Tài liệu ôn tập Hình học Lớp 12 - Trần Đình Cư

Nội dung text: Tài liệu ôn tập Hình học Lớp 12 - Trần Đình Cư

1. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 HÌNH LĂNG TRỤ XIÊN Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC cĩ AC a 3, BC 3a , ACB30 0 . Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy gĩc 600 và mặt phẳng A'BC vuơng gĩc với mặt phẳng ABC . Điểm H trên cạnh BC sao cho HC 3BH và mặt phẳng A'AH vuơng gĩc với mặt phẳng . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến mặt phẳng A'AC Giải  A'BC ABC A' A'AH  ABCA'H  ABC A'H  A'BC A'AH B' C' Suy ra A'AH60 0 AH2 AC 2 HC 20 2AC.HC.cos30 2 a AH a A A'H AH.tan 600 a 3 3a23 3 9a VS .A'H .a 3 ABC.A'B'C' ABC 44 B H C Vì AH2 AC 2 HC 2 HA  AC AA'  AC 11 S AC.A'A a 3.2a a2 3 A 'AC 22 9 a3 3V 3 3a d B; A'AC A 'ABC 4 2 S4A 'AC a3 Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, ΔABC đều cĩ cạnh bằng a, AA' a và đỉnh A’ cách đều A, B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A’B. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AMN) Giải Gọi O là tâm tam giác đều ABC A'O ABC A' C' a 3 2 a 3 Ta cĩ AM , AO AM B' 2 3 3 2 2 2 2 2 a a 6 a3 A'O AA' AO a ;SΔABC 33 4 N Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’: a23 3 a 6 a 2 E V S .A'O . ΔABC 4 3 4 A C Ta cĩ: O M 1 3VNAMC VNAMC SΔAMC .d N, ABC d N, ABC B 3 SΔAMC 1 a32 1 a6 1a3a6a2 2 2 SAMC S ABC ;dN,ABC A'O V NAMC . . 2 8 2 6 3 8 6 48 a3 Lại cĩ: AM AN , nên ΔAMN cân tại A. 2 1
2. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 A'C a Gọi E là trung điểm của MN, suy ra AE MN, MN 22 3a2 a 22 a 11 1 a 11 AE AN22 NE; S MN.AE 4 16 4AMN 2 16 3a2 2 a 11 a 22 d C, AMN :( đvđd) 48 16 11 Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB a, ACB 300 ; M là trung điểm cạnh AC. Gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600 . Hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm C’ đến mặt phẳng (BMB’) Giải A'H ABCA'H là đường cao của hình lăng trụ. Q 0 A' C' AH là hình chiếu vuơng gĩc của A A’ lên (ABC) A'AH 60 P V A'H.S ABC.A 'B'C' ABC B' a 3 3a AC 2a, MA MB AB a AH A'H 22 1 1 a2 3 S BA.BC a.a 3 ABC 2 2 2 3a a23 3 3a 3 V.ABC.A 'B'C' 2 2 4 A 3V M C d C', BMB' d C, BMB' d A, BMB' A.BMB' H SBMB' B 1 a3 3 VVV E A.BMB' B'.AMB668 ABC.A 'B'C' Do BM AHA' nên BM AA' BM  BB' ΔBMB' vuơng tại B 1 1 a2 3 3a32 3 a 2 3a SBMB' BB'.BM a 3.a . Suy ra d C', BMB' : 2 2 2 8 2 4 a 3 3a (Cách 2: d A, BMB' AE AH.sin AHE .sin 600 ) 24 Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một gĩc bằng 600 . Gọi M là trung điểm cạnh BC và I là trung điểm của AM. Biết rằng hình chiếu của điểm I lên mặt đáy A’B’C’ là trọng tâm G của ΔA'B'C' . Tính thể tích khối lăng trụ đĩ. Giải Gọi M’ là trung điểm của B’C’; K A'M' sao cho A'K KG GM' C A I M Kẻ AH A'M'; H A'M' . B Ta cĩ AHGI là hình bình hành nên IG AH Hơn nữa AM' A'M' , I là trung điểm của AM, G là trọng tâm của Δ A'B'C' nên H là trung điểm của A’K 1 A'HA'M' A' C' 6 H K G M' B' 2
3. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 a2 3a 3a 3 Ta cĩ: S; A'M'A'H A'B'C' 4212 a 3 a a a23 3 a 3 AH A'H.tan 600 . 3 . Từ đĩ: V AH.S . 12 4 ABC.A 'B'C' A 'B'C' 4 4 16 a 10 Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ AB 2a, AC a, AA' , BAC 1200 . Hình chiếu 2 vuơng gĩc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a và tính số đo gĩc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACC’A’). Giải C' B' Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra C'HABC . Trong ΔABC ta cĩ: A' 1a 3 2 S AB.AC.sin1200 ABC 22 BC2 AC 2 AB 20 2AC.AB.cos120 2 7a a7 BC a 7 CH C 2 H B a3 K C'H C'C22 CH 2 A 3a3 Suy ra thể tích lăng trụ V C'H.S ABC 4 Hạ HK AC . Vì C'H ABC đường xiên C'K AC ABC , ACC'A' C'KH (1) ( ΔC'HK vuơng tại H nên C'KH 900 ) 2S S a3 C'H Trong ΔHAC ta cĩ HK HAC ABC tan C'KH 1 C'KH 450 (2) AC AC 2 HK Từ (1) và (2) suy ra ABC , ACC'A' 450 Ghi chú: Cĩ thể tính độ dài AH và suy ra vuơng tại A để suy ra KA ) Bài 6. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng a. Hình chiếu vuơng gĩc của điểm A’ trên mặt phẳng ABCD là trung điểm I của cạnh AB. Biết A’C tạo với mặt 2 phẳng đáy một gĩc α với tan α . Tính theo a thể tích khối chĩp A’.ICD và khoảng cách từ 5 điểm B đến mặt phẳng (A’AC) Giải Theo bài ra ta cĩ IC là hình chiếu vuơng gĩc của A’C trên mặt phẳng B' C' (ABCD). Suy ra A'C, ABCD A'C,CI A'CI α A' D' Xét ta giác vuơng A’IC: a 5 2 A'I IC.tan A'CI IC.tan α . a 2 5 H Thể tích khối chĩp A’.ICD là: B 23 1 1 a a C I VA '.ICD A'I.SΔICD a. (đvtt) 3 3 2 6 K A D 3
4. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Ta cĩ BIA'AC A và I là trung điểm AB nên d B; A'AC 2d I; A'AC Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ IK / /BD  IK AC , mà A'IAC (do A'I ABCD ) nên ACA'IK . Kẻ IH A'K  IH A'AC d I; A'ACIH BD a 2 Xét tam giác vuơng A’IK cĩ A'I a, IK 44 1 1 1 8 1 9a IH IH2 IK 2 IA' 2 a 2 a 2 a 2 3 2a Suy ra d B; A'AC 3 Bài 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ mặt bên AA’D’D là hình thoi cạnh bằng a nằm trong mặt a phẳng vuơng gĩc với mặt đáy (ABCD) và cách BC một khoảng bằng . Biết cạnh AA’ hợp với 2 mặt đáy (ABCD) một gĩc bằng 600 . Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Giải Ta cĩ: AA'D'D  ABCD theo giao tuyến AD A' D' (1) Vẽ A'HAD và BK AD; H,K AD B' C' (2) Từ (1) và (2) A'H ABCD và BK AA'D'D 600 K A'H d A'B'C'D' , ABCD và A D H BK d B, AA'D'D B C a d BC, AA'D'D 2 (vì BC / / AA'D'D ) Vì A'H ABCD nên gĩc hợp bởi AA’ và (ABCD) là A'AH 600 a3 Tam giác A’AH vuơng tại H A'H AA'sin A'AH a sin 600 2 Vậy thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: a a 3 a3 3 V S .A'H AD.BK.A'H a. . ABCD 2 2 4 Bài 8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD 2a . Biết tam giác A’AB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng hợp với đáy (ABCD) một gĩc bằng α . Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a và . Giải A' D' Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, ta cĩ: B' MN AB (vì MN là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD) C' A'M AB (vì tam giác A'AB là tam giác đều) A D A'MN α (gĩc hợp bởi (A’AB) và đáy (ABCD)) α Ta cũng cĩ AB A'MN (vì AB MN và AB A'M) B C 4
5. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30  ABCDA'MN theo giao tuyến MN (1) Vẽ A'H MN, H MN (2) Từ (1) và (2) A'H ABCD A'H d A'B'C'D' , ABCD a3 Tam giác A’AB là tam giác đều cĩ cạnh ABa A'M 2 a3 Tam giác A’HM vuơng tại H A'H A'MsinA'MHsin α 2 Vậy thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: a3 V S .A'H AB.AD.A'H a.2a. sinαα a3 3sin ABCD 2 Bài 9. Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuơng gĩc chung của chúng. Biết rằng AC h, AB a, CD b và gĩc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 600 . Hãy tính thể tích của tứ diện ABCD. Giải Dựng hình lăng trụ ABE.FDC (BE song song và bằng DC, DF song E B 600 song và bằng AB) A a AC AB gt Ta cĩ: AC CD gt h CD / /BE  AC BE AC ABE AC h là chiều cao của hình chĩp C.ABE. b C 600 D Tam giác ABE cĩ AB a, BE CD b và ABE AB,CD 600 F 1 1 ab 3 S AB.BE.sinABE a.b.sin600 ΔABE 2 2 4 1 1 ab 3 abh 3 Ta cĩ VVVVV S .CA . .h ABCD C.ABD C.AFD A.CDF C.ABE 3ΔABE 3 4 12 1 Chú ý: VV ABCD3 ABE.FDC Bài 10. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a, A'AB BAD A'AD αα 000 90 . Hãy tính thể tích của khối hộp. Giải B' C' Ta cĩ ΔΔAA'B AA'D (vì cĩ cạnh chung là AA’, A' A'AB A'AD α và AB AD a ) D' A'BA'D Vẽ A'H AC H AC (1) φ B C Tam giác A’BD cân tại A’ (do A'B A'D ) α H BD A'O (O là trung điểm của BD, O cũng là tâm của hình O A thoi ABCD) K D Ta cịn cĩ BD AC 5
6. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 BD  A'AO BD  A'H2 Từ (1) và (2) A'H ABCD Đặt A'AO φ Vẽ A'K AD K AD HK AK (định lý ba đường vuơng gĩc) AH Ta cĩ: cosφ (tam giác vuơng AA’H) AA' AK cosα (tam giác vuơng AA’K) AA' α AK BAD α và cos (tam giác AHK vuơng tại K và HAK ) 2AH 22 ααAH AK AK cos cosφ .cos . cos α cos φ 2 AA' AH AA' α cos 2 Tam giác AA’H vuơng tại H và cĩ A'AH φ nên cos2 α a α A'H AA'.sin φ asin φ a 1 cos2 φ a 1 cos 2 cos 2 α αα cos2 cos 2 22 a α V S .A'H AB.AD.sin BAD.A'H a2 sin α. cos 2 cos 2 α ABCD.A 'B'C'D' ABCD α cos 2 2 α α a α α α a2 .2sin .cos . cos 2 cos 2α 2a 3 sin cos 2 cos 2 α α 2 2cos 2 2 2 2 Bài 11. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy là hình chữ nhật với AB3 , AD7 . Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những gĩc 450 và 600 . Hãy tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1. Giải B' C' B A' C D' H K B C A D K H M A M D Vẽ A'H ABCD H ABCD , HM  AD M AD , HK  AB K AB Theo định lý ba đường vuơng gĩc, ta cĩ: AD A'M,AB A'K A'MH 6000 , A'KH 45 Đặt A'H x 6
7. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 A'H2x Tam giác A’HM vuơng tại H và cĩ A'MH 600 nên A'M sin 600 3 Tam giác A’AM vuơng tại M nên 4a22 3 4x AM AA'22 A'M 1 (1) 33 AKHM là hình chữ nhật và tam giác A’AH vuơng tại H nên AMHK và HK A'H.cot A'KH AM HK x.cot 450 x (2) 3 4x32 3 Từ (1) và (2) xx hay A'H 37 7 3 Vậy VS .A'H AB.AD.A'H 7. 3. 3 ABCD.A'B'C'D' ABCD 7 Bài 12. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ mà mặt bên ABB’A’ cĩ diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh CC’ và mặt (ABB’A’) bằng 7. Hãy tính thể tích khối lăng trụ. Giải Dựng khối hộp ABCD.A’B’C’D’ ta cĩ: 1 A' D' VV ABC.A'B'C'ABCD.A'B'C'D'2 Xem khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là khối lăng trụ cĩ hai B' C' đáy là ABB’A’ và DCC’D’. Vậy VSABCD.A'B'C'D' .h ABB'A' trong đĩ A h d CDD'C' , ABB'A' D d CC', ABB'A' 7 B 1 C và S4 V.4.7 14 ABB'A' ABC.A'B'C' 2 Bài 13. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân với cạnh huyền bằng AB2 . Cho biết mặt phẳng (AA’B) vuơng gĩc với với mặt phẳng (ABC), AA '3 , gĩc A'AB nhọn, gĩc giữa hai mặt phẳng (A’AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Giải AA'B ABC theo giao tuyến AB (1) A' B' Vẽ A'K AB (với K AB) (2) Từ (1) và (2) A'K ABC C' Gĩc A'AB nhọn nên K thuộc tia AB. 3 Vẽ KM AC M AC A'M AC (định lý ba đường vuơng gĩc) 2 A K B Gĩc giữa hai mặt phẳng (A’AC) và (ABC) là A'MK 600 M C Đặt A'K x , ta cĩ: 7
8. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 AK A'A2 A'K 2 3 x 2 2 02 2 MK AKsin KAM 3 x .sin 45 . 3 x 3 2 0 x MK A'K cot A'MK A'K.cot 604 3 2 2. 3 x x Từ (3) và (4) 2 3 3 3 x hay A'K 5 5 Tam giác ABC vuơng cân với cạnh huyền AB2 nên AC CB 1. 11 3 3 5 Vậy VSABC.A .A'K 'B'C' ABC AC.CB.A'K .1.1. 2210 5 Bài 14. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD b , cạnh bên AA’ hợp với mặt đáy (ABCD) một gĩc bằng 600 , mặt bên AA’D’D là hình thoi cĩ gĩc A’AD nhọn và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy (ABCD) a. Tính thể tích của khối tứ diện ACDD’ b. Xác định và tính độ dài đoạn vuơng gĩc chung giữa AA’ và CD. Giải a. Ta cĩ AA'D'D  ABCD theo giao tuyến AD A' D' (1) Vẽ A'H AD, H AD B' K C' (2) Từ (1) và (2) A'H ABCD 600 A D H Gĩc hợp bởi AA’ và (ABCD) là A'AH 600 Tam giác AA’H vuơng tại H, AA' AD b (AA’D’D là B C b3 hình thoi) và A'AH 600 A'H 2 Ta cĩ: 1 VVVV A'CDD' A'.CDD' A'.CC'D'2 A'.CC'D'D 1 1 1 VVVVACD.A'C'D' A'.ACD ACD.A'C'D' ACD.A'C'D' 2 2 3 1 1 1 1 1 1 b 3 V . V S .A'H AB.AD.A'H ab. 3ACD.A'C'D' 3 2 ABCD.A'B'C'D' 6 ABCD 6 6 2 ab2 3 hay V A 'CDD' 12 Chú ý: ta cĩ thể tính VABCD.A'B'C'D' bằng cách khác. Ta cĩ theo giao tuyến AD và AB AD 8
9. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 AB AA'D'D ab2 3 VS .AB AD.AA'.sin A'AD.AB a.b.b.sin 60 0 ABCD.A'B'C'D' AA'D'D 2 b. Ta cĩ AA'D'D  ABCD theo giao tuyến AD và CDAD CD AA'D'D (1) Trong mặt phẳng (AA’D’D), vẽ DK AA', K AA' (2) Từ (1) và (2) DK là đoạn vuơng gĩc chung của AA’ và CD. Tính DK: AA’D’D là hình thoi cĩ cạnh bằng b và A'AD 600 b3 Tam giác AA’D là tam giác đều cĩ cạnh bằng b DK 2 Bài 15. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh a, các gĩc BAA' BAD DAA' 600 . Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a. Giải Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu của A’ lên (ABCD), AB, D' C' AD. Ta cĩ: A' B' A'H AB AB A'HI A'I AB AB HI D C Tương tự: HJ AD. Hai tam giác vuơng A’AI và A’AJ J H 0 cĩ AA’ chung và A'AI A'AJ 60 A I B a ΔA'AI ΔA'AJ , AI AJ AA'cos600 HI HJ 2 Vậy H cách đều AB và AD nên nằm trên đường phân giác của gĩc BAD H AC a AI a a22 2a Ta cĩ: AH 2 ;A'HAA'AHa 2 2 2 cos300 33 33 2 2a 3 2 A'H a S AB.AD.sin600 32ABCD 2 a23 3 a 2 V A'H.S a . (đvtt) ABCD.A'B'C'D' ABCD 3 2 2 Bài 16. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, AB a, BC 2a . Mặt bên ABB’A’ là hình thoi, mặt bên BCC’B’ nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy, hai mặt này hợp với nhau một gĩc bằng α . 1. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC’B’). Xác định gĩc . 2. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Giải 1. Tính d A, BCC'B' . Xác định α . 9
10. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Dựng AH BC H BC B' C'  BCC'B' ABC BCC'B'  ABC BC A' AH ABC , AH BC AH BCC'B' E Dựng HE BB' E BB' ta cĩ: H 2a B C BB' AH O BB' AHE a BB' HE ABB'A'  BCC'B' BB' A AHE  BB' AHE  ABB'A' AE AHE  BCC'B' HE ABB'A' , BCC'B' AE,HE Mặt khác tam giác AHE vuơng tại H (do AHHE ) nên AEH là gĩc nhọn. Do đĩ ABB'A' , BCC'B' AE,HE AEH α 2. Tính VABC.A'B'C' Trong tam giác vuơng ABC: AC BC22 AB a 3 AB.AC a2 3 a 3 AH.BC AB.AC AH BC 2a 2 AB22 a a AB2 BH.BC BH BC 2a 2 a3 Trong tam giác vuơng AHE: HE AHcot AEH .cot α 2 Tứ giác ABB’A’ là hình thoi AABB' AB a Gọi O là hình chiếu vuơng gĩc của B’ lên BC thì B'O ABC (chứng minh tương tự như chứng minh AH BCC'B' ) Hai tam giác vuơng BEH và BOB’ cĩ chung gĩc nhọn B nên chúng đồng dạng. a32 cot α B'O BB' EH.BB' Suy ra B'O 2 a 3 cot α EH BH BH a 2 Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 1 1 3a3 cot α V S .B'O AB.AC.B'O a.a 3.a 3 cot a ABC 2 2 2 7 Bài 17. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và A'A A'B A'C a . 12 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a và gĩc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) Giải 10
11. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Gọi H là hình chiếu của A trên (ABC) B' C' Vì A'A A'B A'C nên HA HB HC , suy ra H là tâm của tam giác đều ABC. A' Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AB. 7a22 a a A'J AA'22 AJ 12 4 3 1 1 a 3 a 3 HJ CJ . 3 3 2 6 I a A'H A'J22 HJ B C 2 H Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: J a a23 3 a 3 A V A'H.S . ΔABC 2 4 8 A'J AB Vì A'JC  AB A'JC chính là gĩc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC). Khi đĩ CJ AB a A'H tan A'JC3 A'JC 2 60 0 JH a3 6 Vậy gĩc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) bằng 600 . Bài 18. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuơng tại A, AB a, AC a 3 và hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chĩp A’.ABC và tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’. Giải Gọi H là trung điểm của BC A'H ABC và B' C' 11 AH BC a22 3a a 22 A' Do đĩ: 2a A'H2 A'A 2 AH 2 3a 2 A'H a3 1a3 Vậy V A'H.S (đvtt) A '.ABC 33ΔABC 22 Trong tam giác vuơng A’B’H cĩ HB' A'B' A'H 2a nên B H C tam giác B’BH là cân tại B’. Đặt φ là gĩc giữa hai đường thẳng a a 3 AA’ và B’C’ thì φ B'BH A a1 Vậy cosφ 2.2a 4 Bài 19. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuơng gĩc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Gĩc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a. 11
12. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Giải Gọi O  AC BD, I là trung điểm của cạnh AD. Ta cĩ D' C' ADAOI A' a B' A'IO ADD'A' , ABCD 600 Vì OI nên ta 2 a3 suy ra A'I 2OI a A'O OI.tan 600 2 D Do đĩ VA'O.SABCD.A'B'C'D'ABCD C 600 3 I H a 3 3a O a.a 3. 22 A B Do B'C∥∥ A'D B'C A'BD dB',A'BD dC,A'BD CH trong đĩ CH là đường cao của tam giác vuơng BCD. CD.CBa 3 a3 Ta cĩ CH . Vậy d B', A'BD CD22 CB 2 2 Bài 20. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác cân AB AC a , BAC 1200 và AB’ vuơng gĩc với đáy (A’B’C’). Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CC’ và A’B’, mặt phẳng (AA’C’) tạo với mặt phẳng (ABC) một gĩc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và cosin của gĩc giữa hai đường thẳng AM và C’N. Giải K Ta cĩ: A' BC2 AB 2 AC 2 2AB.ACcosA BC a 3 3a 2 B' N C' Gọi K là hình chiếu của B’ lên A’C’, suy ra A'C' AB'K Do đĩ: E AKB' A'B'C', AA'C' 300 Trong tam giác A’KB’ cĩ M 0 a3 KA'B' 60 , A'B' a nên B'K A'B'sin 600 A 2 a B C Suy ra AB' B'K.tan300 2 a33 Thể tích khối lăng trụ: V AB'.S ΔABC 8 Gọi E là trung điểm của AB’, suy ra ME∥ C'N nên C'N,AM EM,AM Vì AB' C'N AE  EM C'N,AM AME 2 2 2 1 a2C'B' C'A' A'B' a 7 AE AB' ; EM22 C'N EM 2 4 4 2 29a2 a 29 AM2 AE 2 EM 2 AM 16 4 ME 7 Vậy cosAME 2 MA 29 12
13. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Bài 21. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ tất cả các cạnh bằng a, gĩc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đoạn thẳng B’C’. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ theo a. Giải Ta cĩ A’H là hình chiếu của AA’ lên mặt phẳng (A’B’C’) A C nên AA'H 300 B Xét tam giác vuơng AHA’ ta cĩ: a AH AA'sin30,0 2 K a3 A'H AA'cos300 2 300 Mà tam giác A’B’C’ đều nên H là trung điểm của B’C’. A' C' Thể tích của khối lăng trụ là: H B' a a23 3 a 3 V AH.S . ΔABC 2 4 8 Vẽ đường cao HK của tam giác AHA’ Ta cĩ B'C'AHA' nên B'C'HK AH.A'H a 3 Suy ra d AA',B'C' HK AA' 4 Bài 22. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác cân tại A, AB AC a, BAC 1200 , hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích của khối lăng trụ biết cạnh bên AA' 2a . Giải Gọi H là tâm của đáy, M là trung điểm của cạnh BC, SH ABC B' C' a3 AM ABsin 600 BC a 3 2 A' Áp dụng định lý sin ta cĩ: BC HA Ra, 2sin1200 A'H A'A22 AH a 3 2 10 a 3 H SΔABC AB.ACsin120 M 24 B C 3a3 Vậy V A'H.S ABC.A 'B'C' ΔABC 4 Bài 23. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ BB' a , gĩc A giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600 , tam giác ABC vuơng tại C và BAC 600 . Hình chiếu vuơng gĩc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC. Giải Gọi D là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ABC 13
14. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 B'G  ABC B'BG 600 B' C' a3 B'G BB'sin B'BG; 2 A' a3a BGBD 24 AB 3 ABAB Trong ΔABC ta cĩ: BC , ACCD 2 24 0 3AB2 AB 2 9a 2 60 BC2 BD 2 BD 2 B C 4 16 16 G D 3a 13 3a 139a 3 2 AB, AC, S ΔABC A 1326104 19a 3 Thể tích khối tứ diện A’.ABC là: VB'G.S A '.ABC 3208 ΔABC Bài 24. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng a3 và hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đĩ. Giải Gọi H là trung điểm của cạnh BC A' C' A'HABC B' Tam giác vuơng A’HA: 3a2 3a a32 AH A'A2 AH 2 3a 2 S nên 42ΔABC 4 VA'H.SABC.A'B'C' ΔABC A C 3a a23 3 3a 3 . 2 4 8 H Bài 25. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ độ dài tất cả B các cạnh bằng a và hình chiếu của đỉnh C trên mặt phẳng (ABB’A’) là tâm của hình bình hành ABB’A’. Tính thể tích của khối lăng trụ. Giải Gọi O là tâm hình bình hành ABB’A’. Ta cĩ CO ABB'A' . C' Vì CA CB nên OA OB , suy ra hình thoi ABB’A’ là hình vuơng. A' AB a a2 Do đĩ OA . Suy ra: OC2 AC 2 AO 2 22 2 B' a OC 2 O Vậy thể tích của khối chĩp: C 1 a3 2 V CO.S A C.ABA '3 ABA ' 12 Mà VABC.A'B'C' 3V C.ABA' nên thể tích của khối lăng trụ a23 B ABC.A’B’C’ là: V ABC.A'B'C' 4 14
15. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Bài 26. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ các cạnh bằng a, BAD60 0 , BAA '90 0 , DAA' 1200 . Tính thể tích khối hộp. Giải Từ giả thiết ta tính được BDa , A'B a 2 , A'Da 3 D' C' nên tam giác A’BD vuơng tại B. Vì AB AD AA' nên hình chiếu vuơng gĩc của A lên A' B' mặt phẳng (A’BD) trung với tâm H của đường trịn ngoại tiếp tam giác A’BD (do tam giác đĩ vuơng nên H là trung H điểm của A’D) a Ta cĩ AH AA'cos600 , C 2 D 1a 2 2 SBA'.BD , do đĩ thể tích khối tứ diện A A 'BD 22 B a23 A’.ABD là V . A '.ABD 12 a23 Ta đã biết V6V nên V ABCD.A'B'C'D'A'.ABD ABCD.A 'B'C'D' 2 Bài 27. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a, gĩc A60 0 . Chân đường vuơng gĩc hạ từ B’ xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của hai đường chéo của đáy ABCD. Cho BB' a . 1. Tính gĩc giữa cạnh bên và đáy. 2. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp. Giải 1. Tính gĩc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy. D' C' Gọi O  AC BD. Theo giả thiết ta cĩ B'O ABCD B'B ABCD B A' B' B'O ABCD , O ABCD Hình chiếu B’B trên (ABCD) là OB B'B, ABCD B'B,BO B'BO Tam giác ABD cĩ AB AD a , BAD 600 ΔABD là tam giác đều D C a OB O 2 H A K B Trong tam giác vuơng B’OB: a OB 1 cosB'OB 2 B'OB 600 . BB' a 2 Vậy gĩc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là 600 . 2. Tính VABCD.A'B'C'D' a32 V S .B'O; S AB.AD.sin BAD a20 sin 60 ABCD.A 'B'C'D' ABCD ABCD 2 15
16. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 a3 3a3 Trong tam giác vuơng B’OB: B'O BB'sin 600 . Suy ra V 2 ABCD.A 'B'C'D' 4 Tính Sxq của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Vì hai mặt đối diện của hình hộp là hai hình bình hành bằng nhau, do đĩ SxqABB'A' 2 SS BCC'B' Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của O lên các cạnh BC và B. Theo tính chất của hình thoi ta cĩ OHOK Hai tam giác vuơng B’OH và B’OK (vuơng tại O) cĩ cạnh B’O chung, nên chúng bằng nhau. B'H B'K SBCC'B'ABB'A' B'H.BC B'K.AB S a 3a 3 Trong tam giác vuơng AKO: OK AOsin OAK .sin300 24 Trong tam giác vuơng B’OK: 222 2 2 2 2 2 a 3 a 3 3a 3a 15a B'K B'O OK 2 4 4 16 16 a 15a 15 2 B'K S B'K.AB S 4S a2 15 44ABB'A 'xq ABB'A ' Bài 28. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuơng gĩc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Cho BAA' 450 1. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho. 2. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Giải 1. Tính VABC.A'B'C' A' C' Gọi E là trung điểm của AB, ta cĩ: OE AB B' A'O AB do A'O ABC AB  A'OE AB  A'E Tam giác vuơng A’EA cĩ A 450 nên là tam giác vuơng F A C cân tại E O a a 2 E Suy ra A'E EA , AA' 22 B Tam giác vuơng A’OE (vuơng tại O) cĩ: 22 2 2 2 2 2 2 a 1 a 3 a 3a 6a a 6 A'OA'EOE . A'O 4 3 2 4 36 36 6 a23 3 a 6 a 2 Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’: V S .A'O . ABC 4 6 8 2. Tính Sxq của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ a2 S AB.A'E ABB'A ' 2 16
17. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 AC A'O Gọi F là trung điểm của AC: AC  A'OF  AC A'F AC OF SACC'A' AC.A'F Hai tam giác vuơng A’OE và A’OF cĩ A’O là cạnh chung, OEOF nên chúng bằng nhau a2 A'FA'ES ACC'A ' 2 BC A'O BC  A'OA BC  AA' BC  BB' BC AO Mặt khác theo tính chất của hình lăng trụ thì BCC’B’ là hình bình hành, lại cĩ BCBB' nên BCC’B’ là hình chữ nhật, suy ra: a 2 a2 2 SBB'.BC AA'.BC .a BCC'B' 22 Vậy diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là: 2 a22 a 2 2 S S S S a2 xq ABB'A' ACC'A' BCC'B' 22 Bài 29. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD cĩ BDa khơng đổi và BAD DCB 900 , ABD α, CBD β . Mặt phẳng (AA’C’C) là hình thoi, vuơng gĩc với đáy và A'AC60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và tìm α, β để thể tích đĩ lớn nhất. Giải Tam giác vuơng ABD cĩ ABD α nên AB a cosα , D' C' AD asin α , suy ra diện tích của tam giác ABD là H 11 S AB.AD a2 sin 2α A' B' ABD 24 1 Tương tự ta cĩ Sa sin 2 2 β CBD 4 Diện tích đáy của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là: SSSABCD ABD CBD 1 2 C a sin 2α sin 2β 0 D 4 60 β 1 2 α a sin α β cos α β A 2 B Vì AA'C'C  A'B'C'D' nên hạ CH A'C' thì CH là đường cao của lăng trụ. Mặt khác AA’C’C là hình thoi cĩ A'AC 600 do đĩ CC'A' 600 3 Nên CH CC'sin 600 AC 2 Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác ABC ta cĩ: 17
18. Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 AC2 AB 2 BC 2 2AB.BC.cosB a2 cos 2α cos 2 β 2cosαcosβcos α β 2 a 1 cos α β cos α β 2cosαcosβcos α β 2 a 1 cos α β cos α β 2cosαcosβ a2 1 cos 22α 2 β a sin α β AC a sin αβ 3 Do đĩ CHasin αβ , nên thể tích cần tìm là: 2 13 V S .CH a2 sin α β cos α β . a sin α β ABCD 22 3a3 sin2 α β cos α β 4 Tìm giá trị lớn nhất của V: 2 0 sin α β 1 2 Ta cĩ nên sin α β cos α β 1, do đĩ: cos α β 1 3a3 V . Dấu đẳng thức xảy ra khi αβ45 0 . 4 3a3 Vậy giá trị lớn nhất của V là đạt được khi α β 450 . 4 THẦY CHÚC CÁC EM HỌC SINH 12 ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG KỲ THI SẮP TỚI 18