Đề thi môn Toán - Kỳ thi học sinh giỏi Lớp 8 THCS cấp huyện - Năm học 2010-2011 - Phòng GD&ĐT huyện Nga Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi môn Toán - Kỳ thi học sinh giỏi Lớp 8 THCS cấp huyện - Năm học 2010-2011 - Phòng GD&ĐT huyện Nga Sơn (Có đáp án)

1. Phòng giáo dục & đào tạo đề thi học sinh giỏi lớp 8 thcs cấp huyện Huyện nga sơn năm học: 2010 - 2011 Đề chính thức Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 01 trang) Ngày thi: 16/ 04/ 2011 Câu 1 ( 4 điểm): 3x2 3 x 1 1 2x2 5x 5 Cho biểu thức: A 3 2 : . x 1 x x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn A . b) Tìm giá trị lớn nhất của A . Câu 2 ( 4 điểm): Cho đa thức P(x) x4 x3 6x2 40x m 1979. a) Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x 2 . b) Với m tìm được, hãy giải phương trình P(x) = 0. Câu 3 (4 điểm): Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đi đến nhà Bình với vận tốc 4 km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bình cũng rời nhà mình để đi đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bình trên đường rồi cả hai cùng đi về nhà Bình, sau đó An trở về nhà mình. Khi về đến nhà mình An tính ra quãng đường mình đi dài gấp bốn lần quãng đường Bình đã đi. Hãy tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình. Câu 4 (6 điểm): Cho hình vuông ABCD . Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C ). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE , Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng kẻ qua E , song song với AB cắt AI ở G . a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi. b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF và AF 2 = FK.FC c) Khi E thay đổi trên BC , chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi. Câu 5 (2 điểm): Cho các số a,b lần lượt thoả mãn các hệ thức sau: a3 3a2 5a 2011 0 , b3 3b2 5b 2005 0 Hãy tính a b . Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. Phòng giáo dục và đào tạo Huyện nga sơn Hướng dẫn chấm Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 6,7,8 năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán lớp 8 Câu ý Tóm tắt lời giải Điểm Câu1 a. 4đ (2đ) ĐK: x 1 0.5 3x2 3 x2 2x 1 x2 x 1 x 1 A . 0.5 x3 1 2x2 5x 5 x2 x 1 x 1 0.5 . x3 1 2x2 5x 5 1 = 0.5 2x2 5x 5 b. 1 1 1 Ta có A = = (2đ) 2 5 25 15 5 15 0.5 2x 5x 5 2(x2 2 x ) 2(x )2 4 16 8 4 8 5 15 15 1 8 Vì 2(x )2  x nên x (1) 0.5 5 15 4 8 8 2(x )2 15 4 8 5 0.5 Dấu “=” xảy ra khi x 1 (2) 4 8 Từ (1) và (2) suy ra max A 15 0.5 Câu2 a. P(x) x 2 x3 3x2 12x 16 m 2011 1.0 4đ (2đ) Do đó P(x) chia hết cho (x 2) m 2011 0 0.5 m 2011 0.5 b. Với m 2011 , P(x) x 2 x3 3x2 12x 16 (2đ) Do đó: P(x) 0 P(x) x 2 x3 3x2 12x 16 = 0 0.5 0.5 x 2 x 1 (x2 4x 16) 0 x 2 x 1 0
3. 1.0 2 2 x 2 ( Vì x 4x 16 x 2 12 0 x ) x 1 Câu3 4đ Gọi khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình là x (x >0, x đo bằng km). Theo bài ra ta có quãng đường An đã đi đã là 2x , suy 2x x raquãng đường Bình đã đi là . 4 2 1.0 x Do đó quãng đường Bình đi từ nhà đến khi gặp An là , quãng 4 x 3x đường An đI từ nhà đến khi gặp Bình là x . 1.0 4 4 3x Thời gian An đi từ nhà đến khi gặp Bình là (giờ), thời gian 16 x Bình đi từ nhà đến khi gặp An là (giờ) 1.0 12 3x x 1 Theo bài ra, ta có phương trình: 0.5 16 12 3 16 9x -4x =16 x 3,2 (km) 5 0.5 Câu4 a. 6đ 2.0đ A B E G I C F D K x Xét hai tam giác vuông ABE và ADF có AB = AD, Bã AE Cã AF ã ( Cùng phụ với DAE ). Vậy ABE ADF AE AF 0.5 Vì AE AF và AI là trung tuyến của tam giác AEF AI  EF . Hai tam giác vuông IEG và IFK có IE=IF, 0.5 IãEG IãFK ( So le trong) nên IEG= IFK EG=FK. Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG và FK song song 0.5 và bằng nhau nên là hình bình hành. Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK và EF vuông góc
4. nên là hình thoi 0.5 b. Xét hai tam giác AKF và CAF ta có ãAFK Cã FA ( góc chung), 0.5 2.0đ Kã AF ãACF 450 ( AC là đường chéo hình vuông ABCD, AK là trung tuyến của tam giác vuông cân AEF) 0.5 Suy ra tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF. 0.5 Vì tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF nên ta có: AF FK AF 2 FK.FC 0.5 FC AF c. Theo ý a, ta có ABE ADF nên EB = FD 0.5 2.0 đ Tứ giác EGFK là hình thoi nên EK=KF 0.5 Do đó, chu vi tam giác EKC bằng - EK+KC+CE=CF+CE=CD+DF+CE=2CD ( không đổi) 1.0 Câu5 Từ điều kiện đã cho ta có: 2đ a 1 3 2 a 1 2008 0(1), b 1 3 2 b 1 2008 0 (2) 0.5 Cộng theo vế của (1) và (2) ta có 3 3 a 1 b 1 (a b 2) 0 0.5 (a b 2) (a 1)2 a 1 b 1 b 1 2 2(a b 2) 0 (a b 2) (a 1)2 a 1 b 1 b 1 2 2 0 0.5 Vì (a 1)2 a 1 b 1 b 1 2 2 1 2 1 2 1 2 a b a 1 b 1 2 0 a,b 2 2 2 Nên a b 2 0 a b 2 0.5 Ghi chú: - Bài hình học nếu học sinh không vẽ hình hoặc hình sai cơ bản thì không chấm. điểm. - Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. Hết