Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán học Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT huyện Trực Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán học Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT huyện Trực Ninh (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRỰC NINH NĂM HỌC 2017 - 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN LỚP 8 Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018 (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử : a) x3 x2 14x 24 b) x4 2018x2 2017x 2018 2) Cho x + y =1 và xy 0 . Chứng minh rằng : x y 2 x y 3 3 2 2 0 y 1 x 1 x y 3 Bài 2 (3,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn : y2 2xy 3x 2 0 1 y2 b)Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn 2x2 4 sao cho tích x.y đạt giá trị lớn x2 4 nhất. Bài 3 (3,0 điểm) a) Tìm đa thức f(x) , biết f(x) chia cho x+2 dư 10, chia cho x-2 dư 24, chia cho x2 4 được thương là -5x và còn dư b)Cho p và 2p+1 là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p+1 là hợp số. Bài 4 (8,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB 0, y > 0 và m, n là hai số thực. Chứng minh rằng: x y x y b) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn a.b.c = 1. 1 1 1 3 Chứng minh rằng: a 3 (b c) b 3 (c a) c3 (a b) 2 HẾT Họ và tên thí sinh: Họ, tên chữ ký GT1: Số báo danh: . Họ, tên chữ ký GT2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 -2018 * MÔN TOÁN LỚP 8 Bài Đáp án Điểm 1) (2đ) 3 2 a) x x 14x 24 0,25 x3 2x2 x2 2x 12x 24 x2 x 2 x x 2 12 x 2 0,25 x 2 x2 x 12 0,25 x 2 x 3 x 4 0,25 x4 2018x2 2017x 2018 b) 0,25 x4 2017x2 x2 2017x 2017 1 x4 x2 1 2017 x2 x 1 0,25 x2 x 1 x2 x 1 2017 x2 x 1 0,25 x2 x 1 x2 x 2018 0,25 2) (2đ)Cho x + y =1 và xy 0 . CMR : x y 2 x y 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 Với x + y =1 và xy 0 ta có : Bài 1 x y x4 x y4 y (4đ) 0,25 y3 1 x3 1 y3 1 x3 1 x4 y4 x y 0,25 xy x2 x 1 y2 y 1 x y x y x2 y2 1 0,25 xy x2 y2 xy x y x2 y2 xy 2 x y x2 x y2 y 2 0,25 xy x2 y2 x y 2 x y x x 1 y y 1 0,25 xy x2 y2 3 x y x. y y. x x y 2xy 0,25 xy x2 y2 3 xy x2 y2 3 2 x y 0,25 x2 y2 3 KL : 0,25 a) (1,5đ)Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn : y2 2xy 3x 2 0 2 2 2 2 Bài 2 y 2xy 3x 2 0 x 2xy y x 3x 2 0,25 2 (3đ) x y x 1 x 2 * 0,25 VT * là số chính phương , VP * là tích 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 0,5
3. 1 số bằng 0 x 1 0 x 1 x 2 0 x 2 Với x = -1 suy ra y = 1 0,25 Với x = -2 suy ra y = 2 KL : 0,25 1 y2 b) (1,5đ)Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn : 2x2 4 sao cho x2 4 tích x.y đạt giá trị lớn nhất Đk : x 0 2 2 2 1 y 2 1 2 y 0,25 2x 2 4 x 2 2 x xy xy 2 x 4 x 4 2 2 1 y x x xy 2 0,25 x 2 2 2 1 y Vì x 0; x 0 với mọi x 0, mọiy 0,25 x 2 Do đó xy 2 mà x, y Z 0,25 x 1, y 2 x 2, y 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : x 1, y 2 0,5 x 2, y 1 KL a) (1,5đ)Tìm đa thức f(x) , biết f(x) chia cho x+2 dư 10, chia x-2 dư 24, chia x2 4 được thương là -5x và còn dư Giả sử f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và dư ax+b 2 0,5 Khi đó f(x) = x 4 5x xa b 7 f 2 24 2a b 24 a Theo đề ra ta có : 2 0,5 f 2 10 2a b 10 b 17 7 Do đó f (x) x2 4 5x x 17 0,25 Bài 3 2 47 (3đ) Vậy.f (x) 5x2 x 17 0,25 2 b) (1,5đ)Cho p và 2p+1 là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR 4p+1 là hợp số. Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng p 3k 1 ,p 3k 1 với k>1 0,25 + Nếu p = 3k+1 thì 2p+1=6k+3=3(2k+1) 0,5 Suy ra 2p+1 là hợp số (vô lí ) + Nếu p = 3k-1 , k>1 thì 4p+1=12k-3=3(4k-1) 0,5 Do k > 1 nên 4k-1 > 3 . Do đó 4p+1 là hợp số KL 0,25
4. Bài4 (8 đ) * Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông + Chứng minh AMD = 900; AND = 900; MAN = 900 0,25 Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật + Hình chữ nhật AMDN có AD là phân giác của MAN nên tứ giác AMDN là 0,25 hình vuông * Chứng minh EF // BC Cách 1: FM DB + Chứng minh (1) 0,25 FC DC DB MB + Chứng minh (2) 0,25 DC MA + Chứng minh AM = DN 0,25 MB MB + Suy ra (3) 0,25 MA DN Câu 1) MB EM 2,25 đ + Chứng minh (4) 0,25 DN ED EM FM + Từ (1), (2), (3), (4) suy ra 0,25 ED FC + Suy ra EF // BC 0,25 Cách 2: FM NA + Chứng minh (1) 0,25 FC NC EM BE + Chứng minh (2) 0,25 NA BN ED BE + Chứng minh (3) 0,25 NC BN EM ED + Từ (2) và (3) suy ra 0,25 NA NC EM NA + Suy ra (4) 0,25 ED NC
5. EM FM + Từ (1) và (4) suy ra 0,25 ED FC + Suy ra EF // BC 0,25 * Chứng minh ANB ~ NFA AN DN + Chứng minh AN = DN. Suy ra (5) 0,25 AB AB DN CN + Chứng minh (6) 0,25 AB CA CN FN + Chứng minh (7) 0,25 CA AM FN FN Câu 2) + Chứng minh AM = AN . Suy ra (8) 0,25 2,75 đ AM AN AN FN + Từ (5), (6), (7) và (8) suy ra 0,25 AB AN + Chứng minh ANB ~ NFA (c.g.c) 0,5 * Chứng minh H là trực tâm tam giác AEF Vì ANB ~ NFA nên NBA = FAN 0,25 mà BAF + FAN = 900 . Suy ra NBA + BAF = 900 0,25 Suy ra EH  AF. Tương tự FH  AE 0,25 Suy ra H là trực tâm AEF 0,25 BI AO DM Chứng minh 9 KI KO KM Vì H là trực tâm AEF nên AH  EF mà EF // BC nên AO  BC 0,25 Lại có DM  AB nên K là trực tâm ABD. Suy ra BI  AD tại I 0,25 1 1 1 BI. AD AO. BD DM. AB BI AO DM Ta có 2 2 2 1 1 1 0,25 KI KO KM KI. AD KO. BD KM. AB 2 2 2 S S S = ABD ABD ABD 0,25 SAKD SBDK SAKB Đặt SAKD = a; SBKD = b; SAKB = c. Khi đó S S S a b c a b c a b c Câu 3) ABD ABD ABD = 0,25 S S S a b c 2,5 đ AKD BDK AKB b a a c b c = 3 ( ) ( ) ( ) 0,25 a b c a c b b a Chứng minh: 2 a b a c Tương tự : 2 c a b c 2 0,25 c b BI AO DM Suy ra : 9 0,25 KI KO KM Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ABD là tam giác đều. Suy ra trái với giả thiết 0,25
6. BI AO DM Vậy 9 0,25 KI KO MK Bài 5 (2đ) 5.a Với x > 0, y > 0 và m, n R ta có: 0,25 đ m2 n2 (m n)2 (1) x y x y (m2y + n2x)(x + y) ≥ xy (m + n)2 (nx - my)2 ≥ 0 luôn đúng 0,25 5.b Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có 1,75 đ m2 n2 p2 (m n)2 p2 (m n p)2 (2) x y z x y z x y z 0,25 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c 0,25 a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì abc = 1) ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac) 1 1 1 2 0,25 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 0,25 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 0,5 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Do đó a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2 0,25