Đề thi môn Toán Lớp 12 - Kỳ thi chọn học sinh giỏi THPT - Năm học 2017-2018 - Sơ GD&ĐT Hà Nam (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi môn Toán Lớp 12 - Kỳ thi chọn học sinh giỏi THPT - Năm học 2017-2018 - Sơ GD&ĐT Hà Nam (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2017 - 2018 (Đề thi cú 01 trang) Mụn: Toỏn – Lớp 12 Thời gian làm bài: 180 phỳt. Cõu 1. (5,0 điểm) 1. Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 + 3(1- m2 )x + m3 - m2 , với m là tham số thực. Chứng minh rằng m Ă hàm số trờn luụn cú hai điểm cực trị. Tỡm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số trờn thỏa món điều kiện điểm M vừa là điểm cực đại của đồ thị hàm số ứng với giỏ trị này của m đồng thời điểm M vừa là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với giỏ trị khỏc của m . 2x 1 2. Cho hàm số y cú đồ thị (C) , điểm I(3;3) và đường thẳng d : y x m . x 1 Tỡm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phõn biệt A,B sao cho diện tớch tứ giỏc OAIB bằng 6 (O là gốc tọa độ). Cõu 2. (4,0 điểm) 1. Giải bất phương trỡnh sau trờn tập số thực ổ 2 ử 2 ỗ 16x + 96x + 208 ữ x + 9 + log2 ỗ ữÊ 2 3x + 4 - 6x + 3 5x + 9 . ốỗ 12x + 16 + 45x + 81ứữ ỡ ù y 2x+1 x ù 2.4 + 1= 2 + 2log2 ( ) ù y 2. Giải hệ phương trỡnh sau trờn tập số thực ớù . ù x2 - x - 23 4y2 + 1 ù x + 1 = ù 3 ợù 2x + 1- 3 p 2 x2 Cõu 3. (2,0 điểm) Tớnh tớch phõn I = dx. ũ 2 2 p (x - 1)cos x + 1- xsin 2x 4 Cõu 4. (5,0 điểm) 1. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và B. Biết AB=SD=3a, AD=SB=4a, đường chộo AC vuụng gúc với mặt phẳng (SBD). Tớnh theo a thể tớch khối chúp S.ABCD và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BD và SA. 2. Cho mặt cầu cú tõm O và bỏn kớnh R. Từ một điểm S bất kỳ trờn mặt cầu ta dựng ba cỏt tuyến bằng nhau, cắt mặt cầu tại cỏc điểm A, B, C ( khỏc với S) và ÃSB = BãSC = CãSA = a . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC theo R và . Khi thay đổi, tỡm để thể tớch khối chúp S.ABC lớn nhất. Cõu 5. (2,0 điểm) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua điểm A(2; 2;5) và tiếp xỳc với cỏc mặt phẳng ( ) : x 1;( ) : y 1;( ) : z 1 . Viết phương trỡnh mặt cầu (S) . Cõu 6. (2,0 điểm) Cho a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món ab 1 và c(a b c) 3 . b + 2c a + 2c Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + 6ln(a + b + 2c) . 1+ a 1+ b HẾT Họ và tờn thớ sinh .Số bỏo danh Người coi thi số 1 .Người coi thi số 2.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT HÀ NAM NĂM HỌC 2017 - 2018 (Hướng dẫn chấm cú 07 trang) Hướng dẫn chấm mụn: Mụn Toỏn – Lớp 12 Cõu ý Nội dung Điểm Cõu 1. TXĐ: D = Ă 0,25 1 (2,5đ) y ' = - 3x2 + 6mx + 3(1- m2 ) 5,0đ x m 1 y' 0 Hàm số luụn cú hai điểm cực trị 0,25 x m 1 x m 1 y m2 3m 2 . 0,25 Điểm cực tiểu của đồ thị (m 1; m2 3m 2) 0,25 x m 1 y m2 3m 2 . 0,25 Điểm cực đại của đồ thị (m 1; m2 3m 2) 0,25 Quỹ tớch điểm cực tiểu của đồ thị là (P): y x2 x 0,25 Quỹ tớch điểm cực đại của đồ thị là (P’): y x2 5x 2 0,25 Điểm M vừa là điểm cực đại ứng với giỏ trị này của m, vừa là điểm cực tiểu ứng với giỏ trị khỏc của m nờn tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 1 2 x y x x 2 y x2 5x 2 1 0,25 y 4 1 1 Vậy M ( ; ) 0,25 2 4 2. TXĐ: D = Ă \ {- 1} 2,5đ 2x 1 Phương trỡnh hoành độ giao điểm : x m . x 1 0,25 x2 (3 m)x 1 m 0 . 0,25 m2 2m 5 0m . 0,25 Đường thẳng d luụn cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A, B Gọi A(x1; x1 m),B(x2; x2 m) Theo Vi-ột x1 x2 m 3; x1x2 1 m 0,25 2 2 2 AB 2(x2 x1) 2[(x1 x2 ) 4x1x2 ] 2(m 2m 5) 0,25 0,25 OI 3 2 Tứ giỏc OAIB cú OI  AB 0,25 1 1 2 S OI.AB .3 2. 2(m 2m 5) . 0,25 OAIB 2 2 0,25 3 m2 2m 5 2 ị SDOAIB = 6 Û m - 2m + 5 = 2 Û m = 1 0,25
3. 1. 4 ĐK: x 2,0đ 3 16(x2 6x 13) BPT x2 9 log 2 3x 4 6x 3 5x 9 2 2 3x 4 3 5x 9 0,25 2 2 0,25 x + 6x + 13+ log2 (x + 6x + 13) Ê 2 3x + 4 + 3 5x + 9 + log2 (2 3x + 4 + 3 5x + 9) 1 Xột hàm số f (t)= log t + t , với t > 0 cú f '(t)= + 1> 0, " t > 0 . 2 t ln 2 Do đú hàm số f (t) đồng biến trờn (0;+ Ơ ) . 0,25 Cõu 2 BPT cú dạng f (x2 + 6x + 13) Ê f (2 3x + 4 + 3 5x + 9) 0,25 4,0đ Û x2 + 6x + 13Ê 2 3x + 4 + 3 4x + 5 0,25 Û x2 + x + 2(x + 2- 3x + 4) + 3(x + 3- 5x + 9) Ê 0 0,25 2(x2 x) 3(x2 x) (x2 x) 0 x 2 3x 4 x 3 5x 9 2 3 (x2 x)(1 ) 0 x 2 3x 4 x 3 5x 9 0,25 x2 x 0 x [ 1;0] 0,25 ỡ ù y 2x+1 x ù 2.4 + 1= 2 + 2log2 ( )(1) ù y ớù . ù x2 - x - 23 4y2 + 1 ù x + 1 = (2) ù 3 ợù 2x + 1- 3 ùỡ 0 0 1 (1) 4 y 2 2x log x log y 2 2 2 x 2. x 4 y log 2 log y 2 2 log 2 2. 2 2 2 2 2,0đ x 2. x 22 y log 2.y 2 2 log ( 2. ) 2 2 2 0,25 2t 2t 1 f (t) 2 log2 ( 2.t) f '(t) 2.2 .ln 2 0t 0 t ln 2 0,25 Hàm số f(t) đồng biến với t>0 x x 2 PT f (y) f ( ) y 2y x 0,25 2 2 Với 2y2 = x thay vào PT(2) ta cú: x2 - x - 23 2x + 1 x2 - x - 6 x + 1 = Û x + 1 + 2 = 3 2x + 1- 3 3 2x + 1- 3 0,25
4. (x 3)(x 2) ( x 1 2)( x 1 2)(x 2) x 1 2 3 2x 1 3 3 2x 1 3 ( x 1 2)(x 2) 1 3 2x 1 3 3 2x 1 3 ( x 1 2)(x 2) 2x 1 3 2x 1 (x 1)3 x 1 0,25 Xột hàm số g(u) u3 u g '(u) 3u2 1 0u Hàm số g(u) đồng biến, phương trỡnh trở thành g( 3 2x 1) g( x 1) 3 2x 1 x 1 x3 x2 x 0 0,25 x 0(l) 1 5 x (l) 2 1 5 x (t / m) 2 0,25 1 5 1 5 1 5 1 5 x y . Hệ phương trỡnh cú nghiệm ( ; ) 0,25 2 2 2 2 p 2 x2 I = dx ũ 2 p (xcos x - sin x) 0,25 4 2 x xsin xdx . Cõu 2 0,25 sin x (xcos x sin x) 3 4 2,0đ ùỡ x ù u = ù sin x Đặt ớù ù xsin x ù dv = dx ù 2 ợù (xcos x - sin x) 0,25 ùỡ x ù u = ù sin x ớù ù - d(xcos x - sin x) ù dv = ù 2 ợù (xcos x - sin x) 0,25 sin x xcos x du dx sin2 x 1 v xcos x sin x 0,25
5. x 1 2 2 dx I . 2 sin x xcos x sin x sin x 4 0,25 4 p p 2p I = - - - cot x 2 0,25 2 p - 4 p 4 p 2p Vậy I = - - + 1 0,25 2 p - 4 Cõu 1. 4 3,0đ 5,0đ AC  (SBD) (SBD)  (ABCD) 0,25 (SBD)  (ABCD) BD Kẻ SH  BD tại H SH  (ABCD) 0,25 0,25 BD AB2 AD2 5a SB.SD 12a Tam giỏc SBD vuụng tại S nờn: SH 0,25 BD 5 Gọi K là giao điểm của AC và BD. Ta cú AB.AD 12a AK.BD AB.AD AK 0,25 BD 5 AB2 15a AK.AC AB2 AC 0,25 AK 4 1 1 15a 75a2 S AC.BD . .5a 0,25 ABCD 2 2 4 8 1 1 12a 75a2 15a3 V SH.S . . 0,25 S.ABCD 3 ABCD 3 5 8 2 Kẻ đường thẳng d đi qua A và song song với BD Kẻ HE // KA, E thuộc d (SHE)  (SA,d); (SHE)  (SA,d) SE 0,25 Kẻ HF vuụng gúc với SE tại F thỡ HF vuụng gúc với (SA,d) BD//(SA,d) nờn d(BD,SA)=d(BD,(SA,d))=d(H, (SA,d))=HF 0,25
6. 1 1 1 25 25 25 Trong tam giỏc SHF ta cú 0,25 HF 2 SH 2 HE 2 144a2 144a2 72a2 6 2a 6 2a HF d(BD,SA) 0,25 5 5 2 2,0đ Tam giỏc ABC đều, kẻ SO’ vuụng gúc với (ABC) thỡ O’ là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC và O’ thuộc SO. Giả sử SO’ cắt mặt cầu tại D thỡ tam giỏc SAD vuụng tại A Gọi SA=SB=SC=l SA2 l 2 Trong tam giỏc SAD ta cú SO'.SD SA2 SO' (1) SD 2R 0,25 Gọi E trung điểm BC ta cú BC 2l sin BC 2BE 2l sin AO' 2 2 3 3 4 SO' SA2 O' A2 l 1 sin2 (2) 0,25 3 2 l 2 4 4 Từ (1) và (2) ta cú l 1 sin2 l 2R 1 sin2 0,25 2R 3 2 3 2 2 4 2 2 S 4 3R (1 sin )sin 0,25 ABC 3 2 2 4 2 SO' 2R(1 sin ) 0,25 3 2 1 8 3 4 V SO'.S R3 (1 sin2 )2.sin2 0,25 S.ABC 3 ABC 3 3 2 2 Đặt x sin2 0 x 1 2 4 1 Xột hàm số y x(1 x)2 (16x3 24x2 9x) 3 9 1 x 1 2 4 y' (16x 16x 3) y' 0 3 3 x 4 x 0 ẳ ắ 1
7. y’ + 0 - 0 + 1/9 y 0,25 8 3R3 1 1 Thể tớch S.ABC lớn nhất là khi x sin 600 0,25 27 4 2 2 Gọi mặt cầu tõm I(a;b;c) , bỏn kớnh R 0,25 Mặt cầu tiếp xỳc với cỏc mặt ( ) : x 1;( ) : y 1;( ) : z 1 0,25 nờn R a 1 b 1 c 1 Điểm A(2; 2;5) thuộc miền thỏa món : x 1; y 1; z 1 0,25 Mặt cầu cú tõm I và đi qua A nờn a 1;b 1;c 1 Cõu a R 1 5 2,0đ Vậy R a 1 b 1 c 1 b R 1 0,25 c R 1 I(R 1; R 1;R 1) IA R IA2 R2 0,25 (R 1)2 ( R 1)2 (R 4)2 R2 2R2 12R 18 0 R 3 0,25 Vậy mặt cầu (S) cú tõm I(4; 4;4) , bỏn kớnh R 3 0,25 Phương trỡnh mặt cầu : (x 4)2 (y 4)2 (z 4)2 9 0,25 a b 2c 1 a b 2c 1 P 2 6ln(a b 2c) 1 a 1 b 1 1 (a b 2c 1)( ) 6ln(a b 2c) 1 a 1 b 0,25 Ta chứng minh BĐT sau Cõu 1 1 2 (a,b 0;ab 1) 6 1 a 1 b 1 ab 2,0đ Thật vậy 1 1 2 ( a b)2 ( ab 1) 0 (luụn đỳng vỡ ab 1 ) 0,25 1 a 1 b 1 ab Lại cú ab 1 ab 2 1 1 2 4 4 4 16 1 a 1 b 1 ab 3 ab c2 ab bc ca (a c)(b c) (a b 2c)2 0,25
8. 16(a b 2c 1) P 2 2 6ln(a b 2c) (a b 2c) 0,25 16(t 1) Đặt t a b 2c 0 ta cú P 2 6lnt 0,25 t 2 Xột hàm số 16(t 1) 6t 2 16t 32 f (t) 6lnt f '(t) f '(t) 0 t 4 0,25 t 2 t3 t 0 4 + f’(t) - 0 + f(t) f (4) 5 6ln 4 0,25 P 3 6ln 4 MinP 3 6ln 4 khi a b c 1 0,25 Lưu ý: Cỏc cỏch giải khỏc, nếu đỳng thỡ cho điểm tương đương theo từng phần như hướng dẫn chấm. HẾT