Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2019 môn Toán học - Sở GD&ĐT tỉnh Bắc Ninh

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2019 môn Toán học - Sở GD&ĐT tỉnh Bắc Ninh

1. UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2019 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Mụn thi: Toỏn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 04/10/2018 (Đề thi cú 01 trang) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Cõu 1. (4,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh sau trờn tập số thực: ỡ 2 2 ù 2xy x + y 2 xy + x + y ù + = ớù x + y 2 2 . ù 2 2 ù log (x - 2y - 11) = log (y - 2x - 12) ợù 2+ 5 2 2+ 5 Cõu 2. (4,0 điểm) 1 * Cho dóy số thực (an ) xỏc định bởi a1 = 1,an+ 1 = - 2, " n ẻ N8. a1 + a2 + + an * Chứng minh rằng dóy (bn ) xỏc định bởi bn = a1 + a2 + + an , " n ẻ N8 cú giới hạn hữu hạn và tỡm giới hạn đú. Cõu 3. (6,0 điểm) Cho tam giỏc ABC nhọn, khụng cõn, nội tiếp đường trũn (O).Gọi H là trực tõm của tam giỏc ABC. a) Gọi I ,K lần lượt là trung điểm của AB,AC; B1,C1 lần lượt là chõn đường cao kẻ từ B,C của tam giỏc ABC. Đường thẳng IK cắt B1C1 tại U, đường thẳng OH cắt IK tại V . Chứng minh rằng V là trực tõm tam giỏc AHU. b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AH , T là giao điểm của tiếp tuyến tại A của đường trũn (O) với đường thẳng BC, P là hỡnh chiếu vuụng gúc của O trờn đường thẳng TM . Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng MP nằm trờn đường trũn Euler của tam giỏc ABC. (Chỳ ý: Đường trũn Euler của tam giỏc ABC là đường trũn qua 9 điểm gồm trung điểm cỏc cạnh, chõn đường cao và trung điểm của cỏc đoạn thẳng nối cỏc đỉnh với trực tõm tam giỏcA BC ). Cõu 4. (6,0 điểm) a) Tỡm tất cả cỏc hàm f : R đ R thỏa món f (xf (y) + x2) = xy + f 2(x), " x,y ẻ R b) Tỡm đa thức hệ số nguyờn P(x) thỏa món tớnh chất P(2n ) chia hết cho n, với mọi số nguyờn dương n. Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh :