Đề rèn luyện ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 54 - Hoàng Xuân Nhàn

Nội dung text: Đề rèn luyện ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 54 - Hoàng Xuân Nhàn

1. ĐỀ SỐ 54 ĐỀ RÈN LUYỆN MƠN TỐN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Nội dung: Thời gian: 90 phút FULL KIẾN THỨC TỐN 12+ Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số y=− e2xx e− là 1 1 A. e2xx−+ e− C . B. 2e2xx++ e− C . C. 2e2xx−+ e− C . D. e2xx++ e− C . 2 2 2 Câu 2. Tập nghiệm của phương trình : log5 x = 2 là : A. 5. B. 5. C. −5. D. . Câu 3. Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm M (5;1) biểu diễn số phức z . Phần ảo của số phức z là A. 5 . B. i . C. 1. D. 5i . Câu 4. Cho (un ) là một cấp số cộng cĩ u1 = 3 và cơng sai d = 2 . Tìm u20 . A. 39 . B. 43. C. 41. D. 45 . Câu 5. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng (Oyz) ? A. yz+=0. B. x = 0 . C. y = 0. D. z = 0. Câu 6. Cho khối nĩn cĩ diện tích đáy bằng a2 và đường sinh la= 5. Tính thể tích khối nĩn đĩ. 2 8 4 A. Va= 3. B. Va= 3. C. Va= 2. 3 D. Va= 3. 3 3 3 1 Câu 7. Cho hàm số Fx( ) là một nguyên hàm của fx( ) . Biết FF(1) = − 3,( − 2) = 12 . Tính I= f( x)d x ? −2 A. I =15 . B. I =−36. C. I =−15 . D. I = 9 . Câu 8. Tập xác định của hàm số yx= −5 là A. (− ;0) . B. \0  . C. (− ;0 . D. 0; + ) . Câu 9. Cho hàm số y= ax42 + bx + c cĩ đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số nghiệm thực của phương trình f( x) = f (0) là A. 3 . B. 0 . C. 4 . D. 2 . Câu 10. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu của điểm M (1;2;3) lên trục Oy là điểm A. R(1;0;0) . B. P(1;0;3) . C. Q(0;2;0) . D. S (0;0;3) . Câu 11. Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu (S) :( x− 2)2 +( y + 3) 2 +( z − 1) 2 = 49 . Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (S ). A. IR(2;−= 3;1) , 49. B. IR(2;−= 3;1) , 7 . C. IR(−2;3; − 1) , = 7 . D. IR(2;−= 3;1) , 7 . m Câu 12. Cho hàm số f( x) = x32 −2 mx +( m − 9) x + 2021 2022 . Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 3 m để hàm số đã cho nghịch biến trên ? HỒNG XUÂN NHÀN 565
2. A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. Vơ số. Câu 13. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M là trung điểm của BC , cosin gĩc giữa AB và DM bằng 2 3 3 A. . B. . C. . D. 3 . 2 3 6 x−3 y − 1 z + 7 Câu 14. Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d : ==. Đường thẳng 2 1− 2 đi qua A và song song với d cĩ phương trình là xt=+13 xt=+3 xt=+12 xt=+2 A. yt=+2 . B. yt=+12. C. yt=+2 . D. yt=+12. zt=−37 zt= −73 + zt=−32 zt= −23 + Câu 15. Cho log5 2 = a và log5 3 = b. Biểu diễn log5 360 dưới dạng log5 360 =ma + nb + p , với m,, n p là các số nguyên. Tính A= m + n + 2 p . A. A = 9. B. A = 7 . C. A = 8. D. A =10 . Câu 16. Trong khơng gian, cho tam giác ABC vuơng tại A, AB= 2 a và AC= a . Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh gĩc vuơng AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nĩn. Diện tích xung quanh của hình nĩn đĩ bằng A. 5 a2 . B. 5 a2 . C. 20 a2 . D. 25 a2 . Câu 17. Tập nghiệm của bất phương trình 4xx− 6.2 + 8 0 là A. (2;4) . B. (0;2) . C. (− ;1) ( 2; + ) . D. (1;2) . 1 Câu 18. Tổng số tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y = bằng: xx42+−2 A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 1. Câu 19. Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu ()S : x2+( y − 1) 2 + ( z + 1) 2 = 4 và mặt phẳng ()P : 2x+ y − 2 z + 1 = 0. Khoảng cách từ tâm I của ()S đến ()P bằng 2 4 A. . B. 2. C. 1. D. . 3 3 Câu 20. Thể tích của vật thể trịn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x2 − x −6 và trục hồnh quay quanh trục hồnh được tính theo cơng thức 1 3 A. x2 −− x6d x . B. x4−2 x 3 − 11 x 2 + 12 x + 36 d x . 0 ( ) −2 ( ) 3 1 C. x2 −− x6d x . D. x4−2 x 3 − 11 x 2 + 12 x + 36 d x . −2 ( ) 0 ( ) x3 Câu 21. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= +2 x2 + 3 x − 4 trên đoạn −4;0 lần lượt là 3 Mm và . Giá trị của tổng Mm+ bằng bao nhiêu? 4 4 28 A. Mm+ = − . B. Mm+=. C. Mm+ = − . D. Mm+ = −4 . 3 3 3 Câu 22. Cho hình chĩp S. ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a . Biết SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SBA = 30 . Thể tích khối chĩp S. ABC bằng: a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 2 4 6 12 e ln x e ln x Câu 23. Xét dx , nếu đặt ux= ln thì dx bằng 2x 2x 1 1 HỒNG XUÂN NHÀN 566
3. 1 1 1 e 1 e A. 2d uu. B. uud . C. uud . D. uud . 0 2 0 1 2 1 Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình log12( 2xx+ 3) + log( 3 + 1) 0 là 2 1 2 A. − x 2 . B. − x 2 . C. x 2 . D. x 2 . 3 3 Câu 25. Cho khối lăng trụ đều ABC. A B C cĩ AB= 2 a , M là trung điểm BC và A M= 3 a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 18a3 2 . B. 32a3 . C. a3 2 . D. 92a3 . 2 Câu 26. Xét I= f( x)cos x d x . Nếu đặt u= f( x) và dv= cos x d x thì 0 2 2 A. I=+ f( x)sin x2 f ( x) sin x d x . B. I=− f( x)sin x2 f ( x) sin x d x . ( ) 0 ( ) 0 0 0 2 2 C. I= − f( x)sin x2 − f ( x) sin x d x . D. I= − f( x)sin x2 + f ( x) sin x d x . ( ) 0 ( ) 0 0 0 x++12 y z Câu 27. Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng : = = và mặt phẳng 2 1 1 (P) :( 2 m+ 1) x −( 5 m − 1) y −( m + 1) z − 5 = 0 . Tìm m để song song với ( P) . A. m =−1. B. m =−3 . C. m =1. D. Khơng tồn tại m . Câu 28. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y= x42 −21 mx + m + cĩ giá trị cực tiểu bằng −1. Tổng các phần tử thuộc S là A. −2. B. 0 . C.1. D. −1. Câu 29. Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm ABC(2;0;0) ,( 0;− 3;0) ,( 0;0;6) . Tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC) là A. n =−(2; 3;6) . B. n =−(1; 2;3) . C. n =−(3; 2;1) . D. n = (3;2;1) . 2 Câu 30. Ký hiệu z0 là nghiệm phức cĩ phần ảo âm của phương trình zz−4 + 13 = 0. Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức iz0 ? A. M1(3;2). B. M2 (2;3). C. M3(2;− 3). D. M4 (− 3;2). Câu 31. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A B C cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B cĩ AB== a,2 AA a . Gĩc giữa đường thẳng AC với mặt phẳng ( AA B B) bằng: A. 60. B. 30 . C. 45. D. 90 . 1 1 Câu 32. Cho hàm số fx( ) cĩ đạo hàm liên tục trên . Biết x. f ( x) dx = 10 và f (13) = , tính f( x) dx . 0 0 A. 30 . B. 7 . C. 13. D. −7. Câu 33. Số phức nào sau đây khơng phải số thuần ảo? A. zi= 3 . B. z=+( i1) i . C. z = 0. D. zi=−(12) . HỒNG XUÂN NHÀN 567
4. Câu 34. Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A(1;2;3) và B (3;3;4) và mặt phẳng (P) : x+ 2 y − z = 0. Gọi AB , lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A và B lên mặt phẳng ( P) . Tính độ dài đoạn thẳng AB . 6 3 A. . B. 3 . C. 6 . D. . 2 2 Câu 35. Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo cơng thức nào dưới đây? 1 A. (−x32 + 3 x + x − 3) dx . −1 1 B. (x32− 3 x − x + 3) dx . −1 1 C. (x32− 3 x + x + 3) dx . −1 3 D. (x32− 3 x − x + 3) dx . −1 Câu 36. Cường độ trận động đất M (Richter) được cho bởi cơng thức MAA=−log log 0 , với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco cĩ cường độ 8,3 độ Richter. Cũng trong cùng năm đĩ, một trận động đất khác ở Nam Mỹ cĩ cường độ 9,3 độ Richter. Hỏi trận động đất ở Nam Mỹ cĩ biên độ rung chấn tối đa gấp mấy lần biên độ trận động đất ở San Francisco? A. 20 . B. 10. C. 2 . D. 100 . Câu 37. Cĩ tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đường thẳng y= mx − m +1 cắt đồ thị hàm số 32 2 y= x −32 x + x + tại ba điểm AB, và C (1;1) phân biệt sao cho ( yyAB−=) 4 . A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 . Câu 38. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB==22 AD a . Tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng a 3 a a 3 A. a . B. . C. . D. . 4 2 2 x y z−−13 x y z Câu 39. Trong khơng gian Oxyz , cho hai đường thẳng dd:,:= = = = . Gọi M( a,, b c) 122−− 1 1 1 1 2 là giao điểm của d1 và d2 . Tính a++23 b c . A. 2 . B. 5 . C. 6 . D. 3 . 1 dx 82 Câu 40. Cho =a b − a +( a, b * ) . Tính ab+ 2 . 0 xx+21 + + 33 A. ab+21 = − . B. ab+=28. C. ab+=27. D. ab+=25. x−−12 y z Câu 41. Trong khơng gian Oxyz , cho đương thẳng : = = và mặt phẳng (P) : x+ 2 y + 2 z − 6 = 0. 1 1− 1 Phương trình đường thẳng d nằm trong ( P) sao cho d cắt, đồng thời vuơng gĩc với là HỒNG XUÂN NHÀN 568
5. xt=+24 xt=+24 xt=+24 xt=+24 A. yt=+33. B. yt=−33. C. yt=+33. D. yt=−33. zt=+1 zt=+1 zt= −1 + zt= −1 + Câu 42. Cho hình trụ cĩ bán kính đáy bằng 32a . Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a , thiết diện thu được là một hình vuơng. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng 108 A. a3 . B. 54 a3 . C. 216 a3 . D. 108 a3 . 3 Câu 43. Cho hàm số fx() cĩ bảng biến thiên như sau. x4 −1 Đồ thị hàm số gx( ) = cĩ tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng f2 ( x) − 4 f( x) A. 2 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Câu 44. Cho hình chĩp S. ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy. Biết rằng gĩc giữa (SBC ) và ( ABC) bằng 60 . Tính thể tích khối chĩp S. ABC . a3 3 a3 3 a3 3 33a3 A. . B. . C. . D. . 4 16 8 16 10 Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn (1+ 2i) z = − 2 + i . Khẳng định nào sau đây là đúng? z 1 3 13 A. z . B. z 2 . C. z 2 . D. z ; . 2 2 22 Câu 46. Cho hàm số y= f( x) cĩ đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của bất phương trình 1+f( x3 − 3 x 2 + 1) 2 f 2( x 3 − 3 x 2 + 1) + 2 là A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 2 . Câu 47. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên cĩ 7 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập S . Xác suất để số lấy được cĩ tận cùng là 3 và chia hết cho 7 (làm trịn đến chữ số phần nghìn) cĩ dạng 0, abc . Tính abc2++ 2 2 . A. 15. B. 10. C. 17 . D. 16. HỒNG XUÂN NHÀN 569
6. 22 cc Câu 48. Cho các số thực dương abc;; khác 1 và thỏa mãn điều kiện logabc+ log b + 2log b = log a 3 . Gọi b a b Mm, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=−logab ab log bc . Tìm giá trị của biểu thức S=+29 m22 M . A. S = 28. B. S = 25. C. S = 26. D. S = 27 . Câu 49. Cho mặt cầu (S ): x2+ y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z = 0 . Điểm A(2;2;0) . Viết phương trình mặt phẳng (OAB) biết điểm B là một điểm thuộc mặt cầu (S ) , cĩ hồnh độ dương và tam giác OAB đều. A. x− y +20 z = . B. x− y −20 z = . C. x− y − z = 0. D. 20−yz + = . Câu 50. Cho hàm số f( x) = x3 −3 x + m . Cĩ tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng (−20;20) để với mọi bộ ba số thực abc,, − 2;1 thì f( a),, f( b) f( c) là độ dài ba cạnh của tam giác ? A. 24 . B. 26 . C. 28 . D. 30 . ___HẾT___ HỒNG XUÂN NHÀN 570
7. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C C B A C B A C 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A C C B B D B D B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 C D B D B B C B C A 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B D B D B B B D C B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 D D C B D C C D C B Lời giải câu hỏi vận dụng cao đề số 54 Câu 43. Cho hàm số fx() cĩ bảng biến thiên như sau. x4 −1 Đồ thị hàm số gx( ) = cĩ tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng f2 ( x) − 4 f( x) A. 2 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải: fx( ) = 0 Xét f2 ( x) −40 f( x) = . fx( ) = 4 x =1 fx( ) = 0 (trong đĩ x =1 là nghiệm kép, xx= 1 là là nghiệm đơn). Khơng làm mất tính xx= 1 2 tổng quát, ta biểu diễn f( x) = a11( x −1) ( x − x ) , a1 0. x =−1 fx( ) = 4 (trong đĩ x =−1 là nghiệm kép, xx= 2 là là nghiệm đơn). Khơng làm mất tính xx= 2 2 tổng quát, ta biểu diễn f( x) −41 = a22( x +) ( x − x ) , a2 0 . ( xx22−+11)( ) Ta viết lại hàm số ban đầu: gx( ) = f( x) f( x) − 4 HỒNG XUÂN NHÀN 571
8. 2 (x−1)( x + 1)( x + 1) x2 +1 ==. 22a a x−11 x + x − x x − x a1( x−11) ( x − x 1) a 2( x +) ( x − x 2 ) 1 2( )( )( 1)( 2 ) Chọn Ta thấy đồ thị hàm số y= g( x) cĩ bốn đường tiệm cận đứng: x= 1, x = x12 , x = x . ⎯⎯⎯→ C Câu 44. Cho hình chĩp S. ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy. Biết rằng gĩc giữa (SBC ) và ( ABC) bằng 60 . Tính thể tích khối chĩp S. ABC . a3 3 a3 3 a3 3 33a3 A. . B. . C. . D. . 4 16 8 16 Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm của AB ⊥ SH AB . Ta cĩ (SAB) ⊥ ( ABC ) suy ra SH⊥ ( ABC ) . Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của BM . Khi đĩ: AM⊥ BC mà HI// AM (tính chất đường trung bình), suy ra HI⊥ BC . BC⊥ HI Vì BC ⊥( SHI) BC ⊥ SI . BC⊥ SH (SBC) =( ABC) BC Ta cĩ: HI⊥⊥ BC, SI BC ((SBC),( ABC)) =( HI , SI) = SIH = 60  . aa3 1 3 Xét ABC đều cạnh a AM = HI = AM = . 2 2 4 3a Xét SHI vuơng tại H SH = HI tan SIH = . 4 1 1 3a a23 3 a 3 Thể tích khối chĩp: V= SH  S =   = . ⎯⎯⎯→Chọn B S. ABC3 ABC 3 4 4 16 10 Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn (1+ 2i) z = − 2 + i . Khẳng định nào sau đây là đúng? z 1 3 13 A. z . B. z 2 . C. z 2 . D. z ; . 2 2 22 Hướng dẫn giải: 10 10 Ta cĩ (12+i) z = −+ + 2 i( 12 i) z +−= 2 i ++ z 221.10(*)( z −) i z = . zz a b 22 Lấy mơ đun 2 vế ta được: ( z+2) +( 2 z − 1) . z = 10 5 z2 + 5. z = 10 ab22+ 2 42 zn=1 ( ) 13 Chọn 5zz + 5 − 10 = 0 =z 1. Vậy z ; . ⎯⎯⎯→ D 2 22 zl=−2 ( ) HỒNG XUÂN NHÀN 572
9. Câu 46. Cho hàm số y= f( x) cĩ đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của bất phương trình 1+f( x3 − 3 x 2 + 1) 2 f 2( x 3 − 3 x 2 + 1) + 2 là A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 2 . Hướng dẫn giải: Đặt t= f( x32 −31 x + ) . Bất phương trình trở thành: 1+tt 22 + 2 t −1 t −1 t =1. 2 2 2 (1+tt) 2 + 2 −tt +2 − 1 0 x32−3 x + 1 = a ( − 2; − 1) Ta cĩ: f x32−3 x + 1 = 1 . ( ) 32 x−3 x + 1 = b ( 1;2) 3 2 2 x = 0 Xét hàm số g( x) = x −3 x + 1, g ( x) = 3 x − 6 x , g( x) = 0 . Bảng biến thiên gx( ) : x = 2 32 Ta cĩ: Phương trình x−3 x + 1 = a ( − 2; − 1) cĩ ba nghiệm phân biệt x1,, x 2 x 3 . 32 Phương trình x−3 x + 1 = b ( 1;2) cĩ một nghiệm x4 khác . Vậy bất phương trình đã cho cĩ bốn nghiệm thực. ⎯⎯⎯→Chọn C Câu 47. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên cĩ 7 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập S . Xác suất để số lấy được cĩ tận cùng là 3 và chia hết cho 7 (làm trịn đến chữ số phần nghìn) cĩ dạng 0, abc . Tính abc2++ 2 2 . A. 15. B. 10. C. 17 . D. 16. Hướng dẫn giải: ☺ Cách giải 1: Số phần tử của khơng gian mẫu là: n(=) 9.106 . HỒNG XUÂN NHÀN 573
10. Gọi A là biến cố: “Số lấy được cĩ tận cùng là 3 và chia hết cho 7”. Gọi số tự nhiên cĩ 7 chữ số chia hết cho 7 và cĩ chữ số tận cùng bằng 3 là: a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 3 . Ta cĩ: aaaaaa1234563= 10. aaaaaa 123456 + 3 =( 3. aaaaaa 123456 + 7. aaaaaa 123456 + 3) 7 +(3.a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 3) 7 . k Đặt: 3.aaaaaa+ 3 = 7 kk( ) aaaaaa = 2 k − 1 + là số nguyên nên k= 3 m( m ) . 123456 123456 3 100 001 1 000 000 Khi đĩ : a a a a a a=−71 m . Do đĩ: 100 000 7mm − 1 999 999 . 1 2 3 4 5 6 77 14 285,8 142 857,1 Do mm 14 286;14 287; ;142 857. Vì vậy cĩ 142 857− 14 286 + 1 = 128 572 giá trị của m thỏa mãn. Suy ra nA( ) =128 572 . nA( ) 128572 Xác suất của biến cố A là: PA( ) = = 0,014 . Suy ra: a=0, b = 1, c = 4. n() 9.106 Vây abc2+ 2 + 2 =17 . ⎯⎯⎯→Chọn C ☺ Cách giải 2: Số phần tử của khơng gian mẫu là: n(=) 9.106 . Gọi là biến cố: “Số tự nhiên lấy được cĩ tận cùng là 3 và chia hết cho 7”. Gọi số tự nhiên thỏa mãn biến cố A là X, ta cĩ: 1 000 013 X 9 999 983. Ta thấy số nhỏ nhất mà X cĩ thể nhận được là 1 000 013, số lớn nhất mà X cĩ thể nhận là 9 999 983. Chênh lệch giữa hai số liên tiếp thỏa mãn đề bài là 70 đơn vị. Vì vậy ta cĩ thể thấy tập hợp các số tự nhiên X sẽ lập nên một cấp số cộng cĩ số hạng đầu là u1 =1 000 013 , cơng sai d = 70 , số hạng cuối là . 9 999 983− 1 000 013 Do vậy số các số tự nhiên mà X cĩ thể nhận là: +=1 128 572 (số). 70 Suy ra . Xác suất của biến cố là: . Suy ra: . Vây . 22 cc Câu 48. Cho các số thực dương abc;; khác 1 và thỏa mãn điều kiện logabc+ log b + 2log b = log a 3 . Gọi b a b Mm, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=−logab ab log bc . Tìm giá trị của biểu thức S=+29 m22 M . A. S = 28. B. S = 25. C. S = 26. D. S = 27 . Hướng dẫn giải: logb c=− x P Ta cĩ: P=loga ab − log b bc = log a b − log b c . Đặt loga bx= . logac= log a b .log b c = x( x − P) cc Ta cĩ: log22bc+ log + 2log = log a b bb a a3 b 2 logb − log c + 2log b .log c + 2log c − 2 = log c − 3 − log b a b a b b a a =P =x x − P x − Px( x− P) x HỒNG XUÂN NHÀN 574
11. P2 +2 x( x − P) + 2( x − P) − 2 = x( x − P) − 3 − x P2 +2 x 2 − 2 Px + 2 x − 2 P − 2 = x 2 − Px − 3 − x x22 +(3 − P) x + P − 2 P + 1 = 0 (*). 2 Do phương trình (*) luơn cĩ nghiệm x nên =(3 −PPP) − 4( 2 − 2 + 1) 0 −3PP2 + 2 + 5 0 55 −1 P m = − 1, M = . 33 Thay vào ta cĩ S=2 m22 + 9 M = 27 . ⎯⎯⎯→Chọn D Câu 49. Cho mặt cầu (S ): x2+ y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z = 0 . Điểm A(2;2;0) . Viết phương trình mặt phẳng (OAB) biết điểm B là một điểm thuộc mặt cầu (S ) , cĩ hồnh độ dương và tam giác OAB đều. A. x− y +20 z = . B. x− y −20 z = . C. x− y − z = 0. D. 20−yz + = . Hướng dẫn giải: Gọi B( x;; y z) với x 0 và H trung điểm OA H (1;1;0) . Gọi ( P) là mặt phẳng trung trực đoạn OA , do đĩ ( P) đi qua trung điểm H (1;1;0) của đoạn OA và nhận OA = (2;2;0) làm vectơ pháp tuyến. Suy ra ( P) : 2.( xy− 1) + 2.( − 1) = 0 xy + −20 = . OB= AB BP ( ) xy+ −20 = 22 Theo giả thiết: OB= OA OB = OA x2 + y 2 + z 2 = 8 2 2 2 BSBS ( ) ( ) x+ y + z −2 x − 2 y − 2 z = 0 x+ y =22 x + y = xy+=2 xy+=2 2 x2 + y 2 + z 2 =84 x 2 + y 2 = ( x + y) −2 xy = 4 xy = 0 z = 2 2x+ 2 y + 2 z = 8 z = 2 z = 2 x = 2 Suy ra: yB= 0 (2;0;2) , (do x 0 ). z = 2 Ta cĩ : OA=(2;2;0) , OB =( 2;0;2) OA , OB =( 4; − 4; − 4) = 4( 1; − 1; − 1) . Mặt phẳng (OAB) đi qua O , nhận n =(1; − 1; − 1) là một vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình (OAB) là: x− y − z = 0. ⎯⎯⎯→Chọn C Câu 50. Cho hàm số f( x) = x3 −3 x + m . Cĩ tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng (−20;20) để với mọi bộ ba số thực abc,, − 2;1 thì f( a),, f( b) f( c) là độ dài ba cạnh của tam giác ? A. 24 . B. 26 . C. 28 . D. 30 . Hướng dẫn giải: Xét g( x) = x3 −3 x + m , g ( x) =3 x2 − 3 = 0 x = 1. Ta cĩ: gm(−22) = − ; gm(−12) = + ; gm(12) =−. Suy ra: m−22 f( x) m + , x  −2;1. Ta cĩ: Minf( x) f( a) , f( b) , f( c) Max f( x) . −2;1 −2;1 Khơng mất tính tổng quát, giả sử f( a) f( b) f( c). Điều kiện cần và đủ để f( a),, f( b) f( c) là độ dài ba cạnh của tam giác là: HỒNG XUÂN NHÀN 575
12. fa( ) + fb( ) fc( ) fa( ) + fb( ) − fc( ) 0 . Yêu cầu bài tốn cho ta điều kiện: f( a) + f( b) − f( c) 2Min f( x) − Max f( x) 0 (1). −2;1 −2;1 Trường hợp 1: m+2 m − 2 0 m 2 . Khi đĩ Maxf( x) = Max m − 2 ; m + 2 = m + 2 = m + 2 ; Minf( x) = Min m − 2 ; m + 2 = m − 2 = m − 2 . −2;1 −2;1   +   + Thay vào (1): 2(m− 2) −( m + 2) 0 m − 6 0 m 6 . Vì m nguyên thuộc khoảng (−20;20) nên m 7;8; ;19 , ta tìm được 13 giá trị m thỏa mãn. Trường hợp 2: m−2 m + 2 0 m − 2 . Khi đĩ: Maxf( x) = Max m − 2 ; m + 2 = m − 2 = − m + 2 ; −2;1   − Minf( x) = Min m − 2 ; m + 2 = m + 2 = − m − 2 . −2;1    + Thay vào (1): 2(−m − 2) −( − m + 2) 0 m − 6 . Vì m nguyên thuộc khoảng nên m −19; − 18; − 7, ta tìm được 13 giá trị m thỏa mãn. Trường hợp 3: m−2 0 m + 2 − 2 m 2 . (m−2) +( m + 2) +( m − 2) −( m + 2) Khi đĩ: Maxf( x) = Max m − 2 ; m + 2 = = m + 2 ; −2;1 2 Minfx( ) = 0. Do vậy (1) trở thành: 2.0−( mm + 2) 0 − − 2 0 (vơ lí). −2;1 Vậy số giá trị m thỏa mãn đề bài là: 13+= 13 26. ⎯⎯⎯→Chọn B HỒNG XUÂN NHÀN 576