Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 - Bảng B - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Gia Lai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 - Bảng B - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Gia Lai (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: Toán – Bảng: B ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 09/11/2016 Câu 1 (3 điểm): Tìm m để hàm số: f(x) = 2x4 4x3 (m 5)x2 (m 3)x m2 3m 2 0,x ¡ . n 1 22 23 2n 1 Câu 2 (4 điểm): Cho dãy số {Sn} xác định bởi: S .(2 ) . n 2n 1 2 3 n 1 Chứng minh dãy {Sn } có giới hạn và tính giới hạn đó. Câu 3 (3 điểm): Cho các số nguyên a,b,c ; trong đó b,c chia hết cho 3. Chứng minh rằng 9a 11b 2017c 2017 92017 a2017 112017 b2017 20172017 c2017 chia hết cho 9a 11b 2017c 3 93 a3 113b3 20173 c3 Câu 4 (3 điểm): Trong tập S {1;2;3;4; ;2016} có bao nhiêu số không chia hết cho 2, 3, 5 và 7? Câu 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC . Gọi ra , rb ,rc lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp đối diện các góc A, B,C. Chứng minh rằng: a. SABC ra ( p a) rb ( p b) rc ( p c) . (p là nửa chu vi của tam giác ABC ) 1 1 1 1 b. . (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ). ra rb rc r Câu 6 (3 điểm): Một thầy giáo muốn xem học sinh của mình có ngủ trong giờ học hay không nên đã đặt sáu máy phát hiện người ngủ tại sáu góc của phòng học hình lục giác đều cạnh a. Mỗi máy có thể phát hiện tất cả những người ngủ có khoảng cách tới máy không vượt quá a. Kết quả các máy ghi nhận được bảy trường hợp. Hỏi đã có bao nhiêu người ngủ trong giờ học? HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: Toán – Bảng: B ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 09/11/2016 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1 Nội dung Điểm a. Ta có: f(x) = 2x4 4x3 (m 5)x2 (m 3)x m2 3m 2 0 (3.0) Điểm = -m2 +(x2 - x -3)m + 2x4 – 4x3 + 5x2 - 3x - 2 = g(m) . 0.5 2 2 4 3 2 m (x x 3) 4(2x 4x 5x 3x 2) = 9x4 – 18x3 + 15x2 -6x + 1 = (3x2 – 3x + 1)2 0.5 2 2 g(m) = 0 m1 = -x + x – 2; m2 = 2x -2x -1 0.5 f(x) = g(m) = (x2 - x + 2 + m)(2x2 -2x -1 – m) 0.5 ' Ta có: 1 4m 7; 2 2m 3 f (x) 0,x ¡ 1 0 4m 7 0 7 3 m ' 0 2m 3 0 4 2 7 3 2 m 5 4 2 . 0.5 1 m 2 3m 5 m 0 2 m 1 2 m 3 7 3 Vậy, m [- ; ] 4 2 0.5 b. (1,5) y '(x0 ) 0 Điểm Hàm số đạt cực đại tại x . 0.25 y ''(x0 ) 0 m(x0 1) 2 0 2 2 2 x0 2x0 2 x0 2x0 2 m (1) x 1 m 0 0.25 0 2 3 m 0(2) (x0 2x0 2) 2 2 x0 2x0 2 Đặt, g(x0 ) với xo< -2 0.25 x0 1 / 2 g (x0 ) 0 g(x) giảm . 2 2 (x0 1) x0 2x0 2 0.25 2 10 lim g(x0 ) 2 và g(-2) = x  3 0.25 2 10 Vậy, < m < -2 3 0.25
3. Câu 2 4.0 n 2 22 23 2n 2n 1 n 2 Ta có: S (2 ) (S 1). Điểm n 1 2n 2 2 3 n n 1 n 2(n 1) 0.5 n 1 Sn (Sn 1 1) 2n 0.5 n 2 n 1 S S (S 1). (S 1) n 1 n n 2(n 1) n 1 2n n(n 2)(S 1) (n 1)2 (S 1) =n n 1 2n(n 1) (n 1)2 (S S ) S 1 =n n 1 n 2n(n 1) 0.5 Do, Sn 0,n , nên -Sn-1 < 0. 3 5 5 8 91 Mặt khác ta có: S 1;S ;S ;S ;S ;S ; 0.5 1 2 2 3 3 4 3 5 5 6 60 Vậy, nếu từ một giá trị k nào đó mà Sk - Sk-1 < 0 thì Sk+1 – Sk < 0 Sk+2 – Sk < 0. Vì S5 – S4 < 0 nên bằng phương pháp quy nạp, ta suy ra: Sn + 1 – Sn < 0, n 4 . Suy ra, Sn+1 < Sn , n 4 0.5 Vậy, {Sn} là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0, nên {Sn} có giới hạn 0.5 Giả sử lim Sn S 0.5 n Từ hệ thức quy nạp, chuyển qua giới hạn, ta có S = 1. Vậy, lim Sn 1 n 0.5 Câu 3 3.0 Kí hiệu: Điểm A1 {k S | k chia heát cho 2}; A2 {k S | k chia heát cho 3} A {k S | k chia heát cho 5};A {k S | k chia heát cho 7} 3 4 0.25 Ta đếm số phần tử của S chia hết cho ít nhất một trong các số: 2, 3, 5, 7 . 0.25 2016 | A1 | 1008;| A2 | 672;| A3 | 403;| A4 | 288 5 0.5 2016 2016 2016 | A1  A2 | 336; | A1  A3 | 201; | A1  A4 | 144 6 10 14 0.5 2016 2016 2016 | A2  A3 | 134;| A2  A4 | 96;| A3  A4 | 57 15 21 35 2016 2016 | A  A  A | 67;| A  A  A | 48; 1 2 3 30 1 2 4 21 . 2016 2016 0.5 | A1  A3  A4 | 28;| A2  A3  A4 | 19 70 105 2016 0.25 | A1  A2  A3  A4 | 9 210 Số các số thuộc tập S chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 5, 7 là:
4. | A1 A2 A3 A4 | A1 A2 A3 A4 A A A A A A A A A A A A 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 0.25 A1 A2 A3 A1 A2 A4 A1 A3 A4 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 1496 Vậy số các số thỏa mãn bài toán: 2016 – 1496 = 520 (số) . 0.5 Câu 4 3.0 Đặt A 9a, B 11b,C 2017c bài toán đã cho trở thành: Điểm 2017 Chứng minh rằng A B C A2017 B2017 C 2017 chia hết cho A B C 3 A3 B3 C3 3 A B B C C A 0.5 Xét đa thức theo ẩn x là 2017 2017 2017 2017 P2017 x, B,C x B C x B C ta có P B, B,C B B C 2017 B 2017 B2017 C 2017 0 2017 . 0.5 P x, B,C x B Q2016 x, B,C Chọn x A suy ra A B C 2017 A2017 B2017 C 2017 chia hết cho A B 0.5 Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được A B C 2017 A2017 B2017 C 2017 chia hết cho cả B C và C A . 0.5 Lại vì A, B,C chia hết cho 3 nên . 0.5 A B C 2017 A2017 B2017 C 2017 chia hết cho A B C 3 A3 B3 C3 0.5 Câu 5 a(2,0) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp đỉnh A, B, C . Điểm Ta có : SABC = SABA’ + SACA’ – SBCA’ 0.5 1 1 = (cr br ar ) = r (c b a) r ( p a) 2 a a a 2 a a 0.5 Tương tự, SABC r ( p b) r ( p c) b c 0.5 Vậy, SABC = ra ( p a) rb ( p b) rc ( p c) 0.5 b(2,0) S S S Ta có: ABC ABC ABC ( p a) ( p b) ( p c) p Điểm 0.5 ra rb rc SABC Mà, SABC pr p r 0.5 S S S S ABC ABC ABC ABC ra rb rc r 0.5 1 1 1 1 (đpcm) r r r r a b c 0.5 Câu 5
5. 3.0 Sáu hình tròn bán kính a, tâm tại sáu đỉnh của lục giác đều cạnh a chia lục Điểm giác thành hai phần đen và trắng như hình vẽ. . 0.5 Nếu người ngủ ngồi ở vùng trắng (không tính biên) thì sẽ bị hai máy ghi nhận được. 0.5 Nếu người ngủ ngồi ở vùng đen (kể cả biên) thì có ba máy ghi nhận được. Còn nếu ở tâm hình lục giác thì cả sáu máy đều ghi nhận được 0.5 Gọi x, y, z lần lượt là số người ngủ ở các vùng trắng, đen, tâm lục giác. Ta có phương trình: 2x 3y 6z 7 x, y, z ¥ Vì phương trình 2x 3y 6z 7 chỉ có nghiệm tự nhiên duy nhất là 0.5 x 2, y 1, z 0 0.5 Nên có cả thảy ba người ngủ trong giờ học 0.5