›
›
›

2 Chủ đề tương tự câu 38 trong đề thi minh họa của Bộ Giáo dục năm 2023(Có đáp án)

doc 47 trang haihamc 14/07/2023 3200
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "2 Chủ đề tương tự câu 38 trong đề thi minh họa của Bộ Giáo dục năm 2023(Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doc2_chu_de_tuong_tu_cau_38_trong_de_thi_minh_hoa_cua_bo_giao_d.doc

Nội dung text: 2 Chủ đề tương tự câu 38 trong đề thi minh họa của Bộ Giáo dục năm 2023(Có đáp án)

  1. PHÁT TRIỂN CÂU 38 ĐỀ THI MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC NĂM 2023 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D ta cần xác định được hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng D . Điểm H thường được dựng theo hai cách sau: Cách 1: Trong mặt phẳng (M ,D) vẽ MH ^ D . Khi đó: d(M ,D) = MH . Cách 2: Dựng mặt phẳng (a) qua M và vuông góc với D tại H . Khi đó: d(M ,D) = MH . M H 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho điểm M và mặt phẳng (a) . Gọi H là hình chiếu của M xuống (a) . Khi đó MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (a) . Cách 1: Tìm hình chiếu điểm M trên mặt phẳng (a) . Bước 1: Chọn mặt phẳng (b) qua M và vuông góc với (a) . Bước 2: Xác định giao tuyến d = (a) Ç(b) . Bước 3: Trong mặt phẳng (b) kẻ MH ^ d . Vậy MH = d(M,(a)) . M H d  Cách 2: Dùng talet Trang 1
  2. Giả sử đã biết d(A,(a)) , IM và IA . Nếu AM P (a) thì d(M ,(a)) = d(A,(a)) . d(M ,(a)) IM Nếu AM cắt (a) tại I thì = . d(A,(a)) IA M M A A I H K H K Chú ý: Thường sử dụng công thức sau: d M ,mp P MO Công thức tính tỉ lệ khoảng cách: d A,mp P AO 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng D và D ' : - Nếu D và D ' cắt nhau hoặc trùng nhau thì d(D,D ') = 0 . - Nếu D và D ' song song với nhau thì d(D,D ') = d(M ,D ') = d(N,D) M K ' H N Trang 2
  3. Câu 38. (Đề thi minh họa BGD 2023) Cho hình chóp đều S.ABCD có chiều cao a, AC 2a (tham khảo hình bên). Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD . 3 2 3 2 A. . a B. . 2a C. . aD. . a 3 3 2 Lời giải Chọn C S I A D O H B C - Gọi O AC  BD , H là trung điểm CD . Trong SOH , kẻ OI  SH . CD  SO Có CD  SOH CD  OI . CD  SH Mà OI  SH nên OI  SCD d O, SCD OI . 2SO.OH - Vì O là trung điểm BD nên d B, SCD d O, SCD 2OI . SO2 OH 2 2 2 3 Có AD AC sin 45 a 2 , OH a d B, SCD a . 2 3 Trang 3
  4. CHỦ ĐỀ 1 DẠNG TƯỢNG TỰ CÂU 38 TRONG ĐỀ THI MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC NĂM 2023 Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB 4a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng A. .4 a B. . 4 2a C. . 2 2a D. . 2a Lời giải Chọn A AB  BC  Ta có:  BC  (SAB) . Suy ra: d(C;(SAB)) BC AB 4a . SA  BC  Câu 2. Cho hình chóp SABC có SA  ABC , tam giác ABC vuông tại B và có BC a , Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB . a 2 A. .aB. . aC. 2.D. . 2a 3 2 Lời giải Chọn A CB  AB Ta có: CB  SAB d C, SAB CB a . CB  SA Trang 4
  5. Câu 3. Cho hình chóp SABC , SA  ABC , SA a 3, đáy là tam giác đều cạnh a . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB . a 2 a 2 a 3 a 2 A B C. .D 2 3 2 4 Lời giải Chọn B a 3 Gọi H là trung điểm AB CH  AB và CH . 2 CH  AB a 3 Ta có: CH  SAB d C, SAB CH . CH  SA 2 Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  ABCD , SA a 5 . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB . A aB 2C D a 5 2a a Lời giải: Chọn D CB  AB Ta có: CB  SAB d C, SAB CB a . CB  SA Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB a, BC 2a , SA  ABCD , SA a 5 . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAD . a A. .2 a B. . C. . a D. . a 2 2 Lời giải: Chọn C CD  AD Ta có: CD  SAD d C, SAD CD a . CD  SA Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có V a3 3 . Đáy là hình vuông cạnh a , hãy tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABCD . Trang 5
  6. A. 2a . B. 3a .C. . a 5 D. . 3a 3 Lời giải: Chọn D 1 3V 3.a3 3 Ta có:V .d S; ABCD .AB2 d S; ABCD 3a 3 . 3 AB2 a2 Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2 5a 5a 2 2a 5a A. B. C. D. 5 3 3 5 Lời giải Chọn A S 2a H A C a B BC  AB Ta có BC  SAB . BC  SA Kẻ AH  SB . Khi đó AH  BC AH  SBC AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC . 1 1 1 1 1 5 4a2 2 5a Ta có AH 2 AH . AH 2 SA2 AB2 4a2 a2 4a2 5 5 Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 6a 3a 5a 3a A. B. C. D. 6 3 3 2 Lời giải Chọn D Trang 6
  7. BC  AB Ta có: BC  SAB BC  SA SAB  SBC SAB  SBC SB Trong mặt phẳng SAB : Kẻ AH  SB AH d A, SBC 1 1 1 1 1 4 . AH 2 SA2 AB2 a2 3a2 3a2 3a d A, SBC AH . Chọn D 2 Câu 9. Cho hình chóp SABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD 2a ,SA a . Khoảng cách từ A đến SCD bằng: 3a 3a 2 2a 2a 3 A. B. C. D. 7 2 5 3 Lời giải Chọn C Gọi H là hình chiếu của A lên SD ta chứng minh được AH  SCD 1 1 1 2a AH AH 2 SA2 AD2 5 Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy và a2 3 SA a 3 . Biết diện tích tam giác SAB là . Khoảng cách từ điểm B đến SAC là: 2 Trang 7
  8. a 2 a 10 a 10 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 5 3 Lời giải Chọn A Ta có SA  ABCD SA  AB hay SAB vuông tại A . 1 1 a2 3 S SA.AB a 3.AB AB a . Do đó ABCD là hình vuông cạnh a . SAB 2 2 2 Gọi O AC  BD . Ta có: BD  SA; BD  AC BD  SAC . 1 a 2 d B, SAC BO BD . 2 2 Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì liên hệ: Zalo O937-351-107 Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài liệu lớp khác. Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , biết SA  ABC và AB 2a , AC 3a ,SA 4a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng 2a 6a 29 12a 61 a 43 A. .dB. .C D d d 11 29 61 12 Lời giải Chọn C S K A C H B Ta có SA  ABC   SA  BC . BC  ABC  Trang 8
  9. Trong ABC , kẻ AH  BC , mà BC  SA BC  SAH BC  SH . Trong SAH , kẻ AK  SH , mà SH  BC AK  SBC hay d A, SBC AK . Vì ABC vuông tại A nên BC AB2 AC 2 13a . AB.AC 6a 13 Mặt khác có AH là đường cao nên AH . BC 13 2a 793 Vì SAH vuông tại A nên SH SA2 AH 2 . 13 SA.AH 12a 61 Vậy có AK là đường cao AK . SH 61 Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì liên hệ: Zalo O937-351-107 Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài liệu lớp khác. Câu 12. Cho tứ diện O.ABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau OA OB OC 3. Khoảng cách từ O đến mp(ABC) là 1 1 1 A. B. 1 C. D. 3 2 3 Lời giải Chọn B Gọi A' là chân đường cao kẻ từ A lên BC, C ' là chân đường cao kẻ từ C lên AB. Gọi H là giao của AA’ với CC’ suy ra H là trực tâm của tam giácABC. Ta dễ dàng chứng minh được OH  (ABC). Do đó: d(O,(ABC)) OH. Tính OH. 1 1 1 Ta có: Tam giác OAA' vuông tại O, có OH là đường cao. Suy ra : (1) OH 2 OA2 OA'2 1 1 1 Lại có: Tam giác OBC vuông tại B, có OA' là đường cao. Suy ra: (2) OA'2 OB2 OC 2 Trang 9
  10. 1 1 1 1 Từ (1) và (2) suy ra: . Thay OA OB OC 3 vào, ta được: OH 2 OA2 OB2 OC 2 1 1 1 1 1 OH 1. OH 2 3 3 3 Vậy d(O,(ABC)) OH 1. Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng A bằngBC . Gọi60° là M trung điểm cạnh . AB Khoảng cách từ B đến (SMC) bằng a 39 a A. . 13 B. . a 3 C. . a D. . 2 Lời giải Chọn A SB, ABC = S·BA = 60° Þ SA = tan 60°.a = a 3 Ta có ( ( )) . d B SMC = d A SMC Vì M là trung điểm của AB ( ,( )) ( ,( )) . 1 a Þ d A SMC = AH AM AB Dựng AH vuông góc với SM tại H ( ,( )) mà 2 2 . 1 1 1 1 4 13 a 39 AH Xét tam giác vuông DSAM ta có: AH2 SA2 AM2 3a2 a2 3a2 13 . Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ D đến mặt phẳng SAC bằng Trang 10
  11. a 2 a 21 a 21 a 21 A. . 2 B. . 7 C. . 14D. . 28 Lời giải Chọn B * Gọi O AC  BD và G là trọng tâm tam giác ABD , I là trung điểm của AB ta có d D; SAC DG 2 d D; SAC 2.d I; SAC SI  ABCD và d I; SAC IG . * Gọi K là trung điểm của AO , H là hình chiếu của I lên SK ta có IK  AC; IH  SAC d D; SAC 2.d I; SAC 2.IH a 3 BO a 2 SI ; IK * Xét tam giác SIK vuông tại I ta có: 2 2 4 1 1 1 4 16 28 a 3 IH IH 2 SI 2 IK 2 3a2 2a2 3a2 2 7 a 21 d D; SAC 2.d I; SAC 2.IH 7 . Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , B· AD 60o , SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách tứ B đến SCD bằng? 21a 15a 21a 15a A. .B C D 3 3 7 7 Lời giải Chọn C Trang 11
  12. CÁCH 1: Ta có AB / /CD d B; SCD d A; SCD . Kẽ MA  CD M CD ,kẻ AH  SM SH  SCD d A, SCD SH . 2S S a 3 1 1 1 21 SA a ; AM ACD ABCD SM a CD CD 2 SH 2 SA2 AM 2 7 3V 3V 21a CÁCH 2: Ta có AB / /CD d B; SCD d A; SCD S.BCD S.A BCD . SSCD 2SSCD 7 ( SCD;SD a 2;SC 2a;CD a ) Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD bằng 21a 21a 2a 21a A. . B. . C. D. . 14 7 2 28 Lời giải. Chọn B Trang 12
  13. S A D H I O K B C Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó, SH  ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra AC  BD . Kẻ HK  BD tại K (K là trung điểm BO ). Kẻ HI  SH tại I. Khi đó: d A, SBD 2d H, SBD 2HI. a 3 1 a 2 Xét tam giác SHK, có: .SH , HK AO 2 2 4 1 1 1 28 a 21 Khi đó: HI . HI 2 SH 2 HK 2 3a2 14 a 21 Suy ra: d A, SBD 2HI . 7 Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD a , AB 2a . Cạnh bên SA 2a và vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB và SD . Tính khoảng cách d từ S đến mặt phẳng AMN . a 6 3a A. .d B. . d 2aC. . d D. .d a 5 3 2 Lời giải Chọn A 1 2 Ta có: V SA.S a3 S.ABD 3 ABD 3 3 VS.AMN SN SM 1 1 a Vì: . VS.AMN VS.ABD VS.ABD SD SB 4 4 6 1 a 5 SAD vuông: SD SA2 AD2 a 5 AN SD 2 2 Trang 13
  14. SAB vuông: SD SA2 AB2 2a 2 AM a 2 1 a 5 MN là đường trung bình của tam giác SBD MN DB 2 2 2 a 6 3VS.AMN a 6 Khi đó: S AMN d S; AMN nên chọn đáp án A. 4 S AMN 3 Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì liên hệ: Zalo O937-351-107 Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài liệu lớp khác. Câu 18. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB BC a, a 6 AD 2a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của AD và SH .Tính 2 khoảng cách d từ B đến mặt phẳng SCD . 6a 6a 15a A. d B. d a C. d D. d 8 4 5 Lời giải. Chọn C Gọi M là trung điểm của CD , K là hình chiếu của H lên SM a 2 Tam giác HCD vuông tại H có CD a 2 và HM 2 Ta có BH / /CD d B, SCD d H, SCD HK HM.HS a 6 Tam giác SHM vuông tại H có HK HM 2 HS 2 4 a 6 Vậy d B, SCD 4 Trang 14
  15. Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AC a,I là trung điểm SC . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC là trung điểm H của BC . Mặt phẳng SAB tạo với ABC một góc 60 . Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng SAB . 3a 3a 5a 2a A. . B. . C. . D. . 4 5 4 3 Lời giải Chọn A S I K B C H M A a Gọi M là trung điểm cạnh AB thì MH là đường trung bình của tam giác ABC nên MH , MH //AC 2 MH  AB . Mặt khác, do SH  ABC nên SMH  BC . Suy ra góc giữa SAB và ABC là góc giữa SM và MH ; lại có SH  MH nên góc này bằng góc S·MH . Từ giả thiết suy ra S·MH 60 . Gọi K là hình chiếu của H lên SM thì HK  SAB . a 3 a a 3 Xét tam giác vuông SMH, SH MH.tan 60 , MH HK . 2 2 4 Gọi khoảng cách từ I,C,H đến mặt phẳng SAB lần lượt là d I, SAB ,d C, SAB ,d H, SAB . Cách 1: 1 d I, SAB = d C, SAB 2 a 3 Ta có d I, SAB d H, SAB . 1 4 d H, SAB d C, SAB 2 Cách 2: IH là đường trung bình của tam giác SBC nên IH //SB IH // SAB a 3 d I, SAB d H, SAB 4 Câu 20. Cho hình chóp S . ABC có SA a , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC bằng Trang 15
  16. a 42 a 42 a 42 a 42 A. . 7 B. . 14 C. . D.12 . 6 Lời giải Chọn A Gọi H , M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC , AM . Do tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy SH  ABC . Kẻ HK  SN 1 . AC  HN AC  SHN Ta có: AC  SH AC  HK 2 . Từ 1 và 2 HK  SAC d H ; SAC HK . Ta có d B; SAC 2d H ; SAC . AB a 2 a 2 SH Do tam giác SAB vuông cân tại S và SA a 2 . a 6 BM 2 a 6 HN Do tam giác ABC đều 4 . SH .HN 42 HK a Xét tam giác vuông SHN , ta có SH 2 HN 2 14 . 42 d B; SAC 2d H ; SAC 2HK a Vậy 7 . Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc B· AD 600 . Đường 3a SO thẳng SO vuông góc với mặt đáy ABCD và 4 . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng SBC bằng Trang 16
  17. 3a a a 3 3a A. . 4 B. . 3 C. . 4 D. . 8 Lời giải Chọn D Ta có: tứ giác ABCD là hình thoi cạnh a có B· AD 600 suy ra tam giác BCD là tam giác đều cạnh a . a 3 DM Gọi M là trung điểm cạnh BC . Suy ra DM  BC và 2 . 1 a 3 OK DM Kẻ OK / /DM , K BC OK  BC và 2 4 . Vì SO  ABCD BC  SO BC  SOK . Kẻ OH  SK, H SK OH  SBC . a 3 3a . OK.SO 3a d O, SBC OH 4 4 2 2 2 2 8 OK SO a 3 3a 4 4 Từ đó ta có: . Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD 2a . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 45 . Gọi M là trung điểm của SD , hãy tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng SAC . 2a 1513 a 1315 2a 1315 a 1513 A. d . B. d . C. d . D. d . 89 89 89 89 Lời giải Chọn D Trang 17
  18. Gọi H là trung điểm của AB SH  AB ( SAB cân tại S ). SAB  ABCD AB Ta có SAB  ABCD SH  ABCD . SH  AB cmt Vì SH  ABCD , nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng ABCD là HC , suy ra SC , ABCD SC , HC S· CH 45. 2 2 2 2 AB 2 a 2 a 17 HBC vuông tại B , có HC HB BC BC 2a . 2 2 2 a 17 SHC vuông cân tại H , suy ra SH HC . 2 d M , SAC MS 1 1 1 Ta có d M , SAC d D, SAC d B, SAC . d D, SAC DS 2 2 2 d B, SAC BA Mặt khác 2 d B, SAC 2d H , SAC . d H , SAC HA Từ đó d M , SAC d H , SAC . Trong mặt phẳng SAC , kẻ HI  AC và kẻ HK  SI . AC  HI gt Ta có AC  SHI AC  HK . AC  SH SH  ABCD HK  SI gt Ta có HK  SAC d H , SAC HK. HK  AC cmt 2 ABC vuông tại B , có AC AB2 BC 2 a2 2a a 5. AI IH AH BC.AH BC.AB 2a.a a 5 AIH : ABC IH . AB BC AC AC 2AC 2.a 5 5 Trang 18
  19. a 17 a 5 . SH.HI a 1513 SHI vuông tại H , có HK 2 5 . 2 2 2 2 89 SH HI a 17 a 5 2 5 Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB AD 2a; DC a . Điểm I là trung điểm đoạn AD, hai mặt phẳng SIB và SIC cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng ABCD một góc 60 . Tính khoảng cách từ D đến SBC theo a . a 15 9a 15 2a 15 9a 15 A. . 5 B. . 10 C. . D. .5 20 Lời giải Chọn A Theo đề ta có SI  ABCD . Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên BC . ·SBC , ABCD S· KI 60 Suy ra: Góc giữa hai mặt phẳng Gọi E là trung điểm của AB, M IK  DE. Do BCDE là hình bình hành nên DE // SBC d D, SBC d DE, SBC d M , SBC Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên SK . Suy ra d M , SCD MH 1 1 1 IM AU KN MK Dễ thấy: 2 2 2 1 5 IN IM MK KN MK MK MK MK 2 2 Trang 19
  20. 2 2 2a 5 MK IN ID2 DN 2 Suy ra: 5 5 5 . a 15 MH MK.sin 60 Trong tam giác MHK, ta có: 5 Câu 24. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 3 (tham khảo hình bên dưới). A B D C A' B' D' C' Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ACC A bằng 3 2 3 A. .3 B. . 3 2 C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn C. Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Do ABCD là hình vuông nên BD  AC tại O . Do ABCD.A B C D là hình lập phương nên AA  ABCD AA  BD . 1 3 2 BO  ACC A tại O d B; ACC A BO BD . 2 2 Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì liên hệ: Zalo O937-351-107 Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài liệu lớp khác. Trang 20
  21. Câu 25. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và AA 2a . Gọi M là trung điểm của AA (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng AB C là 57a 5a 2 5a 2 57a A B. .C. .D. . 19 5 5 19 Lời giải Chọn A +) Trong mặt phẳng AA B B , MB  AB I MI MA 1 1 d M ; AB C d B; AB C . IB BB 2 2 +) K là trung điểm AC , hạ BH  B K AC  BK AC  BB K AC  BH . AC  BB BH  B K BH  AB C d B; AB C BH . BH  AC a 3 +) Trong tam giác vuông B KB : BK ; BB 2a . 2 Trang 21
  22. 1 1 1 1 1 19 2 57 2 2 2 2 2 2 BH a . BH BK BB a 3 2a 12a 19 2 57 Vậy d M , AB C a . 19 Câu 26. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và AA 2a . Gọi M là trung điểm của CC (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng A BC bằng a 5 2 5a 2 57a 57a A. . 5 B. . 5 C. . 1D.9 . 19 Lời giải. Chọn D Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên BC và A H . 1 1 1 d M , A BC d C , A BC d A, A BC AK Ta có 2 2 2 . a 3 AH.AA 2a 57 AH AK Mà 2 ; AA 2a nên AH 2 AA 2 19 . a 57 d M ; A BC Vậy 19 . Trang 22
  23. Câu 27. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của AA (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng AB C bằng a 2 a 21 a 2 a 21 A. . 4 B. . 7 C. . 2 D. . 14 Lời giải. Chọn D Trong ABB A , gọi E là giao điểm của BM và AB . Khi đó hai tam giác EAM và EB B đồng dạng. d M , AB C EM MA 1 1 d M , AB C  d B, AB C Do đó d B, AB C EB BB 2 2 . a 3 BN Từ B kẻ BN  AC thì N là trung điểm của AC và 2 , BB a . BB  BN a 21 d B, AB C BI Kẻ BI  B N thì BB 2 BN 2 7 . 1 a 21 d M , AB C  d B, AB C Vậy 2 14 . Câu 28. Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABCD trùng với O . Biết tam giác AA C vuông cân tại A . Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng ABB A . Trang 23
  24. a 6 a 2 a 2 a 6 h h h h A. . 6 B. . C.6 . D. . 3 3 Lời giải. Chọn D 2 2 2 2 Ta có: AC AB BC a a a 2 . AC a 2 A O Vì tam giác AA C vuông cân tại A nên ta có: 2 2 . Gọi M là trung điểm của AB . Suy ra OM  AB . Trong mặt phẳng A OM : kẻ OH  A M . Ta có: AB  A OM (vì AB  OM và AB  A O ). Suy ra AB  OH . OH  A M OH  ABB A Vì OH  AB . Do đó: d O; ABB A OH . Do D,O, B thẳng hàng và DB 2OB nên d D; ABB A 2d O; ABB A 2OH . a 2 a . A O.OM a 6 OH 2 2 2 2 2 2 6 A O OM a 2 a 2 2 Ta có: . a 6 d D; ABB A h 2OH Vậy 3 . Trang 24
  25. CHỦ ĐỀ 2 DỰ ĐOÁN CÁC DẠNG CÂU THAY THẾ CÂU 38 ĐỀ THI MINH HỌA, CÓ THỂ RA TRONG ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM 2023 CỦA BỘ GIÁO DỤC 1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng Tính khoảng cách giữa đường thẳng D và (a) : - Nếu D cắt (a) hoặc D nằm trong (a) thì d(D,(a)) = 0 . - Nếu D P (a) thì d(D,(a)) = d(M ,(a)) với M Î D M H 2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (a) và (b) - Nếu (a) cắt (b) hoặc (a) º (b) thì d((a),(b)) = 0 . - Nếu (a) P (b) thì d((a),(b)) = d(M ,(b)) với M Î (a) M H  Câu 29. Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A vàD , AD 2a . Trên đường thẳng vuông góc tại D với ABCD lấy điểm S với SD a 2 . Tính khỏang cách giữa đường thẳng DC và SAB . 2a a a 3 A. . B. . C. . a 2 D. . 3 2 3 Lời giải Chọn A. Trang 25
  26. Vì DC // AB nên DC // SAB d DC; SAB d D; SAB . Kẻ DH  SA , do AB  AD , AB  SA nên AB  SAD DH  AB suy ra d D;SC DH . Trong tam giác vuông SAD ta có: 1 1 1 SA.AD 2a 2 2 2 DH . DH SA AD SA2 AD2 3 Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì liên hệ: Zalo O937-351-107 Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài liệu lớp khác. 2a Câu 30. Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA 3 và OB . Khoảng cách giữa đường thẳng MN và ABC bằng: a a 2 a a 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Lời giải Chọn D. Vì M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB nên MN // AB MN // ABC . Trang 26
  27. 1 a 3 Ta có: d MN; ABC d M ; ABC OH (vì M là trung điểm của OA). 2 3 Câu 31. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB SA 2a. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến SCD bằng bao nhiêu? a 6 a 6 a A. . B. . C. . D. a. 2 3 2 Lời giải Chọn B. S H A D I O M B C Gọi I, M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD thì CD  (SIM ) Vẽ IH  SM tại H SM thì IH  (SCD) SO.IM d AB,(SCD) d I,(SCD) IH SM SAB đều cạnh 2a SI a 3 SM a 3 1 Và OM IM a SO SM 2 OM 2 a 2 2 SO.IM a 2.2a 2a 6 d AB,(SCD) SM a 3 3 2a Câu 32. Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA 3 và OB . Tính khoảng cách giữa đường thẳng MN và ABC . a 3 a 2 a a A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3 Lời giải Chọn A. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và ABC : OH a 3 d MN, ABC d MNP , ABC . 2 3 Trang 27
  28. Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , mặt đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và SAD . a 2 a 3 a a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Lời giải Chọn C. S D A I J B C SA  ABCD SA  AI . Lại có AI  AD ( hình thang vuông) suy ra AI  SAD a IJ // AD theo tính chất hình thang, nên d IJ, SAD d I, SAD IA 2 Câu 34. Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AD 2a. Trên đường thẳng vuông góc với ABCD tại D lấy điểm S với SD a 2. Tính khoảng cách giữa DC và SAB . 2a a a 3 A. . B. . C. . a 2 D. . 3 2 3 Lời giải Chọn A. S H D C A B Trang 28
  29. * Trong tam giác DHA , dựng DH  SA ; * Vì DC / / AB d DC; SAB d D; SAB DH Xét tam giác vuông SDA có : 1 1 1 a 12 2a DH DH 2 SD2 AD2 3 3 Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì liên hệ: Zalo O937-351-107 Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài liệu lớp khác. Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA 2a . Gọi M là trung điểm của SD . Tính khoảng cách d giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ACM 3a 2a a A. d B. d a C. d D. d 2 3 3 Lời giải Chọn C Gọi O là tâm hình vuông. Ta có: MO / /SB SB / /(ACM ) d(SB,(ACM )) d(B,(ACM )) d(D,(ACM )) ( vì O là trung điểm)BD MI / /SA MI  (ABCD) Gọi I là trung điểm AD d(D,(ACM )) 2d(I,(ACM )) Trong (ABCD) kẻ IK  AC tại K Trong (MIK) kẻ IH  MK tại H (1) Ta có: AC  MI, AC  IK AC  (MIK) AC  IH (2) Từ (1) & (2) IH  (ACM ) d(I,(ACM )) IH Trang 29
  30. IM.IK Trong tam giác MIK ta có: IH= IM2 +IK2 a 2 a  SA OD BD a 2 a Biết MI a, IK IH 4 2 2 4 4 a2 3 a2 8 2a Vậy: d(SB,(ACM )) 3 Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB 3a, AD DC a . Gọi I là trung điểm của AD , biết hai mặt phảng SBI và SCI cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 600 . Tính theo a khoảng cách từ trung điểm cạnh SD đến mặt phẳng SBC . a 17 a 6 a 3 a 15 A. . 5 B. . 19 C. . 15 D. . 20 Lời giải Chọn B Kẻ IK  BC K BC SBC ; ABCD S· KI 600 MD 1 a Gọi M AD  BC . Ta có MD MA 3 2 IK MI a 2 5 Ta có MIK đồng dạng với MBA nên suy ra BA MB 2 15 2 3a 3a 2 2 5 2a 5 IK .3a 15 5 Gọi N là trung điểm của SD . Trang 30
  31. 1 1 Ta có d N, SBC d D, SBC d I, SBC 2 4 a 15 a 15 Từ I kẻ IH  SK suy ra IH d I, SBC IK.sin 600 d N, SBC 5 20 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau - Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhauD và D ' là đường thẳng a cắt ởD vàM cắt D ' ở N đồng thời vuông góc với cả D và D ' . - Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau D và D ' . M ' N Cách xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau D và D ' . Cách 1: Chọn mặt phẳng (a)chứa đường thẳng D và song song với D ' . Khi đó .d(D,D ') = d(D ',(a)) M ' H Cách 2: Trang 31
  32. Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm. Khi đó .d(D,D ') = d((a),(b)) '  Cách 2: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó. Trường hợp 1: D và D ' vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau Bước 1: Chọn mặt phẳng (a) chứa D ' và vuông góc với D tại I . Bước 2: Trong mặt phẳng (a) kẻ IJ ^ D ' . Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và d(D,D ') = IJ . ' I J Trường hợp 2: D và D ' chéo nhau mà không vuông góc với nhau Bước 1: Chọn mặt phẳng (a) chứa D ' và song song với D . Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của D xuống (a) bằng cách lấy điểm M Î D dựng đoạn MN ^ (a) , lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với D . Bước 3: Gọi H = d Ç D ' , dựng HK P MN Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và d(D,D ') = HK = MN . Trang 32
  33. K M d H N ' Hoặc Bước 1: Chọn mặt phẳng (a) ^ D tại I . Bước 2: Tìm hình chiếu d của D ' xuống mặt phẳng (a) . Bước 3: Trong mặt phẳng (a) , dựng IJ ^ d , từ J dựng đường thẳng song song với D cắt D ' tại H , từ H dựng HM P IJ . Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và d(D,D ') = HM = IJ . ' M H d I J Câu 37. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3 cm. Gọi M là trung điểm của CD . Khoảng cách giữa AC và BM là: 2 11 3 22 3 2 2 A. . cm B. . C. cm D.c m. cm 11 11 11 11 Lời giải Chọn B Trang 33
  34. Gọi I,G lần lượt là trung điểm của AC và trọng tâm của tam giácABC . 1 9 2 Ta có DG  ABC và V DG.S . ABCD 3 ABC 4 Gọi N là trung điểm của AD MN //AC AC// BMN . d AC, BM d AC, BMN d A, BMN d N, BMN h . 1 1 9 11 Gọi K là trung điểm của MN , ta có S .BK.MN BM 2 MK 2 .MN . BMN 2 2 16 VDACB DA DC DB 1 9 2 1 Ta có: . . 2.2.1 4 VDACB VDBMN .h.SBMN . VDNMB DN DM DB 4 16 3 9 2 1 9 11 3 22 .h. h 16 3 16 11 . Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì liên hệ: Zalo O937-351-107 Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài liệu lớp khác. Câu 38. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB 2a , AC 4a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a (hình minh họa). Gọi M là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng 2a 6a 3a a A. . 3 B. . 3 C. . 3 D. . 2 Lời giải Chọn A Trang 34
  35. Gọi N là trung điểm của AC , ta có: MN //BC nên ta được BC// SMN . Do đó d BC, SM d BC, SMN d B, SMN d A, SMN h . Tứ diện A.SMN vuông tại A nên ta có: 1 1 1 1 1 1 1 9 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 h h AS AM AN a a 4a 4a 3 . 2a d BC, SM Vậy 3 . Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A . AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3 . Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM bằng a 2 a 39 a a 21 A. . 2 B. . 13 C. . 2 D. . 7 Lời giải Chọn B Cách 1 Trang 35
  36. Gọi N là trung điểm của AB , khi đó MN //AC . Gọi H là hình chiếu của A lên SN . Dễ dàng chứng minh được AH  SMN . Suy ra d AC , SM d AC , SMN d A, SMN AH . 1 1 1 1 a AN AB Trong tam giác SAN vuông tại A có: AH 2 AS 2 AN 2 , trong đó AS a 3 , 2 2 . a 39 a 39 AH d AC , SM Suy ra 13 . Vậy 13 . Cách 2 (Phương pháp tọa độ hóa): Chọn a 1 , gắn bài toán vào hệ trục tọa độ Axyz , trong đó A 0;0;0 , B 1;0;0 , C 0;1;0 , 1 1 S 0;0; 3 M ; ;0 , 2 2 .    SM , AC .AS  d SM , AC   1 1   SM , AC SM ; ; 3 AS 0;0; 3 Ta có: với 2 2 , AC 0;1;0 , . 39 a 39 d SM , AC d SM , AC Suy ra 13 , hay 13 . Thầy, Cô muốn mua full đầy đủ bộ 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 file word thì liên hệ: Zalo O937-351-107 Ngoài ra còn các tài liệu khác : 50 câu phát triển đề thi minh họa, 38 chuyên đề ôn thi 12 và các tài liệu lớp khác. Trang 36
  37. Câu 40. Cho tứ diện O.ABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau,OA a và OB OC 2a . Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AB bằng 6a 2 5a 2a A. 3 B. a C. 5 D. 2 Lời giải Chọn A Ta có OBC vuông cân tại O ,M là trung điểm của BC OM  BC OM / /BN OM / / ABN BN  ABN Dựng hình chữ nhật OMBN , ta có d AB,OM d OM , ABN d O, ABN Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AN ta có: BN  ON BN  OAN BN  OA OH  BN mà OH  AN OH  ABN d O, ABN OH OAN vuông tại O , đường cao OH 1 1 1 1 1 1 4 1 4 OH 2 OA2 ON 2 OA2 BM 2 OA2 BC 2 OA2 OB2 OC 2 1 4 3 2a2 a 6 a 6 OH 2 OH d AB,OM OH a2 4a2 4a2 2a2 3 3 3 Cách 2: Trang 37
  38. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, khi đó O 0;0;0 ,B 2a;0;0 ,C 0;2a;0 , A 0;0;a M là trung điểm của BC M a;a;0    Ta có OM a;a;0 ;OB 0;2a;0 ; AB 2a;0; a    OM , AB .OB 3   d AB,OM   2a a 6 2 2 2 OM , AB a ;a ; 2a OM , AB 4 4 4 a a 4a 3 Câu 41. Cho hình chóp S.ABC , có SA SB SC , đáy là tam giác đều cạnh a . Biết thể tích khối chóp a3 3 S.ABC bằng 3 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng: 4a 3 13a 6a a 3 A. 7 B. 13 C. 7 D. 4 Lời giải Chọn C Do hình chóp S.ABC đều nên SG là đường cao của hình chóp (G là trọng tâm tam giác đều ABC ). Kẻ MH  SA tại H thì MH là đoạn vuông góc chung của SA vàBC . Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng MH . Trang 38
  39. Ta có 1 a2 3 a3 3 a 3 V SG SG 4a AG S.ABC 3 4 3 ,3 , 3a2 7a 3 SA AG2 SG2 16a2 9 3 . Ta có SG.AM 3.4a.a 3 6a SA.MH SG.AM MH SA 2.7a 3 7 Câu 42. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B , Cµ 60 , AC 2 , SA  ABC , SA 1 . Gọi M là trung điểm của AB . Khoảng cách d giữa SM và BC là 21 2 21 21 2 21 d d d d A. . 7 B. . C. .7 D. . 3 3 Lời giải Chọn A Ta có BC  SA  BC  AB  BC  SAB SA, AB  SAB SA AB A  . Trong SAB , dựng BH  SM và cắt SM ở H . Ta có BH  SM   d SM , BC BH d BH. BH  BC  BH BM SA BM BMH ∽ SMA BH 1 Ta có SA SM SM . Trang 39
  40. AB sin B· CA AB sin 600 2 3 Xét ABC vuông tại B có AC . 3 AM BM 2 . 2 2 2 2 2 3 7 7 SM SA AM 1 SM . Xét SAM vuông ở A có 2 4 2 3 1 SA BM 3 21 BH 2 . SM 7 7 7 Thế vào 1 , ta có 2 Cách 2: Nhận xét: Các dạng toán về khoảng cách nếu có thể thì nên sử dụng các quan hệ song song và tỉ lệ để đưa về tính khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp. Gọi N là trung điểm của AC . Ta có BC // SMN d BC, SM d BC, SMN d B, SMN d A, SMN . Kẻ AH  SM , H SM , ta có AH  SMN d A, SMN AH . 3 AM Ta có AB AC.sin Cµ 2.sin 60 3 2 . SA.AM 21 AH Xét tam giác SAM vuông tại A có AH là đường cao, suy ra SA2 AM 2 7 . 21 d BC, SM Vậy 7 . Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , BC 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD , SC bằng 4 21a 2 21a a 30 a 30 A. 21 B. 21 C. 12 D. 6 Lời giải Trang 40
  41. Chọn B Gọi O là tâm hình chữ nhật và M là trung điểm SA , ta có:SC// BMD . Do đó d SC, BD d SC, BMD d S, BMD d A, BMD h Ta có: AM , AB, AD đôi một vuông góc nên 1 1 1 1 4 1 1 h2 AM 2 AB2 AD2 a2 a2 4a2 2a 21 h Suy ra: 21 . Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , AC a . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC , biết góc giữa đường thẳng SD và mặt đáy bằng 60 . a 906 a 609 a 609 a 600 A. 29 B. 29 C. 19 D. 29 Lời giải Chọn B Trang 41
  42. Không mất tính tổng quát, giả sử a 1 . Gọi H là trung điểm của AB . Kẻ HM  BC M BC ; HN  SM N SM . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH  ABCD . 2 2 2 1 1 1 7 DH DA AH 2DA.AH.cos120 1 2.1. Áp dụng định lý hàm số cos : 4 2 2 4 7 DH 2 7 21 SH DH.tan 60 . 3 Theo đề bài: S·DH 60 2 2 1 3 3 HM HB.sin 60 . Lại có: 2 2 4 . 1 1 1 116 609 HN Ngoài ra: BC  SHM BC  HN HN  SBC ; HN 2 SH 2 HM 2 21 58 . Chú ý rằng AD// SCB nên khoảng cách giữa AD và SC là khoảng cách giữa A và mặt phẳng SBC , 609 d 2HN bằng 2 lần khoảng cách từ H (theo định lý Ta-let), 29 Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB a, AD 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Gọi M là trung điểm của AD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SD . Trang 42
  43. a 6 a 2 2a 5 a 6 A. . 3 B. . 2 C. . 5 D. . 6 Lời giải Chọn D Gọi I là trung điểm của BC . Vì BM // DI nên BM // SDI . Do đó d BM , SD d BM , SDI d M , SDI . 1 d M , SDI d A, SDI Vì AD  SDI D và M là trung điểm của AD nên 2 . Trong ABCD , kẻ AK  DI K DI , AK  BM J . Trong SAK , kẻ AH  SK H SK . DI  AK DI  SAK Vì DI  SA mà AH  SAK DI  AH . Trang 43
  44. Suy ra AH  SDI d A, SDI AH . Ta có BM // DI JM // DK và M là trung điểm của AD nên AK 2AJ . 1 1 1 1 1 2 Lại có AJ 2 AB2 AM 2 a2 a2 a2 . a 2 AJ AK a 2 Suy ra 2 . 1 1 1 1 1 3 a 6 AH Mặt khác AH 2 AK 2 SA2 2a2 a2 2a2 3 . 1 a 6 d M , SDI .AH Do đó 2 6 . Cách khác: Gọi E DI  AB thì AE 2AB 2a . 1 d BM , SD d B, SDI d A, SDE 2 . Vì S.ADE là tứ diện vuông tại A nên đặt h d A, SDE thì ta có 1 1 1 1 1 1 1 3 a 6 h h2 SA2 AD2 AE 2 a2 4a2 4a2 2a2 3 . h a 6 d BM , SD Suy ra 2 6 . Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a và SA vuông góc với mặt đáy. M là trung điểm SD . Tính khoảng cách giữa SB và CM . Trang 44
  45. a 3 a 2 a 3 a 3 A. . 6 B. . 3 C. . 2 D. . 3 Lời giải Chọn D Cách 1 Gọi E là điểm đối xứng với D qua A ,N là trung điểm của SE và K là trung điểm của BE Ta có các tứ giác NMCB và ACBE là các hình bình hành. CM // SBE d CM , SB d CM , SBE d C, SBE d A, SBE Có nên . a 2 AK ABE vuông cân tại A có AB a nên AK  BE và 2 . Kẻ AH  SK , H SK . BE  AK BE  SAK Có BE  SA BE  AH . AH  BE Có AH  SK AH  SBE d A, SBE AH . a 2 a. a 3 2 a 2 2 2 a 3 SA.AK a 3 3 AK SK SA AK AH Ta có 2 , 2 ; SK 2 . a 3 d CM , SB Vậy 3 . Cách 2: Trang 45
  46. a a M 0; ; Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;a;0 , S 0;0;a C a;a;0 , 2 2 .     a2 a2 a2  a a SB a;0; a , MC a; ; SB, MC ; ; Ta có SC a;a; a , 2 2 2 2 2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM là: a3 a3 a3    2 2 2 a 3 SB, MC .SC d SB,CM   a4 a4 a4 3 SB, MC 4 4 4 . a 3 d CM , SB Vậy 3 . Câu 47. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , cạnh SA tạo với mặt phẳng đáy một góc 30o . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng 2 15a 3 14a 2 10a 4 5a A. . 5 B. . 5 C. . D. 5. 5 Lời giải Chọn C Trang 46
  47. Gọi O là tâm của mặt đáy, M là trung điểm của AB , H là hình chiếu của O trên SM . a 2 SA, ABCD SA,OA S· AO S· AO 30o SO AO tan 30o Ta có 3 . Ta có AB  OM , AB  SO AB  SOM AB  OH , mà SM  OH OH  SAB . Tam giác SOM vuông tại O và có đường cao OH nên 1 1 1 3 1 5 10a OH OH 2 SO2 OM 2 2a2 a2 2a2 5 . 2 10a CD//AB d CD, SA d CD, SAB d C, SAB 2d O, SAB 2OH Vì 5 . Trang 47