ACAB AB AB AB AB AB 3 216 Suy ra T 108 . Dấu ""= xảy ra khi và chỉ khi AB23= AB =216 AB = 6, suy ra AC = 2 . AB Chọn Vậy Tmin =108 . ⎯⎯⎯→ C Câu 49. Cho hai mặt cầu (S1 ) , (S2 ) cĩ cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của thuộc và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi ()S1 và ()S2 . 11 R3 11 R3 5 R3 13 R3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 12 24 12 24 Hướng dẫn giải: Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ Khối cầu SOR( , ) chứa một đường trịn lớn cĩ phương trình (C): x2+= y 2 R 2 . Xét một nhánh của (C ) cĩ tung độ khơng âm, khi đĩ: y2= R 2 − x 2 y = R 2 − x 2 ( y 0). Ta thấy phần thể tích cần tìm cĩ dạng hai chõm cầu úp vào nhau, và nĩ được tính bởi cơng thức: R R 33 2 2 2 xR5 V=22 ( R − x) dx = R x − = . R 3R 12 2 2 HỒNG XUÂN NHÀN 532
11. 3 2 fx ( ) 7 22 Câu 50. Cho hàm số fx thỏa mãn fx 0 ,  x 1;2 và dx = . Biết f 11= , f 2 = ( ) ( )   4 ( ) ( ) 1 x 375 15 2 , tính I= f( x)d x . 1 71 6 73 37 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 60 5 60 30 Hướng dẫn giải: 3  Định hướng: Ta thấy biểu thức dưới dấu tích phân cĩ chứa fx ( ) mà giả thiết đề bài khơng cho thêm một hệ thức liên quan để cĩ thể biến đổi, vì vậy ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức AM− GM để làm giảm bậc của . Muốn chuyển đánh giá từ biểu thức bậc ba về bậc một, ta cần thêm vào hai số hạng nữa, và hai số hạng phải cĩ dạng kx2 (k là hằng số dương) để làm mất x4 dưới mẫu. 3 fx ( ) AM− GM 2 2 2 23 2 3322 Ta cĩ: 4 +kx + kx 3 k . f( x) (*) . Xét 3k . f( x) d x= 3 k . f( x) 1 x 1 7 =333k22 f( 2) − f( 1) = k . 5 Để dấu bằng trong (*) xảy ra, ta cần cĩ: 3 22 fx ( ) 7 7 14k 7 1 dx+2 kx2 dx =33 k 2 + = k 2 k = . Từ đây ta biết hai số 4 11x 5 375 3 5 125 11 hạng cần thêm vào (vế trái (*)) là xx22, . 125 125 Phương pháp tìm hệ số k như trên được gọi là phương pháp cân bằng hệ số. 33 f ( x) x2 x 2 f( x) x 2 x 2 3 fx ( ) Theo , ta cĩ: + + 33 . . = (1) xx44125 125 125 125 25 3 2 fx ( ) 2x2 2 3 fx ( ) Lấy tích phân hai vế của (1), ta cĩ: dx+ 2 d x d x 4 1x 1125 1 25 33 22 f ( x) 7 3 f( x) 7 dx + 2. f 2 − f 1 d x (2). 44 ( ) ( ) 11xx375 25 375 3 3 2 fx ( ) 7 fx ( ) x2 Từ giả thiết: dx = , tức là dấu ""= của (1) và (2) xảy ra, khi đĩ: = 4 4 1 x 375 x 125 6 2 3 3 x x x 1 f ( x) = f( x) = f( x) = + C . Hơn nữa: fC(1) = 1 1 = + 125 5 15 15 14x3 + 14 2 x3 +14 71 C = f( x) = . Ta cĩ Ix== d . ⎯⎯⎯→Chọn A 15 15 1 15 60 HỒNG XUÂN NHÀN 533