Đề thi học sinh giỏi mô Toán Lớp 12 - Phần: Hình học - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi mô Toán Lớp 12 - Phần: Hình học - Năm học 2018-2019

1. HÌNH HSG 12 BÌNH ĐỊNH 2018-2019 1. CMR nếu một tứ giác ngoại tiếp có dộ dài các cạnh là a,b,c,d và diện tích S = abcd thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp. Bổ đề: Tứ giác ABCD ngoại tiếp thì AB+CD = AD+BC HD: Theo tính chất tiếp tuyến B AB+CD = (AM+MB) + (CP+DP) d Q = (AN+QB) + (CQ+DN) M C = (AN+DN) + (CQ+QB) a c = AD + BC A P Trở lại bài toán: b N 1 1 D Ta có abcd = SABD + SCBD = absinA + cdsinC 2 2 cd cd 2 = sinA + sinC (*) ab ab Mặt khác a2 + b2 -2abcosA = c2 + d2 -2cdcosC (=BD2) A C 2 2 2 2 2 2 a + b -2ab(1-2sin 2 ) = c + d -2cd(1-2sin 2 ) A C 2 2 2 2 (a-b) + 4ab sin 2 = (c-d) + 4cd sin 2 C A 2 2 (a – b – c - d)(a - b + c - d) = 4cd sin 2 - 4ab sin 2 C A 2 2 cd sin 2 = ab sin 2 (Vì ABCD là tứ giác ngoại tiếp nên a - b + c – d = 0) A sin 2 cd = 2 , Thế vào (*) C ab sin 2 2 A A A sin sin 2 sin 2 A 22 = sinA + 2 .sinC = 2.cos + 2 sinC C C C 2 C sin sin 2 sin sin 2 2 2 2 2 A C A C A C 2 = 2.cos2 .sin2 + 2.sin2 .cos 2 sin(2 + 2 ) = 1 A + C = . đpcm
2. 2. Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC. Gọi ,  ,  lần lượt là góc giữa các mặt ABD, ABC, ACD với mặt BCD và hình chiếu của A trên (BCD) thuộc miền tam giác BCD. Tìm GTLN của T = cos + cos .cos  + 3 cos .cos .cos (Trùng với đề HSG Toán 11 Bình Định năm học 2009-2010) Bổ đề: Tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC đgl tứ diện gần đều. với ,  ,  lần lượt là góc giữa các mặt ABD, ABC, ACD với mặt BCD thì cos + cos + cos = 1 A HD: Từ giả thiết 4 mặt của tứ diện là 4 tam giác bằng nhau ADCT diện tích hình chiếu, ta có B E D S = SBCD = SHBD + SHBC + SHCD F = SABD.cos + SABC.cos  + SACD.cos H K = S(cos + cos  + cos  ) (vì 4 mặt diện tích bằng nhau) C Từ đó cos + cos  + cos  = 1 Trở lại bài toán: Đặt x = cos ; y = cos ; z = cos , hiển nhiên x,y,z >0 và x+y+z=1 T = x + xy + 3 xyz 1 1 1 x 4y 1 x 4y 16z 4 4 = x + x.4y + 3 x.4y.16z x + + = (x+y+z) = 2 4 2 2 4 3 3 3 4 Vậy maxT = khi x = 4y và 4y = 16z và x+y+z = 1 và x>0,y>0,z>0 3 16 4 1 khi đó x = cos = ; y = cos = và z = cos = 21 21 21 Good luck!