Chuyên đề GTLN và GTNN của hàm số môn Toán Lớp 12 - Đỗ Đình Bằng

Nội dung text: Chuyên đề GTLN và GTNN của hàm số môn Toán Lớp 12 - Đỗ Đình Bằng

1. CHUYÊN ĐỀ GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ A. Kiến thức cơ bản 1. Quy tắc 1 ( Sử dụng định nghĩa) Giả sử f xác định trên D  R. Ta có f x M x D f x m x D M max f x ; m min f x D D x0 D : f x0 M x0 D : f x0 m 2. Quy tắc 2 ( Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn a,b ) Bước 1 Tìm các điểm x1, x2 , , xn trên a,b mà tại đó f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm Bước 2 Tính f a , f x1 , , f xn , f b Bước 3 Kết luận: max f x max f a , f x1 , , f xn , f b  a;b min f x min f a , f x1 , , f xn , f b  a;b Chú ý: 1) Để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng a;b ta lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng đó. 2) Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số 3 3 2 a)f x x 3x 3 trên 3; b) f x x 2x 5 trên  2;3 2 3 3 Giải: a) Hàm số f x x 3x 3 liên tục trên 3; 2 f ' x 3 x 2 1 3 Trên đoạn 3; , f ' x 0 có các nghiệm x 1, x 1 2 1 Chuyên Đề GTLN, GTNN của hàm số – Đỗ Đình Bằng – THPT Mường Lát
2. 3 15 Ta có f 3 15; f 1 5; f 1 1; f 2 8 Vậy max f x f 1 5 và min f x f 3 15 3 3 3; 3; 2 2 b) Hàm số f x x2 2x 5 liên tục trên  2;3 f ' x 2 x 1 Trên đoạn  2;3, f ' x 0 có nghiệm x 1 Ta có f 2 5; f 1 6; f 3 10 Vậy max f x f 3 10 và min f x f 1 6  2;3  2;3 4 Ví dụ 2: (TN – 2015) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x x trên 1;3 x 4 x 2 4 Giải: f ' x 1 x 2 x 2 Trên đoạn 1;3, f ' x 0 có nghiệm x 2 13 Ta có f 1 5; f 2 4, f 3 3 Vậy max f x f 1 5 và min f x f 2 4 1;3 1;3 Ví dụ 3: (TN – 2014) Tìm GTLN và GTNN của các hàm số 1 a)f x x 4 2x3 5x 2 1 trên  1;2 b) f x x 2 x 4x x 2 4 Giải: a) Hàm số f x x 4 2x3 5x 2 1 liên tục trên  1;2 f ' x 4x3 6x2 10x Trên đoạn  1;2, f ' x 0 có các nghiệm x 0, x 1 Ta có f 1 5; f 0 1; f 1 1, f 2 13 2 Chuyên Đề GTLN, GTNN của hàm số – Đỗ Đình Bằng – THPT Mường Lát
3. Vậy max f x f 2 13 và min f x f 1 5  1;2  1;2 b) TXĐ D 0;4 1 x 2 1 1 f ' x x 1 x 2 2 2 2 4x x 2 4x x Trên khoảng 0;4 , f ' x 0 có nghiệm x 2 Ta có f 0 0; f 2 3, f 4 0 Vậy max f x f 0 f 4 0 và min f x f 2 3 0;4 0;4 Ví dụ 4: (TN – 2013) 9 1) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x x trên  1;2 x 2 2) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x x 2 3 xln x trên 1;2 9 Giải: 1) f ' x 1 x 2 2 Trên đoạn  1;2, f ' x 0 có nghiệm x 1 17 Ta có f 1 8; f 1 4, f 2 4 Vậy max f x f 1 8 và min f x f 1 4  1;2  1;2 x 2) Ta có f ' x 1 ln x x 2 3 x x 1;2, 1 và 1 ln x 1 f ' x 0 x2 3 Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn 1;2 Vậy max f x f 1 2 và min f x f 2 7 2ln 2 1;2 1;2 Ví dụ 5: (TN – 2012) 1) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x x 2 2x 5 trên 0;3 3 Chuyên Đề GTLN, GTNN của hàm số – Đỗ Đình Bằng – THPT Mường Lát
4. x m2 m 2) Tìm m để GTNN của hàm số f x trên đoạn 0;1 bằng 2 x 1 x 1 Giải: 1) Trên đoạn 0;3, ta có f ' x x 2 2x 5 f ' x 0 x 1 Ta có f 0 5; f 1 2, f 3 2 2 Vậy max f x f 3 2 2 và min f x f 1 2 0;3 0;3 m2 m 1 2) Trên đoạn 0;1, ta có f ' x x 1 2 Do m2 m 1 0 x R f ' x 0 Nên hàm số đồng biến trên 0;1 Suy ra min f x f 0 m2 m 2 m 1 m 2 0;1 Ví dụ 6: (TN – 2009) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2x 1 1) f x trên đoạn 2;4 1 x 2) f x x 2 ln 1 2x trên đoạn  2;0 3 Giải: 1) Ta có f ' x 0 x 2;4 1 x 2 Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn 2;4 Vậy max f x f 4 3 và min f x f 2 5 2;4 2;4 2 2 2x 1 x 1 2) Ta có f ' x 2x x  2;0 1 2x 2x 1 1 Trên đoạn  2;0, f ' x 0 x 2 1 1 Ta có f 0 0; f 2 4 ln5, f ln 2 2 4 4 Chuyên Đề GTLN, GTNN của hàm số – Đỗ Đình Bằng – THPT Mường Lát
5. e4 1 4 e Do 4 ln5 ln 0 và ln 2 ln 0 5 4 2 1 1 Vậy max f x f 2 4 ln 5 và min f x f ln 2  2;0  2;0 2 4 Nhận xét: max f x f b a;b 1) f đồng biến trên a;b min f x f a a;b max f x f a a;b 2) f nghịch biến trên a;b min f x f b a;b Bài tập 10 1) (TN – 2011) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x 3 trên  2;5 x 3 7 Đs: max f x f 5 và min f x f 2 7  2;5 4 2;4 4 2 2) (TN – 2010) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x x 8x 5 trên  1;3 Đs: max f x f 3 14 và min f x f 2 11  1;3  1;3 3) (TN – 2008) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 4 2 a) f x x 2x 1 trên đoạn 0;2 Đs: max f x f 2 9 và min f x f 1 0 0;2 0;2 4 2 b) f x 2x 4x 3 trên đoạn 0;2 Đs: max f x f 1 5 và min f x f 2 13 0;2 0;2 3 c) f x x 3x 2 trên đoạn  1;3 Đs: max f x f 3 16 và min f x f 1 4  1;3  1;3 2x 1 d) f x trên đoạn 0;2 x 3 1 Đs: max f x f 0 và min f x f 2 3 0;2 3 0;2 5 Chuyên Đề GTLN, GTNN của hàm số – Đỗ Đình Bằng – THPT Mường Lát
6. 9 e) f x x trên đoạn 2;4 x 13 Đs: max f x f 2 và min f x f 3 6 2;4 2 2;4 4) (TN – 2007) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 3 2 a)f x 3x x 7x 1 trên 0;2 Đs: max f x f 2 7 và min f x f 1 4 0;2 0;2 3 2 b)f x x 8x 16x 9 trên 1;3 4 13 Đs: max f x f và min f x f 3 6 1;3 3 27 1;3 4 c)f x x 1 trên  1;2 x 2 Đs: max f x f 0 1 và min f x f 1 f 2 2  1;2  1;2 3 2 d)f x x 2x 7x 1 trên  2;2 Đs: max f x f 1 3 và min f x f 2 15  2;2  2;2 2x2 3x 3 5) (D – 2011) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x trên 0;2 x 1 17 Đs: max f x f 2 và min f x f 0 3 0;2 3 0;2 2 6) (B – 2003) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x x 4 x Đs: max f x f 2 2 2 và min f x f 2 2  2;2  2;2 x 1 7) (D – 2003) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x trên  1;2 2 x 1 Đs: max f x f 1 2 và min f x f 1 0  1;2  1;2 ln 2 x 8) (B – 2004) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x trên 1;e3  x 6 Chuyên Đề GTLN, GTNN của hàm số – Đỗ Đình Bằng – THPT Mường Lát
7. 2 4 Đs: max f x f e 2 và min f x f 1 0 1;e3  e 1;e3  9) (D – 2010) Tìm GTNN của hàm số f x x 2 4x 21 x 2 3x 10 Hd: TXĐ D  2;5 Tính f ' x 0 rồi bình phương 2 vế 1 min f x f 2 3 10) Tìm GTLN của hàm số f x x 2 4 x Đs: max f x f 3 2 11) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x 5 4x trên  1;1 Đs: max f x f 1 3 và min f x f 1 1  1;1  1;1 x2 2x 2 12) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y x2 2x 2 Hd: TXĐ D R max y 3 2 2; min y 3 2 2 1 13) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x trên 0;1 2 x x 6 2 Hd: Xét hàm số g x x x 6 trên 0;1 1 Ta có g ' x 2x 1; g ' x 0 x 2 25 5 2 1 6 Suy ra 6 g x 6 g x f x 4 2 5 g x 6 6 1 2 Vậy max f x f 0 và min f x f 0;1 6 0;1 2 5 14) Tìm GTLN của hàm số f x x 1 2x 1 Hd: TXĐ D ; 2 7 Chuyên Đề GTLN, GTNN của hàm số – Đỗ Đình Bằng – THPT Mường Lát
8. Đs: max f x f 0 1 1 ; 2 1 15) Tìm GTNN của hàm số f x 4x trên khoảng 1; x 1 3 Đs: min f x f 8 1; 2 16) Tìm GTLN và GTNN của hàm số a) f x x3 3x 2 trên đoạn  3;0 b) f x x 2 3x 4 trên đoạn  2;2 Hd: a) Đặt g x x3 3x 2 x 1  3;0 Ta có g x 0 min f x g x g 2 0 x 2  3;0 ' 2 ' x 1  3;0 g x 3 x 1 , g x 0 max f x g 3 16 x 1  3;0 b) Đặt g x x2 3x 4 x 1 Ta có g x 0 min f x g x g 1 0 x 4  2;2  2;2 3 3 g ' x 2x 3, g ' x 0 x max f x g 25 2  2;2 2 8 Chuyên Đề GTLN, GTNN của hàm số – Đỗ Đình Bằng – THPT Mường Lát