204 Đề thi vào Lớp 10 nâng cao môn Toán

236 trang thungat 3130

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "204 Đề thi vào Lớp 10 nâng cao môn Toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

204_de_thi_vao_lop_10_nang_cao_mon_toan.pdf

Nội dung text: 204 Đề thi vào Lớp 10 nâng cao môn Toán

§Ò sè 1 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) Cho biÓu thøc : 1 1 x 2 −1 A = ( + )2 . − 1− x 2 x −1 x +1 2 1) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa . 2) Rót gän biÓu thøc A . 3) Gi¶i ph¬ng tr×nh theo x khi A = -2 . C©u 2 ( 1 ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 5x −1 − 3x − 2 = x −1 C©u 3 ( 3 ®iÓ®iÓmm ) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é cho ®iÓm A ( -2 , 2 ) vµ ®êng th¼ng (D) : y = - 2(x +1) . a) §iÓm A cã thuéc (D) hay kh«ng ? b) T×m a trong hµm sè y = ax 2 cã ®å thÞ (P) ®i qua A . c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A vµ vu«ng gãc víi (D) . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) C ho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh , cã ®é dµi c¹nh lµ a .E lµ ®iÓm ®i chuyÓn trªn ®o¹n CD ( E kh¸c D ) , ®êng th¼ng AE c¾t ®êng th¼ng BC t¹i F , ® êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¾t ®êng th¼ng CD t¹i K . 1) Chøng minh tam gi¸c ABF = tam gi¸c ADK tõ ®ã suy ra t am gi¸c AFK vu«ng c©n . 2) Gäi I lµ trung ®iÓm cña FK , Chøng minh I lµ t©m ®êng trßn ®i qua A , C, F , K . 3) TÝnh sè ®o gãc AIF , suy ra 4 ®iÓm A , B , F , I cïng n»m trªn mét ®êng trßn . - 1 -
§Ò sè 2 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) 1 Cho hµm sè : y = x 2 2 1) Nªu tËp x¸c ®Þnh , chiÒu biÕn thiªn vµ vÏ ®å thi cña hµm sè. 2) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm ( 2 , -6 ) cã hÖ sè gãc a vµ tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè trªn . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x 2 – mx + m – 1 = 0 . 1) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x 1 , x 2 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc . x 2 + x 2 −1 = 1 2 M 2 2 . Tõ ®ã t×m m ®Ó M > 0 . x1 x2 + x1 x2 2 2 2) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó biÓu thøc P = x1 + x2 −1 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh : a) x − 4 = 4 − x b) 2x + 3 = 3 − x C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho hai ®êng trßn (O 1) vµ (O 2) cã b¸n kÝnh b»ng R c¾t nhau t¹i A vµ B , qua A vÏ c¸t tuyÕn c¾t hai ®êng trßn (O 1) vµ (O 2) thø tù t¹i E vµ F , ®êng th¼ng EC , DF c¾t nhau t¹i P . 1) Chøng minh r»ng : BE = BF . 2) Mét c¸t tuyÕn qua A vµ vu«ng gãc víi AB c¾t (O 1) vµ (O 2) lÇn l ît t¹i C,D . Chøng minh tø gi¸c BEPF , BCPD néi tiÕp vµ BP vu«ng gãc víi EF . 3) TÝnh diÖn tÝch phÇn giao nhau cña hai ®êng trßn khi AB = R . - 2 -
§Ò sè 3 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) 1) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : x + 2 +1 3 2 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 2x 2 – ( m+ 1 )x +m – 1 = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1 . b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hiÖu hai nghiÖm b»ng tÝch cña chóng . CCC©u3C©u3 ( 2 ®iÓm ) Cho hµm sè : y = ( 2m + 1 )x – m + 3 (1) a) T×m m biÕt ®å thÞ hµm sè (1) ®i qua ®iÓm A ( -2 ; 3 ) . b) T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ hµm sè lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña m . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho gãc vu«ng xOy , trªn Ox , Oy lÇn lît lÊy h ai ®iÓm A vµ B sao cho OA = OB . M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn AB . Dùng ®êng trßn t©m O 1 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Ox t¹i A , ®êng trßn t©m O 2 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Oy t¹i B , (O 1) c¾t (O 2) t¹i ®iÓm thø hai N . 1) Chøng minh tø gi¸c OANB lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ ON lµ ph©n gi¸c cña gãc ANB . 2) Chøng minh M n»m trªn mét cung trßn cè ®Þnh khi M thay ®æi . 3) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó kho¶ng c¸ch O 1O2 lµ ng¾n nhÊt . - 3 -
§Ò sè 4 . C©u 1 ( 3 ®iÓm ) +  +  2 x x 1  x 2  Cho biÓu thøc : A = ( − :)   x x −1 x −1  x + x +1 a) Rót gän biÓu thøc . b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 4 + 2 3 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) 2x − 2 x − 2 x −1 Gi¶i ph¬ng tr×nh : − = x 2 − 36 x 2 − 6x x 2 + 6x C©u 3 ( 2 ®iÓm ) 1 Cho hµm sè : y = - x 2 2 a) T×m x biÕt f(x) = - 8 ; - 1 ; 0 ; 2 . 8 b) ViÕt ph¬ng tr×nh ® êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B n»m trªn ®å thÞ cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -2 vµ 1 . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho h×nh vu«ng ABCD , trªn c¹nh BC lÊy 1 ®iÓm M . §êng trßn ® êng kÝnh AM c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh BC t¹i N vµ c¾t c¹nh AD t¹i E . 1) Chøng minh E, N , C th¼ng hµng . 2) Gäi F lµ giao ®iÓm cña BN vµ DC . Chøng minh ∆BCF = ∆CDE 3) Chøng minh r»ng MF vu«ng gãc víi AC . - 4 -
§Ò sè 5 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) − 2mx + y = 5 Cho hÖ ph¬ng tr×nh :  mx + 3y = 1 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 1 . b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m . c) T×m m ®Ó x – y = 2 . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) x 2 + y 2 = 1 1)1)1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :   2 2 x − x = y − y 2 2)2)2) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : ax + bx + c = 0 . Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 , x2 . LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ 2x 1+ 3x 2 vµ 3x 1 + 2x 2 . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho tam gi¸c c©n ABC ( AB = AC ) néi tiÕp ® êng trßn t©m O . M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®êng trßn . Tõ B h¹ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AM c¾t CM ë D . Chøng minh tam gi¸c BMD c©n C©u 4 ( 2 ®iÓm ) 1 1 1) TÝnh : + 5 + 2 5 − 2 2) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : ( x –1 ) ( 2x + 3 ) > 2x( x + 3 ) . - 5 -
§Ò sè 6 C©u 1 ( 2 ®iÓm )  2 1  + = 7  x −1 y +1 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  5 2  − = 4  x −1 y −1 C©u 2 ( 3 ®iÓm ) x +1 1 Cho biÓu thøc : A = : x x + x + x x 2 − x a) Rót gän biÓu thøc A . b) Coi A lµ hµm sè cña biÕn x vÏ ®å thi hµm sè A . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung . x2 + (3m + 2 )x – 4 = 0 vµ x 2 + (2m + 3 )x +2 =0 . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho ®êng trßn t©m O vµ ® êng th¼ng d c¾t (O) t¹i hai ®iÓm A,B . Tõ mét ®iÓm M trªn d vÏ hai tiÕp tuyÕn ME , MF ( E , F lµ tiÕp ®iÓm ) . 1) Chøng minh gãc EMO = gãc OFE vµ ® êng trßn ®i qua 3 ®iÓm M, E, F ®i qua 2 ®iÓm cè ®Þnh khi m thay ®æi trªn d . 2) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn d ®Ó tø gi¸c OEMF lµ h×nh vu«ng . - 6 -
§Ò sè 7 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh (m 2 + m + 1 )x 2 - ( m 2 + 8m + 3 )x – 1 = 0 a) Chøng minh x 1x2 < 0 . b) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x 1, x 2 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña biÓu thøc : S = x 1 + x 2 . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) 2 Cho ph¬ng tr×nh : 3x + 7x + 4 = 0 . Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x 1 , x 2 kh«ng x x gi¶i ph¬ng tr×nh lËp ph¬ng tr×nh bËc hai mµ cã hai nghiÖm lµ : 1 vµ 2 . x2 −1 x1 −1 C©u 3 ( 3 ®iÓm ) 1) Cho x 2 + y 2 = 4 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña x + y . x 2 − y 2 = 16 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  x + y = 8 3) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 4 – 10x 3 – 2(m – 11 )x 2 + 2 ( 5m +6)x +2m = 0 C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O . §ên g ph©n gi¸c trong cña gãc A , B c¾t ®êng trßn t©m O t¹i D vµ E , gäi giao ®iÓm hai ®êng ph©n gi¸c lµ I , ® êng th¼ng DE c¾t CA, CB lÇn lît t¹i M , N . 1) Chøng minh tam gi¸c AIE vµ tam gi¸c BID lµ tam gi¸c c©n . 2) Chøng minh tø gi¸c AEMI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ MI // BC . 3) Tø gi¸c CMIN lµ h×nh g× ? - 7 -
§Ò sè 8 C©u1 ( 2 ®iÓm ) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh ( x 2 + x + m) ( x 2 + mx + 1 ) = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) x + my = 3 Cho hÖ ph¬ng tr×nh :  mx + 4y = 6 a) Gi¶i hÖ khi m = 3 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x > 1 , y > 0 . C©u 3 ( 1 ®iÓm ) Cho x , y lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n x 5+y 5 = x 3 + y 3 . Chøng minh x 2 + y 2 ≤ 1 + xy C©u 4 ( 3 ®iÓm ) 1)1)1) Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn (O) . Chøng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD 2)2)2) Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp trong ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AD . § êng cao cña tam gi¸c kÎ tõ ®Ønh A c¾t c¹nh BC t¹i K vµ c¾t ®êng trßn (O) t¹i E . a) Chøng minh : DE//BC . b) Chøng minh : AB.AC = AK.AD . c) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC . Chøng minh tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh . §Ò sè 9 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) - 8 -
Trôc c¨n thøc ë mÉu c¸c biÓu thøc sau : 2 +1 1 1 A = ; B = ; C = 2 3 + 2 2 + 2 − 2 3 − 2 +1 C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x 2 – ( m+2)x + m 2 – 1 = 0 (1) – a) Gäi x 1, x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .T×m m tho¶ m·n x 1 x 2 = 2 . b) T×m gi¸ trÞ nguyªn nhá nhÊt cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh¸c nhau . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) 1 1 Cho a = ;b = 2 − 3 2 + 3 a b LËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c hÖ sè b»ng sè vµ cã c¸c nghiÖm lµ x 1 === ; x2 = b +1 a +1 C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho hai ®êng trßn (O 1) vµ (O 2) c¾t nhau t¹i A vµ B . Mét ®êng th¼ng ®i qua A c¾t ® êng trßn (O 1) , (O 2) lÇn lît t¹i C,D , gäi I , J lµ trung ®iÓm cña AC vµ AD . 1) Chøng minh tø gi¸c O 1IJO 2 lµ h×nh thang vu«ng . 2) Gäi M lµ giao diÓm cña CO 1 vµ DO 2 . Chøng minh O 1 , O 2 , M , B n»m trªn mét ®- êng trßn 3) E lµ trung ®iÓm cña IJ , ®êng th¼ng CD quay quanh A . T×m tËp hîp ®iÓm E. 4) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña d©y CD ®Ó d©y CD cã ®é dµi lín nhÊt . §§§Ò§Ò sè 10 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) 2 1)VÏ ®å thÞ cña hµm sè : y = x 2 2)ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm (2; -2) vµ (1 ; -4 ) 3)3)3) T×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng võa t×m ®îc víi ®å thÞ trªn . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) - 9 -
a)a)a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2 b)TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc S = x 1+ y 2 + y 1+ x 2 víi xy + 1( + x 2 )( 1+ y 2 ) = a C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC , gãc B vµ gãc C nhän . C¸c ®êng trßn ® êng kÝnh AB , AC c¾t nhau t¹i D . Mét ®êng th¼ng qua A c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC lÇn lît t¹i E vµ F . 1) Chøng minh B , C , D th¼ng hµng . 2) Chøng minh B, C , E , F n»m trªn mét ®êng trßn . 3) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®êng th¼ng qua A ®Ó EF cã ®é dµi lín nhÊt . C©u 4 ( 1 ®iÓm ) Cho F(x) = 2 − x + 1+ x a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó F(x) x¸c ®Þnh . b) T×m x ®Ó F(x) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt . §Ò sè 11 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) x 2 1) VÏ ®å thÞ hµm sè y = 2 2) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm ( 2 ; -2 ) vµ ( 1 ; - 4 ) 3) T×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng võa t×m ®îc víi ®å thÞ trªn . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh : - 10 -
x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x +1 4x + = 5 x 2x +1 C©u 3 ( 3 ®iÓm ) CCCho C h×nh b×nh hµnh ABCD , ® êng ph©n gi¸c cña gãc BAD c¾t DC vµ BC theo thø tù t¹i M vµ N . Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNC . 1) Chøng minh c¸c tam gi¸c DAM , ABN , MCN , lµ c¸c tam gi¸c c©n . 2) Chøng minh B , C , D , O n»m trªn mét ®êng trßn . C©u 4 ( 1 ®iÓm ) Cho x + y = 3 vµ y ≥ 2 . Chøng minh x 2 + y 2 ≥ 5 §Ò sè 12 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x + 5 + x −1 = 8 2) X¸c ®Þnh a ®Ó tæng b×nh ph¬ng hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 2 +ax +a –2 = 0 lµ bÐ nhÊt . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é cho ®iÓm A ( 3 ; 0) vµ ®êng th¼ng x – 2y = - 2 . a) VÏ ®å thÞ cña ®êng th¼ng . Gäi giao ®iÓm cña ® êng th¼ng víi trôc tung vµ trôc hoµnh lµ B vµ E . b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng x – 2y = -2 . - 11 -
c) T×m to¹ ®é giao ®iÓm C cña hai ®êng th¼ng ®ã . Chøng minh r»n g EO. EA = EB . EC vµ tÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c OACB . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ sö x 1 vµ x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x 2 –(m+1)x +m 2 – 2m +2 = 0 (1) a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp , hai nghiÖm ph©n biÖt . 2 2 b) T×m m ®Ó x1 + x2 ®¹t gi¸ trÞ bÐ nhÊt , lín nhÊt . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O . KÎ ® êng cao AH , gäi trung ®iÓm cña AB , BC theo thø tù lµ M , N vµ E , F theo thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña cña B , C trªn ® êng kÝnh AD . a) Chøng minh r»ng MN vu«ng gãc víi HE . b) Chøng minh N lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c HEF . §Ò sè 13 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) 9 6 So s¸nh hai sè : a = ;b = 11 − 2 3 − 3 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh : 2x + y = 3a − 5  x − y = 2 Gäi nghiÖm cña hÖ lµ ( x , y ) , t×m gi¸ trÞ cña a ®Ó x 2 + y 2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ hÖ ph¬ng tr×nh : x + y + xy = 5  2 2 x + y + xy = 7 C©u 4 ( 3 ®iÓm ) - 12 -
1) Cho tø gi¸c låi ABCD c¸c cÆp c¹nh ®èi AB , CD c¾t nhau t¹i P vµ BC , AD c¾t nhau t¹i Q . Chøng minh r»ng ® êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ABQ , BCP , DCQ , ADP c¾t nhau t¹i mét ®iÓm . 3) Cho tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . Chøng minh AB .AD + CB .CD AC = BA .BC + DC .DA BD C©u 4 ( 1 ®iÓm ) Cho hai sè d¬ng x , y cã tæng b»ng 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : 1 3 S = + x 2 + y 2 4xy §Ò sè 14 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 2 + 3 2 − 3 P = + 2 + 2 + 3 2 − 2 − 3 C©u 2 ( 3 ®iÓm ) 1) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : (m 2 + m +1)x 2 – 3m = ( m +2)x +3 2 – – 2) Cho ph¬ng tr×nh x x 1 = 0 cã hai nghiÖm lµ x 1 , x 2 . H·y lËp ph ¬ng tr×nh bËc x x hai cã hai nghiÖm lµ : 1 ; 2 1− x2 1− x2 C©u 3 ( 2 ®iÓm ) 2x − 3 T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc : P = lµ nguyªn . x + 2 - 13 -
C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho ®êng trßn t©m O vµ c¸t tuyÕn CAB ( C ë ngoµi ®êng trßn ) . Tõ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung lín AB kÎ ®êng kÝnh MN c¾t AB t¹i I , CM c¾t ®êng trßn t¹i E , EN c¾t ® êng th¼ng AB t¹i F . 1) Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB . 3) Chøng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB §Ò sè 15 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) x 2 − 5xy − 2y 2 = 3 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :   2 y + 4xy + 4 = 0 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) x 2 Cho hµm sè : y = vµ y = - x – 1 4 a) VÏ ®å thÞ hai hµm sè trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é . b) ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng y = - x – 1 vµ c¾t ®å thÞ x 2 hµm sè y = t¹i ®iÓm cã tung ®é lµ 4 . 4 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x 2 – 4x + q = 0 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña q th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm . b) T×m q ®Ó tæng b×nh ph¬ng c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ 16 . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) - 14 -
1)1)1) T×m sè nguyªn nhá nhÊt x tho¶ m·n ph¬ng tr×nh : x − 3 + x +1 = 4 2)2)2) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3 x 2 −1 − x 2 −1 = 0 C©u 4 ( 2 ®iÓm ) Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( gãc A = 1 v ) cã AC < AB , AH lµ ®êng cao kÎ tõ ®Ø nh A . C¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B víi ® êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i M . §o¹n MO c¾t c¹nh AB ë E , MC c¾t ®êng cao AH t¹i F . KÐo dµi CA cho c¾t ® êng th¼ng BM ë D . §êng th¼ng BF c¾t ®êng th¼ng AM ë N . a) Chøng minh OM//CD vµ M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BD . b) Chøng minh EF // BC . c) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MHN . §Ò sè 16 C©u 1 : ( 2 ®iÓm ) Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho hµm sè y = 3x + m (*) 1) TÝnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ; 5 ) 2) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é lµ - 3 . 3) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lµ - 5 . C©u 2 : ( 2,5 ®iÓm ) 11  1 1  1 Cho biÓu thøc : A= +  : −  + 1-x1+x  1 − x 1 + x  1 − x a) Rót gän biÓu thøc A . b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 7+ 4 3 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . C©u 3 : ( 2 ®iÓm ) 2 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : x+3 x − 5 = 0 vµ gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x 1 vµ x 2 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 1 1 2+ 2 a) 2+ 2 b) x1 x 2 x1 x 2 1 1 + c) 3+ 3 d) x1 x 2 x1 x 2 C©u 4 ( 3.5 ®iÓm ) - 15 -
Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B . §êng trßn ® êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E . C¸c ®êng th¼ng CD , AE lÇn lît c¾t ® êng trßn t¹i c¸c ®iÓm thø hai F , G . Chøng minh : a) Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD . b) Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn . c) AC song song víi FG . d) C¸c ®êng th¼ng AC , DE vµ BF ®ång quy . §Ò sè 17 C©u 1 ( 2,5 ®iÓm ) aa−1 aa + 1  a + 2 Cho biÓu thøc : A = −  : a− a a + a  a − 2 a) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña a th× A x¸c ®Þnh . b) Rót gän biÓu thøc A . c) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn nµo cña a th× A cã gi¸ trÞ nguyªn . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Òn B trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 35 km/h th× ®Õn chËm mÊt 2 giê . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h th× ®Õn sím h¬n 1 giê . TÝnh qu·ng ®êng AB vµ thêi gian dù ®Þnh ®i lóc ®Çu . C©u 3 ( 2 ®iÓm )  1 1  + = 3  x+ y x − y a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  2 3  − = 1  x+ y x − y x+5 x − 5 x + 25 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh : − = x2−5 xx 2 2 + 10 xx 2 2 − 50 C©u 4 ( 4 ®iÓm ) Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 cm ;CB = 40 cm . VÏ vÒ cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ AB c¸c nöa ®êng trßn ® êng kÝnh theo thø tù lµ AB , AC , CB cã t©m lÇn lît lµ O , I , K . §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ® êng trßn (O) ë E . Gäi M , N theo thø tù lµ giao ®iÓm cuae EA , EB víi c¸c nöa ®êng trßn (I) , (K) . Chøng minh : - 16 -
a) EC = MN . b) MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®êng trßn (I) vµ (K) . c) TÝnh ®é dµi MN . d) TÝnh diÖn tÝch h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa ®êng trßn . §Ò 18 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) 11+−a 11 −+ a 1 Cho biÓu thøc : A = + + 1−+−a 11 aa +−+ 1 a 1 + a 1) Rót gän biÓu thøc A . 2) Chøng minh r»ng biÓu thøc A lu«n d¬ng víi mäi a . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 2x 2 + ( 2m - 1)x + m - 1 = 0 1) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x 1 , x 2 tho¶ m·n 3x 1 - 4x 2 = 11 . 2) T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x 1 vµ x 2 kh«ng phô thuéc vµo m . 3) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× x 1 vµ x 2 cïng d¬ng . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B c¸ch nhau 300 km . ¤ t« thø nhÊt mçi giê ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê . TÝnh vËn tèc mçi xe « t« . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O . M lµ mét ®iÓm trªn cung AC ( kh«ng chøa B ) kÎ MH vu«ng gãc víi AC ; MK vu«ng gãc víi BC . 1) Chøng minh tø gi¸c MHKC lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2) Chøng minh AMB = HMK 3) Chøng minh ∆ AMB ®ång d¹ng víi ∆ HMK . C©u 5 ( 1 ®iÓm ) - 17 -
xy( x+ y ) = 6  T×m nghiÖm d¬ng cña hÖ : yz( y+ z ) = 12  zx( z+ x ) = 30 §Ó 19 ( Thi tuyÓn sinh líp 10 - THPT n¨m 2006 - 2007 - H¶i d¬ng - 120 phót - Ngµy 28 / 6 / 2006 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) 1) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : a) 4x + 3 = 0 b) 2x - x 2 = 0 2x− y = 3 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  5+y = 4 x C©u 2( 2 ®iÓm ) a+3 a − 14 a − 4 1) Cho biÓu thøc : P = − + () a > 0 ; a ≠ 4 a−2 a + 2 4 − a a) Rót gän P . b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9 . 2) Cho ph¬ng tr×nh : x 2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m lµ tham sè ) a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 2 . T×m nghiÖm cßn l¹i . 3 3 b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x 1 ; x 2 tho¶ m·n x1+ x 2 ≥ 0 C©u 3 ( 1 ®iÓm ) Kho¶ng c¸ch gi÷a hai thµnh phè A vµ B lµ 180 km . Mét « t« ®i tõ A ®Õn B , nghØ 90 phót ë B , råi l¹i tõ B vÒ A . Thêi gian lóc ®i ®Õn lóc trë vÒ A lµ 10 giê . BiÕt vËn tèc lóc vÒ kÐm vËn tèc lóc ®i lµ 5 km/h . TÝnh vËn tèc lóc ®i cña « t« . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AD . Hai ®êng chÐo AC , BD c¾t nhau t¹i E . H×nh chiÕu vu«ng gãc cña E trªn AD lµ F . §êng th¼ng CF c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm thø hai lµ M . Giao ®iÓm cña BD vµ CF lµ N Chøng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp . b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM . - 18 -
c) BE . DN = EN . BD C©u 5 ( 1 ®iÓm ) + T×m m ®Ó gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc 2x m b»ng 2 . x2 +1 §Ó 20 C©u 1 (3 ®iÓm ) 1) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : a) 5( x - 1 ) = 2 b) x 2 - 6 = 0 2) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y = 3x - 4 víi hai trôc to¹ ®é . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) 1) Gi¶ sö ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : y = ax + b . X¸c ®Þnh a , b ®Ó (d) ®i qua hai ®iÓm A ( 1 ; 3 ) vµ B ( - 3 ; - 1) 2 2) Gäi x 1 ; x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x - 2( m - 1)x - 4 = 0 ( m lµ tham sè ) T×m m ®Ó : x1+ x 2 = 5 x+1 x − 1 2 3) Rót gän biÓu thøc : P = − −(x ≥≠ 0; x 0) 2x− 22 x + 2 x − 1 C©u 3( 1 ®iÓm) Mét h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 300 m 2 . NÕu gi¶m chiÒu réng ®i 3 m , t¨ng chiÒu dµi thªm 5m th× ta ®îc h×nh ch÷ nhËt míi cã diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu . TÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho ®iÓm A ë ngoµi ®êng trßn t©m O . KÎ hai tiÕp tuyÕn AB , AC víi ®êng trßn (B , C lµ tiÕp ®iÓm ) . M lµ ®iÓm bÊt kú trªn cung nhá BC ( M ≠ B ; M ≠ C ) . Gäi D , E , F t¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn c¸c ®êng th¼ng AB , AC , BC ; H lµ giao ®iÓm cña MB vµ DF ; K lµ giao ®iÓm cña MC vµ EF . 1) Chøng minh : a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp . b) MF vu«ng gãc víi HK . 2) T×m vÞ trÝ cña M trªn cung nhá BC ®Ó tÝch MD . ME lín nhÊt . C©u 5 ( 1 ®iÓm ) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é ( Oxy ) cho ®iÓm A ( -3 ; 0 ) vµ Parabol (P) cã ph¬ng tr×nh y = x 2 . H·y t× m to¹ ®é cña ®iÓm M thuéc (P) ®Ó cho ®é dµi ®o¹n th¼ng AM nhá nhÊt . II, C¸c ®Ò thi vµo ban tù nhiªn §Ò 1 - 19 -
C©u 1 : ( 3 ®iÓm ) i¶i c¸c ph-¬ng tr×nh a) 3x 2 – 48 = 0 . b) x2 – 10 x + 21 = 0 . 8 20 c) + 3 = x − 5 x − 5 C©u 2 : ( 2 ®iÓm ) a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a , b biÕt r»ng ®å thÞ cña hµm sè y = ax + b ®i qua hai ®iÓm 1 A( 2 ; - 1 ) vµ B ( )2; 2 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®å thÞ cña c¸c hµm sè y = mx + 3 ; y = 3x –7 vµ ®å thÞ cña hµm sè x¸c ®Þnh ë c©u ( a ) ®ång quy . C©u 3 ((( 2 ®iÓm ) Cho hÖ ph−¬ngph−¬n g tr×nh . mx − ny = 5   2x + y = n a) Gi¶i hÖ khi m = n = 1 .  x = − 3 b) T×m m , n ®Ó hÖ ®· cho cã nghiÖm  y = 3 +1 C©u 4 : ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( C = 90 0 ) néi tiÕp trong ®−êng trßn t©m O . Trªn cung nhá AC ta lÊy mét ®iÓm M bÊt kú ( M kh¸c A vµ C ) . VÏ ®−êng trßn t©m A b¸n kÝnh AC , ®−êng trßn nµy c¾t ®−êng trßn (O) t¹i ®iÓm D ( D kh¸c C ) . §o¹n th¼ng BM c¾t ®−êng trßn t©m A ë ®iÓm N . a) Chøng minh MB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD . b) Chøng minh BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn t©m A nãi trªn . c) So s¸nh gãc CNM víi gãc MDN . d) Cho biÕt MC = a , MD = b . H·y tÝnh ®o¹n th¼ng MN theo a vµ b . - 20 -
®Ò sè 2 C©u 1 : ( 3 ®iÓm ) 2 Cho hµm sè : y = 3x ( P ) 2 1 a) TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i x = 0 ; -1 ; − ; -2 . 3 9 2 1 b) BiÕt f(x) = ;− ;8 ; t×m x . 2 3 2 c) X¸c ®Þnh m ®Ó ®−êng th¼ng (D) : y = x + m – 1 tiÕp xóc víi (P) . C©u 2 : ( 3 ®iÓm ) Cho hÖ ph−¬ng tr×nh : 2x − my = m 2   x + y = 2 a) Gi¶i hÖ khi m = 1 . b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh . C©u 3 : ( 1 ®iÓm ) LËp ph−¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ : 2 − 3 2 + 3 x = x = 1 2 2 2 C©u 4 : ( 3 ®iÓm ) Cho ABCD lµ mét tø gi¸c néi tiÕp . P lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC vµ BD . a) Chøng minh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña P lªn 4 c¹nh cña tø gi¸c lµ 4 ®Ønh cña mét tø gi¸c cã ®−êng trßn néi tiÕp . b) M lµ mét ®iÓm trong tø gi¸c sao cho ABMD lµ h×nh b×nh hµnh . Chøng minh r»ng nÕu gãc CBM = gãc CDM th× gãc ACD = gãc BCM . c) T×m ®iÒu kiÖn cña tø gi¸c ABCD ®Ó : 1 S = (AB .CD + AD .BC ) ABCD 2 - 21 -
§Ò sè 3 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) . Gi¶i ph−¬ng tr×nh a) 1- x - 3 − x = 0 b) x 2 − 2 x − 3 = 0 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) . 1 Cho Parabol (P) : y = x 2 vµ ®−êng th¼ng (D) : y = px + q . 2 X¸c ®Þnh p vµ q ®Ó ®−êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A ( - 1 ; 0 ) vµ tiÕp xóc víi (P) . T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm . C©u 3 : ( 3 ®iÓm ) 1 Trong cïng mét hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho parabol (P) : y = x 2 4 vµ ®−êng th¼ng (D) : y = mx − 2m −1 a) VÏ (P) . b) T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P) . c) Chøng tá (D) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) . Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( gãc A = 90 0 ) néi tiÕp ®−êng trßn t©m O , kÎ ®−êng kÝnh AD . 1) Chøng minh tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt . 2) Gäi M , N thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B , C trªn AD , AH lµ ®−êng cao cña tam gi¸c ( H trªn c¹nh BC ) . Chøng minh HM vu«ng gãc víi AC . 3) X¸c ®Þnh t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MHN . 4) Gäi b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp vµ ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC lµ R vµ r . Chøng minh R + r ≥ AB .AC - 22 -
§Ò sè 4 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau . a) x2 + x – 20 = 0 . 1 1 1 b) + = x + 3 x −1 x c) 31 − x = x −1 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho hµm sè y = ( m –2 ) x + m + 3 . a) T×m ®iÒu kiÖm cña m ®Ó hµm sè lu«n nghÞch biÕn . b) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hµnh ®é lµ 3 . c) T×m m ®Ó ®å thÞ c¸c hµm sè y = - x + 2 ; y = 2x –1vµ y = (m – 2 )x + m + 3 ®ång quy . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho ph−¬ng tr×nh x 2 – 7 x + 10 = 0 . Kh«ng gi¶i ph−¬ng tr×nh tÝnh . 2 2 a) x1 + x2 2 2 b) x1 − x2 c) x1 + x2 C©u 4 ( 4 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®−êng trßn t©m O , ®−êng ph©n gi¸c trong cña gãc A c¾t c¹nh BC t¹i D vµ c¾t ®−êng trßn ngo¹i tiÕp t¹i I . a) Chøng minh r»ng OI vu«ng gãc víi BC . b) Chøng minh BI 2 = AI.DI . c) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn BC . Chøng minh gãc BAH = gãc CAO . d) Chøng minh gãc HAO = B − C - 23 -
§Ò sè 5 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Cho hµm sè y = x2 cã ®å thÞ lµ ®−êng cong Parabol (P) . a) Chøng minh r»ng ®iÓm A( - )2;2 n»m trªn ®−êng cong (P) . b)b)b) T×m m ®Ó ®Ó ®å thÞ (d ) cña hµm sè y = ( m – 1 )x + m ( m ∈R , m ≠ 1 ) c¾t ®−êng cong (P) t¹i mét ®iÓm . c)c)c) Chøng minh r»ng víi mäi m kh¸c 1 ®å thÞ (d ) cña hµm sè y = (m-1)x + m lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) . − 2mx + y = 5 Cho hÖ ph−¬ng tr×nh :   mx + 3y = 1 a) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi m = 1 b) Gi¶i biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh theo tham sè m . c) T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n x 2 + y 2 = 1 . C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Gi¶i ph−¬ng tr×nh x + 3− 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1 = 5 C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC , M lµ trung ®iÓm cña BC . Gi¶ sö gãcBAM = Gãc BCA. a) Chøng minh r»ng tam gi¸c ABM ®ång d¹ng víi tam gi¸c CBA . b) Chøng minh minh : BC 2 = 2 AB 2 . So s¸nh BC vµ ®−êng chÐo h×nh vu«ng c¹nh lµ AB . c) Chøng tá BA lµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMC . d) §−êng th¼ng qua C vµ song song víi MA , c¾t ®−êng th¼ng AB ë D . Chøng tá ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ACD tiÕp xóc víi BC . - 24 -
§Ò sè 6 . C©u 1 ( 3 ®iÓm ) a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : x +1 = 3 − x − 2 c) Cho Parabol (P) cã ph−¬ng tr×nh y = ax 2 . X¸c ®Þnh a ®Ó (P) ®i qua ®iÓm A( -1; -2) . T×m to¹ ®é c¸c giao ®iÓm cña (P) vµ ®−êng trung trùc cña ®o¹n OA . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) a) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  1 1  + = 2  x −1 y − 2  2 3  − = 1  y − 2 x −1 1) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m sao cho ®å thÞ hµm sè (H) : y = 1 vµ ®−êng th¼ng (D) : y = x - x + m tiÕp xóc nhau . C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Cho ph−¬ng tr×nh x2 – 2 (m + 1 )x + m 2 - 2m + 3 = 0 (1). a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi m = 1 . b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu . c) T×m m ®Ó (1) cã mét nghiÖm b»ng 3 . T×m nghiÖm kia . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã ®Ønh D n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB . H¹ BN vµ DM cïng vu«ng gãc víi ®−êng chÐo AC . Chøng minh : a) Tø gi¸c CBMD néi tiÕp . b) Khi ®iÓm D di ®éng trªn trªn ®−êng trßn th× BMD + BCD kh«ng ®æi . c) DB . DC = DN . AC - 25 -
§Ò sè 7 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh : a) x4 – 6x 2- 16 = 0 . b) x2 - 2 x - 3 = 0 2  1   1  8 c)  x −  − 3 x −  + = 0  x   x  9 C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho ph−¬ng tr×nh x 2 – ( m+1)x + m 2 – 2m + 2 = 0 (1) a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi m = 2 . b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp . T×m nghiÖm kÐp ®ã . 2 2 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× x1 + x2 ®¹t gi¸ trÞ bÐ nhÊt , lín nhÊt . C©u 3 ( 4 ®iÓm ) . Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong ®−êng trßn t©m O . Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®−êng chÐo AC vµ BD , cßn M lµ trung ®iÓm cña c¹nh CD . Nèi MI kÐo dµi c ¾t c¹nh AB ë N . Tõ B kÎ ®−êng th¼ng song song víi MN , ®−êng th¼ng ®ã c¾t c¸c ®−êng th¼ng AC ë E . Qua E kÎ ®−êng th¼ng song song víi CD , ®−êng th¼ng nµy c¾t ®−êng th¼ng BD ë F . a) Chøng minh tø gi¸c ABEF néi tiÕp . b) Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BF vµ AI . IE = IB 2 . NA IA 2 c) Chøng minh = NB IB 2 - 26 -
®Ò sè 8 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö . a) x2- 2y 2 + xy + 3y – 3x . 3 3 3 b) x + y + z - 3xyz . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho hÖ ph−¬ng tr×nh . mx − y = 3  3x + my = 5 a) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh khi m = 1 . (7 m − )1 b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm ®ång thêi tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ; x + y − = 1 m 2 + 3 C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho hai ®−êng th¼ng y = 2x + m – 1 vµ y = x + 2m . a) T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng nãi trªn . b) T×m tËp hîp c¸c giao ®iÓm ®ã . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho ®−êng trßn t©m O . A lµ mét ®iÓm ë ngoµi ®−êng trßn , tõ A kÎ tiÕp tuyÕn AM , AN víi ®−êng trßn , c¸t tuyÕn tõ A c¾t ®−êng trßn t¹i B vµ C ( B n»m gi÷a A vµ C ) . Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC . 1) Chøng minh r»ng 5 ®iÓm A , M , I , O , N n»m trªn mét ®−êng trßn . 2) Mét ®−êng th¼ng qua B song song víi AM c¾t MN vµ MC lÇn l−ît t¹i E vµ F . Chøng minh tø gi¸c BENI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ E lµ trung ®iÓm cña EF . - 27 -
§Ò sè 9 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) Cho ph−¬ng tr×nh : x 2 – 2 ( m + n)x + 4mn = 0 . a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi m = 1 ; n = 3 . b) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m ,n . 2 2 c) Gäi x 1, x 2, lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh . TÝnh x1 + x2 theo m ,n . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh . a) x3 – 16x = 0 b) x = x − 2 1 14 c) + = 1 3 − x x 2 − 9 C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho hµm sè : y = ( 2m – 3)x 2 . 1) Khi x < 0 t×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè lu«n ®ång biÕn . 2) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm ( 1 , -1 ) . VÏ ®å thÞ víi m võa t×m ®−îc . C©u 4 (3®iÓm ) Cho tam gi¸c n hän ABC vµ ®−êng kÝnh BON . Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC , §−êng th¼ng BH c¾t ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i M . 1) Chøng minh tø gi¸c AMCN lµ h×nh thanng c©n . 2) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC . Chøng minh H , I , N th¼ng hµng . 3) Chøng minh r»ng BH = 2 OI vµ tam gi¸c CHM c©n . - 28 -
®Ò sè 10 . C©u 1 ( 2 ®iÓm ) 2 – Cho ph−¬ng tr×nh : x + 2x 4 = 0 . gäi x 1, x 2, lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh . 2x 2 + 2x 2 − 3x x = 1 2 1 2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A 2 2 x1 x2 + x1 x2 C©u 2 ( 3 ®iÓm) a 2 x − y = −7 Cho hÖ ph−¬ng tr×nh  2x + y = 1 a) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh khi a = 1 b) Gäi nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ ( x , y) . T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó x + y = 2 . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho ph−¬ng tr×nh x 2 – ( 2m + 1 )x + m 2 + m – 1 =0. a) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m . – – b) Gäi x 1, x 2, lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh . T×m m sao cho : ( 2x 1 x 2 )( 2x 2 x 1 ) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy . c) H·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x 1 vµ x 2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho h×nh thoi ABCD cã gãc A = 60 0 . M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC , ®−êng th¼ng AM c¾t c¹nh DC kÐo dµi t¹i N . a) Chøng minh : AD 2 = BM.DN . b) §−êng th¼ng DM c¾t BN t¹i E . Chøng minh tø gi¸c BECD néi tiÕp . c) Khi h×nh thoi ABCD cè ®Þnh . Chøng minh ®iÓm E n»m trªn mét cung trßn cè ®Þnh khi m ch¹y trªn BC . §Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn 1999 §¹i häc khoa häc tù nhiªn. Bµi 1. Cho c¸c sè a, b, c tháa m·n ®iÒu kiÖn: a+ b + c = 0 4 4 4 .H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc P=+1 abc + + . {{{a2+ b 2 + c 2 = 14 - 29 -
Bµi 2. a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh x+−37 −= x 28 x −  1 1 9 x+ y + + =  x y 2 b) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :  1 5 xy + =  xy 2 Bµi 3. T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d−¬ng n sao cho n 2 + 9n – 2 chia hÕt cho n + 11. Bµi 4. Cho vßng trßn (C) vµ ®iÓm I n»m trong vßng trßn. Dùng qua I hai d©y cung bÊt kú MIN, EIF. Gäi M ’, N ’, E ’, F ’ lµ c¸c trung ®iÓm cña IM, IN, IE, IF. a) Chøng minh r»ng : tø gi¸c M ’E’N’F’ lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) Gi¶ sö I thay ®æi, c¸c d©y cung MIN, EIF thay ®æi. Chøng minh r»ng vßng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c M ’E’N’F’ cã b¸n kÝnh kh«ng ®æi. c) Gi¶ sö I cè ®Þnh, c¸c day cung MIN, EIF thay ®æi nh−ng lu«n vu«ng gãc víi nhau. T×m vÞ trÝ cña c¸c d©y cung MIN, EIF sao cho tø gi¸c M ’E’N’F’ cã diÖn tÝch lín nhÊt. Bµi 5. C¸c sè d−¬ng x, y thay ®æi tháa m·n ®iÒu kiÖn: x + y = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 21   2 1  biÓu thøc : P= x +2   y + 2  y   x  - 30 -
§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn to¸n 1992 §¹i häc tæng hîp Bµi 1. a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh (1 + x) 4 = 2(1 + x 4). x2+ xy + y 2 = 7  b) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  y2+ yz + z 2 = 28 2 2 z+ xz + x = 7 Bµi 2. a) Ph©n tÝch ®a thøc x 5 – 5x – 4 thµnh tÝch cña mét ®a thøc bËc hai vµ mét ®a thøc bËc ba víi hÖ sè nguyªn. 2 b) ¸p dông kÕt qu¶ trªn ®Ó rót gän biÓu thøc P === . 4− 34 5 + 2 5 − 4 125 Bµi 3. Cho ∆ ABC ®Òu. Chøng minh r»ng víi mäi ®iÓm M ta lu«n cã MA MB + MC. Bµi 4. Cho ∠ xOy cè ®Þnh. Hai ®iÓm A, B kh¸c O lÇn l−ît ch¹y trªn Ox vµ Oy t−¬ng øng sao cho OA.OB = 3.OA – 2.OB. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng AB lu«n ®I qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 5. Cho hai sè nguyªn d−¬ng m, n tháa m·n m > n vµ m kh«ng chia hÕt cho n. BiÕt r»ng m sè d− khi chia m cho n b»ng sè d− khi chia m + n cho m – n. H·y tÝnh tû sè . n - 31 -
§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn 1996 §¹i häc khoa häc tù nhiªn. 16 6 1 (x+ )( − x +6 ) − 2 Bµi 1. Cho x > 0 h·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P === x x . 1 1 (x+ ) 3 + x 3 + x x 3  1 1  +2 − = 2  x y Bµi 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  1 1  +2 − = 2  y x Bµi 3. Chøng minh r»ng víi mäi n nguyªn d−¬ng ta cã : n 3 + 5n 6. a3 b 3 c 3 Bµi 4. Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng : + + ≥ab + bc + ca . b c a Bµi 5. Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh b»ng a. Gäi M, N, P, Q lµ c¸c ®iÓm bÊt kú lÇn l−ît n»m trªn c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA. a) Chøng minh r»ng 2a 2 MN 2 + NP 2 +PQ 2 + QM 2 4a 2 . b) Gi¶ sö M lµ mét ®iÓm cè ®Þnh trªn c¹nh AB. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ c¸c ®iÓm N, P, Q lÇn l−ît trªn c¸c c¹nh BC, CD, DA sao cho MNPQ lµ mét h×nh vu«ng. - 32 -
§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn 2000 §¹i häc khoa häc tù nhiªn 1 1 1 Bµi 1. a) TÝnh S = + ++ . 12. 23 . 19992000 .  1 x x2 + + = 3  y2 y b) Gi¶I hÖ ph−¬ng tr×nh :  1 x x + + = 3  y y Bµi 2. a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh x−+4 xxx3 + 2 ++=+ 11 x 4 − 1 b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó ph−¬ng tr×nh 11 2x2−( 4 a + ) xa + 470 2 += cã Ýt nhÊt mét nghiÖm nguyªn. 2 Bµi 3. Cho ®−êng trßn t©m O néi tiÕp trong h×nh thang ABCD (AB // CD), tiÕp xóc víi c¹nh AB t¹i E vµ víi c¹nh CD t¹i F nh− h×nh BE DF A B a) Chøng minh r»ng === . E AE CF b) Cho AB = a, CB = b (a < b), BE = 2AE. TÝnh diÖn tÝch h×nh thang ABCD. Bµi 4. Cho x, y lµ hai sè thùc bÊt k× kh¸c kh«ng. D F C 4xy22 x 2 y 2 Chøng minh r»ng (+ + ) ≥ 3 . DÊu ®¼ng thøc (xy2+++ 28 ) y 2 x 2 x¶y ra khi nµo ? - 33 -
§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn 1998 §¹i häc khoa häc tù nhiªn Bµi 1. a) Gi¶I ph−¬ng tr×nh x2++8 2 − x 2 = 4 . x2+ xy + y 2 = 7 b) Gi¶I hÖ ph−¬ng tr×nh :  4 22 4 x+ xy + y = 21 a3−3 ab 2 = 19 Bµi 2. C¸c sè a, b tháa m·n ®iÒu kiÖn :  3 2 b−3 ba = 98 H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc P = a 2 + b 2 . Bµi 3. Cho c¸c sè a, b, c ∈ [0,1]. Chøng minh r»ng {Mê} Bµi 4. Cho ®−êng trßn (O) b¸n kÝnh R vµ hai ®iÓm A, B cè ®Þnh trªn (O) sao cho AB < 2R. Gi¶ sö M lµ ®iÓm thay ®æi trªn cung lín AB cña ®−êng trßn . a) KÎ tõ B ®−êng trßn vu«ng gãc víi AM, ®−êng th¼ng nµy c¾t AM t¹i I vµ (O) t¹i N. Gäi J lµ trung ®iÓm cña MN. Chøng minh r»ng khi M thay ®æi trªn ®−êng trßn th× mçi ®iÓm I, J ®Òu n»m trªn mét ®−êng trßn cè ®Þnh. b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi ∆ AMB lµ lín nhÊt. Bµi 5. a) T×m c¸c sè nguyªn d−¬ng n sao cho mçi sè n + 26 vµ n – 11 ®Òu lµ lËp ph−¬ng cña mét sè nguyªn d−¬ng. b) Cho c¸c sè x, y, z thay ®æi th¶o m·n ®iÒu kiÖn x2 + y 2 +z 2 = 1. H·y t×m gi¸ trÞ lín 1 nhÊt cña biÓu thøc Pxyyzzx=+++((()( xyz2() −+ 22 yzx () −+ 22 zxy () − 2 ))) . 2 - 34 -
§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn 1993-1994 §¹i häc tæng hîp 1 1 Bµi 1. a) Gi¶I ph−¬ng tr×nh x+ x ++ x + = 2 . 2 4 x3+2 xy 2 + 12 y = 0 b) Gi¶I hÖ ph−¬ng tr×nh :  3 2 8y+ x = 12 Bµi 2. T×m max vµ min cña biÓu thøc : A = x 2y(4 – x – y) khi x vµ y thay ®æi tháa m·n ®iÒu kiÖn : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y 6. Bµi 3. Cho h×nh thoi ABCD. Gäi R, r lÇn l−ît lµ c¸c b¸n kÝnh c¸c ®−êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c 1 1 4 tam gi¸c ABD, ABC vµ a lµ ®é dµi c¹nh h×nh thoi. Chøng minh r»ng + = . R2 r 2 a 2 Bµi 4. T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d−¬ng a, b, c ®«I mét kh¸c nhau sao cho biÓu thøc 111 1 1 1 A =+++ + + nhËn gi¸ trÞ nguyªn d−¬ng. a b c ab ac bc - 35 -
§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn 1991-1992 §¹i häc tæng hîp Bµi 1. a) Rót gän biÓu thøc A =323 − 4 2. 6 44 + 166 . b) Ph©n tÝch biªu thøc P = (x – y) 5 + (y-z) 5 +(z - x ) 5 thµnh nh©n tö.   a+ b + c = 0 Bµi 2. a) Cho c¸c sè a, b, c, x, y, z th¶o m·n c¸c ®iÒu kiÖn x+ y + z = 0 h·y tÝnh gi¸ trÞ cña  x y z + + = 0  a b c biÓu thøc A = xa 2 + yb 2 + zc 2. b) Cho 4 sè a, b, c, d mçi sè ®Òu kh«ng ©m vµ nhá h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng 0 a + b + c + d – ab – bc – cd – da 2. Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra dÊu b»ng. Bµi 3. Cho tr−íc a, d lµ c¸c sè nguyªn d−¬ng. XÐt c¸c sè cã d¹ng : a, a + d, a + 2d, , a + nd, Chøng minh r»ng trong c¸c sè ®ã cã Ýt nhÊt mét sè mµ 4 ch÷ sè ®Çu tiªn cña nã lµ 1991. Bµi 4. Trong mét cuéc héi th¶o khoa häc cã 100 ng−êi tham gia. Gi¶ sö mçi ng−êi ®Òu quen biÕt víi Ýt nhÊt 67 ng−êi. Chøng minh r»ng cã thÓ t×m ®−îc mét nhãm 4 ng−êi mµ bÊt k× 2 ng−êi trong nhãm ®ã ®Òu quen biÕt nhau. Bµi 5. Cho h×nh vu«ng ABCD. LÊy ®iÓm M n»m trong h×nh vu«ng sao cho ∠ MAB = ∠ MBA = 15 0 . Chøng minh r»ng ∆ MCD ®Òu. Bµi 6. H·y x©y dùng mét tËp hîp gåm 8 ®iÓm cã tÝnh chÊt : §−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm bÊt k× lu«n ®I qua Ýt nhÊt hai ®iÓm cña tËp hîp ®ã. - 36 -
§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn Lý 1989-1990 −2x2 + x + 36 Bµi 1. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biªu thøc nguyªn. 2x +++ 3 Bµi 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = a 2 + ab + b 2 – 3a – 3b + 3. Bµi 3. a) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d−¬ng m th× biÓu thøc m 2 + m + 1 kh«ng ph¶I lµ sè chÝnh ph−¬ng. b) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d−¬ng m th× m(m + 1) kh«ng thÓ b»ng tÝch cña 4 sè nguyªn liªn tiÕp. Bµi 4. Cho ∆ ABC vu«ng c©n t¹i A. CM lµ trung tuyÕn. Tõ A vÏ ®−êng vu«ng gãc víi MC c¾t BH BC t¹i H. TÝnh tØ sè . HC Bµi 5. Cã 6 thµnh phè, trong ®ã cø 3 thµnh phè bÊt k× th× cã Ýt nhÊt 2 thnµh phè liªn l¹c ®−îc víi nhau. Chøng minh r»ng trong 6 thµnh phè nãi trªn tån t¹i 3 thµnh phè liªn l¹c ®−îc víi nhau. - 37 -
§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn n¨m 2004 §¹i häc khoa häc tù nhiªn(vßng1) Bµi 1. a) Gi¶I ph−¬ng tr×nh x++1 x −=+ 11 x 2 − 1 x3+ y 3 +− xy = 8 b) T×m nghiÖm nguyªn c¶u hÖ  2 2 2y− x − xy + 227 y − x = Bµi 2. Cho c¸c sè thùc d−¬ng a vµ b tháa m·n a 100 + b 100 = a 101 + b 101 = a 102 + b 102 .H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc P = a 2004 + b 2004 . Bµi 3. Cho ∆ ABC cã AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm. §−êng cao, ®−êng ph©n gi¸c, ®−êng trung tuyÕn cña tam gi¸c kÎ tõ ®Ønh B chia tam gi¸c thµnh 4 phÇn. H·y tÝnh diÖn tÝch mçi phÇn. Bµi 4. Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong ®−êng trßn, cã hai ®−êng chÐo AC, BD vu«ng gãc víi nhau t¹i H (H kh«ng trïng víi t©m c¶u ®−êng trßn ). Gäi M vµ N lÇn l−ît lµ ch©n c¸c ®−êng vu«ng gãc h¹ tõ H xuèng c¸c ®−êng th¼ng AB vµ BC; P vµ Q lÇn l−ît lµ c¸c giao ®iÓm cña c¸c ®−êng th¼ng MH vµ NH víi c¸c ®−êng th¼ng CD vµ DA. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng PQ song song víi ®−êng th¼ng AC vµ bèn ®iÓm M, N, P, Q n»m trªn cïng mét ®−êng trßn . Bµi 5. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 1x10 y 10 1 Q=( + )( + xy16 +−+ 16 )(1 xy 2 2 ) 2 2y2 x 2 4 §Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn n¨m 2004 §¹i häc khoa häc tù nhiªn(vßng 2) Bµi 1. gi¶I ph−¬ng tr×nh x−+3 x −= 1 2 (x+ yx )(2 + y 2 ) = 15 Bµi 2. Gi¶I hÖ ph−¬ng tr×nh  2 2 (x− yx )( − y ) = 3 (x3+ y 3 )( − x 2 + y 2 ) Bµi 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P === víi x, y lµ c¸c sè thùc lín h¬n (x−1 )( y − 1 ) 1. Bµi 4. Cho h×nh vu«ng ABCD vµ ®iÓm M n»m trong h×nh vu«ng. a) T×m tÊt c¶ c¸c vÞ trÝ cña M sao cho ∠ MAB = ∠ MBC = ∠ MCD = ∠ MDA. b) XÐt ®iÓm M n»m trªn ®−êng chÐo AC. Gäi N lµ ch©n ®−êng vu«ng gãc h¹ tõ M OB xuèng AB vµ O lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AM. Chøng minh r»ng tØ sè cã gi¸ trÞ CN kh«ng ®æi khi M di chuyÓn trªn ®−êng chÐo AC. c) Víi gi¶ thiÕt M n»m trªn ®−êng chÐo AC, xÐt c¸c ®−êng trßn (S) vµ (S ’) cã c¸c ®−êng kÝnh t−¬ng øng AM vµ CN. Hai tiÕp tuyÕn chung cña (S) vµ (S ’) tiÕp xóc víi (S ’) t¹i P vµ Q. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng PQ tiÕp xóc víi (S). Bµi 5. Víi sè thùc a, ta ®Þnh nghÜa phÇn nguyªn cña sè a lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng v−ît qu¸ a vµ kÝ hiÖu lµ [a]. D·y sè x 0, x 1, x 2 , x n, ®−îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc n+++1  n  xn =  −  . Hái trong 200 sè {x 1, x 2, , x 199 } cã bao nhiªu sè kh¸c 0 ? 2  2  - 38 -
§Ò thi thö vµo THPT Chu V¨n An 2004 23+x 2 + x 2 − xx 4 Bµi 1. Cho biÓu thøc P =+( ):( −− ) 2−xxx − 22 − x 2 + x x −−− 4 a) Rót gän P x −−− 3 b) Cho ==−−= − 11 . H·y tÝnh gi¸ trÞ cña P. 4x2 Bµi 2. Cho ph−¬ng tr×nh mx 2 – 2x – 4m – 1 = 0 (1) a) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) nhËn x = 5 lµ nghiÖm, h·y t×m nghiÖm cßn l¹i. b) Víi m ≠ 0 Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm x1, x 2 ph©n biÖt. Gäi A, B lÇn l−ît lµ c¸c ®iÓm biÓu diÔn cña c¸c nghiÖm x1, x 2 trªn trôc sè. Chøng minh r»ng ®é dµi ®o¹n th¼ng AB kh«ng ®æi (Kh«ng ch¾c l¾m) Bµi 3. Cho ®−êng trßn (O;R) ®−êng kÝnh AB vµ mét ®iÓm M di ®éng trªn ®−êng trßn (M kh¸c A, B) Gäi CD lÇn l−ît lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung nhá AM vµ BM. a) Chøng minh r»ng CD = R 2 vµ ®−êng th¼ng CD lu«n tiÕp xóc víi mét ®−êng trßn cè ®Þnh. b) Gäi P lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm D lªn ®−êng th¼ng AM. ®−êng th¼ng OD c¾t d©y BM t¹i Q vµ c¾t ®−êng trßn (O) t¹i giao ®iÓm thø hai S. Tø gi¸c APQS lµ h×nh g× ? T¹i sao ? c) ®−êng th¼ng ®I qua A vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng MC c¾t ®−êng th¼ng OC t¹i H. Gäi E lµ trung ®iÓm cña AM. Chøng minh r»ng HC = 2OE. d) Gi¶ sö b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp ∆ MAB b»ng 1. Gäi MK lµ ®−êng cao h¹ tõ M ®Õn AB. Chøng minh r»ng : 1 1 11 + + 〈〈〈 MK+2 MA MA + 2 MB MB + 23 MK - 39 -
§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn n¨m 2003 §¹i häc khoa häc tù nhiªn(vßng 2) Bµi 1. Cho ph−¬ng tr×nh x 4 + 2mx 2 + 4 = 0. T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã 4 4 4 4 4 nghiÖm ph©n biÖt x 1, x 2, x 3, x 4 tháa m·n x 1 + x2 + x3 + x4 = 32. 2x2+ xyy − 2 − 5 xy ++= 20 Bµi 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :  2 2 x+ y ++ xy −=4 0 Bµi 3. T×m c¸c sè nguyªn x, y tháa m·n x 2 + xy + y 2 = x 2y2 . Bµi 4. ®−êng trßn (O) néi tiÕp ∆ ABC tiÕp xóc víi BC, CA, AB t−¬ng øng t¹i D, E, F. §−êng trßn t©m (O ’) bµng tiÕp trong gãc ∠ BAC cña ∆ ABC tiÕp xóc víi BC vµ phÇn kÐo dµi cña AB, AC t−¬ng øng t¹i P, M, N. a) Chøng minh r»ng : BP = CD. b) Trªn ®−êng th¼ng MN lÊy c¸c ®iÓm I vµ K sao cho CK // AB, BI // AC. Chøng minh r»ng : tø gi¸c BICE vµ BKCF lµ h×nh b×nh hµnh. c) Gäi (S) lµ ®−êng trßn ®i qua I, K, P. Chøng minh r»ng (S) tiÕp xóc víi BC, BI, CK. Bµi 5. Sè thùc x thay ®æi vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn : x2+(3 − x ) 2 ≥ 5 T×m min cña Px=+−4()3 x 42 + 6 x () 3 − x 2 . §Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn n¨m 2003 §¹i häc khoa häc tù nhiªn Bµi 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh (x+−+5 x 21 )( + xx2 ++ 71103 ) = . 2x3+ 3 yx 2 = 5 Bµi 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  3 2 y+6 xy = 7 Bµi 3. TÝm c¸c sè nguyªn x, y tháa m·n ®¼ng thøc : 2yxxy2+++= 1 x 2 + 2 y 2 + xy . Bµi 4. Cho nöa ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AB = 2R. M, N lµ hai ®iÓm trªn nöa ®−êng trßn (O) sao cho M thuéc cung AN vµ tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ A, B ®Õn ®−êng th¼ng MN b»ng R 3 a) TÝnh ®é dµi MN theo R. b) Gäi giao ®iÓm cña hai d©y AN vµ BM lµ I. Giao ®iÓm cña c¸c ®−êng th¼ng AM vµ BN lµ K. Chøng minh r»ng bèn ®iÓm M, N, I, K cïng n»m trªn mét ®−êng trßn , TÝnh b¸n kÝnh cña ®−êng trßn ®ã theo R. c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña diÖn tÝch ∆ KAB theo R khi M, N thay ®æi nh−ng vÉn tháa m·n gi¶ thiÕt cña bµi to¸n. Bµi 5. Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc tháa m·n ®iÒu kiÖn : x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chøng minh r»ng : x 2 + y2 + z2 ≥ 3. - 40 -
§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn n¨m 2002002222 §¹i häc khoa häc tù nhiªn Bµi 1. a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : xx2−++32 x += 3 xx 2 +−+ 23 x − 2 . b) T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh : x + xy + y = 9 x2+ y 2 + xy = 1 Bµi 2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :  3 3 { M} x+ y = x + 3 y Bµi 3. Cho m−êi sè nguyªn d−¬ng 1, 2, , 10. S¾p xÕp 10 sè ®ã mét c¸ch tïy ý vµo mét hµng. Céng mçi sè víi sè thø tù cña nã trong hµng ta ®−îc 10 tæng. Chøng minh r»ng trong 10 tæng ®ã tån t¹i Ýt nhÊt hai tæng cã ch÷ sè tËn cïng gièng nhau. 4a 3 b or 5b 16 c Bµi 4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : P = + + Trong ®ã a, b, c lµ bca+− acb +− abc +− ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Bµi 5. §−êng trßn (C) t©m I néi tiÕp ∆ ABC tiÕp xóc víi c¸c c¹nh BC, CA, AB t−¬ng øng t¹i A’, B ’, C ’ . a) Gäi c¸c giao ®iÓm cña ®−êng trßn (C) víi c¸c ®o¹n IA, IB, IC lÇn l−ît t¹i M, N, P. Chøng minh r»ng c¸c ®−êng th¼ng A ’M, B ’N, C ’P ®ång quy. b) K ðo dµi ®o¹n AI c¾t ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ ABC t¹i D (kh¸c A). Chøng minh r»ng IB. IC === r trong ®ã r lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn (C) . ID §Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn n¨m 2002002222 §¹i häc khoa häc tù nhiªn Bµi 1. a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 8+x + 5 − x = 5 b) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : (x+1 )( y + 1 ) = 8 {{{x( x++1 )( y y ++ 1 ) xy = 17 Bµi 2. Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh x 2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 v« nghiÖm. Bµi 3. T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn n sao cho n 2 + 2002 lµ mét sè chÝnh ph−¬ng. 1 1 1 Bµi 4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓt thøc: S = + + Trong ®ã x, y, z lµ c¸c sè 1+xy 1 + yz 1 + zx d−¬ng thay ®æi tháa m·n ®iÒu kiÖn x 2 + y2 + z2 3. Bµi 5. Cho h×nh vu«ng ABCD. M lµ ®iÓm thay ®æi trªn c¹nh BC (M kh«ng trïng víi B) vµ N lµ ®iÓm thay ®æi trªn c¹nh CD (N kh«ng trïng D) sao cho ∠ MAN = ∠ MAB + ∠ NAD. a) BD c¾t AN, AM t−¬ng øng t¹i p vµ Q. Chøng minh r»ng 5 ®iÓm P, Q, M, C, N cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. b) Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng MN lu«n lu«n tiÕp xóc víi mét ®−êng trßn cè ®Þnh khi M vµ N thay ®æi. c) Ký hiÖu diÖn tÝch cña ∆ APQ lµ S vµ diÖn tÝch tø gi¸c PQMN lµ S ’. Chøng minh r»ng S tû sè kh«ng ®æi khi M, N thay ®æi. S ' - 41 -
§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn n¨m 2002001111 §¹i häc khoa häc tù nhiªn Bµi 1. T×m c¸c gia trÞ nguyªn x, y tháa m·n ®¼ng thøc: (y + 2)x 2 + 1 = y 2 . Bµi 2. a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : xx(31+− ) xx () −= 12 x 2 . x2 + xy +=2 3 xy + b) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :  2 2 x+ y = 2 Bµi 3. Cho nöa vßng trßn ®−êng kÝnh AB=2a. Trªn ®o¹n AB lÊy ®iÓm M. Trong nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa vßng trßn, ta kÎ 2 tia Mx vµ My sao cho ∠ AMx = ∠ BMy =30 0 . Tia Mx c¾t nöa vßng trßn ë E, tia My c¾t nöa vßng trßn ë F. KÎ EE ’, FF ’ vu«ng gãc víi AB. a) Cho AM= a/2, tÝnh diÖn tÝch h×nh thang vu«ng EE ’F’F theo a. b) Khi M di ®éng trªn AB. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng EF lu«n tiÕp xóc víi mét vßng trßn cè ®Þnh.  11 11 11 x(++ )( y ++ )( z + ) =− 2 Bµi 4. Gi¶ sö x, y, z lµ c¸c sè thùc kh¸c 0 tháa m·n :  yz zx xy .H·y 3 3 3 x+ y + z = 1 1 1 1 tÝnh gi¸ trÞ cña P = + + . x y z Bµi 5. Víi x, y, z lµ c¸c sè thùc d−¬ng, h·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: xyz M === (x+ yy )( + zz )( + x ) - 42 -
§Ò thi vµo 10 n¨m 19891989 19901990 Hµ Néi 251x x −−− 1 Bµi 1. XÐt biÓu thøc A =−1 ((( − − ))) : 12+xx 42 −− 112 xxx 4 2 ++ 41 a) Rót gän A. b) T×m gi¸ trÞ x ®Ó A = -1/2 . Bµi 2. Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 50 km/h. Sau khi ®i ®−îc 2/3 qu·ng ®−êng víi vËn tèc ®ã, v× ®−êng khã ®i nªn ng−êi l¸i xe ph¶i gi¶m vËn tèc mçi giê 10 km trªn qu·ng ®−êng cßn l¹i. Do ®ã « t« ®Õn B chËm 30 phót so víi dù ®Þnh. TÝnh qu· ng ®−êng AB. Bµi 3. Cho h×nh vu«ng ABCD vµ mét ®iÓm E bÊt k× trªn c¹nh BC. Tia Ax ⊥ AE c¾t c¹nh CD kÐo dµi t¹i F. KÎ trung tuyÕn AI cña ∆ AEF vµ kÐo dµi c¾t c¹nh CD t¹i K. §−êng th¼ng qua E vµ song song víi AB c¾t AI t¹i G. a) Chøng minh r»ng AE = AF. b) Chøng minh r»ng tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi. c) Chøng minh r»ng hai tam gi¸c AKF , CAF ®ång d¹ng vµ AF 2 = KF.CF. d) Gi¶ sö E ch¹y trªn c¹nh BC. Chøng minh r»ng EK = BE + ®iÒu kiÖn vµ chu vi ∆ ECK kh«ng ®æi. x2 −2 x + 1989 Bµi 4. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc y === ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. x2 - 43 -
§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 chuyªn n¨m häc 20002000 2001.2001. (1) 1 1 1 1 1 2000 Bµi 1. T×m n nguyªn d−¬ng tháa m·n : (11+++ )( )( 1 ) ( 1 + ) = 2 13. 24 . 35 .n () n +++ 2 2001 x+4 x −+ 4 xx − 44 − Bµi 2. Cho biÓu thøc A === 16 8 − + 1 x2 x a) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A x¸c ®Þnh. b) T×m x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. c) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nguyªn. Bµi 3. Cho ∆ ABC ®Òu c¹nh a. §iÓm Q di ®éng trªn AC, ®iÓm P di ®éng trªn tia ®èi cña tia CB sao cho AQ. BP = a 2 . §−êng th¼ng AP c¾t ®−êng th¼ng BQ t¹i M. a) Chøng minh r»ng tø gi¸c ABCM néi tiÕp ®−êng trßn . b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña MA + MC theo a. abc a b c Bµi 4. Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng ++< + + bacbac+++ bc + ca + ab + 6+++ 2 Bµi 5. Chøng minh r»ng sin75 0 = 4 - 44 -
§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 chuyªn n¨m häc 20002000 2001.2001. ((2222)))) x−11 x + x 12 Bµi 1. CCChoC biÓu thøc P =−( ):( −− ) . x+−111 x − xx + 1 x 2 − 1 a) Rót gän P. b) Chøng minh r»ng P < 1 víi mäi gi¸ trÞ cña x ≠ ±1. Bµi 2. Hai vßi n−íc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau 4 giê 48 phót th× ®Çy. N ðu ch¶y cïng mét thêi gian nh− nhau th× l−îng n−íc cña vßi II b»ng 2/3 l−¬ng n−íc cña vßi I ch¶y ®−îc. Hái mçi vßi ch¶y riªng th× sau bao l©u ®Çy bÓ. Bµi 3. Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh : x2 −6 x + 1 = 0 cã hai nghiÖm x1 = 2−−− 3 vµ x 2 = 2+++ 3 . Bµi 4. Cho ®−êng trßn t©m O ®−êng kÝnh AB = 2R vµ mét ®iÓm M di ®éng trªn mét nöa ®−êng trßn ( M kh«ng trïng víi A, B). Ng−êi ta vÏ mét ®−êng trßn t©m E tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O) t¹i M vµ tiÕp xóc víi ®−êng kÝnh AB. §−êng trßn (E) c¾t MA, MB lÇn l−ît t¹i c¸c ®iÓm thø hai lµ C, D. a) Chøng minh r»ng ba ®iÓm C, E, D th¼ng hµng. b) Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh K vµ tÝch KM.KN kh«ng ®æi. c) Gäi giao ®iÓm cña c¸c tia CN, DN víi KB, KA lÇn l−ît lµ P vµ Q. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch ∆ NPQ ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ chøng tá khi ®ã chu vi ∆ NPQ ®¹i gi¸ trÞ nhá nhÊt. d) T×m quü tÝch ®iÓm E. - 45 -
§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn n¨m 2002001111 §¹i häc khoa häc tù nhiªn Bµi 1. a) Cho f(x) = ax 2 + bx + c cã tÝnh chÊt f(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn khi x lµ sè nguyªn hái c¸c hÖ sè a, b, c cã nhÊt thiÕt ph¶i lµ c¸c sè nguyªn hay kh«ng ? T¹i sao ? b) T×m c¸c sè nguyªn kh«ng ©m x, y tháa m·n ®¼ng thøc : x2= y 2 + y − 1 Bµi 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 4x+= 1 x2 − 5 x + 14 ax+ by = 3 ax2+ by 2 = 5 Bµi 3. Cho c¸c sè thùc a, b, x, y tháa m·n hÖ : ax3+ by 3 = 9  4 4 ax+ by = 17 TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc A= ax5 + by 5 vµ B= ax2001 + by 2001 Bµi 4. Cho ®o¹n th¼ng Ab cã trung ®iÓm lµ O. Gäi d, d ’ lµ c¸c ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t−¬ng øng t¹i A, B. Mét gãc vu«ng ®Ønh O cã mét c¹nh c¾t d ë M, cßn c¹nh kia c¾t d ’ ë N. kÎ OH ⊥ MN. Vßng trßn ngo¹i tiÕp ∆ MHB c¾t d ë ®iÓm thø hai lµ E kh¸c M. MB c¾t NA t¹i I, ®−êng th¼ng HI c¾t EB ë K. Chøng minh r»ng K n»m trªn mét ®−êng trßn cè ®inh khi gãc vu«ng uqay quanh ®Ønh O. Bµi 5. Cho 2001 ®ång tiÒn, mçi ®ång tiÒn ®−îc s¬n mét mÆt mµu ®á vµ mét mÆt mµu xanh. XÕp 2001 ®ång tiÒn ®ã theo mét vßng trßn sao cho tÊt c¶ c¸c ®ång tiÒn ®Òu cã mÆt xanh ngöa lªn phÝa trªn. Cho phÐp mçi lÇn ®æi mÆt ®ång thêi 5 ®ång tiÒn liªn tiÕp c¹nh nhau. Hái víi c¸nh lµm nh− thÕ sau mét sè h÷u h¹n lÇn ta cã thÓ lµm cho tÊt c¶ c¸c ®ång tiÒn ®Òu cã mÆt ®á ngöa lªn phÝa trªn ®−îc hay kh«ng ? T¹i sao ? - 46 -
§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 chuyªn To¸n Tin n¨m 2002003333 20022000020044 §¹i häc s− ph¹m HN Bµi 1. Chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ kh«ng phô théc vµo x 32− 3. 6 743 + − x A= x + 4 945−. 2 + 5 + x Bµi 2. Víi mçi sè nguyªn d−¬ng n, ®Æt P n = 1.2.3 .n. Chøng minh r»ng a) 1 + 1.P 1 + 2.P 2 + 3.P 3 + .+ n.P n = P n+1 . 123n −−− 1 b) +++ + < 1 PPP1 2 3 P n Bµi 3. T×m c¸c sè nguyªn d−¬ng n sao cho hai sè x = 2n + 2003 vµ y = 3n + 2005 ®Òu lµ nh÷ng sè ch×nh ph−¬ng. Bµi 4. XÐt ph−¬ng tr×nh Èn x : (24x2−++ xa 5 )( x 2 −+ 2 xax )( −−−= 110 a ) a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh øng víi a = -1. b) T×m a ®Ó ph−¬ng tr×nh trªn cã ®óng ba nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 5. Qua mét ®iÓm M tïy ý ®· cho trªn ®¸y lín AB cña h×nh thang ABCD ta kÎ c¸c ®−êng th¼ng song song víi hai ®−êng chÐo AC vµ BD. C¸c ®−êng th¼ng song song nµy c¾t hai c¹nh BC vµ AD lÇn l−ît t¹i E vµ F. §o¹n EF c¾t AC vµ BD t¹i I vµ J t−¬ng øng. a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H cïng lµ trung ®iÓm cña EF. b) Trong tr−êng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña mét ®iÓm M trªn AB sao cho EJ = JI = IF. - 47 -
§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 chuyªn To¸n Tin n¨m 20020044 §¹i häc s− ph¹m HN Bµi 1. Cho x, y, z lµ ba sè d−¬ng thay ®æi tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = 3. T×m gi¸ trÞ nhá 1 1 1 nhÊt cña biÓu thøc : P = + + . x y z Bµi 2. T×m tÊt c¶ bé ba sè d−¬ng tháa m·n hÖ ph−¬ng tr×nh : 2x2004= y 6 + z 6  2y2004= z 6 + x 6 2004 6 6 2z= x + y Bµi 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 2(xx−− 2 )( 331 ) ( xx −− )( 341 ) ( xx −− )( 2 ) + + =+3x 4 . (1213−− )( ) ( 2123 −− )( ) ( 3132 −− )( ) Bµi 4. Mçi bé ba sè nguyªn d−¬ng (x,y,z) tháa m·n ph−¬ng tr×nh x 2+y 2+z 2=3xyz ®−îc gäi lµ mét nghiÖm nguyªn d−¬ng cña ph−¬ng tr×nh nµy. a) H·y chØ ra 4 nghiÖm nguyªn d−¬ng kh¸c cña ph−¬ng tr×nh ®· cho. b) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh ®· cho cã v« sè nghiÖm nguyªn d−¬ng. Bµi 5. Cho ∆ ABC ®Òu néi tiÕp ®−êng trßn (O). Mét ®−êng th¼ng d thay ®æi lu«n ®i qua A c¾t c¸c tiÕp tuyÕn t¹i B vµ C cña ®−êng trßn (O) t−¬ng øng t¹i M vµ N. Gi¶ sö d c¾t l¹i ®−êng trßn (O) t¹i E (kh¸c A), MC c¾t BN t¹i F. Chøng minh r»ng : a) ∆ ACN ®ång d¹ng víi ∆ MBA. ∆ MBC ®ång d¹ng víi ∆ BCN. b) tø gi¸c BMEF lµ tø gi¸c néi tiÕp c) §−êng th¼ng EF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi d thay ®æi nh−ng lu«n ®i qua A. §Ò 1 C©u 1 : ( 3 ®iÓm ) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh a) 3x 2 – 48 = 0 . b) x2 – 10 x + 21 = 0 . 8 20 c) + 3 = x − 5 x − 5 C©u 2 : ( 2 ®iÓm ) a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a , b biÕt r»ng ®å thÞ cña hµm sè y = ax + b ®i qua hai ®iÓm 1 A( 2 ; - 1 ) vµ B ( )2; 2 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®å thÞ cña c¸c hµm sè y = mx + 3 ; y = 3x –7 vµ ®å thÞ cña hµm sè x¸c ®Þnh ë c©u ( a ) ®ång quy . C©u 3 ((( 2 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ngph ¬ng tr×nh . - 48 -
mx − ny = 5   2x + y = n a) Gi¶i hÖ khi m = n = 1 .  x = − 3 b) T×m m , n ®Ó hÖ ®· cho cã nghiÖm  y = 3 +1 C©u 4 : ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( C = 90 0 ) néi tiÕp trong ® êng trßn t©m O . Trªn cung nhá AC ta lÊy mét ®iÓm M bÊt kú ( M kh¸c A vµ C ) . VÏ ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AC , ® êng trßn nµy c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm D ( D kh¸c C ) . §o¹n th¼ng BM c¾t ® êng trßn t©m A ë ®iÓm N . a) Chøng minh MB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD . b) Chøng minh BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t©m A nãi trªn . c) So s¸nh gãc CNM víi gãc MDN . d) Cho biÕt MC = a , MD = b . H·y tÝnh ®o¹n th¼ng MN theo a vµ b . ®Ò sè 2 C©u 1 : ( 3 ®iÓm ) 2 Cho hµm sè : y = 3x ( P ) 2 1 a) TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i x = 0 ; -1 ; − ; -2 . 3 9 2 1 b) BiÕt f(x) = ;− ;8 ; t×m x . 2 3 2 c) X¸c ®Þnh m ®Ó ®êng th¼ng (D) : y = x + m – 1 tiÕp xóc víi (P) . C©u 2 : ( 3 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh : 2x − my = m 2   x + y = 2 a) Gi¶i hÖ khi m = 1 . b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh . C©u 3 : ( 1 ®iÓm ) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : - 49 -
2 − 3 2 + 3 x = x = 1 2 2 2 C©u 4 : ( 3 ®iÓm ) Cho ABCD lµ mét tø gi¸c néi tiÕp . P lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC vµ BD . a) Chøng minh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña P lªn 4 c¹nh cña tø gi¸c lµ 4 ®Ønh cña mét tø gi¸c cã ®êng trßn néi tiÕp . b) M lµ mét ®iÓm trong tø gi¸c sao cho ABMD lµ h×nh b×nh hµnh . Chøng minh r»ng nÕu gãc CBM = gãc CDM th× gãc ACD = gãc BCM . c) T×m ®iÒu kiÖn cña tø gi¸c ABCD ®Ó : 1 S = (AB .CD + AD .BC ) ABCD 2 §Ò sè 3 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) . Gi¶i ph¬ng tr×nh a) 1- x - 3 − x = 0 b) x 2 − 2 x − 3 = 0 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) . 1 Cho Parabol (P) : y = x 2 vµ ®êng th¼ng (D) : y = px + q . 2 X¸c ®Þnh p vµ q ®Ó ®êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A ( - 1 ; 0 ) vµ tiÕp xóc víi (P) . T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm . C©u 3 : ( 3 ®iÓm ) 1 Trong cïng mét hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho parabol (P) : y = x 2 4 vµ ®êng th¼ng (D) : y = mx − 2m −1 a) VÏ (P) . b) T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P) . c) Chøng tá (D) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) . Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( gãc A = 90 0 ) néi tiÕp ®êng trßn t©m O , kÎ ® êng kÝnh AD . 1) Chøng minh tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt . - 50 -
2) Gäi M , N thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B , C trªn AD , AH lµ ® êng cao cña tam gi¸c ( H trªn c¹nh BC ) . Chøng minh HM vu«ng gãc víi AC . 3) X¸c ®Þnh t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MHN . 4) Gäi b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp vµ ® êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC lµ R vµ r . Chøng minh R + r ≥ AB .AC §Ò sè 4 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau . a) x2 + x – 20 = 0 . 1 1 1 b) + = x + 3 x −1 x c) 31 − x = x −1 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho hµm sè y = ( m –2 ) x + m + 3 . a) T×m ®iÒu kiÖm cña m ®Ó hµm sè lu«n nghÞch biÕn . b) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hµnh ®é lµ 3 . c) T×m m ®Ó ®å thÞ c¸c hµm sè y = - x + 2 ; y = 2x –1vµ y = (m – 2 )x + m + 3 ®ång quy . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh x 2 – 7 x + 10 = 0 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh tÝnh . 2 2 a) x1 + x2 2 2 b) x1 − x2 c) x1 + x2 C©u 4 ( 4 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O , ® êng ph©n gi¸c trong cña gãc A c¾t c¹nh BC t¹i D vµ c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp t¹i I . a) Chøng minh r»ng OI vu«ng gãc víi BC . b) Chøng minh BI 2 = AI.DI . c) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn BC . Chøng minh gãc BAH = gãc CAO . - 51 -
d) Chøng minh gãc HAO = B − C §Ò sè 5 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Cho hµm sè y = x 2 cã ®å thÞ lµ ®êng cong Parabol (P) . a) Chøng minh r»ng ®iÓm A( - )2;2 n»m trªn ®êng cong (P) . b)b)b) T×m m ®Ó ®Ó ®å thÞ (d ) cña hµm sè y = ( m – 1 )x + m ( m ∈R , m ≠ 1 ) c¾t ®êng cong (P) t¹i mét ®iÓm . c)c)c) Chøng minh r»ng víi mäi m kh¸c 1 ®å thÞ (d ) cña hµm sè y = (m-1)x + m lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) . − 2mx + y = 5 Cho hÖ ph¬ng tr×nh :   mx + 3y =1 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 1 b) Gi¶i biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m . c) T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n x 2 + y 2 = 1 . C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh x + 3− 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1 = 5 C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC , M lµ trung ®iÓm cña BC . Gi¶ sö BAM = BCA . a) Chøng minh r»ng tam gi¸c ABM ®ång d¹ng víi tam gi¸c CBA . b) Chøng minh minh : BC 2 = 2 AB2 . So s¸nh BC vµ ® êng chÐo h×nh vu«ng c¹nh lµ AB . c) Chøng tá BA lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMC . d) §êng th¼ng qua C vµ song song víi MA , c¾t ®êng th¼ng AB ë D . Chøng tá ® êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ACD tiÕp xóc víi BC . - 52 -
§Ò sè 6 . C©u 1 ( 3 ®iÓm ) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x +1 = 3 − x − 2 c) Cho Parabol (P) cã ph¬ng tr×nh y = ax 2 . X¸c ®Þnh a ®Ó (P) ®i qua ®iÓm A( -1; -2) . T×m to¹ ®é c¸c giao ®iÓm cña (P) vµ ®êng trung trùc cña ®o¹n OA . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  1 1  + = 2  x −1 y − 2  2 3  − = 1  y − 2 x −1 1) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m sao cho ®å thÞ hµm sè (H) : y = 1 vµ ®êng th¼ng (D) : y = - x x + m tiÕp xóc nhau . C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2 (m + 1 )x + m 2 - 2m + 3 = 0 (1). a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 1 . b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu . c) T×m m ®Ó (1) cã mét nghiÖm b»ng 3 . T×m nghiÖm kia . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã ®Ønh D n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AB . H¹ BN vµ DM cïng vu«ng gãc víi ®êng chÐo AC . Chøng minh : a) Tø gi¸c CBMD néi tiÕp . b) Khi ®iÓm D di ®éng trªn trªn ®êng trßn th× BMD + BCD kh«ng ®æi . c) DB . DC = DN . AC §Ò sè 7 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a) x4 – 6x 2- 16 = 0 . - 53 -
b) x2 - 2 x - 3 = 0 2  1   1  8 c)  x −  − 3 x −  + = 0  x   x  9 C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh x 2 – ( m+1)x + m 2 – 2m + 2 = 0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2 . b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp . T×m nghiÖm kÐp ®ã . 2 2 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× x1 + x2 ®¹t gi¸ trÞ bÐ nhÊt , lín nhÊt . C©u 3 ( 4 ®iÓm ) . Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O . Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC vµ BD , cßn M lµ trung ®iÓm cña c¹nh CD . Nèi MI kÐo dµi c¾t c¹nh AB ë N . Tõ B kÎ ®êng th ¼ng song song víi MN , ®êng th¼ng ®ã c¾t c¸c ®êng th¼ng AC ë E . Qua E kÎ ®êng th¼ng song song víi CD , ®êng th¼ng nµy c¾t ®êng th¼ng BD ë F . a) Chøng minh tø gi¸c ABEF néi tiÕp . b) Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BF vµ AI . IE = IB 2 . NA IA 2 c) Chøng minh = NB IB 2 ®Ò sè 8 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö . a) x2- 2y 2 + xy + 3y – 3x . 3 3 3 b) x + y + z - 3xyz . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh . mx − y = 3  3x + my = 5 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 1 . (7 m − )1 b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm ®ång thêi tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ; x + y − = 1 m 2 + 3 C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho hai ®êng th¼ng y = 2x + m – 1 vµ y = x + 2m . a) T×m giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng nãi trªn . b) T×m tËp hîp c¸c giao ®iÓm ®ã . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) - 54 -
Cho ®êng trßn t©m O . A lµ mét ®iÓm ë ngoµi ®êng trßn , tõ A kÎ tiÕp tuyÕn AM , AN víi ®êng trßn , c¸t tuyÕn tõ A c¾t ®êng trßn t¹i B vµ C ( B n»m gi÷a A vµ C ) . Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC . 1) Chøng minh r»ng 5 ®iÓm A , M , I , O , N n»m trªn mét ®êng trßn . 2) Mét ®êng th¼ng qua B song song víi AM c¾t MN vµ MC lÇn l ît t¹i E vµ F . Chøng minh tø gi¸c BENI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ E lµ trung ®iÓm cña EF . §Ò sè 9 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x 2 – 2 ( m + n)x + 4mn = 0 . a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1 ; n = 3 . b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m ,n . 2 2 c) Gäi x 1, x 2, lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . TÝnh x1 + x2 theo m ,n . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh . a) x3 – 16x = 0 b) x = x − 2 1 14 c) + = 1 3 − x x 2 − 9 C©u 3 ( 2 ®®iÓmiÓm ) Cho hµm sè : y = ( 2m – 3)x 2 . 1) Khi x < 0 t×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè lu«n ®ång biÕn . 2) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm ( 1 , -1 ) . VÏ ®å thÞ víi m võa t×m ®îc . C©u 4 (3®iÓm ) Cho tam gi¸c nhän ABC vµ ®êng kÝnh BON . Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC , §êng th¼ng BH c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i M . 1) Chøng minh tø gi¸c AMCN lµ h×nh thanng c©n . 2) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC . Chøng minh H , I , N th¼ng hµng . 3) Chøng minh r»ng BH = 2 OI vµ tam gi¸c CHM c©n . ®Ò sè 10 . CCC©uC©u 1 ( 2 ®iÓm ) 2 – Cho ph¬ng tr×nh : x + 2x 4 = 0 . gäi x 1, x 2, lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . 2x 2 + 2x 2 − 3x x = 1 2 1 2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A 2 2 x1 x2 + x1 x2 - 55 -
C©u 2 ( 3 ®iÓm) a 2 x − y = −7 Cho hÖ ph¬ng tr×nh  2x + y = 1 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a = 1 b) Gäi nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ ( x , y) . T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó x + y = 2 . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh x 2 – ( 2m + 1 )x + m 2 + m – 1 =0. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m . – – b) Gäi x 1, x 2, lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m m sao cho : ( 2x 1 x 2 )( 2x 2 x 1 ) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy . c) H·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x 1 vµ x 2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho h×nh thoi ABCD cã gãc A = 60 0 . M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC , ® êng th¼ng AM c¾t c¹nh DC kÐo dµi t¹i N . a) Chøng minh : AD 2 = BM.DN . b) §êng th¼ng DM c¾t BN t¹i E . Chøng minh tø gi¸c BECD néi tiÕp . c) Khi h×nh thoi ABCD cè ®Þnh . Chøng minh ®iÓm E n»m trªn mét cung trßn cè ®Þnh khi m ch¹y trªn BC . §Ò sè 11 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) Cho biÓu thøc : 1 1 x 2 −1 A = ( + )2 . − 1− x 2 x −1 x +1 2 4) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa . 5) Rót gän biÓu thøc A . 6) Gi¶i ph¬ng tr×nh theo x khi A = -2 . C©u 2 ( 1 ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 5x −1 − 3x − 2 = x −1 C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é cho ®iÓm A ( -2 , 2 ) vµ ®êng th¼ng (D) : y = - 2(x +1) . d) §iÓm A cã thuéc (D) hay kh«ng ? e) T×m a trong hµm sè y = ax 2 cã ®å thÞ (P) ®i qua A . f) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A vµ vu«ng gãc víi (D) . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) - 56 -
Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh , cã ®é d µi c¹nh lµ a .E lµ ®iÓm ®i chuyÓn trªn ®o¹n CD ( E kh¸c D ) , ®êng th¼ng AE c¾t ®êng th¼ng BC t¹i F , ® êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¾t ®êng th¼ng CD t¹i K . 4) Chøng minh tam gi¸c ABF = tam gi¸c ADK tõ ®ã suy ra tam gi¸c AFK vu«ng c©n . 5) Gäi I lµ trung ®iÓm cña FK , Chøng minh I lµ t©m ®êng trßn ®i qua A , C, F , K . 6) TÝnh sè ®o gãc AIF , suy ra 4 ®iÓm A , B , F , I cïng n»m trªn mét ®êng trßn . §Ò sè 12 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) 1 Cho hµm sè : y = x 2 2 3) Nªu tËp x¸c ®Þnh , chiÒu biÕn thiªn vµ vÏ ®å thi cña hµm sè. 4) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm ( 2 , -6 ) cã hÖ sè gãc a vµ tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè trªn . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x 2 – mx + m – 1 = 0 . 3) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x 1 , x 2 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc . x 2 + x 2 −1 = 1 2 M 2 2 . Tõ ®ã t×m m ®Ó M > 0 . x1 x2 + x1 x2 2 2 4) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó biÓu thøc P = x1 + x2 −1 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh : c) x − 4 = 4 − x d) 2x + 3 = 3 − x C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho hai ®êng trßn (O 1) vµ (O 2) cã b¸n kÝnh b»ng R c¾t nhau t¹i A vµ B , qua A vÏ c¸t tuyÕn c¾t hai ®êng trßn (O 1) vµ (O 2) thø tù t¹i E vµ F , ®êng th¼ng EC , DF c¾t nhau t¹i P . 4) Chøng minh r»ng : BE = BF . 5) Mét c¸t tuyÕn qua A vµ vu«ng gãc víi AB c¾t (O 1) vµ (O 2) lÇn l ît t¹i C,D . Chøng minh tø gi¸c BEPF , BCPD néi tiÕp vµ BP vu«ng gãc víi EF . 6) TÝnh diÖn tÝch phÇn giao nhau cña hai ®êng trßn khi AB = R . §Ò sè 13 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) 3) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : x + 2 < x − 4 - 57 -
4) T×m gi¸ trÞ nguyªn lín nhÊt cña x tho¶ m·n . 2x +1 3x −1 > +1 3 2 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 2x 2 – ( m+ 1 )x +m – 1 = 0 c) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1 . d) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hiÖu hai nghiÖm b»ng tÝch cña chóng . C©u3 ( 2 ®iÓm ) Cho hµm sè : y = ( 2m + 1 )x – m + 3 (1) c) T×m m biÕt ®å thÞ hµm sè (1) ®i qua ®iÓm A ( -2 ; 3 ) . d) T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ hµm sè lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña m . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho gãc vu«ng xOy , trªn Ox , Oy lÇn l ît lÊy hai ®iÓm A vµ B sao cho OA = OB . M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn AB . Dùng ®êng trßn t©m O 1 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Ox t¹i A , ®êng trßn t©m O 2 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Oy t¹i B , (O 1) c¾t (O 2) t¹i ®iÓm thø hai N . 4) Chøng minh tø gi¸c OANB lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ ON lµ ph©n gi¸c cña gãc ANB . 5) Chøng minh M n»m trªn mét cung trßn cè ®Þnh khi M thay ®æi . 6) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó kho¶ng c¸ch O 1O2 lµ ng¾n nhÊt . §Ò sè 14 . C©u 1 ( 3 ®iÓm ) +  +  2 x x 1  x 2  Cho biÓu thøc : A = ( − :)   x x −1 x −1  x + x +1 c) Rót gän biÓu thøc . d) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 4 + 2 3 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) 2x − 2 x − 2 x −1 Gi¶i ph¬ng tr×nh : − = x 2 − 36 x 2 − 6x x 2 + 6x C©u 3 ( 2 ®iÓm ) 1 Cho hµm sè : y = - x 2 2 c) T×m x biÕt f(x) = - 8 ; - 1 ; 0 ; 2 . 8 d) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B n»m trªn ®å thÞ cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -2 vµ 1 . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) - 58 -
Cho h×nh vu«ng ABCD , trªn c¹nh BC lÊy 1 ®iÓm M . §êng trßn ®êng kÝnh AM c¾t ®êng trßn ® êng kÝnh BC t¹i N vµ c¾t c¹nh AD t¹i E . 4) Chøng minh E, N , C th¼ng hµng . 5) Gäi F lµ giao ®iÓm cña BN vµ DC . Chøng minh ∆BCF = ∆CDE 6) Chøng minh r»ng MF vu«ng gãc víi AC . §Ò sè 15 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) − 2mx + y = 5 Cho hÖ ph¬ng tr×nh :  mx + 3y = 1 d) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 1 . e) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m . f) T×m m ®Ó x – y = 2 . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) x 2 + y 2 = 1 3)3)3) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :   2 2 x − x = y − y 2 4)4)4) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : ax + bx + c = 0 . Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 , x2 . LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ 2x 1+ 3x 2 vµ 3x 1 + 2x 2 . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho tam gi¸c c©n ABC ( AB = AC ) néi tiÕp ® êng trßn t©m O . M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®êng trßn . Tõ B h¹ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AM c¾t CM ë D . Chøng minh tam gi¸c BMD c©n C©u 4 ( 2 ®iÓm ) 1 1 3) TÝnh : + 5 + 2 5 − 2 4) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : ( x –1 ) ( 2x + 3 ) > 2x( x + 3 ) . §Ò sè 16 C©u 1 ( 2 ®iÓm )  2 1  + = 7  x −1 y +1 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  5 2  − = 4  x −1 y −1 C©u 2 ( 3 ®iÓm ) - 59 -
x +1 1 Cho biÓu thøc : A = : x x + x + x x 2 − x c) Rót gän biÓu thøc A . d) Coi A lµ hµm sè cña biÕn x vÏ ®å thi hµm sè A . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung . x2 + (3m + 2 )x – 4 = 0 vµ x 2 + (2m + 3 )x +2 =0 . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho ®êng trßn t©m O vµ ® êng th¼ng d c¾t (O) t¹i hai ®iÓm A,B . Tõ mét ®iÓm M trªn d vÏ hai tiÕp tuyÕn ME , MF ( E , F lµ tiÕp ®iÓm ) . 3) Chøng minh gãc EMO = gãc OFE vµ ® êng trßn ®i qua 3 ®iÓm M, E, F ®i qua 2 ®iÓm cè ®Þnh khi m thay ®æi trªn d . 4) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn d ®Ó tø gi¸c OEMF lµ h×nh vu«ng . §Ò sè 17 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh (m 2 + m + 1 )x 2 - ( m 2 + 8m + 3 )x – 1 = 0 c) Chøng minh x 1x2 < 0 . d) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x 1, x 2 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña biÓu thøc : S = x 1 + x 2 . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) 2 Cho ph¬ng tr×nh : 3x + 7x + 4 = 0 . Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x 1 , x 2 kh«ng x x gi¶i ph¬ng tr×nh lËp ph¬ng tr×nh bËc hai mµ cã hai nghiÖm lµ : 1 vµ 2 . x2 −1 x1 −1 C©u 3 ( 3 ®iÓm ) 4) Cho x 2 + y 2 = 4 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña x + y . x 2 − y 2 = 16 5) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  x + y = 8 6) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 4 – 10x 3 – 2(m – 11 )x 2 + 2 ( 5m +6)x +2m = 0 C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O . § êng ph©n gi¸c trong cña gãc A , B c¾t ®êng trßn t©m O t¹i D vµ E , gäi giao ®iÓm hai ®êng ph©n gi¸c lµ I , ® êng th¼ng DE c¾t CA, CB lÇn lît t¹i M , N . 4) Chøng minh tam gi¸c AIE vµ tam gi¸c BID lµ tam gi¸c c©n . 5) Chøng minh tø gi¸c AEMI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ MI // BC . 6) Tø gi¸c CMIN lµ h×nh g× ? - 60 -
§Ò sè 18 C©u1 ( 2 ®iÓm ) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh ( x 2 + x + m) ( x 2 + mx + 1 ) = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) x + my = 3 Cho hÖ ph¬ng tr×nh :  mx + 4y = 6 c) Gi¶i hÖ khi m = 3 d) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x > 1 , y > 0 . C©u 3 ( 1 ®iÓm ) Cho x , y lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n x 5+y 5 = x 3 + y 3 . Chøng minh x 2 + y 2 ≤ 1 + xy C©u 4 ( 3 ®iÓm ) 4)4)4) Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn (O) . Chøng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD 5)5)5) Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp trong ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AD . § êng cao cña tam gi¸c kÎ tõ ®Ønh A c¾t c¹nh BC t¹i K vµ c¾t ®êng trßn (O) t¹i E . d) Chøng minh : DE//BC . e) Chøng minh : AB.AC = AK.AD . f) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC . Chøng minh tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh . §Ò sè 19 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Trôc c¨n thøc ë mÉu c¸c biÓu thøc sau : 2 +1 1 1 A = ; B = ; C = 2 3 + 2 2 + 2 − 2 3 − 2 +1 C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x 2 – ( m+2)x + m 2 – 1 = 0 (1) – c) Gäi x 1, x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .T×m m tho¶ m·n x 1 x 2 = 2 . d) T×m gi¸ trÞ nguyªn nhá nhÊt cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh¸c nhau . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) 1 1 Cho a = ;b = 2 − 3 2 + 3 - 61 -
a b LËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c hÖ sè b»ng sè vµ cã c¸c nghiÖm lµ x 1 === ; x2 = b +1 a +1 C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho hai ®êng trßn (O 1) vµ (O 2) c¾t nhau t¹i A vµ B . Mét ®êng th¼ng ®i qua A c¾t ® êng trßn (O 1) , (O 2) lÇn lît t¹i C,D , gäi I , J lµ trung ®iÓm cña AC vµ AD . 5) Chøng minh tø gi¸c O 1IJO 2 lµ h×nh thang vu«ng . 6) Gäi M lµ giao diÓm cña CO 1 vµ DO 2 . Chøng minh O 1 , O 2 , M , B n»m trªn mét ®- êng trßn 7) E lµ trung ®iÓm cña IJ , ®êng th¼ng CD quay quanh A . T×m tËp hîp ®iÓm E. 8) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña d©y CD ®Ó d©y CD cã ®é dµi lín nhÊt . §Ò sè 20 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) x 2 1)VÏ ®å thÞ cña hµm sè : y = 2 2)ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm (2; -2) vµ (1 ; -4 ) 6)6)6) T×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng võa t×m ®îc víi ®å thÞ trªn . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) a)a)a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2 b)TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc S = x 1+ y 2 + y 1 + x 2 víi xy + 1( + x 2 )( 1+ y 2 ) = a C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC , gãc B vµ gãc C nhän . C¸c ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC c¾t nhau t¹i D . Mét ®- êng th¼ng qua A c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC lÇn lît t¹i E vµ F . 4) Chøng minh B , C , D th¼ng hµng . 5) Chøng minh B, C , E , F n»m trªn mét ®êng trßn . 6) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®êng th¼ng qua A ®Ó EF cã ®é dµi lín nhÊt . C©u 4 ( 1 ®iÓm ) Cho F(x) = 2 − x + 1+ x c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó F(x) x¸c ®Þnh . d) T×m x ®Ó F(x) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt . - 62 -
§Ò sè 21 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) x 2 4) VÏ ®å thÞ hµm sè y = 2 5) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm ( 2 ; -2 ) vµ ( 1 ; - 4 ) 6) T×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng võa t×m ®îc víi ®å thÞ trªn . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) 3) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2 4) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x +1 4x + = 5 x 2x +1 C©u 3 ( 3 ®iÓm ) CCCho C h×nh b×nh hµnh ABCD , ® êng ph©n gi¸c cña gãc BAD c¾t DC vµ BC theo thø tù t¹i M vµ N . Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNC . 3) Chøng minh c¸c tam gi¸c DAM , ABN , MCN , lµ c¸c tam gi¸c c©n . 4) Chøng minh B , C , D , O n»m trªn mét ®êng trßn . C©u 4 ( 1 ®iÓm ) Cho x + y = 3 vµ y ≥ 2 . Chøng minh x 2 + y 2 ≥ 5 §Ò sè 22 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) 4) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x + 5 + x −1 = 8 5) X¸c ®Þnh a ®Ó tæng b×nh ph¬ng hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 2 +ax +a –2 = 0 lµ bÐ nhÊt . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é cho ®iÓm A ( 3 ; 0) vµ ®êng th¼ng x – 2y = - 2 . d) VÏ ®å thÞ cña ®êng th¼ng . Gäi giao ®iÓm cña ® êng th¼ng víi trôc tung vµ trôc hoµnh lµ B vµ E . e) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng x – 2y = -2 . f) T×m to¹ ®é giao ®iÓm C cña hai ® êng th¼ng ®ã . Chøng minh r»ng EO. EA = EB . EC vµ tÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c OACB . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ sö x 1 vµ x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x 2 –(m+1)x +m 2 – 2m +2 = 0 (1) c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp , hai nghiÖm ph©n biÖt . - 63 -
2 2 d) T×m m ®Ó x1 + x2 ®¹t gi¸ trÞ bÐ nhÊt , lín nhÊt . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O . KÎ ®êng cao AH , g äi trung ®iÓm cña AB , BC theo thø tù lµ M , N vµ E , F theo thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña cña B , C trªn ® êng kÝnh AD . c) Chøng minh r»ng MN vu«ng gãc víi HE . d) Chøng minh N lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c HEF . §Ò sè 23 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) 9 6 So s¸nh hai sè : a = ;b = 11 − 2 3 − 3 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh : 2x + y = 3a − 5  x − y = 2 Gäi nghiÖm cña hÖ lµ ( x , y ) , t×m gi¸ trÞ cña a ®Ó x 2 + y 2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ hÖ ph¬ng tr×nh : x + y + xy = 5  2 2 x + y + xy = 7 C©u 4 ( 3 ®iÓm ) 1) Cho tø gi¸c låi ABCD c¸c cÆp c¹nh ®èi AB , CD c¾t nhau t¹i P vµ BC , AD c¾t nhau t¹i Q . Chøng minh r»ng ®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ABQ , BCP , DCQ , ADP c¾t nhau t¹i mét ®iÓm . 6) Cho tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . Chøng minh AB .AD + CB .CD AC = BA .BC + DC .DA BD C©u 4 ( 1 ®iÓm ) Cho hai sè d¬ng x , y cã tæng b»ng 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : 1 3 S = + x 2 + y 2 4xy §Ò sè 24 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : - 64 -
2 + 3 2 − 3 P = + 2 + 2 + 3 2 − 2 − 3 C©u 2 ( 3 ®iÓm ) 3) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : (m 2 + m +1)x 2 – 3m = ( m +2)x +3 2 – – 4) Cho ph¬ng tr×nh x x 1 = 0 cã hai nghiÖm lµ x 1 , x 2 . H·y lËp ph ¬ng tr×nh bËc x x hai cã hai nghiÖm lµ : 1 ; 2 1− x2 1− x2 C©u 3 ( 2 ®iÓm ) 2x − 3 T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc : P = lµ nguyªn . x + 2 C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho ®êng trßn t©m O vµ c¸t tuyÕn CAB ( C ë ngoµi ®êng trßn ) . Tõ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung lín AB kÎ ®êng kÝnh MN c¾t AB t¹i I , CM c¾t ®êng trßn t¹i E , EN c¾t ® êng th¼ng AB t¹i F . 4) Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp . 5) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB . 6) Chøng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB §Ò sè 25 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) x 2 − 5xy − 2y 2 = 3 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :   2 y + 4xy + 4 = 0 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) x 2 Cho hµm sè : y = vµ y = - x – 1 4 c) VÏ ®å thÞ hai hµm sè trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é . d) ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng y = - x – 1 vµ c¾t ®å thÞ x 2 hµm sè y = t¹i ®iÓm cã tung ®é lµ 4 . 4 C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x 2 – 4x + q = 0 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña q th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm . d) T×m q ®Ó tæng b×nh ph¬ng c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ 16 . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) 3)3)3) T×m sè nguyªn nhá nhÊt x tho¶ m·n ph¬ng tr×nh : - 65 -
x − 3 + x +1 = 4 4)4)4) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3 x 2 −1 − x 2 −1 = 0 C©u 4 ( 2 ®iÓm ) Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( gãc A = 1 v ) cã AC < AB , AH lµ ® êng cao kÎ tõ ®Ønh A . C¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B víi ® êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i M . §o¹n MO c¾t c¹nh AB ë E , MC c¾t ®êng cao AH t¹i F . KÐo dµi CA cho c¾t ® êng th¼ng BM ë D . §êng th¼ng BF c¾t ®êng th¼ng AM ë N . d) Chøng minh OM//CD vµ M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BD . e) Chøng minh EF // BC . f) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MHN . §Ò sè 26 C©u 1 : ( 2 ®iÓm ) Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho hµm sè y = 3x + m (*) 1) TÝnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ; 5 ) 2) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é lµ - 3 . 3) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lµ - 5 . C©u 2 : ( 2,5 ®iÓm ) 11  1 1  1 Cho biÓu thøc : A= +  : −  + 1-x1+x  1 − x 1 + x  1 − x a) Rót gän biÓu thøc A . b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 7+ 4 3 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . C©u 3 : ( 2 ®iÓm ) 2 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : x+3 x − 5 = 0 vµ gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x 1 vµ x 2 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 1 1 2+ 2 a) 2+ 2 b) x1 x 2 x1 x 2 - 66 -
1 1 + c) 3+ 3 d) x1 x 2 x1 x 2 C©u 4 ( 3.5 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B . §êng trßn ® êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E . C¸c ®êng th¼ng CD , AE lÇn lît c¾t ® êng trßn t¹i c¸c ®iÓm thø hai F , G . Chøng minh : a) Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD . b) Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn . c) AC song song víi FG . d) C¸c ®êng th¼ng AC , DE vµ BF ®ång quy . §Ò sè 27 C©u 1 ( 2,5 ®iÓm ) aa−1 aa + 1  a + 2 Cho biÓu thøc : A = −  : a− a a + a  a − 2 a) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña a th× A x¸c ®Þnh . b) Rót gän biÓu thøc A . c) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn nµo cña a th× A cã gi¸ trÞ nguyªn . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Òn B trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 35 km/h th× ®Õn chËm mÊt 2 giê . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h th× ®Õn sím h¬n 1 giê . TÝnh qu·ng ®êng AB vµ thêi gian dù ®Þnh ®i lóc ®Çu . C©u 3 ( 2 ®iÓm )  1 1  + = 3  x+ y x − y a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  2 3  − = 1  x+ y x − y - 67 -
x+5 x − 5 x + 25 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh : − = x2−5 xx 2 2 + 10 xx 2 2 − 50 C©u 4 ( 4 ®iÓm ) Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 cm ;CB = 40 cm . VÏ vÒ cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ AB c¸c nöa ®êng trßn ® êng kÝnh theo thø tù lµ AB , AC , CB cã t©m lÇn lît lµ O , I , K . §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ® êng trßn (O) ë E . Gäi M , N theo thø tù lµ giao ®iÓm cuae EA , EB víi c¸c nöa ®êng trßn (I) , (K) . Chøng minh : a) EC = MN . b) MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®êng trßn (I) vµ (K) . c) TÝnh ®é dµi MN . d) TÝnh diÖn tÝch h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa ®êng trßn . §Ò 28 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) 11+−a 11 −+ a 1 Cho biÓu thøc : A = + + 1−+−a 11 aa +−+ 1 a 1 + a 1) Rót gän biÓu thøc A . 2) Chøng minh r»ng biÓu thøc A lu«n d¬ng víi mäi a . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 2x 2 + ( 2m - 1)x + m - 1 = 0 1) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x 1 , x 2 tho¶ m·n 3x 1 - 4x 2 = 11 . 2) T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x 1 vµ x 2 kh«ng phô thuéc vµo m . 3) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× x 1 vµ x 2 cïng d¬ng . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B c¸ch nhau 300 km . ¤ t« thø nhÊt mçi giê ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê . TÝnh vËn tèc mçi xe « t« . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O . M lµ mét ®iÓm trªn cung AC ( kh«ng chøa B ) kÎ MH vu«ng gãc víi AC ; MK vu«ng gãc víi BC . 1) Chøng minh tø gi¸c MHKC lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2) Chøng minh AMB = HMK 3) Chøng minh ∆ AMB ®ång d¹ng víi ∆ HMK . C©u 5 ( 1 ®iÓm ) xy( x+ y ) = 6  T×m nghiÖm d¬ng cña hÖ : yz( y+ z ) = 12  zx( z+ x ) = 30 - 68 -
§§ÓÓ§Ó 29 ( Thi tuyÓn sinh líp 10 THPT n¨m 2006 2007 120 phót Ngµy 28 / 6 / 2006 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) 1) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : a) 4x + 3 = 0 b) 2x - x 2 = 0 2x− y = 3 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  5+y = 4 x C©u 2( 2 ®iÓm ) a+3 a − 14 a − 4 1) Cho biÓu thøc : P = − + () a > 0 ; a ≠ 4 a−2 a + 2 4 − a a) Rót gän P . b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9 . 2) Cho ph¬ng tr×nh : x 2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m lµ tham sè ) a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 2 . T×m nghiÖm cßn l¹i . 3 3 b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x 1 ; x 2 tho¶ m·n x1+ x 2 ≥ 0 C©u 3 ( 1 ®iÓm ) Kho¶ng c¸ch gi÷a hai thµnh phè A vµ B lµ 180 km . Mét « t« ®i tõ A ®Õn B , nghØ 90 phót ë B , råi l¹i tõ B vÒ A . Thêi gian lóc ®i ®Õn lóc trë vÒ A lµ 10 giê . BiÕt vËn tèc lóc vÒ kÐm vËn tèc lóc ®i lµ 5 km/h . TÝnh vËn tèc lóc ®i cña « t« . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AD . Hai ®êng chÐo AC , BD c¾t nhau t¹i E . H×nh chiÕu vu«ng gãc cña E trªn AD lµ F . §êng th¼ng CF c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm thø hai lµ M . Giao ®iÓm cña BD vµ CF lµ N Chøng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp . b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM . c) BE . DN = EN . BD C©u 5 ( 1 ®iÓm ) + T×m m ®Ó gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc 2x m b»ng 2 . x2 +1 - 69 -
§Ó 29 ( Thi tuyÓn sinh líp 10 THPT n¨m 2006 2007 120 phót Ngµy 30 / 6 / 2006 C©u 1 (3 ®iÓm ) 1) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : a) 5( x - 1 ) = 2 b) x 2 - 6 = 0 2) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y = 3x - 4 víi hai trôc to¹ ®é . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) 1) Gi¶ sö ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : y = ax + b . X¸c ®Þnh a , b ®Ó (d) ®i qua hai ®iÓm A ( 1 ; 3 ) vµ B ( - 3 ; - 1) 2 2) Gäi x 1 ; x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x - 2( m - 1)x - 4 = 0 ( m lµ tham sè ) T×m m ®Ó : x1+ x 2 = 5 x+1 x − 1 2 3) Rót gän biÓu thøc : P = − −(x ≥≠ 0; x 0) 2x− 22 x + 2 x − 1 C©u 3( 1 ®iÓm) Mét h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 300 m 2 . NÕu gi¶m chiÒu réng ®i 3 m , t¨ng chiÒu dµi thªm 5m th× ta ®îc h×nh ch÷ nhËt míi cã diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu . TÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho ®iÓm A ë ngoµi ®êng trßn t©m O . KÎ hai tiÕp tuyÕn AB , AC víi ®êng trßn (B , C lµ tiÕp ®iÓm ) . M lµ ®iÓm bÊt kú trªn cung nhá BC ( M ≠ B ; M ≠ C ) . Gäi D , E , F t¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn c¸c ®êng th¼ng AB , AC , BC ; H lµ giao ®iÓm cña MB vµ DF ; K lµ giao ®iÓm cña MC vµ EF . 1) Chøng minh : a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp . b) MF vu«ng gãc víi HK . 2) T×m vÞ trÝ cña M trªn cung nhá BC ®Ó tÝch MD . ME lín nhÊt . C©u 5 ( 1 ®iÓm ) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é ( Oxy ) cho ®iÓm A ( -3 ; 0 ) vµ Parabol (P) cã ph¬ng tr×nh y = x 2 . H·y t×m to¹ ®é cña ®iÓm M thuéc (P) ®Ó cho ®é dµi ®o¹n th¼ng AM nhá nhÊt . D¹ng 2 Mét sè ®Ò kh¸c - 70 -
ĐỀ S Ố 111 Câu 1 . 1.Ch ng minh 9+ 42 = 22 + 1 . 2.Rút g n phép tính A= 4 − 942 + . Câu 2 . Cho ph ư ng trình 2x 2 + 3x + 2m – 1 = 0 1.Gi i ph ư ng trình v i m = 1. 2.Tìm m ph ư ng trình có hai nghi m phân bi t. Câu 3 . M t m nh v ưn hình ch nh t có di n tích l à 1200m 2. Nay ng ưi ta tu b b ng cách t ng chi u r ng c a v ưn thêm 5m, ng th i rút b t chi u d ài 4m thì m nh v ưn ó có di n tích 1260m 2. Tính kích th ưc m nh v ưn sau khi tu b . Câu 4 . Cho ưng tròn tâm O ưng kính AB. Ng ưi ta v ưng tròn tâm A bán kính nh h n AB, nó c t ưng tròn (O) t i C v à D, c t AB t i E. Trên cung nh CE c a (A), ta ly im M. Tia BM c t ti p (O) t i N. a) Ch ng minh BC, BD l à các ti p tuy n c a ưng tròn (A). b) Ch ng minh NB l à phân giác c a góc CND. c) Ch ng minh tam giác CNM ng d ng v i tam giác MND. d) Gi s CN = a; DN = b. Tính MN theo a v à b. Câu 5 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u thc P = 2x 2 + 3x + 4. ĐỀ S Ố 222 Câu 1 . Tìm hai s bi t hi u c a chúng b ng 10 v à t ng c a 6 l n s l n vi 2 l n s bé l à 116. Câu 2 . Cho ph ư ng trình x 2 – 7x + m = 0 a) Gi i ph ư ng trình khi m = 1. à 2 2 b) G i x 1, x 2 l các nghi m c a ph ư ng trình. Tính S = x 1 + x 2 . c) Tìm m ph ư ng trình có hai nghi m trái d u. Câu 3 . Cho tam giác DEF có ∠D = 60 0, các góc E, F l à góc nh n n i ti p trong ưng tròn tâm O. Các ưng cao EI, FK, I thu c DF, K thu c DE. a) Tính s o cung EF không ch a im D. b) Ch ng minh EFIK n i ti p ưc. c) Ch ng minh tam giác DEF ng d ng v i tam giác DIK và tìm t s ng d ng. Câu 4 . Cho a, b l à 2 s d ư ng, ch ng minh r ng - 71 -
ab+ − a2 + b 2 aba22+− ab 22 +−= b ( )( ) 2 ĐỀ S Ố 333 Câu 1 .Th c hi n phép tính 1  a) 26− 43 + 52 − 8.36  4  2 2 b) + 3+ 53 − 5 Câu 2 . Cho ph ư ng trình x 2 – 2x – 3m 2 = 0 (1). a) Gi i ph ư ng trình khi m = 0. b) Tìm m phư ng trình có hai nghi m trái d u. c) Ch ng minh ph ư ng trình 3m 2x2 + 2x – 1 = 0 (m 0) luôn có hai nghi m phâ n bi t v à m i nghi m c a nó l à ngh ch o c a m t nghi m c a ph ư ng trình (1). Câu 3 . Cho tam giác ABC vuông cân t i A, AD l à trung tuy n. L y im M b t k trên on AD (M A; M D). G i I, K l n l ưt l à hình chi u vuông góc c a M trên AB, AC; H l à hình chi u vuông góc c a I trên ưng th ng DK. a) T giác AIMK l à hình gì? b) Ch ng minh 5 im A, I, M, H, K cùng n m trên m t ưng tròn. Xác nh tâm ca ưng tròn ó. c) Ch ng minh ba im B, M, H th ng h àng. Câu 4 . Tìm nghi m h u t c a ph ư ng trình 233− = x3 − y3 ĐỀ S Ố 444   a3a2+ + aa +  1 1  Câu 1 . Cho bi u th c P= −  :  +  a+ 2 a1 − a− 1  a1+ a1 −  ()()  a) Rút g n P. 1 a+ 1 b) Tìm a − ≥ 1 P 8 Câu 2 . M t ca nô xuôi dòng t A n B d ài 80km, sau ó l i ng ưc dòng n C cách B 72km, th i gian ca nô xuôi dòng ít h n th i gian ng ưc dòng l à 15 phút. Tính v n t c riêng c a ca nô, bi t v n t c c a dòng n ưc l à 4km/h. Câu 3 . Tìm t a giao im A v à B c a hai th các h àm s y = 2x + 3 v à y = x 2. G i D và C l n l ưt l à hình chi u vuông góc c a A v à B lên tr c ho ành. Tính di n tích t giác ABCD. - 72 -
Câu 4 . Cho (O) ưng kính AB = 2R, C l à trung im c a OA v à dây MN vuông góc v i OA t i C. G i K l à im tùy ý trên cung nh BM, H l à giao im c a AK v à MN. a) Ch ng minh t giác BCHK n i ti p ưc. b) Tính tích AH.AK theo R. c) Xác nh v trí c a K t ng (KM + KN + KB) t giá tr l n nh t v à tính giá tr ln nh t ó. Câu 5 . Cho hai s d ư ng x, y tho mãn iu ki n x + y = 2. Ch ng minh x 2y2(x 2 + y 2) ≤ 2 ĐỀ S Ố 555 x 1 2x  Câu 1 . Cho bi u th c P1:=+ −  − 1 x+ 1 x1xx− +−− xx1  a) Tìm iu ki n P có ngh a v à rút g n P. b) Tìm các giá tr nguyên c a x bi u th c P− x nh n giá tr nguyên. Câu 2 . a) Gi i ph ư ng trình x 4 – 4x 3 – 2x 2 + 4x + 1 = 0. x2− 3xy + 2y 2 = 0 b) Gi i h  2 2x− 3xy + 5 = 0 −x 2 Câu 3 . Trong m t ph ng t a Oxy cho (P) có ph ư ng trình y = . G i (d) l à ưng 2 th ng i qua im I(0; - 2) v à có h s góc k. a) Vi t ph ư ng trình d ưng th ng (d). Ch ng minh r ng (d) luôn c t (P) t i hai im phân bi t A v à B khi k thay i. b) G i H, K theo th t l à hình chi u vuông góc c a A, B lên tr c ho ành. Ch ng minh r ng tam giác IHK vuông t i I. Câu 4 . Cho (O; R), AB l à ưng kính c nh. ưng th ng (d) l à ti p tuy n c a (O) t i B. MN l à ưng kính thay i c a (O) sao cho MN không vuông góc v i AB v à M A, M B. Các ưng th ng AM, AN c t ưng th ng (d) t ư ng ng t i C v à D. G i I l à trung im c a CD, H là giao im c a AI v à MN. Khi MN thay i, ch ng minh r ng: a) Tích AM.AC không i. b) B n im C, M, N, D cùng thu c m t ưng tròn. c) im H luôn thu c m t ưng tròn c nh. d) Tâm J c a ưng tròn ngo i ti p tam giác HIB luôn thu c m t ưng th ng c nh. Câu 5 . Cho hai s d ư ng x, y th a mãn iu ki n x + y = 1. Hãy tìm giá tr nh nh t c a 1 1 bi u th c A = + . x2+ y 2 xy - 73 -
ĐỀ S Ố 666 Câu 1 . a) Gi i ph ư ng trình 5x 2 + 6 = 7x – 2. 3x− y = 5 b) Gi i h ph ư ng trình  x+ 2y = 4 18 12 c) Tính − 2 3 Câu 2 . Cho (P) y = -2x 2 a) Trong các im sau im n ào thu c, không thu c (P)? t i sao? 1 1 A(-1; -2); B( − ; ); C( 2;− 4 ) 2 2 b) Tìm k ưng th ng (d): y = kx + 2 c t (P) t i hai im phân bi t. c) Ch ng minh im E(m; m 2 + 1) không thu c (P) v i m i giá tr c a m. Câu 3 . Cho tam giác ABC vuông t i A, góc B l n h n góc C. K ưng cao AH. Trên on HC t HD = HB. T C k CE vuông góc v i AD t i E. a) Ch ng minh các tam giác AHB v à AHD b ng nhau. b) Ch ng minh t giác AHCE n i ti p v à hai góc HCE v à HAE b ng nhau. c) Ch ng minh tam giác AHE cân t i H. d) Ch ng minh DE.CA = DA.CE e) Tính góc BCA n u HE//CA. Câu 4 .Cho h àm s y = f(x) xác nh v i m i s th c x khác 0 v à th a mãn 1  2 f() x+ 3f  = x v i m i x khác 0. Tính giá tr f(2). x  ĐỀ S Ố 777 Câu 1 . 9 1  a) Tính 2 1− 5  : 16 16 16  3x− y = 2 b) Gi i h  x+ y = 6 c) Ch ng minh r ng 3− 2 l à nghi m c a ph ư ng trình x 2 – 6x + 7 = 0. - 74 -
1 Câu 2 . Cho (P): y= x 2 . 3 1  a) Các im A1;  ;B0;() 5;C()− 3;1 , im n ào thu c (P)? Gi i thích? 3  b) Tìm k (d) có ph ư ng trình y = kx – 3 ti p xúc v i (P). c) Ch ng t r ng ưng th ng x = 2 c t (P) t i mt im duy nh t. Xác nh t a giao im ó. Câu 3 . Cho (O;R), ưng kính AB c nh, CD l à ưng kính di ng. G i d l à ti p tuy n c a (O) t i B; các ưng th ng AC, AD c t d l n l ưt t i P v à Q. a) Ch ng minh góc PAQ vuông. b) Ch ng minh t giác CPQD n i ti p ưc. c) Ch ng minh trung tuy n AI c a tam giác APQ vuông góc v i ưng th ng CD. d) Xác nh v trí c a CD di n tích t giác CPQD b ng 3 l n di n tích tam giác ABC. Câu 4 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c A= 2x2 + 2xy +−++ y 2 2x 2y 1 . ĐỀ S Ố 888 Câu 1 . aa+  aa −  1.Cho P1=+  1 −  ;a0,a1 ≥≠ a1+  − 1a +  a) Rút g n P. b) Tìm a bi t P > − 2 . c) Tìm a bi t P = a . 2.Ch ng minh r ng 13+ 302 ++ 9 42 =+ 5 32 Câu 2 . Cho ph ư ng trình mx 2 – 2(m-1)x + m = 0 (1) a) Gi i ph ư ng trình khi m = - 1. b) Tìm m ph ư ng trình (1) có 2 nghi m phân bi t. x x à 1 2 à c) G i hai nghi m c a (1) l x 1 , x 2. Hãy l p ph ư ng trình nh n ; l m x2 x 1 nghi m. Câu 3 .Cho tam giác nh n ABC (AB < AC) n i ti p ưng tròn tâm O, ưng kính AD. ưng cao AH, ưng phân giác AN c a tam giác c t (O) t ư ng ng t i các im Q v à P. a) Ch ng minh: DQ//BC v à OP vuông góc v i QD. - 75 -
3 b) Tính di n tích tam giác AQD bi t bán kính ưng tròn l à R v à tgQAD = . 4 Câu 4 . 2 a)Gi s ph ư ng trình ax + bx + c = 0 có nghi m d ư ng x 1. Ch ng minh r ng 2 à à ph ư ng trình cx + bx + a = 0 c ng có nghi m d ư ng l x 2 v x 1 + x 2 ≥ 0. b)Tìm c p s (x, y) th a mãn ph ư ng trình x 2y + 2xy – 4x + y = 0 sao cho y t giá tr l n nh t. ĐỀ S Ố 999 Câu 1 . 2 (1− 2x) − 16x 2 1 1.Cho P= ; x ≠ ± 14x− 2 2 −2 a) Ch ng minh P = 1− 2x 3 b) Tính P khi x = 2 2+ 5 − 24 2.Tính Q = 12 Câu 2 . Cho hai ph ư ng trình n x sau: x2+−= x 2 0(1); x 2 +−( 3b 2ax) −= 6a 0(2) a) Gi i ph ưng trình (1). b) Tìm a v à b hai ph ư ng trình ó t ư ng ư ng. 2 2 c) V i b = 0. Tìm a ph ư ng trình (2) có nghi m x 1, x 2 th a mãn x 1 + x 2 = 7 Câu 3 . Cho tam giác ABC vuông a v à góc B l n h n góc C, AH l à ưng cao, AM l à trung tuy n. ưng tròn tâm H bán kính HA c t ưng th ng AB D v à ưng th ng AC E. a) Ch ng minh D, H, E th ng h àng. b) Ch ng minh ∠MAE =∠ DAE; MA ⊥ DE . c) Ch ng minh b n im B, C, D, E n m trên ưng tròn tâm O. T giác AMOH l à hình gì? d) Cho góc ACB b ng 30 0 v à AH = a. Tính di n tích tam giác HEC. ax2− ax - a 2 + 4a − 1 Câu 4 .Gi i ph ư ng trình =x − 2 . V i n x, tham s a. a ĐỀ S Ố 1 10000 - 76 -
Câu 1 . 1.Rút g n (2+− 3 22)( −− 3 23)( + 2322) − . a b 2.Cho x = + v i a < 0, b < 0. b a a) Ch ng minh x2 − 4 ≥ 0 . b) Rút g n F= x2 − 4 . Câu 2 . Cho ph ư ng trình (−+x2 2)( x 2 − 2mx += 9) 0(*) ; x l à n, m l à tham s . a) Gi i (*) khi m = - 5. b) Tìm m (*) có nghi m kép. Câu 3 . Cho h àm s y = - x 2 có th l à (P); h àm s y = 2x – 3 có th l à (d). 1.V th (P) v à (d) trên cùng m t h tr c t a Oxy. Tìm t a các giao im ca (P) v à (d). 2.Cho im M(-1; -2), b ng phép tính hãy cho bi t im M thu c phía trên hay phía d ưi th (P), (d). 3.Tìm nh ng giá tr c a x sao cho th (P) phái trên th (d). Câu 4 . Cho tam giác nh n ABC n i ti p (O), E l à hình chi u c a B trên AC. ưng th ng qua E song song v i ti p tuy n Ax c a (O) c t AB t i F. 1.Ch ng minh t giác BFEC n i ti p. 2.Góc DFE (D thu c c nh BC) nh n tia FC l àm phân giác trong v à H l à giao im ca BE v i CF. Ch ng minh A, H, D th ng h àng. 3.Tia DE c t ti p tuy n Ax t i K. Tam giác ABC l à tam giác gì thì t giác AFEK l à hình bình h ành, l à hình thoi? Gi i thích. Câu 5 . Hãy tính Fx=−1999 + y − 1999 + z − 1999 theo a. Trong ó x, y, z l à nghi m c a ph ư ng trình: x++−+ y z a( xy ++ yz zxa) − xyz =∀≠ 0; a 0 ĐỀ S Ố 1 11111 Câu 1 . 1.Gi i b t ph ư ng trình, h ph ư ng trình, ph ư ng trình 2x+ 3y = 12 a)2x60−≤ b)x2 +−= x60 c)  3x− y = 7 2.T k t qu c a ph n 1. Suy ra nghi m c a b t ph ư ng trình, ph ư ng trình, h ph ư ng trình sau: 2 p+ 3 q = 12 a)2y60−≤ b)t +−= t60 c)  3p− q = 7 - 77 -
Câu 2 . 1.Ch ng minh (1− 2a)2 ++ 3 12a =+( 2 2a ) 2 . 23233 +  2 3  2.Rút g n ++2  − () 24 + 8 6 −  3 2 42 23+  2323 + −  Câu 3 . Cho tam giác ABC (AC > AB) có AM l à trung tuy n, N l à im b t kì trên on AM. ưng tròn (O) ưng kính AN. 1. ưng tròn (O) c t phân giác trong AD c a góc A t i F, c t phân giác ngo ài góc A t i E. Ch ng minh FE l à ưng kính c a (O). 2. ưng tròn (O) c t AB, AC l n l ưt t i K, H. on KH c t AD t i I. Ch ng minh hai tam giác AKF v à KIF ng d ng. 3.Ch ng minh FK 2 = FI.FA. 4.Ch ng minh NH.CD = NK.BD. Câu 4 . Rút g n 11 11 11 1 1 T1=+++++++++++ 1 1 1 + 222 3 3 22 4 4 22 5 1999 22 2000 ĐỀ S Ố 1 12222 Câu 1 .Gi i các ph ư ng trình sau x2 − 8x + 15 1) 4x – 1 = 2x + 5 2) x 2 – 8x + 15 = 0 3) = 0 2x− 6 Câu 2 . 2 1.Ch ng minh 322− =( 1 − 2 ) . 2.Rút g n 3− 2 2 . 2 2 1  1  3.Ch ng minh −+()3217  = −+() 2217  227−  2217 −  Câu 3 . Cho ba im A, B, C th ng hàng ( im B thu c on AC). ưng tròn (O) i qua B v à C, ưng kính DE vuông góc v i BC t i K. AD c t (O) t i F, EF c t AC t i I. 1.Ch ng minh t giác DFIK n i ti p ưc. 2.G i H l à im i x ng v i I qua K. Ch ng minh góc DHA v à góc DEA b ng nhau. 3.Ch ng minh AI.KE.KD = KI.AB.AC. 4.AT l à ti p tuy n (T l à ti p im) c a (O). im T ch y trên ưng n ào khi (O) thay i nh ưng luôn i qua hai im B, C. Câu 4 . - 78 -
1.Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, G l à tr ng tâm. G i x, y, z l n l ưt x y z là kho ng cách t G t i các c nh a, b, c. Ch ng minh = = bc ac ab 2.Gi i ph ư ng trình 25 4 2025  ++−++=− + + x1 y 3 z 24 104   x1+ y3 − z24 +  ĐỀ S Ố 1 13333 x2− 2x + y 2 = 0  2 Câu 1 .Gi i h ph ư ng trình x− 2xy + 1 = 0 Câu 2 . Gi i b t ph ư ng trình (x – 1)(x + 2) < x 2 + 4. Câu 3 . 1 1.Rút g n bi u th c P= + 175 − 2 2 . 8+ 7 2.V i giá tr n ào c a m thì ph ư ng trình 2x 2 – 4x – m + 3 = 0 (m l à tham s) vô nghi m. Câu 4 . Cho tam giác ABC có ba góc nh n. V trung tuy n AM, phân giác AD c a góc BAC. ưng tròn ngo i ti p tam giác ADM c t AB t i P v à c t AC t i Q. 1.Ch ng minh ∠BAM =∠ PQM; ∠ BPD =∠ BMA . 2.Ch ng minh BD.AM = BA.DP. BP 3.Gi s BC = a; AC = b; BD = m. Tính t s theo a, b, m. BM 4.G i E l à im chính gi a cung PAQ v à K l à trung im on PQ. Ch ng minh ba im D, K, E th ng h àng. - 79 -
ĐỀ S Ố 1 14444 Câu 1 . 1.Gi i b t ph ư ng trình (x + 1)(x – 4) < 0. 2.Gi i v à bi n lu n b t ph ư ng trình 1+ x ≥ mx + m v i m l à tham s .  3 6 − = − 1 2x− y x + y Câu 2 . Gi i h ph ư ng trình  1 1  − = 0 2x− y x − y Câu 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P=+ x2 26y 2 − 10xy +− 14x 76y + 59 . Khi ó x, y có giá tr b ng bao nhiêu? Câu 4 . Cho hình thoi ABCD có góc nh n ∠BAD = α . V tam giác u CDM v phía ngo ài hình thoi v à tam giác u AKD sao cho nh K thu c m t ph ng ch a nh B (n a mt ph ng b AC). 1.Tìm tâm c a ưng tròn i qua 4 im A, K, C, M. α 2.Ch ng minh r ng n u AB = a, thì BD = 2a.sin . 2 3.Tính góc ABK theo α . 4.Ch ng minh 3 im K, L, M n m trên m t ưng th ng. 2 Câu 5 . Gi i ph ư ng trình x=() x21 +( −− 1 x ) ĐỀ S Ố 1 15555 Câu 1 .Tính 2 2 4m2 − 4m + 1 a)() 51+ +() 51 − b) 4m− 2 Câu 2 . x2 1.V th (P) c a h àm s y = . 2 2.Tìm a, b ưng th ng y = ax + b i qua im (0; -1) v à ti p xúc v i (P) mx+ my = − 3 Câu 3 . Cho h ph ư ng trình  ()1− mx + y = 0 a)Gi i h v i m = 2. b) Tìm m h có nghi m âm (x < 0; y < 0). Câu 4 . Cho n a ưng tròn ưng kính AB = 2r, C l à trung im c a cung AB. Trên cung AC l y im F b t kì. Trên dây BF l y im E sao cho BE = AF. a) Hai tam giác AFC v à BEC qua h v i nhau nh ư th n ào? T i sao? - 80 -
b) Ch ng minh tam giác EFC vuông cân. c) G i D l à giao im c a AC v i ti p tuy n t i B c a n a ưng tròn. Ch ng minh t giác BECD n i ti p ưc. d) Gi s F di ng trên cung AC. Ch ng minh r ng khi ó E di chuy n trên m t cung tròn. Hãy xác nh cung tròn v à bán kính c a cung tròn ó. ĐỀ S Ố 1 16666 Câu 1 . 1.Tìm b n s t nhiên liên ti p, bi t r ng tích c a chúng b ng 3024. 2.Có th tìm ưc hay không ba s a, b, c sao cho: abc a b c ++= + + = 0 ab− bc − ca − ()ab−2() bc − 2() ca − 2 Câu 2 . x1+ x18x −  xx3 −− 1  1.Cho bi u th c B=−−  : −  x1x1− +x1−  x1 − x1 −  a) Rút g n B. b) Tính giá tr c a B khi x= 3 + 22 . c) Ch ng minh r ng B≤ 1 v i m i giá tr c a x th a mãn x≥ 0; x ≠ 1 .  2 2 ()xyx−( + y) = 5 2.Gi i h ph ư ng trình  2 2 ()xyx+() − y = 9 Câu 3 . Cho h àm s : y= x12 ++ 2x( 2 −+ 2) 37x( − 2 ) 1.Tìm kho ng xác nh c a h àm s . 2. Tính giá tr l n nh t c a h àm s v à các giá tr t ư ng ng c a x trong kho ng xác nh ó. Câu 4 . Cho (O; r) v à hai ưng kính b t kì AB v à CD. Ti p tuy n t i A c a (O) c t ưng th ng BC v à BD t i hai im t ư ng ng l à E, F. G i P v à Q l n l ưt l à trung im c a EA v à AF. 1.Ch ng minh r ng tr c tâm H c a tam giác BPQ l à trung im c a on OA. 2.Hai ưng kính AB v à Cd có v trí t ư ng i nh ư th n ào thì tam giác BPQ có di n tích nh nh t? Hãy tính di n tích ó theo r. ĐỀ S Ố 1 17777 Câu 1 . Cho a, b, c l à ba s d ư ng. - 81 -
1 1 1 t x= ;y = ;z = bc+ ca + ab + Ch ng minh r ng a + c = 2b ⇔ x + y = 2z. Câu 2 . Xác nh giá tr c a a t ng bình ph ư ng các nghi m c a ph ư ng trình: x2 – (2a – 1)x + 2(a – 1) = 0, t giá tr nh nh t.  2 222 (x++ xy y) x += y 185 Câu 3 . Gi i h ph ư ng trình:  2 222 ()x−+ xyy x += y 65 à à Câu 4 . Cho hai ưng tròn (O 1) v (O 2) c t nhau t i A v B. V dây AE c a (O 1) ti p xúc vi (O 2) t i A; v dây AF c a (O 2) ti p xúc v i (O 1) t i A. BE AE 2 1. Ch ng minh r ng = . BF AF 2 2.G i C l à im i x ng v i A qua B. Có nh n xét gì v hai tam giác EBC v à FBC. 3.Ch ng minh t giác AECF n i ti p ưc. ĐỀ S Ố 1 18888 Câu 1 . 1.Gi i các ph ư ng trình: 2 1 9 3 −1 + 5 2 10 4 2 a)=2 b)2x15x4 −=− x 1  2  2  2.Gi i các h ph ư ng trình: xy3−=−  3x2y6z == a) b)  xy= 10  x ++= y z 18 Câu 2 . (53+ 50)( 5 − 24 ) 1.Rút g n ()75− 5 2 2.Ch ng minh a2( − a) ≤ 1; ∀≥ a0 . Câu 3 . Cho tam giác ABC cân t i A n i ti p trong ưng tròn, P l à m t im trên cung nh AC ( P khác A v à C). AP kéo d ài c t ưng th ng BC t i M. a) Ch ng minh ∠ABP = ∠ AMB . - 82 -
b) Ch ng minh AB 2 = AP.AM. c) Gi s hai cung AP v à CP b ng nhau, Ch ng minh AM.MP = AB.BM. d) Tìm v trí c a M trên tia BC sao cho AP = MP. e) G i MT l à ti p tuy n c a ưng tròn t i T, ch ng minh AM, AB, MT l à ba c nh ca m t tam giác vuông. 1997 1997 1997 aa a 27 (a) + 2a( ) + 1996a + ( ) Câu 4 . Cho 1= 2 == 1996 = . Tính 1 2 1996 bb b 7 1997 1997 1997 1 2 1996 ()()()b1+ 2 b 2 + + 1996 b 1996 ĐỀ S Ố 1 19999 Câu 1 . 1.Gi i h ph ư ng trình sau: 1 3  − = 2 2x− 3y = 1 x 2− y a) b)  x3y2+ = 21   − = 1 x 2− y 6− 2 5 2.Tính a)32233223()−() + b) 2− 20 Câu 2 . 1.Cho ph ư ng trình x 2 – ax + a + 1 = 0. a) Gi i ph ư ng trình khi a = - 1. 3 b) Xác nh giá tr c a a, bi t r ng ph ư ng trình có m t nghi m l à x = . V i giá 1 2 tr tìm ưc c a a, hãy tính nghi m th hai c a ph ư ng trình. 2.Ch ng minh r ng n u a+ b ≥ 2 thì ít nh t m t trong hai ph ư ng trình sau ây có nghim: x 2 + 2ax + b = 0; x 2 + 2bx + a = 0. Câu 3 . Cho tam giác ABC có AB = AC. Các c nh AB, BC, CA ti p xúc v i (O) t i các im t ư ng ng D, E, F. 1.Ch ng minh DF//BC v à ba im A, O, E th ng h àng. - 83 -
2.G i giao im th hai c a BF v i (O) l à M v à giao im c a DM v i BC l à N. Ch ng minh hai tam giác BFC v à DNB ng d ng; N l à trung im c a BE. 3.G i (O ’) l à ưng tròn i qua ba im B, O, C. Ch ng minh AB, AC l à các ti p tuy n c a (O ’). Câu 4 . Cho (x++ x2 1999)( y ++ y 2 1999) = 1999 . Tính S = x + y. ĐỀ S Ố 2 20000 Câu 1 . 1   1  1.Cho M= +− 1a:   + 1  1+ a  1− a 2  a) Tìm t p xác nh c a M. b) Rút g n bi u th c M. 3 c) Tính giá tr c a M t i a = . 2+ 3 2.Tính 40 2− 57 − 40 2 + 57 Câu 2 . 1.Cho ph ư ng trình (m + 2)x 2 – 2(m – 1) + 1 = 0 (1) a) Gi i ph ư ng trình khi m = 1. b) Tìm m ph ư ng trình (1) có nghi m kép. c) Tìm m (1) có hai nghi m phân bi t, tìm h th c liên h gi a các nghi m không ph thu c v ào m. 2.Cho ba s a, b, c th a mãn a > 0; a 2 = bc; a + b + c = abc. Ch ng minh: a)a≥>> 3,b 0,c 0. b)b2 +≥ c 2 2a 2 Câu 3 . Cho (O) v à m t dây ABM tùy ý trên cung l n AB. à à 1.Nêu cách d ng (O 1) qua M v ti p xúc v i AB t i A; ưng tròn (O 2) qua M v ti p xúc v i AB t i B. à à 2.G i N l giao im th hai c a hai ưng tròn (O 1) v (O 2). Ch ng minh ∠AMB +∠ ANB = 180 0 . Có nh n xét gì v l n c a góc ANB khi M di ng. 3.Tia MN c t (O) t i S. T giác ANBS l à hình gì? 4.Xác nh v trí c a M t giác ANBS có di n tích l n nh t. ax+by=c  Câu 4 . Gi s h bx+cy=a có nghi m. Ch ng minh r ng: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc.  cx+ay=b - 84 -