Đề thi học sinh giỏi môn Toán học Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Vĩnh Tường (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán học Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Vĩnh Tường (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT VĨNH TƯỜNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 12 năm 2013 Câu 1. a) Tính: 5 2 2 9 4 2 b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c abc 4. Tính giá trị của biểu thức: A a(4 b)(4 c) b(4 c)(4 a) c(4 a)(4 b) abc Câu 2. Giải các phương trình sau: a) x x 1 x 4 x 9 0 b) 2(x2 + 2) = 5 x3 1 x y 2013 Câu 3. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương x; y; z thỏa mãn y z 2013 là số hữu tỉ, đồng thời x2 y2 z2 là số nguyên tố. Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D. a) Chứng minh các điểm B, C, E, F thuộc một đường tròn. b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Câu 5. a) Cho a, b, c là các số thực; x, y, z là các số thực dương. a2 b2 c2 (a b c)2 Chứng minh : x y z x y z b) Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1. 1 x2 1 y2 1 z2 Chứng minh : 2 1 y z2 1 z x2 1 x y2 Câu 6. Cho bảng vuông 13x13. Người ta tô màu đỏ ở S ô vuông của bảng sao cho không có 4 ô đỏ nào nằm ở 4 góc của một hình chữ nhật. Hỏi giá trị lớn nhất của S có thể là bao nhiêu? Hết (Đề này gồm có 01 trang) Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GD&ĐT VT HƯỚNG DẪN CHÁM ĐỀ THI HSG 9 NĂM HỌC 2013 - 2014 Câu Ý Nội Dung 5 2 2 9 4 2 5 2 2 (2 2 1)2 5 2 3 2 2 Câu 1 5 2 ( 2 1)2 3 2 2 ( 2 1)2 2 1 A a(4 b)(4 c) b(4 c)(4 a) c(4 a)(4 b) abc a b c abc 4 4a 4b 4c 4 abc 16 a(4 b)(4 c) a(16 4b 4c bc) a(2 a bc)2 a(2 a bc) 2a abc Tương tự b(4 c)(4 a) 2b abc, c(4 a)(4 b) 2c abc A 2(a b c) 3 abc abc 2(a b c abc) 8 a) ĐK: x 0. Pt x 9 x 4 x 1 x (1) 5 1 x 9 x 4 x 1 x x 9 x 4 5( x 1 x) (2) Câu 2 Từ (1),(2) suy ra: x 9 3 x 1 2 x 3 x 1 9x 9 x 9 ,dấu “=” xảy ra khi x=0. Thử lại x=0 là nghiệm pt. Vậy pt đã cho có nghiệm x=0. b) ĐK: x -1. Đặt a = x 1 , b = x2 x 1 với a 0, b>0. Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2(a2 + b2) = 5ab (2a-b)(a-2b)=0 2a=b hoặc a=2b Với a=2b x 1 =2 x2 x 1 4x2-5x+3 = 0, vô nghiệm. Với b=2a x2 x 1 =2 x 1 5 37 x2-5x-3 = 0 x (thỏa mãn đk x -1.) 2 x y 2013 m Ta có m,n ¥ *, m,n 1 . y z 2013 n Câu 3 nx my 0 x y m 2 nx my mz ny 2013 xz y . mz ny 0 y z n
3. x2 y2 z2 x z 2 2xz y2 x z 2 y2 x y z x z y . 2 2 2 2 2 2 x y z x y z Vì x y z 1 và x y z là số nguyên tố nên x y z 1 Từ đó suy ra x y z 1 (thỏa mãn). A E F G O H B M C D Câu 4 B·FC = B·EC = 900 ( cùng nhìn cạnh BC) Suy ra B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC. Ta có A·CD = 900 DC AC Mà HE AC; suy ra BH//DC (1) Chứng minh tương tự: CH//BD (2) Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD. Do đó AM, HO trung tuyến của AHD G trọng tâm của GM 1 AHD AM 3 GM 1 Xét tam giác ABC có M trung điểm của BC, AM 3 Suy ra G là trong tâm của ABC a) (0,5điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: a2 b2 c2 a2 b2 c2 ( ).(x y z) ( . x . y . z)2 = x y z x y z ( a b c )2 (a+b+c)2 đpcm Câu 5 b) (1 điểm) Vế trái 2(1 x2 ) 2(1 y2 ) 2(1 z2 ) M 2(1 z2 ) (1 y2 ) 2(1 x2 ) (1 z2 ) 2(1 y2 ) (1 x2 ) Đặt 1 x2 a,1 y2 b,1 z2 c. với a, b,c >0 2a 2b 2c 2a2 2b2 2c2 Khi đó M = 2c b 2a c 2b a 2ac ab 2ab bc 2bc ac
4. Sau đó áp dụng bđt ở phần a) và bđt (a b c)2 3(ab bc ca) M 2 . Từ đó có đpcm Gọi xi là số ô được tô đỏ ở dòng thứ i. 2 xi (xi 1) Ta có: S= x1 + x2 + + x13; ở hàng thứ i số các cặp ô đỏ là C xi = 2 x (x 1) x (x 1) x (x 1) Vậy tổng số các cặp ô đỏ là A= 1 1 2 2 13 13 2 2 2 Chiếu các cặp ô đỏ xuống một hàng ngang nào đó, theo giả thiết thì không có cặp ô đỏ nào có hình chiếu trùng nhau. 2 x1(x1 1) x2 (x2 1) x13 (x13 1) Vậy C 13=78 A= 2 2 2 13 13 2  xi  xi 156 i 1 i 1 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 13 13 2 2 2 s ( xi ) 13( xi ) s 156 i 1 i 1 13 s2-13s-2028 0 S 52 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = x13 = 4 (mỗi dòng có 4 ô được tô Câu 6 đỏ). (Học sinh lập luận chỉ ra S 52 được 0,25đ) Vẽ hình minh họa: (0,25đ) x x x x x x x x x x x x x x x X x x x x x x x x x x x x x x x X x x x x x x X x x x X x x x x x x x x x Vậy giá trị lớn nhất của S=52 Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa./.