Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 chuyên - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Bắc Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 chuyên - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Bắc Giang (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO ĐỀ THI CH ỌN H ỌC SINH GI ỎI V ĂN HOÁ C ẤP T ỈNH BẮC GIANG NĂM H ỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN - LỚP 12 CHUYÊN ĐỀ THI CHÍNH TH ỨC Ngày thi: 31 /03/2013 Đề thi có 01 trang Th ời gian làm bài 180 phút, không k ể th ời gian giao đề Câu 1. (4 điểm) 2x Cho điểm I(-1;2) và hàm s ố y = . (1) x +1 1) Lập ph ươ ng trình ti ếp tuy ến c ủa đồ th ị hàm s ố (1), bi ết ti ếp tuy ến đó c ắt Ox , Oy l ần l ượt tại A và B ( A, B khác O) sao cho OB = 2OA . 2) Tìm các điểm M, N trên hai nhánh c ủa đồ th ị hàm s ố (1) sao cho độ dài MN nh ỏ nh ất. Câu 2. (4 điểm) 1) Gi ải ph ươ ng trình π 2sin(4x−+ ) sin2 xx + cos2 − 2sin3 xxx ++ sin cos −= 1 0, ( x ∈ ℝ ). 4 2) Tìm các giá tr ị th ực c ủa tham s ố m để h ệ ph ươ ng trình 2x2 y+ 9 x = my 2  xy2+2 y = x 2 có đúng ba nghi ệm th ực phân bi ệt. Câu 3. (4 điểm) 1 dx 1) Tính tích phân . ∫ 33 3 1 x. x + 1 3 7 2) Tìm t ất c ả các hàm s ố f : ℝ+→ ℝ + th ỏa mãn xf( xf ( y ))= f ( f ( y )) , ∀x, y ∈ ℝ+ . Câu 4. (6 điểm) x2 1) Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ to ạ độ Oxyz , cho elip ( E): +y2 = 1. L ập ph ươ ng trình đường 4 th ẳng d song song v ới đường th ẳng ∆ : x – y + 2013 = 0, đồng th ời d c ắt (E) t ại hai điểm A, B sao 4 cho di ện tích tam giác OAB b ằng . 5 2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AD = 2a, SA= aSB, = a 3 . M ặt ph ẳng ( SAB ) vuông góc v ới m ặt ph ẳng ( ABCD ).Tính bán kính m ặt c ầu ngo ại ti ếp hình chóp S.ABCD . 3) Trong không gian v ới h ệ to ạ độ Oxyz , cho điểm A(1; 0; 0) và m ặt ph ẳng (P) có ph ươ ng trình: x + y – z - 1 = 0. L ập ph ươ ng trình đường th ẳng d đi qua A, d n ằm trong (P) sao cho góc gi ữa d và Oz nh ỏ nh ất. Câu 5. (2 điểm) Cho a, b, c là các s ố th ực d ươ ng th ỏa mãn a+ b + c = 1. Ch ứng minh r ằng a− bc b − ca c − ab 3 + + ≤ . a+ bc b + ca c + ab 2 Hết Cán b ộ coi thi không gi ải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh S ố báo danh: Giám th ị 1: ( Họ tên và ký ) Giám th ị 2: ( Họ tên và ký )
2. SỞ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO HƯỚNG D ẪN CH ẤM BẮC GIANG BÀI THI CH ỌN H ỌC SINH GI ỎI V ĂN HOÁ C ẤP T ỈNH NGÀY THI 31/3/2013 ĐỀ CHÍNH TH ỨC MÔN THI: TOÁN L ỚP 12 CHUYÊN Bản h ướng d ẫn ch ấm có 04 trang Câu Ph ươ ng pháp – K ết qu ả Điểm Câu I 2x 2 1. y= ⇒ y ' = >0 x +1 ()x +1 2 0,5 Ti ếp tuy ến c ủa ĐT hàm s ố c ắt các tr ục Ox ,Oy t ại A, B tho ả mãn OB = 2 OA suy ra ± hệ s ố góc c ủa ti ếp tuy ến là k = 2. Do y’ >0 nên k = 2 0,5 2 Xét ph ươ ng trình = 2 suy ra x = -2 ho ặc x = 0 0,5 ()x +1 2 Với x = 0 thì ph ươ ng trình ti ếp tuy ến là d 1: y = 2 x (không tho ả mãn). 0,5 Với x = -2 thì ph ươ ng trình ti ếp tuy ến là d 2: y = 2 x +8 (tho ả mãn) 2. Không m ất tính t ổng quát, ta gi ả s ử xM > -1, xN 0. 0,5 a b 2 2 2 1 1  MN=+( a b ) + 4  +  a b  2 0,5   ≥++24 =++ 2 64 ()4ab  () ab 2 a+ b  ()a+ b 64 ≥ +2 = 0,5 2(a b )2 16 ()a+ b a= b > 0  Đẳng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi ⇔a = b = 2.  +2 = 64 (a b ) 2  (a+ b ) 0,5 Từ đó tìm được M( 2 -1; 2- 2 ) và N(- 2 -1; 2 + 2 ). II 1. Phươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới sin 4 x - cos 4 x +sin2 x + cos 2 x – 2sin 3 x + sin x + cos x – 1 = 0 ⇔ (sin 4 x + sin2 x) - (cos 4 x – cos 2 x) – 2sin 3 x + sin x + cos x – 1 = 0 ⇔ 2sin3 xcos x + 2sin 3 x sin x – 2sin 3 x + sin x + cos x - 1 = 0 ⇔ 2sin3 x(cos x + sin x – 1) + sin x + cos x - 1 = 0 ⇔ (2sin3 x + 1)(cos x + sin x – 1) = 0 1  πk2 π x = − +  18 3   1 7πk 2 π sin 3 x=− x =+ ⇔  ⇔   2 183 + =  = π sinx cos x 1 x k 2  π x= + k 2π  2 1 KL 0,5 2.Nh ận xét (0; 0) luôn là m ột nghi ệm c ủa h ệ v ới m ọi m.
3. Nếu x = 0 ⇒ y = 0 và ng ược l ại.  2 2x+ 9 x =  2 m  y y Xét xy ≠ 0. HPT t ươ ng đươ ng v ới  (*)  y2 2 y + = 1  x x 2 2 2 x y 32 3 2 Đặt u=, v = ⇒ x= uvy , = uv . y x 9  9 u 2u+= mu 2 + = m (1) v  u − 2 Khi đó h ệ ph ươ ng trình (*) thành ⇔  ( ) 2u − 2 v+ =1  v = (2) u  u 0,5 Dễ th ấy yêu c ầu bài toán t ươ ng đươ ng v ới (1) có đúng 2 nghi ệm u ≠ 0 và u ≠ 2. 9u Đặt f( u )= 2 u + , u ∈ ℝ \{ 0;2 } − u 2 0,5 ∈ −∞ ∪ ∪ +∞ Lập b ảng bi ến thiên c ủa f(u) suy ra m ( ;0) (0;1) (25; ). 0,5 Câu 1dx 1 dx III 1) Ta có ∫= ∫ : = I 0,5 3 3 3 + 1 1x. x 1 1 4 3 + 3 3 x . 1 7 7 x3 1 1 dx Đặ =3 + ⇒ 3= + ⇒ 2 = − t t13 t 1 3 t dt 4 0,5 x x x Đổi c ận 1 x= ⇒ t = 2 3 7 = = 3 x1⇒ t 2 2 2 t 2 4− 3 4 Khi đó I=∫ tdt = = . 1 3 2 2 2 3 2 2) xf( xf ( y ))= f ( f ( y )) (1) Gi ả s ử t ồn t ại hàm s ố f(x) th ỏa mãn bài toán. Ch ọn y =1, thay vào (1) ta được 0,5 + xf( xf (1))= f ( f (1)) ,∀x ∈ ℝ (*) 1 Ch ọn x = , thay vào (*) ta được f (1) 0,5 f( f (1))= 1 1 + Do đó xf( xf (1))= 1 , nên f( xf (1)) = , ∀x ∈ ℝ x Đặt t= xf (1), ta được 0,5 f (1) + f( t ) = , ∀t ∈ ℝ t a + Do đó f( x ) = (a= f (1)) > 0 , ∀x ∈ ℝ x 0,5 Th ử l ại th ấy hàm s ố v ừa tìm th ỏa mãn điều ki ện bài toán.
4. a + Vậy hàm s ố c ần tìm là f( x ) = , ∀x ∈ ℝ . V ới a là h ằng s ố d ươ ng. x Câu 1) Vì d // ∆ nên ph ươ ng trình d có d ạng IV y = x + m, m ≠ 2013. 0,5 Hoành độ A, B (n ếu có) là nghi ệm ph ươ ng trình x2 ++(x m )152 =⇔ x 2 + 8 mx + 4 m 2 −= 40 (1) 4 d c ắt (E) t ại hai điểm phân bi ệt ⇔ (1) có hai nghi ệm phân bi ệt ⇔ ∆ ’ = -4m2 + 20 > 0 ⇔− < < 5m 5. 0,5 Khi đó A (x1; x + m), B(x2; x2 + m), v ới x1, x2 là hai nghi ệm c ủa (1) = −=2 +− 2 Ta có AB2( xx12 ) 2( xx 12 ) 8 xx 12  8m x+ x = −  1 2 5 Theo Vi-et ta có  4m2 − 4 x x =  1 2 5 4 10− 2 m2 Do đó AB = 5 |m | d( O ; AB ) = 2 2 0,5 d(; O AB ). AB 2| m |102− m Khi đó di ện tích tam giác OAB là S = = 2 5 2 4 m2 =4 m = ± 2 Theo bài ta có S=⇔ m2(10 − 2 m 2 ) =⇔ 8  ⇔ 2  0,5 5 m =1 m = ± 1 Từ đó tìm được 4 đường th ẳng. 0,5 0,5 ∩ 2) G ọi O = AC BD suy ra OA = OB = OC = OD ⊥ G ọi M là trung điểm AB suy ra OM ( SAB ) Suy ra hình chi ếu c ủa OA , OS lên ( SAB ) l ần l ượt là MA , MS 0,5 Do MA = MS ⇒ OA = OS Vậy O là tâm m ặt c ầu ngo ại ti ếp hình chóp S.ABCD 0,5 AC Vậy R = = a 2 . 2 2) G ọi u=(;;) abc ≠ 0 là vect ơ ch ỉ ph ươ ng c ủa d. 0,5 u⊥ n =(1;1; − 1) dP⊂⇔( ) p ⇔+−= abc 0 A∈( P ) = + Khi đó u(;; aba b ) Gọi α là góc gi ữa d và Oz 0,5 +2 + 2 + α=|ab | ⇔=2 α abab 2 = Ta có cos c os 2 2 m 2a2+ 2 b 2 + 2 ab 2a+ 2 b + 2 ab 0 0 2 Do 0 ≤ α ≤ 90 nên góc α nh ỏ nh ất khi và ch ỉ khi cos α l ớn nh ất ⇔ m l ớn nh ất 1 Xét b = 0, ta có m = (1) 2 Xét b ≠ 0, chon b = 1. Khi đó
5. a2 +2 a + 1 m= ⇔−+−+−=(2 mamam 1)2 2( 1) 2 10 (*) 2a2 + 2 a + 2 1 Nếu m = thì có m ột giá tr ị c ủa a. 2 1 Nếu m ≠ , (*) có nghi ệm khi và ch ỉ khi ∆ ’ ≥ 0 0,5 2 2 2 ⇔ -3m + 2 m ≥ 0 ⇔ 0 ≤m ≤ (2) 3 2 Từ (1) và (2) suy ra Max { m} = khi đó a = 1, b = 1. 3 0,5 x−1 y z Từ đó tìm được (d): = = 1 1 2 Câu Bất đẳng th ức đã cho t ươ ng đươ ng v ới V 2a 2 b 2 c 3 + + −≤3 (*) a+ bc b + ca c + ab 2 Ta có a+= bc aa( +++=+ b c ) bc ( a ba )( + c ) 0,5 Do đó 2a 2 b 29 c (*) ⇔ + + ≤ (abac++ )( )( bcba ++ )( )( cacb ++ )( )2 ⇔4[(abc +++++≤+ ) bca ( ) cab ( )]9( abbcca )( + )( + ) ⇔4[aabbcc (1 −+−+−≤− ) (1 ) (1 )] 9(1 abc )(1 − )(1 − ) 0,5 ⇔≤44(a ++ b c )2 + ab ++− bc ca 9 abc a+ b + c 1 0,5 Do 3 abc ≤ = nên 3 3 1 abbc++≥ ca33 abc222 = 9. 3 abc 222 ≥ 93 abcabc 3 222 = 9 abc 3 Từ đó suy ra b ất đẳng th ức được ch ứng minh. 0,5 Dấu “=” x ảy ra khi a= b = c . Lưu ý khi ch ấm bài Trên đây ch ỉ là s ơ l ược đáp án, bài làm c ủa h ọc sinh ph ải được trình bày t ỉ m ỉ. M ọi cách gi ải khác, n ếu đúng, v ẫn cho điểm t ươ ng đươ ng nh ư trên.