›
›
›

Tài liệu môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Số thập phân

pdf 55 trang hoahoa 18/05/2024 850
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Số thập phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftai_lieu_mon_toan_lop_6_chuyen_de_so_thap_phan.pdf

Nội dung text: Tài liệu môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Số thập phân

  1. Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ SỐ THẬP PHÂN Tài liệu sưu tầm, ngày 09 tháng 10 năm 2021
  2. Website:tailieumontoan.com ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ THẬP PHÂN CHỦ ĐỀ 1: SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. KHÁI NIỆM: a Khi viết phân số dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a cho b và gặp một trong hai b trường hợp sau: - Phép chia a cho b kết thúc sau hữu hạn bước. 3 37 Ví dụ: = 0,75 ; =1, 48 ; 4 25 Khi đó số thập phân thu được gọi là số thập phân hữu hạn. - Phép chia a cho b không bao giờ chấm dứt. 2 −17 Ví dụ: = 0,6666 ; = −1,5454 ; 3 11 Tuy phép chia không chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia có một nhóm chữ số lặp đi lặp lại vô hạn lần. Ta nói số thập phân thu được là số thập phân vô hạn tuần hoàn và nhóm chữ số lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nó. 2. NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ LÀ SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN: Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân. I.Phương pháp giải: a Để viết một tỉ số hoặc một phân số dưới dạng số thập phân ta làm phép chia ab: b II.Bài toán: 97 124 63 −139 Bài 1: Viết phân số sau dưới dạng số thập phân ; ; − ; . 200 25 20 50 Lời giải: Cách 1: Thực hiện phép tính chia tử cho mẫu ta được: 97 = 0, 485 200 124 = 4, 96 25 63 −=−3, 15 20 −139 = −2, 78 50 Cách 2: Phân tích mẫu ra thừa số rồi bổ sung các thừa số phụ đề mẫu là lũy thừa của 10: 97 97. 5 485 = = = 0, 485 200 200. 5 1000 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  3. Website:tailieumontoan.com 124 124. 4 496 = = = 4, 96 25 25. 4 100 63 63. 5− 315 −=−= =−3, 15 20 20. 5 100 −−139 139. 2 − 278 = = = −2, 78 50 50. 2 100 Bài 2: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân: 11 1 a) A = + ++ 5.6 6.7 24.25 222 2 b) B = + + ++ 2.4 4.6 6.8 98.100 Lời giải: 11 1 a) A = + ++ 5.6 6.7 24.25 11  11   1 1  A =−+−++−     5 6  6 7   24 25  11 4 A =−==0,16 5 25 25 Vậy A,= 0 16 . 222 2 b) B = + + ++ 2.4 4.6 6.8 98.100 11  11  11   1 1  B =−+−+−++−      2 4  4 6  6 8   98 100  11 B = − 2 100 49 B,= = 0 49 100 Vậy B,= 0 49 . Bài 3: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân: 11 1 1 a) A = + + ++ 5.10 10.15 15.20 395.400 33 33 33 33 b) B = + + ++ 11.16 16.21 21.26 61.66 Lời giải: 11 1 1 a) A = + + ++ 5.10 10.15 15.20 395.400 55 5 5 5A = + + ++ 5.10 10.15 15.20 395.400 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  4. Website:tailieumontoan.com 11 1 1 1 1 1 1 5A =−+−+− + − 5 10 10 15 15 20 395 400 11 5A = − 5 400 79 A,= = 0 0395 2000 33 33 33 33 b) B = + + ++ 11.16 16.21 21.26 61.66 555 5 5B = 33. + + ++ 11.16 16.21 21.26 61.66 1111 11 5B = 33. −+−++− 11 16 16 21 61 66 11 5B = 33 − 11 66 5 5B.= 33 66 1 B,= = 05 2 Vậy B,= 05. Bài 4: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng số thập phân: 3 3 3 3  25 25 25  48 A = + + ++  − + ++  − 1.8 8.15 15.22 106.113  50.55 55.60 95.100  113 Lời giải: 33 3 3 Ta có : B = + + ++ 1.8 8.15 15.22 106.113 77 7 7 7B = 3 + + ++ 1.8 8.15 15.22 106.113 111 1 1 1 1 1 7B = 3 −+− + − ++ − 1 8 8 15 15 22 106 113 1 B =31 − 113 112 3.112 48 BB=3. ⇒= = . 113 7.113 113 25 25 25 C = + ++ 50.55 55.60 95.100 55 5 C =5 + ++ 50.55 55.60 95.100 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  5. Website:tailieumontoan.com 11 1 C =5 −=. 50 100 20 48 48 1 48 Khi đó : A=−− BC = − − =0,05 . 131 113 20 113 Bài 5: Kết quả của biểu thức sau biểu diễn số thập phân nào? 222 3 4 2 24 2 a) A = . . 1.3 2.4 3.5 23.25 12 2 22 3 99 2 b) B = . . 1.2 2.3 3.4 99.100 Lời giải: 222 3 4 2 24 2 a, A = . . 1.3 2.4 3.5 23.25 2.2 3.3 4.4 24.24 A = . . 1.3 2.4 3.5 23.25 ()()2.3.4 24 2.3.4 24 A = ()()1.2.3 23 3.4.5 25 24.2 48 A = = =1, 92 25 25 Vậy Kết quả phép tính biểu diễn số thập phân 1, 92 . 12 2 22 3 99 2 b) B = . . 1.2 2.3 3.4 99.100 11 22 33 9999 . B= . . 12 23 34 99100 . ()()1.2.3 99 1.2.3 99 B = ()()1.2.3 99 2.3.4 100 1 B = = 0,01 100 Vậy Kết quả phép tính biểu diễn số thập phân 0, 01. Bài 6: Chứng tỏ kết quả phép tính sau là một số nguyên : 1999 1999 1999 1++ 1  1 + 1 2 1000 a) A =  1000 1000 1000 1++ 1  1 + 1 2 1999 111     1  b) B =+++1  1  1   + 1  2  3  4   999  Lời giải: 2000 2001 2002 2999  1001 1002 1003 2999  A = . .  : . .  1 2 3 1000  1 2 3 1999  Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  6. Website:tailieumontoan.com 2000.2001.2002 2999  1.2.3 1999  A =  .  1.2.3.4 1000  1001.1002 2999  1001.1002 1999 A = =1 1001.1002 1999 Vậy kết quả phép tính trên là một số nguyên. 111     1  b) B =+++1  1  1   + 1  2  3  4   999  3 4 5 1000 1000 B =. . = = 500 2 3 4 999 2 Vậy kết quả phép tính trên là một số nguyên. Bài 7: Kết quả phép tính sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn không? 11   1   1  A =−−−1  1  1   1 −  4  9  16   400  Lời giải: 11   1   1  A =−−−1  1  1   1 −  4  9  16   400  3 8 15 399 A = . . 4 9 16 400 1.3 2.4 3.5 19.21 A = . . 2.2 3.3 4.4 20.20 ()()1.2.3 19 3.4.5 21 A = 2.3.4 20 2.3.4.5 20 ()() 21 21 A = = = 0,525 20.2 40 Vậy kết quả phép tính viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Bài 8: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân : 234567892222 2 22 2 a) A = 3 8 15 24 35 48 63 80 8 15 24 2499 b) B = . . 9 16 25 2500 Lời giải: 2.2 3.3 4.4 8.8 9.9 a) A = . . . 1.3 2.4 3.5 7.9 8.10 ()()2.3.4 8.9 2.3.4 8.9 A = ()()1.2.3 7.8 3.4.5 9.10 9.2 9 A = = =1, 8 10 5 8 15 24 2499 b) B = . . 9 16 25 2500 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  7. Website:tailieumontoan.com 2.4 3.5 4.6 49.51 B = . . 3.3 4.4 5.5 50.50 ()()2.3.4 49 4.5.6 51 B = ()()3.4.5 50 3.4.5 50 2.51 17 B = = = 0,68 50.3 25 Bài 9: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân: 3 8 15 99 A = 111     1  a) 222. . 2 b) B =−−−1  1  1   − 1  234 10 2  3  4   1000  Lời giải: 1.3 2.4 3.5 9.11 a) A = . . 2.2 3.3 4.4 10.10 ()()1.2.3 9 3.4.5 11 A = ()()2.3.4 10 2.3.4 10 1.11 A = = 0,55 10.2 111     1  b) B =−−−1  1  1   − 1  2  3  4   1000  −−−1 2 3 − 999 1 B =. . =−=− 0,001 2 3 4 1000 1000 Dạng 2: Kiểm tra xem một phân số có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. I.Phương pháp giải: -Viết phân số về dạng tối giản và có mẫu dương. - Phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố. - Nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. II.Bài toán: Bài 10: Giải thích tại sao các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn rồi viết chúng 6 9 39 121 204 378 dưới dạng đó: −−1; ; ; ; ; 8 25 60 220− 160 375 Lời giải: 6 9 39 121 204 378 Các phân số −−1; ; ; ; ; viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn vì các mẫu 8 25 60 220− 160 375 không có ước nguyên tố khác 2 và 5. 61−−47 −=1 = =− 1, 75 (mẫu 42= 2 ) 88 4 9 −=−0,36 ( mẫu 25= 52 ) 25 39 13 = = 0,65 (mẫu 20= 22 .5) 60 20 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  8. Website:tailieumontoan.com 121 11 = = 0,55 (mẫu 20= 22 .5) 220 20 204− 51 = = −1,275 (mẫu 40= 23 .5 ) −160 40 378 126 = =1,008 (mẫu 125= 53 ) 375 125 Bài 13: Chứng tỏ rằng các số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn với n∈ . 36n − 9 a) 6 28n + 14 b) 35 −+8n 24 c) 100 6nn2 −+ 12 18 d) 120 Lời giải: 36nn−− 9 3.12 3.33.() 12n − 3 12 n − 3 a) = = = . 6 2.3 2.3 2 Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 2 nên số đó là số thập phân hữu hạn. 28nn++ 14 7.4 7.27.() 4n + 2 4 n + 2 b) = = = . 35 7.5 7.5 5 Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 5 nên số đó là số thập phân hữu hạn. −+82nn44.()−+ 2n 6 −+ 26 c) = = 100 4.25 25 Có 25= 52 Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 25 nên mẫu chỉ có ước nguyên tố là 5. Vậy số đó là số thập phân hữu hạn. 2 6n22− 12 n + 186.()nn−+ 2 3 nn −+ 2 3 d) = = 120 6.20 20 Có 20= 22 .5 Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 20 nên mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5. Vậy số đó là số thập phân hữu hạn. Bài 11: Mỗi phân số sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay không? Vì sao? 33nn2 + a) ()n∈ 12n 12nn2 + 24 b) ()n∈ 20n −18n3 +− 12 nn 30 c) ()n∈ 60n Lời giải: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  9. Website:tailieumontoan.com 3n2 ++ 3 n 3. nn 3.1 n31nn()+ n + 1 a) = = = 12nn 3 .4 3 n .4 4 Có 42= 2 Mẫu có ước nguyên tố là 2 nên phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 12nn2 ++ 244.3nn()+ 6 3 n 6 b) = =()n ∈ 20nn 4 .5 5 Phân số sau khi rút gọn có mẫu là 5 nên phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. −18n3 + 12 nnnnn − 30 6 .( − 3 22 +− 2 5) − 3 nn +− 2 5 c) = = 60nn 6 .10 10 Có 10= 2.5 Phân số sau khi rút gọn có mẫu là 10, mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 nên phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Bài 12: Các phân số sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn không? vì sao? 31n + a) ()n∈ 3n 14n + 6 b) ()n∈ 7n Lời giải: 3nn+ 13 1 1 a) =+=+1 3n 33 nn 3 n 1 Vì có mẫu là 3n có ước nguyên tố là 3 3n 1 Nên không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn 3n 31n + ⇒ không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 3n 14nn+ 6 14 6 6 b) = +=+2 7n 77 nn 7 n 6 Vì có mẫu là 7n có ước nguyên tố là 7 7n 6 Nên không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn 7n 14n + 6 ⇒ không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 7n Bài 13: Các phân số sau không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn: 48n + 5 a) ()n∈ 42n 65n + b) ()n∈ 18n Lời giải: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  10. Website:tailieumontoan.com 48n + 5 a) ()n∈ 42n ta có: 48n 3; 5 !3⇒+48n 5! 3 và: 42n 3 48n + 5 Do đó khi viết được dưới dạng phân số tổi giản thì mẫu vẫn chứa thừa số nguyên tố 3. 42n 48n + 5 Vậy không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 42n 65n + b) ()n∈ 18n ta có: 66n  ; 5 !6⇒+6n 56! và: 18n 6 65n + Do đó khi viết được dưới dạng phân số tổi giản thì mẫu vẫn chứa thừa số nguyên tố 3. 18n 65n + Vậy không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 18n Dạng 3: Tìm điều kiện để một phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. I.Phương pháp giải: -Viết phân số về dạng tối giản và có mẫu dương. - Phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố. - Nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. II.Bài toán x + 2 Bài 14: Tìm số tự nhiên x <10 sao cho phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 6 Lời giải: xx++22 Ta có: = 6 2.3 x + 2 Mẫu chứa thừa số nguyên tố khác 2 và 5 nên để phân số viết được dưới dạng số thập phân 2.3 hữu hạn thì ()x + 23 ⇒+∈()(){}xB2 3 = 0;3;6;9;12; và x <10 xx+=⇒=−2 0 2 (loại); xx+=⇒=2 3 1 (thoả mãn); xx+=⇒=2 6 4 (thoả mãn); xx+=⇒=2 9 7 (thoả mãn); xx+=2 12 ⇒= 10 (loại). Các trường hợp còn lại không thoả mãn Vậy x ∈{}1; 4; 7 . Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  11. Website:tailieumontoan.com xx2 + 3 Bài 15: Tìm số tự nhiên x ; 0<<x 20 để phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu 14x hạn. Lời giải: xx2 ++33xx()+ 3 x Ta có: = = 14xx .7.2 7.2 x + 3 Mẫu chứa thừa số nguyên tố khác 2 và 5 nên để phân số viết được dưới dạng số thập phân 7.2 hữu hạn thì ()x + 37 ⇒()(){}xB +∈3 7 = 0;7;14;21; và 0<<x 20 xx+=⇒=−30 3(loại); xx+=⇒=3 7 4 (thoả mãn); xx+=3 14 ⇒= 11 (thoả mãn); xx+=3 21 ⇒= 18(thoả mãn); xx+=3 28 ⇒= 25 (loại). Các trường hợp còn lại không thoả mãn. Vậy x ∈{}4; 11; 18 . Bài 16: Cho x và y là các số nguyên tố có một chữ số. Tìm x và y để các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. x a) M = 5.7.y 7x b) N = 48y Lời giải: x a) M = 5.7.y Để M viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 Nên số nguyên tố x = 7 và số nguyên tố y ∈{}2;5 Vậy x = 7 ; y ∈{}2;5 . 7xx 7. b) N = = 48yy 24 .3. Để N viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 Nên số nguyên tố x = 3 và số nguyên tố y ∈{}2;5; 7 Vậy x = 3; y ∈{}2;5; 7 . Bài 17: Thay các chữ cái bởi các chữ số khác 0 thích hợp, biết 1: 0, ab=+− a b c . Lời giải: 1: 0, ab=+− a b c Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  12. Website:tailieumontoan.com ab ⇒1: =+−abc 100 100 ⇒ =+−abc ab ⇒100 chia hết cho ab ⇒∈ab ¦() 100 Mà ab, là các chữ số khác 0 nên: ab = 25 100 ⇒+−=abc 25 ⇒+−=⇒=25cc 4 3 Vậy a = 2 ; b = 5 ; c = 3. Bài 18: Thay các chữ cái bằng các số thích hợp: a) 1: 0, abc=++ a b c b) 1: 0,0abcd=+++ a b c d Lời giải: a) Có a ; b ; c là các chữ số 09≤≤a  09≤≤b ⇒  09<≤c abc,,∈ ⇒≤1abc ++≤ 27 1000 1: 0,abc= =++ a b c abc ⇒1000 =abc .( a ++ b c ) ⇒++abclà ước của 1000 không vượt quá 27 ⇒1: 0,125 =++ 1 2 5 Vậy a =1;b = 2 ; c = 5 . b) Có a ; b ; c ; d là các chữ số 09≤≤a 09≤≤b  ⇒09 ≤≤c 09<≤d  abcd,,,∈ ⇒≤1abc ++≤ 27 10000 1: 0,0abcd= =+++ a b c d abcd Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  13. Website:tailieumontoan.com ⇒10000 =abcd ( a +++ b c d ) ⇒+++abcd là ước của 1000 và 10<+++abcd ≤ 36 ⇒1: 0,06235 =+++ 6 2 3 5 Vậy a 6 ; b 2; c 3; d 5. abc++ Bài 19: Có bao nhiêu số thập phân a, bc thoả mãn phân số viết được dưới dạng số thập 4 phân hữu hạn là a, bc với c ≠ 0 . Lời giải: Vì a ; b ; c là các chữ số và c ≠ 0 09≤≤a  09≤≤b ⇒  09<≤c abc,,∈ N ⇒≤1abc ++≤ 27 abc++ Phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn là a, bc 4 abc++ ⇒=a, bc 4 Vì a, bc là số thập phân nên abc++ chia cho 4 dư 1 hoặc chia 4 dư 3 Ta có bảng sau: abc++ 1 3 5 7 9 11 13 a, bc 0, 25 0,75 1, 25 1, 75 2, 25 2,75 3, 25 abc++ 15 17 19 21 23 25 27 a, bc 3, 75 4, 25 4,75 5, 25 5, 75 6, 25 6,75 Vậy ta được 14 số cần tìm. Bài 20: Tìm các phân số tối giản có có tử và mẫu là các số nguyên dương, mẫu khác 1. Biết rằng tích của tử và mẫu bằng 1260 và phân số này có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Lời giải: a Gọi phân số tối giản phải tìm là với ab, ∈ + ,ƯCLN ab,1 b Ta có: ab =1260 = 222 .3 .5.7 a Để phân số có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu số b chỉ có ước nguyên tố b là 2 và 5 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  14. Website:tailieumontoan.com a Mà là phân số tối giản và ƯCLN ab,1 b ⇒ b không chứa thừa số 32 ; 7 và b ≠ 1 nên b∈{}4;5; 20 Ta có bảng sau: a 4 5 20 b 315 252 63 a 315 252 63 b 4 5 20 315 252 63 Vậy các phân số thoả mãn là ; ; . 4 5 20 Bài 21: Tìm các phân số tối giản có tử và mẫu là các số nguyên dương, mẫu khác 1. Biết tích của tử và mẫu là 4200 và phân số này viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Lời giải: a Gọi phân số tối giản phải tìm là với ab, ∈ + , ƯCLN ab,1 b Ta có: ab =4200 = 232 .3.5 .7 a Để phân số có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu số b chỉ có ước nguyên tố b là 2 và 5 a Mà là phân số tối giản và ƯCLN ab,1 b ⇒ b không chứa thừa số 3; 11 và b ≠ 1 nên b∈{}8; 25; 200 Ta có bảng sau b 8 25 200 a 525 168 21 a 525 168 21 b 8 25 200 525 168 21 Vậy các phân số thoả mãn là ; ; . 8 25 200 2005 9 1 Bài 22: So sánh − 0,81 và . 11 104010 Lời giải: 2005 2005 2005 2005 9  9 81  9 9 1  −0,81  =−=  = .  11  11 100  1100 11 100  2005 2005 2005 9  1   9 11 =   =  4010 < 4010 11  100   11 10 10 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  15. Website:tailieumontoan.com 2005 91 Vậy −<0,81 4010 11 10  HẾT  ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 10 – SỐ THẬP PHÂN CHỦ ĐỀ 2: SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. KHÁI NIỆM a) Khái niệm: a Khi viết phân số dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a cho b , nếu phép chia a cho b b không bao giờ chấm dứt 2 −17 Ví dụ: = 0,6666 ; = −1,5454 ; 3 11 Tuy phép chia không chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia có một nhóm chữ số lặp đi lặp lại vô hạn lần. Ta nói số thập phân thu được là số thập phân vô hạn tuần hoàn và nhóm chữ số lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nó. b) Cách viết: Để viết số thập phân vô hạn tuần hoàn, người ta đặt chu kì trong dấu ngoặc. Chẳng hạn: 2 =0,6666 = 0,() 6 ; 3 −17 =−=1,5454 − 1,() 54 ; 11 7 =0,2121 = 0,() 21 ; 33 7 =0,31818 = 0,3() 18 22 Chú ý: Số thập phân vô hạn tuần hoàn chia thành hai dạng - Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy. VD: 0,() 6 ; 0,() 21 ; −1,() 54 - Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập phân đứng trước chu kì gọi là phần bất thường, VD: 0,3() 18 có chu kì là 18 và phần bất thường là 3. 2. NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ VIẾT ĐƯỢC DƯỚI DẠNG SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN ĐƠN HAY TẠP. - Nếu một phân số tối giản mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết thành số thập phân vô hạn tuần hoàn. Đặc biệt Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  16. Website:tailieumontoan.com +) Nếu mẫu không có ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn. +) Nếu mẫu có một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp. 7 +) Ví dụ: khi chia 7 cho 33 được số thập phân vô hạn, Ta có: = 0,212121 = 0,() 21 33 7 Số cũng có thể viết dưới dạng 0,() 2121 hoặc 0, 2() 12 . So với cách viết 0,() 21 có chu kì 21 thì 33 cách viết thứ hai có chu kì lớn hơn, cách viết thứ ba có chữ số thập phân liền trước chu kì và chữ số cuối cùng của chu kì bằng nhau, ta không chọn những cách viết này. +) Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ví dụ 0,() 21 ; gọi là tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập phân đứng trước chu kì gọi là phần bất thường, ví dụ 0,3() 18 có chu kì là 18 và phần bất thường là 3. 3. VIẾT SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN DƯỚI DẠNG PHÂN SỐ: - Quy tắc viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số: + Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số, ta lấy chu kì làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì. Ví dụ: 6 2 21 7 0,() 6= = ; 0,() 21 = = 9 3 99 33 + Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số, ta lấy số gồm phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì, số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường. Chẳng hạn: 16− 1 1 5,1() 6= 5 = 5 ; 90 6 318− 3 315 7 0,3() 18 = = = 990 990 22 aa12 an - Tổng quát: 0,()aa12 an = .  99 9   n bb12 bkn aa 1 2 a− bb 12 b k 0,bb12 bkn() aa 1 2 a = 99 900 0 nk PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn I.Phương pháp giải: a Để viết một tỉ số hoặc một phân số dưới dạng số thập phân ta làm phép chia ab: b II.Bài toán: Bài 1: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  17. Website:tailieumontoan.com Các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? Tại sao? Hãy viết các phân số dưới dạng đó. 10 5 2 13 5 ; ; ; ; . 15 11 13 22 24 Lời giải: 10 5 a) Xét phân số = 15 3 10 ⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 3 nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 15 10 Vậy: = 0,666 = 0,(6) 15 5 b) Xét phân số 11 5 ⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 11 nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 11 5 Vậy: = 0,454545 = 0,(45) 11 2 c) Xét phân số 13 2 ⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 13 nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 13 2 Vậy: = 0,153846153846 = 0,(153846) 13 13 13 d) Xét phân số = 22 2.11 13 ⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 11 nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 22 13 Vậy: = 0,590909 = 0,5(90) 22 55 e) Xét phân số = 24 23 .3 5 ⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 3 nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 24 5 Vậy: = = 0,208333 = 0, 208(3) 24 Bài 2: 5 a) Khi viết phân số dưới dạng số thập phân, hỏi chữ số thứ 2021 sau dấu phẩy là chữ số nào? 7 17 b) Tìm chữ số thập phân thứ 100 sau dấu phẩy của phân số (viết dưới dạng số thập phân). 900 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  18. Website:tailieumontoan.com 24 c) Tìm chữ số thập phân thứ 210 sau dấu phẩy của phân số (viết dưới dạng số thập phân). 27 Lời giải: 5 a) Ta có: = 0,714258 714258 = 0,() 714258 7 Số thập phân 0,() 714258 là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì gồm 6 chữ số. Mà: 2021 =6.336 + 5 , như vậy 2021 chia cho 6 dư 5 nên chữ số thập phân thứ 2021 sau dấu phẩy của 0,() 714258 là chữ số 5. 17 b) Ta có: = 0,018888 = 0,01(8) 900 Số thập phân 0,01(8) là số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp mà phần bất thường có hai chữ số và chu kì có 1 chữ số là 8 . Ta lại có: 100> 2 nên chữ số thập phân thứ 100 sau dấu phẩy của số 0,01(8) là chữ số 8 . 24 c) Ta có: =1,(4117647058823529) là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn mà chu kì gồm 16 27 chữ số. Mà: 210 =1024 = 64.16 , suy ra 210 chia 16 dư 0 nên chữ số thập phân thứ 210 sau dấu phẩy là chữ số 9. Dạng 2: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số I.Phương pháp giải: - Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số với + Tử: là chu kì + Mẫu: là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì. 6 2 21 7 0,() 6= = ; 0,() 21 = = 9 3 99 33 aa12 an Tổng quát: 0,()aa12 an = .  99 9   n - Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số với + Tử: phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường. + Mẫu: một số gồm các chữ số 9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì, số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường. 16− 1 1 5,1() 6= 5 = 5 ; 90 6 318− 3 315 7 0,3() 18 = = = 990 990 22 - Tổng quát: bb12 bkn aa 1 2 a− bb 12 b k 0,bb12 bkn() aa 1 2 a = 99 900 0 nk Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  19. Website:tailieumontoan.com II.Bài toán: Bài 3: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: 0,() 27 ; 0,() 703 ; 0,() 571428 ; 2,01() 6 ; 0,1() 63 ; 2, 41() 3 ; 0,88() 63 Lời giải: 27 3 a) 0,() 27 = = 99 11 703 19 b) 0,() 703 = = 999 27 571428 4 c) 0,() 571428 = = 999999 7 16− 1 15 1 d) 2,01() 6 = 2 = 2 = 2 900 900 60 163− 1 9 e) 0,1() 63 = = 990 55 413− 41 31 f) 2, 41() 3 = 2 = 2 900 75 8863− 88 39 g) 0,88() 63 = = 9900 44 Bài 4: Các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau có bằng nhau không ? 0,(aa12 ) ; 0,(aaaa1212 ) ; 0,a1 ( aa 21 ) Lời giải: aa Ta có: 0,(aa ) = 12 12 99 aaaa 101.aa aa 0,(aaaa ) = 1212= 12= 12 1212 9999 101.99 99 aaa− a aa 0 aa.10 aa 0,a ( aa ) = 121 1= 12 = 12 = 12 1 21 990 990 99.10 99 Vậy 0,(aa12 ) = 0,(aaaa1212 ) = 0,a1 ( aa 21 ) aa Nhận xét: Như vậy từ phân số 12 ta có thể viết được các dạng nhiều số thập phân vô hạn tuần 99 hoàn khác nhau như 0,(aa12 ) ; 0,(aaaa1212 ) ; 0,a1 ( aa 21 ) ; nhưng cách viết 0,(aa12 ) thuận tiện hơn, do đó người ta chọn cách viết này. Dạng 3: Tính giá trị biểu thức số I.Phương pháp giải: Để thực hiện các phép tính về số thập phân vô hạn tuần hoàn trước hết ta viết chúng dưới dạng phân số tối giản rồi thực hiện các phép toán trên phân số. II.Bài toán: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  20. Website:tailieumontoan.com Bài 5: Tính: a) 0,1()() 6+ 1, 3 8 b) 1,()() 3+ 0,1 2 .2 11 c) 10,()()() 3+− 0, 4 8, 6 d) 12,()()() 1− 2,3 6 : 4, 21 Lời giải: 16− 1 3 a) 0,1()() 6+ 1, 3 = +1 90 9 15 12 18 = + = + 90 9 66 9 3 = = 6 2 8 3 12− 1 30 b) 1,()() 3+ 0,1 2 .2 =1. + 11 9 90 11 12 11 30 = + . 9 90 11 12 3 15 5 = + = = 99 9 3 34 6 c) 10,()()() 3+− 0, 4 8, 6 =10 +− 8 99 9 93 4 78 = +− 999 19 = 9 1 33 21 d) 12,()()() 1− 2,3 6 : 4, 21 =12 − 2 : 4 9 90 99 67 21 = 9 :4 90 99 877 99 9647 = . = 90 417 4170 Bài 6: Tìm x, biết: a) 0,()( 37+= 0, 62) .x 10 b) 0,()()() 12 :1, 6= x : 0, 4 3 0, 3++ 0, 384615 x ()() 50 c) 13 = 0,0() 3+ 13 85 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  21. Website:tailieumontoan.com Lời giải: a) 0,()() 37+= 0, 62 .x 10 37 62 ⇒+x =10 99 99 99 ⇒=x 10 99 ⇒=x 10 Vậy x =10 . b) 0,()()() 12 :1, 6= x : 0, 4 12 6 4 ⇒=:1x : 99 9 9 4 12 9 ⇒=x :. 9 99 15 44 ⇒=x : 9 55 44 ⇒=x . 55 9 16 ⇒=x 496 16 Vậy x = 496 3 0, 3++ 0, 384615 x ()() 50 c) 13 = 0,0() 3+ 13 85 3 384615 3 ++x 50 ⇒=9 999999 13 3 +13 85 90 15 3 ++x 10 ⇒=3 13 13 391 17 30 28 3 10 391 ⇒+x =. 39 13 17 30 28 3 10 391 ⇒+x =. 39 13 17 30 3 23 28 ⇒=−x 13 3 39 3 271 ⇒=x 13 39 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  22. Website:tailieumontoan.com 271 3 ⇒=x : 39 13 271 13 ⇒=x . 39 3 271 1 ⇒=x =30 99 271 Vậy x = . 9 Bài 7: Thay các chữ cái bởi các chữ số thích hợp: 0,xy() −= 0, yx() 8.0,0() 1 , biết rằng xy+=9 Lời giải: Ta có: 0,xy() −= 0, yx() 8.0,0 xy−− x yx y 8 ⇒ −= 90 90 90 ⇒ xy−− x yx + y =8 ⇒ 10xyx+−− 10 yxy −+ = 8 ⇒ 10xyx+−− 10 yxy −+ = 8 ⇒ 88xy−= 8 ⇒ xy−=1 Mà xy+=9 Do đó: xy=5, = 4 . Vậy 0,5()()() 4−= 0, 4 5 8.0,0 1 Bài 8: 1 Cho A = (số chia có 99 chữ số 0 sau dấu phảy). Tính A với 300 chữ số thập phân. 1,00 01 Lời giải: 100chu so 0 1 1 1 0 0 Ta có: A = = = . 1,00 01 1, 0 0 1 1 0 0 1 99chu so 0 99chu so 0 100 100 9 90 0 Nhân cả tử và mẫu với 99 9 , ta được: A = . 100chu so 9 9 99 9 100 100 Theo quy tắc viết số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn thành phân số thì số 0, (9 90 0) viết thành 100 100 phân số trên. Vậy A = 0,9 90 09 9 100 100 100 Bài 9: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  23. Website:tailieumontoan.com Cho số x = 0,12345 998999 trong đó ở bên phải dấu phảy ta viết các số từ 1 đến 999 liên tiếp nhau. Chữ số thứ 2003 ở bên phải dấu phảy là chữ số mấy? Vì sao? Lời giải: Xét dãy 2003 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy của x . Gọi chữ số thứ 2003là a . Chia dãy số trên thành ba nhóm: 1234567891011 99100101     x nhom I nhom II nhom III Nhóm I có 9 chữ số, nhóm II có 180 chữ số, nhóm III có: 2003−− 9 180 = 1814 (chữ số). Ta thấy 1814 chia 3 được 604 dư 2 . Số thứ 604 kể từ 100 là: 100+ 604 −= 1 703 . Hai chữ số tiếp theo số 703 là chữ số 7 và chữ số 0 (thuộc số 704 ). Vậy a = 0 . Chữ số thứ 2003 ở bên phải dấu phảy là chữ số 0 Bài 10: Thay các dấu * bởi các chữ số thích hợp: Lời giải: Xét phép trừ thứ hai, ta có: −= * ⇒ số bị trừ có dạng 10* ⇒ số bị trừ = 100 (vì chữ số đơn vị của số bị trừ là chữ số 0 thêm vào để tìm các chữ số thập phân của thương). Đặt số chia, thương và tích riêng thứ nhất theo thứ tự là ab ; c, deg ; mn Ta thấy 10 :ab= 0, deg nên 10000= ab . deg . (Với d ≠ 0 (vì nếu d = 0 thì ab. eg < 10000), g ≠ 0 (vì nếu d = 0 thì thương đã dừng lại ở e )) ⇒ deg là ước của 10000 và có ba chữ số. ⇒ Suy ra deg bằng 53 = 125 hoặc 54 = 625 . Tương ứng ab bằng 80 hoặc 16 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  24. Website:tailieumontoan.com + Trường hợp ab = 80 thì mn = 80 , trái với 80+= 10 (số bị chia), loại + Trường hợp ab =16 thì c=6, mn = 96 , số bị chia là 96+= 10 106 Vậy ta có 106 :16= 6,625 Dạng 4: Kiểm tra một biểu thức phân số viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn (đơn hay tạp). I.Phương pháp giải: Đối với các phân số đó, nếu mẫu không có ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn, nếu mẫu có một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp. II.Bài toán Bài 11: Chứng tỏ rằng: các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 22n + 5 21n + 4 79!+ 79 ; ; ()n∈ 143n 7n 5609n Lời giải: a) 22nn= 11.2 11 22n + 5 Ta có:  ⇒+22n 511, mà 143nn= 11.13 11, do đó rút gọn đến khi tối 511 143n giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 11. 22n + 5 ⇒ ()n∈ khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn 143n b) 21n 7 21n + 4 Ta có:  ⇒+21n 47 , mà 77n , do đó rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa 47 7n thừa số là 7 . 21n + 4 ⇒ ()n∈ khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 7n c) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  25. Website:tailieumontoan.com 79!+ 79 1.2.3 79+ 79 1.2.3 78+ 1 Ta có: = = 5609n 71.79.n 71.n 1.2.3 78 71 21n + 4 Ta có:  ⇒+1.2.3 78 1  71, mà 71n  71, do đó rút gọn đến khi tối giản 1  71 7n thì mẫu số vẫn chứa thừa số là số nguyên tố 71. 79!+ 79 ⇒ ()n∈ khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 5609n Bài 12: Với mọi số tự nhiên n ≠ 0 , khi viết các phân số sau dưới dạng số thập phân, ta được số thập phân hữu hạn hay vô hạn ? Nếu là số thập phân vô hạn thì số đó là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn hay tạp? 33nn2 + a) ; 12n 61n + b) 12n Lời giải: 33nn2 ++31nn()+ n 1 a) Ta có: = = 12nn 12 4 33nn2 + Vì mẫu của phân số là 42= 2 nên đổi ra số thập phân hữu hạn. 12n 61n + b) Xét phân số: 12n 63n Ta có:  1  3 ⇒ 61n + 3 mà 12nn= 3.4 3 61n + ⇒ phân số rút gọn đến khi phân số tối giản, mẫu vẫn có ước là 3 12n 61n + ⇒ phân số đổi thành số thập phân vô hạn tuần hoàn. 12n Mặt khác: 62n Ta có:  1  2 ⇒ 61n +  2 mà 12nn= 2.6 2 61n + ⇒ phân số rút gọn đến khi phân số tối giản, mẫu vẫn có ước là 2 12n Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  26. Website:tailieumontoan.com 61n + ⇒ phân số đổi thành số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp. 12n Bài 13: Khi viết các phân số sau dưới dạng số thập phân, ta được số thập phân hữu hạn, hay vô hạn tuần hoàn đơn, hay vô hạn tuần hoàn tạp: 35n + 3 a) ()n∈ ; 70 10987654321 b) ()nN∈ ? ()()()nn++123 n + Lời giải: 35n 7 a) Ta có:  37 ⇒+35n 37 , mà 70 7 , 35n + 3 do đó rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 7 . 70 35n + 3 ⇒ ()n∈ viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 70 35n 5 Mặt khác:  35 ⇒+35n 35 , mà 70 5 , 35n + 3 do đó phân số rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 5 . 70 35n + 3 Vậy ()n∈ viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp. 70 10987654321 b) Xét phân số ()n∈ ()()()nn++123 n + Tổng các chữ số của tử số là: 10987654321++++++++++= 46 ⇒ tử số 10987654321 3 Mà mẫu số ()()()nn++123 n + là tích của ba số tự nhiên liên tiếp ⇒ ()()()nn++123 n +3 10987654321 Do đó phân số ()n∈ rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là ()()()nn++123 n + 3 35n + 3 ⇒ ()n∈ khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. 70 Mặt khác: 10987654321  2 ; ()()()nn++123 n +2 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  27. Website:tailieumontoan.com 10987654321 ⇒ phân số ()n∈ rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 2 ()()()nn++123 n + 10987654321 Vậy ()n∈ khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần ()()()nn++123 n + hoàn tạp. Bài 14: mmm32+3 ++ 25 Cho phân số: C = ()m∈ mm(+ 1)( m ++ 2) 6 a) Chứng tỏ C là phân số tối giản. b) Phân số C được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn. Lời giải: mmm32+3 ++ 25 a) Xét phân số: C = ()m∈ mm(+ 1)( m ++ 2) 6 Gọi ƯCLN của tử số và mẫu của phân số C là d ()dd∈≥ ,1. mmm32+3 ++ 25 d Ta có:  mm(+ 1)( m ++ 2) 6  d ⇒mm( + 1)( m + 2) +− 6() m32 + 3 m + 2 m + 5  d ⇒ mmm32+326 ++−+() mmm 32 325 ++ d ⇒ 1 d ⇒ d =1 ⇒ ƯCLN của tử số và mẫu của phân số C là 1 Vậy C là phân số tối giản. b) Vì mm;(++ 1);( m 2) là ba số tự nhiên liên tiếp nên trong ba số mm;(++ 1);( m 2)có một số chia hết cho 2 , và một số chia hết cho 3. ⇒ mm(++ 1)( m 2) 6 Mà 66 ⇒mm( + 1)( m ++ 2) 6 6 ⇒mm( + 1)( m ++ 2) 6 3 mmm32+3 ++ 25 ⇒ Phân số C = tối giản khi phân tích mẫu có chứa thừa số là 3 nên C khi viết mm(+ 1)( m ++ 2) 6 thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Dạng 5: Chứng minh I.Phương pháp giải: Sử dụng các phép biến đổi của số thập phân vô hạn tuần hoàn và tính chất chia hết, để chứng minh một số bài toán. II.Bài toán: Bài 15: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  28. Website:tailieumontoan.com Cho A là số lẻ không tận cùng bằng 5. Chứng minh rằng tồn tại một bội của A gồm toàn chữ số 9 . Lời giải: 1 1 Xét phân số , mẫu A không chứa thừa số nguyên tố 2 và 5 nên viết dưới dạng số thập phân A A vô hạn tuần hoàn đơn. 1 aa a = 12 n A 99 9 n ⇒=Aaa a 9 9 .12 n n ⇒ 99 9  A n Vậy tồn tại một bội của A gồm toàn chữ số 9. Bài 16: Cho A là số lẻ không tận cùng bằng 5. Chứng minh rằng tồn tại một bội của A gồm toàn chữ số 1. Lời giải: 1 1 Xét phân số , mẫu A không chứa thừa số nguyên tố 2 và 5 nên viết dưới dạng số thập phân A A vô hạn tuần hoàn đơn. 1 aa a Ta có: = 12 n A 99 9 n ⇒=Aaa a 9 9 .12 n n ⇒ 99 9  A n ⇒ 9.11 1  A ()1 n Mà ước chung của A và 9 chỉ có thể là 1; 3; 9. + Nếu ƯC()A,9= 1 thì từ (1) suy ra 11 1  A . n + Nếu ƯC ()A,9= 3 thì đặt AB= 3 , ta có ()B,3= 1. Từ (1) suy ra 9.11 1  3B ⇒ 3.11 1 B n n ⇒ 11 1 B n ⇒=11 1  3BA 3n + Nếu ƯC ()A,9= 9 thì đặt AB= 9 . Từ (1) suy ra 9.11 1  9B ⇒ 11 1 B n n ⇒=11 1  9BA 9n Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  29. Website:tailieumontoan.com Vậy tồn tại một bội của A gồm toàn chữ số 1. Bài 17: Tìm phân số dương tối giản nhỏ hơn 1 biết rằng khi chia tử cho tử cho mẫu ta được một số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn chu kì có 3 chữ số và phân số này bẳng lập phương của một phân số khác. Lời giải: Gọi abc chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn ()0<<abc 999 abc ⇒ Phân số cần tìm phải có dạng: 999 abc abc abc.372 abc.372 Ta có: = = = 999 33 .37 333 .37 ()3.37 3 abc.372 x 33 .37 Đặt = ()x ∈ * ()3.3733() 3.37 ⇒=abc.372 x 33 .37 ⇒ abc= x3.37 , mà abc < 999 ⇒ x2 < 27 hay x < 3 ⇒ x ∈{}1; 2 3 037 1 1 Với x =1 thì abc = 037 , ta được phân số: = =  999 27 3 3 3 296 8 2 Với x = 2 thì abc 2 .37= 296 , ta được phân số: = =  999 27 3 1 8 Vậy phân số cần tìm là ; 27 27 Bài 18: Viết tiếp vào mỗi chỗ chấm hai phân số theo quy luật: 1111 1 1 a) ; ; ; ; ; ; . 2 4 5 8 10 16 1111 1 1 b) ; ; ; ; ; ; 3 6 7 9 11 12 Lời giải: 1111 1 1 a) Ta thấy các phân số: ;;;; ; viết được dưới dạng phân số thập phân hữu hạn có tử 2 4 5 8 10 16 bằng 1 và mẫu tăng dần. 11 1111 1 1 1 1 Vậy hai phân số điền tiếp vào chỗ chấm là: ; , ta được dãy số: ;;;;;;;. 20 25 2 4 5 8 10 16 20 25 1111 1 1 b) Ta thấy các phân số: ;;;; ; viết được dưới dạng phân số thập phân vô hạn tuần hoàn 3 6 7 9 11 12 có tử bằng 1 và mẫu tăng dần. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  30. Website:tailieumontoan.com 11 11111111 Vậy hai phân số điền tiếp vào chỗ chấm là: ; , ta được dãy số: ;;;; ; ; ; . 13 14 3 6 7 9 11 12 13 14  HẾT  ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ THẬP PHÂN CHỦ ĐỀ 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ VÀ TỈ SỐ PHẦN TRĂM PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Bài toán 1. Tìm giá trị phân số của một số cho trước. m m Muốn tìm của số b cho trước, ta tính b. ()mn,∈≠ ,0 n . n n 2. Bài toán 2. Tìm một số biết giá trị một phân số của nó. m m Muốn tìm một số biết của nó bằng a , ta tính a : ()mn,*∈ . n n 3. Tìm tỉ số của hai số. Muốn tìm tỉ số của hai số a và bb()≠ 0 ta tìm thương của hai số ấy a =abb:0() ≠ ()mn,*∈ . b 4. Lưu ý: - Trong thực hành, ta thường dùng tỉ số dưới dạng tỉ số phần trăm với kí hiệu %. - Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số a và bb()≠ 0 , ta nhân a với 100 rồi chia cho b và viết kí a.100 hiệu % vào kết quả: % . b PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Bài toán tìm giá trị phân số của một số cho trước. I.Phương pháp giải m m Muốn tìm của số b cho trước, ta tính b. ()mn,∈≠ ,0 n . n n II.Bài toán 6 Bài 1: Trong một trường học số học sinh nữ bằng số học sinh nam. 5 a) Tính xem số học sinh nữ bằng mấy phần số học sinh toàn trường. b) Nếu số học sinh toàn trường là 1210 em thì trường đó có bao nhiêu học sinh nam, bao nhiêu học sinh nữ. Lời giải: a) Theo đề bài trong trường cứ 5 phần học sinh nam thì có 6 phần học sinh nữ. Như vậy nếu học 6 sinh toàn trường là 11 phần thì số học sinh nữ chiếm 6 phần, nên số học sinh nữ bằng số học 11 sinh toàn trường. b) Nếu số học sinh toàn trường là 1210 em thì Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  31. Website:tailieumontoan.com 6 Số học sinh nữ là: 1210.= 660 (em) 11 Số học sinh nam là: 1210−= 660 550 (em). 8 Bài 2: Ba lớp 6 có 102 học sinh. Số học sinh lớp A bằng số học sinh lớp B, số học sinh lớp C 9 17 bằng số học sinh lớp A. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh? 16 Lời giải: 9 18 Số học sinh lớp B bằng số học sinh lớp A (hay bằng ). 8 16 17 Số học sinh lớp C bằng số học sinh lớp A. 16 Ta có sơ đồ sau: Lớp A: Lớp B: Lớp C: Tổng số phần của 3 lớp là: 16++= 18 17 51 Số học sinh lớp A là: ()102 : 51 .16= 32 (học sinh) Số học sinh lớp B là: ()102 : 51 .18= 36 (học sinh) Số học sinh lớp C là: ()102 : 51 .17= 34 (học sinh). 9 Bài 3: Ba tổ công nhân trồng được tất cả 286 cây ở công viên. Số cây tổ 1 trồng được bằng số 10 24 cây tổ 2 và số cây tổ 3 trồng được bằng số cây tổ 2. Hỏi mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây? 25 Lời giải: 9 45 Số cây tổ 1 bằng số cây tổ 2 (hay bằng ). 10 50 24 48 Số cây tổ 3 bằng số cây tổ 2 (hay bằng ). 25 50 Như vậy nếu số cây tổ 2 là 50 phần thì số cây tổ 1 là 45 phần, số cây tổ 3 là 48 phần. Tổng số phần của 3 tổ là: 50++= 45 48 143 Số cây tổ 1 trồng là: ()286 :143 .45= 90 (cây). Số cây tổ 2 trồng là: ()286 :143 .50= 100 (cây). Số cây tổ 3 trồng là: ()286 :143 .48= 96 (cây). 1 Bài 4: Mẹ hơn con 24 tuổi. Cách đây 4 năm tuổi con bằng tuổi mẹ. Hỏi hiện nay mỗi người bao 4 nhiêu tuổi? Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  32. Website:tailieumontoan.com Lời giải: Hiệu số tuổi của hai mẹ con không thay đổi theo thời gian nên cách đây 4 năm mẹ vẫn hơn con 24 tuổi. Ta có sơ đồ khi đó: Tuổi con: | | Tuổi mẹ: | | | | | Theo sơ đồ tuổi mẹ cách đây 4 năm là: 24 : (4 1).4 32 (tuổi) Vì mỗi năm mỗi người tăng lên 1 tuổi nên hiện nay tuổi mẹ là: 32 4.1 36 (tuổi) Tuổi con hiện nay là: 36 24 12 (tuổi). Bài 5: Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang. 2 Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng số trang của 1 quyển vở loại 1. Số trang của 4 quyển 3 vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại. Lời giải: 2 Vì số trang của mỗi quyển vỡ loại 2 bằng số trang của 1 quyển loại 1. Nên số trang của 3 quyển 3 loại 2 bằng số trang của 2 quyển loại 1 Mà số trang của 4 quyển loại 3 bằng 3 quyển loại 2. Nê số trang của 2 quyển loại 1 bằng số trang của 4 quyển loại 3 Do đó số trang của 8 quyển loại 1 là 4.8: 2= 16 ( quyển loại 3) Số trang của 9 quyển loại 2 là 9.4 : 3= 12 (quỷên loại 3) Vậy 1980 chính là số trang của 16++= 12 15 33 (quyển loại 3) Suy ra: Số trang 1 quyển vở loại 3 là 1980 : 33= 60 (trang) 60.4 Số trang 1 quyển vở loại 2 là = 80 (trang) 3 80.3 Số trang 1 quyển vở loại1 là = 120 ( trang). 2 6 7 Bài 6:Bạn Nam hỏi tuổi của bố. Bố bạn Nam trả lời: “Nếu bố sống đến 100 tuổi thì của số 7 10 2 7 tuổi của bố sẽ lớn hơn của thời gian bố phải sống là 3 năm”. Hỏi bố của bạn Nam bao nhiêu 5 8 tuổi? Lời giải: 6 7 67 3 Ta có: của là . = 7 10 7 10 5 2 7 27 7 của là . = 5 8 5 8 20 Gọi số tuổi bố của bạn Nam là xx(∈ *) Khi đó thời gian bố phải sống là 100−<xx() 100 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  33. Website:tailieumontoan.com Theo bài ra ta có: 37 xx=()100 −+ ) 3 5 20 ⇔12xx = 700 −+ 7 60 ⇔=19x 760 ⇔=x 40 (thỏa mãn) Vậy bố của bạn Nam 40 tuổi. 7 Bài 7: Lớp 6A có số học sinh Giỏi và Khá chiếm số học sinh cả lớp. Số học sinh Giỏi và Trung 12 5 bình chiếm số học sinh cả lớp. Số học sinh Khá và Trung bình có 34 bạn, số học sinh giỏi hơn số 8 học sinh Yếu là 10 bạn, lớp không có học sinh kém. Hỏi lớp 6A có bao nhiêu bạn hóc sinh Giỏi? bao nhiêu học sinh khá? bao nhiêu học sinh Trung bình? Lời giải: Cách 1: 75 5 Phân số chỉ số học sinh giỏi hơn yếu là: + −=1 (học sinh cả lớp) 12 8 24 24 Số học sinh cả lớp là: 10.= 48 (học sinh) 5 Số học sinh giỏi và yếu là: 48−= 34 14 (học sinh) Số học sinh giỏi là: ()14+= 10 : 2 12 (học sinh) Số học sinh yếu là: 12−= 10 2 (học sinh) 5 Số học sinh giỏi và trung bình là: 48.= 30 (học sinh) 8 Số học sinh trung bình là: 30−= 12 18 (học sinh) Số học sinh khá là: 48−() 18 ++ 2 14 = 16 (học sinh). Cách 2 : Lớp chia 24 phần ⇒ một phàn có: 10 : 5= 2 (học sinh) 57 1 Số học sinh trung bình hơn khá là: −=(học sinh lớp) = 2 (học sinh) 8 12 24 Số học sinh trung bình là: ()34+= 2 : 2 18 (học sinh) Số học sinh khá là: 18−= 2 16 (học sinh) Số học sinh giỏi và yếu là: 48−+=() 18 16 14 (học sinh) Số học sinh giỏi là: ()14+= 10 : 2 12 (học sinh) Số học sinh yếu là: 12−= 10 2 (học sinh). Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  34. Website:tailieumontoan.com 1 Bài 8: Trong một buổi đi tham quan, số nữ đăng ký tham gia bằng số nam. Nhưng sau đó 1 bạn 4 1 nữ xin nghỉ, 1 bạn nam xin đi thêm nên số nữ đi tham quan bằng số nam. Tính số học sinh nữ và 5 học sinh nam đã đi tham quan. Lời giải: Tổng số học sinh nam và nữ dự định đi tham quan và đã đi tham quan là như nhau nên ta lấy làm đơn vị. 1 1 Số học sinh nữ đăng ký đi tham quan bằng số nam nên bằng tổng số học sinh. 4 5 1 1 Số học sinh nữ đã đi tham quan bằng số nam đã đi tham quan nên bằng tổng số học sinh. 5 6 11 1 Số nữ dự định đi nhiều hơn số nữ đã đi là: −= tổng số học sinh. 5 6 30 1 Tổng số học sinh là: 1:= 30 (học sinh) 30 1 Số học sinh nữ đã đi tham quan: 30.= 5 (học sinh) 6 Số học sinh nam đã đi tham quan: 30−= 25 5 (học sinh). 2 Bài 9: Số sách ở ngăn A bằng số sách ở ngăn B. Nếu chuyển 3 quyển từ ngăn A sang ngăn B thì 3 3 số sách ở ngăn A bằng số sách ở ngăn B. Tìm số sách ở mỗi ngăn. 7 Lời giải: 2 22 Số sách ở ngăn A bằng số sách ở ngăn B thì số sách ở ngăn A bằng = số sách cả 2 ngăn. 3 23+ 5 3 Sau khi chuyển 3 quyển từ ngăn A sang ngăn B thì số sách ngăn A bằng số sách ở ngăn B hay 7 33 bằng = số sách cả hai ngăn. 3+ 7 10 Vì số sách ngăn A ban đầu hơn số sách ở ngăn A sau khi chuyển là 3 quyển. Nên ta có phân số chỉ 23 1 3 quyển là: −= 5 10 10 1 Số sách cả hai ngăn là: 3:= 30 (quyển) 10 2 Số sách ở ngăn A là: 30.= 12 (quyển) 5 Số sách ngăn B là: 30−= 12 18 (quyển). Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  35. Website:tailieumontoan.com 2 Bài 10: Một học sinh đọc quyển sách trong 3 ngày. Ngày thứ nhất đọc được số trang sách; ngày 5 3 thứ 2 đọc được số trang sách còn lại; ngày thứ 3 đọc được 80% số trang sách còn lại và 3 trang 5 cuối cùng. Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang? Lời giải: Gọi x là số trang sách, x∈ 2 Ngày 1 đọc được là : x (trang) 5 23 Số trang còn lại là : xxx−= (trang ) 55 33 9 Ngày 2 đọc được là : xx. = (trang) 5 5 25 39 6 Số trang còn lại là : xxx−= (trang) 5 25 25 6 24 Ngày thứ 3 đọc được là: xx.80%+= 30 + 30 (trang) 25 125 2 9 24 Hay: xx+ + x +=30 x ⇒ x = 625 (trang). 5 25 125 Bài 11: Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang. 2 Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng số trang của 1 quyển vở loại 1. Số trang của 4 quyển 3 vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại. Lời giải: 2 Vì số trang của mỗi quyển vỡ loại 2 bằng số trang của 1 quyển loại 1. Nên số trang của 3 quyển 3 loại 2 bằng số trang của 2 quyển loại 1 Mà số trang của 4 quyển loại 3 bằng 3 quyển loại 2. Nên số trang của 2 quyển loại 1 bằng số trang của 4 quyển loại 3 Do đó số trang của 8 quyển loại 1 bằng : 4 .8 : 2 = 16 (quyển loại 3) Số trang của 9 quyển loại 2 bằng: 9 .4 : 3 = 12 (quyển loại 3) Vậy 1980 chính là số trang của 16 ++= 12 5 33 (quyển loại 3) Số trang 1 quyển vở loại 3 là : 1980 : 33 = 60 (trang) 60.4 Số trang 1 quyển vở loại 2 là : = 80 (trang) 3 80.3 Số trang 1 quyển vở loại1 là : = 120 (trang). 2 3 4 Bài 12: Tìm tập hợp các số tự nhiên n biết rằng n lớn hơn của 2 nhưng nhỏ hơn 60% của 7. 4 5 Lời giải: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  36. Website:tailieumontoan.com 3 4 14 3 21 của 2 bằng .= = 2,1 4 5 5 4 10 60 60% của 7 bằng 7.= 4,2 100 2,1<< n 4,2 và n∈ nên n∈ { 3; 4} . 3 Bài 13: Một đầu máy xe lửa cứ đi 1km thì tiêu thụ hết tấn nước. Nồi nước của đầu máy chữa 20 1 9 được 16 tấn. Hỏi nếu trong nồi còn khối nước ấy thì xe lửa còn chạy được bao nhiêu km? 2 10 Lời giải: 9 1 9 297 lượng nước của đầu máy là: 16 . = (tấn). 10 2 10 20 297 3 Số km xe lửa chạy được là: := 99 (km). 20 20 Bài 14: Muốn đào xong con mương cần 15 công nhân làm việc trong 20 ngày. Trong 10 ngày đầu 3 số công nhân ít nên chỉ là được công việc. Hỏi muốn hoàn thành đúng kì hạn thì phải điều 10 thêm bao nhiêu công nhân? (coi năng suất lao động của mỗi công nhân như nhau). Lời giải: Số ngày công cần thiết để hoàn thành công việc là: 20.15= 300 (ngày công). 3 Mười ngày đầu đã làm được: 300.= 90 (ngày công). 10 Số ngày công còn lại: 300−= 90 210 (ngày công). Muốn hoàn thành công việc đúng kì hạn thì cần số công nhân là: 210 :10= 21 (công nhân). Số công nhân đã làm trong 10 ngày đầu là: 90 :10= 9 (công nhân). Vậy số công nhân điều thêm là: 21−= 9 12 (công nhân). 275 7 Bài 15: Giữ nguyên tử số, hãy thay đổi mẫu số của phân số sao cho số đó giảm đi giá trị 289 24 của nó. Mẫu số mới là bao nhiêu? Lời giải: 275 275 7 275 275 7 275 Gọi mẫu phải tìm là x . Theo đề bài ta có: =−. = .1 −= x 289 24 289 289 24 408 Vậy x = 408. .Dạng 2: Tìm một số biết giá trị một phân số của nó. I.Phương pháp giải m m Muốn tìm một số biết của nó bằng a , ta tính a : ()mn,*∈ . n n II.Bài toán Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  37. Website:tailieumontoan.com 5 Bài 1: Một lớp học có số học sinh nữ bằng số học sinh nam. Nếu 10 học sinh nam chưa vào lớp 3 thì số học sinh nữ gấp 7 lần số học sinh nam. Tìm số học sinh nam và nữ của lớp đó. Lời giải: 5 3 Số học sinh nữ bằng số học sinh nam, nên số học sinh nam bằng số học sinh cả lớp. 3 8 1 Khi 10 học sinh nam chưa vào lớp thì số học sinh nam bằng số học sinh nữ, nên số học sinh nam 7 1 bằng số học sinh cả lớp. 8 31 1 Vậy 10 học sinh biểu thị −= học sinh cả lớp. 88 4 1 Số học sinh cả lớp là: 10 := 40 (học sinh). 4 3 Số học sinh nam là: 40.= 15 (học sinh). 8 Số học sinh nữ là: 40−= 15 25 (học sinh). 5 Bài 2: Anh An có ít hơn anh Hải 500.000đ. Anh An tiêu hết số tiền của mình. Anh Hải tiêu hết 7 4 số tiền của mình thì số tiền còn lại của hai anh bằng nhau. Hỏi mỗi người ban đầu có bao nhiêu 9 tiền? Lời giải: 25 Số tiền còn lại của anh An là: 1−= (số tiền của An) 77 45 Số tiền còn lại của anh Hải là: 1−= (số tiền của Hải) 99 55 7 Số tiền của anh An bằng: : = (số tiền của anh Hải) 97 9 72 Nếu chọn số tiền của anh An là đơn vị thì hiệu số tiền của anh Anh và anh Hải là: 1−= (số 99 tiền của Hải) 2 Số tiền của anh Hải là: 500000 := 2250000 đồng. 9 Số tiền của anh An là: 2250000−= 500000 1750000 đồng. 1 3 2 Bài 3: Ba tấm vải có tất cả 542m. Nếu cắt tấm thứ nhất, tấm thứ hai, tấm thứ ba thì chiều 7 14 5 dài còn lại của ba tấm bằng nhau. Hỏi mỗi tấm dài bao nhiêu mét? Lời giải: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  38. Website:tailieumontoan.com 6 11 3 Theo đề bài thì tấm thứ nhất bằng tấm thứ hai bằng tấm thứ ba. 7 14 5 6 3 10 Nếu lấy tấm thứ nhất làm đơn vị thì chiều dài tấm vải thứ ba bằng: : = (chiều dài tấm thứ 75 7 nhất) 6 11 12 Nếu lấy tấm thứ nhất làm đơn vị thì chiều dài tấm vải thứ hai bằng: : = (chiều dài tấm thứ 7 14 11 nhất) 10 12 271 Độ dài ba tấm vải là: 1++= (chiều dài tấm vải thứ nhất) 7 11 77 271 Chiều dài tấm vải thứ nhất là: 542 := 154 (m). 77 12 Chiều dài tấm vải thứ hai là: 154.= 168 (m). 11 10 Chiều dài tấm vải thứ ba là: 154.= 220 (m). 7 11 Bài 4: Một ô tô đi ừt A đến B trong 4 giờ. Giờ thứ nhất đi được quãng đường bằng quãng 29 6 đường đi được trong 3 giờ còn lại. Giờ thứ hai ô tô đi được bằng quãng đường đi được trong 3 19 1 giờ còn lại. Giờ thứ ba ô tô đi được bằng quãng đường đi được trong 3 giờ còn lại. Giờ thứ tư ô tô 3 đi được 47km. Hỏi trong 3 giờ đầu, ô tô đi được bao nhiêu km? Lời giải: . 11 Giờ thứ nhất đi được quãng đường bằng quãng đường đi được trong 3 giờ còn lại nên giờ thứ 29 11 11 nhất ô tô đi được quãng đường bằng = quãng đường AB. 29+ 11 40 6 1 Tương tự trong giờ thứ hai ô tô đi được quãng đường AB, giờ thứ ba ô tô đi được quãng 25 4 đường AB. 11 6 1 153 Trong ba giờ đầu ô tô đi được: + += (quãng đường AB) 40 25 4 200 153 47 Trong giờ thứ 4 ô tô đi được: 1−= (quãng đường AB) 200 200 47 Quãng đường AB dài là: 47 := 200 (km). 200 153 Trong ba giờ đầu, ô tô đi được: 200.= 153 (km). 200 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  39. Website:tailieumontoan.com 1 1 Bài 5: Có 3 thùng gạo. Lấy số gạo ở thùng A đổ vào thùng B, sau đó lấy số gạo có tất cả ở 5 3 thùng B đổ vào thùng C thì số gạo ở mỗi thùng đều bằng 20 kg. Hỏi lúc đầu mỗi thùng có bao nhiêu ki-lô-gam gạo? Lời giải: 14 Sau khi đổ vào thùng B, số gạo còn lại ở thùng A(so với ban đầu) là:1−= (thùng A) 55 4 4 thùng A bằng 20kg nên thùng A có: 20 := 25 (kg) 5 5 1 Số gạo đã đổ từ A sang B: 25.= 5 (kg) 5 12 Sau khi đổ vào thùng C, số gạo còn lại ở thùng B (so với lúc chưa đổ qua C): 1−= 33 2 2 thùng B bằng 20 nên thùng B là: 20 := 30 (kg) 3 3 Thùng B lúc đâu(chưa đổ từ A qua B): 30−= 5 25 (kg) 1 Số gạo đã đổ từ B sang C: 30.= 10 (kg) 3 Số gạo ban đầu của thùng C: 20−= 10 10 (kg). 1 1 Bài 6: Ba bình nước đựng nước chưa đầy. Sau khi đổ số nước ở bình 1 sang bình 2, rồi đổ số 3 4 1 nước hiện có ở bình 2 sang bình 3, cuối cùng đổ số nước hiện có ở bình 3 sang bình 1 thì mỗi bình 10 đều có 9 lít nước. Hỏi lúc đầu mỗi bình có bao nhiêu lít nước? Lời giải: 1 Sau khi đổ số lít nước ở bình 3 sang bình 1 thì bình 3 còn 9 lít nước. 10 1 Vậy trước đó bình ba có số lít nước là: 9 : 1 10 (lít). 10 1 1 Trước khi nhận số lít nước của bình 3 thì bình 1 có số lít nước là: 9 10. 8 (lít). 10 10 1 Vậy lúc đầu bình 1 có số lít nước là: 8: 1 12 (lít). 3 1 Sau khi đổ số nước ở bình 2 sang bình 3 thì bình 2 còn 9 lít (theo bài ra), vậy trước khi đó bình 2 4 1 có số lít nước là: 9 : 1 12 (lít). 4 1 1 Vậy trước khi nhận số nước của bình 1 hay lúc đầu bình 2 có số lít nước là: 12 12. 8 3 3 (lít). Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  40. Website:tailieumontoan.com 1 Bình 2 đổ sang bình 3 số lít nước là: 12. 3 (lít). 4 1 Theo lời giải đầu thì trước khi đổ số nước sang bình 1 thì bình 3 có 10 lít nước, vậy trước khi 10 nhận 3 lít nước ở bình 2 đổ sang hay lúc đầu bình 3 có số lít nước là: 10 3 7 (lít). 6 9 2 Bài 7: Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 2 và bằng số thứ 3. 7 11 3 Lời giải: 9 6 21 Số thứ nhất bằng: : = (số thứ hai) 11 7 22 9 2 27 Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai) 11 3 22 22++ 21 27 70 Tổng của 3 số bằng (số thứ hai) = (số thứ hai) 22 22 70 Số thứ hai là: 210 := 66 ; 22 21 Số thứ nhất là: .66= 63; 22 27 Số thứ 3 là: .66= 81. 22 5 3 1 Bài 8: Tính tuổi của anh và em biết rằng tuổi anh hơn tuổi em là 2 năm và tuổi anh hơn 8 4 2 3 tuổi em là 7 năm. 8 Lời giải: 1 3 Ta có: tuổi anh thì hơn tuổi em là 7 năm. 2 8 6 Vậy tuổi anh hơn tuổi em là 14 năm 8 5 3 Mà tuổi anh lớn hơn tuổi em là 2 năm, 8 4 53 nên 1−= tuổi anh = 14−= 2 12 năm. 88 3 Vậy tuổi anh là: 12 := 32 tuổi. 8 3 tuổi em 32−= 14 18 tuổi 4 3 Tuổi em là: 18:= 24 tuổi. 4 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  41. Website:tailieumontoan.com Bài 9: Một xí nghiệp làm một số dụng cụ, giao cho 3 phân xưởng thực hiện. Số dụng cụ phân xưởng I làm bằng 28% tổng số. Số dụng cụ phân xưởng II làm gấp rưỡi số dụng cụ phân xưởng I. Phân xưởng III làm ít hơn phân xưởng II là 72 chiếc. Tính số dụng cụ mỗi phân xưởng đã làm. Lời giải: 3 So với tổng số, số dụng cụ phân xưởng 2 làm chiếm số phần là: 28%.= 42% 2 So với tổng số, số dụng cụ phân xưởng 3 làm chiếm số phần là: 100%−+=() 42% 28% 30% So với tổng số, 72 chiếc chiếm số phần là: 42%−= 30% 12% Tống số sản phẩm cả ba phân xưởng làm là: 72 :12%= 600 (dụng cụ) Số sản phẩm phân xưởng 1 làm là: 600.28%= 168 (dụng cụ) Số sản phẩm phân xưởng 2 làm là: 600.42%= 252 (dụng cụ) Số sản phẩm phân xưởng 3 làm là: 600.30%= 180 (dụng cụ). 3 Bài 10: Kết thúc học kỳ I lớp 7A có số học sinh xếp loại văn hoá bằng số học sinh được xếp loại 8 khá. Đến cuối năm có 7 học sinh vươn lên đạt loại giỏi và 1 học sinh loại giỏi bị chuyển loại xuống 9 khá nên số học sinh giỏi chỉ bằng số học sinh khá. Tính số học sinh lớp 7A biết cả hai học kỳ 13 lớp 7A chỉ có học sinh xếp loại văn hoá Khá và Giỏi. Lời giải: Số học sinh cả lớp là: 3+= 8 11 (phần) 3 Số học sinh giỏi kỳ I chiếm: học sinh cả lớp 11 9 Số học sinh giỏi kỳ II chiếm: học sinh cả lớp 22 933 6 học sinh ứng với số phần cả lớp: −= (cả lớp) 22 11 22 3 Số học sinh cả lớp là: 6 : = 44 (học sinh) 22 Vậy số học sinh 7A là 44 bạn. 3 Bài 11: Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng số còn lại. Cuối năm có thêm 4 học sinh đạt loại 7 2 giỏi nên số học sinh giỏi bằng số còn lai. Tính số học sinh của lớp 6A. 3 Lời giải: 3 Số học sinh giỏi kỳ I bằng số học sinh cả lớp 10 2 Số học sinh giỏi cuối năm bằng số học sinh cả lớp 5 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  42. Website:tailieumontoan.com 23 4 học sinh ứng với − số học sinh cả lớp 5 10 1 1 số học sinh cả lớp là 4 nên số học sinh cả lớp: 4 := 40 (học sinh) 10 10 2 Bài 12: Một học sinh đọc quyển sách trong ba ngày. Ngày thứ nhất đọc được số trang sách; 5 3 ngày thứ 2 đọc được số trang còn lại; ngày thứ ba đọc được 80% số trang sách còn lại và 3 5 trang cuối cùng. Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang ? Lời giải: Gọi x là số trang sách ()x∈ 2 Ngày 1 đọc được x (trang) 5 23 Số trang còn lại: xxx−= (trang) 55 33 9 Ngày 2 đọc được: xx. = (trang) 5 5 25 39 6 Số trang còn lại là: xxx−= (trang) 5 25 25 6 24x Ngày thứ ba đọc được: x.80%+= 30 + 30 (trang) 25 125 2 9 24 Hay: x+ x + x +30 =⇒= xx 625 (trang). 5 25 125 Bài 13: Một hình chữ nhật có chiều dài bằng 125% chiều rộng, chu vi hình chữ nhật là 45m. Tính diện tích hình chữ nhật. Lời giải: 45 Nửa chu vi hình chữ nhật là 45: 2 = (m). 2 5 Chiều dài bằng 125% tức bằng chiều rộng. 4 59 Phân số chỉ nửa chu vi là +=1 . 44 45 9 Chiều rộng hình chữ nhật là := 10 (m). 24 5 Chiều dài hình chữ nhật là .10= 12,5 (m). 4 Diện tích hình chữ nhật là 10.12,5= 125 (m2). Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  43. Website:tailieumontoan.com 1 2 Bài 14: Chu vi miếng đất hình chữ nhật bằng 124m. Biết rằng chiều rộng bằng chiều dài. Tính 3 9 diện tích khu đất đó. Lời giải: 21 2 So với chiều dài, chiều rộng bằng : = (chiều dài) 93 3 Nửa chu vi miếng đất là: 124 : 2= 62 (m) 25 Tổng chiều dài và chiều rộng bằng 1+= (chiều dài) 33 5 Chiều dài khu đất là: 62 := 37,2 (m). 32 Chiều rộng khu đất là: 32−= 37,2 24,8 (m). Diện tích hình chữ nhật là: 37,2.24,8= 922,56 (m2). Bài 15: Trong tuần lễ thi đua học tốt, lớp 6B đã đạt được số điểm 10 như sau: Số điểm 10 của tổ 1 1 1 bằng tổng số điểm 10 của ba tổ còn lại, số điểm 10 của tổ 2 bằng tổng số điểm 10 của ba tổ 3 4 1 còn lại, số điểm 10 của tổ 3 bằng tổng số điểm 10 của ba tổ còn lại, còn lại tổ 4 đạt 23 điểm 10. 5 Tính tổng số điểm 10 của cả lớp. Lời giải: 1 Số điểm 10 của tổ 1 bằng tổng số điểm 10 của ba tổ còn lại nên số điểm 10 của tổ 1 bằng 3 11 = số điểm 10 của cả lớp. 31+ 4 11 Tương tự số điểm 10 của tổ 2 bằng = số điểm 10 của cả lớp, số điểm 10 của tổ 1 bằng 41+ 5 11 = số điểm 10 của cả lớp. 51+ 6 1 1 1 37 Tổng số điểm 10 của ba tổ đầu bằng: ++= (số điểm 10 cả lớp). 4 5 6 60 37 23 Số điểm 10 của tổ 4 bằng: 1−= (số điểm 10 cả lớp). 60 60 23 Số điểm 10 cả lớp là: 23:= 60 (điểm). 60 Dạng 3: Tìm tỉ số của hai số. I.Phương pháp giải - Muốn tìm tỉ số của hai số a và bb()≠ 0 ta tìm thương của hai số ấy a =abb:0() ≠ ()mn,*∈ . b Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  44. Website:tailieumontoan.com - Trong thực hành, ta thường dùng tỉ số dưới dạng tỉ số phần trăm với kí hiệu %. Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số a và bb()≠ 0 , ta nhân a với 100 rồi chia cho b và viết kí a.100 hiệu % vào kết quả: % . b II.Bài toán Bài 1: Khối lượng công việc xây dựng của một thành phố năm tới tăng 84%, còn năng suất công nhân xây dựng tăng 15%. Hỏi cần phải tăng số công nhân xây dựng lên bao nhiêu phần trăm để đảm bảo được khối lượng xây dựng? Lời giải: Khối lượng công việc 100%và năng suất lao động 100% thì cần 100% công nhân. Vậy 184% lượng công việc và 115% năng suất lao động thì cần x% số công nhân. 100%.184%.100% x%= = 160% 100%.115% Vậy phải tăng thêm 160%−= 100% 60% số công nhân. Bài 2: Một ô tô đi từ A đến B, một xe máy đi từ B đến A. Hai xe khởi hành cùng một lúc cho đến khi gặp nhau thì quãng đường ô tô đi được lớn hơn quãng đường xe máy đi được 50km. Biết 30% quãng đường ô tô đi được bằng 45% quãng đường xe máy đi được. Hỏi quãng đường mỗi xe đi được đến điểm gặp nhau bằng bao nhiêu phần trăm quãng đường AB. Lời giải: 39 9 Đổi 30% = = ; 45% = 10 30 20 9 9 quãng đường ô tô đi được bằng quãng đường xe máy đi được. 30 20 1 1 Suy ra quãng đường ô tô đi được bằng quãng đường xe máy đi được. 30 20 Ta có sơ đồ sau: Quãng đường ô tô đi: 30 phần bằng nhau Quãng đường xe máy đi: 20 phần bằng nhau 50km Quãng đường ô tô đi được là: 50 : (30−= 20).30 150 (km). Quãng đường xe máy đi được là: 50 : (30−= 20).20 100 (km). Bài 3: Phải tăng số 2,56 lên bao nhiêu phần trăm để tổng số cũ và phần tăng thêm bằng 3,5% của số 105,5 ? Lời giải: 3,5% của số 105,5 là 105,5.3%= 3,6925 Như vậy 2,56 đã tăng thêm: 3,6925−= 2,56 1,1325 1,1325.100 Tỉ số phần trăm cần tìm là: %≈ 44,2% 2,56 Bài 4: Tỉ số của hai số bằng 80%. Nếu bớt số thứ nhất đi 20 đơn vị thì tỉ số giữa hai số bằng 40%. Tìm hai số đó. Lời giải: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  45. Website:tailieumontoan.com 4 Tỉ số của hai số bằng 80% thì số thứ nhất bằng số thứ hai. 5 2 Tỉ số giữa hai số bằng 40% thì số thứ nhất bằng số thứ hai. 5 422 20 đơn vị ứng với −= số thứ hai. 555 2 4 Vậy số thứ hai là: 20 := 50 , số thứ nhất là: 50.= 40. 5 5 Bài 5: Một vòi nước chảy vào bể chứa nước. Người ta vặn vòi nước để giảm lượng nước chảy vào bể. Lúc đầu bể không có nước, nếu lượng nước chảy vào bể giảm đi 10% thì thời gian chảy đầy bể tăng thêm bao nhiêu phần trăm? Lời giải: Lượng nước chảy vào bể giảm đi 10% thì còn 90%. 1 Thời gian chảy đầy bể 100%: 90%= 1 % thời gian khi chưa giảm lượng nước chảy vào bể. 9 11 Thời gian tăng thêm là: 1 %−= 100% %. 99 Bài 6: Tổng bình phương của ba số tự nhiên là 2596. Biết rằng tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là 2 5 , giữa số thứ hai và số thứ ba là . Tìm ba số đó . 3 6 Lời giải: Gọi abc,, là ba số tự nhiên phải tìm ab25 Theo đề bài ta có: =; = (1) và abc222++=2596 (2) bc36 a 26 Từ (1) suy ra : =; cb = , thay vào (2) ta có: b 35 4 36 bb22++ b 2 =2596 ⇒= b 2 900 9 25 ⇒=bac30; = 20; = 36 Vậy 3 số phải tìm là 30;20;36 . Bài 7: Hai người đi mua gạo. Người thứ nhất mua gạo nếp, người thứ hai mua gạo tẻ. Giá gạo tẻ rẻ hơn giá gạo nếp là 20%. Biết khối lượng gạo tẻ người thứ hai mua nhiều hơn khối lượng gạo nếp là 20%. Hỏi người nào trả ít tiền hơn? ít hơn mấy % so với người kia. Lời giải: Gọi giá gạo nếp là a (đồng/kg); khối lượng gạo nếp đã mua là b (kg). 80 120 Suy ra giá gạo tẻ là a (đồng/kg); khối lượng gạo tẻ đã mua là b (kg). 100 100 80 120 96 Số tiền người thứ nhất phải trả là: a. b= ab 100 100 100 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  46. Website:tailieumontoan.com 96 ab− ab .100 100 V i th hai tr ít ti i th nh t là: %= 4% . ậy ngườ ứ ả ền hươn ngườ ứ ấ ab Bài 8: Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng các chữ số của nó là lớn nhất. Lời giải: Gọi số tự nhiên phải tìm là ab ()a,b∈ ,1 ≤≤ab 9, 0 ≤≤ 9 , tỉ số giữa ab và a+b là k . ab10 a++ b 10 a 10 b 10()ab+ Ta có: k ==≤==10 . ab++ ab ab + ab + k=10 ⇔= b 10 bb ⇔= 0 Vậy k lớn nhất bằng 10 khi ba=0, ∈ {1;2; ;9} . Các số phải tìm là: 10; 20;30; 40; 50; 60; 70;80; 90. 3 1 Bài 9: Tỉ số của hai số bằng 1 . Nếu bớt số thứ nhất đi 10 thì tỉ số của chúng sẽ bằng 1 . Tìm hai 5 5 số đó. Lời giải: a 38 a−10 1 6 Gọi hai số phải tìm là a và b. Theo đề bài ta có: =1 = và =1 = . b 55 b 55 aa−10 6 10 6 10 a 6 8 6 =⇒− =⇒ =−=−=2 b555 bb bb 55 10.5 8 8 ⇒=b =25; ab = = .25 = 40 2 55 Vậy hai số phải tìm là 40 và 25. Bài 10: Hiệu của hai số là 12. Biết 75% số lớn bằng 3 lần số nhỏ. Tìm hai số đó. Lời giải: 3 Ta có 75% = . 4 31 13 Số nhỏ bằng :3= (số lớn). Hiệu hai số bằng 1−= (số lớn). 44 44 3 Vậy số lớn bằng 12 := 16 . Số nhỏ bằng 16−= 12 4 . 4 a2 Bài 11: Tìm hai số a và b biết rằng = và ab22−=−189 . b5 Lời giải: Đặt ak= 2 thì bk= 5 (k ≠ 0) . 22 ab22−=()()2 k − 5 k =− 189 22 ⇒−4kk 25 =− 189 2 ⇒−21k =− 189 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  47. Website:tailieumontoan.com ⇒=k2 9 ⇒=±k 3 Với k = 3 thì ab=2.3 = 6; = 5.3 = 15. Với k = −3 thì ab=2.()() −=− 3 6; = 5. −=− 3 15. Bài 12: Khối lượng công việc tăng 80% nhưng năng suất lao động chỉ tăng 20% . Hỏi phải tăng số công nhân lên bao nhiêu phần trăm để hoàn thành công việc? Lời giải: So với trước, khối lượng công việc bằng 100%+= 80% 180% = 1,8. So với trước, năng suất lao động bằng 100%+= 20% 120% = 1,2 . So với trước, số công nhân tăng là: 1, 8 : 1, 2= 1, 5 = 150% . Như vậy, số công nhân phải tăng 150%−= 100% 50% . Bài 13: Lượng nước trong cỏ tươi là 60% , lượng nước trong cỏ khô là 15% . Hỏi một tấn cỏ tươi cho bao nhiêu cỏ khô? Lời giải: Lượng nước trong một tấn cỏ tươi là 600 kg. Nên khối lượng cỏ khô hoàn toàn là 400 kg. Nhưng lượng cỏ khô hoàn toàn chỉ chiếm 85% khối lượng cỏ tươi. 10 Nên 1 tấn cỏ tươi sẽ cho 400 : 85%= 470 kg cỏ khô. 17 Bài 14: Số hộp sữa loại 1 ít hơn số hộp sữa loại 2 là 12,5% nhưng lượng sữa trong mỗi hộp loại 1 lại nhiều hơn lượng sữa trong mỗi hộp loại 2 là 8%. Hỏi lượng sữa tổng cộng của loại nào ít hơn và ít hơn bao nhiêu phần trăm? Lời giải: Giả sử có a hộp sữa loại 2, mỗi hộp chứa một lượng sữa là b lít. Như vậy lượng sữa loại 2 tổng cộng là ab lít. Số hộp sữa loại 1 sẽ là: 0,875a và mỗi hộp chứa 1, 08b lít. Lượng sữa loại 1 tổng cộng là 0,945ab lít. 0,945ab Tỉ số lượng sữa loại 1 so với loại 2 là =0,945 = 94,5% ab Như vậy, lượng sữa loại 1 ít hơn loại 2 là 5, 5% . Bài 15: Trong số học sinh tham gia lao động buổi sáng có 40% là học sinh lớp 6,36% là học sinh lớp 7, số còn lại là học sinh lớp 8. Buổi chiều, số học sinh lớp 6 giảm 75% , số học sinh lớp 7 tăng 37,5%, số học sinh lớp 8 tăng 75% . Hỏi số học sinh tham gia lao động chiều thay đổi như thế nào so với số học sinh lao động buổi sáng? 140 Lời giải: Số học sinh lớp 8 lao động buổi sáng chiếm: 100%−+=() 40% 36% 24%. 3 Số học sinh lớp 8 lao động buổi chiều chiếm: 24%+= 24%. 42%. 4 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  48. Website:tailieumontoan.com 3 Số học sinh lớp 6 lao động buổi chiều chiếm: 40%−= 40%. 10%. 4 3 Số học sinh lớp 7 lao động buổi chiều chiếm: 36%+= 36%. 49,5%. 8 So với buổi sáng, số học sinh lao động buổi chiều bằng: 42%+ 49,5% += 10% 101,5%. PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. Bài 1: (Đề thi HSG huyện BA VÌ 2018-2019) 1 Một người mang cam đi chợ bán. Người thứ nhất mua số cam và 5 quả. Người thứ hai mua 20% 6 số cam còn lại và thêm 12 quả. Người thứ ba mua 25% số cam còn lại và thêm 9 quả. Người thứ tư 1 mua số cam còn lại và 12 quả thì vừa hết. Tính số cam người đó mang đi bán ? 3 Lời giải: 12 Phân số chỉ 12 quả cam là 1−= (số cam còn lại sau khi người thứ ba mua) 33 2 Số cam còn lại sau khi người thứ ba mua: 12 := 18 (quả) 3 3 Phân số chỉ 18+= 9 27quả cam là: 1−= 25% (số cam còn lại sau khi người thứ tư mua) 4 3 Số cam sau khi người thứ hai mua: 27 := 36 (quả) 4 4 Phân số chỉ 48 quả cam: 1−= 20% (số cam còn lại sau khi người thứ nhất mua) 5 4 Số cam sau khi người thứ nhất mua: 48:= 60 (quả) 5 15 Phân số chỉ 65 quả cam là: 1−= (số cam mang đi bán) 66 5 Số cam người đó mang đi bán: 65:= 78 (quả). 6 Bài 2: (Đề thi HSG 6 - Quận Hai bà Trưng 1998 - 1999) Một xí nghiệp làm một số dụng cụ, giao cho 3 phân xưởng thực hiện. Số dụng cụ phân xưởng I làm bằng 28% tổng số. Số dụng cụ phân xưởng II làm gấp rưỡi số dụng cụ phân xưởng I. Phân xưởng III làm ít hơn phân xưởng II là 72 chiếc. Tính số dụng cụ mỗi phân xưởng đã làm. Lời giải: 21 So với tổng số, số dụng cụ phân xưởng 2 làm chiếm số phần là: 28%.1,5 = (tổng số). 50 21 3 So với tổng số, số dụng cụ phân xưởng 3 làm chiếm số phần là: 1− 28% += (tổng số). 50 10 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  49. Website:tailieumontoan.com 21 3 3 So với tổng số, 72 chiếc chiếm số phần là: −= tổng số. 50 10 25 3 Tổng số sản phẩm cả ba phân xưởng làm là: 72 := 600 (dụng cụ) 25 Số sản phẩm phân xưởng 1 làm là: 600.28%= 168 (dụng cụ) 21 Số sản phẩm phân xưởng 2 làm là: 600.= 252 (dụng cụ) 50 Số sản phẩm phân xưởng 3 làm là: 600−− 168 252 = 180 (dụng cụ). Bài 3: (Đề thi HSG 6 - Quận Hai bà Trưng 1999 - 2000) 3 Kết thúc học kỳ I lớp 7A có số học sinh xếp loại giỏi bằng số học sinh được xếp loại khá. Đến 8 cuối năm có 7 học sinh vươn lên đạt loại giỏi và 1 học sinh loại giỏi bị chuyển loại xuống khá nên 9 số học sinh giỏi chỉ bằng số học sinh khá. Tính số học sinh lớp 7A biết cả hai học kỳ lớp 7A 13 chỉ có học sinh xếp loại văn hoá Khá và Giỏi. Lời giải: Số học sinh cả lớp là: 3+= 8 11 (phần) 3 Số học sinh giỏi kỳ I chiếm học sinh cả lớp 11 9 Số học sinh giỏi kỳ II chiếm học sinh cả lớp 22 933 6 học sinh ứng với số phần cả lớp: −= (cả lớp) 22 11 22 3 Số học sinh cả lớp là: 6 := 44 (học sinh) 22 Vậy số học sinh 7A là 44 bạn. Bài 4: (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013 - 2014) Giáo viên chủ nhiệm lớp 6A điều học sinh đi lao động, theo kế hoạch ban đầu số học sinh nữ bằng 25% số học sinh nam, sau đó có một học sinh nữ có lý do xin vắng nên giáo viên thay bằng một bạn nam để số lượng không thay đổi, vì vậy số học sinh nữ bằng 20% số học sinh nam. Tìm số học sinh nam, nữ trong buổi lao động? Lời giải: 1 Ta thấy theo kế hoạch số học sinh nữ bằng 25% số học sinh nam tức là số học sinh nữ bằng số 4 1 học sinh nam hay số học sinh nữ bằng tổng số học sinh. Lý luận tương tự ta có thực tế số học 5 1 sinh nữ bằng tổng số học sinh. 6 11 1 1 học sinh chiếm số phần là: −= (Tổng số học sinh đi lao động) 5 6 30 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  50. Website:tailieumontoan.com 1 Số học sinh đi lao động là: 1:= 30 (em). 30 1 Vậy: Số học sinh nữ là: .30= 5 (em) 6 số học sinh nam là: 30−= 5 25 (em). Bài 5: (Đề thi HSG 6 huyện Hoằng Hóa 2013 - 2014) 1 Hiện nay tuổi mẹ bằng 2 tuổi con. Bốn năm trước tuổi mẹ băng 3 lần tuổi con. Tính tuổi mẹ, 2 tuổi con hiện nay ? Lời giải: 1 Bốn năm trước mẹ hơn con 2 lần tuổi con lúc đó. Hiện nay tuổi mẹ hơn tuổi con 1 lần tuổi con 2 1 hiện nay, hiệu giữa tuổi mẹ và tuổi con không đổi nên ta có 2 lần tuổi con cách đây 4 năm =1 2 tuổi con hiện nay 1 Hay 2 (tuổi con hiện nay - 4 ) =1 lần tuổi con hiện nay 2 1 tức là 2 lần tuổi con hiện nay - 8 = 1 lần tuổi con hiện nay 2 1 ⇒ lần tuổi con hiện nay = 8 2 Tuổi con hiện nay là 16 tuổi 1 Tuổi mẹ hiện nay là: 16.2= 40 tuổi. 2 Bài 6: (Đề thi HSG 6 huyện Hoằng Hóa 2013 - 2014) 6 9 2 Tìm ba số có tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ hai và bằng số thứ ba. 7 10 3 Lời giải: 9 6 21 Số thứ nhất bằng: : = ( Số thứ hai ) 11 74 22 9 2 27 Số thứ ba bằng: : = ( Số thứ hai ) 11 3 22 21++ 22 27 70 Tổng của ba số bằng: (số thứ hai ) = ( số thứ hai ) 22 20 70 Số thứ hai là: 210 := 66 22 21 Số thứ nhất là: 66.= 63 22 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  51. Website:tailieumontoan.com 27 Số thứ ba là: 66.= 81. 22 Bài 7: (Đề thi HSG 6 THCS Kim Trực - Kim Bài 2017-2018) Số thóc sau khi thu hoạch được người cha chia cho 4 người con. Số thóc người anh cả được chia 1 1 bằng số thóc của ba người kia, người anh thứ hai được số thóc bằng số thóc của ba người kia, 2 3 3 người anh thứ ba được số thóc của ba người kia. Người em út được 630 kg. Hỏi số thóc mỗi 7 người anh nhận được sau khi chia ? Lời giải: 11 Số thóc anh cả bằng: = (tổng số thóc) 12+ 3 11 Số thóc anh hai bằng: = (tổng số thóc) 31+ 4 33 Số thóc anh ba bằng: = (tổng số thóc) 3+ 7 10 11 3 7 Số thóc của người em út bằng: 1−−− = (tổng số thóc) 3 4 10 60 7 Tổng số thóc thu được: 630 := 5400 (kg) 60 Số thóc anh cả nhận được 1800 kg Số thóc anh hai nhận được 1350 kg Số thóc anh ba nhận được 1620 kg. Bài 8: (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013 - 2014) 6 9 2 Tìm 3 số có tổng bằng 420, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ hai và bằng số thứ ba. 7 11 3 Lời giải: 21 Lập luận suy ra số thứ nhât bằng số thứ hai. 22 27 Số thứ ba bằng số thứ hai. 22 22++ 21 27 70 Tổng của ba số bằng: = (số thứ hai) 22 22 70 Số thứ hai là: 420 := 132 22 21 Số thứ nhất là: 132.= 126 22 27 Số thứ nhất là: 132.= 162 . 22 Bài 9: (Đề thi HSG 6 Đa Tốn 2013 - 2014) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  52. Website:tailieumontoan.com Trong một lớp học chỉ gồm hai loại học sinh Khá và học sinh Giỏi. Cuối học kỳ I số học sinh Giỏi 2 bằng số học sinh Khá. Đến cuối năm có 1 học sinh Khá được xếp vào loại Giỏi nên số học sinh 7 1 Giỏi bằng số học sinh Khá. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh? 3 Lời giải: 2 Cuối học kỳ I số HSG bằng số học sinh cả lớp 9 1 Cuối năm số HSG bằng số học sinh cả lớp 4 12 1 Nên 1 học sinh ứng với −= (số học sinh cả lớp) 4 9 36 1 Vậy số học sinh của lớp đó là: 1:= 36 (học sinh). 36 Bài 10: (Đề thi HSG 6 Trường THCS Lê Ngọc Hân – Năm học 1997 - 1998) 1 Một cửa hàng bán trứng trong một số ngày. Ngày thứ nhất bán 100 quả và số còn lại. Ngày thứ 10 1 1 hai bán 20 quả và số còn lại. Ngày thứ nhất bán 300 quả và số còn lại. Cứ bàn như vậy thì 10 10 vừa hết số trứng và số trứng bàn mỗingày đều bằng nhau. Tính tổng sổ trứng đã bán và số ngày cửa hàng đã bán. Lời giải: 1 1 Ngày thứ nhất bán 100 quả và số trứng còn lại . Ngày thứ hai bán 200 quả và số trứng còn 10 10 1 1 lại mà số trứng hai ngày bán như nhau ⇒ số trứng còn lại sau khi lấy 100 quả nhiều hơn số 10 10 1 trứng còn lại sau khi lấy 200 quả là 100 quả . Cứ như vậy ⇒ số trứng chênh lệch trước khi lấy 10 9 số trứng còn lại sau mỗi lần lấy là 1000 quả. Lần cuối cùng còn số trứng còn lại là 900 quả ⇒ 10 ngày thứ nhất lấy 900 quả trứng 1 Số trứng là ()900− 100 : += 100 8100 (quả) 10 Số lần lấy trứng là 8100 : 900= 9 (lần). Bài 11: (Đề thi HSG 6 Trường THCS Liên Hà – Năm học 2007 - 2008) Trong đợt tổng kết năm học tại một trường THCS tổng số học sinh giỏi của ba lớp 6A, 6B, 6C là 2 1 1 90 em. Biết rằng số học sinh giỏi của lớp 6A bằng số học sinh giỏi của lớp 6B và bằng số 5 3 2 học sinh giỏi của lớp 6C. Tính số học sinh giỏi mỗi lớp. Lời giải: . Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  53. Website:tailieumontoan.com 21 6 Số học sinh giỏi lớp 6B bằng: : = (số học sinh giỏi 6A) 53 5 21 4 Số học sinh giỏi lớp 6C bằng: : = (số học sinh giỏi lớp 6A) 52 5 64 Số học sinh giỏi của cả 3 lớp bằng: 13++= (số học sinh giỏi lớp 6A) 55 Vậy số HSG lớp 6A: 90 : 3= 30 (học sinh) Của lớp 6B là 36 học sinh, 6C là 24 học sinh. Bài 12: (Đề thi HSG 6 Trường THCS Phú Lương 2018-2019) 1 1 Một người mang một cuộn vải ra chợ bán. Lần thứ nhất bán cuộn vải và m vải; lần thứ hai 2 2 1 1 1 3 bán cuộn vải còn lại và m vải;lần thứ ba bán được cuộn vải còn lại và m vải. Cuối cùng 3 3 4 4 còn lại 24 m vải. Hỏi số mét vải người đó đã mang đi bán. Lời giải: 1 3 3 3 Lần thứ 3, sau khi bán cuộn vải còn lại và m thì còn 24 m, nên 24 + m bằng số mét 4 4 4 4 vải trước lần bán thứ ba. 33 Suy ra số mét vải lần bán thứ 3 là: 24+= : 33(m) 44 1 1 1 2 Lần thứ hai bán cuộn vải còn lại và m thì còn lại 33 m nên 33+ m thì bằng số mét vải 3 3 3 3 trước lần bán thứ hai. 12 Suy ra số cam trước lần bán thứ hai: 33+= : 50 (m) 33 1 1 1 1 Lần thứ nhất bán cuộn vải và m thì còn lại 50m nên 50 + m thì bằng cuộn vải 2 2 2 2 11 Suy ra mét vải ban đầu: 50+= : 101 (m). 22 Bài 13: (Đề thi HSG 6 THCS Đại Mỗ 2007-2008) Có ba vòi cùng chảy nước vào một bể. Vòi 1 chảy đầy nước trong 4 giờ, vòi 2 chảy đầy bể nước 21 trong 3 giờ. Vòi 3 muốn chảy đầy nước thì cần thời gian bằng lần thời gian vòi 1 và vòi 2 cùng 24 chảy đầy bể nước. Hỏi nếu mở cả 3 vòi cùng một lúc thì sau bao lâu bể nước đầy? (lúc đầu bể không có nước) Lời giải: 1 Trong một giờ, vòi 1 chảy được là: 1: 4 = (bể). 4 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  54. Website:tailieumontoan.com 1 Trong một giờ, vòi 2 chảy được là: 1:3= (bể). 3 11 7 Trong một giờ, vòi 1 và vòi 2 chảy được là: += (bể). 4 3 12 7 12 Thời gian mở cả vòi 1 và vòi 2 để chảy đầy bể là: 1: = (giờ). 12 7 12 21 3 Thời gian vòi 3 chảy đầy bể là: . = (giờ). 7 24 2 32 Trong một giờ, vòi 3 chảy được là: 1: = (bể). 23 112 5 Trong một giờ, cả 3 vòi chảy được là: ++= (bể). 433 4 54 Thời gian mở cả 3 vòi đầy bể là: 1: = (giờ) = 48 (phút). 45 Bài 14: (Đề HSG Toán 6-Tam Đảo-2019-2020) 1 Bốn người góp tiền mua chung một chiếc tivi. Người thứ nhất góp số tiền bằng số tiền của ba 2 1 1 người kia. Người thứ hai góp số tiền của 3 người còn lại. Người thứ ba góp số tiền của 3 người 3 4 kia. Hỏi chiếc ti vi đó giá bao nhiêu ? Biết rằng người thứ tư đã góp 2.600.000 đồng. Lời giải: 11 Số tiền người thứ nhất góp bằng: = giá tiền chiếc ti vi 21+ 3 11 Số tiền người thứ hai góp bằng: = giá tiền chiếc ti vi 31+ 4 11 Số tiền người thứ ba góp bằng: = giá tiền chiếc ti vi 41+ 5 1 1 1 13 Phân số chỉ số tiền người thứ tư góp: 1− ++ = 3 4 5 60 13 Giá tiền của chiếc ti vi là: 2600000 := 12000000 (đồng). 60 Bài 15: (Đề HSG Toán 6 THCS Liên Mạc 2009-2010) 1 Bình đọc một quyển truyện trong 3 ngày. Ngày đầu Bình đọc được số trang và 16 trang. Ngày 5 3 3 thứ hai Bình đọc được số trang còn lại và 20 trang. Ngày thứ ba Bình đọc được số trang còn 10 4 lại và 37 trang cuối cùng. Hỏi quyển truyện đó có bao nhiêu trang? Lời giải: Ta có sơ đồ: 16 trang Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
  55. Website:tailieumontoan.com Số trang quyển truyện: | | | | | | | 20 trang Số trang còn lại sau khi đọc ngày đầu: | | | |-| | | | | | | | 37 trang Số trang còn lại sau khi đọc ngày thứ 2: | | | | | Theo sơ đồ, số trang còn lại sau khi Bình đọc ngày thứ hai là: 37.4 148 (trang) Số trang còn lại sau khi Bình đọc ngày đầu là: (148 20) : 7.10 240 (trang) Số trang của quyển truyện đó là: (240 16) : 4.5 320 (trang).  HẾT  Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC