Đề thi thử THPT Quốc gia lần 2 môn Toán Lớp 12 - Mã đề 121 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh

Nội dung text: Đề thi thử THPT Quốc gia lần 2 môn Toán Lớp 12 - Mã đề 121 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh

1. Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Nai ĐỀ THI THỬ THPTQG, LẦN II Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Môn Toán – Lớp 12 Năm học 2017 – 2018 Mã đề 121 Thời gian làm bài: 90 phút (Đề kiểm tra có6 trang ) Họ và tên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z 2 Z 7 Z 7 Câu 1. Cho f (x)dx 2, f (t)dt 9. Giá trị của f (z)dz là 1 = 1 = 2 − − A 7. B 3. C 11. D 5. Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x z 1 0. Một vectơ − − = pháp tuyến của (P) có toạ độ là A (1;1; 1). B (1; 1;0). C (1;0; 1). D (1; 1; 1). − − − − − 1 Câu 3. Phần ảo của số phức là 1 i 1 1+ 1 A . B . C i. D 1. 2 −2 −2 − Câu 4. Điểm M(2; 2) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nào? − A y 2x3 6x2 10. B y x4 16x2. C y x2 4x 6. D y x3 3x2 2. = − + − = − = − + − = − + Câu 5. Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 có thể tích là V. Gọi M là điểm tuỳ ý trên cạnh AA0. Thể tích của khối đa diện M.BCC0B0 tính theo V là V V V 2V A . B . C . D . 2 6 3 3 Câu 6. Biết đồ thị của một trong bốn phương án A, B, C, D như hình vẽ. Đó là y hàm số nào? A y x3 3x. B y x3 3x. C y x4 2x2. D y x4 3x. = − + = − = − = − − x O Câu 7. Cho 0 a 1 và x, y là các số thực âm. Khẳng định nào sau đây đúng? < 6= µ ¶ 2 x loga( x) A loga( x y) 2loga x loga y. B loga − . − = − + y = loga( y) ¡ ¢ ¡− ¢ C log (xy) log x log y. D log x4 y2 2 log x2 log y . a = a + a a = a + a | | Câu 8. Hàm số nào trong các hàm số sau không liên tục trên khoảng ( 1;1)? − A y cos x. B y sin x. = = ( sin x, nếu x 0, C y tan x. D y Ê = = cos x, nếu x 0. < Câu 9. Nguyên hàm của hàm số f (x) sin x cos x là = + A sin x cos x C. B sin x cot x C. C cos x sin x C. D sin x cos x C. − + + + − + + + Câu 10. Số tập hợp con gồm ba phần tử của tập hợp có mười phần tử là A 3 B 3 C 3 D 10 C10. 10 . A10. 3 . Thi thử THPTQG, lần II, 2017 - 2018 Trang 1/6 Mã đề 121
2. Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) có phương trình x2 y2 z2 2x 4y 6z 11 0. + + − − − − = Toạ độ tâm T của (S ) là A T(1;2;3). B T(2;4;6). C T( 2; 4; 6). D T( 1; 2; 3). − − − − − − Câu 12. Gieo ba con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba mặt lập thành một cấp số cộng với công sai bằng 1 là 1 1 1 1 A . B . C . D . 6 36 9 27 Câu 13. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S ):(x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 81 − + − + − = tại điểm P( 5; 4;6) là − − A 7x 8y 67 0. B 4x 2y 9z 82 0. C x 4z 29 0. D 2x 2y z 24 0. + + = + − + = − + = + − + = Câu 14. Tìm hàm số f (x), biết rằng f 0(x) 4px x và f (4) 0. = − = 8xpx x2 40 8xpx x2 88 A f (x) . B f (x) . = 3 − 2 − 3 = 3 + 2 − 3 2 x2 2 C f (x) 1. D f (x) 1. = px − 2 + = px − Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(8;9;2), B(3;5;1), C(11;10;4). Số đo góc A của tam giác ABC là A 150◦. B 60◦. C 120◦. D 30◦. Câu 16. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) 6t 12t2 (m/s2). = + Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 4300 98 A m. B 4300 m. C m. D 11100 m. 3 3 x 3 Câu 17. Có bao nhiêu giá trị của tham số m thoả mãn đồ thị hàm số y + có đúng hai = x2 x m đường tiệm cận? − − A Bốn. B Hai. C Một. D Ba. Câu 18. Cho hai khối nón (N1), (N2). Chiều cao khối nón (N2) bằng hai lần chiều cao khối nón (N1) và đường sinh khối nón (N2) bằng hai lần đường sinh khối nón (N1). Gọi V1, V2 lần lượt là V1 thể tích hai khối nón (N1), (N2). Tỉ số bằng V2 1 1 1 1 A . B . C . D . 16 8 6 4 Câu 19. Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 2x2 3 song song với trục hoành là = − − A một. B ba. C hai. D không. Câu 20. Đạo hàm của hàm số y log2(1 px) là ln2 = + 1 A y0 ¡ ¢. B y0 ¡ ¢ . = 2px 1 px = 1 px ln2 · +1 + 1· C y0 ¡ ¢ . D y0 ¡ ¢ . = px 1 px ln2 = px 1 px ln4 · + · · + · Thi thử THPTQG, lần II, 2017 - 2018 Trang 2/6 Mã đề 121
3. Câu 21. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng 2, độ dài đường chéo của các mặt bên bằng p5. Số đo góc giữa hai mặt phẳng (A1BC) và (ABC) là A 45◦. B 90◦. C 60◦. D 30◦. Câu 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x2(m x) m đồng biến trên = − − khoảng (1;2)? A Hai. B Một. C Không. D Vô số. 2x 1 Câu 23. Các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị hàm số y + = − = x 1 tại hai điểm phân biệt là + A m 1. B m 5. − C m 5 hoặc m 1. D 5 m 1. − − < < − Câu 24. Cho số phức z thoả z z 2 4i. Môđun của z là − | | = − − A 3. B 25. C 5. D 4. x 1 2x 1 Câu 25. Tập nghiệm của phương trình 9 + 27 + là ½ 1¾ = ½ 1 ¾ A . B . C {0}. D ;0 . ; −4 −4 Câu 26. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng qua ba điểm A( 3;0;0), B(0; 2;0), − − C(0;0;1) được viết dưới dạng ax by 6z c 0. Giá trị của T a b c là + − + = = + − A 11. B 7. C 1. D 11. − − − 3 5 Câu 27. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn log b , log d . Nếu a c 9, thì a = 2 c = 4 − = b d nhận giá trị nào? − A 85. B 71. C 76. D 93. ¯ ¯ ¯ ¯ Câu 28. Có bao nhiêu số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: ¯z 10 2i¯ ¯z 2 14i¯ ¯ ¯ − + = + − và ¯z 1 10i¯ 5? − − = A Vô số. B Một. C Không. D Hai. 2 n 2 2n Câu 29. Giả sử (1 x x ) a0 a1x a2x a2nx . Đặt s a0 a2 a4 a2n, khi đó, s bằng − + = + + + ··· + = + + + ··· + 3n 1 3n 1 3n A + . B − . C . D 2n 1. 2 2 2 + Câu 30. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB là ap3 a ap2 A . B a. C . D . 2 2 2 Câu 31. Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số y x3 3x2 9x 5 có phương trình là = − + − A y 9x 7. B y 2x 4. C y 6x 4. D y 2x. = − = − + = − = Câu 32. Nghiệm của bất phương trình log 1 (x 3) 2 là 2 − Ê 13 13 13 13 A 3 x . B 3 x . C x . D x . É É 4 < É 4 É 4 Ê 4 Câu 33. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 7; 8), − − B(2; 5; 9) sao cho khoảng cách từ điểm M(7; 1; 2) đến (P) lớn nhất có một vectơ pháp tuyến #»− − − − là n (a; b;4). Giá trị của tổng a b là = + A 2. B 1. C 6. D 3. − Thi thử THPTQG, lần II, 2017 - 2018 Trang 3/6 Mã đề 121
4. Câu 34. Với n là số nguyên dương, đặt 1 1 1 Sn . = 1p2 2p1 + 2p3 3p2 + ··· + npn 1 (n 1)pn + + + + + Khi đó, limSn bằng 1 1 1 A 1. B . C . D . p2 p2 1 p2 2 − + Câu 35. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) có phương trình x2 y2 z2 2x 6y 8z 599 0. + + − + + − = Biết rằng mặt phẳng (α) : 6x 2y 3z 49 0 cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn (C ) có tâm − + + = là điểm P(a; b; c) và bán kính đường tròn (C ) là r. Giá trị của tổng S a b c r là = + + + A S 13. B S 37. C S 11. D S 13. = − = = = Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn [0; 2018] sao cho ba số x 1 1 x a x x 5 + 5 − , , 25 25− , + 2 + theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng? A 2007. B 2018. C 2006. D 2008. Câu 37. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 4, 1 1 1 = BC 6; chiều cao của lăng trụ bằng 10. Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB , = 1 A1B1, BC. Thể tích khối tứ diện C1KMN là A 15. B 5. C 45. D 10. Câu 38. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 3, BC 4, đường = = thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA 4. Gọi AM, AN lần lượt là chiều cao các tam = giác SAB và SAC. Thể tích khối tứ diện AMNC là 128 256 768 384 A . B . C . D . 41 41 41 41 Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA 2, SB 6, SC 9. Độ = = = dài cạnh SD là A 7. B 11. C 5. D 8. Câu 40. Ba quả bóng dạng hình cầu có bán kính bằng 1 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Mặt cầu (S ) bán kính bằng 2 tiếp xúc với ba quả bóng trên. Gọi M là điểm bất kì trên (S ), MH là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P). Giá trị lớn nhất của MH là Thi thử THPTQG, lần II, 2017 - 2018 Trang 4/6 Mã đề 121
5. p30 p123 p69 52 A 3 . B 3 . C 3 . D . + 2 + 4 + 3 9 Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với O(0;0;0), A( 1;8;1), B(7; 8;5). Phương − − trình đường cao OH của tam giác OAB là   x 8t, x 6t,  =  = A y 16t, (t R). B y 4t, (t R).  = − ∈  = ∈ z 4t, z 5t,  =  = x 5t, x 5t,  =  = C y 4t, (t R). D y 4t, (t R).  = − ∈  = ∈ z 6t, z 6t, = = Câu 42. Cho tứ diện ABCD biết AB BC CA 4, AD 5, CD 6, BD 7. Góc giữa hai đường = = = = = = thẳng AB và CD bằng A 60◦. B 120◦. C 30◦. D 150◦. Câu 43. Cho tứ diện đều ABCD có mặt cầu nội tiếp là (S1) và mặt cầu ngoại tiếp là (S2). Một hình lập phương ngoại tiếp (S2) và nội tiếp trong mặt cầu (S3). Gọi r1, r2, r3 lần lượt là bán kính các mặt cầu (S1), (S2), (S3). Khẳng định nào sau đây đúng? r 2 r 1 r 2 r 1 A 1 và 2 . B 1 và 2 . r2 = 3 r3 = p2 r2 = 3 r3 = p3 r 1 r 1 r 1 r 1 C 1 và 2 . D 1 và 2 . r2 = 3 r3 = p3 r2 = 3 r3 = 3p3 Câu 44. Từ các chữ số thuộc tập hợp S {1, 2, 3, ,8, 9} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số khác nhau sao cho chữ số= 1 đứng trước chữ số 2, chữ số 3 đứng trước chữ số 4 và chữ số 5 đứng trước chữ số 6? A 22680. B 45360. C 36288. D 72576. Câu 45. Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình ³ x ´ µπ 80 ¶ sin cos 0? x2 6 + 2 + x2 32x 332 = + + + A Số nghiệm của phương trình là 8. B Tổng các nghiệm của phương trình là 48. Thi thử THPTQG, lần II, 2017 - 2018 Trang 5/6 Mã đề 121
6. C Phương trình có vô số nghiệm thuộc R. D Tổng các nghiệm của phương trình là 8. Câu 46. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và x [0; 2018], ta có f (x) 0 và f (x) f (2018 x) 1. Z 2018 1 ∀ ∈ > · − = Giá trị của tích phân I dx là = 1 f (x) 0 + A 2018. B 0. C 1009. D 4016. Câu 47. Cho x, y là các số thực thoả mãn (x 3)2 (y 1)2 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức − + − = 3y2 4xy 7x 4y 1 P + + + − là = x 2y 1 + + 114 A 2p3. B p3. C . D 3. 11 Câu 48. Cho số phức z thoả điều kiện z 2 z 2i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức | + | = | + | P z 1 2i z 3 4i z 5 6i = | − − | + | − − | + | − − | ¡ ¢ được viết dưới dạng a bp17 /p2 với a, b là các hữu tỉ. Giá trị của a b là + + A 4. B 2. C 7. D 3. Câu 49. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, gọi (H1) là hình phẳng giới hạn bởi các đường x2 x2 y , y − , x 4, x 4 = 4 = 4 = − = và (H2) là hình gồm tất cả các điểm (x; y) thoả x2 y2 16, x2 (y 2)2 4, x2 (y 2)2 4. + É + − Ê + + Ê y y 4 4 2 x x 4 O 4 4 O 4 − − 2 − 4 4 − − Cho (H1) và (H2) quay quanh trục O y ta được các vật thể có thể tích lần lượt là V1, V2. Đẳng thức nào sau đây đúng? 1 2 A V1 V2. B V1 V2. C V1 V2. D V1 2V2. = 2 = = 3 = x m2 Câu 50. Cho hàm số y − (với m là tham số khác 0) có đồ thị là (C ). Gọi S là diện tích = x 1 hình phẳng giới hạn bởi đồ+ thị (C ) và hai trục toạ độ. Có bao nhiêu giá trị thực của m thoả mãn S 1? A Hai.= B Ba. C Một. D Không. HẾT Thi thử THPTQG, lần II, 2017 - 2018 Trang 6/6 Mã đề 121
7. ĐÁP ÁN BẢNG ĐÁP ÁN CÁC MÃ ĐỀ Mã đề thi 121 1 A 6 A 11 A 16 D 21 D 26 C 31 C 36 A 41 D 46 C 2 C 7 D 12 C 17 B 22 D 27 D 32 B 37 A 42 A 47 D 3 B 8 D 13 D 18 B 23 C 28 B 33 D 38 A 43 C 48 D 4 D 9 A 14 A 19 C 24 C 29 A 34 A 39 A 44 B 49 B 5 D 10 A 15 A 20 D 25 B 30 C 35 C 40 C 45 B 50 A Mã đề thi 122 1 A 6 C 11 B 16 B 21 C 26 C 31 B 36 A 41 C 46 C 2 B 7 D 12 D 17 A 22 C 27 A 32 B 37 D 42 D 47 A 3 D 8 D 13 D 18 A 23 B 28 B 33 A 38 A 43 B 48 A 4 B 9 D 14 D 19 D 24 B 29 D 34 C 39 C 44 D 49 D 5 B 10 D 15 A 20 A 25 A 30 C 35 D 40 C 45 C 50 C Mã đề thi 123 1 B 6 A 11 D 16 D 21 D 26 C 31 D 36 D 41 D 46 A 2 C 7 A 12 B 17 C 22 B 27 D 32 D 37 D 42 A 47 B 3 A 8 C 13 D 18 A 23 C 28 A 33 D 38 D 43 B 48 C 4 A 9 B 14 C 19 D 24 C 29 B 34 A 39 D 44 D 49 A 5 C 10 B 15 D 20 D 25 D 30 C 35 D 40 A 45 B 50 D Mã đề thi 124 1 A 6 C 11 A 16 A 21 D 26 C 31 C 36 A 41 C 46 D 2 D 7 C 12 A 17 D 22 C 27 A 32 D 37 C 42 D 47 B 3 D 8 C 13 A 18 A 23 D 28 A 33 B 38 D 43 A 48 C 4 D 9 C 14 D 19 A 24 C 29 B 34 A 39 B 44 A 49 B 5 C 10 A 15 D 20 D 25 D 30 D 35 A 40 D 45 A 50 B 1
8. Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Nai ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN II Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Môn Toán (Đề kiểm tra gồm 2 trang) Năm học 2017 – 2018 Mã đề test Thời gian làm bài: 90 phút 1 Câu hỏi chính thức Câu 1. Biết đồ thị của một trong bốn phương án A, B, C, D như hình vẽ. Đó là y hàm số nào? A. y x3 3x. B. y x3 3x. C. y x4 3x. D. y x4 2x2. = − = − + = − − = − x O Câu 2. Điểm M(2; 2) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nào? − A. y x3 3x2 2. B. y 2x3 6x2 10. C. y x4 16x2. D. y x2 4x 6. = − + = − + − = − = − + − Câu 3. Cho 0 a 1 và x, y là các số thực âm. Khẳng định nào sau đây đúng? µ x ¶ <log6=( x) A. log a − . B. log (xy) log x log y. a y = log ( y) a = a + a a − ¡ ¢ ¡ ¢ C. log ( x2 y) 2log x log y. D. log x4 y2 2 log x2 log y . a − = − a + a a = a + a | | Z 2 Z 7 Z 7 Câu 4. Cho f (x)dx 2, f (t)dt 9. Giá trị của f (z)dz là 1 = 1 = 2 A. 7. − B. 11.− C. 3. D. 5. Câu 5. Nguyên hàm của hàm số f (x) sin x cos x là = + A. sin x cos x C. B. sin x cot x C. C. cos x sin x C. D. sin x cos x C. + + + + − + − + 1 Câu 6. Phần ảo của số phức là 1 i 1 1 + 1 A. . B. . C. i. D. 1. 2 −2 −2 − Câu 7. Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 có thể tích là V. Gọi M là điểm tuỳ ý trên cạnh AA0. Thể tích của khối đa diện M.BCC0B0 tính theo V là 2V V V V A. . B. . C. . D. . 3 3 6 2 Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x z 1 0. Một vectơ − − = pháp tuyến của (P) có toạ độ là A. (1;0; 1). B. (1; 1; 1). C. (1;1; 1). D. (1; 1;0). − − − − − Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) có phương trình x2 y2 z2 2x 4y 6z 11 0. + + − − − − = Toạ độ tâm T của (S ) là A. T(2;4;6). B. T(1;2;3). C. T( 1; 2; 3). D. T( 2; 4; 6). − − − − − − 1
9. Câu 10. Số tập hợp con gồm ba phần tử của tập hợp có mười phần tử là A. 3 B. 10 C. 3 D. 3 A10. 3 . C10. 10 . Câu 11. Hàm số nào trong các hàm số sau không liên tục trên khoảng ( 1;1)?  − sin x, nếu x > 0, A. y B. y sin x. = = cos x, nếu x 0. 3. < < 3 ⇔ Chọn đáp án D 2
10. 2x 1 Câu 15. Các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị hàm số y + = − = x 1 tại hai điểm phân biệt là + A. 5 m 1. B. m 5 hoặc m 1. − − C. m 1. D. m 5. − Câu 16. Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số y x3 3x2 9x 5 có phương = − + − trình là A. y 9x 7. B. y 6x 4. C. y 2x. D. y 2x 4. = − = − = = − + Câu 17. Đạo hàm của hàm số y log2(1 px) là 1 = + 1 A. y0 ¡ ¢ . B. y0 ¡ ¢ . = px 1 px ln4 = px 1 px ln2 · ln2+ · · 1+ · C. y0 ¡ ¢. D. y0 ¡ ¢ . = 2px 1 px = 1 px ln2 · + + · 3 5 Câu 18. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn log b , log d . Nếu a c 9, thì a = 2 c = 4 − = b d nhận giá trị nào? − A. 93. B. 76. C. 85. D. 71. Lời giải. • Ta có b a3/2, c d5/4. Giả sử a x2, b y4, với x, y là các số nguyên dương. = = = = • Ta có a c x2 y4 (x y2) (x y2) 9. − = − = − · + = Suy ra (x y2; x y2) (1;9). Dễ dàng suy ra x 5, y 2. − + = = = • Do đó, b d x3 y5 93. − = − = Chọn đáp án A Câu 19. Nghiệm của bất phương trình log 1 (x 3) > 2 là 2 − 13 13 13 13 A. 3 x 6 . B. x > . C. x 6 . D. 3 6 x 6 . < 4 4 4 4 x 1 2x 1 Câu 20. Tập nghiệm của phương trình 9 + 27 + là ½ 1¾ ½ 1 ¾ = A. . B. ;0 . C. {0}. D. . −4 −4 ; Câu 21. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) 6t 12t2 (m/s2). = + Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 4300 98 A. 11100 m. B. m. C. m. D. 4300 m. 3 3 Câu 22. Tìm hàm số f (x), biết rằng f 0(x) 4px x và f (4) 0. = − = 8xpx x2 88 2 x2 A. f (x) . B. f (x) 1. = 3 + 2 − 3 = px − 2 + 8xpx x2 40 2 C. f (x) . D. f (x) 1. = 3 − 2 − 3 = px − 3
11. Câu 23. Cho số phức z thoả z z 2 4i. Môđun của z là − | | = − − A. 5. B. 25. C. 3. D. 4. ¯ ¯ ¯ ¯ Câu 24. Có bao nhiêu số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: ¯z 10 2i¯ ¯z 2 14i¯ − + = + − ¯ ¯ và ¯z 1 10i¯ 5? − − = A. Một. B. Hai. C. Không. D. Vô số. Lời giải. Gọi M(x; y) biểu diễn cho z, ta có hệ  3x 4y 12 0, − + = (x 1)2 (y 10)2 25. − + − = Để ý đường thẳng 3x 4y 12 0 tiếp xúc với đường tròn (x 1)2 (y 10)2 25, nên chỉ có một − + = − + − = số phức. Chọn đáp án A Câu 25. Cho hai khối nón (N1), (N2). Chiều cao khối nón (N2) bằng hai lần chiều cao khối nón (N1) và đường sinh khối nón (N2) bằng hai lần đường sinh khối nón (N1). Gọi V1, V2 lần V1 lượt là thể tích hai khối nón (N1), (N2). Tỉ số bằng V2 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 6 16 8 Câu 26. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(8;9;2), B(3;5;1), C(11;10;4). Số đo góc A của tam giác ABC là A. 150◦. B. 30◦. C. 120◦. D. 60◦. Câu 27. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng qua ba điểm A( 3;0;0), B(0; 2;0), − − C(0;0;1) được viết dưới dạng ax by 6z c 0. Giá trị của T a b c là + − + = = + − A. 7. B. 11. C. 1. D. 11. − − − Lời giải. Phương trình mặt phẳng (ABC) là 2x 3y 6z 6 0. Chọn đáp án C + − + = Câu 28. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S ):(x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 81 − + − + − = tại điểm P( 5; 4;6) là − − A. 4x 2y 9z 82 0. B. 2x 2y z 24 0. C. 7x 8y 67 0. D. x 4z 29 0. + − + = + − + = + + = − + = Câu 29. Gieo ba con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba mặt lập thành một cấp số cộng với công sai bằng 1 là 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 36 6 27 Lời giải. • Số phần tử không gian mẫu là 63 216. = 4
12. • Các bộ ba số lập thành một cấp số cộng là (1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (4,5,6). Bốn trường hợp trên với các hoán vị sẽ có 4 6. · 24 1 • Xác suất cần tìm là . 216 = 9 Chọn đáp án A Câu 30. Giả sử (1 x x2)n a a x a x2 a x2n. Đặt s a a a a , khi đó, s − + = 0 + 1 + 2 +···+ 2n = 0 + 2 + 4 +···+ 2n bằng 3n 1 3n 1 3n A. 2n 1. B. + . C. − . D. . + 2 2 2 Lời giải. • Thay x 1 vào giải thiết đã cho, ta được = a a a a 1. (1) 0 + 1 + 1 + ··· + 2n = • Thay x 1 vào giải thiết đã cho, ta được = − a a a a 3n. (2) 0 − 1 + 2 − ··· + 2n = • Cộng (1) và (2), ta có 3n 1 2(a a a a ) + = 0 + + 2 + 4 + ··· + 2n 3n 1 hay s + = 2 Chọn đáp án B Câu 31. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng 2, độ dài đường chéo của các mặt bên bằng p5. Số đo góc giữa hai mặt phẳng (A1BC) và (ABC) là A. 60◦. B. 45◦. C. 30◦. D. 90◦. Lời giải. • Gọi M là trung điểm cạnh BC, thì góc cần tìm là A1 C1 Aà1MA. • Trong tam giác A1 AC, ta có B1 q A A A C2 AC2 p5 4 1. 1 1 = 1 − = − = • Trong tam giác A1 AM, ta có A1 A 1 1 A C tan A1MA . = AM = p3 = p3 2 · 2 2 M B • Góc cần tìm bằng 30◦. Chọn đáp án C 5
13. Câu 32. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB là a ap2 ap3 A. . B. . C. a. D. . 2 2 2 Lời giải. Gọi là giao điểm của và . Ta có O AC BD AC S vuông góc với mặt phẳng (SBD) tại O. Kẻ OH vuông góc SB, thì OH là khoảng cách cần tìm. Tam giác SOB vuông cân tại O, nên H SB a OH . = 2 = 2 A D B O C Chọn đáp án A Câu 33. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 4, 1 1 1 = BC 6; chiều cao của lăng trụ bằng 10. Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB , = 1 A1B1, BC. Thể tích khối tứ diện C1KMN là A. 15. B. 10. C. 5. D. 45. Lời giải. • Ta có VC1KMN VM.C1KN . = A1 C1 • MB1 vuông góc (BCC1B1), nên M 6 1 B1 V MB S . 2 MC1KN = · 1 · C1KN 3 10 5 SC KN SBCC B SKB C SNCC SKBN 1 = 1 1 − 1 1 − 1 − K 15 60 15 15 A C = − − − 2 5 45 3 . 4 N = 2 3 B 1 45 • V 2 15. MC1KN = 3 · · 2 = Chọn đáp án A Câu 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 3, BC 4, đường = = thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA 4. Gọi AM, AN lần lượt là chiều cao các tam = giác SAB và SAC. Thể tích khối tứ diện AMNC là 768 128 256 384 A. . B. . C. . D. . 41 41 41 41 6
14. Lời giải. S 4 N M A C 3 4 B 1 • Ta có AM (SBC), nên V AM S . ⊥ AMNC = 3 · · MNC • SC (AMN), nên tam giác MNC vuông tại N. Do đó ⊥ 1 1 p p V AM MN NC AM AN2 AM2 AC2 AN2, AMNC = 6 · · · = 6 · · − · − 12 20p41 ở đây AM , AN , AC 5. = 5 = 41 = Chọn đáp án B Câu 35. Ba quả bóng dạng hình cầu có bán kính bằng 1 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Mặt cầu (S ) bán kính bằng 2 tiếp xúc với ba quả bóng trên. Gọi M là điểm bất kì trên (S ), MH là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P). Giá trị lớn nhất của MH là 7
15. p30 p69 p123 52 A. 3 . B. 3 . C. 3 . D. . + 2 + 3 + 4 9 Lời giải. S A G B C Gọi A, B, C là tâm của các mặt cầu bán kính bằng 1 và S là tâm của mặt cầu bán kính bằng 2. Ta có AB BC CA 2, SA SB SC 1 2 3. = = = = = = + = Do đó, hình chóp S.ABC là hình chóp đều. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, thì SG ⊥ (ABC). Ta có v u à !2 p u 2 2p3 p69 SG SA2 AG2 t32 . = − = − 3 · 2 = 3 Khoảng cách lớn nhất là p69 p69 2 1 3. 3 + + = 3 + Chọn đáp án B Câu 36. Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với O(0;0;0), A( 1;8;1), B(7; 8;5). Phương − − trình đường cao OH của tam giác OAB là   x 5t, x 8t,  =  =   A. (t R). B. (t R). y 4t, ∈ y 16t, ∈  = −  = −   z 6t, z 4t,  =  = x 6t, x 5t,  =  =   C. (t R). D. (t R). y 4t, ∈ y 4t, ∈  =  =   z 5t, z 6t, = = Lời giải. 8
16. Để ý rằng OH nằm trong mặt phẳng (OAB) và OH vuông góc với AB, nên một vectơ chỉ phương # » của OH là tích có hướng của AB và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB). Chọn đáp án D Câu 37. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 7; 8), − − B(2; 5; 9) sao cho khoảng cách từ điểm M(7; 1; 2) đến (P) lớn nhất có một vectơ pháp tuyến #»− − − − là n (a; b;4). Giá trị của tổng a b là = + A. 1. B. 2. C. 6. D. 3. − Lời giải. • Mặt phẳng cần tìm sẽ vuông góc với (ABM). Một vectơ pháp tuyến của nó là tích có hướng # » của vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABM) và AB. • Cũng có thể làm như sau: Khoảng cách lớn nhất là MH với H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB. Ta tìm được H(3; 3; 10). − − Chọn đáp án D Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn [0; 2018] sao cho ba số x 1 1 x a x x 5 + 5 − , , 25 25− , + 2 + theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng? A. 2007. B. 2008. C. 2006. D. 2018. Lời giải. • Ba số đã cho lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi x x x 1 1 x 25 25− 5 + 5 − a. (3) + + + = x x • Đặt t 5 5− , t 2,(3) trở thành = + > t2 5t 2 a. (4) + − = • Lập bảng biến thiên của hàm số f (t) t2 5t 2 trên nửa khoảng [2; ),(4) có nghiệm = + − +∞ khi và chỉ a > 12. Chọn đáp án A Câu 39. Cho tứ diện ABCD biết AB BC CA 4, AD 5, CD 6, BD 7. Góc giữa hai = = = = = = đường thẳng AB và CD bằng A. 120◦. B. 30◦. C. 150◦. D. 60◦. Lời giải. 9
17. Ta có # » # » # » # » AB CD cos(AB,CD) · = AB CD # » · ¡# » # »¢ AB AD AC · − = AB CD # » # »· # » # » AB AD AB AC · − · = AB CD · AB2 AD2 BD2 (AB2 AC2 BC2) + − − + − = 2 AB CD · · AD2 BC2 AC2 BD2 + − − = 2 AB CD 1 · · . = −2 Vậy góc cần tìm bằng 60◦. Chọn đáp án D Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA 2, SB 6, SC 9. Độ = = = dài cạnh SD là A. 7. B. 5. C. 8. D. 11. Lời giải. Cách 1. Gọi O là tâm của đáy. Ta có AC2 SA2 SC2 2 SO2 + = · + 2 và BD2 SB2 SD2 2 SO2 . + = · + 2 Do ABCD là hình chữ nhật, nên AC BD. Từ những điều trên, ta có = SA2 SC2 SB2 SD2. + = + Cách 2. Gọi SH là chiều cao của hình chóp S.ABC. Đường thẳng qua H và song song với các cạnh AB, BC cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, P, N, Q như hình vẽ. Đặt SH h, = BP x, PC y, CN z, ND t. Ta có = = = = SA2 SH2 AH2 h2 x2 t2, = + = + + SB2 SH2 BH2 h2 x2 z2, = + = + + SC2 SH2 CH2 h2 y2 z2, = + = + + SD2 SH2 DH2 h2 y2 t2. = + = + + Do đó, SA2 SC2 2h2 x2 y2 z2 t2 SB2 SD2. + = + + + + = + Chú ý. Cách chứng minh cho trường hợp này cũng đúng khi H nằm ngoài miền của hình chữ nhật. Lời bình. Có lẽ, việc xét hình chóp với SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) dễ dàng cho ta nhận xét là SA2 SC2 SB2 SD2. Chọn đáp án A + = + 10
18. S Q A D t N M H z B x P y C Câu 41. Với n là số nguyên dương, đặt 1 1 1 Sn . = 1p2 2p1 + 2p3 3p2 + ··· + npn 1 (n 1)pn + + + + + Khi đó, limSn bằng 1 1 1 A. 1. B. . C. . D. . p2 p2 1 p2 2 Lời giải. − + • Chú ý với mọi số nguyên dương k, ta có 1 1 1 . kpk 1 (k 1)pk = pk − pk 1 + + + + Lần lượt thay k 1,2, , n, cộng lại ta được = 1 Sn 1 . = − pn 1 + Do đó, limS 1. n = Chọn đáp án A Câu 42. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) có phương trình x2 y2 z2 2x 6y 8z 599 0. + + − + + − = Biết rằng mặt phẳng (α) : 6x 2y 3z 49 0 cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn (C ) có tâm − + + = là điểm P(a; b; c) và bán kính đường tròn (C ) là r. Giá trị của tổng S a b c r là = + + + A. S 13. B. S 37. C. S 11. D. S 13. = − = = = Lời giải. Tâm T( 5; 1; 7), bán kính r 24. Chọn đáp án C − − − = 11
19. Câu 43. Cho x, y là các số thực thoả mãn (x 3)2 (y 1)2 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức − + − = 3y2 4xy 7x 4y 1 P + + + − là = x 2y 1 + + 114 A. 3. B. p3. C. . D. 2p3. 11 Lời giải. • Từ giả thiết ta có 6x 2y x2 y2 5. Do đó, + = + + x2 4xy 4y2 x 2y 4 4 P + + + + + x 2y . = x 2y 1 = + + x 2y 1 + + + + 4 • Đặt t x 2y, P t . Theo bất đẳng thức B.C.S, ta có = + = + t 1 + £ ¤ [(x 3) 2(y 1)]2 5 (x 3)2 (y 1)2 25. − + − 6 − + − = Suy ra 5 (x 3) 2(y 1) 5 0 t 10. − 6 − + − 6 ⇒ 6 6 • Theo bất đẳng thức Cauchy 4 t 1 > 4 P > 3. + + t 1 ⇒ + • Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 t 1 t 1. + = t 1 ⇔ = + Khi đó  x 2y 1, µ 17 6¶ + = (x 1 y 0) x y . ⇔ = ∧ = ∨ = 5 ∧ = −5 (x 3)2 (y 1)2 5 − + − = Chọn đáp án A Câu 44. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, gọi (H1) là hình phẳng giới hạn bởi các đường x2 x2 y , y − , x 4, x 4 = 4 = 4 = − = và (H2) là hình gồm tất cả các điểm (x; y) thoả x2 y2 16, x2 (y 2)2 4, x2 (y 2)2 4. + 6 + − > + + > Cho (H1) và (H2) quay quanh trục O y ta được các vật thể có thể tích lần lượt là V1, V2. Đẳng thức nào sau đây đúng? 1 2 A. V1 V2. B. V1 V2. C. V1 V2. D. V1 2V2. = 2 = 3 = = Lời giải. 12
20. y y 4 4 2 x x 4 O 4 4 O 4 − − 2 − 4 4 − − • V1 bằng thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng 4 và chiều cao bằng 8 trừ bốn lần thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi vật thể giới hạn bởi các đường x 2py, x 0, y 0, x 4 = = = = quay quanh trục O y. Z 4 2 V1 π 4 8 4π 2ydy 64π. = · · − 0 = • Thể tích 4 ¡ 3 3 3¢ V2 π 4 2 2 64π. = 3 − − = Chọn đáp án C x m2 Câu 45. Cho hàm số y − (với m là tham số khác 0) có đồ thị là (C ). Gọi S là diện tích = x 1 hình phẳng giới hạn bởi đồ+ thị (C ) và hai trục toạ độ. Có bao nhiêu giá trị thực của m thoả mãn S 1? = A. Không. B. Một. C. Hai. D. Ba. Lời giải. m2 1 • Ta có y0 + 0, x 1, nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định với mọi m. = (x 1)2 > ∀ 6= + •( C ) cắt trục hoành tại A(m2;0) và cắt trục tung B(0; m2). − Z m2 2 x m ¡ ¢ ¡ ¢ • S − dx m2 1 ln m2 1 m2. = − x 1 = + + − 0 + £ ¡ ¢ ¤ • S 1 (m2 1) ln m2 1 1 0 m pe 1. = ⇔ + · + − = ⇔ = ± − Chọn đáp án C Câu 46. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và x [0; 2018], ta có f (x) 0 và f (x) f (2018 x) 1. Z 2018 1 ∀ ∈ > · − = Giá trị của tích phân I dx là = 0 1 f (x) A. 2018. B. 4016.+ C. 0. D. 1009. Lời giải. 13
21. • Đặt t 2018 x, dt dx. Khi đó = − = − Z 0 dt Z 2018 dt Z 2018 f (t)dt I 1 . = − 2018 1 f (2018 t) = 0 1 = 0 1 f (t) + − + f (t) + Do đó Z 2018 1 Z 2018 f (x) Z 2018 2I I I dx dx 1dx 2018. = + = 1 f (x) + 1 f (x) = = 0 + 0 + 0 Vậy I 1019. = Chọn đáp án D Câu 47. Cho số phức z thoả điều kiện z 2 z 2i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức | + | = | + | P z 1 2i z 3 4i z 5 6i = | − − | + | − − | + | − − | ¡ ¢ được viết dưới dạng a bp17 /p2 với a, b là các hữu tỉ. Giá trị của a b là + + A. 3. B. 2. C. 7. D. 4. Lời giải. 7 y C 6 5 B 4 3 M A M0 2 1 A0 x 1 O 1 2 3 4 5 6 7 − 1 − Cách 1 • Đặt E( 2;0), F(0; 2), A(1,2), B(3,4), C(5,6), M(x, y) biểu diễn cho số phức z. − − • Từ giả thiết, ta có M thuộc đường trung trực ∆ : y x của đoạn EF và P AM BM CM. = = + + • Ta chứng minh điểm M chính là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng ∆. – Với M0 tuỳ ý thuộc ∆, M0 khác M. Gọi A0 là điểm đối xứng của A qua ∆. Nhận thấy rằng ba điểm A0, M, C thẳng hàng. – Ta có AM0 BM0 CM0 A0M0 BM0 CM0. + + = + + 14
22. Mà A0M0 CM0 A0C A0M CM AM CM. + > = + = + Lại có B0M BM. Do đó > AM0 BM0 CM0 AM BM CM. + + > + + Cách 2. • Gọi z x yi, (x, y R). Từ giả thiết z 2 z 2i , dẫn đến y x. Khi đó z x xi. = + ∈ | + | = | + | = = + p p p • P (x 1)2 (x 2)2 (x 3)2 (x 4)2 (x 5)2 (x 6)2. = − + − + − + − + − + − • Sử dụng bất đẳng thức p p p a2 b2 c2 d2 (a c)2 (b d)2. + + + > + + + a b Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Ta có c = d p p p p (x 1)2 (x 2)2 (x 5)2 (x 6)2 (x 1)2 (x 2)2 (5 x)2 (6 x)2 − + − + − + − = − + − + − + − p (x 1 6 x)2 (x 2 5 x)2 > − + − + − + − > p34. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 x 2 7 − − x . 6 x = 5 x ⇔ = 2 − − • Mặt khác s p p µ 7¶2 1 1 (x 3)2 (x 4)2 2x2 14x 25 p2 x > . − + − = − + = − 2 + 4 p2 7 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x . = 2 1 2p17 • Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất của P là + . Khi đó a b 3. p2 + = Chọn đáp án A Câu 48. Cho tứ diện đều ABCD có mặt cầu nội tiếp là (S1) và mặt cầu ngoại tiếp là (S2). Một hình lập phương ngoại tiếp (S2) và nội tiếp trong mặt cầu (S3). Gọi r1, r2, r3 lần lượt là bán kính các mặt cầu (S1), (S2), (S3). Khẳng định nào sau đây đúng? r 1 r 1 r 2 r 1 A. 1 và 2 . B. 1 và 2 . r2 = 3 r3 = 3p3 r2 = 3 r3 = p2 r 2 r 1 r 1 r 1 C. 1 và 2 . D. 1 và 2 . r2 = 3 r3 = p3 r2 = 3 r3 = p3 Lời giải. ap6 • Gọi a là cạnh của tứ diện đều. Khi đó, chiều cao h của tứ diện đều bằng . 3 15
23. SA2 ap6 • Bán kính mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là r2 . = 2h = 4 ap6 • Bán kính mặt cầu nội tiếp của tứ diện là r1 h r2 . = − = 12 • Do đó, r : r 1 : 3. 1 2 = b bp3 • Gọi b là cạnh của hình lập phương, thì r2 và r3 . Do đó, r2 : r3 1 : p3. = 2 = 2 = Chọn đáp án D Câu 49. Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình ³ x ´ µπ 80 ¶ sin cos 0? x2 6 + 2 + x2 32x 332 = + + + A. Phương trình có vô số nghiệm thuộc R. B. Số nghiệm của phương trình là 8. C. Tổng các nghiệm của phương trình là 8. D. Tổng các nghiệm của phương trình là 48. Lời giải. • Phương trình đã cho tương đương với ³ x ´ µ 80 ¶ sin sin . (5) x2 6 = x2 32x 332 + + + ³ π π´ • Ta biết rằng hàm số y sin x đồng biến trên khoảng ; . Ta chỉ ra rằng các hàm số = − 2 2 x 60 f (x) và g(x) nhận giá trị trong khoảng này. = x2 6 = x2 32x 332 + + + Thật vậy ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x ¯ ¯ x ¯ 1 ¯ ¯ 6 ¯ ¯ . ¯ x2 6¯ ¯ p 2 ¯ = 2p6 + 2 6x Mặt khác 80 80 80 π 0 6 . < x2 32x 332 = (x 16)2 76 76 < 2 + + + + • Từ những đánh giá trên, (5) xảy ra khi và chỉ khi x 60 x3 48x2 332x 480 0 x 2 x 6 x 40. x2 6 = x2 32x 332 ⇔ − + − = ⇔ = ∨ = ∨ = + + + Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 2 6 40 48. + + = Chọn đáp án D Câu 50. Từ các chữ số thuộc tập hợp S {1, 2, 3, ,8, 9} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên = có chín chữ số khác nhau sao cho chữ số 1 đứng trước chữ số 2, chữ số 3 đứng trước chữ số 4 và chữ số 5 đứng trước chữ số 6? A. 72576. B. 36288. C. 22680. D. 45360. Lời giải. 16
24. • Số các số có chín chữ số khác nhau là 9!. Trong 9! số này, số các số mà chữ số 1 đứng trước chữ số 2 hoặc chữ số 1 đứng sau chữ số 2 là bằng nhau. Do đó, số các số mà chữ số 9! 1 đứng trước chữ số 2 là . 2 • Tương tự, số các số mà chữ số 1 đứng trước chữ số 2 và chữ số 3 đứng trước chữ số 4 là 9! . 4 9! • Số các số cần tìm là 45360. 8 = Chọn đáp án D 2 Câu hỏi dự trữ Câu 51. Một hình trụ có đường cao h 5cm, bán kính đáy bằng r 13cm. Mặt phẳng (P) = = song song với trục của hình trụ và cách trục một đoạn d 12cm. Diện tích thiết diện tạo bởi = khối trụ và mặt phẳng (P) là A. 10p313 cm2. B. 250 cm2. C. 25 cm2. D. 50 cm2. ¡ ¢ Câu 52. Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển của biểu thức P (3 2x)5 1 x2 x4 = − · + + là A. 1562. B. 1563. C. 1320. D. 752. − − Lời giải. Ta có (3 2x)5 243 810x 1080x2 720x3 240x4 32x5. − = − + − + − Hệ số của x5 trong khai triển của P bằng 32 720 810 1562. − − − = − Cũng có thể làm như sau mà không cần khai triển trực tiếp. Giả sử (3 2x)5 a a x a x2 a x3 a x4 a x5 (6) − = 0 + 1 · + 2 · + 3 · + 4 · + 5 · Khi đó ¡ ¢ ¡ ¢ P a a x a x2 a x3 a x4 a x5 1 x2 x4 . = 0 + 1 · + 2 · + 3 · + 4 · + 5 · · + + Hệ số của số hạng chứa x5 của P là a a a . 1 + 3 + 5 Thay x 1 vào (6), ta được = a a a a a a 1. (7) 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = Thay x 1 vào (6), ta được = − a a a a a a 3125. (8) 0 − 1 + 2 − 3 + 4 − 5 = 17
25. Lấy (7) trừ (8), ta được 136 2(a1 a3 a5) 3124 a1 a3 a5 1562. + + = − ⇔ + + = 2 = − Vậy hệ số của số hạng chứa x5 của P là 1562. Chọn đáp án A − Câu 53. Khẳng định nào sau đây đúng về phương trình ³ x ´ µπ 5 ¶ sin cos 0? x2 16 + 2 + x2 14x 98 = + − + A. Phương trình có vô số nghiệm thuộc R. B. Số nghiệm của phương trình là 9. C. Tổng các nghiệm của phương trình bằng 9. D. Tổng các nghiệm của phương trình bằng 19. Lời giải. • Phương trình đã cho tương đương với ³ x ´ µ 5 ¶ sin sin . (9) x2 16 = x2 14x 98 + − + ³ π π´ • Ta biết rằng hàm số y sin x đồng biến trên khoảng ; . Ta chứng tỏ các hàm số = − 2 2 x 5 f (x) và g(x) nhận giá trị trong khoảng này. = x2 16 = x2 14x 98 + − + Thật vậy ¯ ¯ ¯ x ¯ ¯ x ¯ 1 ¯ ¯ 6 ¯ ¯ . ¯ x2 16¯ ¯ p 2 ¯ = 8 + 2 16x Mặt khác 5 5 5 0 6 . < x2 14x 98 = (x 7)2 49 49 − + − + • Từ những đánh giá trên, phương trình (9) xảy ra khi và chỉ khi x 5 x3 19x2 98x 80 0 x 1 x 8 x 10. x2 16 = x2 14x 98 ⇔ − + − = ⇔ = ∨ = ∨ = + − + Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 1 8 10 19. + + = Chọn đáp án D Câu 54. Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình ³ x ´ µπ 60 ¶ sin cos 0? x2 9 + 2 + x2 28x 267 = + + + A. Phương trình có vô số nghiệm thuộc R. B. Số nghiệm của phương trình là sáu. C. Tổng các nghiệm của phương trình là 12. D. Tổng các nghiệm của phương trình là 32. Lời giải. 18
26. • Phương trình đã cho tương đương với ³ x ´ µ 60 ¶ sin sin . (10) x2 9 = x2 28x 267 + + + ³ π π´ • Ta biết rằng hàm số y sin x đồng biến trên khoảng ; . Ta chỉ ra rằng các hàm số = − 2 2 x 60 f (x) và g(x) nhận giá trị trong khoảng này. = x2 9 = x2 28x 267 + + + Thật vậy ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x ¯ ¯ x ¯ 1 ¯ ¯ 6 ¯ ¯ . ¯ x2 9¯ ¯ p 2 ¯ = 6 + 2 9x Mặt khác 60 60 60 0 6 . < x2 28x 267 = (x 14)2 71 71 + + + + • Từ những đánh giá trên, (10) xảy ra khi và chỉ khi x 60 x3 32x2 267x 540 0 x 3 x 9 x 20. x2 9 = x2 28x 267 ⇔ − + − = ⇔ = ∨ = ∨ = + + + Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 3 9 20 32. + + = Chọn đáp án D Câu 55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB 1, đường thẳng SA vuông = góc với mặt phẳng (ABC), SA 1. Gọi P là trung điểm cạnh SD. Góc giữa hai đường thẳng SB = và CP bằng A. 60◦. B. 45◦. C. 30◦. D. 90◦. Lời giải. Gọi O là tâm hình vuông. Góc giữa hai đường thẳng SB và CP là CPO. p6 p2 Tam giác CPO, có CP , OP OC . Sử dụng định lí hàm số côsin, ta tìm được = 2 = = 2 COPƒ 120◦. Từ đó, CPOƒ 30◦. Chọn đáp án C = = Câu 56. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 5, 7, 8; các đỉnh A, B, C của tam giác lần lượt nằm trên ba trục toạ độ Ox, O y, Oz. Thể tích khối tứ diện OABC là 20p11 10p11 A. . B. . C. 20p11. D. 10p11. 3 3 Câu 57. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển của (1 x)s, biết s là tổng các nghiệm − của phương trình 2C3 4A2 19C1 35 0. n − n + n − = A. 3003. B. 1001. C. 5005. D. 1365. − − Lời giải. •2 C3 4A2 19C1 35 0 n3 15n2 71n 105 0 n 3 n 5 n 7. n − n + n − = ⇔ − + − = ⇔ = ∨ = ∨ = • s 3 5 7 15. Hệ số chứa x10 của (1 x)15 là C10 3003. = + + = − 15 = Chọn đáp án A 19
27. Câu 58. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, gọi (H ) là tập hợp các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn điều kiện 1 log 2 1 1 2 2 2 y 6 + 2 1 log 2 1 3 2 3 x + 2 và S là diện tích của hình (H ). Khẳng định nào sau đây đúng? 1 5 3 5 A. 1 S 2. B. S . C. S . D. 2 S 3. 1. = + = + 5 Đặt L limvn. Giá trị của L là = 1 6 A. L . B. L . C. L 1. D. L 2. = 5 = 5 = = Lời giải. • Nhận xét rằng v 0, n 1, nên giới hạn hữu hạn (nếu có) của {v } sẽ không âm. n > ∀ > n µ1¶n n 1 µ1¶n Ta có 2 2 , nên 2 2 X− . • vn 1 vn vn u1 + = + 5 = + n 1 5 = • Qua giới hạn đẳng thức trên, ta được limv 1. n = Chọn đáp án C 20
28. ¯ ¯ ¯ z i ¯ Câu 60. Trong mặt phẳng phức, tập hợp biểu diễn cho số phức z thoả ¯ − ¯ 1 là ¯ z i ¯ = + A. đường tròn tâm (0;1), bán kính R 1. = B. trục thực. C. trục ảo. D. đường trung trực đoạn thẳng OA, với A là điểm biểu diễn cho số phức 3 4i. + Lời giải. y Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn cho z. Từ giả thiết đã cho, dẫn đến 0 y 0. x2 (y 1)2 = ⇔ = + + Chọn đáp án B Câu 61. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình ¡ ¢2 ¡ ¢ x2 37x 210 9cos x2 37x 210 (2x 40)2 9cos(2x 40) − + − − + = + − + là A. 1906. B. 750. C. 125. D. 74. Lời giải. • Đặt a x2 37x 210, b 2x 40. Phương trình đã cho trở thành = − + = + a2 9cosa b2 9cos b. (11) − = − Xét hàm số f (t) t2 9cos t. = − f là hàm số chẵn trên R, nên, trước hết, ta xét với t (0; ). ∈ +∞ • Ta chứng minh f đồng biến trên khoảng (0; ). Ta có f 0(t) 2t 9sin t. +∞ = + – Trong (0,π], ta có 2t 0, sin t 0, nên f 0(t) 0. > > > – Trong khoảng (π; ), thì 2t 9 sin t , nên f 0(t) 2t 9sin t 0. +∞ > | | = + > 21
29. • Vì f chẵn và đồng biến trên (0; ), nên f (t ) f (t ) t t . Từ (11), dẫn đến a b +∞ 1 = 2 ⇔ 1 = ± 2 = hoặc a b. Hay phương trình đã cho có các nghiệm là = − x 5 x 10 x 25 x 34. = ∨ = ∨ = ∨ = Tổng bình phương các nghiệm này là 1906. Chọn đáp án A 3 Tích phân Bài tập 3.1 (4.2 Problem Set 2, Problem 9). Cho f (x) là hàm số liên tục trên [0,1], sao cho Z 1 e2 11 Z 1 e2 1 Z 1 4 f 2(x)dx , f (x) ex dx , x f (x)dx . 0 = 2 + 6 0 · = 2 + 2 0 · = 3 Tính f (0). Bài tập 3.2 (4.3 Problem Set 3, Problem 6). Cho f là hàm không giảm và liên tục trên [0,1], sao cho Z 1 Z 1 f (x)dx 2 x f (x)dx. 0 = 0 · Biết rằng f (1) 10.5. Tính giá trị của f (0) f (0.5). = + Bài tập 3.3 (4.7 Problem Set 7, Problem 4). Cho f là hàm liên tục xác định trên [0,1], sao cho Z 1 Z 1 Z 1 (f (x))2014 dx, (f (x))2015 dx, (f (x))2016 dx 0 0 0 lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức Z 1 (f (x))2 (1 f (x))2 dx. 0 + − Bài tập 3.4 (4.8 Problem Set 8, Problem 7). Cho f là hàm liên tục xác định trên [0,1], sao cho Z 1 Z 1 Z 1 (f (x))2014 dx, (f (x))2015 dx, (f (x))2016 dx 0 0 0 lập thành một cấp số nhân. Tính giá trị của biểu thức f (0) 100 f (0.5) 200 f (1) + · + · . f (0.25) Bài tập 3.5 (4.14 Problem Set 14, Problem 7). Cho hàm không giảm, liên tục f (x) xác định h πi trên 0, . Biết rằng 2 π π Z 2 Z 2 f (x)dx 10, và f (x) sin2 xdx 5. 0 = 0 · = π Z 4 Tìm f (x)dx. 0 22
30. Bài tập 3.6 (4.15 Problem Set 15, Problem 11). Cho hàm số f : R R khả vi và f 0(x) liên −→ tục trên R. Biết rằng f (4) f (0) 20 và − = Z 4 ¡ ¢2 f 0(x) dx 100. 0 = Tìm f (3) f (1). − 4 Hàm số Bài tập 4.1 (4.1 Problem Set 1, Problem 2). Cho µ1 ¶µ1 ¶ µ 1 ¶ f (x) (x 1) x 1 x 1 x 1 . = + 2 + 3 + ··· 2014 + Kí hiệu f (n)(x) để chỉ đạo hàm cấp n của hàm số f . Tìm f (2014)(x). Bài tập 4.2 (4.1 Problem Set 1, Problem 2). Cho a sin x cos x f (x) + − . = a sin x cos x + + h π πi Có bao nhiêu giá trị của a, sao cho f ( x) f (x), với mọi x , ? − = ∈ − 4 4 Bài tập 4.3 (4.15 Problem Set 15, Problem 6). Tìm tất cả các cặp (a, b), với a, b R thoả ∈ mãn 3 asin x f (x) ln + = b 5sin x + là hàm số lẻ. Bài tập 4.4 (4.1 Problem Set 1, Problem 2). Cho 6x 21 28p3x 2 f (x) + + + . = 9x 18 12p3x 2 + − + Tìm giá trị của biểu thức f (f (1)) f (f (2)) f (f (40)). + + ··· + Bài tập 4.5 (4.6 Problem Set 6, Problem 3). Cho x2 f (x) . = x2 100x 5000 − + Tính giá trị của biểu thức f (f (1)) f (f (2)) f (f (40)). + + ··· + 2x 1 Bài tập 4.6 (4.14 Problem Set 14, Problem 1). Cho f (x) log + . Tính giá trị của biểu = 2 2x 1 thức − f (f (1)) f (f (2)) f (f (40)). + + ··· + p3 Bài tập 4.7 (4.15 Problem Set 15, Problem 1). Cho f (x) x 2. Tính giá trị của biểu thức = f (f (f (1))) f (f (f (2))) f (f (f (13))). + + ··· + 23
31. 5 Tâm đối xứng của đồ thị hàm số Bài tập 5.1 (4.10 Problem Set 10, Problem 4). Biết rằng điểm M(x0, y0) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số 3 3 3 f (x) px 1 px 2 px 3 100. = + + + + + + Tìm x y . 0 + 0 Bài tập 5.2 (4.13 Problem Set 13, Problem 6). Biết rằng điểm M(x0, y0) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số x3 13x2 54x 72 f (x) x 301 log − + − . = + + 2 x3 x2 2x + − Tìm x y . 0 + 0 6 Tiếp tuyến Bài tập 6.1 (4.7 Problem Set 7, Problem 3). Cho y 3x 5 là phương trình tiếp tuyến của = − đồ thị hàm số f (x) tại điểm x0. Tìm giá trị của đạo hàm cấp một của hàm số f (x) 5 6f (x) 2x 7 x + + x − + tại điểm x0. 7 Phương trình lượng giác Giải các phương trình sau: ³ x ´ µ 5 ¶ 1) sin sin 0. Đáp số. x 1 x 8 x 10. x2 16 − x2 14x 98 = = ∨ = ∨ = + − + ³ x ´ µ 5 ¶ 2) sin sin 0. Đáp số. x 1 x 3 x 5. x2 3 − x2 4x 23 = = ∨ = ∨ = + − + ³ x ´ µ 30 ¶ 3) sin sin 0. Đáp số. x 3 x 5 x 8. x2 4 − x2 14x 79 = = ∨ = ∨ = + + + ³ x ´ µ 3 ¶ 4) sin sin 0. Đáp số. x 1 x 3 x 5. x2 5 − x2 6x 23 = = ∨ = ∨ = + − + ³ x ´ µ 6 ¶ 5) sin sin 0. Đáp số. x 2 x 3 x 5. x2 5 − x2 4x 31 = = ∨ = ∨ = + − + ³ x ´ µ 5 ¶ 6) sin sin 0. Đáp số. x 3 x 5. x2 9 − x2 6x 39 = = ∨ = + − + ³ x ´ µ 10 ¶ 7) sin sin 0. Đáp số. x 1 x 7 x 20. x2 14 − x2 18x 167 = = ∨ = ∨ = + − + ³ x ´ µ 60 ¶ 8) sin sin 0. Đáp số. x 3 x 9 x 20. x2 9 − x2 28x 267 = = ∨ = ∨ = + + + 24
32. ³ x ´ µ 30 ¶ 9) sin sin 0. Đáp số. x 1 x 3 x 20. x2 2 − x2 6x 83 = = ∨ = ∨ = + + + ³ x ´ µ 20 ¶ 10) sin sin 0. Đáp số. x 1 x 3 x 20. x2 3 − x2 4x 83 = = ∨ = ∨ = + − + ³ x ´ µ 12 ¶ 11) sin sin 0. Đáp số. x 1 x 3 x 20. x2 5 − x2 12x 83 = = ∨ = ∨ = + − + ³ x ´ µ 10 ¶ 12) sin sin 0. Đáp số. x 1 x 3 x 20. x2 6 − x2 14x 83 = = ∨ = ∨ = + − + ³ x ´ µ 50 ¶ 13) sin sin 0. Đáp số. x 3 x 5 x 20. x2 6 − x2 22x 175 = = ∨ = ∨ = + + + ³ x ´ µ 15 ¶ 14) sin sin 0. Đáp số. x 2 x 3 x 20. x2 8 − x2 10x 106 = = ∨ = ∨ = + − + ³ x ´ µ 60 ¶ 15) sin sin 0. Đáp số. x 3 x 9 x 20. x2 9 − x2 28x 267 = = ∨ = ∨ = + + + ³ x ´ µ 12 ¶ 16) sin sin 0. Đáp số. x 3 x 20. x2 15 − x2 14x 129 = = ∨ = + − + ³ x ´ µ 10 ¶ 17) sin sin 0. Đáp số. x 3 x 20. x2 18 − x2 16x 129 = = ∨ = + − + ³ x ´ µ 5 ¶ 18) sin sin 0. Đáp số. x 2 x 3 x 20. x2 24 − x2 20x 106 = = ∨ = ∨ = + − + ³ x ´ µ 6 ¶ 19) sin sin 0. Đáp số. x 3 x 20. x2 30 − x2 20x 129 = = ∨ = + − + ³ x ´ µ 10 ¶ 20) sin sin 0. Đáp số. x 3 x 5 x 20. x2 30 − x2 18x 175 = = ∨ = ∨ = + − + ³ x ´ µ 9 ¶ 21) sin sin 0. Đáp số. x 3 x 6 x 20. x2 40 − x2 20x 198 = = ∨ = ∨ = + − + ³ x ´ µ 60 ¶ 22) sin sin 0. Đáp số. x 1 x 3 x 40. x2 2 − x2 16x 163 = = ∨ = ∨ = + + + ³ x ´ µ 24 ¶ 23) sin sin 0. Đáp số. x 1 x 3 x 40. x2 5 − x2 20x 163 = = ∨ = ∨ = + − + ³ x ´ µ 72 ¶ 24) sin sin 0. Đáp số. x 3 x 40. x2 5 − x2 26x 249 = = ∨ = + + + ³ x ´ µ 80 ¶ 25) sin sin 0. Đáp số. x 2 x 6 x 40. x2 6 − x2 32x 332 = = ∨ = ∨ = + + + ³ x ´ µ 100 ¶ 26) sin sin 0. Đáp số. x 5 x 9 x 40. x2 18 − x2 46x 605 = = ∨ = ∨ = + + + 8 Góc giữa hai cạnh đối của tứ diện # » # » Cho tứ diện ABCD với ABC là tam giác đều. Góc giữa hai vectơ AB và CD bằng 60◦ hay 120◦. 25
33. ³# » # »´ STT Cạnh AB Cạnh AD Cạnh BD Cạnh CD Góc AB, CD 1 3 2 4 4 120◦ 2 3 4 5 3 120◦ 3 4 3 5 4 120◦ 4 4 5 7 6 120◦ 5 5 4 6 4 120◦ 6 5 6 9 9 120◦ 7 6 5 7 4 120◦ 8 7 5 9 8 120◦ 9 7 6 8 4 120◦ 10 8 3 9 9 120◦ 11 8 5 9 7 120◦ 12 8 7 9 4 120◦ 13 9 8 10 4 120◦ 14 3 4 2 4 60◦ 15 3 5 4 3 60◦ 16 4 5 3 4 60◦ 17 4 7 5 6 60◦ 18 4 9 7 8 60◦ 19 5 6 4 4 60◦ 20 5 9 6 9 60◦ 21 6 7 5 4 60◦ 22 7 8 6 4 60◦ 23 7 9 5 8 60◦ 24 8 9 3 9 60◦ 25 8 9 5 7 60◦ 26 8 9 7 4 60◦ 27 9 10 8 4 60◦ 26