Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở GD&ĐT Cao Bằng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở GD&ĐT Cao Bằng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH CAO BẰNG NĂM HỌC 2010-2011 Mụn: Toỏn Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI ( Đề gồm 01 trang) 2x 1 Cõu I (5 điểm): Cho hàm số y cú đồ thị (H) x 2 a) Chứng minh rằng đường thẳng y x m luụn cắt đồ thị (H) tại hai điểm phõn biệt A, B. Tỡm m để khoảng cỏch AB ngắn nhất. 2sinu 1 b) Tỡm t để phương trỡnh t ( ẩn là u) cú nghiệm trờn 0; . sinu 2 Cõu II (4 điểm): a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của hàm số y 2 x 2 x (2 x )(2 x ) 5 b) Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc A,B,C thỏa món cos2ABC 3cos2 3cos2 0 . Xỏc 2 định cỏc gúc A,B,C. x2 y 2 1 k ( x y 1) 1 Cõu III (3 điểm): Cho hệ phương trỡnh ( k là tham số) xy 1 x y a) Giải hệ phương trỡnh khi k=0 b) Tỡm k để hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất. Cõu IV (2 điểm): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh SA, SD. Mặt phẳng () chứa MN cắt cỏc cạnh SB, SC lần lượt tại Q, P. Đặt SQ V 3 x , tỡm x để S. MNPQ . SB VS. ABCD 8 Cõu V (4 điểm): Cho lăng trụ tam giỏc ABC.A’B’C’ cú độ dài cạnh bờn bằng 2a, đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A, AB=a, AC a 3 và hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh A’ trờn mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tớnh theo a thể tớch khối chúp A’.ABC và tớnh cosin của gúc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’. Cõu VI (2 điểm): u 1 1 u u u 2 1 2 n Cho dóy số ()un xỏc định như sau: u . Tớnh lim . n n u u u un 1 u n , n 1 2 3n 1 2010 Hết Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Họ tờn, chữ kớ của giỏm thị 1:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CAO BẰNG CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 Mụn: Toỏn ( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Cõu Nội dung Điểm I 2x 1 Cho hàm số y cú đồ thị (H) (5 điểm) x 2 3 a) Chứng minh rằng đường thẳng y x m luụn cắt đồ thị (H) tại hai điểm phõn biệt A, B. Tỡm m để khoảng cỏch AB ngắn nhất. * Hoành độ giao điểm của (H) và đường y x m nghiệm phương trỡnh 2x 1 x m (1) x 2 1 x2 (4 m ) x 1 2 m 0 Ta cú (1) . x 2 2 x m 12 0 Vỡ nờn (1) luụn cú hai nghiệm phõn biệt do đú 2 (2) (4 m )(2)12 m 30 0,5 đường thẳng y x m luụn cắt (H) tại hai điểm phõn biệt A,B. * Vỡ A, B là giao điểm của (H) và đường y x m nờn hoành độ của A và B x x m 4 nghiệm phương trỡnh x2 (4 m ) x 1 2 m 0. Theo Viet ta cú AB 0,5 xAB. x 1 2 m (2) 2 2 2 Khoảng cỏch AB ()() xBABA x y y 2 2 2 0,5 AB ( xBABA x ) (( x m ) ( x m )) (2) 2(x x )2 2( m 2 12)24 AB 26 . BA 0,5 Do vậy AB ngắn nhất bằng 2 6 khi m=0 2sinu 1 b) Tỡm t để phương trỡnh t (*) ( ẩn là u) cú nghiệm trờn 0;  2 sinu 2 Đặt sin u x , vỡ u 0;  nờn x 0;1 2x 1 0,5 Bài toỏn đưa về tỡm t để phương trỡnh t cú nghiệm x 0;1 x 2 2x 1 Xột hàm số y trờn 0;1 x 2 Hàm số y xỏc định và liờn tục với x 0;1 1 3 1 y' 0,  x  0;1 . Suy ra miny y (0) , maxy y (1) 1 (x 2)2 x 0;1 2 x 0;1 1 Do đú phương trỡnh (*) cú nghiệm t 1. 0,5 2 II a) Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số 2
3. (4 điểm) y 2 x 2 x (2 x )(2 x ) * Tập xỏc định:  2;2 t2 4 t 2 0,5 * Đặt t 2 x 2 x , suy ra y t t 2 2 2 Xột hàm số t( x ) 2 x 2 x trờn  2;2. 1 1 2 x 2 x t'( x ) , 2 2 x 2 2 x 2 2 x . 2 x t'( x ) 0 2 x 2 x 0 x 0 Bảng biến thiờn: x -2 0 2 0,5 t’ + 0 - 2 2 t 2 2 Suy ra 2 t 2 2 t 2 Bài toỏn đưa về tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số y t 2 trờn 2 đoạn 2;2 2 Ta cú y' t 1, , y' 0 t 1 2;2 2 y' 0,  x 2;2 2 Bảng biến thiờn: t 2 2 2 1 y’ - 2 y 2 2 2 Vậy: Giỏ trị lớn nhất của hàm số bằng 2 khi x 2 ( t=2) Giỏ trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 2 2 khi x 0 ( t 2 2 ) b) Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc A,B,C thỏa món 5 2 cos2ABC 3cos2 3cos2 0 . Xỏc định cỏc gúc A,B,C. 2 Ta cú: 5 5 cos2ABC 3cos2 3cos2 0 cos2ABC 3(cos2 cos2 ) 0 2 2 5 1 2cos2 ABCBC 1 2 3.cos( ).cos( ) 0 2 3 cos2 A 3 c osA.cos(B-C)+ 0 4
4. 2 3 3 2 cosA- c os(B-C) 1 c os (B-C) 0 2 4 2 3 3 2 cosA- c os(B-C) sin (B-C) 0 2 4 sin(BC ) 0 BC 3 . Vỡ A, B, C là cỏc gúc của tam giỏc nờn ta cú 3 cosABC cos( - ) cosA= 2 2 1 BC BC 75o BC 75o . Vậy: o o o A 30 A 30 A 30 III x2 y 2 1 k ( x y 1) 1 (3 điểm) Cho hệ phương trỡnh ( k là tham số) 2 xy 1 x y a) Giải hệ phương trỡnh khi k=0 x2 y 2 1 0 Điều kiện: x y 0 0,5 x2 y 2 1 1 x2 y 2 2 ( x y ) 2 2 xy 2 Với k=0 ta cú hệ xy 1 x y xy 1 x y xy 1 x y S 0 x y S SPSS2 2 2 2 2 0 P 1 Đặt , ta được hệ 0,5 xy P PSPS 1 1 S 2 P 1 S 0 x 1 x 1 + Với suy ra hoặc ( thỏa món điều kiện) P 1 y 1 y 1 S 2 1 + Với suy ra x=y=1 ( thỏa món điều kiện) P 1 Vậy: với k=0, hệ phương trỡnh đó cho cú 3 nghiệm (1;-1), (-1;1), (1;1). b) Tỡm k để hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất. 1 Nhận thấy: nếu (;)x y là nghiệm của hệ phương trỡnh thỡ (;)y x cũng là nghiệm 0 0 0 0 0,5 của hệ. Do đú, để hệ cú nghiệm duy nhất thỡ điều kiện cần là x0 y 0 . 2 2x0 1 k ( 2 x 0 1) 1 Thay x, y ở hệ phương trỡnh bởi x0 ta được: , suy ra 2 x0 1 2 x 0 k 0 0,5 x0 1 Với k=0, theo ý a hệ phương trỡnh cú 3 nghiệm. Do vậy khụng cú giỏ trị k nào để hệ cú nghiệm duy nhất. IV Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi M, N lần lượt là (2 điểm) trung điểm của SA, SD. Mặt phẳng() chứa MN cắt cỏc cạnh SB, SC lần lượt tại 2 SQ V 3 Q, P. Đặt x , tỡm x để S. MNPQ . SB VS. ABCD 8
5. V Đặt VV . Ta cú VV . Vỡ MN//BC nờn S. ABCD S ABD S BCD 2 SP SQ PQ//BC x S SC SB V SM SN SQ x + S. MNQ V SA SD SB 4 N S. ABD 1 VVx x M S MNQ S MNQ P V 4V 8 D C 2 V SN SQ SP 1 V x2 Q + S. NPQ x2 S. NPQ VS. BCD SD SB SC 2 V 4 A B VVV3 3x x2 3 Ta cú: SMNPQ SMNQ SNPQ 2x2 x 3 0 x=1 VVS. ABCD 8 8 8 4 8 3 1 ( x 0 loại) 2 Vậy x=1 V Cho lăng trụ tam giỏc ABC.A’B’C’ cú độ dài cạnh bờn bằng 2a, đỏy ABC là tam (4 điểm) giỏc vuụng tại A, AB=a, AC a 3 và hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh A’ trờn 4 mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tớnh theo a thể tớch khối chúp A’ABC và tớnh cosin của gúc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’. *) Gọi I là trung điểm của BC, từ giả A' thiết suy ra A’I là đường cao của lăng trụ. C' 1 Ta cú AI BC a2 3 a 2 a , 2 2a B' A' I AA '2 AI 2 4 a 2 a 2 a 3 . 1 a 3 A C a I B Thể tớch khối chúp A’.ABC 1 1 1 1 a3 1 V S.' ' A I AB AC A I a. a 3. a 3 (đvtt) 3ABC 3 2 6 2 *) Gúc giữa AA’ và B’C’ bằng gúc giữa BB’ và BC 0,5 Tam giỏc IA’B’ vuụng tại A’ nờn IB' IA '2 A ' B ' 2 3 a 2 a 2 2 a . Suy ra tam 1 giỏc BB’I cõn tại B’ nờn gúc B' BI nhọn, do đú gúc B' BI là gúc giữa BB’ và BC. 1 BI a 1 Ta c ú: cosB' BI 2 . BB' 2.2 a 4 0,5 1 Vậy: cosin của gúc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ bằng 4 VI u1 1 (2 điểm) Cho dóy số ()u xỏc định như sau: 2 . n un un 1 u n , n 1 2010
6. u u u Tớnh lim1 2 n . n u2 u 3 un 1 2 2 un u n u n 1 1 Ta cú: un 1 u n u n 1 u n 2010.( ) . 2010 2010 un 1 u n u n 1 Suy ra: 1 u u u 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 n 2010. 2010(1 ) uuu2 3n 1 uuuuuuu 1 2 2 3 n n n 1 u n 1 u2 Vỡ u u n 0,  n N * nờn ()u là dóy đơn điệu tăng. Giả sử ()u bị chặn n 1 n 2010 n n trờn thế thỡ lim un a . n 0,5 u2 a2 Lấy giới hạn hai vế của biểu thức u n u , ta cú phương trỡnh a a , n 1 2010 n 2010 suy ra a=0 ( vụ lớ vỡ un 1,  n ) Do đú ()un khụng bị chặn trờn tức limun . u u u 1 0,5 Ta cú lim1 2 n lim 2010.(1 ) 2010 n n u2 u 3 un 1 u n 1 * Lưu ý chung toàn bài : + Điểm toàn bài là tổng điểm cỏc bài thành phần, giữ lại hai chữ số thập phõn. + Nếu thớ sinh giải theo cỏch khỏc mà lập luận chặt chẽ, tớnh toỏn chớnh xỏc thỡ vẫn cho điểm tối đa bài đú.
7. S GIÁO D C VÀ ðÀO T O ð THI CH N H C SINH GI I L P 12 C P T NH CAO B NG NĂM H C 2010-2011 Mụn: Toỏn ð chớnh th c Th i gian: 180 phỳt (khụng k th i gian giao ủ ) ð BÀI (ð g m 01 trang) 2x +1 Cõu I (5 ủim) : Cho hàm s y = cú ủ th (H ) x + 2 a) Chng minh r ng ủưng th ng y = −x + m luụn c t ủ th (H ) ti hai ủim phõn bi t A, B. Tỡm m ủ kho ng cỏch AB ng n nh t. 2sin u +1 b) Tỡm t ủ ph ươ ng trỡnh = t (n là u ) cú nghi m trờn [0; π]. sin u + 2 Cõu II (4 ủim) : a) Tỡm giỏ tr nh nh t , giỏ tr l n nh t c a hàm s y = 2 − x + 2 + x − 2( − x)( 2 + x) 5 b) Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc A, B,C th a món cos 2A + 3 cos 2B + 3 cos 2C + = 0 . Xỏc 2 ủnh cỏc gúc A, B,C.  x2 + y 2 −1 − k( x + y − )1 = 1 Cõu III (3 ủim) : Cho h ph ươ ng trỡnh  ( k là tham s ) xy +1 = x + y a) Gi i h ph ươ ng trỡnh khi k = 0 b) Tỡm k ủ h ph ươ ng trỡnh cú nghi m duy nh t. Cõu IV (2 ủim) : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ủỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gi MN, ln l ưt là trung ủim c a cỏc c nh SA , SD . M t ph ng (α) ch a MN c t cỏc c nh SB, SC l n l ưt t i Q, P. ðt SQ V 3 = x , tỡm x ủ S.MNPQ = . SB VS.ABCD 8 Cõu V (4 ủim) : Cho l ăng tr tam giỏc ABC .A, B,C , cú ủ dài c nh bờn b ng 2a, ủỏy ABC là tam giỏc vuụng t i A, AB = a, AC = a 3 và hỡnh chi u vuụng gúc c a ủ nh A, trờn m t ph ng (ABC ) là trung ủim c a c nh BC . Tớnh theo a th tớch kh i chúp A,.ABC và tớnh cosin c a gúc gi a hai ủưng th ng AA , và B,C , . Cõu VI (2 ủim) : u = 1  1  u u u  2  1 + 2 + + n  Cho dóy s (un ) xỏc ủnh nh ư sau:  u . Tớnh lim . = n + ≥ n→+∞   un+1 un , n 1  u u u +   2010 2 3 n 1 Ht H và tờn thớ sinh: S bỏo danh: H tờn, ch kớ c a giỏm th 1: .