Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán học Lớp 6 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT huyện Trực Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán học Lớp 6 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT huyện Trực Ninh (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRỰC NINH NĂM HỌC 2017 -2018 MÔN TOÁN LỚP 6 ĐỀ CHÍNH THỨC Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1 (5,0 điểm). Tính hợp lí a) A 20182 2017.2018 b) B ( 1).( 1)2.( 1)3.( 1)4 ( 1)99.( 1)100 1 2 3 88 88 c) C 6 7 8 93 1 1 1 1 12 14 16 186 Bài 2 (5,0 điểm) a) Tìm x, y Z biết (2y 1)(x 4) 10 b) Cho x, y N thỏa mãn (3x 5y)(x 4y)7 . Chứng tỏ rằng (3x 5y)(x 4y)49 5n 2 c) Tìm số tự nhiên n trong khoảng từ 290 đến 360 để phân số (n N) rút gọn được? 2n 7 Bài 3 (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n 1 , 2n 1 , 5n 1 đều là số chính phương? b) Cho A 2017 20172 20173 20172018 Chứng tỏ rằng A2018 . Tìm chữ số tận cùng của A? Bài 4 (4,0 điểm) a) Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2 cm. Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC 5cm . Tính độ dài đoạn thẳng AC? · 0 · · b) Cho xOy 160 . Vẽ tia phân giác Ox1 của xOy . Tính số đo góc xOx1 ? · · Giả sử Ox2 là tia phân giác của xOx1 , Ox3 là tia phân giác của xOx2 , , Ox42 là tia phân · · giác của xOx41 . Tính số đo góc xOx42 ? Bài 5 (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có n3 n6 b) Viết số 43211234 dưới dạng tổng của một số số nguyên dương. Gọi T là tổng các lập phương của tất cả các số đó. Tìm số dư của T trong phép chia cho 6? HẾT Họ và tên thí sinh: Họ, tên chữ ký GT1: Số báo danh: . Họ, tên chữ ký GT2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 Bài1(5,0đ) a (1,5 đ) A 2018.(2018 2017) 2018.1 2018 1,5đ b (1,5 đ) B ( 1).1.( 1).1 ( 1).1 (Có 50 thừa số -1) 1,0đ B 1 0,5đ c (2,0đ) 1 2 3 88 0,5đ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) C 6 7 8 93 1 1 1 1 12 14 16 186 5 5 5 5 0,5đ C 6 7 8 93 1 1 1 1 12 14 16 186 1 1 1 1 0,5đ 5.( ) C 6 7 8 93 1 1 1 1 1 .( ) 2 6 7 8 93 C 10 0,5đ Bài 2(5đ) a (1,5đ) 2xy x 8y 14 0,5đ x(2y 1) 8y 4 14 4 x(2y 1) 4(2y 1) 10 (2y 1)(x 4) 10 Vì x, y Z nên 2y 1 Z, x 4 Z , suy ra 2y 1, x 4 là ước nguyên của 0,25đ 10 và 2y 1 lẻ Lập bảng 0,5đ 2y+1 1 -1 5 -5 x-4 10 -10 2 -2 x 14 -6 6 2 y 0 -1 2 -3 x 14 x 6 x 6 x 2 0,25đ Vậy ; ; ; y 0 y 1 y 2 y 3 b (1,5đ) Phải chứng minh 3x 5y7 x 4y7 0,25đ Đặt A 3x 5y, B x 4y . Xét tổng A 4B 7x 21y7 Nếu A7 4B7 , mà (4,7) 1 B7 0,25đ Nếu B7 4B7 A7 . Chứng tỏ 3x 5y7 x 4y7 0,25đ 3x 5y7 0,25đ Vì (3x 5y)(x 4y)7 x 4y7
3. Nếu (3x 5y)7 (x 4y)7 (3x 5y)(x 4y)49 0,25đ Nếu (x 4y)7 (3x 5y)7 (3x 5y)(x 4y)49 0,25đ c (2,0đ) Gọi d là ước nguyên tố chung của 5n 2 và 2n 7 0,25đ 5n 2d 2(5n 2)d 0,5đ Ta có: (10n 35) (10n 4)d 31d . 2n 7d 5(2n 7)d Vì d nguyên tố nên d = 31 0,25đ 5n 231 5n 2 6231 5n 6031 5(n 12)31 0,25đ Khi đó 2n 731 2n 7 3131 2n 2431 2(n 12)31 Mà (5,31) 1;(2,31) 1 suy ra n 1231 n 31k 12(k N) 0,25đ Do 290 n 360 290 31k 12 360 9 k 11, mà k là số tự nhiên 0,25đ nên k 9;10;11 Từ đó tìm được n 291;322;353 0,25đ Bài3(4,0đ) a (1,5đ) Do n 1 là số chính phương nên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. 0,25đ Nếu n 13 thì n chia cho 3 dư 2 2n 1 chia cho 3 dư 2, vô lí. 0,25đ Do đó n 1 chia cho 3 sẽ dư 1 n3 Do 2n 1 là số chính phương lẻ nên 2n 1 chia cho 8 dư 1, suy ra 2n8 , từ đó 0,25đ n4 . Do đó n 1 là số chính phương lẻ nên n 1 chia cho 8 dư 1, suy ra n8 Ta thấy n3, n8 mà (3,8) 1 nên n24 , mà n là số nguyên dương 0,25đ Với n 24 thì n 1 25 52 ; 2n 1 49 72 ; 5n 1 121 112 0,25đ Vậy n 24 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài. 0,25đ b (2,5đ) Ta có A 2017 20172 20173 20172018 (tổng A có 2018 số hạng, 0,25đ 20182 ) A (2017 20172 ) (20173 20174 ) (20172017 20172018 ) 0,25đ A 2017(1 2017) 20173 (1 2017) 20172017 (1 2017) 1,0đ A 2018(2017 20173 20172017 )2018 A 2017 20172 (20173 20174 20175 20176 ) 0,25đ (20172015 20172016 20172017 20172018 ) A ( 6) 20173 ( 0) 20172015 ( 0) ( 6) 0,75đ Bài4(4,0đ) a (2,0đ) Trường hợp điểm C thuộc tia đối của tia BA 0,25đ A B C Điểm C thuộc tia đối của tia BA nên hai tia BA và BC đối nhau, suy ra 0,25đ
4. điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Ta có: AB BC AC 0,25đ Thay số tính được AC 7cm 0,25đ Trường hợp điểm C thuộc tia BA 0,25đ C A B Trên tia BA, BA BC(2cm 5cm) nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C. 0,25đ Ta có: AB AC BC 0,25đ Thay số tính được AC 3cm 0,25đ b (2,0đ) x· Oy 1600 1,0đ Tia Ox là tia phân giác của x· Oy nên x·Ox 800 1 1 2 2 x·Ox 1600 0,25đ Tia Ox là tia phân giác của x·Ox nên x·Ox 1 2 1 2 2 22 x·Ox 1600 0,25đ Tia Ox là tia phân giác của x·Ox nên x·Ox 2 3 2 3 2 23 · 0,5đ Tương tự như trên, tia Ox42 là tia phân giác của xOx41 nên x·Ox 1600 x·Ox 41 42 2 242 Bài5(2,0đ) a (0,75đ) Ta có n3 n n(n2 1) n(n2 n n 1) nn(n 1) (n 1) n(n 1)(n 1) 0,25đ Với mọi số nguyên dương n thì (n 1)n(n 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp 0,5đ sẽ chia hết cho 2 và 3 mà (2,3) 1 nên n(n 1)(n 1)6 b (1,25đ) 43211234 a a a a 0,25đ Ta có 1 2 3 n 3 3 3 3 T a1 a2 a3 an 1234 3 3 3 3 0,25đ Xét hiệu T 4321 (a1 a2 a3 an ) (a1 a2 a3 an ) 1234 3 3 3 3 T 4321 (a1 a1) (a2 a2 ) (a3 a3 ) (an an ) 3 3 3 3 0,25đ Theo câu a ta có a1 a1 6 , a2 a2 6 , a3 a3 6 , , an an 6 nên
5. T 43211234 6 Suy ra T và 43211234 cùng dư khi chia cho 6 0,25đ Mặt khác 4321 chia 6 dư 1 nên 43211234 chia cho 6 cũng dư 1. Vậy T chia 0,25đ 6 dư 1.