Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 THPT - Bảng B - Năm học 2013-2014- Sở GD&ĐT Gia Lai (Đề dự bị - Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 THPT - Bảng B - Năm học 2013-2014- Sở GD&ĐT Gia Lai (Đề dự bị - Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP GIA LAI 12 DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: TOÁN ĐỀ DỰ BỊ Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu) Ngày thi: 27/09/2013 Câu 1(4 điểm). Giải hệ phương trình: 3 1 x 2 3 xy y3 x 2 2 2 1 4 (xy 2) 2y x 2 x Câu 2(4 điểm). Dãy số (an) được xác định: a1 1, a 2 2 và a n 2 2a n 1 a n 2 n N * . Xét xem số u k a k 2012. a k 2013 với k N * có phải là số hạng của dãy số (an) hay không? Câu 3(4 điểm). Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên 2011x2 2012y2 20132 0 . Câu 4(4 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có H là trực tâm. Gọi A', B', C' theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các đường thẳng AH, BH, CH với đường tròn (O). Một điểm D nằm trên đường tròn (D khác các điểm A, B, C, A’, B’, C’). Gọi A'', B'', C'' lần lượt là giao điểm của DA' với BC, DB' với AC, DC' với AB. Chứng minh rằng bốn điểm A'', B'', C'' và H thẳng hàng. Câu 5(4 điểm). Trong kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi toán của một tỉnh có 20 em tham gia. Mỗi học sinh phải thi 2 vòng, mỗi vòng được gọi là một bài thi. Điểm của mỗi bài thi được cho là một số tự nhiên từ 1 đến 10. Phương thức chọn đội tuyển là so sánh kết quả điểm của từng bài thi tương ứng (vòng 1, vòng 2 ) giữa các thí sinh. Thí sinh A gọi là so sánh được với thí sinh B nếu điểm mỗi bài thi của A không nhỏ hơn điểm mỗi bài thi tương ứng của B. Biết rằng không có hai thí sinh nào có cùng cặp điểm số tương ứng. Chứng minh rằng có thể chọn được ba thí sinh A, B, C sao cho A so sánh được với B và B so sánh được với C. ___ HẾT ___ - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. SỞ GD ĐT GIA LAI KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN – ĐỀ DỰ BỊ (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Ngày thi: 27/9/2013 Câu Đáp án Điểm Giải hệ phương trình: 2 3 1 x 3 3 xy y (1) x2 2 Điều kiện: x 0 (3) 1 4 1,0 (xy 2)2 2y (2) x2 x 1 1 1 1 2x Ta có (2) (xy 2)2 2(xy 2) 0 (xy 2 )2 0 y (4) x x2 x x2 Thay y theo x từ (4) vào (1) và biến đổi, ta được: 3 3 3 3 1 x2 1 2x 1 1 1 x2 1 2x 1 1 2x 1 x2 2 2 2 2 2 2 x x 2 x x x 2 x x 1,5 2 3 2 3 Câu 1 1 x 1 1 x 1 2x 1 1 2x 2  2 2  2 (5) 4 điểm x 2 x x 2 x 1 x2 1 2x 1 1 Đặt u và v khi đó (5) trở thành: u3 u v3 v (6) x2 x2 2 2 Dùng phương pháp đánh giá, ta suy ra được u = v nên 1 x2 1 2x x2 2x 0 (do(3)) x 0; x 2 . x2 x2 1,5 3 Chỉ có nghiệm x = 2 thỏa mãn, thay vào (4), ta tính được y . . 4 x 2 Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: 3 y 4 Giả thiết: a1 1, a 2 2 và a n 2 2a n 1 a n 2 (1) n N* . Đặt k 2012 m thì k 2013 m 1 với m 2013 , ta cần xét xem a m .a m 1 có phải là số hạng của dãy (an) hay không. 1,5 * * Đặt bn a n 1 a n (n N ) thì (1) trở thành bn 1 bn 2 n N , suy ra dãy (bn) là 1 Câu 2 cấp số cộng có b1 a 2 a1 1 , công sai d = 2. nên 4 điểm bn b1 (n 1)d 1 (n 1).2 bn 2n 1 Từ đó, ta có: bn 1 bn 2 bn 3  b2 b1 (a n a n 1) (a n 1 a n 2 ) (a n 2 a n 3 )  (a3 a 2 ) (a 2 a1) 1,0 [2(n 1) 1 1](n 1) = a 1 a (n 1)2 1 n N* . 2 n n
3. 2 2 Do đó, ta được: a ma m 1 [(m 1) 1].[m 1] . 2 2 2 * Biến đổi và làm gọn, ta có: a ma m 1 (m m 1) 1 , kết hợp với m m 1 N nên 1,5 a a a là 1 số hạng thuộc dãy (a ). m m 1 m2 m 2 n Ta có 2011x2 2012y2 20132 0 2012y2 2011x2 20132 (1) Xét phương trình: 2012y2 2011x2 1 (2) 1.0 Nhận thấy: Nếu phương trình (2) có nghiệm (x0 ; y0 ) thì phương trình (1) có nghiệm (2013x0 ;2013y0 ) Ta sẽ chứng minh phương trình (2) có vô số nghiệm nguyên. Bổ đề: Cho phương trình ay2 bx2 1 trong đó a b 1 (3) Nếu phương trình có nghiệm (x0 ; y0 ) thì phương trình cũng có nghiệm (x1; y1) với Câu 3 x1 (a b)x0 2ay0 2.0 4 điểm y1 2bx0 (a b)y0 Thật vậy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ay1 bx1 a[4b x0 +4b(a+b)x0 y0 +(a+b) y0 ] - b[(a+b) x0 +4a(a+b)x0 y0 +4a y0 ] 2 2 2 2 2 2 =(a b) (ay0 bx0 ) 4ab(ay0 bx0 ) (a b) 1 (đpcm) Áp dụng bổ đề ta thấy các cặp số sau là nghiệm của phương trình (2) xn 1 4023xn 4024yn x0 1 với . yn 1 4022xn 4023yn y0 1 1.0 Dễ thấy các cặp số (xn ; yn ) không trùng nhau nên phương trình (2) có vô số nghiệm. Do đó phương trình (1) có vô số nghiệm. B'' D A B' Câu 4 C'' 4 điểm H C' 0.5 C B A'' A'
4. Định lý Pascal: Trên đường tròn (O) cho 6 điểm phân biệt A,B,C,D,E,F (không kể thứ tự) sao cho đường thẳng AB cắt đường thẳng DE tại P, đường thẳng BC cắt đường thẳng EF tại Q, đường thẳng CD cắt FA tại R. Khi đó các điểm P, Q, R thẳng hàng. 0.5 Áp dụng định lý Pascal cho các điểm A, A’, D, C’, C, B ta có H, A’’, C’’ thẳng hàng 1.5 Áp dụng định lý Pascal cho các điểm B’, D, C’, C,A, B ta có B’’, C’’, H thẳng hàng 1.5 Xét hình vuông 10 x 10 như hình vẽ (gồm 10 hàng và 10 cột). Giả sử thí sinh A bất kỳ có điểm bài thi 1 là i , điểm bài thi 2 là j được biểu diễn bởi ô vuông ở hàng i và cột j với i, j nhận giá trị từ 1 đến 10. Khi đó các ô của hình vuông sẽ biểu 1,5 diễn các cặp điểm của mỗi thí sinh. Điểm số của 20 thí sinh được biểu diễn bởi 20 ô vuông khác nhau. Ta chia hình vuông thành 10 miền như sau: + Miền 1 gồm các ô ở cột 1 và hàng 10. 10 + Miền 2 gồm các ô còn lại ở cột 2 và 9 hàng 9. + Miền 3 gồm các ô còn lại ở cột 3 và Câu 5 8 hàng 8. 4 điểm 7 6 1,5 5 4 + Miền 9 gồm các ô còn lại ở cột 9 và 3 hàng 2. 2 + Miền 10 là 1 ô ở cột 10 và hàng 1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Dễ thấy điểm số của 2 thí sinh A, B được biểu diễn bởi 2 ô thuộc cùng một miền thì so sánh được với nhau. Giả sử không có 3 thí sinh A, B, C nào có điểm số được biểu diễn bởi 3 ô thuộc cùng một miền, ta suy ra mỗi miền chứa 2 ô biểu diễn điểm số của 2 trong số 20 thí sinh nên miền 1,0 10 phải có 2 ô phân biệt, trái với kết quả chia miền trên. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. ___ Hết ___