Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 THPT - Năm học 2013-2014- Sở GD&ĐT Gia Lai

Nội dung text: Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 THPT - Năm học 2013-2014- Sở GD&ĐT Gia Lai

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP GIA LAI 12 DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM HỌC 2013-2014 ——————————— Môn thi : Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 27/09/2013 Đề thi có 01 trang gồm 06 câu ———————————————————————————————————– Câu 1 (3 điểm). Cho hệ sau: x2 + y2 = 1  z2 + t2 = 2013  xt + yz > √2013  Hãy tìm nghiệm của hệ sao cho y + t nhỏ nhất. 5 Câu 2 (3 điểm). Cho dãy số (xn) với x1 = và 2 3 20n + 21 ∗ xn+1 = xn 12xn + (n N ). r − n + 1 ∈ Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Câu 3 (3 điểm). Cho KL và KN là các tiếp tuyến của đường tròn (O), với L, N là các tiếp điểm. Lấy điểm M bất kỳ trên KN (M, K khác phía so với N). Giả sử (O) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác KLM tại điểm thứ hai là P và Q là chân đường vuông góc hạ từ N xuống ML. Chứng minh rằng MPQ\ = 2KML\ ∗ Câu 4 (3 điểm). Xét tất cả các tập hợp X = a1; a2; ; an N có tính chất: khi ta bỏ đi một { }⊂ phần tử bất kỳ trong X thì tập còn lại có thể phân hoạch thành hai tập con khác rỗng sao cho tổng tất cả các phần tử trong mỗi tập con đó bằng nhau. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của n. Câu 5 (4 điểm). Cho A N∗ thỏa mãn các tính chất sau: i) Các số nguyên 1, 2, 3 đều⊂ thuộc A. ii) Nếu a là một phần tử của A thì mọi ước của a cũng thuộc A. iii) Nếu a,b là hai số phân biệt đều lớn hơn 1 của A thì số 1+ ab cũng thuộc A. Hãy chứng minh rằng số 20132014 thuộc A. Câu 6 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số f : R R thỏa mãn → y xf(y) yf(x)= f , x = 0, y R. − x ∀ 6 ∈ ————————————–Hết————————————– Họ và tên thí sinh Số báo danh Thí sinh không sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. 1