Đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán Khối 12 - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Ninh Bình

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán Khối 12 - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Ninh Bình

1. SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 - 2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Ngày thi:12/09/2018 (Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang Câu 1 (4,0 điểm). Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên và a, b, c là các số nguyên thỏa mãn P(a) 1, P(b) 2 và PChứng(c) 3 minh. rằng: a + c = 2b. Câu 2 (5,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 ab bc ca a b c 4 2 2 2 2 9 4 2 . a b c a b c Câu 3 (6,0 điểm). Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn (O), đường tròn tâm I tiếp xúc với các tia AB, AD lần lượt tại E và F, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại điểm T. Hai tiếp tuyến tại A và T của đường tròn (O) cắt nhau tại K. Các đường thẳng TE, TF lần lượt cắt đường tròn (O) thứ tự tại các điểm M, N (M, N khác T). a) Chứng minh rằng ba điểm K, M, N thẳng hàng. b) Đường phân giác của góc BAC cắt đường thẳng MC tại P, đường thẳng KP cắt đường thẳng CN tại Q. Chứng minh rằng: Nếu N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ thì bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ACD bằng nhau. Câu 4 (5,0 điểm). Với số n nguyên dương, đặt f(n) là số ước nguyên dương của n. Xét tập hợp * * G {n ¥ : f (m) f (n),m ¥ ,0 m n} và gọi pi là số nguyên tố thứ i (i ¥ ). a) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G và pm là ước nguyên tố của n thì (p1p2 pm ) là ước của n. b) Với số nguyên tố p , gọi k, M là các số nguyên dương thỏa mãn 2k p và m m 2k M (p1p2 pm 1) . Chứng minh rằng: Nếu n M và n thuộc G thì n chia hết cho pm. Hết Họ và tên thí sinh : Số báo danh Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1: Giám thị 2: