Đề thi chọn học sinh giỏi cụm Lạng Giang môn Toán Lớp 12 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cụm Lạng Giang môn Toán Lớp 12 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

1. CỤM L ẠNG GIANG ĐỀ THI CH ỌN H ỌC SINH GI ỎI C ỤM L ẠNG GIANG NĂM H ỌC 2012-2013 ĐỀ CHÍNH TH ỨC Môn thi: Toán-lớp 12. Ngày thi:24 tháng 2 n ăm 2013. Th ời gian làm bài: 180 phút (không k ể th ời gian giao đề). Câu I . (4,0 điểm:1-3) : mx + 2 Cho hà m s ố: y= () C , với m là tham s ố th ực. x −1 m 1) Tìm m để hàm s ố đồng bi ến trên t ừng kho ảng xác định c ủa hàm s ố. ( ) 2) Với m =2. Hã y vi ết ph ươ ng trì nh ti ếp tuy ến v ới đồ thị C2 , biết r ằng khoả ng cá ch t ừ tâm ( ) đối x ứng củ a đồ thị C2 đế n ti ếp tuy ến c ần l ập là lớn nh ất? Câu II . ( 4,0 điểm:2-2)  + = − 1  log2 x log xy 16 4 1. Gi ải h ệ ph ươ ng trình:  logy 2 ( x, y ∈ R)  4 2 2 4x++= 8x xy 16x 4x + y 4 4 sin 2x+cos 2x 4 2. Gi ải ph ươ ng trình: π π = cos 4x . ( x ∈ R) tan( -x).tan( +x) 4 4 Câu III .( 2,0 điểm): ≥ =111 + + ++ 1 Với m ọi n nguyên, n 3, tính t ổng P 333 3 theo n CCC3 4 5 C n Câu IV . ( 2,0 điểm) : π 3 + = 1 2013cos x Tính tích phân: I∫ 2 dx . 0 ()2013+ cos x Câu V . ( 4,0 điểm:2-2) 1. Cho tam giác ABC có B(3;5), C(4;-3), đường phân giác trong c ủa góc A có ph ươ ng trình x+2y-8=0. Vi ết ph ươ ng trình các c ạnh c ủa tam giác ABC 2. Trong không gian v ới h ệ t ọa độ Oxyz , cho hai điểm A(-1; 2; 1), B(5; -1; 7) và m ặt ph ẳng (P): x + y + z - 6 = 0. Tìm t ọa độ điểm M trên m ặt ph ẳng (P) sao cho 2MA 2 + MB 2 đạt giá tr ị nh ỏ nh ất. Câu VI . (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch ữ nh ật, AB = 2a, tam giác SAB cân t ại S và n ằm trong m ặt ph ẳng vuông góc v ới mp(ABCD). G ọi M là trung điểm c ủa SD, mp(ABM) vuông góc v ới mp(SCD) và đường th ẳng AM vuông góc v ới BD. Tính th ể tích kh ối chóp S.BCM và kho ảng cách t ừ M đến (SBC). Câu VII . ( 1,0 điểm) : Cho a, b, c là cá c s ố th ực d ươ ng . Tì m GTLN củ a bi ểu th ức: a(b + c) b(c + a) c(a + b) H= + + (b + c)22 + a (c + a) 22 + b (a + b) 22 + c (Cán b ộ coi thi không gi ải thích gì thêm ) Họ và tên thí sinh: . SBD:
2. HƯỚ NG D ẪN CH ẤM TOÁN 12 Câu Ý Nội Dung Điểm Tập xá c định: D = ℝ \{ 1 } −m − 2 Ta có : y ' = 0.5 ()x −1 2 1 1 Hàm s ố đồng bi ến trên t ừng kho ảng xác định c ủa hàm s ố khi và ch ỉ khi y’>0 v ới mọi x thu ộc D hay –m-2>0 hay m -2 thì hàm s ố đồng bi ến trên t ừng kho ảng xác định c ủa hàm s ố 0.5 2x + 2 Khi m=2, ta có hà m s ố đã cho tr ở thà nh: y= () C x −1 2 Tập xá c định: D = ℝ \{ 1 } 0.5 ( ) Ta có Tâm đối x ứng củ a đồ thị C2 là I(1;2) 2x + 2 Gi ả s ử M(; x0 )()∈ C , với x ≠ 1 0 0x −1 2 0 0 4 4 Ta có : y'= − ⇒ y ' () = − 0.5 ()−2x0 () − 2 x1 x 0 1 ( ) Khi đó ph ươ ng trình ti ếp tuy ến (d) củ a đồ thị C2 t ại M 0 có d ạng : 422x+ 4 2(21) x2 + x − y=−() xx −+0 ⇔ xy +−0 0 = 0 −2 0 −−2 − 2 (x0 1) xx 00 1 ( 1) ( x 0 1) Vậy: 42(x2 + 2 x − 1) 8 +2 − 0 0 0.5 (x− 1)2 ( x − 1) 2 x − 1 8 1 2 d() I,() d =0 0 = 0 = 2 162 16 4  1+()x − 1 + +1 40 2 − 2  ()x−1() x − 1 (x0 1)  0 0 Theo BĐT Cô-Si ta có 216 2 16 8 0.5 ()x−+1 ≥− 21.() x = 8 . Vậy d() I,() d ≤ = 1 . 0()−2 0 () − 2 8 x01 x 0 1 ( ( )) = ()−2 = 16 Do đó Maxd I, d 1 khi x0 1 2 ()x −1 0 0.5 −= = = 4 2 x012  x 0 3  y 0 4 ⇔−=⇔−=⇔()()x1 16 x 1 4 ⇔ ⇒ 0 0 −=−  =−  = x012  x 0 1  y 0 0 0.5 Với M 0 (3;4) , Ta có ti ếp tuyên ( d1 ) là : y=-x+7. − Với M 0 ( 1;0) , Ta có ti ếp tuyên ( d2 ) là : y=-x-1. ( ) = − + Vậy có hai ti ếp tuy ến thỏ a mã n bà i toá n là d1 : y x 7 và ( ) = − − d2 : y x 1 0.5 1 Từ pt(1) tì m đượ c xy = 4 2
3. 0.5 4 Th ế và o pt(2) đượ c 4x4++= 8x 2 4 16x 2 4x + x 1  2 1 ⇔+x  = 8 x + 0.5 x  x 1 Đặ t t = x + ; (t>0). Pt tr ở thà nh: t 2 – 4t + 1 = 0 ⇔t = 2 ± 3 x 4  4  Kl: cá c nghi ệm củ a hpt: 2+ 3;  ; 2− 3;  0.5 2+ 3  2− 3  π π 0.5 +) ĐK: x≠ + kkZ, ∈ 4 2 π π π π +) tan( −x ) tan( += x ) tan( − x )cot( −= x ) 1 4 4 4 4 441 2 1 1 2 0.5 sin2xcx+ os2 =− 1 sin4 x =+ cx os4 2 2 2 2 4 2 2 pt⇔2cos 4 xc − os 4 x −= 1 0 π +) Gi ải pt được cos 24x = 1 ⇔ cos8x = 1 ⇔ x= k và cos 24x = -1/2 (VN) 0.5 4 π +) K ết h ợp ĐK ta được nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là x= k, k ∈ Z 0.5 2 1 3!(k − 3)!3! 1 1  0.5 3 +) Tính được: = = − 3 − − −  Ck k! 2 ( kk 1)( 2) kk ( 1)  0.5 Thay được v ới k= 3,4,5, ,n 3(n+ 1)( n − 2) Cộng các đẳng th ức được: P = 0.5 2n ( n − 1)
4. 3(n+ 1)( n − 2) +) K ết lu ận P = 0.5 2n ( n − 1) Ta có : π π 31+ 2013cosx 3 sin2 xx + cos 2 + 2013cos x I= dx = dx ∫2 ∫ 2 0()2013+ cosx 0 () 2013 + cos x π π π 0.5 3 ()cosx+ 2013 cos x + sin 2 x 3cosx 3 sin 2 x =dx = dx + dx ∫2 ∫()+ ∫ 2 0 ()2013+ cosx 02013 cos x 0 () 2013+ cos x π 3 cos x Xét J= dx ∫ ()+ 0.5 0 2013 cos x  1  = sin x 4 u =  du2 dx Đặ t cosx + 2013 ⇒  ()cosx + 2013 =  dvcos xdx . v= sin x π π π 2 2 sinx3 3 sin x 33 sin x Vậy: J= − dx =− dx +∫() + ∫ () + 0.5 cosx 20130 0 cos x 2013 40270 cos x 2013 π π 33 sin2x 3 sin 2 x 3 0.5 Do đó: I=− dx + dx = ∫()+ ∫ () + 40270 cosx 2013 0 cos x 2013 4027 3 Vậy: I = 4027 +) Tìm được t ọa độ điểm B’ đối x ứng v ới B qua đường phân giác trong c ủa góc A 0.5 +) Tìm được t ọa độ các điểm C’ đối x ứng v ới C qua đường phân giác trong c ủa góc A 0.5 5 1 +) Tìm được t ọa độ điểm A và vi ết đúng PT các đt ch ứa các c ạnh AB,AC 0.5 +) Vi ết được PT c ủa BC và KL 0.5 +) Tìm được t ọa độ điểm I t/m: 2IA+ IB = 0 (I c ố định) 0.5 +) Kh ẳng định được 2MA 2+MB 2=3MI 2+2IA 2+IB 2 0.5 5 2 +) Kh ẳng định được 2MA 2+MB 2 nh ỏ nh ất khi và ch ỉ khi MI 2 nh ỏ nh ất 0.5 +) Gi ải thích, tìm được t ọa độ I và k ết lu ận 0.5
5. Do bi ểu th ức H là đẳng c ấp b ậc 2 và a, b, c là cá c s ố th ực d ươ ng nên không m ất tí nh ch ất t ổng quá t giả sử (Chu ẩn hó a): a+b+c=1. b+ c =1 − a 0.25  Do đó ta có : c+ a =1 − b  a+ b =1 − c a(1- a) b(1- b) c(1- c) Vây ta có H= 2 + 2 + 2 1 - 2a + 2a 1- 2b + 2b 1- 2c + 2c Theo BĐT Cô-si ta có : 2 2a + 1- a  (a + 1) 2 2a(1- a)≤   = 0.25 2  4 (a+1)2 (1- a)(a + 3) ⇒1- 2a + 2a2 = 1- 2a(1- a) ≥ 1 - = > 0 4 4 a(1- a) 4a(1- a) 4 3  ⇒ ≤ = = 4 1 -  7 1- 2a + 2a 2 (1- a)(a + 3) a + 3 a + 3  3  3  3   0.25 H ≤ 4 1-  + 1-  + 1 -   a + 3  b + 3  c + 3   1 1 1   = 4 3 - 3 + +   a + 3 b + 3 c + 3   Ta có: 111 9 9 + + ≥ = a + 3 b + 3 c + 3 a + b + c + 9 10 0.25 9 6 ⇒ Q ≤ 4(3 - 3. ) = 10 5 6 Vậy: MaxH = khi a = b = c 5 Câu 6
6. Chú ý: V=2a 3/3( đvtt)