Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 THPT - Năm học 2014-2015 - Sở GD&ĐT Gia Lai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 THPT - Năm học 2014-2015 - Sở GD&ĐT Gia Lai (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP GIA LAI 12 DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM HỌC 2014-2015 ——————————— Môn thi : Toán ĐỀ DỰ BỊ Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 22/10/2014 Đề thi có 01 trang gồm 06 câu ———————————————————————————————————– Câu 1 (4 điểm). Cho a,b,c là các số không âm phân biệt. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 11 + 5√5 a + b + c 2 + 2 + 2 (a b) (b c) (c a)  ≥ 2
   − − − Câu 2 (3 điểm). Từ dãy u1 = 2 2 un :  un { } un+1 = un + , n = 1, 2, 3,  2015 thành lập dãy  n ui sn : sn = , n = 1, 2, { } ui+1 Xi=1 Tìm lim sn. n→+∞ Câu 3 (3 điểm). Cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn điều kiện: a2 + b2 + ab = c2 + d2 + cd Chứng minh rằng số a + b + c + d là hợp số. Câu 4 (3 điểm). Tìm tất cả các hàm số: f, g : R R thỏa mãn: → f (2x 1) + g (1 x)= x + 1 − −  x 1 , x = 1 f + 2g = 3 ∀ 6 −  x + 1 2x + 2 Câu 5 (4 điểm). Cho ba điểm A,B,C và ba số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng với mọi điểm I thỏa mãn a−→IA + b−→IB + c−→IC = −→0 và với mọi điểm M tùy ý ta đều có: a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 ab.AB2 + bc.BC2 + ca.CA2 MI2 = a + b + c − (a + b + c)2 Câu 6 (3 điểm). Cho các số từ 1 đến 10 được xếp ngẫu nhiên xung quanh một đường tròn. Chứng minh rằng có ít nhất ba số liên tiếp mà tổng của ba số này không nhỏ hơn 17. ————————————–Hết————————————– Họ và tên thí sinh Số báo danh Thí sinh không sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. 1