Tài luyện ôn thi môn Toán Lớp 12 - Phần: Bất đẳng thức tích phân - Phạm Minh Tuấn

Nội dung text: Tài luyện ôn thi môn Toán Lớp 12 - Phần: Bất đẳng thức tích phân - Phạm Minh Tuấn

1. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Bài 1 [ĐỀ MH 2018]. Cho hàm số fx có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 1 1 1 2 2 1 f 10 , f'7 x dx và x f x dx . Tính f x dx 0 0 3 0 7 7 A. B. 1 C. D. 7 5 4 Hướng dẫn giải: 1 1 Xét I x2 f x dx . 0 3 du f' x 1 3 11 u f x x 1133 Đặt 3 I . f x x f' x dx x f' x dx 1 2 x 3 3 3 dv x dx v 0 00 3 2 b b b  22 Chứng minh BĐT tích phân sau: fxgxdx f xdxg . xdx * a a a 2 2 2 2 Với mọi t ta có: 02 tfx gx tfx tfxgx gx Lấy tích phân 2 vế theo biến x ta được: b b b ht t2 f 2 xdx 20 tfxgxdx g2 xdx a a a ht là tam thức bậc 2 luôn không âm nên ta có điều kiện: 22 t2 0 b b b b b b  2 2  2 2 fxgxdx f xdxgxdx . 0 fxgxdx f xdxgxdx . '0 a a a a a a Dấu ‚=‛ xảy ra khi tf x g x 2 1 1 1 2 1  36 Áp dụng: 1 xfxdx ' xdx. fx ' dx .7 1 0 0 0 7 Biên soạn: Phạm Minh Tuấn
2. Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f' x kx3 . 1 7 Mặc khác: xfxdx3 ' 1 k 7 fx ' 7 x3 fx 7 xdx3 xC4 0 4 11 7 74 7 7 Mà f 10 nên C f x dx x dx 4 00 4 4 5 NHẬN XÉT: Thật ra BĐT (*) chính là hệ quả BĐT Holder về tích phân BĐT Holder về tích phân phát biểu như sau: 11 b b b pq pq 11 f x g x dx f x dx . g x dx với pq,1 thỏa 1 a a a pq Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực mn, không đồng thời bằng 0 sao cho pq m f x n g x 2 Hệ quả: Với pq 2 thì BĐT trở thành fxgxdx f22 xdxg . xdx 1 2 1 BTAD: Cho hàm số fx liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 1' x f x dx . 0 3 1 Giá trị nhỏ nhất của tích phân f2 x dx là: 0 f 02 3f 0 2 3f 0 2 f 02 A. B. C. D. 3 3 3 3 Bài 2. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn f 00 , 1 1 1 maxfx ' 6 và f x dx . Gọi M là giá trị lớn nhất của tích phân f3 x dx . 0;1 0 3 0 Khẳng định nào sau đây đúng? 3 1 1 3 A. M 1; B. M 0; C. M ;1 D. M ;2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Biên soạn: Phạm Minh Tuấn
3. Ta có: f' x  6, x 0;1 f ' x f x 6 f x ,  x 0;1 (1) xx Lấy tích phân hai vế BĐT (1) ta được: f' t f t dt 6 f t dt ,  x 0;1 00 x f2 t f2 x f 2 0 x x x  6 ftdt  fx23 12 ftdt  fx 12 fx ftdt (2) 2 2 2 0 0 0 0 11 x Lấy tích phân hai vế BĐT (2) ta được: f3 xdx 12 fx ftdtdx 0 0 0 I x Đặt u ftdt du fxxdx .' fxdx 0 1 f t dt 22 0 1 11 1 1 1 1 Suy ra I udu f t dt f x dx . 0 2 0 2 0 2 9 18 1 12 Vậy f3 x dx 12. 0 18 3 Nhận xét: Ta có thể chỉ ra 1 hàm số fx thỏa mãn dữ kiện đề cho và xảy ra dấu ‘’=‛, hàm đó là: f x 28,815042623089894049x32 35,5890622041211331x 8,6518534912024751x gx - Chú ý: ftdt '.' fgx gx fhx .' hx hx 6 4 2 Bài 3. Cho hàm số fx có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 0 , 3 1 2 2 f 12 và f' x 0,  x 0;1 . Biết tích phân 2 2 2x x f ' x dx đạt giá 0 trị nhỏ nhất, khi đó hãy tính f 2 ? 6 4 2 6 2 2 3 2 2 A. f 2 B. f 2 C. f 2 D. 3 3 2 Biên soạn: Phạm Minh Tuấn
4. 32 f 2 2 Hướng dẫn giải: 11 222 2 Ta có: I 2 2 2xx fxdx ' 2 xx fxdx' 00 2 2 2 Ta có : 2 x x f' x 2 x x f' x 2 11 2 2 2  2 x x f' x dx 2 x x f' x dx 002 1 1 1 4 2 8 2 Mà: 2 xxfxdx' 2 xxdxfxdx ' f 1 f 0 0 0 0 33 8 Do đó I 3 2 3 3 Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi : f' x 2 x x f x x 2 x C 3 2 3 3 6 4 2 Ta có: f 1 2  C 2 f x x 2 x 2 f 2 33 Bài 4. Cho hàm số fx có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 1 2 1 1 x 2 f t dt ,  x 0;1 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của tích phân f x dx . Khẳng x 2 0 định nào sau đây đúng? 3 1 1 3 A. m 1; B. m 0; C. m ;1 D. m ;2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: 22 1 1 1 1 1 2 2 2 Theo hệ quả BĐT Holder: xf x dx x dx.3 f x dx f x dx xf x dx 0 0 0 0 0 1 Giờ ta chỉ việc tìm min của tích phân xf x dx là giải quyết được bài toán 0 Biên soạn: Phạm Minh Tuấn
5. 1 1 Gọi F(x) là một nguyên hàm của fx, khi đó ta có: xF x'1 dx x F x F 0 0 1 1 1 1 1 Mà xF x '' dx xF x dx F x dx xf x dx F x dx 0 0 0 0 0 11 Suy ra F 1 xf x dx F x dx (1) 00 1 1 x2 1 x2 1 1 1 1 x2 1 Từ đề: f t dt  F 11 F x  F dx F x dx dx x 2 2 0 0 0 2 3 1111 x2 Tương đương F 1 F x dx dx (2) 0023 1 1 Thay (1) vào (2) ta được: xf x dx 0 3 1 2 2 11 Vậy f x dx 3 0 33 Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f x x Bài 5. Cho hàm số fx có đạo hàm liện tục trên 0;1 thỏa mãn f 10 , 11 2 1 2 x e 1 f'1 x dx x e f x dx . Tính f x dx . 00 4 0 e2 e e 1 A. B. C. e 2 D. 4 2 2 Hướng dẫn giải: 1 u f x du f' x dx Xét I x1 ex f x dx , đặt x x 0 dv x1 e dx v xe 1122 1 ee 11 Suy ra I xefxx xefx '' xdx xex f x dx 0 0044 Áp dụng hệ quả BĐT holder: Biên soạn: Phạm Minh Tuấn
6. 222 221 1 1 ee 11 2 xx 22 xef' xdx xedx.' f x dx 44 0 0 0 1 e2 1 Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f' x kxex . Mà xex f'1 x dx k 0 4 Suy ra f x xexx dx 1 x e C . Mà fC 1 0 0 1 Vậy f x 1 x exx 1 x e dx e 2 0 Bài 6. Cho hàm số fx có đạo hàm dương và liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 01 , 111 2 1 3 3 fxfx ' dx2 fxfxdx ' . Tính f x dx . 00 9 0 5 3 8 7 A. B. C. D. 4 2 5 6 Hướng dẫn giải: 111 Đề  3 fxfxdx ' 2 2 fxfxdx ' 003 2 1 1 1 2 Áp dụng hệ quả BĐT holder: dxfxf.' xdx fxfxdx' 0 0 0 22 1 1 11 1  Suy ra 2 fxfxdx ' 3 fxfxdx ' 3 f ' x f x dx 0 0 0 33 0 1 1 Hay f' x f x dx 0 3 1 1 f' x f x dx 1 Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi 0 3 k 3 f' x f x k 3 1 1 fx 1 1 Xét fxfx' fxfxdx' 2 dx x C f x 3 x 3 C 3 9 3 9 3 Biên soạn: Phạm Minh Tuấn
7. 171 Vì f 01 nên f x 3 x 1 f3 x dx 360 Bài 7. Cho hàm số fx có đạo hàm liên tục trên ab; thỏa mãn lim fx , xa lim fx và f' x f2 x 1,  x a ; b . Tìm giá trị nhỏ nhất của P b a . xb A. B. C. D. 2 2 Hướng dẫn giải: fx' Ta có: f' x f2 x 1  1 1 fx2 Lấy tích phân hai vế ta được: b 1 fx' b 1dx  arctan f x a b  b a arctan f b arctan f a 2 a a 1 fx 0 Vì limf x ,lim f x nên ba x a x b Nhận xét: Khi hàm số f x cot x cận ba ,0 thì dấu ‚=‛ xảy ra Bài 8. Cho hàm số dương và liên tục trên 1; 3 thỏa mãn maxfx 2 1;3 1 331 3 min fx và biểu thức S f x dx. dx đạt GTLN, khi đó hãy tính f x dx 1;3 2 11fx 1 7 3 3 5 A. B. C. D. 5 4 5 2 Hướng dẫn giải 1 f x f x 2 1 2 Từ đền suy ra f x 2,  x 1; 3 nên 0 , x 1; 3 2 fx 1 3 f x f x 2 3 3 2 1 Lấy tích phân 2 vế ta được: dx 05  dx f x dx 1 f x 1 f x 1 Biên soạn: Phạm Minh Tuấn
8. 22 3 3 1 3 3 25 3 5 25 Tương đương fxdx dx5 fxdx fxdx f x dx 1 1 fx 1 1 4 1 2 4 3 5 Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f x dx 1 2 x 33 2 2 xx21 Bài 9. Cho hàm số fx xác định và liên tục trên 1; 2 thỏa mãn f x dx 3 x1 2 với mọi xx, 1; 2 sao cho . Tìm GTLN của tích phân f x dx . 12 xx12 1 1 3 5 5 A. B. C. D. 2 2 3 2 Hướng dẫn giải x 33 x x x 2 xx 2 222 2 Ta có: x2 dx 21 fx dx xdx22  x fx dx 0 3 x1 x1 x1 x1 2 2 Do hàm f x x f x liên tục trên 1; 2 nên: 2 2 x f x 0  f x x,  x 1;2 2 2 2 3 Từ đó suy ra f x dx f x dx xdx 1 1 1 2 Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f x x ; xx12 1; 2 x Bài 10. Cho hai hàm số fx không âm và liên tục trên 0;1 . Đặt g x 12 f t dt 0 2 và ta giả sử rằng luôn có g x f x ,  x 0;1 . Tìm GTLN của tích phân 1 g x dx . 0 7 8 13 A. B. C. D. 3 5 6 Hướng dẫn giải Biên soạn: Phạm Minh Tuấn
9. x F' x f x Gọi Fx là một hàm số thỏa mãn F x f t dt 0 g x 12 F x 2 f x F' x Ta có 1 2F x g x f x  1  1 0 1 2F x 1 2F x F'' x F x Nháp: xét 1 dx x C 1 2 F x x C 1 2F x 1 2F x Xét hàm số h x 12 F x x C , x 0;1 2'Fx Ta có hx' 1 0 nên hx nghịch biên trên 0;1 . 2 1 2Fx Suy ra h x h 0 1 2 F 0 C 0 Ta có F 00 f t dt nên h x 1 C . Ta chọn C sao cho 1 CC 0 1 0 1 2 7 Vậy 1 2F x x 1 g x x 1 g x dx 0 3 BTAD: [ĐỀ VTED] Cho hàm số fx không âm và liên tục trên 0;1 . Đặt x 3 g x 12 f t dt và ta giả sử rằng luôn có g x f x ,  x 0;1 . Tìm GTLN 0 1 2 3 của tích phân g x dx . 0 5 4 A. B. 4 C. D. 5 3 3 Biên soạn: Phạm Minh Tuấn