Đề thi thử THPT Quốc gia lần 4 môn Toán học (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử THPT Quốc gia lần 4 môn Toán học (Có đáp án)

1. THI THỬ THPT QG LẦN 4 – MÔN TOÁN - HỒNG QUANG 2018 2 Câu 1. Tính giới hạn L = lim . x® + ¥ - 2x + 5 A. L = 0 . B. L = - 1 . C. L = + ¥ . D. L = - ¥ . Nhận biết, chọn A. 2 2 L = lim = lim x = 0 x® + ¥ x® + ¥ 5 - 2x + 5 - 2 + x Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (0;2) . B. (- ¥ ;0) . C. (2;+ ¥ ) . D. (1;5) . Nhận biết, chọn A. Câu 3. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên. Tìm số nghiệm của phương trình f (x)= 1 . A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 0 . Nhận biết, chọn A. Câu 4. Trong bốn hàm số cho dưới đây, hàm số nào có đồ thị như hình bên? A. y = - x4 + 2x2 . B. y = - x4 + 2x2 + 1 . C. y = x4 - 2x2 . D. y = x4 - 2x2 + 1 . Nhận biết, chọn A. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ và hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+ ¥ ) . Câu 5. Cho biểu thức P = 8 x7 (x > 0) . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 7 8 A. P = x 8 . B. P = x 7 . C. P = x56 . D. P = x15 . Nhận biết, chọn A. Câu 6. Tìm nghiệm của phương trình 2x- 5 = 23- 3x A. x = 2 . B. x = - 2 . C. x = 5 . D. x = 1 . Nhận biết, chọn A. 2x- 5 = 23- 3x Û x - 5 = 3- 3x Û 4x = 8 Û x = 2 Câu 7. Cho số phức z = 2- i . Tính z . A. z = 2 + i . B. z = 2- i . C. z = 1+ 2i . D. z = 1- 2i . Nhận biết, chọn A. Câu 8. Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây là sai? 1 1 A. ln xdx = + C, (x > 0) . B. dx = ln x + C (x > 0) . ò x ò x C. òcos xdx = sin x + C . D. òexdx = ex + C . Nhận biết, chọn A.
2. Câu 9. Cho tập hợp A 1;2;3;4;5;6 . Từ các chữ số trong tập hợp A , lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau. A. 30 B. 36 C. 15 D. 12 Lời giải (Nhận biết) Số các số có 2 chữ số khác nhau lập được là 6.5 30. Câu 10. Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây là sai? A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song. B. Hai mặt phẳng không có điểm chung thì song song. C. Đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung thì song song. D. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có điểm chung khác nữa. Lời giải (Nhận biết) Hai đường thẳng không có điểm chung có thể chéo nhau. Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;1;4 . Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên trục x Ox . Tìm tọa độ điểm M . A. M 2;0;0 B. M 0;1;4 C. M 2;1;0 D. M 0;0;4 Lời giải (Nhận biết) Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;2; 1 và mặt phẳng : x y 2z 4 0 . Viết phương trình mặt phẳng  đi qua điểm A và song song với mặt phẳng . A. x y 2z 5 0 B. x y 2z 5 0 x 1 y 2 z 1 C. D. x 2y z 5 0 1 1 2 Lời giải (Nhận biết) Phương trình mặt phẳng  là: 1 x 1 1 y 2 2 z 1 0 x y 2z 5 0 Câu 13. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;0 và B 2;1; 1 . Đường thẳng AB có phương trình là: x 1 3t x 2 t x 1 y 2 z x 1 y 2 z A. B. C. y 2 t D. y 1 3t 1 3 1 1 3 1 z t z 1 t Lời giải (Nhận biết)  + Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là AB 1;3; 1 x 1 y 2 z + Phương trình đường thẳng AB là . 1 3 1 Câu 14. Trái bóng được sử dụng chính thức tại World Cup 2018 có tên là Telstar 18 được sản suất ở thành phố Sialkot, Pakistan. Biết rằng trái bóng hình cầu và có đường kính là 22 cm . Tính thể tích V của trái bóng đó. 5324 1331 A.V cm3 B. V cm3 3 3 42592 10648 C. V cm3 D. V cm3 3 3 Lời giải (Nhận biết) + Bán kính trái bóng là R 11 cm 4 5324 + Thể tích trái bóng là V .R3 cm3 . 3 3 Câu 15. Cho hình chóp có thể tích V , diện tích đáy là S . Chiều cao h của hình chóp đó được tính theo công thức nào trong các công thức sau đây? 3V V 3S S A. h B. h C. h D. h S S V V Lời giải (Nhận biết) 1 3V Ta có V h.S h 3 S
3. ïì 2x - 5 khi x ³ 1 Câu 16. Cho hàm số f (x)= íï . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. ï îï 1- x khi x 0 Û log3 x < 0 Û 0 < x < 1 2 Câu 20. Cho z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z - 3z + 5 = 0 . Tính tổng phần thực và phần ảo 4 của số phức w = z z + (z + z )i . 5 1 2 1 2 A. 7 . B. 5 . C. 12 . D. 4 . Thông hiểu, chọn A. ïì z + z = 3 z2 - 3z + 5 = 0 Þ íï 1 2 ï îï z1z2 = 5 4 w = z z + (z + z )i = 4 + 3i 5 1 2 1 2 3 1 Câu 21. Cho ò f (x)dx = 9 . Tính I = ò f (3x)dx . 0 0 9 A. I = 3 . B. I = 27 . C. I = . D. I = 9 . 2 Thông hiểu, chọn A. t = 3x Þ dt = 3dx 1 1 3 I = ò f (3x)dx = ò f (t)dt = 3 0 3 0 Câu 22. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2sin x 1 0 . 5 13 A. B. C. D. 6 12 6 6 Lời giải (Thông hiểu)
4. x k2 1 + Ta có sin x 6 ,k ¢ 5 2 x k2 6 + Nghiệm dương nhỏ nhất là . 6 Câu 23. Một hộp chứa 18 quả cầu gồm 8 quả cầu màu xanh và 10 quả cầu màu trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để chọn được 2 quả cầu cùng màu. 73 5 80 12 A. B. C. D. 153 17 153 17 Lời giải (Thông hiểu) 2 2 C8 C10 73 Xác suất để chọn được 2 quả cầu cùng màu bằng 2 . C18 153 Câu 24. Cho cấp số cộng có u1 2;u4 11 . Tính tổng 18 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. A. 495 B. 522 C. 477 D. 954 Lời giải (Thông hiểu) + Có u4 u1 3d d 3 . n n 1 + Tổng 18 số hạng đầu tiên là S .d n.u 495. 18 2 1 Câu 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x 2y 3 0. Gọi d ' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo v 1;3 . Viết phương trình đường thẳng d '. A. d : x 2y 8 0 B. d : x 2y 8 0 C. d : x 2y 2 0 D. d : x 2y 3 0 Lời giải (Thông hiểu) + Đường thẳng d đi qua điểm M 3;0 và có vectơ pháp tuyến n 1; 2 + Gọi M ' Tv M M ' 2;3 . Phương trình d ' là 1. x 2 2. y 3 0 x 2y 8 0. Câu 26. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 . Gọi M , N lần lượt là các điểm trên AB, AC và       thỏa mãn AB 3AM , AC 2AN (tham khảo hình vẽ). Tính tích vô hướng MN.CD . 1 1 A A. B. 4 4 M 1 C. 0 D. 2 N D B C Lời giải (Thông   hiểu)  + Đặt AD a; AB b; AC c; 1 Ta có a b c 1;a.b b.c c.a 2    1 1    + Có MN AN AM c b ;CD AD AC a c . 2 3   1 1 1 Vậy MN.CD c b a c 2 3 4 Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho phương trình x2 y2 z2 2 2m 3 x 2 m 1 y 2z 4m2 4m 3 0 1 , m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để 1 không phải là phương trình của mặt cầu. Tính tổng các phần tử của S.
5. A. 9 B. 3 C. 15 D. 16 Lời giải (Thông hiểu) + Điều kiện để 1 không phải là phương trình của mặt cầu là 2m 3 2 m 1 2 12 4m2 4m 3 0 m2 6m 8 0 2 m 4 + Các phần tử của S là: 2;3;4 . Tổng các phần tử của S bằng 9. Câu 28. Gia đình Kha mới lắp một bể cá cảnh hình hộp chữ nhật có thể tích là 576 dm . Chiều3 dài, 3 chiều rộng, chiều cao của bể lần lượt là a, b, h thỏa mãna 2b h. Tìm a. 2 A. a 12 dm B. a 1,2 dm C. a 8 dm D. a 6 dm Lời giải (Thông hiểu) 1 2 Ta có V abh 576 a. a. a a 12 dm 2 3 Câu 29. Cho hình nón N có bán kính đáy là R , góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng 600 . Tính diện tích xung quanh của hình nón N . 2 R2 A. S 2 R2 B. S R2 C. S D. S 3 R2 xq xq xq 3 xq Lời giải (Thông hiểu) R + Độ dài đường sinh của hình nón là l 2R cos600 2 + Diện tích xung quanh là Sxq Rl 2 R Câu 30. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 5a , chiều cao bằng 6a . Cắt hình trụ bằng một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a ta được thiết diện có diện tích là S. Tính S theo a . A. S 48a2 B. S 24a2 C. S 30a2 D. S 12a2 Lời giải (Thông hiểu) + Bán kính đáy là 5a 2 3a 2 4a + Thiết diện là một hình chữ nhật có kích thước bằng 6a và 8a . + Diện tích thiết diện là 6a.8a 48a2 . - 2x - 2 Câu 31. Cho hàm số y = có đồ thị (C) . Tiếp tuyến D của (C) tại điểm M (x ; y ) x + 3 0 0 (M Î (C), x0 > - 3) lần lượt cắt các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của (C) tại E và F . Tính 2x0 - y0 khi độ dài đoạn EF đạt giá trị nhỏ nhất. A. 2x0 - y0 = - 2 . B. 2x0 - y0 = 0 . C. 2x0 - y0 = 2 . D. 2x0 - y0 = - 3 . Vận dụng thấp, chọn A. 4 - 4 Ta có: y = - 2 + Þ y¢= . x + 3 (x + 3)2 æ 4 ö - 4 Giả sử M çx ;- 2 + ÷ . Ta có: y¢(x )= . ç 0 x + 3÷ 0 2 è 0 ø (x0 + 3) - 4 4 Tiếp tuyến tại M là (D): y = (x - x )+ - 2 2 0 x + 3 (x0 + 3) 0 8 Giao điểm của với tiệm cận đứng là: E 3; 2 x0 3 Giao điểm của với tiệm cận ngang là: F 2x0 3; 2 2 2 2 8 Ta có: EF 4 x0 3 2 2.2.8 32 . x0 3
6. 2 Dấu “=” xảy ra khi x0 3 4 x0 3 2 do x0 3 x0 1 y0 0 2x0 y0 2 Câu 32. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 7 y = x2 - 4x + m trên [0;3] bằng . Tìm tích các phần tử trong S . 2 7 7 A. . B. . C. 4 . D. 3 . 4 2 Vận dụng thấp, chọn A. y = x2 - 4x + m = (x - 2)2 + m- 4 = t + m- 4 , với t = x2 - 4x + 4 Î [0;4]" x Î [0;3] Xét g(t)= t + m- 4 ,t Î [0;4]Þ max g(t)= max{g(0); g(4)} = max{ m- 4 ; m } . [0;4] ïì é 15 ï êm = ïì 7 ï ê 2 ï m- 4 = ï ê 1 Th1: max g(t)= m- 4 Þ íï 2 Û íï ê 1 Þ m = . [0;4] ï ï êm = ï ï ê 2 îï m- 4 ³ m ï ë 2 ï îï m- 4 ³ m ïì é 7 ï êm = ïì 7 ï ê 2 ï m = ï ê 7 Th2: max g(t)= m Þ íï 2 Û íï ê 7 Þ m = . [0;4] ï ï êm = - ï ï ê 2 îï m- 4 £ m ï ë 2 ï îï m- 4 £ m ïì 1 7ïü 7 Vậy S = íï ; ýï , tích các giá trị của S bằng îï 2 2þï 4 x2 - 9 + 2x - 3 Câu 33. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = là: x2 - 4x A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1 . Vận dụng thấp, chọn A. ïì éx ³ 3 ïì x ³ 3 ï ê íï Û íï êx £ - 3 ï ï ë îï x ¹ 0, x ¹ 4 ï îï x ¹ 4 x2 - 9 + 2x - 3 x2 - 9 + 2x - 3 lim 2 = + ¥ , lim 2 = - ¥ . Tiệm cận đứng là đt x = 4 . x® 4+ x - 4x x® 4- x - 4x x2 - 9 + 2x - 3 lim = 0, tiệm cận ngang là y = 0 . x® ± ¥ x2 - 4x Câu 34. Dân số thế giới được ước tính theo công thức S = Aeni , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Theo thống kê năm 2017, Việt Nam có 94 triệu người và tỉ lệ tăng dân số hàng năm là 1,1% . Nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì năm 2025 Việt Nam có bao nhiêu người? A. 102,6 triệu người. B. 105,9 triệu người. C. 109,6 triệu người. D. 99,6 triệu người. Vận dụng thấp, chọn A. Sau 8 năm, dân số nước ta là S = 94e8(1,011) » 102,6 triệu người. Câu 35. Cho số phức z thỏa mãn z - 2 = 7 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (2- 3i)z + 2 là một đường tròn. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R = 7 . B. R = 7 . C. R = 7 7 . D. R = 5 . Vận dụng thấp, chọn A.
7. w = (2- i 3)z + 2 Û w = (2- i 3)(z - 2)+ 6- 2i 3 Þ w- 6 + 2i 3 = 2- i 3 z - 2 = 7 tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (2- 3i)z + 2 là một đường tròn R = 7 Câu 36. Cho số phức z = x + yi(x, y Î ¡ ) thỏa mãn z + 1- 3i = 10 và z 3 i đạt giá trị lớn nhất. Tìm y - 2x . A. y - 2x = 5 . B. y - 2x = 7 . C. y - 2x = 2 10 . D. y - 2x = - 5 . Vận dụng thấp, chọn A. Gọi z x yi x, y ¡ z 1 3i x 1 y 3 i Ta có z 1 3i 10 x 1 2 y 3 2 10 x 1 2 y 3 2 10 Suy ra tập hợp điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường tròn C tâm I 1;3 bán kính R 10 . Nhận xét N 3; 1 nằm ngoài đường tròn C . Theo đề ta có: M x; y C là điểm biểu diễn cho số phức z , thỏa mãn: z 3 i x 3 2 y 1 2 MN đạt giá trị lớn nhất khi MN đi qua tâm I 1;3 của   NM k NI k 0   đường tròn C . Khi đó M C , NM x 3; y 1 , NI 2;4 . NM NI x 3 y 1 2 4 2x 5 y 2x 5 y 2 2 2 2 x 2 1 x 1 y 3 10 x 1 4 x 1 10 x 1 2 2 2 2 2 2 2 y 2 2 3 x 3 y 1 20 x 3 y 1 20 x 3 y 1 20 Vậy y - 2x = 5 . 1 é 2 2018 ù Câu 37. Cho tích phân I = xln ê(2x + 3- x ) údx . Biết I = aln3+ bln 2 + c,(a,b,c Î ¤ ) , Tính a + b + c . ò ë û 0 A. a + b + c = - 2018 . B. a + b + c = 2018 . C. a + b + c = - 1009 . D. a + b + c = 1009 . Vận dụng thấp, chọn A. 1 1 é 2 2018 ù 2 I = xln ê(2x + 3- x ) údx = 2018 xln(2x + 3- x )dx ò ë û ò 0 0 ïì - 2x + 2 ï du = dx ì 2 ï ï u = ln(2x + 3- x ) ï (3- x)(x + 1) íï Þ íï ï ï 2 îï dv = xdx ï x - 9 ï v = îï 2 2 1 1 x - 9 2 1 æ 4 ö 9 3 I = ln(2x + 3- x ) - çx + 1- ÷dx = ln3- 4ln 2- 0 òèç + ø÷ 2018 2 0 x 1 2 2 æ9 3ö Þ I = 2018ç ln3- 4ln 2- ÷ èç2 2ø÷ æ9 3ö Þ a + b + c = 2018ç - 4- ÷= - 2018 èç2 2ø÷ Câu 38. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = 2 . Đường thẳng y = k chia hình D thành hai phần có diện tích bằng nhau. Giá trị k thuộc tập hợp nào sau đây.
8. æ ù æ ö é ù æ ö ç11 15 ç3 7÷ 7 11 ç15 19÷ A. ç ; ú . B. ç ; ÷ . C. ê ; ú . D. ç ; ÷ . èç 4 4 ûú èç4 4ø ëê4 4 ûú èç 4 4 ø k Vận dụng thấp, chọn A. Xét phương trình k = 3x2 Û x2 = 3 2 2 Diện tích hình phẳng D là: S = 3 x2dx = x3 = 8 ò 0 0 2 2 2 3 2 k k Diện tích S1 = (3x - k)dx = (x - kx) k = 8- 2k + . ò 3 k 3 3 3 1 2 k k k S = S Þ S = S Þ 8- 2k + = 4 . Đặt t = Þ 0 2 Þ k = 3 . ê êt = 1- 3 < 0 ëê Câu 39. Cho hàm số f x m 1 sin 4x cos 4x 4mx 2018 , m là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m trong đoạn  6;2018 để phương trình f ' x 0 có nghiệm. A. 8 B. 6 C. 4 D. 2018 Lời giải (Vận dụng thấp) + Ta có f ' x 4 m 1 cos 4x 4sin 4x 4m + Điều kiện để phương trình f ' x 0 có nghiệm là m 1 2 12 m 2 m 1 + Trong đoạn  6;2018 có 8 giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm. Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của cạnh SA , gọi là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng SDC . Khi đó, thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi là hình gì? A. Hình thang B. Hình bình hành C. Hình tam giác D. Hình ngũ giác Lời giải (Vận dụng thấp) Gọi N, P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, AD . Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng là tứ giác MNPQ . 1 Có MN / /PQ và MN PQ nên tứ giác MNPQ là hình thang. 2 Câu 41. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' cạnh bằng a 5 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD,C D . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và AN . 2a 2a 5 2a 5 a A. B. C. D. 3 15 5 3 Lời giải + Gọi P là trung điểm của DC . Ta có AP  BM tại H Từ H kẻ HK vuông góc với AN tại K
9. Có BM  APNA' BM  HK A' B' + Do đó HK là đoạn vuông góc chung của BM D' N C' và AN hay d BM , AN HK AB. 5 Ta có AH a 5 K A 2 H B a. a 5 M 5 2a HK D P C a2 4a2 :5 3 2a Vậy d BM , AN 3 HS có thể dùng phương pháp tọa độ. x 1 2t Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;3;5 và đường thẳng d : y 2 2t . Biết rằng mặt z t phẳng chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ A đến lớn nhất, có phương trình là ax by cz 3 0 . Tính a b c . A. 2 B. 2 C. 6 D. 6 Lời giải (Vận dụng thấp) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d , K là hình chiếu của A trên Có d A, AK AH . Do đó d A, lớn nhất khi H  K . Vậy là mặt phẳng đi qua điểm H  và nhận vectơ AH là một vectơ pháp tuyến. Vậy điểm H 3;4;1 và phương trình : x y 4z 3 0 . Suy ra a b c 2 . Câu 43. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có C 3;1;1 , đường cao kẻ từ A và đường phân x 2 x 1 y 1 z 1 giác trong góc B lần lượt là các đường thẳng d1 : và d2 : y t . Gọi xA là hoành 4 1 1 z 2 t 2 2 độ điểm A , yB là tung độ điểm B. Tính xA yB . A.2 B.5 C.1 D.10 Lời giải(Vận dụng thấp) + Gọi mp đi qua C và vuông góc với d1 , phương trình mp là: 4x y z 12 0 . Do B d2  , suy ra B 2; 1;3 + Gọi C ' là điểm đối xứng của C qua d2 , tọa độ C ' 1;1;1 x 1 y 1 z 1 + Phương trình AB (đi qua B,C ' ) là 1 2 2 + Có A BC ' d1 , suy ra A 1;1;1 . 2 2 Vậy xA yB 2 Câu 44. Cho lăng trụ đều ABC.A' B 'C 'có AB a , góc giữa hai mặt phẳng A' BC và ABC bằng 600 . Tính theo a thể tích khối đa diện A' B ' ABC. a3 3 3a3 3 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 4 8 8 12 Lời giải (Vận dụng thấp) A' C' 2 a 3 B' + Diện tích tam giác ABC là S ABC 4 a 3 Gọi M là trung điểm của BC , ta có AM 2 + Góc giữa hai mặt phẳng A' BC và ABC là A C M B
10. 3a ·A'MA 600 . Do đó A' A AM.tan 600 . 2 2 a3 3 + Thể tích khối đa diện A' B ' ABC là: V .A' A.S A'B' ABC 3 ABC 4 Câu 45. Bạn Kha dự định làm các hộp hình trụ có nắp, có thể tích V 1000 cm3 . Gọi R,h lần lượt là bán h kính đáy và chiều cao của hình trụ đó. Bạn Kha muốn tốn ít nguyên liệu nhất thì tỉ số bằng bao nhiêu? R 1 A. 2 B. C. 2 D. 1 2 Lời giải (Vận dụng thấp) V + Ta có V R2h h R2 V 2V + Diện tích toàn phần của hình trụ là S 2 Rh 2 R2 2 R. 2 R2 2 R2 tp R2 R 2V V V Có 2 R2 2 R2 33 2 V 2 (không đổi) R R R V V Do đó để S đạt giá trị nhỏ nhất thì 2 R2 R 3 tp R 2 V V 4V h + Với R 3 ta có h 3 . Vậy 2. 2 V 2 R .3 4 2 2V HS có thể sử dụng bảng biến thiên tìm giá trị nhỏ nhất của f R 2 R2 R Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang. Biết rằng AB / /CD , AB CD , · 0 AB 2a , ACB 90 . Các tam giác SAC , SBD là các tam giác đều cạnh bằng a 3 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD . a3 6 a3 6 a3 3 3a3 6 A. B. C. D. 4 12 4 4 Lời giải (Vận dụng thấp) S + Do các cạnh bên của hình chóp đều bằng a 3 nên tứ giác ABCD nội tiếp được, tức là ABCD là một hình thang cân. Lại có ·ACB 900 nên ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB Do đó SH  ABCD với H là trung điểm của AB 2 2 + Ta có SH 3a a a 2 A B H 3a2 3 Diện tích đáy ABCD là S ABCD 4 D C 1 a3 6 + Thể tích khối chóp là V SH.S 3 ABCD 4 1 2 81 é ¢ ù Câu 47. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (1)= 3 , ò ëf (x)û dx = , 0 7 1 10 1 ò x2 f (x)dx = . Tính tích phân I = ò f (x)dx . 0 7 0 24 9 51 24 A. I = . B. I = - . C. I = . D. I = . 5 20 20 7 Vận dụng cao, chọn A.
11. ì ¢ ì ï du = f (x)dx ï u = f (x) ï í Þ íï ï 2 ï 1 3 îï dv = x dx ï v = x îï 3 1 1 1 1 1 10 1 1 1 9 x2 f (x)dx = x3 f (x) - x3 f ¢(x)dx Þ = 1- x3 f ¢(x)dx Þ x3 f ¢(x)dx = - ò 0 ò ò ò 0 3 3 0 7 3 0 0 7 1 1 1 1 Xét x6dx = x7 = ò 0 0 7 7 1 3 2 81 æ 9ö 81 3 3 9 4 Ta có éf ¢(x)+ 9x ù dx = + 18ç- ÷+ = 0 Þ f ¢(x)+ 9x = 0 Þ f ¢(x)= - 9x Þ f (x)= - x + C . ò ëê ûú èç ø÷ 0 7 7 7 4 21 9 21 Lại có f (1)= 3 Þ C = , vậy f (x)= - x4 + . 4 4 4 1 1 æ 9 4 21ö æ 9 5 21 ö1 9 21 24 I = f (x)dx = ç- x + ÷dx = ç- x + x÷ = - + = . ò òèç ø÷ èç ø÷0 0 0 4 4 20 4 20 4 5 Câu 48. Gọi x, y là hai số thực thay đổi, thuộc đoạn  1;3 sao cho x3 y3 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 y2 . Tính M m . A. 3 9 + 3 4 + 1 . B. 4 + 3 4 . C. 6 . D. 3 4 + 2 . Vận dụng cao, chọn A. Từ giả thiết suy ra x = 3 2- y3 , thay vào P ta được 2 2 2 P = 3 (2- y3 ) + 3 (y3 ) = 3 (2- t) + 3 t 2 = f (t) với t = y3 . Vì x Î [- 1;3]Þ - 1£ x3 £ 27 Þ - 25 £ 2- x3 £ 3 Þ - 25 £ y3 £ 3 , Mặt khác, do y Î [- 1;3]Þ y3 Î [- 1;27] nên t = y3 Î [- 25;3]Ç[- 1;27]= [- 1;3] . Xét hàm số f (t) trên D = [- 1;3] , ta có 2 2 f '(t)= - Þ f '(t)= 0 Û 3 2- t = 3 t Û t = 1, 3 3 t 3 3 2- t Hàm số đạt cực trị tại các điểm t = 0;t = 2;t = 1 . f (- 1)= f (3)= 1+ 3 9; f (1)= 2; f (0)= f (2)= 3 4 m = min P = min f (t)= f (0)= f (2)= 3 4 , đạt được khi và chỉ khi (x; y)Î 0; 3 2 ; 3 2;0 . [- 1;3] {( ) ( )} M = max P = max f (t)= f (- 1)= f (3)= 1+ 3 9 , đạt được khi và chỉ khi [- 1;3] (x; y)Î {(- 1; 3 3);(3 3;- 1)} . M + m = 3 9 + 3 4 + 1 . x m 2 x2 2x Câu 49. Cho phương trình 4 log 2 x 2x 3 2 log 1 2 x m 2 0 1 , m là tham số thực. 2 Có tất cả bao nhiêu giá trị của m để phương trình (1) có đúng ba nghiệm phân biệt. A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 4 . Vận dụng cao, chọn A. 2 4 x m log x2 2x 3 2 x 2x log 2 x m 2 0 2 1 2 1 2 x m 2 x2 2x 2 log2 x 2x 3 2 log2 2 x m 2 0 2 2 x m 2 x2 2x 3 2 log2 x 2x 3 2 log2 2 x m 2 2 log2 2 x m 2 log2 x 2x 3 2 2 2 2 x m 2 x 2x 3
12. log t 1 f t 2 log t.2t ,t 2 f t .2t log t.2t ln 2 0t 2 , hàm số đồng biến trên 2 t 2 t ln 2 2 (2;+ ¥ ), vậy suy ra é2(x - m)= x2 - 2x + 1 éx2 - 4x + 2m + 1= 0(1) 2 x - m + 2 = x2 - 2x + 3 Û 2 x - m = x - 1 2 Û ê Û ê ( ) ê 2 ê 2 ëê2(m- x)= x - 2x + 1 ëêx = 2m- 1(2) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 TH1: (1) có 2 nghiệm phân biệt, pt (2) có 1 nghiệm kép. m = 2 3 TH2: (2) có 2 nghiệm phân biệt, pt (1) có 1 nghiệm kép. m = 2 TH3: (1), (2) đều có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm chung. m = 1 Có 3 giá trị của tham số m thỏa mãn. Câu 50. Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau, OA OB OC a . Gọi H là hình lập phương nằm trong tứ diện OABC , có một đỉnh trùng với O , ba cạnh xuất phát từ O nằm trên OA,OB,OC và đỉnh đối diện với O thuộc mặt phẳng ABC . Hình H chia tứ diện OABC thành 2 V2 phần có thể tích lần lượt là V1,V2 (với V1 V2 ). Tính tỉ số . V1 V 7 V 5 V V A.2 B. 2 C. 2 4 D. 2 3 V1 2 V1 2 V1 V1 Lời giải (Vận dụng cao) A Gọi cạnh hình lập phương OMNP.O 'M ' N ' P ' bằng x AO ' O ' N ' a x x 2 a Ta có x AO OE a a 2 3 P' 2 O' N' 3 3 a a M' Thể tích khối lập phương là Vlp 3 27 3 P 1 a C Thể tích khối chóp O.ABC là V OA.OB.OC O 6 6 M N 3 3 a 7a V2 7 E Vậy V1 Vlp ;V2 V V1 . Do đó . 27 54 V1 2 B