›
›
›

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2011-2012 - Sở GD&ĐT Bắc Giang (Có đáp án)

pdf 14 trang thungat 2890
Download
Bạn đang xem tài liệu "Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2011-2012 - Sở GD&ĐT Bắc Giang (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_thi_chon_hoc_sinh_gioi_cap_tinh_mon_toan_lop_12_nam_hoc_2.pdf

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2011-2012 - Sở GD&ĐT Bắc Giang (Có đáp án)

  1. S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O KỲ THI CH N H C SINH GI I C P T NH BC GIANG NĂM H C: 2011-2012 Đ THI MƠN: TỐN L P 12 Đ CHÍNH TH C Ngày thi: 01/4/2012 Th i gian làm bài: 180 phút ơng k th i gian giao đ) 1 Câu 1: (5,0 đim) Cho hàm s yxmx=3 ++( 1) 2 + (4 mx + 3) +− 3 m (1) ( m là tham s ). 3 1. Tìm m đ hàm s (1) đng bi n trên [−1;2 ]. 2. Tìm m đ hàm s (1) đt c c tr t i các đim x, x sao cho x+2 x = 1 − m . 1 2 1 2 Câu 2: (4,0 đim) π  1+ tan 2 x 1. Gi i ph ươ ng trình: 14sin.cos+x x +  = . 6  1− tan 2 x 2. Tìm tham s m đ ph ươ ng trình sau cĩ nghi m th c: x++−−31 x 32 − xxm −2 = 21. − Câu 3: (4,0 đim)  3− x ()x +2 − 1 .2y = 2. 1. Gi i h ph ươ ng trình:  x +1 (x , y ∈ℝ ).  + + = ylog2 ( x 1) 1 e ln(ex ) 2. Tính tích phân: I= dx . ∫ − 1 7 2x ln x Câu 4: (6,0 đim) − 1. Trong mt ph ng to đ Ox y , cho tam giác ABC cĩ đnh C(1; 2). Tìm to đ c a các đnh A và B, bi t đưng cao đi qua đnh B, đưng phân giác trong đi qua đnh A c a tam giác ABC ln l ưt cĩ ph ươ ng trình là x− y −2 = 0 và 2x+ y + 4 = 0 . 2. Trong khơng gian v i h to đ Oxyz , cho t di n ABCD cĩ to đ các đnh l n − − α − −−= lưt là A( 1;2;0), B(2;1;1), C(0; 3;4), D(3;0;3) và cho m t ph ng ( ) :x 2 y z 50 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c MA+ MB + MC + MD , bi t M là m t đim thay đi trong m t ph ng (α ) . 3. Cho t di n ABCD cĩ m t c nh l n h ơn a và cĩ các c nh cịn l i đu khơng l n a3 hơn a. G i V là th tích c a kh i t di n ABCD . Chng minh r ng: V ≤ . 8 Câu 5: (1,0 đim) Cho ba s th c d ươ ng a, b và c . Chng minh rng: + + +   abbcca++ ≥ a ++ b c 2  . c a b bccaab+ + +  HT Cán b coi thi khơng gi i thích gì thêm H và tên thí sinh: S báo danh: Giám th 1 (H tên và ch ký) Giám th 2 (H tên và ch ký)
  2. S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O HƯNG D N CH M BC GIANG BÀI THI CH N H C SINH GI I C P T NH NĂM H C 2011-2012 HDC Đ CHÍNH TH C NGÀY THI 01/4/2012 MƠN THI: TỐN L P 12 n h ưng d n ch m cĩ 05 trang Câu 1 Hưng d n gi i (5 đim) TX Đ: D = ℝ yx'=+2 2( m + 1) xm + 4 + 3 0.5 Đ y đng bi n trên [−1;2 ] thì y'≥ 0, ∀ x ∈−[ 1;2 ] Vi ∀x ∈[ − 1;2 ] ta cĩ x +2 > 0 , nên ta cĩ th đư a đưc điu ki n trên v 3 0.5 1. dng 2m≥−− x , ∀∈− x [] 1;2 x + 2 (2.5 đim) 3 ⇔≥2m max gxgx ( ), ( ) =−− x x∈[] − 1;2 x + 2 0.5 Tìm đưc maxg ( x )=− 2 2 3 khi x =−+ 2 3 x∈[] − 1;2 0.5 Kh ng đnh đưc m ≥1 − 3 KL 0.5 yx'=+2 2( m + 1) xm + 4 + 3 Đ đ đ y cĩ c c tr thì y’ ph i cĩ hai nghi m phân bi t và y’ i d u khi x i 0.5 qua hai nghi m đĩ. Suy ra ∆' > 0 Tìm đưc điu ki n đ hàm s cĩ c c tr là 2 m ∈−∞−( ;1 3) ∪ (1 + 3; +∞ ) 0.5 (2.5 đim) Vi m ∈−∞−( ;1 3) ∪ (1 + 3; +∞ ) , áp d ng đnh lý Vi-ét và k t h p v i + = − =− − =+ 0.5 x12 x 2 1 m . Tìm đưc x13 m 5, xm 2 3. Tìm đưc m = −3 ± 3 . 0.5 Ki m tra điu ki n và k t lu n m = −3 ± 3 . 0.5 Câu 2 (4 đim) 1. Điu ki n đ ph ươ ng trình cĩ ngh ĩa là: (2 đim) cosx ≠ 0 cosx ≠ 0 0.5 hay  (*) 1− tan2 x ≠ 0 cos 2x ≠ 0 Bi n đi đưc ph ươ ng trình đã cho tr thành 1 1+ 2sinx() 3cos x − sin x = cos 2 x 1 0.5 ⇒1− 2sin2 x + 3sin2 x = cos 2 x 1 ⇒ cos2x+ 3sin2 x = cos 2 x Vi điu ki n (*) ta cĩ 0.5 Trang 1/5
  3. 1 ⇒1+ 3 tan 2 x = cos2 2 x ⇒1+ 3tan2x = 1 + tan2 2 x tan 2x = 0 ⇒  tan 2x = 3  = π sinx= 0 x k Vì cosx ≠ 0 nên ta cĩ  ⇔ π π (k ∈ ℤ ) (tho mãn) tan 2x = 3 x= + k  6 2 0.5 x= k π Kt lu n  π π (k ∈ℤ ) x= + k  6 2 Điu ki n đ ph ương trình đã cho cĩ ngh ĩa là: x ∈[ − 3; 1 ] 0.5 Đt = ++ − t x3 1 x Tìm đưc điu ki n c a bi n t là ∈   0.5 2. t 2;2 2  (2 đim) Bi n đi ph ươ ng trình đã cho tr thành =−2 + + 4m t 2 t 6 (2*) 0.5 ∈   Bài tốn tr thành tìm m đ ph ươ ng trình (2*) cĩ nghi m t 2;2 2  1 3  Tìm đưc giá tr m∈ − + 2; tho mãn bài tốn. 2 2  0.5 Câu 3 (4 đim)  3− x ()x +212 −y = 2 (2)  x +1  y+log ( x + 1) = 1 (3)  2 0.5 Điu ki n cĩ ngh ĩa c a h ph ươ ng trình là −1 <x ≤ 3  1. y ∈ℝ đ = − + (2 i m) T (3) ta cĩ y1 log2 ( x 1) , th vào (2) đưc − + 3− x 0.5 ()x +212 −1 log2 (x 1) = 2 x +1 Bi n đi ph ươ ng trình v d ng x+2 = 3 −+ x 1 Gi i ph ươ ng trình, tìm đưc x=2 , tho mãn điu ki n 0.5 = − Tìm đưc y 1 log2 3 Kt lu n 0.5 e 1+ ln x 2. I= dx ∫ − 0.5 (2 đim) 1 7 2x ln x Trang 2/5
  4. 1e (7− 2x ln x )' 1e d (7− 2ln) x x = − dx = − ∫ − ∫ − 0.5 21 7 2x ln x 21 7 2x ln x 1 e = −ln 7 − 2x ln x 0.5 2 1 1 172− e =−ln 7 − 2e ln e + ln 7 − 2ln1 =− ln 2 2 27 0.5 Kt lu n Câu 4 (6 đim) Lp đưc ph ươ ng trình đưng th ng AC là x+y+1=0 0.5 Ch ra A là giao đim c a AC và đưng phân giác đi qua đnh A c a tam giác ABC , tìm đưc to đ A(-3; 2). 0.5 11 18 Tìm đưc to đ đim C '(− ; − ) đi x ng v i đim C qua đưng 5 5 0.5 1. phân giác đi qua đnh A c a tam giác ABC . đ (2 i m)  4 x= −3 + t  5 Lp ph ươ ng trình đưng th ng AC’ là  28 y=2 − t  5 0.5 Ch ra đnh B là giao đim c a đưng th ng AC’ và đưng cao đi qua 17 33 đnh B c a tam giác ABC , tìm đưc to đ đnh B(− ; − ) . 8 8 Gi G là tr ng tâm c a t di n ABCD và tìm đưc to đ G(1; 0; 2). 0.5 Lý lu n ch ra đưc đ MA+++ MB MC MD =4 MG = 4 MG đt giá tr 0.5 nh nh t khi M là hình chi u c a G lên m t ph ng (α ) . Lp đưc ph ương trình đưng (∆ ) th ng đi qua G và vuơng gĩc v i 2. x=1 + t (2 đim)  0.5 mt ph ng (α ) là y= − 2 t .  z=2 − t Ch ra M là giao đim c a (∆ ) và (α ) , tìm đưc to đ đim M(2; -2; 1). 0.5 Tìm đưc giá tr nh nh t c a bi u th c đã cho là 4 6 khi M(2; -2; 1). A 3. (2 đim) D H B E M K C Khơng gi m tính t ng quát, ta gi s AB>a , khi đĩ a≥ max{ AC , AD , BC , BD , CD } 0.5 Trang 3/5
  5. + V các đưng cao BK, AE, AH ln l ưt ca các tam giác BCD, ACD và ca t di n ABCD. 1 + Ta cĩ V= AHBKCD. . 6 + Đt CD=x và g i M là trung đim c a CD , trong tam giác BCD cĩ 2 2 22 2BC+ 2 BD − CD 4 a − x BM 2 = ≤ 4 4 0.5 1 ⇒ BK≤ BM ≤4 a2 − x 2 (1) 2 1 Tươ ng t , trong tam giác ACD ta c ũng cĩ: AE≤4 a2 − x 2 2 1 mà AH≤ AE⇒ AH≤4 a2 − x 2 (2) 0.5 2 1 T (1) và (2) ta cĩ V≤()4 axx2 − 2 (3) 24 Xét hàm s y=4 ax2 − x 3 trên (0; a] . Cĩ y'= 4 a2 − 3 x 2 . D dàng th y y '> 0 v i m i x∈(0; a ]. 0.5 Suy ra max y= 3 a 3 x y ra khi x=a. x∈(0; a ] a3 Vy V ≤ . 8 Câu 5 (1 đim) + Ch ng minh đưc b t đng th c x+ y ≤2( xy + ), (4) vi x, y là các s th c khơng âm. + Theo (4), ta cĩ: +   ab=+≥ ab1 ab +   (1 đim) c cc2  cc  0.25 Tươ ng t ta cĩ +   +   bc≥1 bc + ca≥1 ca +   ,   a2  a a  b2  b b  Do đĩ, ta cĩ + + + ab+ bc + ca c a b 1ab  1 bc  1 ca  ≥ ++  ++  +  0.25 cc  aa  bb  2  2  2  1  11  11  11   = a ++  b ++  c +   2  bc  ca  ab   1 1 4 + Ch ng minh đưc b t đng th c + ≥ , (5) v i x, y là các s x y x+ y thc d ươ ng. 0.25 + Theo (5), ta cĩ Trang 4/5
  6. 1  11  11  11    a++  b ++  c +       2  bc ca ab  14   4  4   ≥ a  + b  + c   2  bc+  ca +  ab +   (4), ta cĩ 14   4  4    a + b  + c   +  +  +  2  bc ca ab  14   4  4   ≥ a  + b  + c   0.25 +  +  +  2  2()bc  2() ca  2() ab     =a + b + c 2  ( Điu ph i chng minh). bc+ ca + ab +  Đim tồn bài (20 đim) Lưu ý khi ch m bài: - Trên đây là s ơ l ưc các b ưc gi i, l i gi i c a thí sinh yêu c u ph i ch t ch , hp logic. - Nu thí sinh trình bày theo cách khác mà đúng thì cho đim t ươ ng ng theo thang đim c a ph n đĩ. Trang 5/5
  7. S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O KỲ THI CH N H C SINH GI I C P T NH BC GIANG NĂM H C: 2011-2012 Đ THI MƠN: TỐN L P 12 Đ D B Ngày thi: 01/4/2012 Th i gian làm bài: 180 phút ơng k th i gian giao đ) Câu 1: (5,0 đim) Cho hàm s yx=−+42( m + 2) x 2 − 2 m − 3 (1) ( m là tham s ). 1. Tìm m đ đ th hàm s (1) ct tr c hồnh t i 4 đim cĩ hồnh đ l p thành c p s c ng. 2. Tìm m đ hàm s (1) cĩ c c đi, khơng cĩ c c ti u. Câu 2: (4,0 đim) 1. Tìm x đ ph ươ ng trình sau luơn đúng v i m i s th c a: log(axax2 2 −++−= 5 3 5 x )log (5 −− x 1) 2 2+a2 2. Gi i và bi n lu n h ph ươ ng trình sau:  xy+− xy − = m  22 22 2  xy+ − xy − = m Câu 3: (4,0 đim) 1. Gi i b t ph ươ ng trình: xx−+−≥1 3 2( x − 3)2 + 2 x − 2 ππ π 2. Cho f(x) liên t c trên [0;1 ]. Ch ng minh r ng: ∫xf(sinx)dx= ∫ f(sinx)dx . 02 0 Câu 4: (6,0 đim) 1. Trong m t ph ng Oxy, cho parabol (P) y2 = 64x và (d) 4x− 3y + 46 = 0 . Vi t ph ươ ng trình đưng trịn cĩ tâm thu c đưng th ng (d), ti p xúc v i (P) và cĩ bán kính nh nh t. 2. Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng, c nh bên SA vuơng gĩc v i m t đáy, SA=AB=a. a. Tính di n tích tam giác SBD theo a . b. Ch ng minh r ng: BD vuơng gĩc v i SC. c. Tính gĩc gi a SC và (SBD). + + ≥ Câu 5: (1,0 đim) Cho ba s th c d ươ ng a, b , c và tho mãn a b c 1 . Chng minh rng: a5 b 5 c 5 + + ≥ 1 b4 c 4 a 4 HT Cán b coi thi khơng gi i thích gì thêm H và tên thí sinh: S báo danh: Giám th 1 (H tên và ch ký) Giám th 2 (H tên và ch ký)
  8. S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O KỲ THI CH N H C SINH GI I C P T NH BC GIANG NĂM H C: 2011-2012 Đ THI MƠN: TỐN L P 12 - CHUYÊN Đ CHÍNH TH C Ngày thi: 01/4/2012 Th i gian làm bài: 180 phút (khơng k th i gian giao đ) 1 Câu 1: (5,0 đim) Cho hàm s yxmx=3 ++( 1) 2 + (4 mx + 3) +− 3 m (1) ( m là tham s ). 3 1. Tìm m đ hàm s (1) đng bi n trên [−1;2 ]. 2. Tìm m đ hàm s (1) đt c c tr t i các đim x, x sao cho x+2 x = 1 − m . 1 2 1 2 Câu 2: (4,0 đim) π  1+ tan 2 x 1. Gi i ph ươ ng trình: 14sin.cos+x x +  = . 6  1− tan 2 x 2. Tìm tham s m đ ph ươ ng trình sau cĩ nghi m th c: (1)xx+ ++ 3 219( x +=− m 1)5( −+− xx 4) . Câu 3: (4,0 đim)  3− x ()x +2 − 1 .2y = 2. 1. Gi i h ph ươ ng trình:  x +1 (x , y ∈ℝ ). y+log ( x + 1) = 1  2 2. Cho hàm s f(x) tho mãn: fxy()(+ fxy −+ )( fxy ++=++∀ 1) xy 21,, x xy ∈ ℝ 2012 f( x ) 1  2011  và P( x )= . Tính A= P  + P  . 2012f( x ) + 2012 2012  2012  Câu 4: (6,0 đim) − 1. Trong mt ph ng to đ Ox y , cho tam giác ABC cĩ đnh C(1; 2). Tìm to đ c a các đnh A và B, bi t đưng cao đi qua đnh B, đưng phân giác trong đi qua đnh A c a tam giác ABC ln l ưt cĩ ph ươ ng trình là x− y −2 = 0 và 2x+ y + 4 = 0 . 2. Trong khơng gian v i h to đ Oxyz , cho t di n ABCD cĩ to đ các đnh l n − − α − −−= lưt là A( 1;2;0), B(2;1;1), C(0; 3;4), D (3;0;3) và cho m t ph ng ( ) :x 2 y z 50 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c MA+ MB + MC + MD , bi t M là m t đim thay đi trong mt ph ng (α ) . 3. Cho t di n ABCD cĩ m t c nh l n h ơn a và cĩ các c nh cịn l i đu khơng l n a3 hơn a. G i V là th tích c a kh i t di n ABCD . Chng minh r ng: V ≤ . 8 + ++ = x1 x 2 x 2012 3 Câu 5: (1,0 đim) Cho x≥0; i = 1,2, ,2012 và tho mãn h  i 2+ 2 ++ 2 = x1 x 2 x 2012 1. ≥ = Ch ng minh r ng t n t i 3 s trong các s xi 0; i 1,2, ,2012 mà t ng c a chúng khơng nh h ơn 1. HT Cán b coi thi khơng gi i thích gì thêm H và tên thí sinh: S báo danh: Giám th 1 (H tên và ch ký) Giám th 2 (H tên và ch ký)
  9. S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O HƯNG D N CH M BC GIANG BÀI THI CH N H C SINH GI I C P T NH NĂM H C 2011-2012 HDC Đ CHÍNH TH C NGÀY THI 01/4/2012 MƠN THI: TỐN L P 12 - CHUYÊN n h ưng d n ch m cĩ 05 trang Câu 1 Hưng d n gi i (5đim) TX Đ: D = ℝ yx'=+2 2( m + 1) xm + 4 + 3 0.5 Đ y đng bi n trên [−1;2 ] thì y'≥ 0, ∀ x ∈−[ 1;2 ] Vi ∀x ∈[ − 1;2 ], ta cĩ x +2 > 0 , nên ta cĩ th đư a điu ki n trên v 3 0.5 dng 2m≥−− x , ∀∈− x [] 1;2 1. x + 2 (2.5 đim) 3 ⇔≥2m max gxgx ( ), ( ) =−− x x∈[] − 1;2 x + 2 0.5 Tìm đưc maxg ( x )=− 2 2 3 khi x =−+ 2 3 x∈[] − 1;2 0.5 Kh ng đnh đưc m ≥1 − 3 KL 0.5 yx'=+2 2( m + 1) xm + 4 + 3 Đ đ y cĩ c c tr thì y’ ph i cĩ hai nghi m phân bi t và y’ i d u khi x 0.5 đi qua hai nghi m đĩ. Suy ra ∆' > 0 Tìm đưc điu ki n đ hàm s cĩ c c tr là 2. m ∈−∞−( ;1 3) ∪ (1 + 3; +∞ ) 0.5 (2.5 đim) Vi m ∈−∞−( ;1 3) ∪ (1 + 3; +∞ ) , áp d ng đnh lý Viét và k t h p v i + = − =− − =+ 0.5 x12 x 2 1 m . Tìm đưc x13 m 5, xm 2 3. Tìm đưc m = −3 ± 3 0.5 Ki m tra điu ki n và k t lu n m = −3 ± 3 0.5 Câu 2 (4đim) 1. Điu ki n đ ph ươ ng trình cĩ ngh ĩa (2đim) cos x≠ 0 cos x≠ 0 0.5 hay  (*) 1− tan2 x ≠ 0 cos 2x≠ 0 Bi n đi ph ươ ng trình đã cho tr thành 1 1+ 2sinx() 3cos x − sin x = cos 2 x 1 0.5 ⇒1− 2sin2 x + 3sin2 x = cos 2 x 1 ⇒ cos2x+ 3sin2 x = cos 2 x Vi điu ki n (*) ta cĩ 0.5 Trang 1/5
  10. 1 ⇒1+ 3 tan 2 x = cos2 2 x ⇒1+ 3tan2x = 1 + tan2 2 x tan 2x = 0 ⇒  tan 2x = 3  = π sinx= 0 x k Vì cosx ≠ 0 nên ta cĩ  ⇔ π π (k ∈ ℤ ) (tho tan 2x = 3 x= + k  6 2 0.5 mãn) Kt lu n + ++ +=−( −+− ) (1)xx 3 219( x m 1)5 xx 4 . Điu ki n đ ph ươ ng trình cĩ ngh ĩa là: 0.5 ∈[ − ] x 3;4 (2*) Bi n đi ph ươ ng trình đã cho tr thành + ++ +  ( −−−=−) 0.5 (xx 1) 3 2 x 19  5 x 4 xm ( 1) Đt =+ ++ + =−−− = 2. fxxx()( 1) 3 2 x 19,() gx 5 x 4 x , hx() fxgx ().() (2đim) Ch ng minh đưc f(x), g(x), f’(x), g’(x) d ươ ng v i m i x tho mãn 0.5 (2*) Suy ra h’(x)= f(x).g’(x)+f’(x), g(x) d ươ ng v i m i x tho mãn (2*) đ [− ] Suy ra h(x) ng bi n trên 3;4 Do đĩ đ ph ươ ng trình đã cho cĩ nghi m thì − ≤ −≤ h(3) m 1 h (4) 0.5 hay + − ≤≤+ + 1226 91m 13357 Câu 3 (4đim)  3− x ()x +212 −y = 2 (2)  x +1  y+log ( x + 1) = 1 (3)  2 0.5 Điu ki n cĩ ngh ĩa c a h ph ươ ng trình là −1 <x ≤ 3  1. y ∈ℝ đ = − + (2 i m) T (3) ta cĩ y1 log2 ( x 1) , th vào (2) đưc − + 3− x 0.5 ()x +212 −1 log2 (x 1) = 2 x +1 Bi n đi ph ươ ng trình v d ng x+2 = 3 −+ x 1 Gi i ph ươ ng trình, tìm đưc x=2 , tho mãn điu ki n 0.5 = − Tìm đưc y 1 log2 3 Kt lu n 0.5 Cho y= -1 ta cĩ f(-x)+f(x+1)+f(x)=x+1 2. Cho y=0 ta cĩ f(0)+f(x+1)+f(x)=2x+1 (2đim) 0.5 Suy ra f(-x)-f(0)=-x Trang 2/5
  11. Đt t=-x. Khi đĩ: f(t)-f(0)=t , suy ra f(t)-t=f(0)-0 (2) Đt g(t)=f(t)-t. T (2) suy ra g(t)=g(0 ), v i m i s th c t T f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1)=xy+2x+1 ta cĩ ( fxyxy()−) +( fxy ( −−− )( xy )) +( fxy ( ++−++= 1)( xy 1)0) ra g(xy)+g(x-y)+g(x+y+1)=0 0.5 Suy ra 3g(0)=0 hay g(0)=0 ⇒ gt()0= ∀ t ∈ ℝ⇒ ftt ()− = 0, ∀∈ t ℝ⇒ fxxx (),= ∀ ∈ ℝ Th l i: f(x)=x , v i m i s th c x tho mãn đ bài. Vy f(x)=x , v i m i s th c x x 0.5 2012 Nên P( x ) = 2012x + 2012 Ta cĩ x+y=1 thì 2012x 2012 y Px()()+ Py = + 2012x+ 2012 2012 y + 2012 4024+ 2012(2012x + 2012 y ) 0.5 = = 1 4024+ 2012(2012x + 2012 y ) 1 2011 ⇒ A= P( )( + P )1 = 2012 2012 Câu 4 (6đim) Lp đưc ph ươ ng trình đưng th ng AC là x+y+1=0 0.5 Ch ra A là giao đim c a AC và đưng phân giác đi qua đnh A c a tam giác AB C, tìm đưc to đ A(-3; 2). 0.5 11 18 Tìm đưc to đ đim C '(− ; − ) đi x ng v i đim C qua đưng 5 5 0.5 1. phân giác đi qua đnh A c a tam giác ABC . (2đim)  4 x= −3 + t  5 Lp ph ươ ng trình đưng th ng AC’ là  28 y=2 − t  5 0.5 Ch ra đnh B là giao đim c a đưng th ng AC’ và đưng cao đi qua 17 33 đnh B c a tam giác ABC , tìm đưc to đ đnh B(− ; − ) . 8 8 Gi G là tr ng tâm c a t di n ABCD và tìm đưc to đ 0.5 G(1; 0; 2). Lý lu n ch ra đưc đ MA+++ MB MC MD =4 MG = 4 MG đt giá tr 0.5 nh nh t khi M là hình chi u c a G lên m t ph ng (α ) . 2. Lp đưc ph ươ ng trình đưng (∆ ) th ng đi qua G và vuơng gĩc v i (2đim) x=1 + t  0.5 mt ph ng (α ) là y= − 2 t .  z=2 − t Ch ra M là giao đim c a hai đưng (∆ ) và và m t ph ng (α ) , tìm 0.5 đưc to đ đim M(2; -2; 1). Trang 3/5
  12. Tìm đưc giá tr nh nh t c a bi u th c đã cho 4 6 khi M(2; -2; 1). A D H B E M K C Khơng gi m tính t ng quát, ta gi s AB>a , khi đĩ a≥ max{ AC , AD , BC , BD , CD } + V các đưng cao BK, AE, AH ln l ưt c a các tam giác BCD , ACD 0.5 và c a t di n ABCD . 1 + Ta cĩ V= AHBKCD. . 6 3. + Đt CD=x và g i M là trung đim c a CD , trong tam giác BCD cĩ (2đim) 2BC2+ 2 BD 2 − CD 2 4 a 22 − x BM 2 = ≤ 4 4 0.5 1 ⇒ BK≤ BM ≤4 a2 − x 2 (1) 2 1 Tươ ng t , trong tam giác ACD ta c ũng cĩ: AE≤4 a2 − x 2 2 1 mà AH≤ AE⇒ AH≤4 a2 − x 2 (2) 0.5 2 1 T (1) và (2) ta cĩ V≤()4 axx2 − 2 (3) 24 Xét hàm s y=4 ax2 − x 3 trên (0; a] Cĩ y'= 4 a2 − 3 x 2 D dàng th y y '> 0 v i m i x∈(0; a ] 0.5 Suy ra max y= 3 a 3 x y ra khi x=a. x∈(0; a ] a3 Vy V ≤ . 8 Câu 5 (1đim) + ++ = x1 x 2 x 2012 3 (3)  2+ 2 ++ 2 = x1 x 2 x 2012 1(4) (1đim) Khơng gi m tính t ng quát ta cĩ th gi s 0.25 ≥ ≥ ≥ ≥ xxx1 2 3 x 2012 ≤ ∀ = T gi thi t (4) suy ra xi 1 i 1,2, ,2012 Rõ ràng t đĩ ta cĩ ++≥++−− −−− − xxxxxxxx12312313( )(1 x 1 ) ( xx 23 )(1 x 2 ) 0.25 ++≥2 + 2 + −− hay xxxxx1231 2 x 3(3 xx 12 ) (5) Trang 4/5
  13. T (3), ta cĩ −− = + ++ 3xxxx1 2 3 4 x 2012 Kt h p v i (5), ta cĩ ++≥+2 2 + +++ 0.25 xxxxx xxx( x 2012 ) 1231 2 334 ≥xxxx2222 + + + ++ x 2 () 6 2 3 4 2012 ≥ { } (vì x3 max xx 45 , , , x 2012 ). + + ≥ T (4) và (6) suy ra x1 x 2 x 3 1. (Đpcm) 0.25 Đim tồn bài (20 đim) Lưu ý khi ch m bài: - Trên đây là s ơ l ưc các b ưc gi i, l i gi i c a thí sinh yêu c u ph i ch t ch , hp logic. - Nu thí sinh trình bày theo cách khác mà đúng thì cho đim t ươ ng ng theo thang đim c a ph n đĩ. Trang 5/5
  14. S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O KỲ THI CH N H C SINH GI I C P T NH BC GIANG NĂM H C: 2011-2012 Đ THI MƠN: TỐN L P 12 - CHUYÊN Đ D B Ngày thi: 01/4/2012 Th i gian làm bài: 180 phút ơng k th i gian giao đ) Câu 1: (5,0 đim) Cho hàm s yx=−+42( m + 2) x 2 − 2 m − 3 (1) ( m là tham s ). 1. Tìm m đ đ th hàm s (1) ct tr c hồnh t i 4 đim cĩ hồnh đ l p thành c p s c ng. 2. Tìm m đ hàm s (1) cĩ c c đi, khơng cĩ c c ti u. Câu 2: (4,0 đim) 1. Tìm x đ ph ươ ng trình sau luơn đúng v i m i a: log(axax2 2 −++−= 5 3 5 x )log (5 −− x 1) 2 2+a2 2. Gi i và bi n lu n h ph ươ ng trình sau:  xy+− xy − = m   xy22+ − xy 22 − = m 2 Câu 3: (4,0 đim) 1. Gi i b t ph ươ ng trình: xx−+−≥1 3 2( x − 3)2 + 2 x − 2 . 2. Cho hàm s f( x ) liên t c trên ℝ tho mãn: f (1)= 2 và fxfy()()= fx ( + y ) v i ∀x, y ∈ ℝ . Hãy xác đnh hàm s f( x ) . Câu 4: (6,0 đim) 1. Trong m t ph ng Oxy, cho parabol (P) y2 = 64x và (d) 4x− 3y + 46 = 0 . Vi t ph ươ ng trình đưng trịn cĩ tâm thu c đưng th ng ( d) , ti p xúc v i (P) và cĩ bán kính nh nh t. 2. Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng, c nh bên SA vuơng gĩc v i m t đáy, SA=AB=a. a. Tính di n tích tam giác SBD theo a. b. Ch ng minh r ng: BD vuơng gĩc v i SC . c. Tính gĩc gi a SC và (SBD). p 1 2 − − Câu 5: (1,0 đim) Cho s th c d ươ ng p nh h ơn 1. Ch ng minh r ng: <p1p + p 1 p . e . HT Cán b coi thi khơng gi i thích gì thêm H và tên thí sinh: S báo danh: Giám th 1 (H tên và ch ký) Giám th 2 (H tên và ch ký)