Các dạng bài tập môn Hình học Lớp 12 - Huỳnh Văn Lượng

Nội dung text: Các dạng bài tập môn Hình học Lớp 12 - Huỳnh Văn Lượng

1. Các d ng toán hình Oxyz www.huynhvanluong.com CÁC D ẠNG BÀI T ẬP HÌNH Oxyz Biên so n: Hu nh V n L ng Download t i website: www.huynhvanluong.com Hotphone: 01234.444.305-0933.444.305-0918.859.305 0963.105.305-0929.105.305 -0996.113.305 –(0276).6513.305 I. Các d ạng toán v ề mặt c ầu: 1) Bài toán xác nh tâm và bán kính m t c u - Ph ươ ng trình m ặt c ầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 - Phươ ng trình m ặt c ầu dạng: x2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 có tâm I(a; b; c) và bán kính R = a2 + b2 + c2 − d (v ới a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 ) 2) Bài toán Vi t ph ơ ng trình m t c u - Phươ ng trình m ặt c ầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M 1(x 1;y 1;z 1) 2 2 2 ⇒ R = IM 1 = (x1− a) + (y 1 − b) + (z 1 − c) - Phươ ng trình mặt c ầu (S) đường kính AB : + Tâm I là trung điểm AB => I( xA + x B ; yA + y B ; zA + z B ) 2 2 2 + Bán kính R = IA - Phươ ng trình mặt c ầu (S) tâm I(a;b;c) và ti ếp xúc m ặt ph ẳng (α ) :Ax+ By + Cz + D = 0 Ax+ By + Cz + D ⇒ R= d() I ,()α = I I I . A2+ B 2 + C 2 - Phươ ng trình mặt c ầu (S) qua b ốn điểm A,B,C,D: Gi ả s ử (S) có d ạng:x2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (1) Thay l ần l ượt to ạ độ 4 điểm vào (1) => gi ải h ệ tìm h ệ s ố a; b; c; d 3) Bài toán xác nh v trí t ơ ng i gi a m t c u (S) và m t ph ng (P)
   Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R c ủa (S)
   Bước 2: Tính kho ảng cách t ừ I đế n m ặt ph ẳng (P)
   Bước 3: So sánh và k ết lu ận + d(I,(P)) > R ⇒ mặt ph ẳng (P) và m ặt c ầu (S) không có điểm chung. + d(I,(P)) = R ⇒ (P) và (S) ti ếp xúc nhau t ại ti ếp điểm M (M là hình chi ếu c ủa I lên (P)). + d(I,(P)) Viết m ặt ph ẳng đi qua A có VTPT n . Biên son: Hunh Vn Lng 0929.105.305-0963.105.305-0918.859.305-01234.444.305-0933.444.305
2. Các d ng toán hình Oxyz www.huynhvanluong.com - M ặt ph ẳng ch ứa hai đường th ẳng d và d’: 
   
   
   
   
    + N ếu d//d’ thì VTPT n= [ud ,AB] với A ∈ d; B ∈ d’ (A và B l ần l ượt là điểm đi qua c ủa d và d’) 
   
   
   
   
    + Nếu d c ắt d’ thì n= [ud ,u d' ] 
   
   
   
   
    - M ặt ph ẳng đi qua A và ch ứa đường th ẳng d thì VTPT n= [ud ,AB] với B là điểm đi qua c ủa d.
   
   
   
    - Mặt ph ẳng (α) đi qua A và song song(β) thì VTPT nα= n β
   
   
   
    - Mặt ph ẳng (α) đi qua A và vuông góc v ới đường th ẳng d thì VTPT nα = u d  
   
      - Mặt ph ẳng (α) có hai vect ơ ch ỉ ph ươ ng a,b thì nα = [a,b] .
   
   
   
   
   
   
    - Mặt ph ẳng (α) đi qua điểm A ch ứa đường th ẳng d thì nα = [ud ,AB] (với B là điểm đi qua c ủa d)
   
   
   
   
   
   
    - Mặt ph ẳng (α) đi qua 2 điểm A và B đồng thời song song đường th ẳng d thì thì nα = [ud ,AB]
   
   
   
   
   
   
    - Mặt ph ẳng (α) vuông góc c ả hai m ặt ph ẳng (P) và (Q). thì VTPT nα = [n,nP Q ] - M ặt phẳng trung tr ực c ủa đoạn th ẳng AB. + Xác định trung điểm M c ủa đoạn th ẳng AB.
   
   
    + Tính vect ơ AB
   
   
    ⇒ Mặt ph ẳng trung tr ực đi qua M có VTPT AB .
   
   
   
   
   
    - Mặt ph ẳng (α) song song đường th ẳng d và vuông góc v ới mặt ph ẳng (β) thì nα= [n,u] β d . - Mặt ph ẳng (α) ch ứa đường th ẳng d và ⊥(β) . + Tìm điểm M trên đường th ẳng d
   
   
   
   
   
    + VTPT c ủa ( α) là nα= [u,n]d β - Mặt ph ẳng (α) ch ứa đường th ẳng (d) và song song v ới (d /). + Tìm điểm M trên đường th ẳng d
   
   
   
   
   
   
    n [u,u/ ] + VTPT c ủa ( α) là P= d d
   
   
   
   
   
   
    n [u,u/ ] => Vi ết ph ươ ng trình mặt ph ẳng qua M và có VTPT P= d d - Mặt ph ẳng (α) // Ax+By + Cz +D = 0 và ti ếp xúc (S) + Dạng: Ax+By+ Cz + D'=0, + d(I,( α)) = R tìm D’ - Mặt ph ẳng (α) qua giao tuy ến c ủa hai mp Ax+By + Cz +D = 0 và A'x+B'y+ C'z + D'=0 là m(Ax + By + Cz + D) + n( A'x + B'y + C'z + D') = 0 (m, n không đồng th ời b ằng 0) → - M ặt ph ẳng ti ếp di ện (α) của (S) tại M0 nh ận IM 0 làm VTPT. 2) Bài toán vi t ph ơ ng trình ng th ng.  Tìm im ng th ng i qua M( x0; y 0 ; x 0 ) và VTCP u= ( abc; ; ) , r i áp d ng công th c : x= x + at  0 PT tham s : y= y0 + bt (t∈R)  z= z0 + ct x − x y − y z − z PT chính t c: 0 = 0 = 0 ( a.b.c ≠ 0 ) a b c
   
   
    - Đường th ẳng ∆ đi qua 2 điểm A và B => ∆ đi qua A có VTCP AB .
   
   
    - Đường th ẳng ∆ đi qua A và // (D) => ∆ qua A có VTCP uD .
   
    - Đường th ẳng ∆ đi qua A và ⊥(α) thì ∆ qua A có VTCP là nα . www.huynhvanluong.com:a Biên son: Hunh Vn Lng 0929.105.305-0963.105.305-0918.859.305-01234.444.305-0933.444.305
3. Các d ng toán hình Oxyz www.huynhvanluong.com - Đường th ẳng ∆ là giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng ( α) và ( β) thì 
   
   
   
    + VCTP c ủa ∆ là u= [nα ,n β ] . + Cho m ột ẩn = 0 gi ải h ệ 2 ẩn còn l ại tìm điểm M? 
   
   
   
    
   
   
   
    => ∆ đi qua M có VTCP là u= [nα ,n β ] u= [nα ,n β ] - Cách vi ết ph ươ ng trình đường cao AH c ủa ∆ABC. 
   
   
   
   
   
    + Tìm t ọa độ VTPT c ủa mp(ABC) là n= [BC,AC] = ?. 
   
   
     + Tìm t ọa độ VTCP c ủa đường cao AH là: u= [BC,n] = ? 
   
   
     => Vi ết PT đường cao AH đi qua A có VTCP u= [BC,n] . 3) Bài toán tìm hình chi u c a m t im lên m t m t ph ng ho c .th ng. a) Tìm hình chi ếu vuông góc c ủa 1 điểm M trên m ột m ặt ph ẳng (α) - Vi ết ph ươ ng trình đường th ẳng d đi qua M và vuông góc v ới (α) - Gọi H là hình chi ếu c ủa M trên (α) ⇒ H = d ∩ (α) b) Tìm hình chi ếu vuông góc c ủa m ột điểm M trên 1 đường th ẳng d Cách 1: - Vi ết ph ươ ng trình m ặt ph ẳng (α) đi qua M và vuông góc v ới d - Gọi H là hình chi ếu c ủa M trên d ⇒ H = d ∩ (α) Cách 2: - Chuy ển ph ươ ng trình đường th ẳng d v ề d ạng tham s ố - G ọi I là m ột điểm b ất kì thu ộc d ⇒ t ọa độ điểm I theo tham s ố t - I là hình chi ếu c ủa M trên d ⇔ MI ⊥ d ⇔ MI .ud = 0 ⇒ t ⇒ T ọa độ I. 4) Bài toán tìm t a im A / i x ng v i im A qua t ho c mp - Tìm hình chi ếu H của A lên đường th ẳng ho ặc mp  x= 2x − x  H A/ /  - H là trung điểm c ủa AA’ nên tọa độ điểm A th ỏa: y= 2yH − y /  A z= 2z − z  H A/ 5) Bài toán xác nh v trí t ơ ng i gi a hai ng thng  * ng th ng d i qua M và có VTCP u , d’ i qua M ' và có VTCP u ', ta có: 0 
   
   
   
   
   
   
    0 + (d) và (d ’) đồng ph ẳng ⇔ Mode 6 : det(u,u ',M M' )= 0  0 0 u ∆∆⇔// '
   
   
   
   
   
    ≠ ' M0 M 0  =  u
   u ∆≡∆⇔'
   
   
   
   
   
    = + L ập t ỉ s ố: ' u ' M0 M 0 
   
   
   
   
   
   
    ∆∆⇔ cheo ' Mode 6 : det(u,u ',M M' ) ≠ 0 ≠ 
   
   
   
   
   
   
   0 0 ' ∆∆⇔ cat ' Mode 6 : det(u,u ',M0 M 0 ) = 0 + d⊥⇔ d' aa .' + bb .' + cb .'0 = . 6) Bài toán xác nh v trí t ơ ng i gi a hai m t ph ng Cho hai m t ph ng (α ) :Ax+ By + Cz + D = 0 và (α ':') Ax+ By ' + Cz ' += D '0 , ta có: A B C D o ()()α≡ α ' ⇔=== . A' B ' C ' D ' Biên son: Hunh Vn Lng 0929.105.305-0963.105.305-0918.859.305-01234.444.305-0933.444.305
4. Các d ng toán hình Oxyz www.huynhvanluong.com A B C D o ()()α/ / α ' ⇔ = = ≠ . A' B ' C ' D ' A B B C A C o (α ) c t (α ') ⇔ ≠ ho ặc ≠ ho ặc ≠ (t c là ngoài 2 t/h trên) A' B ' B' C ' A' C ' o (α) ⊥( α ') ⇔++=AA '''0 BB CC . 7) Bài toán xác nh v trí t ơ ng i gi a ng thng d và m t ph ng (P): * Tìm giao im c a ng th ng d và m t ph ng (P): + 1 giao điểm: d c ắt (P) + 0 giao điểm (ph ươ ng trình vô nghi ệm d ạng 0t=C v ới C ≠0): d // (P) + Vô s ố giao điểm: (ph ươ ng trình vô nghi ệm d ạng 0t=0): d ⊂ (P) 
    * ng th ng d qua M và có VTCP u= ( abc; ; ) , mt ph ng (P) có vect ơ pháp tuy n n( A; B ; C ) , a b c + d⊥() P ⇔= = . A B C + d//( P) ⇔+ aAbB . . + cC . = 0 (M ∉ (P)) . + d⊂( P) ⇔++= aAbB. . cC . 0 (M ∈ (P)) . 8) Bài toán khong cách Ax+ By + Cz + D - Cho (α ) :Ax+ By + Cz + D = 0 ⇒d() M ,()α = M M M . A2+ B 2 + C 2 - Cho (α ) :Ax+ By + Cz + D = 0 , (β ) :Ax+ By + Cz + D ' = 0 D− D ' ⇒d ()()α,( β ) = . A2+ B 2 + C 2   - ng th ng d i qua M 0 và có VTCP u , d’ i qua M 0 ' và có VTCP u ', ta có:
   
   
   
   
     
   
   
   
   
   
   
   
        MMo ,u  u,u'  .Mo M' o d(M, ∆)=  , d( ∆, ∆') = 
      u u, u'  9) Bài toán góc - Góc gi ữa hai mp (P) A x+B y+C z+D = 0 và mp(Q) A x+B y+C z+D = 0
   
   
    1 1 1 1 2 2 2 2 n1 .n 2 ΑA + BB + CC  ⇒ cosϕ =
   
   
    = 12 12 12 với ϕ = ((mp(Q),mp(P)) 2 2 2 2 2 2 n1 . n 2 A111++ B C.A 222 ++ B C x= x + at  0 - Góc gi ữa đường th ẳng (D): y= y0 + bt và m ặt ph ẳng Ax+By+Cz+D = 0  z= z0 + ct
   
   
   
    n .u P D aΑ + bB + cC   ⇒ Sin Ψ =
   
   
   
    = v ới ϕ = ((D), mp(P)) 2 2 22 22 nP . u D A++ B C.a ++ b c  / / x= x + at x= x0 + at 2  0 1   / / - Góc gi ữa hai đường th ẳng (D 1) : y= y0 + bt1 Và (D 2): y= y0 + bt 2   z= z + ct / /  0 1 z= z0 + ct 2
   
   
    u1 .u 2 aa+ bb + cc   ⇒ cosϕ =
   
   
    = 12 12 12 với ϕ = ((D ),(D )) 2 22 2 22 1 2 u1 . u 2 a1++ b 11 c.a 2 ++ b 22 c www.huynhvanluong.com:a Biên son: Hunh Vn Lng 0929.105.305-0963.105.305-0918.859.305-01234.444.305-0933.444.305