Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Nam Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Nam Định (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NAM ĐỊNH Năm học: 2020 - 2021 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 10 tháng 03 năm 2021 Câu 1 (2,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 3x2 7x 2 b) a x2 1 x a 2 1 . c) 4x2 +81 c) x5 + x - 1 2 x 4x2 2 x x2 3x Câu 2 (4,0 điểm). Cho biểu thức: A 2 : 2 3 2 x x 4 2 x 2x x a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A? b) Tìm giá trị của x để A 0 ? c) Tính giá trị của A khi x 7 4 . Câu 3 (3,0 điểm). Giải phương trình: 2 1 2x 1 a) x3 5x2 4x 20 0 b) . x2 x 1 x 1 x3 1 x2 4x 6 x2 6x 12 x2 8x 20 x2 10x 30 4 c) x 2 x 3 x 4 x 5 x2 7x 12 Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G. Đường thẳng d bất kỳ AB AC đi qua G và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: 3 . AM AN Câu 5 (3,0 điểm). a) Tìm x; y; z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 y2 + 2z2 18x 4z 6y 20 0 x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng: 1 . a b c x y z a 2 b2 c2 Câu 6 (6,0 điểm). Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh DC lấy điểm E, trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF DE . a) Chứng minh AEF vuông cân. b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh I thuộc BD. c) Lấy K đối xứng với A qua I. Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông. Hết
2. 2 TRƯỜNG THCS NAM ĐỊNH HƯỚNG DẪN CHẤM TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2020 - 2021 MÔN: TOÁN 8 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I. Hướng dẫn chung 1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó. 2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước để làm câu sau. 3. Với bài hình, nếu hình vẽ sai hoặc không vẽ hình thì không chấm. Lời giải không khớp với hình vẽ thì không cho điểm. 4. Học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng thì cho đủ điểm thành phần như hướng dẫn. II. Hướng dẫn chi tiết: Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm). 3x2 7x 2 3x2 6x x 2 0,5 3x x 2 x 2 0,25 1 x 2 3x 1 0,25 (2,0đ) b) (1,0 điểm). a x2 1 x a 2 1 ax2 a a 2 x x 0,5 ax x a x a 0,25 x a ax 1 0,25 2 x 0 2 x 4 0 x 0 a) (2,0 điểm). ĐKXĐ: 2 x 0 x 2 0,5 2 x 3 x 3x 0 2 3 2x x 0 2 x 4x2 2 x x2 3x A 2 : 2 3 2 x x 4 2 x 2x x (2 x)2 4x2 (2 x)2 x2 (2 x) . 0,5 (2 x)(2 x) x(x 3) 4x2 8x x(2 x) 2 . 0,5 (2 x)(2 x) x 3 (4,0đ) 4x(x 2)x(2 x) 4x2 0,25 (2 x)(2 x)(x 3) x 3 4x2 Vậy với x 0, x 2, x 3 thì A . 0,25 x 3 4x2 b) (1,0 điểm). Với x 0, x 2, x 3: A 0 0 0,25 x 3 x 3 0 0,25 x 3 (tm) 0,25 Vậy với x 3 thì A 0 0,25
3. 3 Câu Đáp án Điểm x 7 4 c) (1,0 điểm). x 7 4 0,5 x 7 4 x 11 (tm) 0,25 x 3 (Loai) 121 Với x 11 thì A = 0,25 2 a) (1,5 điểm). x3 5x2 4x 20 0 x2 x 5 4 x 5 0 0,5 x 5 . x2 4 0 0,5 x 5; x 2 0,25 Vậy pt có tập nghiệm S 5; 2 0,25 3 2 1 2x 1 b) (1,5 điểm). . (ĐK: x 1 ) (3,0đ) x2 x 1 x 1 x3 1 2 x 1 x2 x 1 2x 1 0,5 x2 x 2 0 0,5 x 2 tm 0,25 x 1 loai Vậy pt có tập nghiệm S 2 0,25 - Vẽ hình đúng 0,25 A G N M E B D C F 4 - Kẻ BE, CF//MN 0,25 (2,0đ) AB AE - Trong ABE , có MG / /BE 0,25 AM AG AC AF - Trong ACF , có GN / /CF 0,25 AN AG - Chỉ ra được AE AF 2AD 0,5 AB AC AE AF AE AF 2AD 3 0,5 AM AN AG AG AG AG 5 a) (1,5 điểm). 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 (2,0đ) 9x2 –18x 9 y2 – 6y 9 2 z2 2z 1 0 0,5 9 x 1 2 y 3 2 2 z 1 2 0 (*) 0,25 Do: (x 1)2 0;(y 3)2 0;(z 1)2 0 với x, y, z 0,25 Nên (*) x 1; y 3; z 1 0,25 Vậy x;y;z 1;3; 1 . 0,25
4. 4 Câu Đáp án Điểm a b c ayz+bxz+cxy b) (1,5 điểm). Từ: 0 0 0,25 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 0 0,25 x y z x y z Ta có: 1 ( )2 1 0,25 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) 1 0,25 a 2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 0,25 a 2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1 (đpcm) 0,25 a 2 b2 c2 - Vẽ hình đúng để làm được ý a 0,25 F A B I M K D E C a) (2,0 điểm). Chứng minh được ADE ABF 0,5 - Chỉ ra được E· AF 909 0,5 6 - Chỉ ra được AE AF 0,5 (6,0đ) đpcm 0,5 b) (2,0 điểm). Kẻ EM / /BC 0,75 - Chứng minh được EMI FBI - Chỉ ra được E· IM F· IB 0,5 - Chỉ ra được B· ID 1800 0,5 đpcm 0,25 c) (2,0 điểm). - Chứng minh được tứ giác AEKF là hbh 1,0 - Chỉ ra được hbh AEKF có E· AF 900 ; AE AF 0,75 đpcm 0,25 NGƯỜI RA ĐỀ THI NGƯỜI THẨM ĐỊNH VÀ XÁC NHẬN CỦA BGH PHẢN BIỆN CỦA TRƯỜNG Thái Chí Phương Nguyễn Thị Kim Định Đinh Thị Thắm