Tài luyện chuyên đề số phức môn Toán Lớp 12

Nội dung text: Tài luyện chuyên đề số phức môn Toán Lớp 12

1. Chuyên đề số phức I. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa số phức 2 Số phức z là một biểu thức có dạng z=a+bi , trong đó a,b ¡ , i là một số thỏa mãn . i 1 o a là phần thực. o b là phần ảo. o i là đơn vị ảo. Tập hợp các số phức kí hiệu là £ . Đặt biệt: o Số phức z=a+0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết z a . o Số phức z=0+bi có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo và viết z bi . o Số phức z 0 0i 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Số phức bằng nhau. Hai số phức z=a+bi và z'=a'+b'i bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. a=a' o a+bi=a'+b'i a,a',b,b' ¡ b=b' o Hai số phức z1 =a+bi và z2 =-a-bi được gọi là hai số phức đối nhau. 3. Số phức liên hợp. Số phức liên hợp của số phức z=a+bi với a,b ¡ là số phức z=a-bi . Tính chất: a) z z b) z z ' z z ' c) z z ' z z ' z z d) z.z ' z.z ' e) f) z là số thực z z ; z là số ảo z z z ' z ' 4. Biểu diễn hình học của số phức. Số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M a;b trong mặt phẳng Oxy (Ox là trục thực, Oy là trục ảo) . y b M(a;b) 5. Mô đun số phức. x 2 2 O .a Môđun số phức z=a+bi là số thực không âm kí hiệu z = a +b . Như vậy, mô đun số phức z là z chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức z=a+bi, (a, b ¡ ) đến gốc tọa  độ O của mặt phẳng phức là OM a2 b2 z.z . Một số tính chất: 2 2 a) z 0; z 0 z 0; b) z z ; z z ; z z ; c) z1 z2 z1 z2 ; z1 z1 d) z1 z2 z1 z2 z1 z2 ; e) z1.z2 z1 . z2 ; f) . z2 z2 1
2. 6. Cộng, trừ, nhân và chia số phức. Cho hai số phức z=a+bi và z'=a'+b'i , với a,a',b,b' ¡ o Cộng hai số phức: z z ' a+bi a'+b'i a a' b b' i . o Trừ hai số phức: z z ' a+bi a'+b'i a a' b b' i . o Nhân hai số phức: z.z ' a+bi a'+b'i aa'-bb' ab' a'b i . z a+bi aa'-bb' ab' a'b z z.z ' o Chia hai số phức: i ; . z ' a'+b'i a'2 b'2 a'2 b'2 z ' z ' 2 1 z o Số phức nghịch đảo của số phức z ký hiệu z 1 . z z 2 Chú ý: i4k 1;i4k 1 i;i4k 2 1;i4k 3 i (k ¢ ) . 7. Căn bậc hai của số thực âm. Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w được gọi là một căn thức bậc 2 của w . Mỗi số phức w 0 có hai căn bậc 2 là hai số phức đối nhau là z và z Trường hợp w là số thực (w a ¡ ) Khi a>0 thì w có hai căn bậc 2 là a; a ; Khi a<0 thì w có hai căn bậc 2 là i a . * Trường hợp w a bi (a,b ¡ ) 2 Gọi z x yi (x, y ¡ ) là căn bậc 2 của w khi và chỉ khi z2 w tức là x yi a bi . Khi đó: x2 y2 a x ; y 2xy b 8. Phương trình bậc hai với hệ số thực. Cho phương trình bậc hai ax2 bx+c=0 với a,b,c ¡ , a 0 . b i Khi <0 phương trình có hai nghiệm phức: x . b2 4ac . 1,2 2a II. Bài tập áp dụng 3 1 Ví dụ 1. Cho số phức: z i . Tính các số phức sau: z; z2 ; (z)3 ;1 z z2 . 2 2 3 2i Ví dụ 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức: a) z 9 5i 1 2i ; b) z 4 3i 4 5i ; c) z 2 i ;d) z . i 1 Ví dụ 3. Thực hiện các phép tính sau: 2026 1 5 6i 1 3 2i 1 7i a) A ; b) B ; c) C d) D ; e) E= 1 i 4 3i 4 3i 1 3 i 4 3i i 2 2 Ví dụ 4. Viết các số phức sau đây dưới dạng a bi, a,b R : 2
3. 2 3 3 1 i 3 i 1 2i 2 i 1 i a) z 2 i 1 2i 3 i 2 i ; b) z ; c) z ; 1 i 2 i 1 i 2 1 i 3 1 i 5 6 2 i 1 i d) z ; e) z . 3 5 1 2i 2 2i 1 i 5 2 Ví dụ 5. Tìm nghịch đảo của số phức sau: a)z 3 4i; b) z 3 2i; c)z ; d)z 3 i 2 . 3 2i Ví dụ 6. Cho z 2a 1 3b 5 i, a,b ¡ . Tìm các số a,b để a) z là số thực b) z là số ảo. Ví dụ 7. Tìm m R để: 2 m 1 2 m 1 i a) Số phức z 1 1 mi 1 mi là số thuần ảo. b) Số phức z là số thực. 1 mi Ví dụ 8. Tìm các số thực x, y sao cho z z' , với từng trường hợp a)z 3x 9 3i, z' 12 5y 7 i; b)z 2x 3 3y 1 i, z' 2y 1 3x 7 i. 9 2 3 6 3 i c)(x2 2y i) 3 i y x 1 1 i 26 14i. d) x2 y2 2i 3i 1 y2 2x 320 896i 4 1 i 100 98 96 Ví dụ 9. Chứng minh rằng : 3 1 i 4i 1 i 4 1 i . Ví dụ 10. a) Tính mô-đun của số phức z biết z 3i 2 i 2i3 . 3 1 3i b) Cho số phức z thỏa mãn z . Tìm môđun của số phức z iz . 1 i i m 1 Ví dụ 11. Xét số phức: z . Tìm m để z.z 1 m m 2i 2 Ví dụ 12 . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn: 2 2 a) 1 i 2 i z 8 i 1 2i z ; b) 2 3i z 4 i z 1 3i . 2 c) 2 3i z 4 i z 1 3i ; d) z 2z 3 2i . Ví dụ 13. a) Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i z 2 1 2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức w z2 3z . b) 25i z Tìm phần thực và phần ảo của số phức , biết rằng 4 3i z 26 6i z 2 i Ví dụ 14. a) Tìm số phức z thỏa mãn z 2 và z2 là số thuẩn ảo. b) Tìm số phức z thỏa mãn z 2 và z là số ảo. c) Tìm số phức z thỏa mãn z 5 và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo. d) Cho số phức z thỏa mãn 1 3i z là số thực và z 2 5i 1 e) Tìm số phức z biết iz 1 2 và 1 i z 1 2i là số thuần ảo. Ví dụ 15. a) Cho số phức z thỏa mãn phương trình 1 i z 2 i z 4 i . Tính mô-đun của z. b) Tìm mô-đun của số phức z biết z 3z 1 2i . c) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z2 1 i z 11i . Tính mô-đun của số phức z. z d) Tìm mô-đun của số phức z, biết rằng 4 3i z 26 6i 2 i 3
4. Ví dụ 16. Tính S 1 i i2 i3 i2012 . Ví dụ 17. Cho số phức z = 3 – 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z Ví dụ 18. Cho hai số phức z1 1 i và z2 2 3i . Tính môđun của số phức z1 z2. Ví dụ 19. Cho số phức z 2 5i. Tìm số phức w iz z Ví dụ 20. Tìm số phức liên hợp của số phức z i(3i 1) Ví dụ 21: Tính môđun của số phức z thoả mãn z(2 i) 13i 1 Ví dụ 22. Cho hình bình hành ABCD. Ba đỉnh A, B ,C lần lượt biểu diễn các số phức a 2 2i,b 1 i,c 5 mi m R . a) Tìm số phức d (biểu diễn điểm D); b) Định m sao cho ABCD là hình chữ nhật. 3 i 3 i Ví dụ 23. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức : z, và Chứng minh z z. 3 3 rằng: a) z C, tam giác OMA vuông tại M; b) z C, tam giác MAB là tam giác vuông; c) z C, tứ giác OMAB là hình chữ nhật. Ví dụ 24. Cho số phức z m m 3 i,m ¡ . Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ hai y x 4i 2 6i Ví dụ 25. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biễu diễn các số ; 1 i 1 2i ; i 1 3 i a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. Ví dụ 26. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Đường thẳng } z 1 3i a) z i z i ; b) 1; c) z z z z 1 0 với z 1 i. z 1 i 0 0 0 Ví dụ 27. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Đường tròn } 2 a) z 3 4i 2 ; b) z i 1 i z c) z 2iz 2i3 z 0 ; d) 2iz 1 5 . Ví dụ 28. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Elip}: z 1 z 1 4. Ví dụ 29. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Ảo thực} 2z 1 z 1 a) là số ảo; b) , z 2i là số thực. z 1 z 2i Ví dụ 30. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn z 1 2 .Tìm tập hợp biểu diễn số phức w 2z i . Ví dụ 31. Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn: 1 z i 2 . Ví dụ 32. Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z i z z 2i Ví dụ 33. Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z 3z 2 i 3 z Ví dụ 34 . Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z i 2 z 2 2 a) là số thực dương với z i ; b) z2 z c) z2 2z 5 ¡ ; d) log 1. z i 1 4 z 2 1 3 y x 1 Ví dụ 35. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện z x yi a) 2 ; b)1 z 2. y 2x 3 Ví dụ 36. a) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 3i . Tìm số phức z có mođun nhỏ nhất. 2 b) Trong các số phức z thỏa mãn z 2 i z 1 4i , tìm số phức có mô-đun nhỏ nhất. 4