Các dạng và bài tập tích phân

Nội dung text: Các dạng và bài tập tích phân

1. TÍCH PHÂN CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM ∫dx = x + C (1) ∫kdx = kx + C (2) xn 1 (ax b)n 1 ∫xndx = + C (3) ∫(ax + b)ndx = + C (4) n 1 a(n 1) 1 1 ∫ dx = ln |x| + C (5)∫ dx = (1/a) ln|ax + b| + C (6) x ax b 1 1 1 1 ∫ dx + C (7)∫ + Cdx (8) x2 x (ax b)2 a(ax b) 1 ∫sin xdx = –cos x + C (9) ∫sin(ax + b)dx = – cos(ax + b) + C (10) a 1 ∫cos xdx = sin x + C (11) ∫cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (12) a dx dx tan(ax b) ∫ = tan x + C (13)∫ + C (14) cos2 x cos2 (ax b) a dx dx 1 ∫ = –cot x + C (15)∫ + C (16)cot(ax b) sin2 x sin2 (ax b) a ∫exdx = ex + C (17) ∫eax + b dx = (1/a)eax + b + C (18) ∫axdx = ax/ln a + C (19) TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ ĐẶC BIỆT a Dạng 1. Nếu f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên R thì f (x)dx 0 a a f (x) a Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên R thì dx f (x)dx với b > 0 x a b 1 0 π π π Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên [0, 1] thì xf (sin x)dx f (sin x)dx 0 2 0 Câu 1. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 1. Tính I = F(2) – F(1) A. 6 B. 12 C. 3 D. 4 Câu 2. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f ′(x) = 3x² – 6x. Tính I = f(2) – f(0) A. I = –2 B. I = 4 C. I = 8 D. I = –4 Câu 3. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sin (x/2). Tính F(2023π) – F(–2π) A. 2 B. 2023 C. 4048 D. –2 Câu 4. Cho hàm số F(x) có đạo hàm F′(x) = cos x. Biết F(2022π) – F(a) = 1/2. Giá trị của a có thể là A. a = –π/3 B. a = –π/6 C. a = π/6 D. a = π/3 Câu 5. Cho hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x. Biết F(b) – F(a) = 1. Chọn hệ thức đúng A. a² = b² + 1 B. a² = –b² – 1 C. a² = 1 – b² D. a² = b² – 1 Câu 6. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y = f ′(x) như hình vẽ. y f ′(x) O 1 x –2 4 Biết diện tích hình phẳng tạo bởi y = f ′(x) với trục Ox có hai phần; phần S 1 trên [–2; 1] và phần S2 trên [1; 4] có diện tích lần lượt là 3 và 5. Tính giá trị của biểu thức f(–2) – f(4) A. 4 B. 2 C. 8 D. 15 Câu 7. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = 3x, y = 0, x = 0, x = 1 A. 1 B. 3 C. 3/2 D. 4 Câu 8. Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x ln (x² + 1). Nếu F(0) = 0 thì F(e) thuộc khoảng A. (1; 5) B. (5; 10) C. (10; 15) D. (15; 20)
2. Câu 9. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 3x; y = 0; x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox A. V = 12π B. V = 24π C. V = 36π D. V = 6π Câu 10. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (0; +∞) thỏa mãn f(3) = 3 và x f ′(2x) – f(2x) = x³ với mọi số thực 6 x > 0. Khi đó I = f (x)dx có giá trị là 0 A. I = 51 B. I = 65 C. I = 67 D. I = 73 3 1 Câu 11. Cho tích phân I = dx = a + b ln 2 + c ln 3; với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc là 3 2 x x A. 0 B. 2 C. –1 D. –2 2 dx Câu 12. Cho tích phân I = = ln a. Giá trị a là 1 x(1 x) A. 0 B. 2/3 C. 2 D. 4/3 Câu 13. Cho F(x) có đạo hàm F′(x) = x ln x và F(1) = 0. Biết F(e) = ae² + be + c với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính 2a – 2c A. 1 B. –1 C. 3 D. –3 2 Câu 14. Cho hàm số y = F(x) có F(2) – F(0) = 1. Giá trị của biểu thức I = F'(| x |)dx là 2 A. 2 B. –2 C. 1 D. –1 2 2203 Câu 15. Tính tích phân I = dx 204 1 x A. I = (1 – 2203)/203 B. I = 203(2203 – 1) C. I = (2203 – 1)/203 D. (2203 + 1)/203 Câu 16. Cho dòng điện xoay chiều i = 2cos (100πt) (A) chạy qua điện trở R = 1 (Ω). Biết công suất tỏa nhiệt trên điện trở là P = i²R. Công của dòng điện trong một chu kì là A. 0,04 J B. 0,08 J C. 0,01 J D. 0,02 J Câu 17. Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x + x202) sin x. Tính F(π) – F(–π) A. 2π B. 4π C. 2π + π203 D. 4π + 2π203 2025π x Câu 18. Cho hai số thực a, b thỏa mãn 2a + 3b = 8 và (a b)sin dx = 6. Tính giá trị của biểu thức P = 0 2 ab A. P = 2 B. P = –2 C. P = –4 D. P = 4 Câu 19. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi y = 9 x2 ; y = 0. Tính thể tích hình khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox A. V = 54π B. V = 27π C. V = 18π D. V = 36π 1000 1 Câu 20. Tính tích phân I = dx 2 6 1000 x 10 A. I = 1/1000 B. I = 1/500 C. I = 10–6 D. I = 2.10–6 e Câu 21. Tính I = ln x2023dx 1 A. 2023e – 2023 B. 2023e C. 4046e – 2023 D. 2023 Câu 22. Biết đồ thị hàm số bậc ba f(x) = ax³ + bx² + cx – 2 và parabol g(x) = dx² + ex + 4 cắt nhau tại 3 dpb có hoành độ là –3; –1; 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó A. 12 B. 8 C. 16 D. 20 10 Câu 23. Tính tích phân I = x(10 x)98 dx 0 A. 10100/99 – 1098 B. 10100/99 + 1098 C. 1099/98 – 1097 D. 1099/98 + 1097 1 Câu 24. Cho hàm số F(x) = 2ex + x² là một nguyên hàm của hàm số f(x). Tính I = f (2x)dx 0
3. A. e² + 2 B. e² + 6 C. 2e² + 6 D. 2e² + 2 Câu 25. Gọi D là hình phẳng giới hạn bới các đường y = ex, y = 0, x = 0 và x = 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng A. V = e²/2 B. V = πe²/2 C. V = π(e² – 1)/2 D. V = π(e² + 1)/2 1 1 Câu 26. Biết [f (x) 2x]dx = 5. Tính f (x)dx 0 0 A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 2 2 2 Câu 27. Cho [f (x) g(x)]dx 5; [f (x) g(x)]dx 7 . Tính giá trị của biểu thức [f (2x) 2g(x)]dx 0 0 0 A. 4 B. 7 C. 3 D. 5 π x Câu 28. Cho F(x) = sin² x là một nguyên hàm của hàm số f(x). Tính f ( )dx 0 2 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 Câu 29. Cho hàm số y = g(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn f(0) = 3 và (2x + 3)g′(x) + 2g(x) = 4x – 3x² với mọi số thực x. Tính f(2) A. 1 B. 9/7 C. 1/5 D. 1/7 1 Câu 30. Cho F(x) = x²ex là một nguyên hàm của hàm số f(x). Tính tích phân I = f (2x)dx 0 A. 4e – 1 B. 2e² C. 4e² D. 2e – 1 Câu 31. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x² – 2 và y = 3x – 2 là A. 9/2 B. 3/2 C. 9/4 D. 13/4 Câu 32. Cho hai đồ thị hàm số y = f(x) = x² + a (a là tham số thực dương) và y = g(x) = 3x/2. Biết hai đồ thị hàm số cắt nhau như hình vẽ với diện tích S 1 = S2. Giá f(x) trị của a thuộc khoảng nào sau đây? A. (1/2; 9/16) S S2 B. (2/5; 9/20) 1 C. (9/20; 1/2) x D. (0; 2/5) g(x) Câu 33. Cho hai hàm số sinh (x) = (ex – e–x)/2 và cosh (x) = (ex + e–x)/2. Cho tích 1 phân I = 1 x2 dx , nếu đặt x = sinh (t) thì I = a sinh –1(1) + b sinh (2 sinh–1(1)) với a, b là các số hữu tỉ. 0 Giá trị a + 2b là A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 Câu 34. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị của f ′(x) cắt trục hoành tại 3 điểm y có hoành độ lần lượt là –1; 1; 3 như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi f ′(x) và trục hoành được tính bằng A. S = f(1) – f(–1) – f(3) B. S = f(–1) + f(3) – f(1) –1 1 3 C. S = 2f(1) – f(–1) – f(3) x D. S = f(–1) + f(3) – 2f(1) f ′(x) Câu 35. Cho hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) thỏa mãn F(3) – F(–2) = 10. Gọi G(x) là nguyên hàm của hàm số g(x) = f(3 – 5x). Tính giá trị của biểu thức I = G(1) – G(0) A. 2 B. –2 C. 50 D. –10 Câu 36. Cho hai đồ thị hàm số y = f(x) = 2x² + a (a là tham số thực dương) và y = f(x) g(x) = 3x cắt nhau như hình vẽ. Biết S1, S2 là diện tích các vùng gạch sọc và gạch chéo. Nếu S1 = S2 thì giá trị của a thuộc khoảng nào sau đây? S2 A. (4/5; 9/10) S1 B. (0; 4/5) C. (1; 9/8) x D. (9/10; 1) g(x)
4. Câu 37. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn [f ′(x)]² + f(x) f ″(x) = x³ – 2x với mọi số thực x. Biết f(0) = f ′(0) = 2. Tính giá trị của biểu thức T = [f(2)]² A. 4/15 B. 160/15 C. 268/15 D. 134/15 Câu 38. Cho đường thẳng y = x và parabol y = x²/2 + a (a là tham số thực dương) cắt nhau như hình vẽ. Các vùng gạch dọc và gạch chéo có cùng diện tích. Giá trị f(x) của a thuộc khoảng nào sau đây? A. (3/7; 1/2) S S2 B. (0; 1/3) 1 C. (1/3; 2/5) x D. (2/5; 3/7) g(x) Câu 39. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v = −5t + 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2 m. B. 2,0 m. C. 10 m. D. 20 m. Câu 40. Tìm m sao cho đường thẳng d: y = 3x + m cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm phân biệt và diện tích hình phẳng tạo bởi hai đồ thị là S = 1/6. A. m = 2 B. m = 4 C. m = 0 D. m = –2 Câu 41. Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A 1, A2, B1, B2 như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần elip nằm giữa hai đường thẳng MQ và NP là 200 000 đồng/m²; chi phí phần còn lại là 100 000 đồng/m². Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới B M 1 N đây, biết A1A2 = 8m, B1B2 = 6m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ = 3 m. A. 7 322 000 đồng A1 A2 B. 7 213 000 đồng C. 5 526 000 đồng Q P D. 5 782 000 đồng B2 Câu 42. Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) v phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. I 9 Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường Parabol có đỉnh I(2; 9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đuờng s mà vật chuyển động trong 4 giờ đó. A. 26,5 km B. 28,5 km 0 C. 27 km D. 24 km 2 3 4 t Câu 43. ột vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ huộc thời gian t v I (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi 9 bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian 2 giờ còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây? 4 A. 23,25 km B. 21,58 km C. 15,50 km 0 D. 13,83 km 1 2 3 t