Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Bắc Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Bắc Giang (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 29/3/2014 (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (5,0 điểm) 42 1) Cho ()Cm là đồ thị của hàm số y x (2 m 1) x 2 m (m là tham số). Tìm m để ()Cm tiếp xúc với trục Ox tại hai điểm phân biệt. 2x 2) Cho hàm số y có đồ thị (C). Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc đồ thị (C) sao cho tam x 1 giác OMN vuông cân tại O, với O là gốc tọa độ. Câu 2 ( 4,0 điểm) 1 1) Giải phương trình sin 4x sin3 x sin x ( x ). 62 2 2) Giải phương trình 4 |x 2 | logx 2 4 x 62 x 4 x 3 log2| x 2|2 0 ( x ). 3 1 3 Câu 3 ( 4,0 điểm) x y x y 2 1) Giải hệ phương trình ( xy, ). 2 2 2 2 x y 1 x y 3. /4 dx 2) Tính tích phân I . 0 cosxx 2 sin 2 Câu 4 ( 6,0 điểm) 1) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt là hình thoi cạnh a, BAD BAA' A ' AD 600 . a) Tính thể tích hình hộp đã cho theo a. b) Tính cosin của góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng đáy của hình hộp. 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 19 0 và mặt phẳng (P): x 2 y 2 z 4 0 . a) Chứng minh (P) cắt (S) theo một đường tròn. Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. b) Lập phương trình đường thẳng () đi qua tâm của (S), vuông góc với đường thẳng xt 1 (d ) : y 1 2 t và tạo với mặt phẳng (P) một góc 30o . z 3 12 Câu 5 (1,0 điểm). Cho bốn số thực abc,, và d thuộc đoạn ;. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 23 22 a c c d T 16 25 . a d a b HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM BẮC GIANG BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGÀY THI 29/3/2014 HDC ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu 1 (5đ) Đồ thị ()Cm tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: x42 (2 m 1) x 2 m 0 (1) 0.5 3 4x 2(2 m 1) x 0 (2) 21m * Phương trình (2) tương đương x 0 hoặc x2 0.5 2 1.1. m 0 * Với thay vào hệ phương trình ta được 0.5 (3.0 x 0 điểm) Vậy với m 0 thì đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại một điểm (không thỏa mãn). 0.5 1 * Với thay vào (1) ta tìm được m . 0.5 2 Thay vào hệ phương trình ta tìm được x 1. 0.5 KL: với thì đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt. 22ab Lấy hai điểm phân biệt M a; , N b ; ,( a 1; b 1; a b ) thuộc đồ thị (C). ab11 0.5 OM ON Tam giác OMN vuông cân tại O khi và chỉ khi OM.0 ON 22 2244ab ab 22 (3) ab 11 4ab 0.5 ab 0 (4) ab 11 1.2 Từ (4) suy ra ab 1 1 4 hoặc ab 0 (2.0 điểm) Nếu ab=0 suy ra hoặc M hoặc N trùng với O (không thỏa mãn). 0.5 Biến đổi phương trình (3) thành 5ab 2ab=0 (ab 1)( 1) 4 Ta được hệ 5ab 2ab=0 a 5 5 a 0.5 Giải ra ta được 5 hoặc 3 b= 3 b=-5 55 55 Vậy ta tìm được cặp điểm MN;5 ; 5; hoặc MN5; ; ;5 11332233
3. Câu 2 (4đ) PT đã cho tương đương với sin 4x sin (sin3 x sin x ) 0 0.5 66 -2cos 2x sin 2 x 2sin 2 x cos x 0 0.5 6 2sin 2x cos x cos 2 x 0 0.5 2.1 6 (2.0 k điểm) x 2 k2 xk . 18 3 0.5 xk 2 6 Kết luận nghiệm Phương trình đã cho tương đương với 2 2.4 |x 2| log (x 2 4 x 6) 2 x 4 x 3 log (2 | x 2 | 2) 33 0.5 1 2|x 2| 2 x2 4 x 3 2 log33 (x 4 x 6) 2 log (2 | x 2 | 2) x2 4 x 3 2 2| x 2| 1 2 .log33 x 4 x 6 2 .log2| x 2|2 0.5 x2 4 x 6 2 2| x 1| 2 2 .log33 x 4 x 6 2 .log(2| x 2|2  . 2.2 Xét hàm số f( t ) 2t .log t trên đoạn [2; ) ta có (2.0 3 1 điểm) f'( t ) 2tt ln 2.log t 2 . 0,  t 2 . 0.5 3 t ln3 Suy ra ft() đồng biến trên . Khi đó ta có (2') f ( x22 4 x 6) f (2| x 2|2) x 4 x 62| x 2|2 0.5 (xx 2)2 2 | 2 | 0. Giải phương trình trên được tập nghiệm của phương trình đã cho là {0;2;4}. Câu 3 (4 đ) uv2 xy 0 u x y ĐK Đặt (uv,0). Suy ra hệ uv222 0.5 xy0 v x y uv 3 2 u v4 2 uv (1) 3.1 u v2 22 uv 0.5 (2.0 3uv (2) điểm) 2 4 2uv2 2 uv 2 Thế (1) vào (2) ta được 30uv uv 0.5 2 *Với uv04 (loại) *Với vu04 suy ra xy2 (thỏa mãn) 0.5 KL.
4. /4 dx I 0 cosxx 2 sin 2 / 4dx1 / 4 d (tan x ) 0.5 2 2 2 00cosx 2 tan x 2 tan x 2 2 13 tan x 24 13 3 Đặt tanx + tan u , u ; ; dtan x 1 tan2 u du 2 2 2 2 2 3.2 0.5 (2.0 Đổi cận: x0; u x u điểm) 6 4 3 2 13 1 tan u du 1 3 1 3 1 Khi đó I tan2 u 1 du du 0.5 2 2 tanu 1 2 2 cosu 6 6 6 13 1 1 1 1 sinu 3 2 7 4 3 I d(sin u ) ln ln 0.5 2 2 1 sinu 1 sin u 2 2 1 sin u 4 3 6 6 Câu 4 (6 đ) A H O D B C A' B' D' a) Chứng minh được tam giác A'BD đều cạnh bằng a. 4.1 0.5 Suy ra tứ diện A'ABD là tứ diện đều cạnh a. (3.0 a 3 2 điểm) Tính được thể tích V 0.5 A'D AB 12 Chỉ ra được thể tích của khối hộp bằng sáu lần VA'D AB a 3 2 0.5 Do vậy thể tích của khối hộp bằng 2 b) Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD. Theo chứng minh trên ta có tứ diện A'ABD là tứ diện đều suy ra A'H vuông góc với mặt phẳng (ABD) 0.5 Góc giữa A'C và mặt phẳng (ABCD) là góc A'CA a 6 2a Xét tam giác A'HC có A'H ; CH ; A'Ca 2 0.5 33 6 Tính được cosA'CA 0.5 3
5. Tâm I(1;1;-2); bán kính R = 5. 0.5 4.2a d(IPR ;( )) 3 nên (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) bán kính r = 4. (1 .0 Tâm H của (C) là hình chiếu của I lên (P). (P) có VTPT n (1; 2;2). điểm) 0.5 Viết phương trình đường thẳng IH từ đó tìm được H(2;-1;0) b) Gọi u( a ; b ; c ) 0 là một VTCP của ; u (1; 2;0) là một VTCP của d. 1 0.5 Ta có uu1 nên a – 2b = 0 (1) 1 Góc ( ,(P )) 30o nên ( ,IH ) 60o hay |c os( n , u ) | 0.5 2 |a 2 b 2 c | 1 . 4.2b a2 b 2 c 2. 1 2 ( 2) 2 2 2 2 (2.0 0.5 điểm) 7cb 3 5 (*) Từ (1) được 16c2 9(5 b 2 c 2 ) 7cb -3 5 . ( ) x1 y 1 z 2 Từ (*) chọn a14; b 7; c 3 35 . Viết 1 : . 14 7 3 35 0.5 x1 y 1 z 2 Từ ( ) chọn a14; b 7; c 3 35 . Viết 1 : . 14 7 3 35 Câu 5 (1 đ) Ta có 22 2 ad d ac 7 cd 1 0.25 33 1 ; 3 3d 2 11 a d a d a d 3 1 2d ab 3 22 2 49 3d 2 1 Vậy T 16 25 f ( d ). 0.25 9 2d 1 2 99 1.0 3 điểm 150 3d 2 2d 1 3136 12 fd'( ) 0 , d ; 3 0.25 2d 1 23 2 Suy ra fd() đồng biến, từ đó f( d ) f ( ) 544 . 3 544 12 0.25 KL max T bằng đạt được khi a;b c d 9 23 Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng. - Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng.