Bộ 10 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 11 - Từ năm 2010 đến 2018

Nội dung text: Bộ 10 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 11 - Từ năm 2010 đến 2018

1. TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 TỪ NĂM 2010 – 2018 ĐỀ SÓ 1 (Đề thi HSG lớp 11, TP. Đà Nẵng, năm học 2010 – 2011) Câu 1. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình lượng giác sin2 3x.cos 2x sin2 x 0 . 2 x 2 y 8 2. Giải hệ phương trình . 2 2 x 4 y y 4 x 4 Câu 2. (2,0 điểm) 1. Cho a , b , c là ba hằng số và un là dãy số được xác định bởi công thức: * un a n 1 b n 2 c n 3 n ¥ . Chứng minh rằng lim un 0 khi và chỉ khi a b c 0 . n 2. Các số a , b , c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân có tổng bằng 26 . Tìm các số đó biết rằng: nếu một cấp số cộng có a là số hạng thứ nhất, b là số hạng thứ ba thì c là số hạng thứ chín. Câu 3. (2,0 điểm) n 1. Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n , số 23 1 chia hết cho 3n 1 nhưng không chia hết cho 3n 2 . 2. Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0 , lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên lấy ra được chỉ có mặt ba chữ số khác nhau. Câu 4. (3,0 điểm) 1. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B . Gọi P là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ACD . a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng P . b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất. 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC . Một mặt phẳng P chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB , SD tại các điểm B , D khác S . Chứng 4 SB SD 3 minh rằng: . 3 SB SD 2 Câu 5. (1,0 điểm) Khảo sát tính chẵn – lẻ, tính tuần hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin sin x .
2. ĐỀ SỐ 2 (Đề thi HSG lớp 11, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên, năm học 2010 – 2011) Câu 1. (2,0 điểm) 3 1 cot x Giải phương trình: 3tan 2x 2 2cos 2x 0 . cos 2x 1 cot x Câu 2. (2,5 điểm) 1. Cho khai triển: 2 3 2010 2011 2 4042110 1 x x x x a0 a1x a2 x a4042110 x . a) Tính tổng a0 a1 a2 a4042110 . b) Chứng minh đẳng thức sau: 0 1 2 3 2010 2011 C2011a2011 C2011a2010 C2011a2009 C2011a2008 C2011 a1 C2011 a0 2011. 2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc tập A . Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3 . Câu 3. (2,5 điểm) 2 * 1. Cho dãy số un được xác định như sau u1 2011 , un 1 n un 1 un , với mọi n ¥ , n 2 . Chứng minh rằng dãy số un có giới hạn và tìm giới hạn đó. x 2x 1 3 3x 2 2 2. Tính giới hạn: A lim . x 1 x2 1 Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a . 1. Chứng minh rằng AC vuông góc với mặt phẳng A BD và đường thẳng AC đi qua trọng tâm tam giác A BD . 2. Hãy xác định các điểm M , N lần lượt nằm trên các cạnh A D , CD sao cho MN vuông góc với mặt phẳng CB D . Tính độ dài đoạn MN theo a .
3. ĐỀ SỐ 3 (Đề thi học sinh giỏi lớp 11, Vĩnh Phúc, Hệ chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (4 điểm) 1. Giải phương trình: 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 x2 2y2 1 2 2 2. Giải hệ phương trình: 2y 3z 1 (x, y, z ¡ ) xy yz zx 1 Câu 2. (2 điểm) Giả sử A, B,C, D lần lượt là các số đo các D· AB , ·ABC , B· CD , C· DA của tứ giác lồi AbấtBC kì.D A B C 1. Chứng minh rằng: sin A sin B sin C 3sin . 3 A 2. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: P sin sin B sin C sin D . 3 Câu 3. (1 điểm) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A . Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 9. Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giácABC . Phân giác trong của các góc A, B,C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giácABC lần lượt tại các điểm A , B ,C . Đường thẳng AA cắt đường thẳng CtạiC ; đườngI thẳng cắtAA 1 1 1 1 1 1 BC tại điểm N ; đường thẳng BB cắt đường thẳng AC tại điểm P . Gọi O là tâm đường tròn 1 1 1 ngoại tiếp tam giácIPC1 . Đường thẳng OP cắt đường thẳng BC tại điểm M . Biết rằng BM MN và B· AC 2·ABC . Tính các góc của tam giácABC . Câu 5. (1 điểm) 1 Cho hàm số f : 0; 0; thỏa mãn điều kiện f (3x) f f (2x) 2x,x 0 . Chứng 2 minh rằng f (x) x,x 0 .
4. ĐỀ SỐ 4 (Đề thi HSG lớp 11, Chuyên Đại Học Vinh, năm học 2010-2011) Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1. Giải phương trình: cos3 x sin3 x 3 cos 2x sin x cos x . 2 2 xy x y x 2y Bài 2. Giải hệ phương trình . x 2y y x 1 2x 2y u1 1 Bài 3. Cho dãy 1 u u ,n 1,2, n 1 n un Tính u . (Kí hiệu x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x ).  2010    Bài 4. Cho a,b,c 0 thỏa mãn ab bc ca 3abc . Chứng minh rằng: a2 b2 b2 c2 c2 a2 3 2 a b b c c a . a b b c c a Bài 5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB .M nằm trên tia đối của tia BA . Một đường thẳng đi quaM cắt nửa đường tròn (O) tại C và D (MD MC) . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOC và BOD cắt nhau tại điểm thứ hai K . Gọi L là giao điểm của AD và BC . a) Chứng minh rằng tứ giácAKLB nội tiếp. b) Chứng minh rằng LK  OK . c) Chứng minh K, L, M thẳng hàng. Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy có hai điểm A(1;0), B(3;0) . H là điểm thay đổi trênOy . AH và BH lần lượt cắt đường tròn đường kínhởA điểmB thứ hai tại vàD . ChứngE minh rằng đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. Xác định tọa độ điểm cố định đó.
5. ĐỀ SỐ 5 (Đề thi chọn HSG lớp 11, Chuyên Đại Học Vinh, năm học 2011-2012) Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1. Giải phương trình 32x2 6x 1 4x2 . Bài 2. Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình x1 x2 x3 x4 2011 Với x1 20 , x2 11 , x3 7 . Bài 3. Chứng minh trong tam giácABC ta luôn có 25 2sin3 A sin2 B sin2 C 8 Bài 4. Cho hai điểmB,C cố định trên đường tròn (O; R) , điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Gọi H là trực tâm tam giácABC . 1. Chứng minh rằng khi B· AC 600 thìAH R . 2. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giácHBC . Bài 5. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I , bán kính r có BC a , CA b , AB c , p là nửa chu vi. Gọi R , R1 , R2 , R3 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giácABC , IBC , ICA, IAB . Chứng minh rằng: a b c p 2 2 2 . R1 R2 R3 r.R
6. Đề số 6 (Đề thi HSG lớp 11, Vĩnh Phúc, hệ không chuyên, năm học 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (1,5 điểm) tan2 x tanx 2 Giải phương trình: sin(x ) . 1 tan2 x 2 4 Câu 2. (3,0 điểm) 1. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A , tính xác suất để số được chọn chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1. 2. Chứng minh đẳng thức sau: 0 2 1 2 2 2 3 2 2011 2 2012 2 1006 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 . Câu 3. (2,5 điểm) 1. Chứng minh rằng phương trình 8x3 6x 1 0 có ba nghiệm thực phân biệt. Tìm ba nghiệm đó sin n 2. Cho dãy số (đượcu ) xác định bởi: u sin1; u u , n N, n. Chứng2 minh rằng n 1 n n 1 n2 dãy số (đượcun ) xác định như trên là một dãy số bị chặn. Câu 4. (3,0 điểm) 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a 2 , các cạnh bên bằng nhau và bằng 3a (a 0 ). Hãy xác định điểm O sao cho O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo a . 2.Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mp(SBC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S 1 1 1 1 lên mp ABC . Chứng minh rằng SB  SC biết rằng SH 2 SA2 SB2 SC 2 3. Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện AB CD, BC AD, AC BD và một điểm X thay đổi trong không gian. Tìm vị trí điểm X sao cho tổng XA XB XC XD đạt giá trị nhỏ nhất.
7. Đề số 7 (Đề thi HSG lớp 11, Thái Nguyên, năm học 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (4,0 điểm) 2 2 Giải phương trình: 2 2sin 2 x . tan x cot 2x Câu 2. (4,0 điểm) u1 4 * Cho dãy số un : 1 , n N . u u 4 4 1 2u n 1 9 n n Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số. Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho B· AE C· AF , gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc F trên các đường thẳng AB, AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại D . Chứng minh rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC có diện tích bằng nhau. Câu 4. (4,0 điểm) Cho tập hợp A 1;2;3 ;18 .Có bao nhiêu cách chọn 5 số trong tập A sao cho hiệu hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2 . Câu 5. (4,0 điểm) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a b c 3 . a 1 b 1 c 1 Chứng minh rằng: 3 1 b2 1 c2 1 a2
8. Đề số 8 (Đề thi HSG lớp 11, Duyên hải và Đồng bằng Bắc bộ, năm học 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (4,0 điểm) (x 1)(y2 6) y(x2 1) Giải hệ phương trình: 2 2 (y 1)(x 6) x(y 1) Câu 2. (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AC cố định với trung điểm K . Hai điểm B, D di động luôn đối xứng nhau qua K. Đường phân giác của góc BCD cắt các đường thẳng AB, AD lần lượt tại I, J gọi M là giao điểm thứ hai khác A của các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ẠIJ. Chứng minh M luôn chạy trên đường tròn cố định khi B, D thay đổi. Câu 3. (4,0 điểm) Cho P x và Q x là hai đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn: P x3 xQ x3 chia hết cho x2 x 1. Gọi d là ước số chung lớn nhất của hai số P 2013 Q 2013 . Chứng minh rằng d chia hết cho 2012 . Câu 4. (4,0 điểm) 2 2 n Cho dãy số an : a1 a2 1; an 1 6an an 1 4.( 1) , n 2. n 5 1 2 Chứng minh rằng: lim . n  k 1 ak ak 3 ak ak 2 3 Câu 5. (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên dương n lớn hơn 1 . Ta xét tất cả các số dương k thỏa mãn đồng thời các điều kiện: k có n chữ số Tất cả các chữ số của k đều lẻ. Giá trị tuyệt đối của hiệu hai chữ số liên tiếp bất kì của k luôn bằng 2 . Tìm tổng tất cả các số k có tận cùng là 5 khi n chẵn.
9. Đề số 9 (Đề thi HSG lớp 11, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình: sin 2 x 3 cos 2 x (2 3)sinx cosx 1 3 . Câu 2. (2,0 điểm) 2 2013 a) Xét khai triển: 1 x 1 2x 1 2013x a0 a1x a2 x a2013 x . 1 2 2 2 Tính a2 1 2 2013 . 2 b) Chọn ngẫu nhiên một số có 4 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất số được chọn không nhỏ hơn 2013 . Câu 3. (2,0 điểm) a) Cho dãy số u được xác định như sau: u 1, u 3, u 2u u 1, n 1;2; n 1 2 n 2 n 1 n u Tính Lim n n2 b) Tính m(x 1)(x3 4 x) x3 3x 1 0. (m là tham số). Chứng minh với mọi giá trị thực của m phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt. Câu 4. (2,0 điểm) a) Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . Chứng minh mp A' BD song song với mp CB ' D ' . Tìm điểm M trên đoạn BD và điểm N trên đoạn CD ' sao cho đường thẳng MN vuông góc với mp A' BD . b) Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' cạnh a . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BB ',C ' D ' . Xác định thiết diện cắt bởi mp MNP với hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' , tính theo a diện tích thiết diện đó. Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số dương a,b,c là các hằng số thực và f x ax3 bx2 cx. Tìm tất cả các số a,b,c sao cho f 2 26 và f x 1 với mọi số thực x sao cho x 1
10. Đề số 10 (Đề thi HSG lớp 11, Vĩnh Phúc, Hệ chuyên, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (2,5 điểm) x y z 4 2 2 2 1. Giải hệ phương trình: x y z 14, (x; y; z R) 3 3 3 x y z 34 2. Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập số thực, nhận giá trị trong tập số thực và thỏa mãn x xf y – yf x f ( ) với mọi số thực x, y, x 0 . y Câu 2. (1,5 điểm) Cho trước số thực . Cho dãy số x , bị chặn và thỏa mãn x (1 a) x ax , a (0;1) n n 1 n 2 n 1 n n 1. Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Câu 3. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB AC nội tiếp trong đường tròn O , các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại T , đường thẳng AT cắt lại đường tròn tại X . Gọi Y là điểm đối xứng với X qua O . Các đường thẳng YB, XC cắt nhau tại P , các đường thẳng XB,YC cắt nhau tại Q . 1. Chứng minh rằng P,Q,T thẳng hàng. 2. Chứng minh rằng các đường thẳng PQ, BC, AY đồng quy. Câu 4. (2,0 điểm) x y z 5 Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn y z 1 x 2 Câu 5. (1,0 điểm) Một vòng tròn được chia thành k cung, được đánh số từ 1 đến k như hình vẽ. Ban đầu tại mỗi cung đặt một viên bi. Mỗi lần dịch chuyển, người ta dịch chuyển hai viên bị, một viên theo cùng chiều kim đồng hồ, một viên ngược chiều kim đồng hồ, vào cung kề với cung chứa nó (hai viên bi 3 được dịch chuyển không nhất thiết phải từ cùng một cung). Hỏi sau hữu hạn bước như vậy, có đưa được tất cả các viên bi về cùng một cung hay không? 2 . . . 1