Tổng hợp lý thuyết và công thức tính nhanh môn Hình học Lớp 12

50 trang thungat 2760

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp lý thuyết và công thức tính nhanh môn Hình học Lớp 12", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tong_hop_ly_thuyet_va_cong_thuc_tinh_nhanh_mon_hinh_hoc_lop.pdf

Nội dung text: Tổng hợp lý thuyết và công thức tính nhanh môn Hình học Lớp 12

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 MỤC LỤC PHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN 54 1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHĨP 54 2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 54 2.1. Khái niệm về hình đa diện 54 2.2. Khái niệm về khối đa diện 54 3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 55 3.1. Phép dời hình trong khơng gian 55 3.2. Hai hình bằng nhau 56 4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN 56 5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI 56 5.1. Khối đa diện lồi 56 5.2. Khối đa diện đều 57 5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi 58 6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 58 6.1. Thể tích khối chĩp 58 6.2. Thể tích khối lăng trụ 58 6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật 59 6.4. Thể tích khối lập phương 59 6.5. Tỉ số thể tích 59 6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt 59 7. CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG 60 7.1. Hệ thức lượng trong tam giác 60 7.2. Các cơng thức tính diện tích 60 8. MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP 61 9. CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN 63 PHẦN II. MẶT NĨN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU 64 1. MẶT NĨN TRỊN XOAY VÀ KHỐI NĨN 64 1.1. Mặt nĩn trịn xoay 64 1.2. Khối nĩn 64 1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng 65 2. MẶT TRỤ TRỊN XOAY 65 2.1. Mặt trụ 65 2.2. Hình trụ trịn xoay và khối trụ trịn xoay 65 3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU 66 Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 51
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.1. Mặt cầu 66 3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng 66 3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng 67 3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu 67 4. MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI 68 4.1. Bài tốn mặt nĩn 68 4.2. Một số dạng tốn và cơng thức giải bài tốn mặt trụ 71 5. MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TỐN MẶT CẦU 72 5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 72 5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp 75 5.3. Kỹ năng xác định trục đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy 75 5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện 76 5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu 77 6. TỔNG HỢP CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRỊN XOAY 78 6.1. Chỏm cầu 78 6.2. Hình trụ cụt 78 6.3. Hình nêm loại 1 79 6.4. Hình nêm loại 2 79 6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid trịn xoay 79 6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối trịn xoay sinh bởi Elip 79 6.7. Diện tích hình vành khăn 79 6.8. Thể tích hình xuyến (phao) 79 PHẦN 3. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ 80 1. HỆ TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN 80 1.1. Các khái niệm và tính chất 80 1.2. Phương pháp giải 1 số bài tốn thường gặp 82 2. MẶT PHẲNG 82 2.1. Các khái niệm và tính chất 82 2.2. Viết phương trình mặt phẳng 83 2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 85 2.4. Khoảng cách và hình chiếu 85 2.5. Gĩc giữa hai mặt phẳng 86 2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 86 3. ĐƯỜNG THẲNG 87 3.1. Phương trình của đường thẳng 87 Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 52
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.2. Vị trí tương đối 87 3.3. Gĩc trong khơng gian 90 3.4. Khoảng cách 90 3.5. Lập phương trình đường thẳng 91 3.6. Vị trí tương đối 94 3.7. Khoảng cách 94 3.8. Gĩc 95 4. MẶT CẦU 95 4.1. Phương trình mặt cầu 95 4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng 96 4.3. Một số bài tốn liên quan 96 5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHƠNG GIAN 99 5.1. Dạng 1 99 5.2. Dạng 2 99 5.3. Dạng 3 99 5.4. Dạng 4 99 5.5. Dạng 5 99 5.6. Dạng 6 99 5.7. Dạng 7 100 5.8. Dạng 8 100 5.9. Dạng 9 100 5.10. Dạng 10 100 Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 53
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 PHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN 1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHĨP Khối lăng trụ (chĩp) là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chĩp) kể cả hình lăng trụ (chĩp) ấy. Khối chĩp cụt là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình chĩp cụt kể cả hình chĩp cụt ấy. Điểm khơng thuộc khối lăng trụ (khối chĩp, khối chĩp cụt) được gọi là điểm ngồi của khối lăng trụ (khối chĩp, khối chĩp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng khơng thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chĩp, khối chĩp cụt) đĩ được gọi là điểm trong của khối lăng trụ (khối chĩp, khối chĩp cụt). S B' C' D' A' F' E' N A B B C D M A D F E C 2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 2.1. Khái niệm về hình đa diện Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất: . Hai đa giác phân biệt chỉ cĩ thể hoặc khơng cĩ điểm chung, hoặc chỉ cĩ một đỉnh chung, hoặc chỉ cĩ một cạnh chung. . Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện. 2.2. Khái niệm về khối đa diện Khối đa diện là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đĩ. Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 54
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Những điểm khơng thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngồi của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng khơng thuộc hình đa diện đĩ được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngồi được gọi là miền ngồi của khối đa diện. Mỗi hình đa diện chia các điểm cịn lại của khơng gian thành hai miền khơng giao nhau là miền trong và miền ngồi của hình đa diện, trong đĩ chỉ cĩ miền ngồi là chứa hồn tồn một đường thẳng nào đĩ. d Miền ngoài Điểm trong N Điểm ngoài M 3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 3.1. Phép dời hình trong khơng gian Trong khơng gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M ' xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong khơng gian. Phép biến hình trong khơng gian được gọi là phép dời hình nếu nĩ bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý. * Một số phép dời hình trong khơng gian: 3.1.1. Phép tịnh tiến theo vectơ v Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M ' sao cho M'  v MM' v . M 3.1.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng P Nội dung Hình vẽ M Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc P thành chính nĩ, biến mỗi điểm M khơng thuộc P thành điểm M ' sao cho I P là mặt phẳng trung trực của MM ' . P M' Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng P biến hình H thành chính nĩ thì P được gọi là mặt phẳng đối xứng của H . Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 55
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.1.3. Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến điểm O thành chính nĩ, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M ' sao cho O là trung điểm MM ' M' O Nếu phép đối xứng tâm O biến hình H thành chính nĩ thì M O được gọi là tâm đối xứng của H 3.1.4. Phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục ) Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng thành chính nĩ, biến mỗi điểm M khơng thuộc thành điểm M ' sao cho là đường trung trực của MM ' . I M' Nếu phép đối xứng trục biến hình H thành chính nĩ thì M H được gọi là trục đối xứng của * Nhận xét: Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình. Phép dời hình biến đa diện H thành đa diện H ' , biến đỉnh, cạnh, mặt của H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của H ' . 3.2. Hai hình bằng nhau Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu cĩ một phép dời hình biến hình này thành hình kia. 4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ Nếu khối đa diện H là hợp của hai khối đa diện H1 , H 2 sao cho H1 và H 2 khơng cĩ chung điểm trong nào thì ta nĩi cĩ thể chia được khối đa diện H thành hai khối (H1) đa diện H1 và H 2 , hay cĩ thể lắp ghép hai khối đa diện H1 và H2 với nhau để được khối đa diện H . (H) (H2) 5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI 5.1. Khối đa diện lồi Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào của nĩ thì mọi điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đĩ. Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 56
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Khối đa diện lồi Khối đa diện khơng lồi 5.2. Khối đa diện đều 5.2.1. Định nghĩa Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi cĩ hai tính chất sau đây: . Các mặt là những đa giác đều n cạnh. . Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh. Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại n, p. 5.2.2. Định lí Chỉ cĩ 5 loại khối đa diện đều. Đĩ là loại 3;3 , loại 4;3, loại 3;4, loại 5;3 , loại 3;5 . Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt cĩ tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều. 5.2.3. Bảng tĩm tắt của năm loại khối đa diện đều Khối đa diện đều Số Số Số Loại Số MPĐX đỉnh cạnh mặt Tứ diện đều 4 6 4 3;3 6 Khối lập phương 8 12 6 4;3 9 Bát diện đều 6 12 8 3;4 9 Mười hai mặt đều 20 30 12 5;3 15 Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 57
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Hai mươi mặt đều 12 30 20 3;5 15 Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại n, p cĩ Đ đỉnh, C cạnh và M mặt. Khi đĩ: pĐ 2C nM . 5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi 5.3.1. Kết quả 1 Cho một khối tứ diện đều. Khi đĩ: Các trọng tâm của các mặt của nĩ là các đỉnh của một khối tứ diện đều; Các trung điểm của các cạnh của nĩ là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều). 5.3.2. Kết quả 2 Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều. 5.3.3. Kết quả 3 Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương. 5.3.4. Kết quả 4 Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng khơng cùng thuộc một cạnh của khối đĩ. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đĩ: Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Ba đường chéo đơi một vuơng gĩc với nhau; Ba đường chéo bằng nhau. 6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 6.1. Thể tích khối chĩp Nội dung Hình vẽ 1 V S. h 3 đáy S đáy : Diện tích mặt đáy. h : Độ dài chiều cao khối chĩp. 1 V d .S S.ABCD3 S, ABCD ABCD 6.2. Thể tích khối lăng trụ Nội dung Hình vẽ Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 58
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 V S. h đáy S đáy : Diện tích mặt đáy. h : Chiều cao của khối chĩp. Lưu ý: Lăng trụ đứng cĩ chiều cao chính là cạnh bên. 6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật Nội dung Hình vẽ V a b c 6.4. Thể tích khối lập phương Nội dung Hình vẽ 3 V a 6.5. Tỉ số thể tích Nội dung Hình vẽ V SA SB SC SABC. S VS. ABC SA SB SC A’ B’ Thể tích hình chĩp cụt ABC. A B C C’ A B h V B B BB 3 C Với B,, B h là diện tích hai đáy và chiều cao. 6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt Đường chéo của hình vuơng cạnh a là a 2 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là : a 3 Đường chéo của hình hộp chữ nhật cĩ 3 kích thước a,, b c là : a2 b 2 c 2 a 3 Đường cao của tam giác đều cạnh a là: 2 Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 59
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 7. CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG 7.1. Hệ thức lượng trong tam giác 7.1.1. Cho ABC vuơng tại A , đường cao AH AB2 AC 2 BC 2 AB2 BH. BC 2 AC CH. BC AH BC AB AC AH2 BH. HC 1 1 1 AH2 AB 2 AC 2 ABBC .sin C BC .cos BAC .tan C AC .cot B 7.1.2. Cho ABC cĩ độ dài ba cạnh là: a,, b c độ dài các trung tuyến là ma,, m b m c bán kính đường trịn ngoại tiếp R ; bán kính đường trịn nội tiếp r nửa chu vi p. Định lí hàm số cosin: a2 b 2 c 2- 2 bc .cos A ; b 2 c 2 a 2 2 ca .cos B ; c 2 a 2 b 2 2 ab .cos C Định lí hàm số sin: a b c 2R sinABC sin sin Độ dài trung tuyến: b2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 m2 ;; m 2 m 2 a2 4 b 2 4 c 2 4 7.2. Các cơng thức tính diện tích 7.2.1. Tam giác 1 1 1 S a h b h c h 2a 2 b 2 c 1 1 1 S bcsin A ca .sin B ab sin C 2 2 2 abc S 4R S pr S p p a p b p c AB AC BC AH ABC vuơng tại A : S 2 2 a 3 a2 3 ABC đều, cạnh a : AH , S 2 4 7.2.2. Hình vuơng S a 2 ( a : cạnh hình vuơng) Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 60
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 7.2.3. Hình chữ nhật S ab ( a, b : hai kích thước) 7.2.4. Hình bình hành S = đáy cao AB. AD .sin BAD 7.2.5. Hình thoi 1 S AB. AD .sin BAD AC . BD 2 7.2.6. Hình thang 1 S a b h ( a,: b hai đáy, h : chiều cao) 2 7.2.7. Tứ giác cĩ hai đường chéo vuơng gĩc AC& BD 1 S AC. BD 2 8. MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP Nội dung Hình vẽ Cho hình chĩp SABC với các mặt phẳng A SAB ,, SBC SAC vuơng gĩc với nhau từng đơi một, diện tích các tam giác SAB,, SBC SAC lần lượt là S ,S,S . 1 2 3 S C 2S .S .S Khi đĩ: V 1 2 3 S. ABC 3 B Cho hình chĩp S. ABC cĩ SA vuơng gĩc với ABC , S hai mặt phẳng SAB và SBC vuơng gĩc với nhau, BSC , ASB  . A C SB 3.sin 2 .tan  Khi đĩ: V S. ABC 12 B Cho hình chĩp đều S. ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều S cạnh bằng a, cạnh bên bằng b . a23 b 2 a 2 Khi đĩ: VS. ABC A C 12 G M B Cho hình chĩp tam giác đều S. ABC cĩ cạnh đáy bằng a S và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy gĩc . a 3 tan Khi đĩ: V S. ABC 24 A C G M B Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 61
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Cho hình chĩp tam giác đều S. ABC cĩ các cạnh bên S bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy gĩc  . 3b3 .sin cos 2  Khi đĩ: V C S. ABC 4 A G M B Cho hình chĩp tam giác đều S. ABC cĩ các cạnh đáy S bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy gĩc  . a 3.tan  V Khi đĩ: S. ABC C 12 A G M B Cho hình chĩp tứ giác đều S. ABCD cĩ đáy ABCD là S hình vuơng cạnh bằng a, và SA SB SC SD b . a24 b 2 2 a 2 Khi đĩ: V D A S. ABC 6 O M C B Cho hình chĩp tứ giác đều S. ABCD cĩ cạnh đáy bằng S a, gĩc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là . a 3.tan Khi đĩ: V S. ABCD 6 A D O M B C Cho hình chĩp tứ giác đều S. ABCD cĩ cạnh đáy bằng S a, SAB với ; 4 2 D A 3 2 a tan 1 O M C Khi đĩ: VS. ABCD B 6 Cho hình chĩp tứ giác đều S. ABCD cĩ các cạnh bên S bằng a, gĩc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là với 0; . A D 2 O M 3 4a .tan B C Khi đĩ: V S. ABCD 3 3 2 tan2 Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 62
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Cho hình chĩp tam giác đều S. ABC cĩ cạnh đáy bằng S a. Gọi P là mặt phẳng đi qua A song song với BC và F N A E C vuơng gĩc với SBC , gĩc giữa P với mặt phẳng đáy là x G M . B a 3 cot Khi đĩ: V S. ABCD 24 Khối tám mặt đều cĩ đỉnh là tâm các mặt của hình lập A' B' O' phương cạnh a. D' 3 a O1 C' Khi đĩ: V 6 O4 O2 A O3 B O D C Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt bên S ta được khối lập phương. G2 3 D 2a 2 A G1 Khi đĩ: V N 27 M B C S' 9. CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN Cơng thức Điều kiện tứ diện abc 2 2 2 SA a,, SB b SC c VS. ABC 1 cos cos  cos 2cos cos  cos 6 ASB ,, BSC  CSA Cơng thức tính khi biết 3 cạnh, 3 gĩc ở đỉnh 1 tứ diện 1 V abd sin ABCD 6 AB a, CD b d AB,,, CD d AB CD Cơng thức tính khi biết 2 cạnh đối, khoảng cách và gĩc 2 cạnh đĩ 2SS sin V 1 2 SABC S S,, S S SA a 3a SAB1 SAC 2 Cơng thức tính khi biết một cạnh, diện tích và gĩc giữa SAB , SAC 2 mặt kề abc SA a,, SB b SC c VS. ABC sin sin  sin 6 SAB , SAC Cơng thức tính khi biết 3 cạnh, 2 gĩc ở đỉnh và 1 gĩc nhị diện ASB , ASC Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 63
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 a 3 2 Tứ diện đều V ABCD a 12 tất cả các cạnh bằng 2 Tứ diện gần đều V a2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 ABCD 12 AB CD a AC BD b AD BC c PHẦN II. MẶT NĨN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU 1. MẶT NĨN TRỊN XOAY VÀ KHỐI NĨN 1.1. Mặt nĩn trịn xoay Nội dung Hình vẽ Đường thẳng d , cắt nhau tại O và tạo thành gĩc  với 00  90 0 , mp P chứa d , . P quay quanh trục với gĩc  khơng đổi mặt nĩn trịn xoay đỉnh O. gọi là trục. d được gọi là đường sinh. Gĩc 2 gọi là gĩc ở đỉnh. 1.2. Khối nĩn Nội dung Hình vẽ Là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình nĩn trịn xoay kể cả hình nĩn đĩ. Những điểm khơng thuộc khối nĩn gọi là những điểm ngồi của khối nĩn. Những điểm thuộc khối nĩn nhưng khơng thuộc hình nĩn tương ứng gọi là những điểm trong của khối nĩn. Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nĩn cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nĩn tương ứng. Cho hình nĩn cĩ chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáyr . Diện tích xung quanh: của hình nĩn: Sxq rl . S r 2 . Diện tích đáy (hình trịn): đáy 2 Diện tích tồn phần: của hình nĩn: Stp rl r . 1 Thể tích khối nĩn: V r2 h . 3 Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 64
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng Điều kiện Kết quả Cắt mặt nĩn trịn xoay bởi mp ()Q đi qua đỉnh của mặt nĩn. mp() Q cắt mặt nĩn theo 2 đường sinh. Thiết diện là tam giác mp() Q tiếp xúc với mặt nĩn theo một đường cân. sinh. ()Q là mặt phẳng tiếp diện của hình nĩn. Cắt mặt nĩn trịn xoay bởi mp ()Q khơng đi qua đỉnh của mặt nĩn. mp() Q vuơng gĩc với trục hình nĩn. Giao tuyến là 1 đường parabol. mp() Q song song với 2 đường sinh hình nĩn. Giao tuyến là 2 nhánh mp() Q của 1 hypebol. song song với 1 đường sinh hình nĩn. Giao tuyến là một đường trịn. 2. MẶT TRỤ TRỊN XOAY 2.1. Mặt trụ Nội dung Hình vẽ Trong mặt phẳng P cho hai đường thẳng và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r . Khi quay mặt phẳng P xung quanh thì đường thẳng l sinh ra một mặt trịn xoay được gọi là mặt trụ trịn xoay, gọi tắt là mặt trụ. Đường thẳng gọi là trục. Đường thẳng l là đường sinh. r là bán kính của mặt trụ đĩ. 2.2. Hình trụ trịn xoay và khối trụ trịn xoay Nội dung Hình vẽ Ta xét hình chữ nhật ABCD . Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đĩ, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB sẽ tạo thành một hình gọi là hình trụ trịn xoay, hay gọi tắt là hình trụ. Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình trịn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ. Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ. Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 65
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Phần mặt trịn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay xung quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ. Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ. Khối trụ trịn xoay hay khối trụ là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình trụ trịn xoay kể cả hình trụ trịn xoay đĩ. Những điểm khơng thuộc khối trụ gọi là những điểm ngồi của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng khơng thuộc hình trụ tương ứng gọi là những điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ cũng là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.Hình trụ cĩ chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r. Diện tích xung quanh: Sxq 2 rl . 2 Diện tích tồn phần: Stp 2 rl 2 r . Thể tích: V r2 h . 3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU 3.1. Mặt cầu Nội dung Hình vẽ Cho điểm I cố định và một số thực dương R . Tập hợp tất cả những điểm M trong khơng gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. Kí hiệu: SIR ;. Khi đĩ: S I; R M IM R 3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu SIR ; và mặt phẳng P . Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của I lên P d IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng P . Khi đĩ: d R d R d R Mặt cầu và mặt phẳng Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo khơng cĩ điểm chung. P là mặt phẳng tiếp diện của thiết diện là đường trịn cĩ tâm I và bán kính mặt cầu và H : tiếp điểm. r R2 IH 2 Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 66
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Lưu ý: Khi mặt phẳng P đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng P được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đĩ được gọi là đường trịn lớn. 3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu SIR ; và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của I lên . Khi đĩ: IH R IH R IH R khơng cắt mặt cầu. tiếp xúc với mặt cầu. cắt mặt cầu tại hai : Tiếp tuyến của S điểm phân biệt. H : tiếp điểm. Lưu ý: Trong trường hợp cắt S tại 2 điểm AB, thì bán kính R của S được tính như sau: d I; IH 2 . 2 2 2 AB R IH AH IH 2 3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu Nội dung Hình vẽ Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng cĩ bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến. Giao tuyến (nếu cĩ) của mặt cầu với các mặt phẳng vuơng gĩc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu. Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu * Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện: Nội dung Hình vẽ Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đĩ tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện. Cịn nĩi hình đa diện ngoại tiếp mặt cầu. Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 67
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Cịn nĩi hình đa diện nội tiếp mặt cầu. Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình chĩp S. ABCD khi và chỉ khi OA OB OC OD OS r Cho mặt cầu SIR ; Diện tích mặt cầu: SR 4 2 . 4 Thể tích khối cầu: VR 3 . 3 4. MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI 4.1. Bài tốn mặt nĩn 4.1.1.Dạng 1. Thiết diện của hình nĩn cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Thiết diện qua trục của hình nĩn là tam giác cân. Thiết diện qua đỉnh của hình nĩn là những tam giác cân cĩ hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nĩn. Thiết diện vuơng gĩc với trục của hình nĩn là những đường trịn cĩ tâm nằm trên trục của hình nĩn. 4.1.2. Dạng 2. Bài tốn liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nĩn Cho hình nĩn cĩ chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh l . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nĩn cĩ khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là d. Nội dung Hình vẽ Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 68
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Gọi M là trung điểm của AC. Khi đĩ: AC SMI Gĩc giữa SAC và ABC là gĩc SMI . Gĩc giữa SAC và SI là gĩc MSI . d I,. SAC IH d Diện tích thiết diện 1 1 S S SM. AC SI2 IM 2 .2 AI 2 IM 2 td SAC 2 2 2 2 2 2 h d h d r2 . h 2 h2 d 2 h 2 d 2 4.1.3. Dạng 3. Bài tốn hình nĩn ngoại tiếp và nội tiếp hình chĩp Nội dung Hình vẽ Hình nĩn nội tiếp hình chĩp S. ABCD đều là hình nĩn Hình chĩp tứ giác đều cĩ đỉnh là S , đáy là đường trịn nội tiếp hình vuơng ABCD S. ABCD . S Khi đĩ hình nĩn cĩ: AB Bán kính đáy r IM , A D 2 I M Đường cao h SI , đường sinh l SM. B C Hình nĩn ngoại tiếp hình chĩp S. ABCD đều là hình nĩn Hình chĩp tứ giác đều cĩ đỉnh là S , đáy là đường trịn ngoại tiếp hình vuơng S. ABCD ABCD . S Khi đĩ hình nĩn cĩ: AC AB 2 A D Bán kính đáy: r IA . 2 2 I B C Chiều cao: h SI. Đường sinh: l SA. Hình nĩn nội tiếp hình chĩp S. ABC đều là hình nĩn cĩ Hình chĩp tam giác đều đỉnh là S , đáy là đường trịn nội tiếp tam giác ABC. S. ABC Khi đĩ hình nĩn cĩ S AM AB 3 Bán kính đáy: r IM . 3 6 Chiều cao: h SI. Đường sinh: l SM. A I C M B Hình nĩn ngoại tiếp hình chĩp S. ABC đều là hình nĩn Hình chĩp tam giác đều cĩ đỉnh là S , đáy là đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. S. ABC Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 69
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Khi đĩ hình nĩn cĩ: S 2AM AB 3 Bán kính đáy: r IA . 3 3 Chiều cao: h SI. C l SA. Đường sinh: A I M B 4.1.4. Dạng 4. Bài tốn hình nĩn cụt Khi cắt hình nĩn bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nĩn là một hình trịn. Phần hình nĩn nằm giữa hai mặt phẳng nĩi trên được gọi là hình nĩn cụt. Nội dung Hình vẽ Khi cắt hình nĩn cụt bởi một mặt phẳng song song với đáy thì được mặt cắt là một hình trịn. Khi cắt hình nĩn cụt bởi một mặt phẳng song song với trục thì được mặt cắt là một hình thang cân. Cho hình nĩn cụt cĩ R,, r h lần lượt là bán kính đáy r lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao. Diện tích xung quanh của hình nĩn cụt: h Sxq l R r . R Diện tích đáy (hình trịn): 2 Sáy1 r 2 2 đ S r R . SR 2  đáy đáy2 Diện tích tồn phần của hình nĩn cụt: 2 2 Stp l R r r R . Thể tích khối nĩn cụt: 1 V h R2 r 2 Rr . 3 4.1.5. Dạng 5. Bài tốn hình nĩn tạo bởi phần cịn lại của hình trịn sau khi cắt bỏ đi hình quạt Nội dung Hình vẽ Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 70
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Từ hình trịn OR; cắt bỏ đi hình quạt AmB. Độ dài cung AnB bằng x. Phần cịn lại của hình trịn ghép lại được một hình nĩn. Tìm bán kính, chiều cao và độ dài đường sinh của hình nĩn đĩ. Hình nĩn được tạo thành cĩ l R 2 2 r x r . x h l2 r 2 4.2. Một số dạng tốn và cơng thức giải bài tốn mặt trụ 4.2.1. Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Thiết diện vuơng gĩc trục là một đường trịn bán kính R O A M B Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD trong G đĩ AB 2 R và AD h . Nếu thiết diện qua trục là một hình vuơng thì h 2 R . Thiết diện song song với trục và khơng chứa trục là hình D C chữ nhật BGHC cĩ khoảng cách tới trục là: H d OO'; BGHC OM 4.2.2. Dạng 2. Thể tích khối tứ diện cĩ 2 cạnh là đường kính 2 đáy Nội dung Hình vẽ Nếu như AB và CD là hai đường kính bất kỳ trên hai A O B đáy của hình trụ thì: 1 V ABCDOO. . '.sin AB , CD ABCD 6 * Đặc biệt: C Nếu AB và CD vuơng gĩc nhau thì: O' 1 V ABCDOO ' . D ABCD 6 4.2.3. Dạng 3. Xác định gĩc khoảng cách Nội dung Hình vẽ Gĩc giữa AB và trục OO ' : O AB,'' OO A AB A O' B A' Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 71
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 AB OO ' Khoảng cách giữa và trục : O A d AB;' OO OM . O' B M A' ABCD A Nếu là một hình vuơng nội tiếp trong hình trụ O B thì đường chéo của hình vuơng cũng bằng đường chéo của hình trụ. I Nghĩa là cạnh hình vuơng: O' D AB2 4 R2 h 2 . C 4.2.4. Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, tồn phần và thể tích khối trụ trong bài tốn tối ưu Nội dung Hình vẽ Một khối trụ cĩ thể tích V khơng đổi. Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích tồn phần nhỏ nhất: V R 3 4 S min tp V h 2 3 4 Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích xung quanh cộng với diện tích 1 đáy và nhỏ nhất: V R 3 S min V h 3 4.2.5. Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là V thì 4 V thể tích khối trụ là V (T) 9 Cho hình lăng trụ tứ giác đêu ABCD.'''' A B C D ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích 2S xung quanh hình trụ là S thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là S xq xq 5. MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TỐN MẶT CẦU 5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 5.1.1. Các khái niệm cơ bản Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường trịn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuơng gĩc với mặt phẳng chứa đa giác đáy Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đĩ. Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 72
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuơng gĩc với đoạn thẳng đĩ. Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuơng gĩc với đoạn thẳng đĩ. Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. 5.1.2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chĩp. Hay nĩi cách khác, nĩ chính là giao điểm I của trục đường trịn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chĩp. Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chĩp. 5.1.3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện 5.1.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương Nội dung Hình vẽ Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương) Tâm là I , là trung điểm của AC ' . Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương). AC ' Bán kính: R . 2 5.1.3.2. Hình lăng trụ đứng cĩ đáy nội tiếp đường trịn Nội dung Hình vẽ '''' Xét hình lăng trụ đứng AAAAAAAA1 2 3 n . 1 2 3 n , trong đĩ AAAA '''' cĩ 2 đáy 1 2 3 n vàAAAA1 2 3 n nội tiếp đường trịn O và O ' . Lúc đĩ, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng cĩ: Tâm: I với I là trung điểm của OO '. Bán kính: R IA IA IA' . 1 2 n 5.1.3.3. Hình chĩp cĩ các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh cịn lại dưới 1 gĩc vuơng Nội dung Hình vẽ Hình chĩp S. ABC cĩ SAC SBC 900 . Tâm: I là trung điểm củaSC . SC Bán kính: R IA IB IC . 2 Hình chĩp S. ABCD cĩ SAC SBC SDC 900 . Tâm: I là trung điểm củaSC . SC Bán kính: R IA IB IC ID . 2 Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 73
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 5.1.3.4. Hình chĩp đều Nội dung Hình vẽ Cho hình chĩp đềuS. ABC Gọi O là tâm của đáy SO là trục của đáy. Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như mp SAO , ta vẽ đường trung trực của cạnh SA là cắt SA tại M và cắt SO tại I I là tâm của mặt cầu. Bán kính: SM SI Ta cĩ: SMI∽ SOA Bán kính: SO SA SM. SA SA2 R IS IA IB IC SO2 SO 5.1.3.5. Hình chĩp cĩ cạnh bên vuơng gĩc với mặt phẳng đáy Nội dung Hình vẽ Cho hình chĩp S. ABC cĩ cạnh bên SA ABC và đáy ABC nội tiếp được trong đường trịn tâm O . Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S. ABC được xác định như sau: Từ tâm O ngoại tiếp của đường trịnđáy, ta vẽ đường thẳng d vuơng gĩc với mp ABC tại O . Trong mp d, SA , ta dựng đường trung trực của cạnhSA , cắtSA tạiM , cắt d tại I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp và bán kính R IA IB IC IS Tìm bán kính Ta cĩ: MIOB là hình chữ nhật. Xét MAI vuơng tại M cĩ: 2 2 2 2 SA R AI MI MA AO . 2 5.1.3.6. Hình chĩp khác - Dựng trục của đáy. - Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kì. -  II là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp. - Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chĩp. 5.1.3.7. Đường trịn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 74
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đĩ chính là đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường trịn ngoại tiếp đáy. Do đĩ, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài tốn. O O O Hình vuơng: O là giao Hình chữ nhật: O là giao ∆ đều: O là giao điểm của 2 điểm 2 đường chéo. điểm của hai đường chéo. đường trung tuyến (trọng tâm). O O ∆ vuơng: O là trung điểm ∆ thường: O là giao điểm của hai đường của cạnh huyền. trung trực của hai cạnh ∆. 5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp Nội dung Hình vẽ Cho hình chĩp SAAA.1 2 n (thoả mãn điều kiện tồn tại S mặt cầu ngoại tiếp). Thơng thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp ta thực hiện theo hai bước: I Bước 1: O Xác định tâm của đường trịn ngoại tiếp đa giác D đáy. Dựng : trục đường trịn ngoại tiếp đa giác A H C đáy. B Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực () của một cạnh bên. Lúc đĩ Tâm O của mặt cầu: mp( ) O Bán kính: R SA SO . Tuỳ vào từng trường hợp. 5.3. Kỹ năng xác định trục đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy 5.3.1. Trục đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy Nội dung Hình vẽ Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 75
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Định nghĩa Trục đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy là đường M thẳng đi qua tâm đường trịn ngoại tiếp đáy và vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. A Tính chất C M : MA MB MC H Suy ra: MA MB MC M B Các bước xác định trục Bước 1: H Xác định tâm của đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy. Bước 2: H Qua dựng vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Một số trường hợp đặc biệt Đáy là tam giác vuơng B H C A Đáy là tam giác đều B C H A Đáy là tam giác thường B C H A 5.3.2. Kỹ năng tam giác đồng dạng Nội dung Hình vẽ SO SM S SMO đồng dạng với SIA . SA SI M O I A 5.3.3. Nhận xét quan trọng MA MB MC M,: S SM là trục đường trịn ngoại tiếp ABC . SA SB SC 5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện Nội dung Hình vẽ Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 76
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Cho hình chĩp SAAA.1 2 n (thõa mãn điều kiện tồn tại Δ mặt cầu ngoại tiếp). Thơng thường, để xác định mặt cầu S ngoại tiếp hình chĩp ta thực hiện theo hai bước: R Bước 1: I d Xác định tâm của đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng : trục đường trịn ngoại tiếp đa giác D đáy. C Bước 2: A B Xác định trục d của đường trịn ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chĩp. Lúc đĩ: Tâm I của mặt cầu: d I Bk: R IA IS . Tuỳ vào từng trường hợp. 5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu 5.5.1. Dạng 1 Nội dung Hình vẽ Cạnh bên SA vuơng gĩc đáy và ABC 900 khi đĩ S S SC R và tâm là trung điểm SC . 2 A A C D B C B 5.5.2. Dạng 2 Nội dung Hình vẽ Cạnh bên SA vuơng gĩc đáy và bất kể đáy là hình gì, S chỉ cần tìm được bán kính đường trịn ngoại tiếp của đáy SA2 R 2 2 là D , khi đĩ : RR D K 4 I abc p A C RD ( : nửa chu vi). 4 p p a p b p c O Nếu ABC vuơng tại A thì: B 1 2 2 2 RD AB AC AS . 4 a 2 Đáy là hình vuơng cạnh a thì R D 2 a 3 nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì R . D 3 Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 77
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 5.5.3. Dạng 3 Nội dung Hình vẽ Chĩp cĩ các cạnh bên bằng nhau: SA SB SC SD : S SA2 R . 2SO ABCD là hình vuơng, hình chữ nhật, khi đĩ O là A D giao hai đường chéo. ABC O B C vuơng, khi đĩ là trung điểm cạnh huyền. ABC đều, khi đĩ O là trọng tâm, trực tâm. 5.5.4. Dạng 4 Nội dung Hình vẽ Hai mặt phẳng SAB và ABC vuơng gĩc với nhau S và cĩ giao tuyến AB . Khi đĩ ta gọi RR1, 2 lần lượt là bán O kính đường trịn ngoại tiếp các tam giác SAB và ABC . I Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: A C 2 J AB K RRR2 2 2 1 2 4 B 5.5.5. Dạng 5 Chĩp S.ABCD cĩ đường cao SH , tâm đường trịn ngoại tiếp đáy là O . Khi đĩ ta giải 2 2 2 2 x R2 x 2 R 2 phương trình: SH x OH x RD . Với giá trị tìm được ta cĩ: D . 3V 5.5.6. Dạng 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: r . Stp 6. TỔNG HỢP CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRỊN XOAY 6.1. Chỏm cầu Nội dung Hình vẽ S 2 Rh r2 h 2 xq h r h h V h2 R h 23 r 2 R 3 6 6.2. Hình trụ cụt Nội dung Hình vẽ Sxq R h1 h 2 2 h1 h 2 h2 VR h1 2 R Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 78
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 6.3. Hình nêm loại 1 Nội dung Hình vẽ 2 VR 3 tan 3 6.4. Hình nêm loại 2 Nội dung Hình vẽ 2 3 VR tan 2 3 6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid trịn xoay Nội dung Hình vẽ 3 3 4S ' x a S Rh; R R parabol 3 S h R h 12 1 V R h Vtru 2 2  6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối trịn xoay sinh bởi Elip Nội dung Hình vẽ Selip ab b a a 4 2 Vxoay quanh 2 a ab 3 b 4 2 Vxoay quanh 2 b a b 3 6.7. Diện tích hình vành khăn Nội dung Hình vẽ S R2 r 2 R r 6.8. Thể tích hình xuyến (phao) Nội dung Hình vẽ 2 2 R r R r V 2 r 2 2 R Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 79
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 PHẦN 7. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ 1. HỆ TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN 1.1. Các khái niệm và tính chất 1.1.1. Khái niệm mở đầu Trong khơng gian cho ba trục Ox,, Oy Oz phân biệt và vuơng gĩc từng đơi một. Gốc tọa độ O, truc hồnh Ox, trục tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ Oxy ,,. Oyz Ozx 1.1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ Khi khơng gian cĩ hệ tọa độ thì gọi là khơng gian tọa độ Oxyz hay khơng gian Oxyz. 2 2 2 i j k 1 2 2 Chú ý: a a ij ik jk 0 1.1.3. Tọa độ véc tơ u (;;)(;;) xyz uxyz u xi yj zk  1.1.4. Tọa độ điểm Mxyz(;;) OM xi yj zk 1.1.5. Các cơng thức tọa độ cần nhớ Cho u ( a ; b ; c ), v ( a ; b ; c ) a a ' u v b b' c c' u v a a ;; b b c c ku (;;) ka kb kc   u. v u . v .cos( u , v ) aa bb cc   u. v aa bb cc cos(u , v ) u v u v 2 u u a2 b 2 c 2 u v u. v 0  AB xBABABA x;; y y z z  2 2 2 AB AB xBABABA x y y z z 1.1.6. Chú ý Gĩc của 2 véc tơ u, v là gĩc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ cĩ, giá trị trong 0; là: sin u , v 1 cos2 u , v 0 1.1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 80
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12   M chia AB theo tỉ số k nghĩa là MA kMB xAB kx xM 1 k yAB ky Cơng thức tọa độ của M là : yM 1 k z kz z AB M 1 k 1.1.8. Cơng thức trung điểm x x x AB M 2   yAB y Nếu M là trung điểm AB thì MA MB 0 yM 2 z z z AB M 2 1.1.9. Cơng thức trọng tâm tam giác x x x x ABC G 3    yABC y y Nếu G là trọng tâm của ABC thì GA GB GC 0 yG 3 z z z z ABC G 3 1.1.10. Cơng thức trọng tâm tứ diện Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì x x x x x ABCD G 4     yABCD y y y GA GB GC GD 0 yG 4 z z z z z ABCD G 4 1.1.11. Tích cĩ hướng 2 véc tơ Cho 2 véc tơ u (;;) a b c và v (;;) a b c ta định nghĩa tích cĩ hướng của 2 véc tơ đĩ là một véc tơ, kí hiệu u, v hay u v cĩ toạ độ: b c c a a b u,;; v bc b c;; ca ac ab ba b c c a a b 1.1.12. Tính chất tích cĩ hướng 2 véc tơ u, v  vuơng gĩc với u và v u, v u . v sin u , v u, v 0 u , v cùng phương 1.1.13. Ứng dụng tích cĩ hướng 2 véc tơ Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 81
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12   Diện tích hình bình hành ABCD : S AB, AD 1   Diện tích ABC : S ., AB AC 2   Ba véc tơ u,, v w đồng phẳng: u, v . w 0 Thể tích khối hộp cĩ đáy hình bình hành ABCD và cạnh bên AA’:    V AB,. AD AA 1    Thể tích khối tứ diện S. ABC : V .,. AB AC SA 6 1.2. Phương pháp giải 1 số bài tốn thường gặp 1.2.1. Các phép tốn về toạ độ của vectơ và của điểm Phương pháp giải Sử dụng các cơng thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong khơng gian. Sử dụng các phép tốn về vectơ trong khơng gian. 1.2.2. Xác định điểm trong khơng gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích Phương pháp giải Sử dụng các cơng thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong khơng gian. Sử dụng các phép tốn về vectơ trong khơng gian. Cơng thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt. Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:       ABC,, thẳng hàng AB, AC cùng phương AB k AC AB, AC 0   ABCD là hình bình hành AB DC Cho ABC cĩ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngồi của gĩc A của ABC trên BC .  AB   AB  Ta cĩ: EB . EC , FB . FC AC AC    ABCD,,, khơng đồng phẳng AB,, AC AD khơng đồng phẳng    AB, AC . AD 0 2. MẶT PHẲNG 2.1. Các khái niệm và tính chất 2.1.1. Khái niệm về véc tơ pháp tuyến  n khác 0 và cĩ giá vuơng gĩc mp P được gọi là véc tơ pháp tuyến của P . 2.1.2. Tính chất của véc tơ pháp tuyến  Nếu n là véc tơ pháp tuyến của P thì kn, ( k 0) cũng là véc tơ pháp tuyến của P . Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 82
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 2.1.3. Phương trình tổng quát của mp P  Phương trình tổng quát của mp P qua M(;;) x0 y 0 z 0 và cĩ véc tơ pháp tuyến n (;;) A B C là A( x x0 ) B ( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0 2.1.4. Khai triển của phương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: Ax By Cz D 0 (trong đĩ ABC,, khơng đồng thời bằng 0) 2.1.5. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát P qua gốc tọa độ D 0 P song song hoặc trùng Oxy A B 0 P song song hoặc trùng Oyz B C 0 P song song hoặc trùng Ozx A C 0 P song song hoặc chứa Ox A 0 P song song hoặc chứa Oy B 0 P song song hoặc chứa Oz C 0 P cắt Ox tại A a;0;0 , cắt Oy tại B 0; b ;0 và cắt Oz tại C 0;0; c P cĩ phương x y z trình 1a , b , c 0 a b c 2.1.6. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng Ax By Cz D d( M ,( P )) 0 0 0 Cho M x0;; y 0 z 0 và (P) : Ax By Cz D 0 ; ABC2 2 2 2.1.7. Chùm mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng và () được gọi là một chùm mặt phẳng Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng :Ax1 B 1 y C 1 z D 1 0 và  :A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 . Khi đĩ nếu P là mặt phẳng chứa d thì mặt phẳng P cĩ dạng : mAx 1 By 1 Cz 1 D 1 nAx 2 By 2 Cz 2 D 2 0 Với m2 n 2 0 2.2. Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng ta cần xác định một điểm thuộc và một VTPT của nĩ. Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 83
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 2.2.1. Dạng 1  M x;; y z đi qua điểm 0 0 0 cĩ VTPT n A;; B C thì: :A x x0 B y y 0 C z z 0 0 2.2.2. Dạng 2 M x;; y z a, b n a, b đi qua điểm 0 0 0 cĩ cặp VTCP thì là một VTPT của 2.2.3. Dạng 3 M x;; y z  :Ax By Cz 0 đi qua điểm 0 0 0 và song song với thì :A x x0 B y y 0 C z z 0 0 2.2.4. Dạng 4 đi qua 3 điểm khơng thẳng hàng ABC,, . Khi đĩ ta cĩ thể xác định một VTPT của   là: n AB, AC 2.2.5. Dạng 5 đi qua một điểm M và một đường thẳng d khơng chứa M : Trên d lấy điểm A và VTCP u .  Một VTPT của là: n AM, u 2.2.6. Dạng 6 đi qua một điểm M , vuơng gĩc với đường thẳng d thì VTCP u của đường thẳng d là một VTPT của . 2.2.7. Dạng 7 chứa đường thẳng cắt nhau d1, d 2 : Xác định các VTCP a, b của các đường thẳng d1,. d 2 Một VTPT của là: n a, b . 1 Lấy một điểm M thuộc d hoặc d2 M . 2.2.8. Dạng 8 ) : chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 ( d1, d 2 chéo nhau Xác định các VTCP a, b của các đường thẳng d1,. d 2 Một VTPT của là: n a, b . Lấy một điểm M thuộc d1 M . 2.2.9. Dạng 9 đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d 2 : Xác định các VTCP a, b của các đường thẳng d1,. d 2 Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 84
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Một VTPT của là: n a, b . 2.2.10. Dạng 10 chứa một đường thẳng d và vuơng gĩc với một mặt phẳng  : u Xác định VTCP của d và VTPT n của  . Một VTPT của là: n u, n .  Lấy một điểm M thuộc d M . 2.2.11. Dạng 11 đi qua điểm M và vuơng gĩc với hai mặt phẳng cắt nhau  ,  : Xác định các VTPT n, n  của  và  . Một VTPT của là: n u, n .   2.2.12. Dạng 12 chứa đường thẳng d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước: Giả sử ( ) cĩ phương trình: Ax By Cz+D 0 ABC2 2 2 0 . Lấy 2 điểm A,,( B d A B ta được hai phương trình 1 , 2 ) Từ điều kiện khoảng cách d( M ,( )) k , ta được phương trình 3 . Giải hệ phương trình 1 , 2 , 3 (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn cịn lại). 2.2.13. Dạng 13 là tiếp xúc với mặt cầu S tại điểm H : Giả sử mặt cầu S cĩ tâm I và bán kính R.  Một VTPT của là: n IH 2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng PABD :x y Cz 0 và PBC :A x y z D 0. Khi đĩ: P cắt P ABCABC:::: . ABCD PP // . ABCD ABCD PP  . ABCD  PP  n PPPP n n . n 0 AA BB CC 0. 2.4. Khoảng cách và hình chiếu 2.4.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 85
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 () : Ax By Cz D 0 Khoảng cách từ điểm M0 x 0;; y 0 z 0 đến mặt phẳng là Ax0 By 0 Cz 0 D d M0,( ) ABC2 2 2 2.4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 2.4.3. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng  MH, n cung phuong Điểm H là hình chiếu của điểm M trên P . HP () 2.4.4. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng   Điểm M ' đối xứng với điểm M qua P MM 2 MH 2.5. Gĩc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ,  cĩ phương trình: :A1 x B 1 y C 1 z D 1 0  :A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 Gĩc giữa ,  bằng hoặc bù với gĩc giữa hai VTPT n1, n 2 . n1. n 2 AA 1 2 B 1 B 2 C 1 C 2 cos ( ),(  ) n. n 2 2 2 2 2 2 1 2 ABCABC1 1 1. 2 2 2 0 0 ( ) (  ) AABBCC 0 Chú ý: 0 ,  90 ; 1 2 1 2 1 2 2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Cho mặt phẳng :Ax By Cz D 0 và mặt cầu S :()()() x a2 y b 2 z c 2 R 2 cĩ tâm I và S khơng cĩ điểm chung d( I ,( )) R tiếp xúc với S d( I ,( )) R với là tiếp diện Để tìm toạ độ tiếp điểm ta cĩ thể thực hiện như sau: . Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S và vuơng gĩc với . . Tìm toạ độ giao điểm H của d và . H là tiếp điểm của S với . cắt S theo một đường trịn d( I ,( )) R Để xác định tâm H và bán kính r của đường trịn giao tuyến ta cĩ thể thực hiện như sau: . Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S và vuơng gĩc với . . Tìm toạ độ giao điểm H của d và . Với H là tâm của đường trịn giao tuyến của S với . . Bán kính r của đường trịn giao tuyến: r R2 IH 2 Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 86
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3. ĐƯỜNG THẲNG 3.1. Phương trình của đường thẳng 3.1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng 3.1.1.1. Ðịnh nghĩa Cho đường thẳng d . Nếu vectơ a 0 và cĩ giá song song hoặc trùng với đường phẳng d thì a được gọi là vectơ chỉ phương của đường phẳng d . Kí hiệu: a (;;) a1 a 2 a 3 3.1.1.2. Chú ý a là VTCP của d thì k. a (k 0) cũng là VTCP của d  Nếu d đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP của d Trục Ox cĩ vectơ chỉ phương a i (1;0;0) Trục Oy cĩ vectơ chỉ phương a j (0;1;0) Trục Oz cĩ vectơ chỉ phương a k (0;0;1) 3.1.2. Phương trình tham số của đường thẳng Phương trình tham số của đường thẳng () đi qua điểm M0(;;) x 0 y 0 z 0 và nhận a (;;) a1 a 2 a 3 làm VTCP là : z  a x x ta 0 1 ( ) (): y y0 ta 2 t  M z z ta 0 M (x, y, z) y 0 3 O x 3.1.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng Phương trình chính tắc của đường thẳng () đi qua điểmM0(;;) x 0 y 0 z 0 và nhận x x y y z z ( ) :0 0 0 a , a , a 0 a (;;) a1 a 2 a 3 làm VTCP là 1 2 3 a1 a 2 a 3 3.2. Vị trí tương đối 3.2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng  M a ( ) ( )   a n   n n M M  ( ) a a a a 3.2.1.1. Phương pháp hình học Định lý Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 87
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 x x a t (1) 0 1 Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng ( ) : y y0 a 2 t (2) cĩ VTCP a (;;) a1 a 2 a 3 z z a t (3) 0 3  và quaM0(;;) x 0 y 0 z 0 và mặt phẳng ( ) :Ax By Cz D 0 cĩ VTPT n (;;) A B C Khi đĩ :  a. n 0 Aa Ba Ca 0 1 2 3  a  a. n 0 Aa Ba Ca 0 n // 1 2 3 MP 0 Ax0 By 0 Cz 0 0 a. n 0 Aa1 Ba 2 Ca 3 0 a  MP Ax By Cz 0 0 0 0 0 Đặc biệt  ( )  ( ) a và n cùng phương a1 :::: a2 a 3 A B C 3.2.1.1. Phương pháp đại số pt() Muốn tìm giao điểm M của và ta giải hệ phương trình: tìm x,,. y z Suy ra: pt() M x, y , z . Thế 1 , 2 , 3 vào phương trình mp P và rút gọn dưa về dạng: at b 0 (*) d cắt mp P tại một điểm pt * cĩ một nghiệm t . d song song với P pt * vơ nghiệm. d nằm trong P Pt * cĩ vơ số nghiệm t .  d vuơng gĩc P a và n cùng phương 3.2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng   1 u 1 M ' a M  M 0 0 u 0  1  M '  b  0 M0 u u'  u' 1 2 2 u' 2 M ' M M ' 0 0 0 2 3.2.2.1. Phương pháp hình học Cho hai đường thẳng: 1 đi qua M và cĩ một vectơ chỉ phương u1. 2 đi qua N và cĩ một vectơ chỉ phương u2.   u, u u , MN 0. 1 2 1 2 1 u1, u 2 0  1 // 2 . u, MN 0 1 Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 88
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 u1, u 2 0  1 cắt 2 . u1, u 2 . MN 0  1 và 2 chéo nhau u1, u 2 . MN 0. 3.2.2.2. Phương pháp đại số pt() 1 Muốn tìm giao điểm M của ()) va ( ta giải hệ phương trình : tìm x,,. y z Suy 1 2 pt() 2 ra: M x, y , z 3.2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu x x0 a 1 t (1) 2 2 2 2 Cho đường thẳng d : y y0 a 2 t (2) và mặt cầu S : ())()x a ( y b z c R cĩ tâm z z a t (3) 0 3 I(;;) a b c , bán kính R. 3.2.3.1. Phương pháp hình học Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu S đến đường thẳng d là  IM. a 0 h d(,) I d a Bước 2: So sánh d(,) I d với bán kính R của mặt cầu: . Nếu d(,) I d R thì d khơng cắt S . Nếu d(,) I d R thì d tiếp xúc S . Nếu d(,) I d R thì d cắt S tại hai điểm phân biệt M, N và MN vuơng gĩc với đường kính (bán kính) mặt cầu 3.2.2.2. Phương pháp đại số Thế 1 , 2 , 3 vào phương trình S và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo t * Nếu phương trình * vơ nghiệm thì d khơng cắt S Nếu phương trình * cĩ một nghiệm thì d tiếp xúc S Nếu phương trình * cĩ hai nghiệm thì d cắt S tại hai điểm phân biệt M, N Chú ý: Ðể tìm tọa độ M, N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 89
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.3. Gĩc trong khơng gian 3.3.1. Gĩc giữa hai mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Định lý Trong khơng gian Oxyz cho hai mặt phẳng ,  xác định bởi phương trình : ( ) :Ax By Cz D 0 1 1 1 1 ( ) :A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 Gọi là gĩc giữa hai mặt phẳng ()&()  ta cĩ cơng thức: AABBCC cos 1 2 1 2 1 2 ABCABC2 2 2. 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3.3.2. Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nội dung Hình vẽ x x y y z z Cho đường thẳng (): 0 0 0 a b c và mặt phẳng ( ) :Ax By Cz D 0 Gọi là gĩc giữa hai mặt phẳng ()&() ta cĩ cơng thức: Aa Bb Cc sin A2 B 2 C 2. a 2 b 2 c 2 3.3.3. Gĩc giữa hai đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho hai đường thẳng : x x0 y y 0 z z 0 (): 1 a b c x x y y z z (): 0 0 0 2 a''' b c Gọi là gĩc giữa hai mặt phẳng ()&() 1 2 ta cĩ cơng aa''' bb cc thức: cos a2 b 2 c 2. a '2 b '2 c '2 3.4. Khoảng cách 3.4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 90
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Cho mặt phẳng ( ) :Ax By Cz D 0 và điểm M0(;;) x 0 y 0 z 0 Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng () được tính bởi : Ax0 By 0 Cz 0 D d(;) M0 ABC2 2 2 3.4.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho đường thẳng () đi qua điểm M0(;;) x 0 y 0 z 0 và cĩ VTCP u (;;) a b c . Khi đĩ khoảng cách từ điểm M1 đến () được tính bởi cơng thức:  M M; u 0 1 d(,) M1 u 3.4.3. Khoảng cách giữa đường thẳng chéo nhau Nội dung Hình vẽ Định lý: Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau : ()(;;)(;;) co VTCP u a b c va qua M x y z 1 0 0 0 0 '''''''' ()(;;)(;;) 2 co VTCP u a b c va qua M0 x 0 y 0 z 0 Khi đĩ khoảng cách giữa ()) 1 va ( 2 được tính bởi   u,'. u M M ' 0 0 cơng thứcd(,) 1 2  u;' u 3.5. Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định 1 điểm thuộc d và một VTCP của nĩ. 3.5.1. Dạng 1 x x a t o 1 d đi qua điểm M0(;;) x 0 y 0 z 0 và cĩ VTCP a (;;) a1 a 2 a 3 là():()d y yo a2 t t R . z z a t o 3 3.5.2. Dạng 2  d đi qua hai điểm A,: B Một VTCP của d là AB . 3.5.3. Dạng 3 Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 91
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 d // d đi qua điểm M0(;;) x 0 y 0 z 0 và song song với đường thẳng cho trước: Vì nên VTCP của cũng là VTCP của d . 3.5.4. Dạng 4 d đi qua điểm M0(;;) x 0 y 0 z 0 và vuơng gĩc với mặt phẳng P cho trước: Vì d P nên VTPT của P cũng là VTCP của d . 3.5.5. Dạng 5 d là giao tuyến của hai mặt phẳng PQ , : Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP. ()P . Tìm toạ độ một điểm A d : bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn ()Q giá trị cho một ẩn) . Tìm một VTCP của d : a n, n PQ Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đĩ. 3.5.6. Dạng 6 d đi qua điểm M0(;;) x 0 y 0 z 0 và vuơng gĩc với hai đường thẳng d1,: d 2 d d, d d Vì 1  2 nên một VTCP của d là: a ad, a d 1 2 3.5.7. Dạng 7 d đi qua điểm M0(;;) x 0 y 0 z 0 , vuơng gĩc và cắt đường thẳng . Cách 1: H Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của M trên đường thẳng . Thì  . Khi 0 M H u 0 đĩ đường thẳng d là đường thẳng đi qua M0,. H Cách 2: Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuơng gĩc với d ; Q là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khi đĩ d P  Q 3.5.8. Dạng 8 d đi qua điểm M0(;;) x 0 y 0 z 0 và cắt hai đường thẳng d1,: d 2 Cách 1: Gọi M1 d 1,. M 2 d 2 Từ điều kiện M,, M1 M 2 thẳng hàng ta tìm được M1,. M 2 Từ đĩ suy ra phương trình đường thẳng d . Cách 2: Gọi P (,)M0 d 1 , Q (,)M0 d 2 . Khi đĩ d P  Q . Do đĩ, một VTCP củad cĩ thể chọn là a n, n . PQ Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 92
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.5.9. Dạng 9 d P nằm trong mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng d1,: d 2 Tìm các giao điểm A d1 P ,. B d 2  P Khi đĩ d chính là đường thẳng AB. 3.5.10. Dạng 10 P Q Viết phương trình mặt phẳng chứa và d1, mặt phẳng chứa và d2. Khi đĩ d P  Q . 3.5.11. Dạng 11 d là đường vuơng gĩc chung của hai đường thẳng d1, d 2 chéo nhau: Cách 1: MN d1 Gọi M d,. M d Từ điều kiện , ta tìm được M,. N Khi đĩ, d là 1 1 2 2 MN d 2 đường thẳngMN. Cách 2: . Vì d d1 và d d2 nên một VTCP của d cĩ thể là: a ad, a d . 1 2 d , . Lập phương trình mặt phẳng P chứad và 1 bằng cách:  Lấy một điểm A trên d1.  Một VTPT của P cĩ thể là: nP a, a d . 1 . Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q chứad và d2. Khi đĩ d P  Q . 3.5.12. Dạng 12 d là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng P thì ta Lập phương trình mặt phẳng Q chứa và vuơng gĩc với mặt phẳng P bằng cách: Lấy M . Q P n a, n Vì chứa và vuơng gĩc với nên QP . Khi đĩ d P  Q . 3.5.13. Dạng 13 d đi qua điểm M , vuơng gĩc với d1 và cắt d2 : Cách 1: N d N. d Gọi là giao điểm của và d2. Từ điều kiện MN d1, ta tìm được Khi đĩ, là đường thẳng MN. Cách 2: P M . Viết phương trình mặt phẳng qua và vuơng gĩc với d1. Q M . Viết phương trình mặt phẳng chứa và d2. Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 93
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 . Khi đĩ d P  Q . 3.6. Vị trí tương đối 3.6.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta cĩ thể sử dụng một trong các phương pháp sau: Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng. Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. 3.6.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta cĩ thể sử dụng một trong các phương pháp sau: Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng. Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng. 3.6.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta cĩ thể sử dụng các phương pháp sau: Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính. Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu. 3.7. Khoảng cách 3.7.1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d Cách 1:  M M, a M 0 Cho đường thẳng d đi qua 0 và cĩ VTCP a thì d(,) M d a Cách 2: . Tìm hình chiếu vuơng gĩc H của M trên đường thẳng d. . d M,. d MH Cách 3: . Gọi N x;;. y z d Tính MN 2 theo t ( t tham số trong phương trình đường thẳng d). . Tìm t để MN 2 nhỏ nhất. . Khi đĩ NH . Do đĩ d M,. d MH 3.7.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 94
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2. Biết d1 đi qua điểm M1 và cĩ VTCP a1 , d2 đi  a,. a M M 1 2 1 2 M a d(,) d d qua điểm 2 và cĩ VTCP 2 thì 1 2 a, a 1 2 Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d 2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt phẳng chứa d2 và song song với d1. 3.7.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. 3.7.4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳngd với mặt phẳng song song với nĩ bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trênd đến mặt phẳng . 3.8. Gĩc 3.8.1. Gĩc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d 2 lần lượt cĩ các VTCP a1, a 2 . a. a d, d a, a 1 2 Gĩc giữa 1 2 bằng hoặc bù với gĩc giữa 1 2 là: cos a1 , a 2 a1. a 2 3.8.2. Gĩc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng d n (;;) A B C Cho đường thẳng cĩ VTCP a (;;) a1 a 2 a 3 và mặt phẳng cĩ VTPT . Gĩc giữa đường thẳng d và mặt phẳng bằng gĩc giữa đường thẳng d với hình chiếu Aa Ba Ca d ' của nĩ trên là: sind , 1 2 3 2 2 2 2 2 2 A B C a1 a 2 a 3 4. MẶT CẦU 4.1. Phương trình mặt cầu 4.1.1. Phương trình chính tắc Phương trình của mặt cầu S tâm I a;;, b c bán kính R là: ():()()()S x a2 y b 2 z c 2 R 2 1 Phương trình 1 được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu Đặc biệt: Khi IO thì ():C x2 y 2 z 2 R 2 4.1.2. Phương trình tổng quát Phương trình : x2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 cz d 0 với a2 b 2 c 2 d 0 là phương trình của mặt cầu S cĩ tâm I a;;, b c bán kính R a2 b 2 c 2 d . Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 95
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt phẳng () và mặt cầu S cĩ phương trình : ( ) :Ax By Cz D 0 ():()()()S x a2 y b 2 z c 2 R 2 Gọi d( I; ) là khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng Cho mặt cầu SIR ; và mặt phẳng P . Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của I lên P d IH d I,. P d R d R d R Mặt cầu và mặt phẳng Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: Mặt phẳng cắt mặt cầu khơng cĩ điểm chung. P là mặt phẳng tiếp diện của theo thiết diện là đường trịn cĩ tâm I và bán kính mặt cầu và H : tiếp điểm. r R2 IH 2 4.3. Một số bài tốn liên quan 4.3.1. Dạng 1 S cĩ tâm I a;; b c và bán kính R thì S :()()() x a2 y b 2 z c 2 R 2 4.3.2. Dạng 2 S cĩ tâm I a;; b c và đi qua điểm A thì bán kính R IA. 4.3.3. Dạng 3 S nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng x x y y z z AB : x ABABAB;;y z III2 2 2 AB Bán kính R IA . 2 4.3.4. Dạng 4 S đi qua bốn điểm ABCD,,,( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện) Giả sử phương trình mặt cầu S cĩ dạng: x2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 cz d 0 * . Thay lần lượt toạ độ của các điểm ABCD,,, vào *, ta được 4 phương trình. Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 96
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Giải hệ phương trình đĩ, ta tìm được a,,, b c d Phương trình mặt cầu S . 4.3.5. Dạng 5 S đi qua ba điểm ABC,, và cĩ tâm I nằm trên mặt phẳng P cho trước thì giải tương tự dạng 4 4.3.6. Dạng 6 S cĩ tâm I và tiếp xúc với mặt cầu T cho trước: Xác định tâm I và bán kính R' của mặt cầu T . Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu S . (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và ngồi) Chú ý: Với phương trình mặt cầu S : x2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 cz d 0 với a2 b 2 c 2 d 0 thì S cĩ tâm I –;–;– a b c và bán kính R a2 b 2 c 2 d . Đặc biệt: Cho hai mặt cầu S1 I 1, R 1 và S2 I 2,. R 2 IIRR1 2 1 2 S1 , S 2 trong nhau IIRR 1 2 1 2 S1 , S 2 ngồi nhau IIRR1 2 1 2 S1 , S 2 tiếp xúc trong IIRR 1 2 1 2 S1 , S 2 tiếp xúc ngồi RRIIRR1 2 1 2 1 2 S1 , S 2 cắt nhau theo một đường trịn (đường trịn giao tuyến). 4.3.7. Dạng 7 Viết phương trình mặt cầu S cĩ tâm I a;; b c , tiếp xúc với mặt phẳng P cho trước thì bán kính mặt cầu R d I; P 4.3.8. Dạng 8 Viết phương trình mặt cầu S cĩ tâm I a;; b c , cắt mặt phẳng P cho trước theo giao tuyến là một đường trịn thoả điều kiện . Đường trịn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ cơng thức diện tích đường trịn S r 2 hoặc chu vi đường trịn P 2 r ta tìm được bán kính đường trịn giao tuyến r . Tính d d I, P Tính bán kính mặt cầu R d2 r 2 Kết luận phương trình mặt cầu. 4.3.9. Dạng 9 Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 97
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Viết phương trình mặt cầu S tiếp xúc với một đường thẳng cho trước và cĩ tâm I a;; b c cho trước thì đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S ta cĩ R d I, . 4.3.10. Dạng 10 Viết phương trình mặt cầu S tiếp xúc với một đường thẳng tại tiếp điểm M xo,, y o z o thuộc và cĩ tâm I thuộc đường thẳng d cho trước thì ta làm như sau: Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M và vuơng gĩc với đường thẳng . Toạ độ tâm IP  là nghiệm của phương trình. Bán kính mặt cầu R IM d I, . Kết luận về phương trình mặt cầu S 4.3.10. Dạng 10 Viết phương trình mặt cầu S cĩ tâm I a;; b c và cắt đường thẳng tại hai điểm AB, thoả mãn điều kiện: Độ dài AB là một hằng số. Tam giác IAB là tam giác vuơng. Tam giác IAB là tam giác đều. AB Thì ta xác định d I, IH , vì IAB cân tại I nên HB và bán kính mặt cầu R 2 được tính như sau: R IH2 HB 2 IH R sin 45o IH R sin 60o 4.3.11. Dạng 11 Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất P nào đĩ. Tìm hệ thức giữa các toạ độ x,, y z của điểm M . ()()()x a2 y b 2 z c 2 R 2 hoặc: x2 y 2 z 2 2 ax 2 by 2 cz d 0 Tìm giới hạn quĩ tích (nếu cĩ). 4.3.12. Dạng 12 Tìm tập hợp tâm mặt cầu x f() t Tìm toạ độ của tâm I , chẳng hạn: y g() t * z h() t Khử t trong * ta cĩ phương trình tập hợp điểm. Tìm giới hạn quĩ tích (nếu cĩ). Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 98
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHƠNG GIAN 5.1. Dạng 1 Cho P và hai điểm AB,. Tìm MP để MA MB ? min Phương pháp Nếu A và B trái phía so với P MAB,, thẳng hàng M AB  P Nếu A và B cùng phía so với P thì tìm B ' là đối xứng của B qua P 5.2. Dạng 2 Cho P và hai điểm AB,. Tìm MP để MA MB ? max Phương pháp Nếu A và B cùng phía so với P MAB,, thẳng hàng M AB  P Nếu A và B trái phía so với P thì tìm B ' là đối xứng của B qua P MA MB'' AB 5.3. Dạng 3 Cho điểm M xMMM;; y z khơng thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình P M Ox,, Oy Oz ABC,, qua và cắt 3 tia lần lượt tại sao cho VO. ABC nhỏ nhất? x y z Phương pháp P : 1 3xMMM 3 y 3 z 5.4. Dạng 4 Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d , sao cho khoảng cách từ điểm M d đến P là lớn nhất? QuaA d   Phương pháp P : n P u d,, AM u d 5.5. Dạng 5 Viết phương trình mặt phẳng P quaA và cách M một khảng lớn nhất ? QuaA Phương pháp P :   nP AM 5.6. Dạng 6 Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d , sao cho P tạo với ( khơng song song với d ) một gĩc lớn nhất là lớn nhất ? Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 99
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 QuaA d  Phương pháp P : n P u d,, u u d 5.7. Dạng 7 Cho // P . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) song song với và cách một khoảng nhỏ nhất ? Phương pháp Qua A Lấy A , gọi A là hình chiếu vuơng gĩc của A trên P thì d : . ud u 5.8. Dạng 8 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng P cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là lớn nhất (AM khơng vuơng gĩc với P ) ? Qua A d   Phương pháp d : ud n P , AM 5.9. Dạng 9 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng P cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là nhỏ nhất (AM khơng vuơng gĩc với P ) ? QuaA d    Phương pháp d : ud n P , AM, n P 5.10. Dạng 10 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm AP cho trước, sao cho d nằm trong P và tạo với đường thẳng một gĩc nhỏ nhất ( cắt nhưng khơng vuơng gĩc với P )? Phương pháp QuaA d    d : ud n P , AM, n P Sưu tầm và biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 100