Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012 -2013 Bài 1. √ √ a) Giải phương trình: 3(2 + x − 2) = 2x + x + 6  x3 + xy2 + 2y3 = 0 b) Giải hệ phương trình: √ .  3 x4 − x2 + 4 = 4y2 + 3y Bài 2. 2x a) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Tìm hai điểm A,B trên (C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại x + 2 A và B song song với nhau đồng thời khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất. b) Tìm tất cả các giá trị tham số m để pt sau có 3 nghiệm phân biệt: p p x + 4 − x2 = m + x. 4 − x2 . Bài 3. Xác định các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: A − B A −C 3 3A cos + cos = + sin 2 2 2 2 . Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có các mặt phẳng (SBC)và (ABC) vuông góc với nhau, các cạnh AB = AC = a3 SA = SB = a. Tìm độ dài cạnh SC sao cho khối S.ABC có thể tích V = . 8 Bài 5. Cho thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 3abc Tìm giá trị lớn nhất của: r a r b r c P = + + 8a2 + 1 8b2 + 1 8c2 + 1 ———————————————–Hết—————————————————- www.k2pi.net
2. LỜI GIẢI THAM KHẢO CỦA DIỄN ĐÀN K2PI.NET Bài 1.a ĐK: x ≥ 2 Phương trình đã cho tương đương với: √ √ 8x − 24 6 + 3 x − 2 = 2x + x + 6 ⇔ √ √ − 2x + 6 = 0 3 x − 2 + x + 6 8(x − 3) ⇔ √ √ − 2(x − 3) = 0 3 x − 2 + x + 6 8 ⇔ (x − 3)( √ √ − 2) = 0 3 x − 2 + x + 6 8 ⇔ x = 3 hoặc √ √ = 2 3 x − 2 + x + 6 8 √ √ +) Với √ √ = 2 ⇔ 3 x − 2 + x + 6 = 4 3 x − 2 + x + 6 √ 11 − 3 5 Giải phương trình trên ta được kết quả là:x = 2 √ 11 − 3 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 3 hoặc x = 2 Bài 1.b Ta có: (1) ⇔ (x + y)(x2 − xy + 2y2) = 0 ⇔ x = −y √ Thay vào (2), ta được: 3 x4 − x2 + 4 = 4x2 − 3x x2(x2 − x − 1) ⇔ √ √ = 4(x2 − x − 1) x2 + x x4 − x2 + ( 3 x4 − x2)2 x2 ⇔ (x2 − x − 1)( √ √ − 4) = 0 x2 + 4x x4 − x2 + ( 3 x4 − x2)2 x2 ⇔ x2 − x − 1 = 0 hoặc √ √ − 4 = 0 2 4 2 3 4 2 2 x + 4x x −√x + ( x − x ) √  1 + 5  1 − 5 x = x = +) Với x2 − x − 1 = 0 ⇒ 2 √ ; √ 2 −1 − 5 5 − 1 y = y = 2 2  2 √ 2x = 0 x 4 2 2 2 +) Với √ √3 −4 = 0 ⇔ (x+2 x − x ) +2x = 0 ⇔ √ x2 + 4x x4 − x2 + ( x4 − x2)2 x + 2 3 x4 − x2 = 0 Khi x = 0 ⇒ y = 0 Ta thấy (x;y) = (0;0) không thoả mãn hệ phương√ trình . √  1 + 5  1 − 5 x = x = Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: 2 √ ; √ 2 −1 − 5 5 − 1 y = y = 2 2 Bài 2.a  2a − 4  2b − 4 Ta gọi các điểm A a − 2; , B b − 2; ∈ (C) với a 6= b;a,b 6= 0 Ta có hệ số góc của a b 4 4 tiếp tuyến tại A và B lần lượt là k = f 0(x ) = , k = f 0(x ) = 1 A a2 2 B b2 Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B là: k1 = k2 " a = b (L) ⇔ a = −b Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận thì I(−2;2). www.k2pi.net2a − 4 2b − 4 Ta có x + y = −4 = 2x , y + y = + = 4 = 2y A B I A B a b I www.k2pi.net 2
3. Suy ra I là trung điểm của AB. 4 2a − 4 Tiếp tuyến tại điểm A là: y = (x − a + 2) + ⇔ ∆ : 4x − a2y + 2a2 − 8a + 8 = 0 a2 a Ta có khoảng cách giữa hai tiếp tuyến cũng là khoảng cách từ điểm B đến ∆ bằng hai lần khoảng cách |8a| từ điểm I đến ∆ Ta có dI/∆ = √ 16 + a4 √ √ √ 4 2 4 Theo bất đẳng thức AM − GM ta có: a + 16 ≥ 8a ⇒ 16 + a ≥ 2 2|a| ⇒ dI/∆ ≤ 2 2 √ " 4 a = 2 Suy ra dmax = 2 2. Dấu bằng xảy ra khi a = 16 ⇔ a = −2 +) Với a = 2 ⇒ b = −2 , khi đó A(0;0);B(−4;−4) +) Với a = −2 ⇒ b = 2 khi đó A(−4;−4);B(0;0) Bài 2.b Điều kiện : −2 ≤ x ≤ 2 √ √ 2 2 Đặt : f (x) = x + 4 − x − x. 4 − x , x ∈ [−2;2√] , ta có : x √ x2 4 − x2 + 2x2 − x − 4 f 0 (x) = 1 − √ − 4 − x2 + √ = √ ; √4 − x2 4 − x2 4 − x2 f 0 (x) = 0 ⇔ 4 − x2 + 2x2 − x − 4 = 0  √ ( ( x = 4 + x − 2x2 ≥ 0 4 + x − 2x2 ≥ 0 √2 ⇔ ⇔
   
   ⇔  1 − 7 2x4 − 2x3 − 7x2 + 4x + 6 = 0 x2 − 2 2x2 − 2x − 3 = 0 x = 2 Hình 1: Bài 2.a √ Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy, yêu cầu bài toán tương đương với : 2 2 − 2 < m ≤ 2 A − B C − A 3A π 3A π Bài 3. Đặt : = x; = y ⇒ x − y = − ⇒ = + x − y 2 2 2 2 2 2 Ta có : 3 π  cosx + cosy = + sin − (y − x) 2 2 3 ⇔ cosx + cosy = + cos(y − x) 2 x − y x + y x − y 1 ⇔ 2cos2 − 2cos cos + = 0 2 2 2 2 x − y x + y x − y 1 x + y 1 x + y ⇔ cos2 − cos cos + cos2 + sin2 = 0 2 2 2 4 2 4 2  x − y 1 x + y2 1 x + y ⇔ cos − cos + sin2 = 0 www.k2pi.net2 2 2 4 2 www.k2pi.net 3
4.  x − y 1 x + y   cos = cos ⇔ 2 2 2 x + y  sin = 0  2  C − B  x + y = 2 Để ý là : 3A − π  x + y =  2   π B = C B = C =   9 Nên yêu cầu bài toán : ⇔ 3A 7π ⇔ 7π  =  A = 4 12 9 Bài 4. Hình 2: Bài 4 1 Gọi M là trung điểm BC suy ra : AM ⊥ (SBC) ⇒ V = AM.S SABCD 3 SBC Đặt AM = x. +) Xét tam giác vuông SAM có : SM2 + AM2 = SA2 ⇒ SM2 = a2 − x2 (1) +) Trong tam giác SBC có : SB2 + SC2 BC2 BC2 SM2 = − , mà : BM2 = AB2 − AM2 = a2 − x2 ⇒ = a2 − x2 2 4 4 a2 + SC2 Nên : SM2 = − (a2 − x2) (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra : a2 + SC2 a2 − x2 = − (a2 − x2) ⇒ SC2 = 4(a2 − x2) − a2 ⇒ SC2 = BC2 − SB2 ⇒ ∆SBC vuông tại S. 2 1 1 √ Suy ra : S = SB.SC = .a. 3a2 − 4x2 SBC 2 2 a3 1 √ a3 3 Theo bài ra : V = ⇒ .a.x 3a2 − 4x2 = ⇒ x2 = a2 SABCD 8 6 8 8 √ √ 6 Vậy SC = 3a2 − 4x2 = .a www.k2pi.net2 www.k2pi.net 4
5. Bài 5. Lời giải 1 : Từ biểu thức P ta có a,b,c ≥ 0 Xét trường hợp abc = 0 ⇒ a = b = c = 0 ⇒ P = 0 Xét trường hợp a,b,c > 0. Từ giả thiết ta có: a2 + b2 + c2 = 3abc ≥ ab + bc + ca Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P2 a b c ≤ + + 3 3a2 + 3a2 + 2a2 + 1 3b2 + 3b2 + 2b2 + 1 3c2 + 3c2 + 2c2 + 1 ! ! ! 2 1 2 1 2 1 ⇔ 3P2 ≤ a + + b + + c + 3a2 2a2 + 1 3b2 2b2 + 1 3c2 2c2 + 1 ! ! ! ! 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 7 1 1 ≤ + + + √ + √ + √ ≤ + + + + + + = + + 3 a b c 3 3 a 3 b 3 c 3 a b c 9 a b c 3 9 a b ! ! 1 2 7 ab + bc + ca 2 + = + ≤ 3 c 3 3 3abc 3 ⇒ P2 ≤ 1 ⇒ P ≤ 1 Vậy MaxP = 1 khi a = b = c = 1. Lời giải 2 : Từ biểu thức P ta có a,b,c ≥ 0 Xét trường hợp abc = 0 ⇒ a = b = c = 0 ⇒ P = 0 Xét trường hợp a,b,c > 0. 1 1 1 Từ giả thiết ta có: a2 + b2 + c2 = 3abc ≥ ab + bc + ca ⇒ + + ≤ 3 (1) a b c Áp dụng BĐT Cauchy − Schwarz và AM − GM ta có: P2 a b c ≤ + + 3 3a2 + 3a2 + 2a2 + 1 3b2 + 3b2 + 2b2 + 1 3c2 + 3c2 + 2c2 + 1 ! ! ! 2 1 2 1 2 1 ⇔ 3P2 ≤ a + + b + + c + 3a2 2a2 + 1 3b2 2b2 + 1 3c2 2c2 + 1 ! ! 2 1 1 1 a 2 1 1 1 a = + + + ∑ ≤ + + + ∑ 3 a b c a2 + 1 + a2 3 a b c 2a + a2 ! ! !! 2 1 1 1 9 2 1 1 1 1 1 = + + + ∑ ≤ + + + ∑ 2 + 3 a b c 9(a + 1 + 1) 3 a b c 9 a ! ! 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 = + + + + + + ≤ 2 + + = 3 (theo (1)) 3 a b c 3 9 a b c 3 3 ⇒ P2 ≤ 1 ⇒ P ≤ 1 Vậy MaxP = 1 khi a = b = c = 1. . Lời giải trên được thực hiện bởi các thành viên : thoheo, kienqb, khanhtoanlihoa, Ẩn Số, manlonely838 www.k2pi.netcủa diễn đàn TOÁN THPT - www.k2pi.net www.k2pi.net 5