›
›
›

Tổng hợp các Chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán - Bùi Trần Duy Tuấn

pdf 129 trang thungat 3260
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp các Chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán - Bùi Trần Duy Tuấn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftong_hop_cac_chuyen_de_luyen_thi_dai_hoc_mon_toan_bui_tran_d.pdf

Nội dung text: Tổng hợp các Chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán - Bùi Trần Duy Tuấn

  1. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  2. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn MỤC LỤC A. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC 3 I. LÝ THUYẾT 3 II. CÁC DẠNG TOÁN VỚI PHÉP TOÁN CƠ BẢN 5 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI 14 IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 22 1. ĐỀ BÀI 22 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 25 B. CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC 28 I. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC 28 II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 30 1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC 30 2. ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. 31 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI 38 IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 44 1. ĐỀ BÀI 44 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 48 C. TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC 53 I. LÝ THUYẾT 53 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH 54 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN- PLUS 61 IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 64 1. ĐỀ BÀI 64 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 69 D. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC 75 I. PHƯƠNG PHÁP QUY VỀ TÌM MIN-MAX CỦA HÀM MỘT BIẾN KẾT HỢP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC. 75 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN MIN-MAX 84 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI 92 V. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 93 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 1 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  3. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 1. ĐỀ BÀI 93 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 96 E. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 101 I. LÝ THUYẾT 101 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH 102 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI 105 IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA DẠNG LƯỢNG GIÁC 107 V. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 109 F. TUYỂN TẬP CÁC CÂU SỐ PHỨC VẬN DỤNG CAO 111 I. ĐỀ BÀI 111 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 118 Tài liệu được tôi sưu tầm và biên soạn để làm tư liệu cho các em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia tham khảo, giúp các em ôn lại kiến thức nhanh chóng và hiệu quả hơn. Trong quá tình tổng hợp và biên soạn không tránh khỏi những sai sót đáng tiếc do số lượng kiến thức và bài tập khá nhiều. Mong các đọc giả thông cảm và đóng góp ý kiến để những tài liệu sau của tôi được chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp xin gửi về: Facebook: Hoặc qua Gmail: btdt94@gmail.com. Các em có thể xem thêm các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán tại Website: Xin chân thành cảm ơn!!! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  4. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Chuyên đề: SỐ PHỨC A. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC I. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa o Một số phức là một biểu thức dạng z a bi với a, b và i2 1. o i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z a bi . Tập hợp các số phức được kí hiệu là . a bi/ a , b ; i2 1. o Chú ý: - Khi phần ảo b 0 z a là số thực. - Khi phần thực a 0 z bi z là số thuần ảo. - Số 0 0 0i vừa là số thực, vừa là số ảo. a c o Hai số phức bằng nhau: a bi c di với a,,, b c d . b d o Hai số phức z1 a bi; z 2 a bi được gọi là hai số phức đối nhau. 2. Số phức liên hợp Số phức liên hợp của z a bi với a, b là a bi và được kí hiệu bởi z . Một số tính chất của số phức liên hợp: a) z z b)z z'' z z c) z z'' z z z z c) z.'.' z z z d) z ' z ' z là số thực z z ; z là số thuần ảo z z Ví dụ: Số phức liên hợp của số phức z 1 2 i là số phức z 1 2 i . Số phức liên hợp của số phức z 5 3 i là số phức z 5 3 i . 3. Biểu diễn hình học của số phức Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z a bi với a, b được biểu diễn bằng điểm M a; b . www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01Ví dụ: A 1; 2 biểu diễn số phức z1 1 2 i . B 0;3 biểu diễn số phức z2 3 i . C 3;1 biểu diễn số phức z3 3 i . D 1;2 biểu diễn số phức z4 1 2 i . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 3 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  5. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 4. Môđun của số phức o Môđun của số phức z a bi a , b là z a2 b 2 . o Như vậy, môđun của số phức z là z chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức  z a bi a , b đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức là: OM a2 b 2 zz . o Một số tính chất của môđun: z 0; z 0 z 0; 2 z2 z , z z , z z z1 z 2 z 1 + z 2 z z ' z z ' z z ' z1 . z 2 z 1 . z 2 z z 1 1 z 2 z2 5. Các phép toán trên tập số phức Cho hai số phức z a bi ; z' a ' b ' i với a, b , a ', b ' và số k . o Tổng hai số phức: z z' a a ' ( b b ') i . o Hiệu hai số phức: z z' a a ' ( b b ') i . o Số đối của số phức z a bi là z a bi .  o Nếu u,' u theo thứ tự biểu diễn các số phức z,' z thì  u u ' biểu diễn số phức z z ' .  u u ' biểu diễn số phức z z ' . o Nhân hai số phức: z.'''.'.'.''. z a bi a b i a a b b a b a b i . 1 o z 1 z Số phức nghịch đảo: 2 . z o Chia hai số phức: z''. z z z 0 z ' z 0 Nếu thì 2 , nghĩa là nếu muốn chia số phức cho số phức thì ta nhân z z z ' cả tử và mẫu của thương cho z . z  Chú ý: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 i4k 1; i 4 k 1 i ; i 4 k 2 1; i 4 k 3 i (k ) . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 4 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  6. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn II. CÁC DẠNG TOÁN VỚI PHÉP TOÁN CƠ BẢN 1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỔNG QUÁT Phương pháp o Bước 1: Gọi số phức z cần tìm là z a bi a , b . o Bước 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước của đề bài (thường liên quan đến môđun, biểu thức có chứa z, z , z , ) để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình 2 ẩn theo a và b nhờ tính chất 2 số phức bằng nhau ( phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau ), rồi từ đó suy ra a và b và suy ra được số phức z cần tìm. 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và tính môđun của số phứcz : 4 5i a) z 2 4 i 2 i 1 3 i . b) z 2 4 i 5 2 i . 2 i Giải: a) z 2 4 i 2 i 1 3 i 2 4 i 2 i 6 i2 2 6 i 6 8 6 i . Phần thực: 8 ; Phần ảo: 6 ; Số phức liên hợp: z 8 6 i . Môđun z 82 6 2 10 . 4 5i 4 5i 2 i b) z 2 4i 5 2 i 10 4 i 20 i 8 i2 2 2 2 i 2 1 8 14i 5 93 94 18 16i i . 5 5 5 93 94 93 94 Phần thực: ; Phần ảo: ; Số phức liên hợp: z i . 5 5 5 5 2 2 93 94 17485 Môđun z . 5 5 5 Bài toán 2 Cho số phức z 3 2 i . Tìm môđun số phức w zi z 1 2 i . Giải: w zi z1 2 i (3 2 i ) i (3 2 i )(1 2 i ) . www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 3i 2 3 6 i 2 i 4 5 7 i Vậy w 52 7 2 74 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 5 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  7. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 3 Gọi M, N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1, z 2 trên mặt phẳng phức. Mệnh đề nào sau đây là đúng?    Azz.1 2 OMON B. zz 1 2 MN     C.z1 z 2 OM MN D. z 1 z 2 OM MN Giải: M, N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1, z 2 trên mặt phẳng phức   nên OM biểu diễn số phức z1 ,ON biểu diễn số phứcz2    OM ON NM biểu diễn số phức z1 z 2   z1 z 2 NM MN . Chọn B. Bài toán 4 1 1 1 Cho ba số phức z1, z 2 , z 3 phân biệt thỏa mãn z1 z 2 z 3 3 và . Biết z1 z 2 z 3 z1, z 2 , z 3 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm ABC, , trên mặt phẳng phức. Tính góc ACB ? A. 60 . B. 90 . C. 120 . D. 150 . Giải: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z , N là điểm biểu diễn của số phức z (z là số phức liên hợp của z ). Khi đó M và N đối xứng nhau qua Ox. Gọi ABC', ', ' lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1, z 2 , z 3 . 1 1 1 z z z 1 2 3 z z z Từ giả thiết 2 2 2 1 2 3 (do z1 z 2 z 3 3). z1 z 2 z 3 z1 z2 z3    Suy ra OA OB'' OC OA''' C B là hình bình hành.    0 Mà OA OB'' OC OA''' C B là hình thoi với ACB' ' ' 120 . 0 Vậy ACB 120 (do ACB và ACB''' đối xứng qua Ox ). Chọn C. Bài toán 5 2 3 20 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau: 1 1 i 1 i 1 i 1 i Giải: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 6 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  8. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 21 2 20 1 i 1 P 1 1 i 1 i 1 i i 20 21 2 10 1 i 1 i 1 i 2 i 1 i 210 1 i 210 1 i 1 P 210 2 10 1 i i Vậy phần thực là 210 và phần ảo là 210 1. Bài toán 6 Tính S 1009 i 2 i2 3 i 3 2017 i 2017 . Giải: Cách 1: S 1009 i 2 i2 3 i 3 4 i 4 2017 i 2017 1009 4i4 8 i 8 2016 i 2016 i 5 i 5 9 i 9 2017 i 2017 2i2 6 i 6 10 i 10 2014 i 2014 3 i 3 7 i 7 11 i 11 2015 i 2015 504 505 504 504 1009  4n i  4 n 3  4 n 2 i  4 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1009 509040 509545i 508032 508536 i 2017 1009i . Cách 2: Đặt f x 1 x x2 x 3 x 2017 f x 1 2 x 3 x2 2017 x 2016 xf x x 2 x2 3 x 3 2017 x 2017 1 Mặt khác: 2017 2018 x 2018 1 2018x x 1 x 1 f x 1 x x2 x 3 x 2017 f x 2 x 1 x 1 2018x2017 x 1 x 2018 1 xf x x . 2 2 x 1 Thay x i vào 1 và 2 ta được: (1) S 1009; (1)=(2) , nên: 2017 2018 2018i i 1 i 1 2018 2018i 2 S 1009 i . 1009 i 2017 1009 i . 2 i 1 2i Bài toán 7 1 Cho số phức z 1 i 3 . Tính w 1 z 1 z2 1 z 3 1 z 2017 . 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01Giải : 2 1 z z 1 0 Ta có z 1 i 3  . 2 z 3 1 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 7 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  9. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn z3k 1  1 z 3 k 2 3k 1 3 k 1 2 Do đó với mọi k , ta có z z  1 z 1 z z . z3k 2 z 2  1 z 3 k 2 1 z 2 z Vì từ 1 đến 2017 có: 673 số chia 3 dư 1, 672 số chia 3 dư 2 , 672 số chia hết cho 3 nên 672 673 w 1 z 1 z2 1 z 3 1 z 2017 2 672 . z . z 2 2 672 . z 2018 2 672 . z 3.672 2 1 3 672 2 672 672 671 2 .z 2 1 z 2 i 2 1 3 i . 2 2 Bài toán 8 Tìm số z sao cho: z (2 i ) z 3 5 i (A,A1 2014) . Giải: Gọi số phức z cần tìm là z a bi a , b . Ta có: z (2 i ) z 3 5 i a bi(2 i )( a bi ) 3 5 i a bi 2 a 2 bi ai bi2 3 5 i 3a b ( a b ) i 3 5 i 3a b 3 a 2 z 2 3 i . a b 5 b 3 Bài toán 9 Tìm số phức z khi nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: z (2 i ) 10 và z. z 25 . Giải: Gọi số phức cần tìm là z a bi a , b . 2 Ta có: z. z z a2 b 2 25 (1). 2 2 Lại có: z (2 i ) 10 a 2 b 1 10 a2 b 2 4 a 2 b 5 0 2 Thay (1) vào (2) ta được: 25 4a 2 b 5 10 b 2 a 10 . a 5 b 0 Nên a2 b 2 25 a 2 ( 2 a 10) 2 25 5a2 40 a 75 0 a 3 b 4 Vậy z 5 hoặc z 3 4 i . Bài toán 10 Tìm các số thực a,, b c sao cho hai phương trình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01az2 bz c 0, cz 2 bz a 16 16 i 0 có nghiệm chung là z 1 2 i Giải Theo giả thiết phương trình az2 bz c 0 có nghiệm z 1 2 i khi đó: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 8 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  10. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2 3a b c 0 a1 2 ib 1 2 ic 0 3 abcabi 4 2 0 1 4a 2 b 0 Tương tự phương trình cz2 bz a 16 16 i 0 có nghiệm z 1 2 i khi đó: 2 c 1 2 i b 1 2 i a 16 16 i 0 c 3 4 i b 2 bi a 16 16 i 0 a b 3 c 16 0 a b 3 c 16 2 b 2 c 8 i 0 2 b 2 c 8 0 Từ 1 , 2 suy ra a, b , c 1; 2;5 . Bài toán 11 _ z z z z z z 2 3 z Cho và là số phức liên hợp của . Biết 2 và .Tìm z Giải : _ Gọi z a bi a, b z a bi . Ta có : z z a bi a bi 2 bi 2 3 b2 3 . _ 2 z z z z2 z 3 z z z z . Ta có: .1 . z 3 . 2 2 2 2 2 z z z z z. z 2 3 Mà z3 a 3 3 a 2 bi 3 a bi bi a 3 3 ab 2 3 a 2 b b 3 i 2 3 2 2 2 3a b b 0 3 a b 0 a 1 z 2 . b2 3 b 2 3 b 2 3 Bài toán 12 z 2 i Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z 1 2 i z 3 4 i và là một số thuần ảo. z i Giải : Đặtz x yi () x, y . Theo bài ra ta có : 2 2 2 2 xyix 1 2 3 4 yix 1 y 2 x 3 y 4 yx 5 2 z 2 i x y 2 i x y 2 y 1 x 2 y 3 i w Số phức 2 z i x 1 y i x2 y 1 x2 y 2 y 1 0 12 2 x 2 12 23 w là một số ảo khi và chỉ khi x y 1 0 7 . Vậy z i . 23 7 7 y x 5 y www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 7 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 9 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  11. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 13 1 1 2 Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn z1 0, z 2 0, z 1 z 2 0 và . Tính giá z1 z 2 z 1 z 2 z trị biểu thức P 1 . z2 Giải: 1 1 2 1 z 2 z Từ giả thiết 2 1 z1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z1 z 1 z 1 z z z z . z 2 z 1 1 2 . 1 2 1 2 2 1 z2 z 2 z 2 z Đặt t 1 , ta được phương trình t t 1 1 2 t z2 1 1 t i 2 2 2 2t 2 t 1 0 2 2 t P 1 1 2 2 t i 2 2 Bài toán 14 1 Nếu số phức z thỏa mãn z 1 và z 1 thì phần thực của bằng? 1 z Giải: Cách 1: Đặt z a bi a, b . Từ z 1 a2 b 2 1. 1 1 1 a bi 1 a bi Ta có: 2 1 z 1 a bi 1 a bi 1 a bi 1 a b2 1 1 a Suy ra phần thực của là: 2 . 1 z 1 a b2 1 a 1 a 1 a 1 Ta có: 2 2 2 . 1 a b2 a 2 a 1 b 2 2a 2 Cách 2: 1 Gọi A là phần thực của . 1 z 1 1 1 1 1 z 1 z 2 z z 2 z z 1 2A 1 a . 1 z 1 z 1 z 2 2 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc011 z 1 z z z . z 1 z z z 2 z z Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 10 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  12. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 15 Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn điều kiện z1 z 2 z 1 z 2 1. Tính giá trị của biểu 2 2 z1 z 2 thức P . z2 z 1 Giải: Cách 1: 2 2 2 z1 z 2 z 1 z 2 Ta có P 2. 1 z2 z 1 z 2 z 1 z z z z z z 1 2 1 2 2 1 z z z z . 2 Mà 2 2 1 2 2 1 z2 z 1 z2 z 1 2 1 z z z z . z z z z . z z Theo giả thiết: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 z z z z z z z z z z 1. 3 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 Từ 1 , 2 và 3 suy ra P 1. Cách 2: Chuẩn hóa Chọn z1 1 , còn z2 chọn sao cho thỏa mãn z2 1 và z1 z 2 1. Ta chọn như sau: Đặt z2 a bi . 2 2 ● z2 1 a b 1 . 2 2 ● z1 z 2  1 z 2 1 1 a 1 bi 1 a 1 b 1. 1 a 2 1 3 Từ đó giải hệ z i . 3 2 2 2 b 2 1 3 Thay z 1 và z i vào P và bấm máy. 1 2 2 2 1 3 1 3 Hoặc ta cũng có thể chọn z i và z i . 1 2 2 2 2 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 11 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  13. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 16 1 1 1 Cho số phức z có môđun bằng 2018 và w là số phức thỏa mãn biểu thức . z w z w Môđun của số phức w bằng? Giải: 2 1 1 1z w 1 z w zw Từ giả thiết 0 0 z w z w zw z w zw z w 2 2 2 1 3 1 3 1 i 3 w 2 2 2 2 2 2 z w zw0 z zw w w 0 z w w z w 4 4 2 4 2 2 2 2 1 i 3 w 1 i 3 Từ z w z w . 2 2 2 2 1i 3 Lấy môđun hai vế, ta được z . w 1. w w w 2018. 2 2 Bài toán 17 z Cho số phức z, w khác 0 sao cho z w 2 z w . Phần thực của số phức u là ? w Giải : Cách 1 : Gọi u a bi a, b . z 1 u 2 2 1 w 2 a b Ta có : z w 2 z w 4 . z w 2 z w a 1 b2 1 u 1 1 w w 2 3 1 a 1 a2 2 a 1 a 4 8 Cách 2: Gọi w a bi a, b . 2 2 a b 4 * 1 Chọn z 1 z 1 1 w 2 w 2 a . a 1 b2 4 2 1 15 1 1 15 Thay a vào * b u i . 2 21 15 8 8 i 2 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 12 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  14. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 18 1 Tính môđun của số phức z biết z z và có phần thực bằng 4. z z Giải: Cách 1: Giả sử z a bi a, b . 1 1 Ta có z z a2 b 2 a bi a2 b 2 a bi a 2 b 2 a b i. 2 2 2 abab2 2 2 abab 2 2 2 abab 2 2 2 1 a2 b 2 a Theo giả thiết: có phần thực bằng 4 nên 4 z z 2 a2 b 2 a b 2 a2 b 2 a a 2 b 2 a 4 4 2 a2 b 2 2 a a 2 b 2 2 a2 b 2 a 2 b 2 a 1 1 1 4 a2 b 2 z . 2 a2 b 2 8 8 Cách 2: Nếu z a bi thì z z 2 a . 1 1 1 Áp dụng: có phần thực bằng 4 8 z z z z z z 1 1 2z z z 2 z z z 8 8 8 2 2 2 z z z z z zzzzz . z zzzz 2z z z 2 z z z 1 1 8 8 8 z . 2 2 z z z z z 2 z z z z 8 Nhận xét: Trong bài toán tìm thuộc tính của số phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước, nếu K là thuần z (tất cả đềuz ) hoặc thuần z thì đó là bài toán giải phương trình bậc nhất (phép cộng, trừ, nhân, chia số phức) với ẩn z hoặc z . Còn nếu chứa hai loại trở lên (z , z , z ) thì ta sẽ gọi www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01z a bi a , b . Từ đó sử dụng các phép toán trên số phức để đưa về hai số phức bằng nhau để giải. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 13 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  15. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI PP CASIO Để thực hiện các phép toán trên tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX bằng cách bấm w2. o Bấm đơn vị ảo i bằng cách bấm phím b. o Tính môđun của số phức bấm qc. o Để bấm số phức liên hợp của z bấm q22để hiện Conjg (liên hợp). Sau đây là các bài toán điển hình cho các dạng tính toán cơ bản của số phức. 1. PHÉP CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA Bài toán 1 Tính z 1 i (3 2 i ). Hướng dẫn: Ta lần lượt bấm các phím như sau: 1+bp(3+2b) Và ta được kết quả là: Bài toán 2 Tính z (1 3 i )( 3 4 i ). Hướng dẫn: Ta lần lượt bấm các phím tương tự như trên và ta thu được kết quả như sau: Bài toán 3 1 3i Tính z ( 2 i) . 2 7i Hướng dẫn: 1 3i Ta lần lượt nhập biểu thức z ( 2 i) vào máy ta thu 2 7i được kết quả: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 14 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  16. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 4 Cho số phức z a bi . Số phức z2 có phần ảo là : A.a2 b 2 B.2a2 b 2 C.2ab D.ab Hướng dẫn: Vì đề bài cho ở dạng tổng quát nên ta tiến hành “cá biệt hóa” bài toán bằng cách chọn giá trị cho a, b (lưu ý nên chọn các giá trị lẻ để tránh xảy ra trường hợp đặc biệt). Chọn a 1.25 và b 2.1 ta có z 1.25 2.1 i Sử dụng máy tính Casio tính z2 1.25+2.1b)d= 21 Vậy phần ảo là 4 21 Xem đáp số nào có giá trị là thì đáp án đó chính xác. Ta có : 4 21 Vậy 2ab Đáp án C là chính xác. 4 Bài toán 5 [Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017] Cho số phức z a bi . Số phức z 1 có phần thực là : a b A.a b B. C. D.a b a2 b 2 a2 b 2 Hướng dẫn: . Vì đề bài mang tính chất tổng quát nên ta phải cá biệt hóa, ta chọn a 1; b 1.25 . 1 . Với z 1 Sử dụng máy tính Casio z a1R1+1.25b= 16 Ta thấy phần thực số phức z 1 là : đây là 1 giá trị dương. Vì ta chọn b a 0 nên ta 41 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01thấy ngay đáp số C và D sai. 9 16 Thử đáp số A có a b 1 1.25 vậy đáp số A cũng sai Đáp án chính xác là B 4 41 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 15 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  17. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 6 [Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017] 2 3 22 Cho số phức z 1 i 1 i 1 i . Phần thực của số phức z là : A. 211 B. 211 2 C. 211 2 D. 211 Hướng dẫn: 2 Dãy số trên là một cấp số nhân với U1 1 i , số số hạng là 21 và công bội là 1 i . Thu 21 n 1 q 2 1 1 i gọn z ta được : z U. 1 i . 1 1 q 1 1 i . Sử dụng máy tính Casio tính z (1+b)dOa1p(1+b)^21R1 p(1+b)= Vậy z 2050 2048 i Phần ảo số phức z là 2050 211 2 Đáp số chính xác là C www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 16 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  18. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2. TÍNH MÔĐUN Bài toán 1 Tìm môđun của số phức (1 2i ) z 2 i 6 . Hướng dẫn: 6 2i (1 2i ) z 2 i 6 z z .Nên ta thực hiện bấm như sau: 1 2i qcap6p2bR1p2b= Ta thu được kết quả: Bài toán 2 3 3 2 4i 2(1 i ) Tìm số phức  2.z . z . Biết z 4 3 i (1 i ) , z  1 2 1 2 1 i Hướng dẫn: 3 - Tính z1 4 3 i (1 i ) và lưu vào biến A: 4p3b+(1pb)^3qJz 2 4i 2(1 i )3 - Tính z và lưu vào biến B 2 1 i a2+4bp2(1pb)^3R1+bqJ x - Tính  2.z1 . z 2 : 2q22q22Qz)OQx)= www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 17 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  19. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Bài toán 1 Tìm môđun của số phức z thỏa mãn: 1 3i z 3 i 7 i 2 . 5 A. z 1 B . z 4 C . z 2 D . z 3 Hướng dẫn: 7i 2 3 i Ta chuyển z về dạng: z và tìm môđun. 1 3i Quy trình bấm máy: Qca7bp2p3bR1p3b= Màn hình hiển thị: >>> Chọn C. Bài toán 2 Cho số phức z thỏa mãn (3 i )( z 1) (2 i )( z 3 i ) 1 i . i z Tìm môđun của số phức w . 1 z 82 82 2 82 3 82 ABCD. . . . 4 8 9 5 Hướng dẫn: Ở đây là sẽ cho phím X sẽ là đại diện cho số phức z . Đây là phương trình bậc nhất của số phức. Bước 1: Các em nhập lại phương trình này với máy tính lần lượt như sau: (3 i )(X 1) (2 i )(Conj( g X ) 3) i (1 i ) (3pb)(Q)+1)+(2pb)(q2 2Q))+3b)p(1pb) Màn hình hiển thị: Bước 2: Tìm số phức z a bi nghĩa là đi tìm a và b. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01Ta sẽ cho trước a=10000 và b=100 rồi từ đó suy ngược lại mối quan hệ của a và b bằng 1 hệ phương trình 2 ẩn theo a và b, lúc đó tìm được a và b. Cho z 10000 100 i bằng cách nhập r10000+100b= Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 18 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  20. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Màn hình sẽ cho kết quả: Nghĩa là: (3 iz )( 1) (2 izii )( 3 ) (1 ) 50005 19894 ia 5 5 (2 abi 6) . Cho nên: (3 i )( z 1) (2 i )( z 3 i ) (1 i ) 0 5a 5 0 5 a 5 0 a 1, b 8 z 1 8 i 2a b 6 0 2 a b 6 Từ đó tính môđun của w : >>> Chọn B. Bài toán 3 2 Cho số phức z a bi thỏa mãn điều kiện 2 3i z 4 i z 1 3 i .TìmP 2 a b A. 3 B. 1 C.1 D. Đáp án khác Giải: 2 . Phương trình 2 3i z 4 i z 1 3 i 0 . Nhập vế trái vào máy tính Casio và CALC với X 1000 100 i (2p3b)Q) +(4+b)q22Q )) +(1+3b)dr1000+100b= Vậy vế trái 6392 2194i với 6392 6.1000 4.100 8 6a 4 b 8 2194 2.1000 2.100 6 2a 2 b 6 6a 4 b 8 0 . Để vế trái 0 thì a 2; b 5 2a 2 b 6 0 Vậy z 2 5 i P 2 a b 1 Đáp số chính xác là C. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 19 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  21. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 4. BIỄU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Bài toán 1 4i Các điểm MNP,, lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z ; z 1 i 1 2 i 1 i 1 2 ;z3 1 2 i A. Tam giác vuông B.Tam giác cân C.Tam giác vuông cân D.Tam giác đều Hướng dẫn: Rút gọn z1 bằng Casio a4bRbp1= Ta được z1 2 2 i vậy điểm M 2; 2 Rút gọn z2 bằng Casio (1pb)(1+2b)= Ta được z2 3 i vậy điểm N 3;1 Tương tự z2 1 2 i và điểm P 1;2 Để phát hiện tính chất của tam giác MNP ta nên biểu diễn 3 điểm MNP,, trên hệ trục tọa độ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Dễ thấy tam giác MNP vuông cân tại P đáp án C chính xác Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 20 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  22. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M là điểm biểu diễn số phức z 3 4 i , điểm M ' là 1 i điểm biểu diễn số phức z' z . Tính diện tích OMM ' 2 25 25 15 15 A.S B.S C.S D.S OMM ' 4 OMM ' 2 OMM ' 4 OMM ' 2 Hướng dẫn: Điểm M biểu diễn số phức z1 3 4 i tọa độ M 3; 4 1 i 7 1 Điểm M ' biểu diễn số phức z' z tọa độ N ; 2 2 2 a1+bR2$O(3p4b)= Gốc tọa độ O 0;0 Để tính diện tích tam giác OMM ' ta ứng dụng tích có hướng của 2 vecto trong không gian. Ta thêm cao độ 0 cho tọa độ mỗi điểm OMM,,' là xong     7 1 1 OM 3; 4;0 , OM ' ; ;0 S OM;' OM 2 2 2   Tính OM;' OM w8113=p4=0=q51217P2= p1P2=0=Cq53q57q54=     25 1 25 Vậy OM; OM ' 12.5 S OM ; OM ' 2OMM ' 2 4 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 21 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  23. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. ĐỀ BÀI Câu 1. Cho hai số phức z1 1 2 i ; z 2 2 3 i . Khi đó số phức w 3 z1 z 2 z 1 z 2 có phần ảo bằng bao nhiêu? A. 9 B. 10 C. 9 D. 10 Câu 2. Cho số phức z 3 2 i , khi đó số phức w 2 z 3 z là A. 3 2i B. 3 2i C. 3 10i D. 11 2i Câu 3. Những số nào sau đây vừa là số thực và vừa là số ảo? A. 0 và 1 B. chỉ có 0 C. chỉ có số 1 D.không có số nào Câu 4. (Đề thử nghiệm 2017)Tìm số phức liên hợp của số phức z i 3 i 1 A. z 3 i B. z 3 i C. z 3 i D. z 3 i Câu 5. (Đề thử nghiệm 2017) Tìm môđun của số phức z thỏa mãn z 2 i 13 i 1 5 34 34 A. z 34 B. z 34 C. z D. z 3 3 Câu 6. (Đề minh họa 2017) Cho số phức z 3 2 i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 Câu 7. (Đề minh họa 2017)Cho hai số phức z1 1 i và z2 2 3 i . Tính môđun của số phức z1 z 2 A. z1 z 2 13 B. z1 z 2 5 C. z1 z 2 1 D. z1 z 2 5 Câu 8. (Đề minh họa 2017)Cho số phức z 2 5 i . Tìm số phức w iz z A.w 7 3 i B.w 3 3 i C.w 3 7 i D.w 7 7 i 1 i 2 i Câu 9. Môđun của số phức z là 1 3i A. z 5 B. z 5 C. z 2 D. z 1 2 Câu 10. Cho số phức z thỏa điều kiện 3 i z 1 2 i 8 17 i . Khi đó hiệu phần thực và phần ảo của z là A.7 B. 3 C. 3 D. 7 2 1 2i Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn 1 2i z 7 8 i . Môđun của số phức 1 i w z i 1 là A.3 B.5 C. 4 D.13 4 2i 1 i 2 i Câu 12. Phần thực của số phức z là www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc012 i 2 3 i 29 11 29 11 A. B. C. D. 13 13 13 13 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 22 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  24. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2 Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn 1 2i z 1 3 i 5 i . Khi đó điểm nào sau đây biểu diễn số phức z ? A.M 2; 3 B.M 2;3 C.M 2;3 D.M 2; 3 25 1 1 z z Câu 14. Số phức thỏa mãn 2 . Khi đó phần ảo của số phức bằng bao z 1 i 2 i nhiêu? A. 31 B.17 C. 31 D. 17 Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn z 1 3 i 17 i . Khi đó môđun của số phức w 6 z 25 i là A. 29 B.13 C.2 5 D.5 1 i 2 i 1 i 2 i Câu 16. Cho số phức z thỏa mãn z . Trong các kết luận sau, kết 1 i 1 i luận nào đúng? 1 A.z z B.z là số thuần ảo C.|z | 4 D.z z Câu 17. Cho hai số phức z1 3 2 i , z 2 2 i . Giá trị của biểu thức |z1 z 1 z 2 |là A. 130 B.10 3 C.2 30 D. 3 10 z2 Câu 18. Cho hai số phức z1 2 3 i , z 2 2 i . Giá trị của biểu thức z1 là z1 A. 5 B.5 C.13 D. 11 2 4 3 i 3 i Câu 19. Cho số phức z . Môđun của số phức w z iz 1 là 1 2i i A. w 85 B. w 4 5 C. w 6 3 D. w 56 Câu 20. Cho z là một số phức. Xét các mệnh đề sau : (I) Nếu z z thì z là một số thực (II) Môđun của z bằng độ dài đoạn OM với O là gốc tọa độ và M là điểm biểu diễn của số phức z (III) z z. z Trong 3 mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A.0 B.1 C.2 D.3 Câu 21. Cho số phức z m 1 m 2 i với m R .Tìm tất cả các giá trị của m để z 5là. A. 1 m 0 . B. 0 m hoặcm 1. C. 1 m 0 . D. m 1hoặcm 0 . Câu 22. Cho Số phứcz a bi với a, b R .Trong các mệnh đề sau,mệnh đề nào đúng. 2 A. z z 2 bi . B. z z 2 a . C. z. z a2 b 2 . D. z2 z . Câu 23. Cho số phức z 2 i . Lựa chọn phương án đúng 1 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 A. z 2 . B. z 2 4 . 4 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 23 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  25. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 1 13i C. z3 z . D. z 6 64 . z 2 Câu 24. Trong các kết luận sau kết luận nào sai? A.Môđun số phứcz là 1 số thực dương. B.Môđun số phứcz là 1 số thực. C. Môđun số phứcz là 1 số thực không âm. D. Môđun số phứcz là 1 số phức. 2016 2018 1 i 1 i Câu 25. Số phức z bằng 1 i 1 i A.1 i B.0 C.2 D. 2 Câu 26. Cho P 1 i i2 i 2017 , khẳng định nào sau đây là đúng A.P 0 B.P 1 C.P 1 i D.P 2 i Câu 27. Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau ? 2018 2018 A. 1 i 21009 i B. 1 i 21009 i 2018 2018 C. 1 i 21009 D. 1 i 21009 4 2i i2017 Câu 28. Số phức z có tổng phần thực và phần ảo là 2 i A.1 B.2 C.3 D.4 2017 1 i Câu 29. Số phức z có phần thực hơn phần ảo bao nhiêu đơn vị ? 21008 i A.0 B.1 C.2 D.21008 2 3 2017 Câu 30. Phần thực của số phức z 1 1 i 1 i 1 i 1 i là A. 22016 B.21008 C. 21008 1 D. 21008 Câu 31. Cho A 1 i2 i 4 i 4k 2 i 4 k với k * . Hỏi đâu là phương án đúng A.A 2 ki B.A 2 k C.A 0 D.A 1 2 Câu 32. Với mọi số phức z , ta có z 1 bằng A.z z 1 B.z2 2 z 1 2 C. z 2 z 1 D.z. z z z 1 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 24 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  26. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1B 2C 3B 4D 5A 6D 7A 8B 9D 10A 11B 12A 13B 14D 15A 16D 17A 18B 19A 20D 21C 22D 23C 24B 25C 26A 27D 28B 29C 30D 31D 32D Câu 1. Cách 1:Ta có w 3 1 2 i 2 3 i 1 2 i 2 3 i 3 6 i 2 3 i 8 i 9 10 i Suy ra w có phần ảo bằng 10. Cách 2 : Sử dụng Casio (Để máy ở chế độ Mode 2 _CMPLX) Nhập vào máy 3 1 2i 2 3 i 1 2 i 2 3 i  Casio 9 10 i . Chọn B. Câu 2. Cách 1 :Ta có w 2 3 2 i 3 3 2 i 6 4 i 9 6 i 3 10 i . Cách 2 : Sử dụng Casio (Để máy ở chế độ Mode 2 _CMPLX) Nhập vào máy2 3 2i 3 3 2 i  Casio 3 10 i . Chọn C. Câu 3. Gọi z a bi là số phức thỏa yêu cầu bài toán a, b Ta có z là số thực khi b 0 ; z là số ảo khi a 0 z 0 . Chọn B. Câu 4. Ta có z i 3 i 1 3 i2 i 3 i z 3 i . Chọn D. Câu 5. 1 13i 1 13 i 2 i Cách 1:z 2 i 13 i 1 z 3 5 i z 32 5 2 34 . 2 i 22 1 2 1 13i Cách 2 : Sử dụng Casio, Ta có z  Casio 34 . Chọn A. 2 i Câu 6. Ta có z 3 2 i z 3 2 i , suy ra phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2. Chọn D. 2 2 Câu 7. Ta có z1 z 2 3 2 i z 1 z 2 3 2 13 . Chọn A. Câu 8. Ta có w i 2 5 i 2 5 i 2 i 5 2 5 i 3 3 i . Chọn B. Câu 9. 2 2 1 i 2 i 3 i 3 i 1 3 i 3 4 3 4 Cách 1:Ta có z i z 1. 1 3i 1 3 i 12 3 2 5 5 5 5 1 i 2 i Cách 2: Dùng Casio,  Casio 1 . Chọn D. 1 3i 2 8 17i 1 2 i caisio Câu 10. Ta có z 2 5 i khi đó hiệu phần thực phần ảo là:2 5 7 . 3 i www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01Chọn A. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 25 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  27. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2(1 2i ) 2 2 Câu 11. z 78 i :2 i 32w i z i 143 i z 435 . 1 i Chọn B 4 2i (1 i )(2 i ) 29 11 Câu 12. z i . Chọn A. 2 i 2 3 i 13 13 2 Câu 13. Ta có z 5 i 13 i :12 i 23 i N 2;3 . Chọn B. 1 1 Câu 14. Ta có z 25 : 31 17 i z có phần ảo bằng 17 . Chọn D. 1 i 2 2 i 1 i 2 i 1 i 2 i Câu 15. Ta có z 2 z 2 . Chọn A. 1 i 1 i Câu 16. Ta có 17 i z 2 5 i w 6 z 25 i 6 2 5 i 25 i 12 5 i w 122 5 2 13 . 1 3i Chọn D. Câu 17. Ta có |z1 z 1 z 2 | 3 2 i 3 2 i 2 i 130 . Chọn A. z 5 i Câu 18. Ta có |z 2 | 2 3 i 5 . Chọn B. 1 2 3i z1 2 4 3 i 3 i Câu 19. Ta có z 2 4 i z 2 4 i . 1 2i i w z iz 1 2 4 i i 2 4 i 1 7 6 i 49 36 85 . Chọn A. Câu 20. Gọi z a bi với a, b R a a 1.z z b 0 z a ĐÚNG b b 2.z a bi OM a2 b 2 z ĐÚNG 3. z z. z a bi a bi a2 b 2 z ĐÚNG .Chọn D. 2 2 Câu 21. Ta có z 5 m 1 m 2 5 m2 m 0 1 m 0 . Chọn C. Câu 22. Ta có z z a bi a bi 2 a z z a bi a bi 2 bi . z. z a bi a bi a2 b 2 Nên ABC,, đều sai .Nên Chọn D. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc013 1 1 13 Câu 23. Ta có 2i 2 i 8 i i 2 i i . Chọn C. 2i 2 2 Câu 24. Gọi z a bi với a, b R .khi đó z a2 b 2 0 .Nên B sai. Chọn B. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 26 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  28. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Câu 25. 2016 2018 2016 2018 1008 1009 1 i 1 i 2 2 Ta có A i i i i 1 1 0. Chọn C. 1 i 1 i Câu 26. 2 3 2017 Cách 1: P 1 i i i i 2 3 2018 iP i i i i 1009 2 1 i2018 1 i 2 P iP 1 i2018 P 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i2018 Cách 2:Do P la tổng của cấp số nhân 2018 Phần tử z 1 i 1 i . Chọn A. 1 i 1009 2018 2 1009 504 Câu 27. Ta có 1 i 1 i 2 i 21009 i 2 i 2 1009 i . Chọn D. 504 4 2i i2017 4 2 i i Câu 28. Ta có i2017 i. i 4 i z 1 2 i . Chọn B. 2 i 2 i 1008 2017 2 1008 Câu 29. Ta có 1 i 1 i . 1 i . 2 i 21008 . 1 i . 2017 1008 1 i 2 . 1 i 1 i z 1 i . Vậy phần thực hơn phần ảo là 2. Chọn C. 21008 .i 2 1008 . i i 2017 2 3 2016 1 1 i Câu 30. Ta có z 1 1 i 1 i 1 i 1 i . 1 1 i 1008 2017 2 1008 1 i 1 i . 1 i . 2 i 21008 . 1 i . 2017 1 1 i 1 i z 21008 . 2 1008 2 1008 . i . Phần thực là 21008 . Chọn D. 1 1 i i 2 Câu 31. Do A là tổng của một cấp số nhân (gồm 2k 1số hạng) với u1 1; q i . 2k 1 2k 1 1 i2 1 1 Suy ra A 1 i2 i 4 i 4k 2 i 4 k 1 1 . Chọn D. 1 i2 1 1 2 2 z. z a b Câu 32. Gọi z a bi;, a b z a bi . z z 2 a 2 2 2 z 1 abi 1 a 1 baba2 2 2 2 1 zzzz . 1. 2 2 2 Chú ý : Ngoài ra ta có thể viết z 1 a bi 1 z z z 1. Chọn D. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 27 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  29. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn B. CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC I. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC 1. LÝ THUYẾT Nội dung lý thuyết Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w được gọi là một căn thức bậc 2 củaw . Mỗi số phức w 0 0 có hai căn bậc hai là hai số phức đối nhau z và – z . o Trường hợp w là số thực (w a ) + Khi a 0 thì w có hai căn bậc hai là a và a . + Khi a 0 nên a () a i2 , do đó w có hai căn bậc hai là a. i và a. i . Ví dụ: Hai căn bậc 2 của 1 là i và –i . Hai căn bậc 2 của a2 ( a 0) là ai , ai . o Trường hợp w a bi ( a , b ; b 0) . Cách 1: Gọi z x yi ( x , y )là căn bậc 2 của w khi và chỉ khi z2 w , tức là: (x yi )2 a bi 2 2 x y a x ; y 2xy b Mỗi cặp số thực x; y nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ra một căn bậc hai z x yi của số phức w a bi . Cách 2: Có thể biến đổi w thành bình phương của một tổng, nghĩa là w z 2 . Từ đó kết luận căn bậc hai của w là z và -z . 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Tìm các căn bậc 2 của 5 12i . Giải: o Cách 1: Tìm các căn bậc 2 của 5 12i , tức là đi tìm các số phức x yi ( x , y ) sao cho www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 2 2 x y 5 (x yi ) = 5 12 i nên ta cần giải hệ phương trình . 2xy 12 Rút y từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất, ta có: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 28 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  30. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2 36 4 2 2 x 5 x 5 x 36 0 x 4 x 2 6 6 6 y y y x x x Hệ này có 2 nghiệm: (2;3) và ( 2; 3). Vậy có 2 căn bậc hai của 5 12i là 2 3i và 2 3i . o Cách 2: 2 Ta có: 5 12i 4 2.2.3 i 9 4 2.2.3 i 3 i (2 3 i )2 . Từ đó dễ dàng suy ra hai căn bậc hai của 5 12i là 2 3i và 2 3i . Bài toán 2 Tìm căn bậc hai của số phức sau:w 4 6 i 5 . Giải: o Cách 1: Gọi z x yi x, y là một căn bậc hai của 2 2 2 x y 4 Khi đó ta có: x yi 4 6 i 5 2xy 6 5 x 3 y 5 Giải hệ phương trình tìm được nghiệm: x 3 y 5 Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: z1 3 i 5; z 2 3 i 5 . o Cách 2: 2 Ta có: w 4 6 i 5 9 2.3. 5 i 5 i (3 5 i )2 . Suy ra 3 i 5 là căn bậc của w 4 6 i 5 . Nên 3 i 5 là căn bậc củaw 4 6 i 5 Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: z1 3 i 5; z 2 3 i 5 . www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 29 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  31. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC Phương pháp giải Cho phương trình bậc 2: Az2 Bz C 0 (1) trong đó ABC,, là những số phứcA 0 . Xét biệt thức B2 4 AC o Nếu 0thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: BB   z ; z 12AA 2 2 Trong đó  là một căn bậc 2 của . B o Nếu 0thì phương trình (1) có nghiệm kép: z z 1 2 2A CHÚ Ý: n n 1 o Mọi phương trình bậc n: A0 z Az 1 An 1 z A n 0 luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt). o Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc 2 số phức hệ số thực: Cho phương trình bậc 2 :Az2 Bz C 0 ( A , B , C ; A 0) có 2 nghiệm phân B S z z 1 2 biệt (thực hoặc phức). Ta có: A C P z z 1 2 A MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Giải phương trình bậc hai sau: z2 2 z 3 0 . Giải: Biệt thức 22 4.1.3 8 8i 2 . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: 2 4i 2 4 i z 1 2 i ; z 1 2 i . 12 2 2 Bài toán 2 Giải phương trình bậc hai sau: z2 2 z 4 i 2 0. Giải: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01Biệt thức: 22 4.1.(4 i 2) 4 16i 8 12 16 i 16 2.4.2 i 4 i 2 (4 2 i ) 2 . Chọn  4 2i . Phương trình trên có hai nghiệm là : B  2 4 2 i B  2 4 2 i z 1 i; z 3 i . 12AA 2 2 2 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 30 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  32. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2. ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. a) Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử . Bước 1: Để đưa phương trình thành nhân tử thì ta phải nhẩm nghiệm của phương trình. Có các cách nhẩm nghiệm như sau: o Tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì nghiệm của phương trình là x 1. o Tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì nghiệm của phương trình x 1. o Định lý Bézout: Phần dư trong phép chia đa thức f x cho x a bằng giá trị của đa thức f() x tại x a . Tức là f x x a g x f a Hệ quả: Nếu f a 0 thì f x  x a . Nếu f x  x a thì f a 0 . o Sử dụng máy tính Casio để nhẩm nghiệm: - Nhập phương trình vào máy tính. - Bấm phím r rồi nhập 1 giá trị X bất kỳ, máy tính sẽ cho ra nghiệm của phương trình. Sau đó dùng sơ đồ hoocne để phân tích thành nhân tử. o Sơ đồ Hoocne: n n-1 n -2 Với đa thức f(x) = an x a n-1 x a n -2 x a 1 x a 0 chia cho x - a thương là n-1 n -2 n -3 g(x) = bn-1 x b n -2 x b n -3 x b 1 x b 0 dư r . Nếu r 0 thì f x  g x , nghĩa là: f x x a g x . Ta đi tìm các hệ số bn-1, b n -2 , b n -3 b 1 , b 0 bằng bảng sau đây. an an-1 an-2 a2 a1 a0 a b b b b b r n 1 n 2 n 3 1 0 ab0 a 0 an abn 1 a n -1 abn 2 a n -2 ab2 a 2 ab1 a 1 . Bước 2: Giải phương trình bậc nhất hoặc phương trình hai số phức, kết luận nghiệm. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Giải các phương trình: z 3 27 0 . Giải: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 z 1 3 2 z– 27 0 z – 1 z 3 z 9 0 3 3 3i . Vậy p/t đã cho có 3 nghiệm. z 2,3 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 31 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  33. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 2 Giải phương trình sau: z3 3 1 2 i z 2 3 8 i z 5 2 i 0. Giải: Nhẩm nghiệm: Ta thấy tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên phương trình có nghiệm z 1. Khi đó: z3 312 iz 2 38 iz 520 i zz 1 2 213 izi 250 z 1 v z i v z 2 5 i . Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : z 1 ; z i ; z 2 5 i . Bài toán 3 Cho phương trình sau: z3 2–2 i z 2 5–4 i z –10 i 01 biết rằng phương trình có nghiệm thuần ảo. Giải: Đặt z yi với y . Phương trình (1) trở thành: 3 2 iy 2 i 2 yi 5 4 i yi – 10 i 0 iy3–2 y 2 2 iy 2 5 iy 4–10 y i 000 i 2 2y 4 y 0 Đồng nhất hoá hai vế ta được: y3 2 y 2 5 y 10 0 Giải hệ này ta được nghiệm duy nhất y 2 . Suy ra phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z 2 i . * Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i . vế trái của (1) có thể phân tích dưới dạng: z3 2 – 2 i z 2 5 – 4 i z – 10 i z – 2 i z 2 az b ( a , b ) đồng nhất hoá hai vế ta giải được a 2 và b 5 . z 2 i z2 i 2 1 z – 2 i z 2 z 5 0 z 1 2 i z2 2 z 5 0 z 1 2 i Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm. Bài toán 4 Giải z3 3 i z 2 2 i z 16 2 i 0 biết rằng phương trình có 1 nghiệm thực. Giải : Gọi nghiệm thực là z0 ta có: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 3 2 3 2 z0 3 z 0 2 z 0 16 0 z 3 i z 2 i z 16 2 i 0 z 2 0 0 0 z2 z 2 0 0 o 0 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 32 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  34. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Khi đó ta có phương trình z 2 z2 5 i z 8 i 0 Tìm được các nghiệm của phương trình là z 2 ;z 2 i ;z 3 2 i . Bài toán 5 Giải phương trình z3 2 3 i z 2 3 1 2 i z 9 i 0 biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo. Giải: Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo là bi, b . Thay vào phương trình ta được: 3 2 bi 2 3 i bi 3 1 2 i bi 9 i 0 2 2 3 2 2b 6 b 0 2b 6 b b 3 b 3 b 9 i 0 b 3 z 3 i b3 3 b 2 3 b 9 0 Phương trình có thể phân tích thành z 3 i z2 2 z 3 0 Các nghiệm của phương trình là z 3 i ; z 1 2 i . Bài toán 6 4 2 Gọi z1;;; z 2 z 3 z 4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4 m z 4 m 0 (1). Tìm tất cả các giá trị m để z1 z 2 z 3 z 4 6. Giải: z1,2 2 i z4 4 m z 2 4 m 0 z 2 4 z 2 m 0 z m 3,4 z 2 i Nếu m 0 thì (1) có nghiệm là 1,2 . z m 3,4 6 z z z z 4 2 m Khi đó 1 2 3 4 m 1 . m 0 z 2 i Nếu m 0 thì (1) có nghiệm là 1;2 z i m 3;4 6 z z z z 4 2 m Khi đó 1 2 3 4 m 1. Kết hợp lại m 1 thỏa mãn bài toán. m 0 Bài toán 7 Cho phương trình 4z4 mz 2 4 0 trong tập số phức và m là tham số thực. Gọi z1,,, z 2 z 3 z 4 lần lượt là 4 nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m để www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01z2 4 z 2 4 z 2 4 z 2 4 324 1 2 3 4 . Giải: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 33 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  35. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Cách 1: 2 2 Đặt t z , phương trình trở thành: 4t mt 4 0 có 2 nghiệm t1, t 2 . m t1 t 2 2 2 2 2 Ta có: 4 . Do vai trò bình đẳng, giả sử ta có: z1 z 2 t 1, z 3 z 4 t 2 . t. t 1 1 2 2 2 2 Yêu cầu bài toán t 4 t 4 324 t t 4 t t 16 324 . 1 2 1 2 1 2 2 m 17 18 m 1 m 17 182 . m 17 18 m 35 Cách 2: Đặt f z 4 z z1 z z 2 z z 3 z z 4 . f 2 i f 2 i Do z2 4 z 2 i z 2 i nên z2 4 z 2 4 z 2 4 z 2 4 . * 1 1 1 1 2 3 4 4 4 4 2 Mà f 2 i f 2 i 4 2 i m 2 i 4 68 4 m . 2 68 4m m 1 Vậy * 324 . m 35 4.4 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 34 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  36. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn b) Phương pháp tìm nghiệm của phương trình bậc 4 hệ số thực Cho pt bậc 4: Ax4 Bx 3 Cx 2 Dx E 0 với ABCDEA, , , , ; 0 . Tìm các nghiệm của phương trình. Biết phương trình có 1 nghiệm phức là z1 a bi . * Lưu ý: Nếu phương trình trên có 1 nghiệm là z2 a bi thì nó cũng có nghiệm z a bi.Khi đó 2 2 2 4 3 2 2 2 2 z1 z 2 x 2 ax a b nên Ax Bx Cx Dx E ( x 2 ax a b ) g ( x ). Dùng phép chia đa thức cho đa thức đã học ở lớp 8 để tìm g() x . Tiếp tục giải phương trình bậc hai : g( x ) 0 để tìm 2 nghiệm còn lại của phương trình. BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán Tìm phương trình bậc 4: z4 2 z 3 z 2 2 z 10 0 .Tìm các nghiệm của phương trình. Biết phương trình có 1 nghiệm phức là z 2 i . Hướng dẫn : Phương trình trên có 1 nghiệm là z1 2 i thì nó cũng có nghiệm z2 2 i .Khi đó z1, z 2 2 là nghiệm của phương trình: z z1 z z 2 z 4 z 5. Nên (z4 2 z 3 z 2 2 z 10) z 2 4 z 5 g z . Dùng phép chia đa thức cho đa thức đã học ở lớp 8 tìm được g z z2 2 z 2 . Phương trình z2 2 z 2 0 có 2 nghiệm là 1 i ; 1 i . Vậy phương trình trên có 4 nghiệm là : 2 i ; 2 i ; 1 i ; 1 i . www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 35 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  37. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn c) Phương pháp đặt ẩn phụ o Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng giống nhau. o Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện (nếu có). o Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất hoặc bậc 2 theo ẩn mới. o Bước 4: Giải và kết luận nghiệm. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Giải phương trình sau: (z2 z ) 2 4( z 2 z ) 12 0 . Giải: Đặt t z2 z , khi đó phương trình đã cho có dạng: 1 23i z 2 t 6 z2 z 6 0 2 1 23i t 4 t – 12 0 2 z . Vậy p/t đã cho có 4 n . t 2 z z 2 0 2 0 z 1 z 2 Bài toán 2 2 Giải phương trình sau trên tập số phức: z2 3 z 6 2 z z 2 3 z 6 – 3 z 2 0 Giải: Đặt t z2 3 z 6 phương trình đã cho có dang: z 1 5 i + Với t z z2 3 z 6 – z 0 z2 2 z 6 0 z 1 5 i z 3 3 + Với t 3 z z2 3 z 6 3 z 0 z 2 6 z 6 0 z 3 3 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Bài toán 3 Giải phương trình (z2 z )( z 3)( z 2) 10 . Giải: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01PT z( z 2)( z 1)( z 3) 10 (z2 2 z )( z 2 2 z 3) 0 Đặt t z2 2 z . Khi đó phương trình (8) trở thành: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 36 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  38. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn t 2 z 1 i 2 t 3 t 10 0 t 5 z 1 6 Vậy phương trình có các nghiệm: z 1 6 ;z 1 i . Bài toán 4 z 2 Giải phương trình sau trên tập số phức z4 z 3 z 1 0 . 2 Giải: Nhận xét: z 0 không là nghiệm của phương trình (1) vậyz 0. 1 1 1 Chia hai vế PT (1) cho z 2 ta được: (z2 ) ( z ) 0 (2) z 2 z 2 1 1 1 Đặtt z . Khi đó t2 z 2 2 z2 t 2 2 z z 2 z 2 5 Phương trình (2) có dạng: t2 – t (3) 2 5 1 4. 9 9i2 2 1 3i 1 3i PT (3) có 2 nghiệm t , t . 2 2 1 3i 1 1 3i + Với t ta có z 2 z2 (1 3 i ) z 2 0 (4) 2 z 2 Có (1 3i )2 16 8 6 i 9 6 i i 2 (3 i ) 2 (1 3i ) (3 i ) (1 3i ) (3 i ) i 1 PT (4) có 2 nghiệm: z 1 i ,z . 4 4 2 1 3i 1 1 3i + Với t ta có z 2 z2 (1 3 i ) z 2 0 (5) 2 z 2 Có (1 3i )2 16 8 6 i 9 6 i i 2 (3 i ) 2 (1 3i ) (3 i ) (1 3i ) (3 i ) i 1 PT(5) có 2 nghiệm: z 1 i ,z . 4 4 2 i 1 i 1 Vậy PT đã cho có 4 nghiệm:z 1 i ; z 1 i ; z ; z . 2 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 37 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  39. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI Một số lưu ý Để thực hiện các phép toán trên tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX bằng cách bấm w2. o Bấm đơn vị ảo i bằng cách bấm phím b o Bấm q2 và lựa chọn các chức năng: o Chọn 1 để bấm acgumen của z arg z . o Chọn 2 để bấm số phức liên hợp củaz Conjg z . o Chọn 3 để chuyển từ dạng đại số sang dạng lượng giác. o Chọn 4 để chuyển từ dạng lượng giác sang dạng đại số. o Bấm dấu  bằng cách bấm: qz Sau đây là cách giải các bài toán điển hình cho các dạng toán tìm căn bậc hai của một số phức; giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan bằng máy tính casio. 1. BÀI TOÁN TÌM CĂN BẬC HAI CỦA MỘT SỐ PHỨC Cách 1 Xây dựng công thức bấm: Cho số phức z a bi , có dạng lượng giác là z = r(cos +isin ) r 0 . Với a cos 2 2 r a b z . là góc thoả mãn : r . b sin r được gọi là acgument của z , kí hiệu là arg z . Khi đó z có hai căn bậc hai là: r cos isin và - r cos isin . 2 2 2 2 arg z Hay được viết gọn là: r  hay z  2 2 Như vậy để tìm các căn bậc hai của số phức z a bi , ta làm như sau: o Nhập số phức z và lưu vào biến A (cái này đơn giản). o Bấm theo công thức sau: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 sqcQz$$qzaq21Qz)R2= o Ta thu được kết quả của một căn thức của z , suy ra căn bậc hai còn lại. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 38 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  40. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Ví dụ Tìm các căn bậc hai của số phức z 3 4 i . Hướng dẫn: Quy trình bấm : o Nhập số phức z 3 4 i và lưu vào biến A: p3+4bqJz o Bấm theo công thức ở trên : sqcQz$$qzaq21Qz)R2 = o Màn hình cho kết quả: Nên 1 2i và 1 2i là 2 căn bậc hai của số phức z 3 4 i . Cách 2 o Nhập hàm X2 : Q)d o Sử dụng phímr,nhập các giá trị vào, giá trị nào cho ra số phức z thì ta chọn đáp án đó. Ví dụ Tìm các căn bậc hai của số phức z 3 4 i . A.1 2 i ; 1 2 i B.2 2 i ; 1 2 i C.1 2 i ; 1 2 i D. 2 i ; 2 i Hướng dẫn: o Q)d o r Nhập lần lượt các số phức ở các đáp án vào nhé. r1+2b= màn hình sẽ cho kết quả: Nên 1 2i là căn bậc hai của số phức z 3 4 i . Vì một số phức có hai căn bậc 2 đối nhau nên 1 2i cũng là căn bậc hai của số phức z 3 4 i . >>> Chọn C. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 39 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  41. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Cách 3 Tìm các căn bậc hai của số phức z a bi . o w1 o Nhấp Shift + (Pol), ta nhập Pol(a,b). o Dấu phẩy trong (a,b) bấm bằng cách q) o Nhấp Shift - (Rec), ta nhập Rec(X,Y), ta thu được kết quả X= ;Y= o Kết luận các căn bậc 2 cần tìm. Ví dụ Tìm các căn bậc hai của số phức z 12 16 i . Hướng dẫn: o w1 o q+p12q)16)= màn hình hiện kết quả o qpsQ)$q)QnP2)= thu được kết quả: Suy ra các căn bậc hai của số phức z 12 16 i là 2 4i ; 2 4 i . www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 40 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  42. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI a) Phương trình bậc hai với hệ số thực: Bài toán 1 Giải phương trình bậc hai sau: z2 4 z 10 0 . Hướng dẫn: Quy trình bấm: w531=p4=10== Thu được kết quả: Bài toán 2 2 2018 2018 Gọi z1, z 2 là 2 nghiệm của phương trình : z z 1 0 . Tính P z1 z 2 . Hướng dẫn : Quy trình bấm như sau: o Tìm nghiệm z, z 1 2 w531=1=1== Thu được kết quả: o Lưu 2 nghiệm vào X và Y: qJ)RqJn o Màn hình hiển thị là đã lưu biến X thành công, tương tự biến Y. o Tính P . o Sau đó vào w2 và nhập P và thu được kết quả: Sau đây là Bài toán 3 tương tự Bài toán 2 nhưng giải theo dạng lượng giác của số phức. Cách này luôn giải được với số mũ lớn bất kỳ, cách giải theo Bài toán 2 có thể không giải được với số mũ lớn nào đó. Bài toán 3 1 1 Biết z là nghiệm của phương trình z 1 . Tính giá trị biểu thức P z 2009 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01z z 2009 5 7 A.P 1 B.P 0 C.P D.P 2 4 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 41 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  43. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Hướng dẫn: 1 . Quy đồng phương trình z 0 ta được phương trình bậc hai z2 z 1 0 . Tính z nghiệm phương trình này với chức năng MODE 5 3 w531=p1=1== . Ta thu được hai nghiệm z nhưng hai nghiệm này có vai trò như nhau nên chỉ cần lấy một nghiệm z đại diện là được 1 3 Với z i ta chuyển về dạng lượng giác z 1 cos i sin 2 2 3 3 a1R2$+as3R2$bq23= 2009 2009 Vậy z 1 cos2009. i sin2009. cos2009. i sin2009. 3 3 3 3 Tính z 2009 và lưu và biến A Wk2009OaqKR3$) +bj2009 OaqKR3$) =qJz 1 Tổng kết PA 1 A Qz+a1RQz= Đáp số chính xác là A www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 42 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  44. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn b) Phương trình bậc hai với hệ số phức: Bài toán Giải phương trình : z2 8(1 i ) z 63 16 i 0 . Hướng dẫn: o Tính B2 4 AC bằng máy tính , ta được: o Sau đó gán kết quả của vào A. o Dùng công thức tìm căn bậc 2 đã học ở trên, thu được 1 căn bậc 2 của là 2 16i . o Gán kết quả này cho X. o Nên 2 nghiệm của phương trình là : www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 43 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  45. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. ĐỀ BÀI Câu 1. Trong , phương trình z 4 1 0 có nghiệm là: A. 1; 2i B. 2; 2i C. 3; 4i D. 1; i Câu 2. Trong , căn bậc hai của 121 là: A. 11i B. 11i C. 11 D. 11i và 11i Câu 3. Phương trình 8z2 4 z 1 0 có nghiệm là: 1 1 5 1 1 1 1 3 A z i; z i B. z i; z i 14 4 2 4 4 14 4 2 4 4 1 1 1 1 2 1 1 1 C. z i; z i D. z i; z i 14 4 2 4 4 14 4 2 4 4 2 2 2 Câu 4. Biết z1; z 2 là hai nghiệm của phương trình 2z 3 z 3 0 . Khi đó giá trị của z1 z 2 là: 9 9 A. B. 9 C. 4 D. 4 4 Câu 5. Phương trình z2 az b 0 có một nghiệm phức là z 1 2 i . Tổng 2 số a và b bằng: A. 0 B. 3 C. 3 D. 4 2 Câu 6. Gọi z1; z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4 z 5 0. Khi đó phần thực của 2 2 z1 z 2 là: A. 5 B. 6 C. 4 D. 7 2 2 2 Câu 7. Gọi z1; z 2 là hai nghiệm phức của phương trìnhz 2 z 4 0 . Khi đó A | z1 | | z 2 | có giá trị là A. 7 B. – 8 C. 4 D. 8 Câu 8. Phương trình z 3 8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm? A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 2 2 2 Câu 9. Biết z1, z 2 là hai nghiệm của phương trình 2z 3 z 3 0 . Khi đó giá trị của z1 z 2 là: 9 9 A. 4 B. C. 9 D. 4 4 Câu 10. Phương trình sau có mấy nghiệm thực: z2 2 z 2 0 A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số nghiệm. Câu 11. Tìm các căn bậc hai của 9 . A. 3i B. 3 C. 3i D. 3 Câu 12. Trong , phương trình z 4 4 0 có nghiệm là: A. 1 4i ; 1 4 i B. 1 2i ; 1 2i www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 C. 1 3i ; 1 3 i D. ± 1 i ; 1 i Câu 13. Giải phương trình z2 2 z 7 0 trên tập số phức ta được nghiệm là: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 44 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  46. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn A. z 1 2 2 i B. z 1 6 i C. z 1 2 i D. z 1 7 i Câu 14. Căn bậc hai của số phức 4 6 5i là: A. 3 5i B. 3 5i C. 3 5i D. 2 Câu 15. Gọi z là căn bậc hai có phần ảo âm của 33 56i . Phần thực của z là: A. 6 B. 7 C. 4 D. –4 Câu 16. Tập nghiệm trong của phương trình z3 z 2 z 1 0 là: A. i;i;1; 1 B. i; i ;1 C. i; 1 D. i; i ; 1 Câu 17. Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm 4 3i ;  2 i là: A. z2 2 4 i z 11 2 i 0 B. z2 2 4 i z 11 2 i 0 C. z2 2 4 i z 11 2 i 0 D. z2 2 4 i z 11 2 i 0 Câu 18. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện z2 | z | 2 z ? A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 Câu 19. Phương trình 2 i z2 az b 0 a , b có hai nghiệm là 3 i và 1 2i . Khi đó a ? A. 9 2i B. 15 5i C. 9 2i D. 15 5i 6 Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn z2 6 z 13 0. Tính z z i A. 17 và 4 B. 17 và 5 C. 17 và 3 D. 17 và 2 2 Câu 21. Gọi z1, z 2 là các nghiệm phức của phương trình z 1 3 i z 2 1 i 0 . Khi đó 2 2 w z1 z 2 3 z 1 z 2 là số phức có môđun là: A. 2 B. 13 C. 2 13 D. 20 Câu 22. Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: 4z 2 8 | z | 2 3 0 là: A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 Câu 23. Tìm số phức z để z z z 2 . A z 0; z 1 i B. z 0; z 1 i C. z 0; z 1 i ; z 1 i D. z 1 i ; z 1 i Câu 24. Với mọi số ảo z, số z 2 | z | 2 là: A. Số thực âm B. Số 0 C. Số thực dương D. Số ảo khác 0 Câu 25. Trong trường số phức phương trình z 3 1 0 có mấy nghiệm? A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Câu 26. Giá trị của các số thực b, c để phương trình z2 bz c 0 nhận số phức z 1 i làm một nghiệm là: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 b 2 b 2 b 2 b 2 A. B. C. D. c 2 c 2 c 2 c 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 45 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  47. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2 Câu 27. Trên tập hợp số phức, phương trình z 7 z 15 0 có hai nghiệm z1, z 2 . Giá trị biểu thức z1 z 2 z 1 z 2 là: A. –7 B. 8 C. 15 D. 22 Câu 28. Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z x yi thỏa mãn z3 18 26 i x 3 x 3 x 3 x 3 A. B. C. D. y 1 y 1 y 1 y 1 4 Câu 29. Trên tập số phức, cho phương trình sau: z i 4 z 2 0. Có bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau? 1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực . 2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức . 3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thực. 4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức. 5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức. 6. Phương trình có hai nghiệm là số thực A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Câu 30. Phương trình z6 9 z 3 8 0 có bao nhiêu nghiệm trên tập số phức? A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 2 Câu 31. Giả sử z1, z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 z 5 0 và A, B là các điểm biểu diễn của z1, z 2 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: A. I 1;1 B. I 1;0 C. I 0;1 D. I 1;0 Câu 32. Cho phương trình z2 mz 6 i 0 . Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m có dạng m a bi a, b . Giá trị a 2 b là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 4 z 1 z,,, z z z Câu 33. Gọi 1 2 2 4 là các nghiệm phức của phương trình 1. Giá trị của 2z i 2 2 2 2 P z1 1 z 2 1 z 3 1 z 4 1 là: 17 17 9 17i A. B. C. D. 8 9 17 9 Câu 34. Trong tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z2 mz i 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i là: A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i Câu 35. Cho phương trình z2 mz 2 m 1 0 trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để 2 2 phương trình có hai nghiệm z1, z 2 thỏa mãn z1 z 2 10 là: A. m 2 2 2 i B. m 2 2 2 i www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 C. m 2 2 2 i D. m 2 2 2 i Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 46 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  48. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2 Câu 36. Gọi z1, z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 z 8 0, trong đó z1 có phần ảo dương. Giá trị của số phức w 2 z1 z 2 z 1 là: A. 12 6i B. 10 C. 8 D. 12 6i Câu 37. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình z 4 1 0 trên tập số phức là bao nhiêu? A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 2 Câu 38. Gọi z1, z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 z 6 0 . Trong đó z1 có phần ảo âm. Giá trị biểu thức M | z1 | | 3 z 1 z 2 | là: A. 6 2 21 B. 6 2 21 C. 6 4 21 D. 6 4 21 Câu 39. Phương trình x4 2 x 2 24 x 72 0 trên tập số phức có các nghiệm là: A. 2 i 2 hoặc 2 2i 2 B. 2 i 2 hoặc 1 2i 2 C. 1 2i 2 hoặc 2 2i 2 D. 1 2i 2 hoặc 2 2i 2 2 4 4 Câu 40. Gọi z1, z 2 là các nghiệm phức của phương trình z 3 z 7 0 . Khi đó A z1 z 2 có giá trị là: A. 23 B. 23 C. 13 D. 13 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 47 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  49. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1.D 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D 8.A 9.D 10.A 11.A 12.D 13.B 14.C 15.B 16.D 17.B 18.A 19.A 20.B 21.D 22.C 23.C 24.B 25.B 26.C 27.B 28.C 29.D 30.D 31.D 32.D 33.B 34.A 35.A 36.C 37.D 38.B 39.A 40.A z 1 z 1 4 2 Câu 1. z 1 0 z 1 z 1 z 1 0 z 1 z 1 . Chọn D. z 2 1 0 z i Câu 2. 2 Ta có: z 121 z 11 i . Do đó z có hai căn bậc hai là z 11 i ; z 11 i . Chọn D. 2 2i 1 i Câu 3. 'b '2 ac 4 8 4 0 z . Chọn C. 1,2 8 4 4 b 3 S z z 1 2 3 9 Câu 4. Theo Viet, ta có: a 2 z2 z 2 S 2 2 P 3 . Chọn D. c 3 1 2 4 4 P z. z 1 2 a 2 Câu 5. Vì z 1 2 i là một nghiệm của phương trình z2 az b 0 nên ta có: 2 1 2ia 1 2 ib 0 abai 2 3 4 iab 3 . Chọn C. b S z z 4 1 2 Câu 6.Theo Viet, ta có: a c P z. z 5 1 2 a 2 2 2 z1 z 2 S 2 P 16 2.5 6 . Chọn B. 2 2 2 2 Câu 7.z 240 z z 130 z 13 i A ||||8 z1 z 2 . Chọn D. Câu 8. 2 z 2 z3 8 z 2 z 2 2 z 4 0 z 2 z 1 3 0 z 1 3 i Do đó phương trình chỉ có một nghiệm phức có phần ảo âm. Chọn A. b 3 S z z 1 2 Câu 9. Áp dụng định lý Viet, ta có: a 2 c 3 P z z 1 2 a 2 3 9 z2 z 2 S 2 2 P 3 . Chọn D. 1 2 4 4 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01Câu 10. ' b'2 ac 1 2 1 0 nên phương trình vô nghiệm trên tập số thực. Chọn A. Câu 11. Ta có 9 9.i2 nên 9 có các căn bậc hai là 3i và 3i . Chọn A. Câu 12. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 48 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  50. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn z2 2 i z 1 i 4 z 4 0 2 Chọn D. z 2 i z 1 i 2 Câu 13. z2 2 z 7 0 z 1 6 0 z 1 6 i . Chọn B. Câu 14. Giả sử w là một căn bậc hai của 4 6 5i . Ta có: 2 w2 4 6 5 i w 2 3 5 i w 3 5 i . Chọn C. 2 Câu 15. Ta có: 33 56i 7 4 i z 7 4 i . Do đó phần thực của z là 7. Chọn B. z 1 Câu 16. z3 z 2 z 1 0 z 1 z 2 1 0 . Chọn D z i S  2 4 i Câu 17. Áp dụng định lý Viet, ta có: . P .  11 2 i Do đó ,  là hai nghiệm của phương trình: z2 Sz P 0 z 2 2 4 i z 11 2 i 0 . Chọn B. Câu 18. Gọi z a bi a, b là số phức thỏa mãn điều kiện trên. Ta có: 2 z2 | z | 2 z a bi a 2 b 2 a bi a 2 b 2 bi 2 abi 0 a 2 b 2 b 2 ab i 0 2 a b 0 a 2 b 0 2 1 a 2 b 0 b 0 a b 2 ab 0 2 1 1 a 2 b 2 Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 19. Theo Viet, ta có: a S z z 4 i a i 4 i 2 a 9 2 i . Chọn A. 1 2 2 i Câu 20. 2 z2 6 z 13 0 z 3 4 0 z 3 2 i +) Nếu z 3 2 i : 6 6 9 15i 18 72 i z 3 2 i 1 4 i z i3 3 i 3 3 i 18 6 z 1 4 i 17 z i +) Nếu z 3 2 i : 6 6 13 9i 30 40 i 6 z 3 2 i 3 4 i z 3 4 i 5 Chọn B. z i3 i 3 i 10 z i b www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 S z z 1 3 i 1 2 Câu 21. Theo Viet, ta có: a c P z. z 2 1 i 1 2 a Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 49 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  51. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2 2 2 2 wzzzzSP 1 23 1 2 5 1 3 i 10 1 i 2 4 iw | | 4 16 20 . Chọn D Câu 22. Gọi z a bi a, b là nghiệm của phương trình. Ta có: 2 4a bi 8 a2 b 2 3 0 4 a 2 b 2 2 abi 8 a 2 b 2 3 0 12a2 4 b 2 8 abi 3 0 a 0 2 2a b 1 2 2 2 2 2 2 b 1 12a 4 b 3 4 a b 1 4a 4 ab b 1 a 0 1 ab 0 ab 0 ab 0 a b 0 4 b 0 Vậy phương trình có 4 nghiệm phức. Chọn C. Câu 23. Gọi z a bi a, b là số phức thỏa mãn đẳng thức trên. Ta có: a 1 a2 b 2 0 2 2 z 0 2 b 1 2 a b 0 zz z abiabi abi a 1 z 1 i . 2ab 2 b a 0 b 0 z 1 i b 0 Chọn C. Câu 24. Do z là số ảo nên z có dạng: z bi b . 2 Ta có: z2 | z | 2 bi b 2 b 2 b 2 0 . Chọn B. z 1 z3 1 0 z 1 z 2 z 1 0 Câu 25. 1 3i z 2 Vậy phương trình có ba nghiệm trong trường số phức. Chọn B. Câu 26. Do z 1 i là một nghiệm của z2 bz c 0 nên ta có: 2 b c 0 b 2 1 i b 1 i c 0 b c bi 2 i 0 . Chọn C. b 2 c 2 b S z z 7 1 2 Câu 27. Theo Viet, ta có: a c P z z 15 1 2 a z1 z 2 z 1 z 2 S P 7 15 8 Chọn B. Câu 28. 3 z3 18 26 i x yi 18 26 i x 3 3 x 2 yi 3 xy 2 y 3 i 18 26 i (x3 3 xy 2 ) 3 x 2 y y 3 i 18 26 i 3 2 2 2 x 3 xy 18 x x 3 y 18 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 3x2 y y 3 26 y3 x2 y 2 26 Do x, y nguyên nên Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 50 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  52. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn x 3 x 3 x2 3 y 2 6 y 1 2 2 x x 3 y 18 x 6 x 6 loai 2 2 x 3 y 3 y 11 Mà y 3 x2 y 2 26 x 3; y 1 . Chọn C. Câu 29. 4 4 z i 4 z2 0 z i 4 z 2 2 2 z 1 z 1 z i 2 iz z 1 0 2 2 2 z i 2 iz z 4 iz 1 0 z 2 i 3 0 z 2 3 i Do đó phương trình có 2 nghiệm thực và 4 nghiệm phức. Vậy nhận xét 4, 6 đúng. Chọn D. Câu 30. Ta có: z 1 z 2 6 3 2 2 z 9 z 8 0 z 1 z 2 z z 1 z 2 z 4 0 Chọn D. z 3 1 1 i 3 2 Câu 31. z2 2 z 5 0 z 1 4 0 z 1 2 i AB 1;2 ; 1; 2 Do đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là I 1;0 . Chọn D. Câu 32. Gọi z1, z 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho b S z z m 1 2 Theo Viet, ta có: a c P z. z 6 i 1 2 a Theo bài cho, tổng bình phương hai nghiệm bằng 5. Ta có: 2 z2 z 2 S 22 P m 2 12 i 5 m 2 5 12 i m 2 3 2 i 1 2 m 3 2 i a 3; b 2 a 2 b 3 4 1 . Chọn D. z 1 i z 1 1 i 4 1 z i z 1 2z i 3 Câu 33. Với mọi z , ta có: 1 2 2z i z 1 2 4 i i z 2z i 5 z 0 2 2 2 1 i 2 4 i 2 2 2 2 P z11 z 2 1 z 3 1 z 4 1 1 i 1 1 1 . 9 25 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 9 2i 13 16 i 425 17 1 2i . Chọn B. 9 25 9.25 9 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 51 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  53. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Câu 34. Gọi z1, z 2 là hai nghiệm của phương trình. b S z z m 1 2 2 2 2 2 Theo Viet, ta có: a z z S 2 P m 2 i c 1 2 P z. z i 1 2 a 2 Ta có: m2 2 i 4 i m 2 2 i m 2 1 i m 1 i Chọn A. b S z z m 1 2 Câu 35. Theo Viet, ta có: a c P z. z 2 m 1 1 2 a 2 2 2 2 2 z1 z 2 10 S 2 P 10 m 2 2 m 1 10 m 4 m 12 0 2 Chọn A. m 2 8 0 m 2 2 2 i 2 z 1 7 i 2 1 Câu 36. z 2 z 8 0 z 1 7 0 z 1 7 i z 1 7 i 2 w 2 z z z 2171717 i i i 1717 i i 1 2 1 . Chọn C. 1 7 8 z 1 Câu 37. z 4 1 0 . z i Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 1 1 0 . Chọn D. Câu 38. 2 z2 2 z 6 0 z 1 5 0 z 1 5 i z1 1 5 i ; z 2 1 5 i Chọn B. M| z1 | | 3 z 1 z 2 | 1 5 i 2 4 5 i 6 84 6 2 21 Câu 39. x4 2 x 2 24 x 72 0 x 2 4 x 6 x 2 4 x 12 0 2 2 x 4 x 6 0 x 2 2 0 x 2 2 i Chọn A. 2 2 x 4 x 12 0 x 2 8 0 x 2 2 2 i b S z z 3 1 2 Câu 40. Theo Viet, ta có: a c P z. z 7 1 2 a 2 2 4 4 2 2 A z1 z 2 S 2 P 2 P 3 2.7 2.49 23 . Chọn A. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 52 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  54. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn C. TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC I. LÝ THUYẾT Lý thuyết về tập hợp điểm của số phức Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó. Khi đó ta giải bài toán này như sau: 1. Phương pháp tổng quát: Đặt z x yi () x , y . Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M x; y . Biến đổi điều kiện của bài toán thành để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M. 2. Giả sử các điểm M, A, B lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, a, b o |z a | | z b | MA MB M thuộc đường trung trực của đoạn AB o |za | | zbkk | ( , k 0, kab | |) MAMBk ME () nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k. 3. Giả sử M và M’ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z và w = f(z) Đặt z = x + yi và w = u + vi (,,,)x y u v . Hệ thức w = f(z) tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x, y, u, v o Nếu biết một hệ thức giữa x, y ta tìm được một hệ thức giữa u, v và suy ra được tập hợp các điểm M’ o Nếu biết một hệ thức giữa u, v ta tìm được một hệ thức giữa x, y và suy ra được tập hợp điểm M’. Nh ắc lại kiến thức về hình học giải tích Oxy 1. Các dạng phương trình đường thẳng - Dạng tổng quát: ax by c 0 . - Dạng đại số: y ax b . x x at x x y y 0 0 0 - Dạng tham số: - Dạng chính tắc: . y y bt a b 0 x y - Phương trình đoạn chắn 1. a b - Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm M0 x 0; y 0 biết hệ số góc k: y k() x x0 y 0 2. Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R: ()()x a2 y b 2 R 2 x2 y 2 2 ax 2 by c 0 với c a2 b 2 R 2 Lưu ý điều kiện để phương trình: x2 y 2 2 ax 2 by c 0 là phương trình đường tròn: a2 b 2 c 0 có tâm I a, b và bán kínhR a2 b 2 c . x2 y 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc013. Phương trình (Elip): 1 a2 b 2 2 2 2 Với hai tiêu cự F1( c ;0), F 2 ( c ;0), F 1 F 2 2 c . Trục lớn 2a, trục bé 2b và a b c . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 53 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  55. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1 Giả sử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z . Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây: a) z 1 i =2 b) z 1 3 i 4 c) 2 z 1 i Giải: Đặt z x yi ( x, y ) được biểu diễn bởi điểm M x; y a) Xét hệ thức: z 1 i 2 . x– 1 y 1 i 2 2 2 x 1 y 1 2. 2 2 x 1 y 1 4. Tập hợp các điểm M z trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn có tâm tại I 1; 1 và bán kínhR 2 . b) Xét hệ thức : z 1 3 i 4 x 1 y 3 i 4 2 2 x 1 y 1 4 2 2 x 1 y 1 16. Vậy tập hợp các điểm M trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z là hình tròn có tâm là 1;1 ; bán kính r 4 . Nhận xét: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z 1 3 i 4 là tập hình các điểm nằm trên và nằm ngoài đường tròn có tâm là 1;1 ; bán kính r 4 . c) Xét hệ thức: 2 z z i x 2 yi x y 1 i 2 2 x 2 y2 x 2 y 1 4x 2 y 3 0. Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 4x 2 y 3 0. Nhận xét: Đường thẳng 4x 2 y 3 0 chính là đường trung trực của đoạn AB. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 54 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  56. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 2 Trong mặt phẳng Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z i 1 i z . Giải: Đặt z x yi ( x , y) . Ta có: zi 1 iz xy 1 i xyxyi 2 2 2 x2 y 1 x y x y 2 x2 y 2 2 xy 1 0 x 2 y 1 2 Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình 2 x2 y 1 2 . Bài toán 3 Cho các số phức z1, z 2 , z 3 có biểu diễn trên mặt phẳng phức là ba đỉnh của tam giác đều có 2 2 phương trình đường tròn ngoại tiếp là x 2017 y 2018 1. Tổng phần thực và phần ảo của số phức w z1 z 2 z 3 bằng? Giải: Đường tròn đã cho có tâm I biểu diễn số phức z 2017 2018 i . Gọi ABC, , lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1, z 2 , z 3 .      Ta có OA OB OC 3 OG 3 OI (do tam giác ABC đều nên GI ). Suy ra z1 z 2 z 3 3 2017 2018 i 6051 6054 i . Nên tổng phần thực và phần ảo của số phức w bằng 3. Bài toán 4 z 2 3 i Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho u là một số thuần ảo. z i Giải : Đặt z x yi ( x, y) , khi đó: x 2 y 3 i x 2 y 3 i x y 1 i u 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01x y 1 i x2 y 1 x2 y 2 2 x 2 y 3 2 2 x y 1 i 2 x2 y 1 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 55 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  57. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn x2 y 2 2 x 2 y 3 0 2 2 x 1 y 1 5 u là số thuần ảo 2 x2 y 1 0 x; y 0;1 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I( 1; 1) , bán kính 5 trừ điểm (0;1) . Bài toán 5 Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) 2z i z z 2 i b) z 1 z 1 4 Giải: Đặt: z x yi(,) x y R z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M x; y . x 2 a) 2zizzi 2 2 xyi ( 1) (1 yiy ) 4 x 2 Vậy tập hợp điểm M là đường parabol (P) có phương trình y . 4 2 2 b) z 1 z 1 4 x 1 y2 x 1 y 2 4 (*). Đặt FF1( 1;0) ; 2 (1;0) (*) MF1 MF 2 4 và FF1 2 2 . Suy ra tập hợp M là elíp (E) có 2 tiêu điểm là FF1, 2 . x2 y 2 Gọi (E) có phương trình 1 (0 b a ; b2 a 2 c 2 ) a2 b 2 MF MF 2 a a 2 1 2 2 2 2 Ta có b a c 3 F F 2 c c 1 1 2 x2 y 2 Vậy (E) có phương trình 1. 4 3 Bài toán 6 2 Trong tập số phức , gọi z1 và z2 các nghiệm của phương trình z 2 z 10 0. Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z2 và số phức k x iy trên mặt phẳng phức. Để tam giác MNP đều thì số phức k là? Giải: 2 Ta có z 2 z 10 0 z1,2 1 3 i . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z2 và số phức k x iy trên mặt phẳng phức. Khi đó M 1;3 , N 1; 3 , P x; y 2 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 MN MP MN MP Để MNP đều (1) MN NP MN2 NP 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 56 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  58. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn    Ta có MN 0; 6 , MP x 1; y 3 , NP x 1; y 3 (2) 2 2 x 1 y 3 36 x 1 27 Từ (1) và (2) 2 2 k 1 27 . x 1 y 3 36 y 0 Bài toán 7 Trong mặt phẳng phức, cho m và M theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z x yi z 1 và Z . Tìm tập hợp các điểm m sao cho: Z là một số thực. z 2 i Giải: z 1 x yi 1 x 1 yi x 1 yi x y 2 i Ta có: Z z 2 i x yi 2 i x y 2 i x y 2 i x y 2 i x x 1 y y 2 y 2 x 2 i Z 2 x2 y 2 Z là một số thực khi và chỉ khi y 2 x 2 0 . Tập hợp các điểm m biểu diễn số phức z x yi là đường thẳng y 2 x 2 0 y 2 x 2 Bài toán 8 Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z i z i 4 là? Giải: 2 2 Ta có z i z i4 x2 y 1 x 2 y 1 4 2 2 2 2 x y 1 4 x2 y 1 4 x 2 y 1 2 2 2 x2 y 1 16 x 2 y 1 8 x 2 y 1 2 2 2 2 2 2 x y 1 16 x y 1 16 1 x y 1 16 y 4 y 4 2 . 2 2 2x y 1 y 4 2 2 2 2 4x 3 y 12 x y 1 3 3 4 Tập hợp các điểm thỏa mãn 3 đều thỏa mãn 1 và 2 . x2 y 2 Vậy tập hợp những điểm M là elip E : 1. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc013 4 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 57 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  59. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 9 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Cho số phức z thỏa mãn z 4 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w 3 4 i z i là đường tròn I , bán kính R . Khi đó. A. IR 0;1 , 2 5. B. IR 1;0 , 20 C. IR 0;1 , 20. D. IR 1; 2 , 22. Giải: Đặt w a bi với a;; b c . a b 1 i a b 1 i 3 4 i w 3 4 i z i z 3 4i 25 2 2 3a 4 b 4 3b 4 a 3 3a 4 b 4 3 b 4 a 3 z i z 25 25 25 Mà 2 2 3a 4 b 4 3 b 4 a 3 2 2 z 4 4 3 a 4 b 4 3 b 4 a 3 1002 25 a2 b 2 2 b 399 2 a2 b 1 20 2 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn IR 0;1 , 20 . Bài toán 10 z 3 6 i 5 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: ? 1 2i z 1 12 i 15 Giải: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , do M thỏa mãn phương trình z 3 6 i 5 nên thuộc đường tròn tâm A 3;6 , bán kính R 5 . 1 12i 15 Ta có: 1 2i z 1 12 i 15 z z 5 2 i 3 5 1 2i 1 2i M thuộc đường tròn tâm B 5;2 , bán kính R 3 5 . 2 2 Nhận thấy AB 5 3 2 6 2 5 R ' R . www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01Vậy 2 đường tròn tiếp xúc trong tại M, hay chỉ có một số phức z thỏa mãn bài toán. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 58 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  60. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 11 Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w 1 3 i z 2 là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. Giải: Cách 1: w 2 w 3 3 i Ta có: w 1 3 i z 2 z z 1 1 3i 1 3 i w 3 3 i w 3 3 i w 3 3 i Suy ra z 1 2 w 3 3 i 4 1 3i 1 3i 2 Như vậy bán kính của đường tròn là 4. Cách 2: Ta có: w 132 izw 13133 iz iw 33131 i iz . Lấy môđun hai vế ta được: w 3 3 i 1 3 i . z 1 2.2 4 . Bài toán 12 Cho các số phức z thỏa mãn z 1 3. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w với 3 2i w iz 2 là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của đường tròn đó. Giải: i 2 2 3 6 4 Ta có 3 2i w iz 2 w z w i z i 3 2i 3 2 i 13 13 13 13 2 3 4 7 4 7 2 3 w i z 1 i w i i z 1 . 13 13 13 13 13 13 13 13 4 7 2 3 3 Lấy môđun, hai vế ta được w i i. z 1 . 13 13 13 13 13  3 1 13 4 7 3 Vậy tập hợp các số phức w thuộc đường tròn tâm I ; , bán kính r . www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 13 13 13 Nhận xét: Bài này có rất nhiều cách giải tự luận nhưng cách này là tối ưu nhất. Quý thầy cô nên nghiên cứu kỹ phương pháp giải này để truyền đạt cho học sinh. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 59 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  61. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 13 Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn z1 3 , z2 2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần   lượt là các điểm MN, . Biết góc tạo bởi giữa hai vectơ OM và ON bằng 300 . Tính giá trị của z z biểu thức A 1 2 . z1 z 2 Giải: Cách 1: z1 z 2 OP Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức, khi đó . z z MN 1 2 2 2 y z z z z 2 z z cos 300 13 P 1 2 1 2 1 2 Ta có N 2 2 z z z z 2 z z cos1500 1 1 2 1 2 1 2 z z z1 z 2 1 2 13 . M x z z z z 1 2 1 2 O Nhận xét: Thầy cô nên giải thích rõ cho học sinh hiểu tại tại lại là góc 300 và góc 1500 . Cách 2:  z a b i M a;; b OM a b 1 1 1 1 1 1 1 Giả sử  . z a b i N a, b 2 2 2 2 2 ON a; b 2 2 2 2 a1 b 1 3 Theo giả thiết, ta có và a2 b 2 4 2 2   a a b b cosOM , ON cos 300 1 2 1 2 a a b b 3. 2 2 2 2 1 2 1 2 a1 b 1 a 2 b 2 2 2 z z a1 a 2 b 1 b 2 i a1 a 2 b 1 b 2 Ta có A 1 2 z z 2 2 1 2 a1 a 2 b 1 b 2 i a1 a 2 b 1 b 2 a2 b 2 a 2 b 2 2 a a b b 1 1 2 2 1 2 1 2 3 4 2.3 13. 2 2 2 2 3 4 2.3 a1 b 1 a 2 b 2 2 a 1 a 2 b 1 b 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 60 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  62. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN- PLUS Đây là một trong những bài toán điển hình nhất dùng máy tính CASIO để giải bài toán tìm tập hợp điểm của số phức. Các bài toán khác ta làm tương tự. Bài toán 1 Trên mặt phẳng Oxy tìm tập hợp biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện |zi– 2 i | 2 2 2 A. x 2 y 1 0 B. x 1 y – 2 9 2 2 C. x 1 y 2 4 D. 3x 4 y 2 0 Hướng dẫn: Ta giả sử: z A Bi . Nên điều kiện của bài toán được viết lại là: A Bi i – 2 i 2 0. o w2 và nhập điều kiện vào: Thử đáp án A. x 2 y 1 0 x 1 2 y . Cho y 1 ta được x 1 . Nhập rp1=1=thu được kết quả khác 0. >>> Loại đáp án A. 2 2 Thử đáp án B. x 1 y – 2 9 . Cho x 1 ta được y 5 hoặcy 1 . rp1=5= ra kết quả khác 0. >>> Loại đáp án B 2 2 Thử đáp án C. x 1 y 2 4 . Cho x 1 ta được y 0 và y 4 . r1=0= và r1=p4= đều được kết quả bằng 0. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01Vậy đáp án đúng là C. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 61 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  63. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 2 [Đề minh họa của bộ GD-ĐT lần 1-2017] Cho các số phức z thỏa mãn z 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w 3 4 i z i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A.r 4 B.r 5 C.r 20 D.r 22 Hướng dẫn: Để xây dựng 1 đường tròn ta cần 3 điểm biểu diễn của w , vì z sẽ sinh ra w nên đầu tiên ta sẽ chọn 3 giá trị đại diện của z thỏa mãn z 4 Chọn z 4 0 i (thỏa mãn z 4 ). Tính w1 3 4 i 4 0 i i (3+4b)O4+b= Ta có điểm biểu diễn của z1 là M 12;17 Chọn z 4 i (thỏa mãn z 4 ). Tính w2 3 4 i 4 i i (3+4b)O4b+b= Ta có điểm biểu diễn của z2 là N 16;13 Chọn z 4 i (thỏa mãn z 4 ). Tính w3 3 4 i 4 i i (3+4b)(p4b)+b= Ta có điểm biểu diễn của z3 là P 16; 11 Vậy ta có 3 điểm MNP,, thuộc đường tròn biểu diễn số phức w Đường tròn này sẽ có dạng tổng quát x2 y 2 ax by c 0 . Để tìm a,, b c ta sử dụng máy tính Casio với chức năng MODE 5 3 w5212=17=1=p12dp17d=p16= 13=1=p16dp13d=16=p11=1= p16dp11d== www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Vậy phương trình đường tròn biễu diễn số phức w là: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 62 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  64. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2 x2 y 2 2 y 399 0 x 2 y 1 20 2 . Bán kính đường tròn tập hợp điểm biểu diễn số phức w là 20 Đáp án chính xác là C. Bài toán 3 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2z 1 z z 2 i là một Parabol có dạng: x 2 x 2 1 A. y 3 x2 6 x 2 B.y x C.y 4 D.y x2 2 x 2 3 3 Hướng dẫn: . Đặt số phức z x yi . . Nếu đáp số A đúng thì đúng với mọi z x yi thỏa mãn y 3 x2 6 x 2 . Chọn một cặp x; y bất kì thỏa y 3 x2 6 x 2 ví dụ A 0;2 z 2 i Xét hiệu 2z 1 z z 2 i 2qc2bp1$pqc2bp(p2b)+2b= Vậy 2z 1 z z 2 i 6 2 5 0 2z 1 z z 2 i Đáp số A sai 1 . Tương tự với đáp số B chọn z 1 i . Xét hiệu2z 1 z z 2 i 2 2qc1pabR2$p1$pqc1pab R2$p(1+abR2$)+2b= Vậy 2z 1 z z 2 i 0 2z 1 z z 2 i Đáp số B chính xác. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 63 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  65. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. ĐỀ BÀI Câu 1. Cho số phức z 6 7 i . Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là: A. 6; 7 . B. 6; 7 . C. 6; 7 . D. 6; 7 . 2 Câu 2. Điểm biểu diễn của số phức z là 1 3i 1 3 A. 1; 3 . B. ; . C. 3; 2 . D. 4; 1 . 5 5 3 4i Câu 3. Số phức z có điểm biểu diễn là: 2 3 A. ; 2 . B. 3; 4 . C. 3; 4 . D. 3; 4 . 2 Câu 4. Cho số phức z 3 i 2 có điểm biểu diễn hình học là: A. 2; 3 . B. 3;2 . C. 2;3 . D. 2; 3 . i2016 Câu 5. Biểu diễn về dạng z a bi của số phức z là số phức nào? (1 2i )2 3 4 3 4 3 4 3 4 A. i . B. i . C. i . D. i . 25 25 25 25 25 25 25 25 3 4i Câu 6. Điểm M biểu diễn số phức z có tọa độ là i2019 A. M(4; 3 ) B. M 3; 4 C. M 3;4 D. M 4;3 (2 3i )(4 i ) Câu 7. Điểm biểu diễn số phức z có tọa độ là 3 2i A. 1; 4 . B. 1; 4 . C. 1;4 . D. 1;4 . Câu 8. Điểm biểu diễn hình học của số phức z a ai nằm trên đường thẳng: A. y x B. y 2 x C. y x D. y 2 x Câu 9. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức 5 8i và B là điểm biểu diễn của số phức 5 8i . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành. B. Hai điểmA và B đối xứng với nhau qua trục tung. C. Hai điểmA và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O. D. Hai điểmA và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y x. Câu 10. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z 2 5 i và B là điểm biểu diễn của số phức z 2 5 i . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y x Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 64 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  66. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Câu 11. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z 3 2 i và B là điểm biểu diễn của số phức z 2 3 i Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành. B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung. C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O . D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y x . Câu 12. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho số phức z x yi x, y các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua A. trục Ox . B. trục Oy . C. gốc tọa độ O . D. đường thẳng y x . Câu 13. Điểm biểu diễn của các số phức z 7 bi với b , nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. x 7 . B. y 7 . C. y x . D. y x 7 . Câu 14. Điểm biểu diễn của các số phức z n ni với n , nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. y 2 x . B. y 2 x . C. y x . D. y x . Câu 15. Cho số phức z a a2 i với a . Khi đó điểm biểu diễn của số phức liên hợp của z nằm trên: A. Đường thẳngy 2 x . B. Đường thẳng y x 1 . C. Parabol y x 2 . D. Parabol y x 2 . Câu 16. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i 1 là: A. Một đường thẳng. B. Một đường tròn. C. Một đoạn thẳng. D. Một hình vuông. Câu 17. Trong mặt phẳng phức, gọi ABC,, lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 1 3 i , z2 1 5 i , z3 4 i . Số phức với điểm biểu diễn D sao cho tứ giác ABCD là một hình bình hành là: A. 2 3i . B. 2 i C. 2 3i D. 3 5i 2 Câu 18. Gọi z1 và z2 là các nghiệm phức của phương trình z 4 z 9 0. Gọi MN, là các điểm biểu diễn của z1 và z2 trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của MN là: A. MN 4 B. MN 5. C. MN 2 5. D. MN 2 5. 2 Câu 19. Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình z 4 z 9 0. Gọi MNP,, lần lượt là các điểm biểu diễn của z1, z 2 và số phức k x yi trên mặt phẳng phức. Khi đó tập hợp điểm P trên mặt phẳng phức để tam giác MNP vuông tại P là: A. đường thẳng có phương trình y x 5. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 B. là đường tròn có phương trình x2 2 x y 2 8 0. C. là đường tròn có phương trình x2 2 x y 2 8 0, nhưng không chứa MN,. D. là đường tròn có phương trình x2 4 x y 2 1 0 nhưng không chứa MN,. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 65 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  67. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Câu 20. Giả sử AB, theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z1, z 2 . Khi đó độ dài của véctơ  AB bằng: A. z1 z 2 . B. z1 z 2 . C. z2 z 1 . D. z2 z 1 . Câu 21. Biết z i 1 i z , tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phương trinh 2 2 2 2 A. x y 2 y 1 0 . B. x y 2 y 1 0. 2 2 2 2 C. x y 2 y 1 0. D. x y 2 y 1 0 . Câu 22. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z , biết 3zi 4 2 là A. điểm. B. đường thẳng. C. đường tròn. D. elip. Câu 23. Trong mặt phẳng phức cho ABC vuông tại C . Biết rằng A , B lần lượt biểu diễn các số phức z1 2 2 i , z2 2 4 i . Khi đó, C biểu diễn số phức: A. z 2 4 i . B. z 2 2 i . C. z 2 4 i . D. z 2 2 i . Câu 24. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện số phức zi 2 i 2 là: 2 2 A. 3x 4 y 2 0 . B. x 1 y 2 9 . 2 2 C. x 1 y 2 4 . D. x 2 y 1 0 . Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độOxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 1 1 i z là: A. Đường tròn có tâm I(0; 1), bán kính r 2 B. Đường tròn có tâm I(0;1) , bán kính r 2 C. Đường tròn có tâm I(1;0) , bán kính r 2 D. Đường tròn có tâm I( 1;0), bán kính r 2 Câu 26. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2 i 4 là: A. Một đường thẳng B. Một đường tròn C. Một đoạn thẳng D. Một hình vuông Câu 27. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 là một số thực âm là: A. Trục hoành (trừ gốc O ). B. Đường thẳng y x (trừ gốc O ). C. Trục tung (trừ gốc O ). D. Đường thẳng y x (trừ gốc O ). Câu 28. Giả sử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z . Tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau đây: z 1 i 2 là một đường tròn: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 A. Có tâm 1; 1 và bán kính là 2. B. Có tâm 1; 1 và bán kính là 2 . C. Có tâm 1; 1 và bán kính là 2. D. Có tâm 1; 1 và bán kính là 2. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 66 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  68. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Câu 29. Giả sử M z là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z . Tập hợp các điểm M z thoả mãn điều kiện sau đây: 2 z 1 i là một đường thẳng có phương trình: A. 4x 2 y 3 0 . B. 4x 2 y 3 0 . C. 4x 2 y 3 0 . D. 2x y 2 0 . Câu 30. Tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện sau đây: z z 3 4 là hai đường thẳng: 1 7 1 7 A. x và x . B. x và x . 2 2 2 2 1 7 1 7 C. x và x . D. x và x . 2 2 2 2 Câu 31. Tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện sau đây: z z 1 i 2 là hai đường thẳng: 1 3 1 3 1 3 1 3 A. y và y . B. y và y . 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 C. y và y . D. y và y . 2 2 2 2 z i Câu 32. Cho số phức z x y.(,) i x y . Tập hợp các điểm biểu diễn của z sao cho là z i một số thực âm là: A. Các điểm trên trục hoành với 1 x 1. B. Các điểm trên trục tung với 1 y 1. x 1 C. Các điểm trên trục hoành với . x 1 y 1 D. Các điểm trên trục tung với . y 1 Câu 33. Gọi MNP,, lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1 1 5 i , z2 3 i , z 6 . MNP,, là 3 đỉnh của tam giác có tính chất: A. Vuông. B. Vuông cân. C. Cân. D. Đều. Câu 34. Gọi ABCD,,, lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1 7 3 i , z2 8 4 i , z3 1 5 i , z4 2 i . Tứ giác ABCD là: A. là hình vuông. B. là hình thoi. C. là hình chữ nhật. D. là hình bình hành. Câu 35. Gọi ABC,, lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1 1 3 i ; z 2 3 2 i ; z 3 4 i . Chọn kết luận sai: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 A. Tam giác ABC vuông cân. B. Tam giác ABC cân. C. Tam giác ABC vuông. D. Tam giác ABC đều. Câu 36. Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thoả mãn z i z i 4 có dạng là Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 67 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
  69. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn x2 y 2 x2 y 2 A. 1. B. 1. 4 3 16 9 x2 y 2 x2 y 2 C. 1. D. 1. 16 9 4 3 Câu 37. Gọi ABC,, lần lượt là điểm biểu diễn của các số phứcz1 3 2 i , z 2 2 3 i , z 3 5 4 i Chu vi của tam giác ABC là : A. 22 2 58 . B. 26 2 58 . C. 22 2 2 56 . D. 26 2 2 58 . Câu 38. Cho các điểm ABC,, trong mặt phẳng phức theo thứ tự được biểu diễn bởi các số: 1 i ;2 4 i ;6 5 i . Tìm số phức biểu diễn điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành: A. 7 8i . B. 5 2i . C. 3 . D. 3 8i . Câu 39. Cho ABM, , lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức 4; 4i ; x 3 i . Với giá trị thực nào củax thì ABM, , thẳng hàng : A. x 1. B. x 2 . C. x 1. D. x 2 . Câu 40. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phứcz1 1 2 i , B là điểm thuộc đường thẳng y 2 sao cho tam giác OAB cân tại O . B biểu diễn số phức nào sau đây: A. z 1 2 i . B. z 2 i . C. z 1 2 i . D. z 1 2 i . Câu 41. Cho các số phức z1 1 3 i ; z2 2 +2 i ; z3 1 i được biểu diễn lần lượt bởi các    điểm ABC, , trên mặt phẳng. Gọi M là điểm thỏa mãn: AM AB AC . Khi đó điểm M biểu diễn số phức: A. z 6 i . B. z 2 . C. z 2 . D. z 6 i . Câu 42. Tromg mặt phẳng phức cho hai điểm A 4;0 , B 0; 3 . Điểm C thỏa mãn:    OC OA OB . Khi đó điểm C biểu diễn số phức: A. z 4 3 i . B. z 3 4 i . C. z 3 4 i . D. z 4 3 i . Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4 i 2 là: 2 2 A. x 5 . B. x 3 y 4 4. 2 2 C. y 2. D. x y 4 . www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01Câu 44. Cho ABC,, là ba điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số:   1 i ; 1 i ;2 i . Tính AB. BC . A. – 7. B. 5. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 68 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01